Този видео урок ще помогне на потребителите да придобият представа за темата Pyramid. Правилна пирамида. В този урок ще се запознаем с понятието пирамида и ще й дадем определение. Нека да разгледаме какво е правилната пирамида и какви свойства има. След това доказваме теоремата за страничната повърхност на правилна пирамида.
В този урок ще се запознаем с понятието пирамида и ще й дадем определение.
Помислете за многоъгълник A 1 A 2...A n, която лежи в равнината α, и точката П, която не лежи в равнината α (фиг. 1). Нека свържем точките Пс върхове A 1, A 2, A 3, … A n. получаваме птриъгълници: A 1 A 2 R, A 2 A 3 Rи така нататък.
Определение. Многостен RA 1 A 2 ...A n, съставен от п-квадрат A 1 A 2...A nИ птриъгълници RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 се извиква п- въглищна пирамида. ориз. 1.
ориз. 1
Помислете за четириъгълна пирамида PABCD(фиг. 2).
Р- върха на пирамидата.
ABCD- основата на пирамидата.
RA- странично ребро.
AB- основно ребро.
От точка Рнека изпуснем перпендикуляра RNкъм базовата равнина ABCD. Начертаният перпендикуляр е височината на пирамидата.
ориз. 2
Пълната повърхност на пирамидата се състои от страничната повърхност, т.е. площта на всички странични лица и площта на основата:
S пълен = S страничен + S основен
Пирамидата се нарича правилна, ако:
- основата му е правилен многоъгълник;
- сегментът, свързващ върха на пирамидата с центъра на основата, е нейната височина.
Обяснение на примера на правилна четириъгълна пирамида
Да разгледаме правилна четириъгълна пирамида PABCD(фиг. 3).
Р- върха на пирамидата. Основа на пирамидата ABCD- правилен четириъгълник, тоест квадрат. Точка ЗА, точката на пресичане на диагоналите, е центърът на квадрата. означава, ROе височината на пирамидата.
ориз. 3
Обяснение: в правилното пВ триъгълника центърът на вписаната окръжност и центърът на описаната окръжност съвпадат. Този център се нарича център на многоъгълника. Понякога казват, че върхът е проектиран в центъра.
Височината на страничната страна на правилна пирамида, изтеглена от нейния връх, се нарича апотемаи е обозначен з а.
1. всички странични ръбове на правилна пирамида са равни;
2. Страничните стени са еднакви равнобедрени триъгълници.
Ще дадем доказателство за тези свойства на примера на правилна четириъгълна пирамида.
дадени: PABCD- правилна четириъгълна пирамида,
ABCD- квадрат,
RO- височина на пирамидата.
Докажи:
1. RA = PB = RS = PD
2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Вижте фиг. 4.
ориз. 4
Доказателство.
RO- височина на пирамидата. Тоест направо ROперпендикулярна на равнината ABC, и следователно директен АД, ВО, СОИ НАПРАВЕТЕлежи в него. Значи триъгълници ROA, ROV, ROS, ROD- правоъгълен.
Помислете за квадрат ABCD. От свойствата на квадрата следва, че AO = VO = CO = НАПРАВЕТЕ.
След това правилните триъгълници ROA, ROV, ROS, RODкрак RO- общ и крака АД, ВО, СОИ НАПРАВЕТЕса равни, което означава, че тези триъгълници са равни от двете страни. От равенството на триъгълниците следва равенството на сегментите, RA = PB = RS = PD.Точка 1 е доказана.
Сегменти ABИ слънцеса равни, защото са страни на един и същ квадрат, RA = PB = RS. Значи триъгълници AVRИ VSR -равнобедрен и равен от три страни.
По подобен начин намираме, че триъгълниците ABP, VCP, CDP, DAPса равнобедрени и равни, както се изисква да се докаже в параграф 2.
Площта на страничната повърхност на правилната пирамида е равна на половината от произведението на периметъра на основата и апотемата:
За да докажем това, нека изберем правилна триъгълна пирамида.
дадени: RAVS- правилна триъгълна пирамида.
AB = BC = AC.
RO- височина.
Докажи: 
. Вижте фиг. 5.
ориз. 5
Доказателство.
RAVS- правилна триъгълна пирамида. това е AB= AC = BC. Нека ЗА- център на триъгълника ABC, Тогава ROе височината на пирамидата. В основата на пирамидата лежи равностранен триъгълник ABC. Забележете това 
.
Триъгълници RAV, RVS, RSA- равни равнобедрени триъгълници (по свойство). Триъгълна пирамида има три странични лица: RAV, RVS, RSA. Това означава, че площта на страничната повърхност на пирамидата е:
S страна = 3S RAW
Теоремата е доказана.
Радиусът на окръжност, вписана в основата на правилна четириъгълна пирамида, е 3 m, височината на пирамидата е 4 m. Намерете площта на страничната повърхност на пирамидата.
дадени: правилна четириъгълна пирамида ABCD,
ABCD- квадрат,
r= 3 м,
RO- височина на пирамидата,
RO= 4 м.
Намерете: S страна. Вижте фиг. 6.
ориз. 6
Решение.
Според доказаната теорема,.
Нека първо намерим страната на основата AB. Знаем, че радиусът на окръжност, вписана в основата на правилна четириъгълна пирамида, е 3 m.
След това, m.
Намерете периметъра на квадрата ABCDсъс страна 6 м:
Помислете за триъгълник BCD. Нека М- средата на страната DC. защото ЗА- средно BD, Това 
(м).
Триъгълник DPC- равнобедрен. М- средно DC. т.е. RM- медиана, и следователно височината в триъгълника DPC. Тогава RM- апотема на пирамидата.
RO- височина на пирамидата. След това направо ROперпендикулярна на равнината ABC, и следователно директен ОМ, лежейки в него. Да намерим апотемата RMот правоъгълен триъгълник ROM.
Сега можем да намерим страничната повърхност на пирамидата:
отговор: 60 м2.
Радиусът на окръжността, описана около основата на правилна триъгълна пирамида, е равен на m. Площта на страничната повърхност е 18 m 2. Намерете дължината на апотемата.
дадени: ABCP- правилна триъгълна пирамида,
AB = BC = SA,
Р= m,
S страна = 18 м2.
Намерете: . Вижте фиг. 7.
ориз. 7
Решение.
В правоъгълен триъгълник ABCДаден е радиусът на описаната окръжност. Да намерим страна ABтози триъгълник, използвайки закона на синусите.
Познавайки страната на правилен триъгълник (m), намираме неговия периметър.
По теоремата за площта на страничната повърхност на правилна пирамида, където з а- апотема на пирамидата. След това:
отговор: 4 м.
И така, разгледахме какво е пирамида, какво е правилна пирамида и доказахме теоремата за страничната повърхност на правилна пирамида. В следващия урок ще се запознаем с пресечената пирамида.
Референции
- Геометрия. 10-11 клас: учебник за студенти образователни институции(основни и профилни нива) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5-то изд., рев. и допълнителни - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
- Геометрия. 10-11 клас: Учебник за общообразователна подготовка образователни институции/ Шаригин И.Ф.: Дропа, 1999. - 208 с.: ил.
- Геометрия. 10 клас: Учебник за общообразователните институции със задълбочено и профилирано изучаване на математика /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то изд., стереотип. - М.: Дропла, 008. - 233 с.: ил.
- Интернет портал "Yaklass" ()
- Интернет портал „Фестивал на педагогическите идеи „Първи септември“ ()
- Интернет портал “Slideshare.net” ()
домашна работа
- Може ли правилен многоъгълник да бъде основа на неправилна пирамида?
- Докажете, че несвързаните ръбове на правилна пирамида са перпендикулярни.
- Намерете стойността на двустенния ъгъл при страната на основата на правилна четириъгълна пирамида, ако апотемата на пирамидата е равна на страната на нейната основа.
- RAVS- правилна триъгълна пирамида. Построете линейния ъгъл на двустенния ъгъл в основата на пирамидата.
Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато изпратите заявка на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес имейли т.н.
Как използваме вашата лична информация:
- Събрани от нас лична информацияни позволява да се свързваме с вас и да ви информираме за уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели като одит, анализ на данни и различни изследванияза да подобрим услугите, които предоставяме и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на информация на трети лица
Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- При необходимост - в съответствие със закона, съдебната процедура, съдебното производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни агенциина територията на Руската федерация - разкрийте вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели на общественото здраве. важни случаи.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
Тук можете да намерите основна информация за пирамидите и свързаните с тях формули и концепции. Всички те се изучават с преподавател по математика като подготовка за Единния държавен изпит.
Помислете за равнина, многоъгълник 
, лежаща в нея и точка S, нележаща в нея. Нека свържем S с всички върхове на многоъгълника. Полученият полиедър се нарича пирамида. Сегментите се наричат странични ребра. 
Многоъгълникът се нарича основа, а точка S е връх на пирамидата. В зависимост от числото n пирамидата се нарича триъгълна (n=3), четириъгълна (n=4), петоъгълна (n=5) и т.н. Алтернативно име за триъгълна пирамида е тетраедър. Височината на пирамидата е перпендикулярът, спускащ се от върха й към равнината на основата. 
Пирамида се нарича правилна, ако правилен многоъгълник, а основата на надморската височина на пирамидата (основата на перпендикуляра) е нейният център.
Коментар на преподавателя:
Не бъркайте понятията „правилна пирамида“ и „правилен тетраедър“. В правилната пирамида страничните ръбове не са непременно равни на ръбовете на основата, но в правилния тетраедър всичките 6 ръба са равни. Това е неговото определение. Лесно се доказва, че равенството предполага съвпадение на центъра P на многоъгълника с височина на основата, така че правилният тетраедър е правилна пирамида.
Какво е апотема?
Апотемата на пирамидата е височината на страничната й страна. Ако пирамидата е правилна, тогава всички нейни апотеми са равни. Обратното не е вярно. 
Преподавател по математика за неговата терминология: 80% от работата с пирамиди е изградена чрез два вида триъгълници:
1) Съдържа апотема SK и височина SP
2) Съдържащ страничния ръб SA и неговата проекция PA 
За да се опростят препратките към тези триъгълници, е по-удобно за учителя по математика да извика първия от тях апотематичен, и второто крайбрежен. За съжаление няма да намерите тази терминология в нито един от учебниците и учителят трябва да я въведе едностранно.
Формула за обем на пирамида:
1) 
, където е площта на основата на пирамидата и е височината на пирамидата
2) , където е радиусът на вписаната сфера и е площта на общата повърхност на пирамидата.
3) 
, където MN е разстоянието между всеки два пресичащи се ръба и е площта на успоредника, образуван от средните точки на четирите оставащи ръба.
Свойство на основата на височината на пирамида:
Точка P (вижте фигурата) съвпада с центъра на вписаната окръжност в основата на пирамидата, ако е изпълнено едно от следните условия:
1) Всички апотеми са равни
2) Всички странични лица са еднакво наклонени към основата
3) Всички апотеми са еднакво наклонени спрямо височината на пирамидата
4) Височината на пирамидата е еднакво наклонена към всички странични стени
Коментар на учителя по математика: Моля, имайте предвид, че всички точки са обединени от едно общо свойство: по един или друг начин, страничните лица са включени навсякъде (апотемите са техните елементи). Следователно учителят може да предложи по-малко точна, но по-удобна за учене формулировка: точка P съвпада с центъра на вписаната окръжност, основата на пирамидата, ако има равна информация за нейните странични стени. За да го докажем, е достатъчно да покажем, че всички триъгълници-апотеми са еднакви.
Точка P съвпада с центъра на окръжност, описана близо до основата на пирамидата, ако е изпълнено едно от трите условия:
1) Всички странични ръбове са равни
2) Всички странични ребра са еднакво наклонени към основата
3) Всички странични ребра са еднакво наклонени спрямо височината
Пирамидата е многостен с многоъгълник в основата си. Всички лица от своя страна образуват триъгълници, които се събират в един връх. Пирамидите са триъгълни, четириъгълни и т.н. За да определите коя пирамида е пред вас, достатъчно е да преброите броя на ъглите в нейната основа. Определението за „височина на пирамида“ много често се среща в геометричните задачи в училищна програма. В статията ще се опитаме да разгледаме различни начининейното местоположение.
Части от пирамидата
Всяка пирамида се състои от следните елементи:
- странични лица, които имат три ъгъла и се събират на върха;
- апотемата представлява височината, която се спуска от върха му;
- върхът на пирамидата е точка, която свързва страничните ребра, но не лежи в равнината на основата;
- основата е многоъгълник, на който върхът не лежи;
- височината на пирамидата е сегмент, който пресича върха на пирамидата и образува прав ъгъл с нейната основа.
Как да намерите височината на пирамида, ако е известен нейният обем
Чрез формулата V = (S*h)/3 (във формулата V е обемът, S е площта на основата, h е височината на пирамидата) намираме, че h = (3*V)/ С. За да консолидираме материала, нека незабавно да решим проблема. Триъгълната основа е 50 cm 2 , а обемът му е 125 cm 3 . Височината на триъгълната пирамида е неизвестна, което трябва да намерим. Тук всичко е просто: вмъкваме данните в нашата формула. Получаваме h = (3*125)/50 = 7,5 cm.
Как да намерите височината на пирамида, ако са известни дължината на диагонала и неговите ръбове
Както си спомняме, височината на пирамидата образува прав ъгъл с нейната основа. Това означава, че височината, ръбът и половината от диагонала заедно образуват Мнозина, разбира се, помнят теоремата на Питагор. Познавайки две измерения, няма да е трудно да намерите третото количество. Нека си припомним добре известната теорема a² = b² + c², където a е хипотенузата, а в нашия случай ръбът на пирамидата; b - първият крак или половината от диагонала и c - съответно вторият крак или височината на пирамидата. От тази формула c² = a² - b².
Сега проблемът: в правилната пирамида диагоналът е 20 см, когато дължината на ръба е 30 см, трябва да намерите височината. Решаваме: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Следователно c = √ 500 = около 22,4.
Как да намерите височината на пресечена пирамида
Това е многоъгълник с напречно сечение, успоредно на основата му. Височината на пресечена пирамида е сегментът, който свързва двете й основи. Височината на правилна пирамида може да се намери, ако са известни дължините на диагоналите на двете основи, както и ръбът на пирамидата. Нека диагоналът на по-голямата основа е d1, докато диагоналът на по-малката основа е d2, а ръбът е с дължина l. За да намерите височината, можете да намалите височините от двете горни срещуположни точки на диаграмата до нейната основа. Виждаме, че имаме две правоъгълен триъгълник, остава да намерим дължините на краката им. За да направите това, извадете по-малкия от по-големия диагонал и разделете на 2. Така ще намерим един крак: a = (d1-d2)/2. След което, според Питагоровата теорема, всичко, което трябва да направим, е да намерим втория крак, който е височината на пирамидата.
Сега нека разгледаме цялото това нещо на практика. Предстои ни задача. Пресечената пирамида има квадрат в основата, дължината на диагонала на по-голямата основа е 10 см, докато на по-малката е 6 см, а ръбът е 4 см. Трябва да намерите височината. Първо намираме единия катет: a = (10-6)/2 = 2 cm, а хипотенузата е 4 cm. Оказва се, че вторият катет или височина ще бъде равен на 16-. 4 = 12, тоест h = √12 = около 3,5 cm.
Триизмерна фигура, която често се появява в геометрични задачи, е пирамидата. Най-простата от всички фигури в този клас е триъгълната. В тази статия ще анализираме подробно основните формули и свойствата на правилните
Геометрични идеи за фигурата
Преди да преминем към разглеждане на свойствата на правилна триъгълна пирамида, нека разгледаме по-подробно за каква фигура говорим.
Да предположим, че има произволен триъгълник триизмерно пространство. Нека изберем всяка точка от това пространство, която не лежи в равнината на триъгълника и я свържем с трите върха на триъгълника. Имаме триъгълна пирамида.
Състои се от 4 страни, всички от които са триъгълници. Точките, в които се срещат три лица, се наричат върхове. Фигурата също има четири от тях. Линиите на пресичане на две лица са ръбове. Въпросната пирамида има 6 ръба на фигурата по-долу.
Тъй като фигурата е образувана от четири страни, тя се нарича още тетраедър.
Правилна пирамида
По-горе разгледахме произволна фигура с триъгълна основа. Сега да предположим, че начертаваме перпендикулярен сегмент от върха на пирамидата до нейната основа. Този сегмент се нарича височина. Очевидно можете да нарисувате 4 различни височини за фигурата. Ако височината пресича триъгълната основа в геометричния център, тогава такава пирамида се нарича права.
Права пирамида, чиято основа е равностранен триъгълник, се нарича правилна. За нея и трите триъгълника, образуващи страничната повърхност на фигурата, са равнобедрени и равни един на друг. Специален случай на правилна пирамида е ситуацията, когато и четирите страни са равностранни еднакви триъгълници.
Нека разгледаме свойствата на правилна триъгълна пирамида и да дадем съответните формули за изчисляване на нейните параметри.
Основна страна, височина, страничен ръб и апотема
Всеки два от изброените параметъра еднозначно определят останалите две характеристики. Нека представим формули, които свързват тези количества.
Да приемем, че страната на основата на правилна триъгълна пирамида е a. Дължината на страничния му ръб е b. Каква ще бъде височината на правилна триъгълна пирамида и нейната апотема?
За височина h получаваме израза:
Тази формула следва от Питагоровата теорема, за която са страничният ръб, височината и 2/3 от височината на основата.
Апотемата на пирамидата е височината на всеки страничен триъгълник. Дължината на апотемата a b е равна на:
a b = √(b 2 - a 2 /4)
От тези формули става ясно, че каквато и да е страната на основата на триъгълна правилна пирамида и дължината на нейния страничен ръб, апотемата винаги ще бъде по-голяма от височината на пирамидата.
Представените две формули съдържат и четирите линейни характеристики на въпросната фигура. Следователно, при известните две от тях, можете да намерите останалите, като решите системата от писмени равенства.
Обем на фигурата
За абсолютно всяка пирамида (включително наклонена) стойността на обема на ограниченото от нея пространство може да се определи, като се знае височината на фигурата и площта на нейната основа. Съответната формула е:
Прилагайки този израз към въпросната фигура, получаваме следната формула:
Където височината на правилна триъгълна пирамида е h, а нейната основна страна е a.
Не е трудно да се получи формула за обема на тетраедър, в който всички страни са равни една на друга и представляват равностранни триъгълници. В този случай обемът на фигурата се определя по формулата:
Това означава, че се определя еднозначно от дължината на страната a.
Повърхностна площ
Нека продължим да разглеждаме правилния триъгълник. Общата площ на всички лица на фигура се нарича нейната повърхност. Последното може да бъде удобно проучено чрез разглеждане на съответното развитие. Фигурата по-долу показва как изглежда развитието на правилна триъгълна пирамида.
Да приемем, че знаем височината h и страната на основата a на фигурата. Тогава площта на основата му ще бъде равна на:
Всеки ученик може да получи този израз, ако си спомни как да намери площта на триъгълник и също така вземе предвид, че надморската височина на равностранен триъгълник също е ъглополовяща и медиана.
Площта на страничната повърхност, образувана от три еднакви равнобедрени триъгълника, е:
S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Това равенство следва от израза на апотемата на пирамидата по отношение на височината и дължината на основата.
Общата площ на фигурата е:
S = S o + S b = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a
Обърнете внимание, че за тетраедър, в който и четирите страни са еднакви равностранни триъгълници, площта S ще бъде равна на:
Свойства на правилна пресечена триъгълна пирамида
Ако върхът на разглежданата триъгълна пирамида се отреже с равнина, успоредна на основата, тогава останалите долна частще се нарича пресечена пирамида.
В случай на триъгълна основа, резултатът от описания метод на сечение е нов триъгълник, който също е равностранен, но има по-къса дължина на страната от страната на основата. По-долу е показана пресечена триъгълна пирамида.
Виждаме, че тази цифра вече е ограничена до две триъгълни основии три равнобедрени трапеца.
Да приемем, че височината на получената фигура е равна на h, дължините на страните на долната и горната основа са съответно a 1 и a 2, а апотемата (височината на трапеца) е равна на a b. Тогава повърхността на пресечената пирамида може да се изчисли по формулата:
S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)
Тук първият член е площта на страничната повърхност, вторият член е площта на триъгълните основи.
Обемът на фигурата се изчислява, както следва:
V = √3/12*h*(a 1 2 + a 2 2 + a 1 *a 2)
За да определите недвусмислено характеристиките на пресечена пирамида, трябва да знаете нейните три параметъра, което се демонстрира от дадените формули.
