Smo с ограничено време за чакане на опашка. Пет начина да направите чакането на опашка по-малко разочароващо

Ние изчисляваме показателите за обслужване на многоканален QS (онлайн):
Интензитет на потока на услугата:

1. Интензивност на натоварването.
ρ = λ t obs = 120 1/60 = 2
Интензивността на натоварването ρ=2 показва степента на съгласуваност на входните и изходните потоци от заявки на обслужващия канал и определя стабилността на системата опашка.
3. Вероятност каналът да е свободен(пропорция на престой на канала).

Следователно 12% от канала ще бъде неактивен в рамките на един час, времето на неактивност е равно на t pr = 7,1 минути.
Вероятността услугата:
1 канал зает:
p 1 = ρ 1 /1! p 0 = 2 1 /1! 0,12 = 0,24
2 канала са заети:
p 2 = ρ 2 /2! p 0 = 2 2 /2! 0,12 = 0,24
3 канала са заети:
p 3 = ρ 3 /3! p 0 = 2 3 /3! 0,12 = 0,16
4. Пропорция на отхвърлените заявления.

Това означава, че 3% от постъпилите заявления не се приемат за обслужване.
5. Вероятност за обслужване на входящи заявки.
В системи с повреди, събитията от повреда и поддръжка представляват пълна група от събития, следователно:
p отворено + p obs = 1
Относителна производителност: Q = p obs.
p obs = 1 - p отворено = 1 - 0,0311 = 0,97
Следователно 97% от получените заявления ще бъдат обслужени. Приемливото ниво на обслужване трябва да бъде над 90%.
6. Среден брой канали, заети от услуга.
n h = ρ p obs = 2 0,97 = 1,9 канала
Среден брой неактивни канали.
n pr = n - n z = 3 - 1,9 = 1,1 канала
7. Степен на заетост на обслужващия канал.

Следователно системата е 60% заета с поддръжка.
8. Абсолютна производителност.
A = p obs λ = 0,97 120 = 116,3 заявки/час.
.
t pr = p отворен t obs = 0,0311 0,0166 = 0 час.
10. Среден брой заявки на опашка.

единици
(средно време на изчакване за обслужване на приложение в опашката).
час.
12. Среден брой обслужени заявления.
L obs = ρ Q = 2 0,97 = 1,94 единици.
13. Среден брой приложения в системата.
L CMO = L och + L obs = 0,51 + 1,94 = 2,45 единици.
13. Средно време, през което едно приложение остава в CMO.
час.
Брой заявления, отхвърлени в рамките на един час: λ p 1 = 4 заявки на час.
Номинална производителност на системата: 3 / 0,0166 = 181 приложения на час.
Реална производителност на SMO: 116,3 / 181 = 64% от номиналния капацитет.

Освен това ще използваме следната нотация за средното време на изчакване в опашката от заявки от приоритетния клас стр - W p, а средното време, прекарано в системата за изискванията от този клас - Tp:

Ще се съсредоточим върху системи с относителен приоритет. Нека разгледаме процеса от момента, в който пристигне определена заявка от приоритетния клас стр. По-нататък ще наричаме това изискване етикетирано. Първият компонент на закъснението за маркирана заявка е свързан със заявката, която пристига на сървъра. Този компонент е равен на оставащото време за обслужване на друга заявка. Нека сега обозначим и използваме тази нотация по-нататък, средното забавяне на етикетирано изискване, свързано с наличието на друго изискване в услугата W 0. Познаване на разпределението на времето между съседни пристигания входни изискванияза всеки приоритетен клас винаги можете да изчислите тази стойност. При нашето допускане за закон на Поасон за потока от приложения от всеки клас можем да напишем

.

Вторият компонент на времето за изчакване за маркирано изискване се определя от факта, че преди маркираното изискване се обслужват други заявки, че маркираното изискване е в опашката. Нека допълнително обозначим броя на изискванията от класа аз, който улови маркираното изискване в опашката (от клас стр) и които се сервират преди него щипка. Средната стойност на това число ще определи стойността на средната стойност на този компонент на забавяне

Третият компонент на забавянето е свързан със заявки, които са пристигнали след пристигането на маркираната заявка, но са получили услуга преди нея. Нека да посочим броя на тези изисквания M ip. Средната стойност на този компонент на забавяне се намира по подобен начин и е

Като добавим и трите компонента, откриваме, че средното време на изчакване в опашка за маркирана заявка се определя от формулата

Очевидно е, че независимо от служебната дисциплина броят на изискванията щипкаИ M ipв системата не може да бъде произволен, така че има определен набор от връзки, които свързват закъсненията за всеки приоритетен клас. Значението на тези взаимоотношения за QS ни позволява да ги наречем ЗАКОНИ ЗА ЗАПАЗВАНЕ. Основата на законите за запазване на закъсненията е фактът, че незавършената работа във всеки QS по време на който и да е натоварен интервал от време не зависи от реда на обслужване, ако системата е консервативна (изискванията не изчезват в рамките на системата и сървърът не е неактивен, когато опашката не е празна).

Разпределението на времето за изчакване зависи значително от реда на обслужване, но ако дисциплината на обслужване избира изисквания независимо от тяхното време за обслужване (или всяка мярка, която зависи от времето за обслужване), тогава разпределението на броя на исканията и времето за изчакване в системата е инвариантна по отношение на реда на обслужване.

За QS от тип M/G/1 може да се покаже, че за всяка дисциплина на обслужване трябва да бъде изпълнено следното важно равенство:

Това равенство означава, че претеглената сума на времето за изчакване никога не се променя, независимо колко сложна или умна е дисциплината на обслужване. Ако латентността може да бъде намалена за някои изисквания, тя веднага ще се увеличи за други.

За повече обща системас произволно разпределение на времето на пристигане на изискванията G/G/1, законът за запазване може да бъде написан във формата

.

Общото значение на тази връзка е, че претеглената сума от времената на забавяне остава постоянна. Просто от дясната страна има разлика между средната текуща работа и оставащото време за обслужване. Ако приемем Поасоновата природа на входния поток, тогава изразът за текущата работа може да бъде записан като

Замествайки го в предишния израз, веднага получаваме дадения по-рано закон за запазване за QS тип M/G/1.

Нека сега разгледаме изчисляването на средното време на изчакване за QS с услуга в реда на приоритет, определен от функцията за приоритет

Фигура 1 показва диаграма на функционирането на QS с такава дисциплина на обслужване: входяща заявка се поставя на опашка отляво на заявка с равен или по-висок приоритет.

ориз. 1 CMO с приоритетно обслужване.

Нека използваме формулата за W p. Въз основа на функциониращия механизъм можем веднага да пишем

Всички заявки с по-висок от маркирания приоритет ще бъдат обслужвани по-рано. От формулата на Литъл броят на изискванията на класа азв опашката ще бъде равно на:

Заявките от класове с по-висок приоритет, които влизат в системата след маркирана заявка, докато е в опашката, също ще бъдат обслужени преди нея. Тъй като маркираното изискване ще бъде средно на опашката W pсекунди, тогава броят на тези заявки ще бъде равен на

Директно от формула (*) получаваме:

Тази система от уравнения може да се реши рекурсивно, като се започне от W 1, W 2и т.н.

Получената формула ви позволява да изчислите характеристиките на качеството на услугата за всички приоритетни класове. На фигура 7.2. показва как се променя нормализираната стойност на времето за изчакване в опашката за QS с пет приоритетни класа с еднаква интензивност на потока от заявки за всеки приоритетен клас и еднакво средно време за обслужване за заявки от всеки клас (долната фигура детайлизира кривите за нисък стойности на натоварване).

Фигура 2. Услуга в приоритетен ред в случай на относителни приоритети (P=5, l P = l/5, ).

Специална задача е да се определят законите на разпределение на времето за изчакване.

Нека сега разгледаме система с абсолютни приоритети и услуга по ред на приоритет с допълнителна услуга. Нека използваме подход, напълно подобен на този, обсъден по-рано. Средното забавяне в системата на маркирано изискване също се състои от три компонента: първият компонент е средното време за обслужване, вторият е забавянето, дължащо се на обслужването на тези заявки с равен или по-висок приоритет от маркираното изискване, намерено в системата. Третият компонент на средната латентност на маркирано изискване е забавянето, дължащо се на всички заявки, които влизат в системата, преди маркираното изискване да напусне и имат строго по-висок приоритет. Описвайки всички тези три компонента на общото време, прекарано в системата, получаваме

.

Много интересна задача е изборът на приоритети за приложенията. различни класове. Тъй като законът за запазване е в сила, оптимизацията има смисъл само когато се вземат предвид някои допълнителни атрибути на всеки клас изисквания. Нека приемем, че всяка секунда забавяне на приложение от клас на приоритет p може да бъде оценена на някаква цена C p. Тогава средната цена на секунда закъснение за системата може да бъде изразена като среден брой заявки от всеки клас, присъстващ в системата

Нека решим проблема с намирането на дисциплина на обслужване с относителни приоритети за системата M/G/1, която минимизира средните разходи за забавяне В. Нека има Пприоритетни класове заявки с даден процент на пристигане и средно време за обслужване. Да преминем към лявата странапостоянна сума и експрес дясната страначрез известни параметри

Задачата е да се минимизира сумата от дясната страна на това равенство, като се избере подходящата дисциплина на обслужване, т.е. избор на индексна последователност стр.

Нека обозначим

В тази нотация проблемът изглежда така: трябва да минимизираме сумата от продуктите, подлежащи на

Условие за независимост на сумата от функции g pизборът на служебна дисциплина се определя от закона за запазване. С други думи, проблемът е да се минимизира площта под кривата на произведението на две функции, при условие че площта под кривата на една от тях е постоянна.

Решението е първо да подредите последователността от стойности f p: .

И след това избираме за всеки f pнеговото значение g p, така че да се минимизира сумата от техните продукти. Интуитивно е ясно, че оптимална стратегияизборът се състои в избор най-ниска стойност g pза най-великите f p, тогава за останалите стойности трябва да продължите по същия начин. защото g p=W p r p, тогава минимизирането се свежда до минимизиране на средните стойности на забавяне. По този начин решението на разглеждания оптимизационен проблем е, че от всички възможни дисциплини на обслужване с относителен приоритет, минималната средна цена се осигурява от дисциплина с подредени приоритети в съответствие с неравенствата

.

Системата за опашка се нарича чакаща система, ако заявка, която намира всички канали за заети, попадне в опашка и изчака, докато някой канал стане свободен.

Ако времето за изчакване на приложение в опашката е неограничено, тогава системата се нарича „чиста система за изчакване“. Ако е ограничена от определени условия, тогава системата се нарича „система от смесен тип“. Това е междинен случай между чиста система с откази и чиста система с изчакване.

За практиката най-голям интерес представляват системите от смесен тип.

Възможно е да има ограничения върху изчакването различни видове. Често се случва да се наложи ограничение на времето за изчакване на заявка на опашката; смята се, че тя е ограничена отгоре с някакъв период, който може да бъде или строго определен, или произволен. В този случай се ограничава само периодът на чакане на опашката и започнатата услуга е завършена, независимо колко дълго е продължило чакането (например клиент във фризьорски салон, седнал на стол, обикновено не оставете до края на услугата). При други проблеми е по-естествено да се наложи ограничение не върху времето за изчакване в опашката, а върху общото време, през което заявката остава в системата (например, въздушна цел може да остане в зоната на стрелба само за ограничено време и го напуска независимо дали обстрелът е приключил или не). И накрая, можем да разгледаме такава смесена система (тя е най-близка до типа търговски предприятия, продаващи несъществени артикули), когато дадено приложение влиза в опашката само ако дължината на опашката не е твърде голяма. Тук се налага ограничение за броя на приложенията в опашката.

В системите за чакане важна роля играе така наречената „дисциплина на опашката“. Чакащите заявления могат да бъдат извикани за обслужване или на принципа първи дошъл, първи обслужен (ранно пристигналите се обслужват първи) или по случаен, неорганизиран начин. Има системи за чакане „с предимства“, при които някои заявки се обслужват с предимство пред други („генерали и полковници извън ред“).

Всеки тип система за чакане има свои собствени характеристики и математическа теория. Много от тях са описани например в книгата на V.V.Gnedenko „Лекции по теория на масовото обслужване“.

Тук ще се съсредоточим само върху най-простия случай на смесена система, който е естествено обобщение на проблема Erlang за система с откази. За този случай ще изведем диференциални уравнения, подобни на уравненията на Ерланг, и формули за вероятностите на състояния в стационарно състояние, подобни на формулите на Ерланг.

Нека разгледаме смесена система за масово обслужване с канали при следните условия. Входът на системата получава най-простия поток от заявки с плътност. Времето за обслужване на една заявка е ориентировъчно, с параметъра. Заявка, която намира всички канали за заети, се поставя в опашка и чака услуга; времето за изчакване е ограничено до определен период; Ако заявката не бъде приета за обслужване преди изтичането на този срок, тя напуска опашката и остава необслужена. Периодът на изчакване ще се счита за случаен и разпределен според експоненциалния закон

където параметърът е обратната стойност на средното време на изчакване:

; .

Параметърът е напълно подобен на параметрите както на потока на заявката, така и на „потока на освобождаване“. Може да се тълкува като плътността на „потока от заминаващи“ на приложението, което стои на опашката. Наистина, нека си представим приложение, което не прави нищо друго, освен да се присъедини към опашката и да изчака в нея, докато изтече периодът на изчакване, след което напуска и веднага се присъединява към опашката отново. Тогава „потокът от заминавания“ на такова приложение от опашката ще има плътност .

Очевидно, когато системата от смесен тип се превърне в чиста система с повреди; когато се превръща в чиста система с чакане.

Обърнете внимание, че при експоненциален закон за разпределение на времето за изчакване капацитетът на системата не зависи от това дали приложенията се обслужват на опашка или в произволен ред: за всяко приложение законът за разпределение на оставащото време за изчакване не зависи от това колко дълго приложението вече е в опашката.

Благодарение на предположението за поасоновия характер на всички потоци от събития, водещи до промени в състоянията на системата, протичащият в нея процес ще бъде марковски. Нека напишем уравнения за вероятностите за състояния на системата. За да направим това, първо изброяваме тези състояния. Ще ги номерираме не по броя на заетите канали, а по броя на приложенията, свързани със системата. Ще наречем заявка „свързана със системата“, ако е в състояние на поддръжка или чака на опашка. Възможните състояния на системата ще бъдат:

Нито един канал не е зает (няма опашка),

Точно един канал е зает (няма опашка),

Точно каналите са заети (без опашка),

Всички канали са заети (няма опашка),

Всички канали са заети, едно приложение е на опашка,

Всички канали са заети, приложенията са на опашка,

Броят на заявките на опашката при нашите условия може да бъде колкото желаете. Така системата има безкраен (макар и изброим) набор от състояния. Съответно и броят на описващите го диференциални уравнениясъщо ще бъде безкраен.

Очевидно първите диференциални уравнения няма да се различават по никакъв начин от съответните уравнения на Ерланг:

Разликата между новите уравнения и уравненията на Ерланг ще започне от . Наистина, система с неуспехи може да премине към състояние само от състояние; Що се отнася до системата за чакане, тя може да отиде в състоянието не само от , но и от (всички канали са заети, една заявка е в опашката).

Нека създадем диференциално уравнение за . Нека фиксираме момента и намерим вероятността системата да бъде в състояние в момента. Това може да стане по три начина:

1) в момента системата вече беше в състояние, но през това време не излезе от нея (нито една заявка не пристигна и нито един от каналите не се освободи);

2) в момента системата беше в състояние и с течение на времето премина към състоянието (пристигна една заявка);

3) в момента системата е била в състояние (всички канали са заети, една заявка е в опашката) и през времето, до което е отишла (или един канал е станал свободен и заявката, стояща в опашката, го е заела, или заявка, стояща на опашката, останала поради края на периода) .

Нека сега изчислим за всяко - вероятността в момента всички канали да са заети и точно толкова приложения да има на опашката. Това събитие може отново да се случи по три начина:

1) в момента системата вече е била в състояние и през това време това състояние не се е променило (това означава, че нито едно приложение не е пристигнало, нито едно капка не е било освободено и нито едно от приложенията не е стояло на опашката наляво);

2) в момента системата е била в състояние и с течение на времето е преминала към състоянието (т.е. пристигнала е една заявка);

3) в момента системата е била в състояние и през времето, когато е преминала в състояние (за това или един от каналите трябва да стане свободен, след което едно от приложенията, стоящи на опашката, ще го вземе, или един от заявленията, които стоят на опашката, трябва да напуснат поради края на периода).

Следователно:

Така получихме системата за вероятности на състоянието безкраен бройдиференциални уравнения:

(19.10.1)

Уравненията (19.10.1) са естествено обобщение на уравненията на Ерланг за случая на система от смесен тип с ограничено време на изчакване. Параметрите в тези уравнения могат да бъдат постоянни или променливи. При интегрирането на системата (19.10.1) е необходимо да се вземе предвид, че въпреки че теоретично броят на възможните състояния на системата е безкраен, на практика вероятностите стават незначителни, тъй като се увеличават, и съответните уравнения могат да бъдат отхвърлени.

Нека изведем формули, подобни на формулите на Ерланг за вероятностите от състояния на системата при стабилен режим на обслужване (при). От уравнения (19.10.1), приемайки всички константи и всички производни равни на нула, получаваме системата алгебрични уравнения:

(19.10.2)

Към тях трябва да добавите условие:

Нека намерим решение на системата (19.10.2).

За да направим това, ще приложим същата техника, която използвахме в случай на система с повреди: нека решим относително първото уравнение и го заместим във второто и т.н. За всяко , както в случай на система с повреди, получаваме:

Нека преминем към уравненията за . По същия начин получаваме:

,

,

и изобщо за всякакви

. (19.10.5)

И двете формули (19.10.4) и (19.10.5) включват вероятността като фактор. Нека го определим от условието (19.10.3). Замествайки изрази (19.10.4) и (19.10.5) за и в него, получаваме:

,

. (19.10.6)

Нека трансформираме изразите (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6), като въведем в тях „намалени“ плътности вместо плътности:

(19.10.7)

Параметрите и изразяват съответно средния брой заявки и средния брой напускания на заявка, стояща на опашката, за средно време за обслужване на една заявка.

В новата нотация формулите (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6) ще приемат формата:

; (19.10.9)

. (19.10.10)

Замествайки (19.10.10) в (19.10.8) и (19.10.9), получаваме крайните изрази за вероятностите на състоянията на системата:

; (19.10.11)

. (19.10.12)

Познавайки вероятностите за всички състояния на системата, можем лесно да определим други характеристики, които ни интересуват, по-специално вероятността дадена заявка да остави системата необслужена. Нека го определим от следните съображения: в стабилно състояние вероятността едно приложение да напусне системата необслужено не е нищо повече от съотношението на средния брой приложения, напускащи опашката за единица време, към средния брой пристигащи приложения за единица време. Нека намерим средния брой заявления, напускащи опашката за единица време. За да направим това, първо изчисляваме математическото очакване на броя на приложенията в опашката:

. (19.10.13)

За да получите, трябва да умножите по средната „плътност на заминаванията“ на едно приложение и да разделите на средната плътност на приложенията, т.е. да умножите по коефициента

Нека проучим работата на n-канал (n > 1) QS с изчакване, на входа на който се получава най-простият поток от заявки П входс интензивност. Обслужващият поток на всеки канал също се приема за най-прост с интензитет µ. Няма ограничения за дължината на опашката, но времето за изчакване за всяко приложение в опашката е ограничено от произволен период Т готиносъс средна стойност, след което заявката остава необслужена от системата. Времеви интервал Т готиное непрекъсната случайна променлива, която може да приеме произволна положителна стойност и математическо очакванекойто.

Ако този поток е Поасон, тогава процесът, протичащ в QS, ще бъде марковски.

Такива системи често се срещат в практиката. Те понякога се наричат ​​"нетърпеливи" системи за наддаване.

Нека номерираме състоянията на QS според броя на приложенията в системата, както в обслужване, така и в опашка: S k (k = 0,1,…n) - k приложения в процес на обслужване (кканалите са заети, няма опашка), S n+r (r = 1,2,…) - пприложения в процес на обслужване (всички пканалите са заети) и r приложения в опашка.

По този начин QS може да бъде в едно от безкраен брой състояния.

Означената графика на състоянието е показана на фиг. 1.

ориз. 1.

QS се движи от състояние в състояние отляво надясно под въздействието на същия входящ поток от приложения П входс интензивност. Следователно плътностите на вероятността на тези преходи

k-1,k = , k = 1,2,... (1)

Преход на QS от състояние без опашка С к , k = 1,…,n, към състоянието, съседно отляво С к-1 , (k = 1,…,n)(в която също няма да има опашка) възниква под влиянието на общия поток, състоящ се от k потока услуги на заети канали, чийто интензитет, който е сумата от интензитетите на сумираните потоци услуги, е равен на kµ. Следователно под стрелките вляво от състояние s n към състояние s 0 са посочени плътностите на вероятността за преход

k,k-1 =kµ, k = 1,…,n (2)

В системата в състояние с опашка С n+r , r = 1,2,…, общият поток е в сила - резултат от суперпозицията на n обслужващи потоци и rпотоци от грижи. Следователно интензитетът на общия поток е равен на сумата от интензитетите на съставните потоци nµ+rш. Този общ поток генерира преход на QS отдясно наляво от състоянието С n+r ,(r = 1,2,…)до средно С n+r-1 ,(r = 1,2,…)и по този начин

k,k-1 =nµ+(k-n)ш, k =n+1,n+2,… (3)

И така, вероятностните плътности на преходите на системата отдясно наляво, като се вземат предвид (2) и (3), могат да бъдат записани в комбинирана форма

Структурата на графиката предполага, че процесът, протичащ в QS, е процес на смърт и възпроизводство.

Нека заместим (1) и (4) за k=1,…,n+m във формулата

Нека въведем стойност, която може да се нарече намалена интензивност на потока от заминавания и която показва средния брой заминавания от опашката на необслужени заявки за средното време на обслужване на една заявка. Замествайки в (5) получаваме:

Тъй като в разглеждания QS няма ограничения за дължината на опашката, заявлението, получено във входящия поток, ще бъде прието; в системата, т.е. Приложението не се отхвърля от системата. Следователно, за QS с „нетърпеливи“ приложения, вероятността да бъдат приети в системата е стр сист =1, и вероятността от отказ да бъдат приети в системата стр отворен =0 . Понятието „неприемане в системата“ не трябва да се бърка с понятието „отказ от услуга“, тъй като поради „нетърпение“ не всяко приложение, получено (прието) в системата, ще бъде обслужено. Следователно има смисъл да се говори за вероятността дадено приложение да напусне опашката стр xyи вероятността молбата да бъде връчена, стр около. В същото време вероятността стр околопредставлява относителната производителност QИ стр xy =1- стр около .

Нека изчислим средния брой приложения в опашката. За да направите това, помислете за дискретна случайна променлива Н много добрепредставляващ броя на приложенията в опашката. Случайна променлива Н много добреможе да приеме всяка неотрицателна цяло число и неговият закон за разпределение има формата

Н много добре
		стр n+1	стр n+2		стр n+r

Къде p= p 0 +стр 1 +...+ стр п. следователно

или замествайки (7) тук, получаваме

Всяка заявка в опашката е обект на поток от „отпътувания“ Пух с интензитета на Средната опашка, състояща се от заявления, ще бъде обект на общ поток, състоящ се от потоци „отпътувания“ и имащ интензитет. Това означава, че от средния брой заявки в опашката, средно заявките за единица време ще напуснат, без да чакат обслужване, а останалите заявки ще бъдат обслужени. Следователно средният брой заявления, обслужени за единица време, т.е. абсолютен капацитет на QS

Тогава, по дефиницията на относителния капацитет,

Q = A/ = (-)/ = 1 - (w/),

където u/ = показва средния брой напускания от опашката на необслужвани приложения за средното време между пристигането на две съседни приложения във входящия поток П вход .

Средният брой заети канали (средният брой обслужвани заявки) може да се получи като съотношение на абсолютния капацитет A към производителността на един канал µ. Използвайки равенство (11), ще имаме:

Средният брой заети канали може да се изчисли независимо от средния брой заявки в опашката, а именно като математическото очакване на дискретно случайна променлива ДО,което представлява броя на заетите канали, чийто закон на разпределение има вида

	стр 0	стр 1	стр 2		стр n-1

Къде p = p п +стр n+1 +...+ стр n+1+…. Но тъй като събитието, че всички n канала са заети, е противоположно на събитието, че не всички n канала са заети, и вероятността последно събитиеравно на

стр 0 +стр 1 +стр 2 +...+ стр n-1, Това p = 1 - (стр 0 +стр 1 +стр 2 +...+ стр n-1) .

Но тогава от (11) получаваме:

Използвайки формули (11) и (13), получаваме формула за средния брой приложения в системата:

Нека изведем формула за средното време на изчакване на заявка в опашката. Това ще зависи от даденото средно време, ограничаващо продължителността на престоя на приложението в опашката, за което или

или ще има естествено число i > 2 така че

Умножавайки неравенствата (14) и (15) по, получаваме съответно неравенствата

Нека разгледаме случай (14) и непоследователни хипотези, състоящи се във факта, че системата е в състояние. Вероятности на тези хипотези

Ако заявлението е получено от CMO под хипотеза.д. когато системата е в едно от състоянията, във всяко от които не всички канали са заети, тогава заявката няма да трябва да чака в опашката - тя веднага ще попадне в услугата на безплатния канал. Следователно условното математическо очакване на случайната стойност на времето за изчакване на приложение в опашката при хипотезата, което е средното време на изчакване на приложението в опашката при хипотезата, е равно на нула:

Ако приложението влезе в системата под хипотеза.д. когато QS е в едно от състоянията, в които всичко п к-пприложения (ако до= пняма приложения в опашката), тогава средното време за освобождаване на едно от пзаетите канали са равни, а средното време за обслужване к-пприложения, стоящи на опашката преди приложението, получено в системата, е равно на Следователно, средното време, необходимо на опашката за обслужване на входящо приложение, е равно на.

По този начин средното време, необходимо за приемане за обслужване на получена заявка в системата, е по-голямо от времето, ограничаващо престоя на приложението в опашката. Следователно полученото приложение ще се забави в опашката за средно време и ще остави системата необслужена. Следователно, условното математическо очакване на стойността при хипотезата

Сега разгледайте същите хипотези в случай (15). В този случай са валидни и равенства (16).

Ако приложение влезе в системата при една от хипотезите, т.е. когато QS е в едно от състоянията, в които всички пканалите са заети и вече има опашки пред получената заявка к-пприложения (ако до- n няма заявки в опашката), тогава, точно както в случай (14), средното време, необходимо за реда на тази заявка да дойде в услуга, е равно на ограничаващия престой на заявката. Така по някакъв начин, поради лявото неравенство (15),

По този начин средното време, необходимо за приложение, което влиза в системата, за да бъде прието за обслужване, не е повече от средното време, ограничаващо престоя на приложението в опашката. Следователно полученото приложение няма да напусне опашката и ще чака да бъде прието за обслужване, прекарвайки средното време в чакане на опашката. Следователно условното математическо очакване на случайната променлива T och при хипотезата

Нека сега приложението влезе в системата под една от хипотезите Н ю k = n+i-когато QS беше в едно от състоянията..., в което всичко пканалите са заети и вече са на опашка к-пприложения. Тъй като това е от неравенство (15):

и следователно входящото приложение ще се забави в опашката за средно време. Следователно условното математическо очакване на случайната променлива T och при хипотезата

Използвайки формулата за общото математическо очакване, получаваме:

В случай (15) полученото приложение ще бъде прието за обслужване, ако само в момента на получаването му QS е в едно от състоянията, тогава вероятността приложението да бъде обслужено е

Когато / = 1, формула (25) се превръща в (24), така че за вероятността за обслужване можем да напишем една формула:

Като знаете вероятността за обслужване, можете да изчислите вероятността заявка да остави опашката необслужена:

Средното време, през което едно приложение остава в системата, може да се изчисли по формулата

където е средното време за обслужване на едно приложение, отнасящо се до всички приложения, както обслужени, така и тези, които са напуснали опашката, което може да се изчисли с помощта на формулата

6. Построяване и анализ на модел на системи за масово обслужване

Нека разгледаме практически проблем за използване на QS без ограничение на дължината на опашката, но с ограничение на времето за чакане в опашката.

За да се увеличи обхватът на директните полети, самолетите се презареждат във въздуха. В зоната за зареждане постоянно дежурят два самолета за зареждане. Зареждането с гориво на един самолет продължава средно около 10 минути. Ако и двата самолета за зареждане са заети, тогава самолетът, нуждаещ се от зареждане, може да „изчака“ (да лети в кръг в зоната за зареждане) за известно време. Средното време за изчакване е 20 минути. Самолетът, който няма търпение да зареди гориво, е принуден да кацне на алтернативно летище. Интензивността на полетите е такава, че средно 12 самолета пристигат в зоната за зареждане на всеки 1 час. Определете:

Вероятността самолетът да бъде зареден с гориво.

Среден брой заети зареждачи.

Среден брой самолети в опашка.

Среден брой самолети в експлоатация.

Необходимо е да се изчислят основните характеристики на ефективността на тази QS, при условие че са посочени следните входни параметри:

• · брой канали за обслужване;
• · интензивност на входящия поток заявления;
• · интензивност на обслужващия поток;
• · средно време, ограничаващо престоя на приложенията в опашката.

Въпросният QS е многоканална системаопашка без ограничение на дължината на опашката, но с ограничение на времето за чакане. Уточняват се броят на каналите, интензивността на входящия поток от заявки, интензивността на обслужващия поток и броя на местата в опашката.

В този QS всеки канал обслужва по една заявка всеки път. Ако в момента на получаване на нова заявка поне един канал е свободен, тогава входящата заявка се получава за обслужване, ако няма заявки, системата е неактивна.

Нека да определим какво се случва, когато до момента на получаване на заявка всички канали са заети - тя се поставя на опашка и чака някой от каналите да се освободи. Ако в момента на получаване на заявление всички места в опашката са заети, то това заявление напуска системата.

Критерии за ефективността на функционирането на QS:

• · Вероятност за прекъсване на системата;
• · Вероятност от повреда на системата;
• · Относителна производителност.
• · Средно време, което едно приложение прекарва в опашката.

Тази система е моделирана като многоканален QS с „нетърпеливи“ заявки.

Системни параметри:

брой обслужващи канали n=2;

интензивност на входящия поток от приложения = 12 (самолети на час);

интензивност на потока от услуги µ = 6(самолети на час);

средното време, ограничаващо престоя на приложение в опашката, следователно, интензивността на потока от заминаващи = 1/= 3 (самолет) на час.

Изчисленията са направени с помощта на програма, разработена на Turbo Pascal. Езикът Turbo-Pascal е един от най-разпространените езици за компютърно програмиране. Важни предимства на езика Turbo-Pascal включват малкия размер на компилатора, висока скоростпревод, компилация и асемблиране на програми. В допълнение, удобството и високо качестводизайн на диалогова обвивка, правят програмите за писане и отстраняване на грешки по-удобни в сравнение с алтернативните езици от ново поколение.

За да се анализира работата на QS, е необходимо да се проучи поведението на тази система за различни входни параметри.

В първата версия l=12, µ=6, n=3, брой канали n=2.

Във втория вариант l=12, µ=6, n=3, брой канали n=3.

В третия вариант l=12, µ=6, n=4, брой канали n=2.

Всички резултати от изчисленията са дадени в Приложение 2.

В резултат на анализа на получените данни (Приложение 2) бяха направени следните изводи.

С увеличаването на броя на каналите вероятността от прекъсване на системата и вероятността от зареждане с гориво се увеличава с 50%.

При промяна само на времето, прекарано на заявката в опашката, без увеличаване на броя на каналите, интензивността на потока от заминавания се промени, в резултат на това броят на обслужваните самолети и броят на самолетите в опашката намаляха.

Според мен е необходимо да се набират и обучават допълнително обслужващ персонал, за да се увеличи интензивността на потока от заминаващи, тогава ще се изразходва по-малко време за престой на зареждащите с гориво и няма да има нужда от допълнителен канал.

Въпреки че при избора на най-оптималните параметри, при които функционирането на здравната услуга ще бъде най-ефективно, е необходимо да се вземат предвид и техническите и икономическите фактори, тъй като придобиването на допълнителен канал за обслужване или промяна в интензитета на потока от грижи изисква определени материални разходи и разходи за обучение на персонала.

1. Едноканален QS с изчакване и ограничение на дължината на опашката.На практика едноканалните доставчици на медицински услуги с опашка са доста често срещани (лекар, обслужващ пациенти; касиер, който издава заплати). В теорията на масовото обслужване едноканалните QS с опашка също заемат специално място: повечето от аналитичните формули, получени досега за немарковски системи, принадлежат към такива QS.

Нека разгледаме едноканален QS, чийто вход получава най-простия поток от заявки с интензитет λ . Да приемем, че потокът от услуги също е най-простият с интензивност μ . Това означава, че непрекъснато зает канал обслужва средно μ приложения за единица време. Заявка, получена от QS в момент, когато каналът е зает, за разлика от QS с повреди, не напуска системата, а се поставя на опашка и чака обслужване.

Освен това приемаме, че в тази система има ограничение за дължината на опашката, което означава максималния брой места в опашката, а именно приемаме, че може да има максимум м≥1 приложения. Следователно приложение, което пристига на входа на QS, в момента, в който вече има хора на опашката мзаявки, се отхвърля и оставя системата необслужена.

По този начин разглежданата QS принадлежи към системи от смесен тип с ограничение на дължината на опашката.

Нека номерираме състоянията на QS според броя на приложенията в системата, т.е. в услуга и на опашка:

С 0 – каналът е свободен (следователно няма опашка);

С 1 – каналът е зает и няма опашка, т.е. има едно приложение (в процес на обслужване) в CMO;

С 2 – каналът е зает и има една заявка в опашката;

……………………………………………………..

С м +1 – каналът е зает и в опашка мприложения.

Графиката на състоянието на този QS е показана на фиг. 6 и съвпада с графиката, описваща процеса на смърт и размножаване, с тази разлика, че ако има само един обслужващ канал, интензитетите на всички обслужващи потоци са еднакви μ .

ориз. 6. Диаграма на състоянието в едноканална система с опашка

За да опишете ограничителния режим на работа на QS, можете да използвате посочените правила и формули. Нека веднага запишем изразите, които определят граничните вероятности на състоянията:

Къде ρ = λ/μ – интензивност на натоварване на канала.

Ако λ = μ , тогава получаваме .

Нека сега
. Израз за стр 0 възможно в в този случайПо-лесно е да се пише, като се използва фактът, че знаменателят съдържа сумата м+ 2 членове геометрична прогресиясъс знаменател ρ :

.

Имайте предвид, че когато м= 0 Преминаваме към вече разгледания едноканален QS с неуспехи. В този случай.

Нека определим основните характеристики на едноканален QS с чакане: относителна и абсолютна пропускателна способност, вероятност за повреда, както и средната дължина на опашката и средното време на изчакване за приложение в опашката.

Заявление, получено на входа на QS, се отхвърля тогава и само ако каналът е зает и чака в опашката. мприложения, т.е. когато системата е в състояние С м +1 . Следователно вероятността от повреда се определя от вероятността за възникване на състоянието С м +1 :

Относителната производителност или делът на обслужените заявки, пристигащи за единица време, се определя от израза:

Имайте предвид, че относителната производителност Qсъвпада със средния дял на приетите (т.е. неотхвърлени) заявления в системата сред всички получени, тъй като приложение, което попадне в опашката, със сигурност ще бъде обслужено.

Абсолютна производителност на системата

.

Среден брой приложения Л много добреопашка за услуга се дефинира като математическо очакване на дискретна случайна променлива к– брой заявки на опашка:

.

Случайна променлива кприема стойности 0, 1, 2, …, м, чиито вероятности се определят от вероятностите на състоянията на системата стр к . По този начин законът за разпределение на дискретна случайна променлива кима следната форма:

Следователно, като дефинираме математическото очакване на дискретна случайна променлива (като вземем предвид формулите за вероятностите на състоянието), получаваме:

(16)

Да приемем, че ρ ≠ 1 . Очевидно имаме:

Но сумата е сумата от първото мчленове на геометричната прогресия

. (17)

Замествайки израз (17) в (16), намираме:

или, използвайки равенство
(получен с ρ ≠ 1 ), имаме

Ако ρ = 1 , тогава от равенството (16)
и предвид, че в случая
И
(сума мтермини на аритметична прогресия), най-накрая получаваме

.

След това средният брой приложения в опашката

(18)

Важна характеристика на QS с изчакване е средното време на изчакване за приложение в опашката
. Нека Т много добре – непрекъсната случайна променлива, представляваща времето за изчакване на приложение в опашката. Ние изчисляваме средното време на изчакване за приложение в опашката като математическо очакване на тази случайна променлива:

.

За да изчислим математическото очакване, използваме формулата за общото математическо очакване: ако можем да направим за условията на експеримента п(по двойки) непоследователни хипотези
тогава общото математическо очакване на случайната променлива Xможе да се изчисли с помощта на формулата

Къде М (X | з к ) – условно математическо очакване на стойността Xпод хипотеза з к .

Нека помислим м+ 2 непоследователни хипотези з к , к= 0,1,..., м+ 1 , състоящ се в това, че QS е съответно в щат С к , к= 0,1,..., м+ 1 . Вероятности на тези хипотези стр (з к ) = стр к , к= 0,1,..., м+1 .

Ако приложението пристигне в QS при хипотезата з 0 С 0 , в който каналът е свободен, тогава заявката няма да трябва да стои на опашка и следователно условното математическо очакване М (
| з 0 ) случайна променлива
под хипотеза з 0 , съвпадащо със средното време за чакане на заявка на опашката по хипотезата з 0 , е равно на нула.

За заявка, получена от QS по хипотез з 1 , т.е. когато QS е в състояние С 1 , в който каналът е зает, но няма опашка, условно математическо очакване М (
| з 1 ) случайна променлива
под хипотеза з 1 , съвпадащо със средното време за чакане на заявка на опашката по хипотезата з 1 , ще бъде равно на средното време за обслужване на една заявка
.

Условно математическо очакване М (
| з 2 ) случайна променлива
под хипотеза з 2 , т.е. при условие че заявлението е получено от CMO в щата С 2 , в който каналът е зает и една заявка вече чака в опашката, е равно на 2/ μ (удвоете средното време за обслужване, тъй като трябва да бъдат обслужени две заявки: тази в канала за обслужване и тази, чакаща в опашката). И т.н.

Ако приложение влезе в системата под хипотезата з м, т.е. когато каналът е зает и чакат на опашка м− 1 приложения, тогава М (
| з м).

И накрая, приложението, което дойде в QS при хипотезата з м +1 , т.е. когато каналът е зает, мприложенията са на опашка и няма повече свободни места в опашката, получава отказ и напуска системата. Следователно в този случай М (
| з м +1 ) = 0.

Следователно, според формулата за общото математическо очакване, средното време на чакане на заявка на опашката е

Замествайки тук изразите за вероятностите стр к (к=1,2,...,м), получаваме:
(19)

Ако интензитетът на натоварване на канала ρ ≠ 1 , след това от равенство (19), като се вземат предвид формули (17), (18), както и изразът за стр 0 намираме:

Ако ρ = 1 , след което заместваме в равенство (19) израза стр 0 = 1/(м+2), стойност на сумата
, използвайки формула (18) с ρ = 1 и като се има предвид, че в случая μ = λ , ще имаме

И така, за всяко ρ получаваме формула за средното време, през което едно приложение остава в опашката, което се нарича формула на Литъл:
тези. средно време за изчакване на приложение на опашка
равен на средния брой приложения в опашката Л много добре, разделени по интензитет λ входящ поток от заявки .

Пример.На бензиностанция (бензиностанция) има една помпа. Зоната на гарата, където колите чакат за зареждане, може да побере не повече от три коли наведнъж, ако е заета, тогава следващата кола, пристигаща на гарата, не се нарежда на опашка, а отива до съседната бензиностанция. Средно колите пристигат на гарата на всеки 2 минути. Процесът на зареждане с гориво на една кола продължава средно 2,5 минути. Определете основните характеристики на системата.

Решение.Математическият модел на тази бензиностанция е едноканален QS с изчакване и ограничение на дължината на опашката ( м= 3). Предполага се, че потокът от автомобили, приближаващи бензиностанцията за зареждане с гориво, и потокът от услуги са прости.

Тъй като автомобилите пристигат средно на всеки 2 минути, интензитетът на входящия поток е равен на λ =1/2 = 0,5 (машини в минута). Средно време за обслужване на машина
= 2,5 минути, следователно интензитетът на сервизния поток μ =1/2,5 = 0,4 (коли в минута).

Ние определяме интензивността на натоварване на канала: ρ = λ/ μ = 0,5/0,4 = 1,25.

Изчисляване на вероятността от повреда
откъде идва относителната честотна лента? и абсолютна производителност А= λ Q≈ 0,5⋅0,703 ≈ 0,352.

Среден брой автомобили, чакащи на опашка за бензиностанция

Намираме средното време за чакане на кола на опашка, използвайки формулата на Литъл
= Л много добре/λ ≈1,559/0,5 = 3,118.

Така от анализа на работата на QS следва, че на всеки 100 приближаващи се коли 30 са отказани ( П отворен≈ 29,7%), т.е. 2/3 от приложенията се обслужват. Следователно е необходимо или да се намали времето за обслужване на една машина (да се увеличи интензивността на сервизния поток), или да се увеличи броят на помпите, или да се увеличи зоната на изчакване.