Уравнение на допирателната към графиката на функция

П. Романов, Т. Романова,
Магнитогорск,
Челябинска област

Уравнение на допирателната към графиката на функция

Статията е публикувана с подкрепата на Хотелски комплекс ИТАКА+. Когато останете в града на корабостроителите Северодвинск, няма да срещнете проблема с намирането на временно жилище. , на уебсайта на хотелски комплекс "ИТАКА+" http://itakaplus.ru можете лесно и бързо да наемете апартамент в града, за всеки период, с ежедневно плащане.

включено модерен етапразвитие на образованието, една от основните му задачи е формирането на творчески мислеща личност. Способността за творчество при учениците може да се развие само ако те систематично се занимават с основите на изследователската дейност. Основата на учениците да използват своите творчески сили, способности и таланти са формираните пълноценни знания и умения. В тази връзка проблемът за формиране на система от основни знания и умения за всяка тема от училищния курс по математика е не малко важен. В същото време пълноценните умения не трябва да бъдат дидактическа цел индивидуални задачи, но тяхната внимателно обмислена система. В най-широк смисъл системата се разбира като набор от взаимосвързани взаимодействащи елементи, които имат цялост и стабилна структура.

Нека разгледаме техника за обучение на учениците как да напишат уравнение за допирателна към графиката на функция. По същество всички проблеми за намиране на уравнението на допирателната се свеждат до необходимостта да се изберат от набор (пакет, семейство) линии тези, които отговарят на определено изискване - те са допирателни към графиката на определена функция. В този случай наборът от редове, от които се извършва изборът, може да бъде определен по два начина:

а) точка, лежаща на равнината xOy (централен молив от прави);
б) ъглов коефициент (успореден лъч от прави линии).

В тази връзка, когато изучавахме темата „Допирателна към графиката на функция“, за да изолираме елементите на системата, идентифицирахме два вида проблеми:

1) задачи за допирателна, зададена от точката, през която минава;
2) задачи за допирателна, зададена от нейния наклон.

Обучението за решаване на допирателни задачи се проведе по алгоритъма, предложен от A.G. Мордкович. Основната му разлика от вече известните е, че абсцисата на допирателната се обозначава с буквата a (вместо x0), поради което уравнението на допирателната има формата

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(сравнете с y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Това методическа техника, според нас, позволява на учениците бързо и лесно да разберат къде в общото уравнение на допирателната са записани координатите на текущата точка и къде са допирателните точки.

Алгоритъм за съставяне на уравнението на допирателната към графиката на функцията y = f(x)

1. Означете абсцисата на допирателната точка с буквата a.
2. Намерете f(a).
3. Намерете f "(x) и f "(a).
4. Заместете намерените числа a, f(a), f "(a) в общо уравнениедопирателна y = f(a) = f "(a)(x – a).

Този алгоритъм може да бъде съставен въз основа на независимото идентифициране на операциите от учениците и последователността на тяхното изпълнение.

Практиката показва, че последователното решаване на всеки от ключовите проблеми с помощта на алгоритъм ви позволява да развиете умения за писане на уравнението на допирателната към графиката на функция на етапи, а стъпките на алгоритъма служат като отправни точки за действия . Този подход съответства на теорията за постепенното формиране на умствените действия, разработена от П.Я. Галперин и Н.Ф. Тализина.

В първия тип задачи бяха идентифицирани две ключови задачи:

• допирателната минава през точка, лежаща на кривата (задача 1);
• допирателната минава през точка, която не лежи на кривата (задача 2).

Задача 1. Напишете уравнение за допирателната към графиката на функцията в точка M(3; – 2).

Решение. Точка M(3; – 2) е допирателна точка, тъй като

1. a = 3 – абсцисата на допирателната точка.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение на допирателната.

Задача 2. Напишете уравненията на всички допирателни към графиката на функцията y = – x 2 – 4x + 2, минаващи през точката M(– 3; 6).

Решение. Точка M(– 3; 6) не е допирателна точка, тъй като f(– 3) 6 (фиг. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение на допирателната.

Допирателната минава през точката M(– 3; 6), следователно нейните координати удовлетворяват уравнението на допирателната.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Ако a = – 4, тогава уравнението на допирателната е y = 4x + 18.

Ако a = – 2, тогава уравнението на допирателната има формата y = 6.

Във втория тип основните задачи ще бъдат следните:

• допирателната е успоредна на права (задача 3);
• допирателната минава под определен ъгъл спрямо дадената права (задача 4).

Задача 3. Напишете уравненията на всички допирателни към графиката на функцията y = x 3 – 3x 2 + 3, успоредна на правата y = 9x + 1.

Решение.

1. a – абсцисата на допирателната точка.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Но, от друга страна, f "(a) = 9 (условие за паралелност). Това означава, че трябва да решим уравнението 3a 2 – 6a = 9. Корените му са a = – 1, a = 3 (фиг. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – уравнение на допирателната;

1) а = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – уравнение на допирателната.

Задача 4. Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията y = 0,5x 2 – 3x + 1, минаваща под ъгъл 45° спрямо правата y = 0 (фиг. 4).

Решение. От условието f "(a) = tan 45° намираме a: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – абсцисата на допирателната точка.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – уравнение на допирателната.

Лесно е да се покаже, че решението на всеки друг проблем се свежда до решаването на един или повече ключови проблеми. Разгледайте следните два проблема като пример.

1. Напишете уравненията на допирателните към параболата y = 2x 2 – 5x – 2, ако допирателните се пресичат под прав ъгъл и едната от тях докосва параболата в точката с абциса 3 (фиг. 5).

Решение. Тъй като е дадена абсцисата на допирателната точка, първата част от решението се свежда до ключова задача 1.

1. a = 3 – абсцисата на допирателната точка на една от страните на правия ъгъл.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение на първата допирателна.

Нека a – ъгъл на наклон на първата допирателна. Тъй като допирателните са перпендикулярни, тогава е ъгълът на наклон на втората допирателна. От уравнението y = 7x – 20 на първата допирателна имаме tg a = 7. Да намерим

Това означава, че наклонът на втората допирателна е равен на .

По-нататъшното решение се свежда до ключова задача 3.

Тогава нека B(c; f(c)) е точката на допиране на втората права

1. – абсцисата на втората точка на допир.
2.
3.
4.
– уравнение на втората допирателна.

Забележка. Ъгловият коефициент на тангентата може да се намери по-лесно, ако учениците знаят отношението на коефициентите на перпендикулярните прави k 1 k 2 = – 1.

2. Напишете уравненията на всички общи допирателни към графиките на функциите

Решение. Задачата се свежда до намиране на абсцисата на допирателните точки на общи допирателни, тоест решаване на ключова задача 1 в общ вид, съставяне на система от уравнения и след това нейното решаване (фиг. 6).

1. Нека a е абсцисата на допирателната точка, лежаща върху графиката на функцията y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Нека c е абсцисата на допирателната точка върху графиката на функцията
2.
3. f "(c) = c.
4.

Тъй като допирателните са общи, тогава

Така че y = x + 1 и y = – 3x – 3 са общи тангенти.

Основната цел на разглежданите задачи е да подготвят учениците самостоятелно да разпознават вида на ключовия проблем при решаване на по-сложни проблеми, изискващи определени изследователски умения (способност за анализ, сравнение, обобщение, излагане на хипотеза и др.). Такива задачи включват всяка задача, в която ключовата задача е включена като компонент. Нека разгледаме като пример задачата (обратна на задача 1) за намиране на функция от семейството на нейните допирателни.

3. За какво b и c правите y = x и y = – 2x са допирателни към графиката на функцията y = x 2 + bx + c?

Решение.

Нека t е абсцисата на точката на допиране на правата линия y = x с параболата y = x 2 + bx + c; p е абсцисата на точката на допиране на правата y = – 2x с параболата y = x 2 + bx + c. Тогава уравнението на допирателната y = x ще приеме формата y = (2t + b)x + c – t 2 , а уравнението на допирателната y = – 2x ще приеме формата y = (2p + b)x + c – p 2 .

Нека съставим и решим система от уравнения

отговор:

Проблеми за самостоятелно решаване

1. Напишете уравненията на допирателните, начертани към графиката на функцията y = 2x 2 – 4x + 3 в точките на пресичане на графиката с правата y = x + 3.

Отговор: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. За какви стойности на a допирателната, начертана към графиката на функцията y = x 2 – ax в точката на графиката с абсцисата x 0 = 1, минава през точката M(2; 3)?

Отговор: a = 0,5.

3. За какви стойности на p правата линия y = px – 5 докосва кривата y = 3x 2 – 4x – 2?

Отговор: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Намерете всички общи точки на графиката на функцията y = 3x – x 3 и допирателната, прекарана към тази графика през точката P(0; 16).

Отговор: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Намерете най-късото разстояние между параболата y = x 2 + 6x + 10 и правата линия

отговор:

6. На кривата y = x 2 – x + 1 намерете точката, в която допирателната към графиката е успоредна на правата y – 3x + 1 = 0.

Отговор: M(2; 3).

7. Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията y = x 2 + 2x – | 4x |, която го докосва в две точки. Направете рисунка.

Отговор: y = 2x – 4.

8. Докажете, че правата y = 2x – 1 не пресича кривата y = x 4 + 3x 2 + 2x. Намерете разстоянието между най-близките им точки.

отговор:

9. На параболата y = x 2 са взети две точки с абсцисите x 1 = 1, x 2 = 3. През тези точки се прекарва секанс. В коя точка на параболата допирателната към нея ще бъде успоредна на секущата? Напишете уравненията на секанса и тангенса.

Отговор: y = 4x – 3 – секущо уравнение; y = 4x – 4 – уравнение на допирателната.

10. Намерете ъгъл q между допирателните към графиката на функцията y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, начертана в точките с абсцисите 0 и 1.

Отговор: q = 45°.

11. В кои точки допирателната към графиката на функцията сключва с оста Ox ъгъл 135°?

Отговор: A(0; – 1), B(4; 3).

12. В точка A(1; 8) към кривата начертана е допирателна. Намерете дължината на допирателната отсечка между координатните оси.

отговор:

13. Напишете уравнението на всички общи допирателни към графиките на функциите y = x 2 – x + 1 и y = 2x 2 – x + 0,5.

Отговор: y = – 3x и y = x.

14. Намерете разстоянието между допирателните към графиката на функцията успоредна на оста x.

отговор:

15. Определете под какви ъгли параболата y = x 2 + 2x – 8 пресича оста x.

Отговор: q 1 = арктан 6, q 2 = арктан (– 6).

16. Функционална графика намерете всички точки, допирателната във всяка от които към тази графика пресича положителните полуоси на координатите, отрязвайки равни сегменти от тях.

Отговор: A(– 3; 11).

17. Правата y = 2x + 7 и параболата y = x 2 – 1 се пресичат в точки M и N. Намерете пресечната точка K на правите, допирателни към параболата в точки M и N.

Отговор: K(1; – 9).

18. За какви стойности на b правата y = 9x + b е допирателна към графиката на функцията y = x 3 – 3x + 15?

Отговор: – 1; 31.

19. За какви стойности на k правата y = kx – 10 има само една обща точка с графиката на функцията y = 2x 2 + 3x – 2? За намерените стойности на k определете координатите на точката.

Отговор: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. При какви стойности на b допирателната, начертана към графиката на функцията y = bx 3 – 2x 2 – 4 в точката с абсцисата x 0 = 2, минава през точката M(1; 8)?

Отговор: b = – 3.

21. Парабола с връх на оста Ox докосва правата, минаваща през точки A(1; 2) и B(2; 4) в точка B. Намерете уравнението на параболата.

отговор:

22. При каква стойност на коефициента k параболата y = x 2 + kx + 1 докосва оста Ox?

Отговор: k = d 2.

23. Намерете ъглите между правата линия y = x + 2 и кривата y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Намерете разстоянието между допирателните към графиката на функцията и образуващите с положителна посока на оста Ox под ъгъл 45°.

отговор:

30. Намерете геометричното място на върховете на всички параболи от вида y = x 2 + ax + b, допирателни към правата y = 4x – 1.

Отговор: права линия y = 4x + 3.

Литература

1. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебра и начало на анализа: 3600 задачи за ученици и постъпващи в университети. – М., Дропла, 1999.
2. Мордкович А. Семинар 4 за млади учители. Тема: Производни приложения. – М., “Математика”, № 21/94.
3. Формиране на знания и умения, основани на теорията за постепенното усвояване на умствените действия.

/ Ед. П.Я. Галперина, Н.Ф. Тализина.

– М., Московски държавен университет, 1968.

Статията предоставя подробно обяснение на дефинициите, геометричното значение на производната с графични означения. Уравнението на допирателна ще бъде разгледано с примери, ще бъдат намерени уравненията на допирателна към криви от 2-ри ред.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Ъгълът на наклона на правата линия y = k x + b се нарича ъгъл α, който се измерва от положителната посока на оста x към правата линия y = k x + b в положителната посока.

На фигурата посоката x е обозначена със зелена стрелка и зелена дъга, а ъгълът на наклона с червена дъга. Синята линия се отнася за правата линия.

Определение 2

• Наклонът на правата линия y = k x + b се нарича числов коефициент k.
• Ъгловият коефициент е равен на тангенса на правата линия, с други думи k = t g α.< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >Ъгълът на наклона на права линия е равен на 0 само ако е успоредна на x и наклонът е равен на нула, тъй като тангенсът на нулата е равен на 0. Това означава, че формата на уравнението ще бъде y = b.
• Ако ъгълът на наклона на правата линия y = k x + b е остър, тогава условията 0 са изпълнени
• 0 и има увеличение в графиката.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Ако α = π 2, тогава местоположението на правата е перпендикулярно на x. Равенството се определя от x = c, като стойността c е реално число.

Ако ъгълът на наклона на правата линия y = k x + b е тъп, тогава той съответства на условията π 2

Определение 3

Секансът е права, която минава през 2 точки на функцията f (x). С други думи, секансът е права линия, която се прекарва през произволни две точки от графиката на дадена функция.

Фигурата показва, че A B е секанс, а f (x) е черна крива, α е червена дъга, показваща ъгъла на наклон на секанса.

Когато ъгловият коефициент на права линия е равен на тангенса на ъгъла на наклона, ясно е, че тангенса на правоъгълен триъгълник A B C може да се намери чрез съотношението на срещуположната страна към съседната.

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, където абсцисите на точки A и B са стойностите x A, x B и f (x A), f (x B) са функциите на стойностите в тези точки.

Очевидно ъгловият коефициент на секанса се определя с помощта на равенството k = f (x B) - f (x A) x B - x A или k = f (x A) - f (x B) x A - x B и уравнението трябва да бъде написано като y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) или
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Секансът разделя графиката визуално на 3 части: вляво от точка A, от A до B, вдясно от B. Фигурата по-долу показва, че има три секанса, които се считат за съвпадащи, т.е. те са зададени с помощта на подобно уравнение.

По дефиниция е ясно, че права линия и нейният секанс в в този случаймач.

Секансът може да пресича графиката на дадена функция многократно. Ако има уравнение от вида y = 0 за секанс, тогава броят на точките на пресичане със синусоидата е безкраен.

Определение 5

Допирателна към графиката на функцията f (x) в точка x 0 ; f (x 0) е права линия, минаваща през дадена точка x 0; f (x 0), с наличието на сегмент, който има много x стойности, близки до x 0.

Пример 1

Нека разгледаме по-отблизо примера по-долу. Тогава е ясно, че правата, определена от функцията y = x + 1, се счита за допирателна към y = 2 x в точката с координати (1; 2). За по-голяма яснота е необходимо да се разгледат графики със стойности, близки до (1; 2). Функцията y = 2 x е показана в черно, синята линия е допирателната, а червената точка е пресечната точка.

Очевидно y = 2 x се слива с правата y = x + 1.

За да определим допирателната, трябва да разгледаме поведението на допирателната A B, когато точка B се приближава безкрайно до точка A. За по-голяма яснота представяме чертеж.

Секущата A B, обозначена със синята линия, клони към позицията на самата допирателна, а ъгълът на наклон на секущата α ще започне да клони към ъгъла на наклон на самата допирателна α x.

Определение 6

Допирателната към графиката на функцията y = f (x) в точка A се счита за гранична позиция на секанса A B, когато B клони към A, т.е. B → A.

Сега нека преминем към разглеждане на геометричния смисъл на производната на функция в точка.

Нека преминем към разглеждане на секанса A B за функцията f (x), където A и B с координати x 0, f (x 0) и x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), а ∆ x е се обозначава като нарастване на аргумента. Сега функцията ще приеме формата ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . За по-голяма яснота нека дадем пример за чертеж.

Нека разгледаме полученото правоъгълен триъгълник A B C. Използваме определението за тангенс за решаване, т.е. получаваме връзката ∆ y ∆ x = t g α . От определението за допирателна следва, че lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Съгласно правилото за производната в точка имаме, че производната f (x) в точката x 0 се нарича граница на съотношението на увеличението на функцията към увеличението на аргумента, където ∆ x → 0 , тогава го означаваме като f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

От това следва, че f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, където k x е означено като наклон на допирателната.

Тоест получаваме, че f ’ (x) може да съществува в точката x 0 и като допирателната към даден графикфункция в точката на допирателна, равна на x 0, f 0 (x 0), където стойността на наклона на допирателната в точката е равна на производната в точката x 0. Тогава получаваме, че k x = f " (x 0) .

Геометрично значениепроизводна на функция в точка е, че е дадена концепцията за съществуването на допирателна към графиката в същата точка.

За да напишете уравнението на която и да е права линия в равнина, е необходимо да имате ъглов коефициент с точката, през която тя минава. Неговото обозначение се приема като x 0 при пресичане.

Уравнението на допирателната към графиката на функцията y = f (x) в точката x 0, f 0 (x 0) приема формата y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Това означава, че крайната стойност на производната f "(x 0) може да определи позицията на допирателната, тоест вертикално, при условие че lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ и lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ или изобщо отсъствие при условието lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Местоположението на допирателната зависи от стойността на нейния ъглов коефициент k x = f "(x 0). Когато е успоредна на оста o x, получаваме, че k k = 0, когато е успоредна на o y - k x = ∞, и формата на допирателното уравнение x = x 0 нараства с k x > 0, намалява с k x< 0 .

Пример 2

Съставете уравнение за допирателната към графиката на функцията y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 в точката с координати (1; 3) и определете ъгъла на наклона.

Решение

По условие имаме, че функцията е дефинирана за всички реални числа. Откриваме, че точката с координати, зададени от условието, (1; 3) е точка на допиране, тогава x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Необходимо е да се намери производната в точката със стойност - 1. Разбираме това

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Стойността на f' (x) в точката на допирателна е наклонът на тангентата, който е равен на тангенса на наклона.

Тогава k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

От това следва, че α x = a r c t g 3 3 = π 6

отговор:уравнението на допирателната приема формата

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

За по-голяма яснота даваме пример в графична илюстрация.

Черният цвят се използва за графиката на оригиналната функция, синьо– изображение на допирателна, червена точка – точка на допиране. Фигурата вдясно показва увеличен изглед.

Пример 3

Установете съществуването на допирателна към графиката на дадена функция
y = 3 · x - 1 5 + 1 в точката с координати (1 ; 1) . Напишете уравнение и определете ъгъла на наклона.

Решение

По условие имаме, че домейнът на дефиниция на дадена функция се счита за набор от всички реални числа.

Нека да преминем към намирането на производната

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Ако x 0 = 1, тогава f' (x) е недефинирано, но границите са записани като lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ и lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , което означава, че съществуваща вертикална допирателна в точка (1; 1).

отговор:уравнението ще приеме формата x = 1, където ъгълът на наклон ще бъде равен на π 2.

За по-голяма яснота нека го изобразим графично.

Пример 4

Намерете точките върху графиката на функцията y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, където

1. Няма допирателна;
2. Допирателната е успоредна на x;
3. Допирателната е успоредна на правата y = 8 5 x + 4.

Решение

Необходимо е да се обърне внимание на обхвата на дефиницията. По условие имаме, че функцията е дефинирана върху множеството от всички реални числа. Разширяваме модула и решаваме системата с интервали x ∈ - ∞ ; 2 и [-2; + ∞). Разбираме това

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Необходимо е да се разграничи функцията. Ние имаме това

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 ", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Когато x = − 2, тогава производната не съществува, тъй като едностранните граници не са равни в тази точка:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Изчисляваме стойността на функцията в точката x = - 2, където получаваме това

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, тоест допирателната в точката ( - 2; - 2) няма да съществува.
2. Допирателната е успоредна на x, когато наклонът е нула. Тогава k x = t g α x = f "(x 0). Това означава, че е необходимо да се намерят стойностите на такъв x, когато производната на функцията го превръща в нула. Тоест стойностите на f ' (x) ще бъдат точките на допиране, където допирателната е успоредна на x.

Когато x ∈ - ∞ ; - 2, тогава - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 и за x ∈ (- 2; + ∞) получаваме 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Изчислете стойностите на съответните функции

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Следователно - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 се считат за търсените точки от графиката на функцията.

Нека да разгледаме графично представяне на решението.

Черната линия е графиката на функцията, червените точки са точките на допир.

1. Когато линиите са успоредни, ъгловите коефициенти са равни. След това трябва да потърсите точки на графиката на функцията, където наклонът ще бъде равен на стойността 8 5. За да направите това, трябва да решите уравнение под формата y "(x) = 8 5. Тогава, ако x ∈ - ∞; - 2, получаваме, че - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5 и ако x ∈ ( - 2 ; + ∞), тогава 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Първото уравнение няма корени, тъй като дискриминантът е по-малък от нула. Нека запишем това

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Тогава друго уравнение има два реални корена

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Нека да преминем към намиране на стойностите на функцията. Разбираме това

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Точки със стойности - 1; 4 15, 5; 8 3 са точките, в които допирателните са успоредни на правата y = 8 5 x + 4.

отговор:черна линия – графика на функцията, червена линия – графика на y = 8 5 x + 4, синя линия – допирателни в точки - 1; 4 15, 5; 8 3.

Може да има безкраен брой допирателни за дадени функции.

Пример 5

Напишете уравненията на всички налични тангенси на функцията y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, които са разположени перпендикулярно на правата линия y = - 2 x + 1 2.

Решение

За да се състави уравнението на допирателната, е необходимо да се намерят коефициентът и координатите на допирателната точка въз основа на условието за перпендикулярност на линиите. Дефиницията е следната: произведението на ъгловите коефициенти, които са перпендикулярни на прави линии, е равно на - 1, тоест записано като k x · k ⊥ = - 1. От условието имаме, че ъгловият коефициент е разположен перпендикулярно на правата и е равен на k ⊥ = - 2, тогава k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Сега трябва да намерите координатите на допирните точки. Трябва да намерите x и след това неговата стойност за дадена функция. Обърнете внимание, че от геометричния смисъл на производната в точката
x 0 получаваме, че k x = y "(x 0). От това равенство намираме стойностите на x за точките на контакт.

Разбираме това

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Това тригонометрично уравнение ще се използва за изчисляване на ординатите на допирателните точки.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk или 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk или x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z е набор от цели числа.

Намерени са x допирни точки. Сега трябва да преминете към търсене на стойностите на y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 или y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 или y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 или y 0 = - 4 5 + 1 3

От това получаваме, че 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 са точките на допир.

отговор:необходимите уравнения ще бъдат записани като

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

За визуално представяне разгледайте функция и допирателна върху координатна права.

Фигурата показва, че местоположението идват функциина интервала [ - 10 ; 10 ], където черната линия е графиката на функцията, сините линии са допирателни, които са разположени перпендикулярно на дадената права от вида y = - 2 x + 1 2. Червените точки са допирни точки.

Каноничните уравнения на криви от 2-ри ред не са еднозначни функции. Тангентните уравнения за тях се съставят по известни схеми.

Допирателна към окръжност

За определяне на окръжност с център в точка x c e n t e r ; y c e n t e r и радиус R, приложете формулата x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Това равенство може да се запише като обединение на две функции:

y = R 2 - x - x център 2 + y център y = - R 2 - x - x център 2 + y център

Първата функция се намира отгоре, а втората отдолу, както е показано на фигурата.

Да се ​​състави уравнение на окръжност в точка x 0; y 0 , който се намира в горния или долния полукръг, трябва да намерите уравнението на графиката на функция от вида y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r или y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r в посочената точка.

Когато в точки x c e n t e r ; y център + R и x център; y c e n t e r - R допирателните могат да бъдат дадени чрез уравненията y = y c e n t e r + R и y = y c e n t e r - R , и в точки x c e n t e r + R ; y c e n t e r и
x c e n t e r - R; y c e n t e r ще бъде успореден на o y, тогава получаваме уравнения от вида x = x c e n t e r + R и x = x c e n t e r - R .

Допирателна към елипса

Когато елипсата има център в x c e n t e r ; y c e n t e r с полуоси a и b, то може да се уточни с помощта на уравнението x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Елипса и кръг могат да бъдат обозначени чрез комбиниране на две функции, а именно горната и долната полуелипса. Тогава разбираме това

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Ако допирателните са разположени във върховете на елипсата, тогава те са успоредни около x или около y. По-долу, за по-голяма яснота, разгледайте фигурата.

Пример 6

Напишете уравнението на допирателната към елипсата x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 в точки със стойности на x, равни на x = 2.

Решение

Необходимо е да се намерят допирателните точки, които съответстват на стойността x = 2. Заместваме в съществуващото уравнение на елипсата и намираме това

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

След това 2; 5 3 2 + 5 и 2; - 5 3 2 + 5 са ​​допирателните точки, които принадлежат на горната и долната полуелипсата.

Нека да преминем към намирането и решаването на уравнението на елипсата по отношение на y. Разбираме това

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Очевидно горната полуелипса е определена с помощта на функция от формата y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, а долната полуелипса y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Нека приложим стандартен алгоритъм, за да създадем уравнение за допирателна към графиката на функция в точка. Нека запишем, че уравнението за първата допирателна в точка 2; 5 3 2 + 5 ще изглежда така

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Откриваме, че уравнението на втората допирателна със стойност в точката
2 ; - 5 3 2 + 5 приема формата

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Графично тангентите се означават, както следва:

Допирателна към хипербола

Когато хипербола има център в точка x c e n t e r ; y c e n t e r и върхове x c e n t e r + α ; y c e n t e r и x c e n t e r - α; y c e n t e r се изпълнява неравенството x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, ако с върхове x c e n t e r ; y център + b и x център; y c e n t e r - b , тогава се определя с помощта на неравенството x-x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Една хипербола може да бъде представена като две комбинирани функции на формата

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r или y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x център) 2 + a 2 + y център

В първия случай имаме, че допирателните са успоредни на y, а във втория са успоредни на x.

От това следва, че за да се намери уравнението на допирателната към хипербола, е необходимо да се установи на коя функция принадлежи точката на допирателна. За да се определи това, е необходимо да се замени в уравненията и да се провери за идентичност.

Пример 7

Напишете уравнение за допирателната към хиперболата x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 в точка 7; - 3 3 - 3 .

Решение

Необходимо е да се трансформира записът на решението за намиране на хипербола с помощта на 2 функции. Разбираме това

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 и y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Необходимо е да се определи към коя функция принадлежи зададена точкас координати 7; - 3 3 - 3 .

Очевидно за проверка на първата функция е необходимо y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, тогава точката не принадлежи на графиката, тъй като равенството не важи.

За втората функция имаме, че y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, което означава, че точката принадлежи на дадената графика. От тук трябва да намерите склона.

Разбираме това

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

отговор:уравнението на допирателната може да бъде представено като

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Ясно е изобразено така:

Тангента на парабола

За да създадете уравнение за допирателната към параболата y = a x 2 + b x + c в точката x 0, y (x 0), трябва да използвате стандартен алгоритъм, след което уравнението ще приеме формата y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0). Такава допирателна при върха е успоредна на x.

Трябва да дефинирате параболата x = a y 2 + b y + c като обединение на две функции. Следователно трябва да решим уравнението за y. Разбираме това

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Графично изобразен като:

За да разберете дали точка x 0, y (x 0) принадлежи на функция, продължете внимателно според стандартния алгоритъм. Такава допирателна ще бъде успоредна на o y спрямо параболата.

Пример 8

Напишете уравнението на допирателната към графиката x - 2 y 2 - 5 y + 3, когато имаме ъгъл на допирателната от 150 °.

Решение

Започваме решението, като представяме параболата като две функции. Разбираме това

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 х - 4

Стойността на наклона е равна на стойността на производната в точка x 0 на тази функция и е равна на тангенса на ъгъла на наклон.

Получаваме:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

От тук определяме стойността на x за точките на контакт.

Първата функция ще бъде написана като

y" = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Очевидно няма реални корени, тъй като получихме отрицателна стойност. Заключаваме, че за такава функция няма тангенс с ъгъл 150°.

Втората функция ще бъде написана като

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Имаме, че допирните точки са 23 4 ; - 5 + 3 4 .

отговор:уравнението на допирателната приема формата

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Нека го изобразим графично по следния начин:

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Знаете ли вече какво е дериват? Ако не, прочети първо темата. Значи казвате, че знаете производната. Нека да го проверим сега. Намерете нарастването на функцията, когато нарастването на аргумента е равно на. успяхте ли Би трябвало да работи. Сега намерете производната на функцията в точка. Отговор: . Подейства ли? Ако имате затруднения с някой от тези примери, горещо ви препоръчвам да се върнете към темата и да я проучите отново. Знам, че темата е много голяма, но иначе няма смисъл да продължаваме. Помислете за графиката на някаква функция:

Нека изберем определена точка от линията на графиката. Нека неговата абциса, тогава ординатата е равна. След това избираме точка с абсциса близо до точката; неговата ордината е:

Нека начертаем права линия през тези точки. Нарича се секанс (точно както в геометрията). Нека обозначим ъгъла на наклона на правата спрямо оста като. Както в тригонометрията, този ъгъл се измерва от положителната посока на оста x обратно на часовниковата стрелка. Какви стойности може да приеме ъгълът? Без значение как накланяте тази права линия, едната половина все още ще стърчи нагоре. Следователно максималният възможен ъгъл е , а минималният възможен ъгъл е . Означава,. Ъгълът не е включен, тъй като позицията на правата линия в този случай точно съвпада с и е по-логично да изберете по-малък ъгъл. Нека вземем точка на фигурата, така че правата линия да е успоредна на абсцисната ос и a е ординатната ос:

От фигурата може да се види, че a. Тогава съотношението на увеличенията е:

(тъй като е правоъгълна).

Нека го намалим сега. Тогава точката ще се приближи до точката. Когато стане безкрайно малко, отношението става равно на производната на функцията в точката. Какво ще стане със секанса? Точката ще бъде безкрайно близо до точката, така че те могат да се считат за една и съща точка. Но права линия, която има само една обща точка с крива, не е нищо повече от допирателна(в този случай това условие е изпълнено само в малка зона - близо до точката, но това е достатъчно). Казват, че в този случай секансът взема гранична позиция.

Нека наречем ъгъла на наклона на секанса спрямо оста. Тогава се оказва, че производната

това е производната е равна на тангенса на ъгъла на наклона на допирателната към графиката на функцията в дадена точка.

Тъй като допирателната е права, нека сега си спомним уравнението на една права:

За какво отговаря коефициентът? За наклона на правата линия. Ето как се казва: наклон. Какво означава? А фактът, че е равен на тангенса на ъгъла между правата и оста! Ето какво се случва:

Но получихме това правило, като разгледахме нарастваща функция. Какво ще се промени, ако функцията намалява? да видим:
Сега ъглите са тъпи. И нарастването на функцията е отрицателно. Нека разгледаме отново: . От другата страна,. Получаваме: , тоест всичко е както миналия път. Нека отново насочим точката към точката и секансът ще заеме гранична позиция, тоест ще се превърне в допирателна към графиката на функцията в точката. И така, нека формулираме последното правило:
Производната на функция в дадена точка е равна на тангенса на ъгъла на наклон на допирателната към графиката на функцията в тази точка или (което е същото) на наклона на тази допирателна:

Това е геометричен смисъл на производната.Добре, всичко това е интересно, но защо ни е необходимо? тук пример:
Фигурата показва графика на функция и допирателна към нея в абсцисната точка. Намерете стойността на производната на функцията в точката.
Решение.
Както наскоро разбрахме, стойността на производната в точката на допирателна е равна на наклона на тангентата, която от своя страна е равна на тангенса на ъгъла на наклона на тази допирателна към абсцисната ос: . Това означава, че за да намерим стойността на производната, трябва да намерим тангенса на допирателния ъгъл. На фигурата сме отбелязали две точки, лежащи на допирателната, чиито координати са ни известни. И така, нека завършим построяването на правоъгълен триъгълник, минаващ през тези точки, и да намерим тангенса на допирателния ъгъл!

Ъгълът на наклона на допирателната към оста е. Нека намерим тангенса на този ъгъл: . По този начин производната на функцията в точка е равна на.
отговор:. Сега опитайте сами:

Отговори:

знаейки геометричен смисъл на производната, можем много просто да обясним правилото, че производната в точката локален максимумили минимумът е нула. Наистина, допирателната към графиката в тези точки е „хоризонтална“, тоест успоредна на оста x:

Какъв е ъгълът между успоредните прави? Разбира се, нула! И тангенсът на нулата също е нула. Така че производната е равна на нула:

Прочетете повече за това в темата „Монотонност на функции. Екстремни точки."

Сега нека се съсредоточим върху произволни допирателни. Да кажем, че имаме някаква функция, например, . Начертахме неговата графика и искаме да начертаем допирателна към нея в даден момент. Например в точка. Взимаме линийка, прикрепяме я към графиката и рисуваме:

Какво знаем за тази линия? Кое е най-важното нещо, което трябва да знаете за една права в координатна равнина? Тъй като правата линия е изображение линейна функция, би било много удобно да знаем уравнението му. Тоест коефициентите в уравнението

Но ние вече знаем! Това е наклонът на тангентата, който е равен на производната на функцията в тази точка:

В нашия пример ще бъде така:

Сега остава само да го намерим. Това е толкова просто, колкото беленето на круши: все пак - стойността на. Графично това е координатата на пресечната точка на правата линия с ординатната ос (в края на краищата във всички точки на оста):

Нека го начертаем (така че да е правоъгълен). След това (до същия ъгъл между допирателната и оста x). На какво са и равни? Фигурата ясно показва, че a. Тогава получаваме:

Комбинираме всички получени формули в уравнението на права линия:

Сега решете сами:

1. Намерете уравнение на допирателнатакъм функция в точка.
2. Допирателната към парабола пресича оста под ъгъл. Намерете уравнението на тази допирателна.
3. Правата е успоредна на допирателната към графиката на функцията. Намерете абсцисата на допирателната точка.
4. Правата е успоредна на допирателната към графиката на функцията. Намерете абсцисата на допирателната точка.

Решения и отговори:

УРАВНЕНИЕ НА ДОПАТАТЕЛНА КЪМ ГРАФИКАТА НА ФУНКЦИЯ. КРАТКО ОПИСАНИЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Производната на функция в определена точка е равна на тангенса на допирателната към графиката на функцията в тази точка или на наклона на тази допирателна:

Уравнение на допирателната към графиката на функция в точка:

Алгоритъм за намиране на уравнението на допирателната:

Е, темата приключи. Щом четеш тези редове, значи си много готин.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако прочетете до края, значи сте в тези 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това... това е просто супер! Вие вече сте по-добри от огромното мнозинство от вашите връстници.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

за какво?

За успешно полагане на Единния държавен изпит, за постъпване в колеж на бюджет и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само едно ще кажа...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на Единния държавен изпит и в крайна сметка сте... по-щастливи?

СПЕЧЕЛЕТЕ СИ РЪКАТА КАТО РЕШАВАТЕ ЗАДАЧИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

Няма да ви искат теория по време на изпита.

Ще ви трябва решавайте проблеми срещу времето.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да имате време.

Това е като в спорта - трябва да го повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекцията, където пожелаете, задължително с решения, подробен анализ и решавайте, решавайте, решавайте!

Можете да използвате нашите задачи (по желание) и ние, разбира се, ги препоръчваме.

За да се справите по-добре с нашите задачи, трябва да помогнете да удължите живота на учебника YouClever, който четете в момента.

как? Има два варианта:

1. Отключете всички скрити задачи в тази статия - 299 търкайте.
2. Отключете достъп до всички скрити задачи във всичките 99 статии на учебника - 499 търкайте.

Да, имаме 99 такива статии в нашия учебник и веднага се отваря достъп до всички задачи и всички скрити текстове в тях.

Осигурен е достъп до всички скрити задачи за ЦЕЛИЯ живот на сайта.

И в заключение...

Ако не харесвате нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте до теорията.

„Разбрах“ и „Мога да реша“ са напълно различни умения. Трябват ви и двете.

Намерете проблеми и ги решете!