Днес тя заслужава да бъде възпята в поезия
Теорема на Виета за свойствата на корените.
Какво е по-добре, кажете ми, последователност като тази:
Умножихте корените - и частта е готова
В числителя с, в знаменателя А.
И сборът от корените на дробта също е равен
Дори и с минус тази дроб
Какъв проблем
В числители V, в знаменателя А.
(Из училищен фолклор)
В епиграфа забележителната теорема на Франсоа Виета не е дадена съвсем точно. Всъщност можем да пишем квадратно уравнение, което няма корени и запишете техния сбор и произведение. Например уравнението x 2 + 2x + 12 = 0 няма реални корени. Но, използвайки формален подход, можем да запишем техния продукт (x 1 · x 2 = 12) и сумата (x 1 + x 2 = -2). Нашите стиховете ще съответстват на теоремата с уговорката: „ако уравнението има корени“, т.е. D ≥ 0.
Първото практическо приложение на тази теорема е да се конструира квадратно уравнение, което има дадени корени. Второ, позволява ви да решавате устно много квадратни уравнения. Училищните учебници се фокусират предимно върху развиването на тези умения.
Тук ще разгледаме по-сложни проблеми, решени с помощта на теоремата на Vieta.
Пример 1.
Един от корените на уравнението 5x 2 – 12x + c = 0 е три пъти по-голям от втория. Намерете s.
Решение.
Нека вторият корен е x 2.
Тогава първият корен x1 = 3x 2.
Според теоремата на Виета сумата от корените е 12/5 = 2,4.
Нека съставим уравнението 3x 2 + x 2 = 2,4.
Следователно x 2 = 0,6. Следователно x 1 = 1,8.
Отговор: c = (x 1 x 2) a = 0,6 1,8 5 = 5,4.
Пример 2.
Известно е, че x 1 и x 2 са корените на уравнението x 2 – 8x + p = 0, като 3x 1 + 4x 2 = 29. Намерете p.
Решение.
Според теоремата на Виета, x 1 + x 2 = 8, а по условие 3x 1 + 4x 2 = 29.
След като решихме системата от тези две уравнения, намираме стойността x 1 = 3, x 2 = 5.
И следователно p = 15.
Отговор: p = 15.
Пример 3.
Без да пресмятате корените на уравнението 3x 2 + 8 x – 1 = 0, намерете x 1 4 + x 2 4
Решение.
Обърнете внимание, че по теоремата на Vieta x 1 + x 2 = -8/3 и x 1 x 2 = -1/3 и трансформирайте израза
а) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2) 2 – 2x 1 2 x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) 2 – 2(x 1 x 2) 2 = ((-8/3) 2 – 2 · (-1/3)) 2 – 2 · (-1/3) 2 = 4898/9
Отговор: 4898/9.
Пример 4.
При какви стойности на параметъра a е разликата между най-големия и най-малкия корен на уравнението
2x 2 – (a + 1)x + (a – 1) = 0 е равно на техния продукт.
Решение.
Това е квадратно уравнение. То ще има 2 различни корена, ако D > 0. С други думи, (a + 1) 2 – 8(a – 1) > 0 или (a – 3) 2 > 0. Следователно имаме 2 корена за всички a, с изключение на a = 3.
За категоричност ще приемем, че x 1 > x 2 и ще получим x 1 + x 2 = (a + 1)/2 и x 1 x 2 = (a – 1)/2. Въз основа на условията на задачата x 1 – x 2 = (a – 1)/2. И трите условия трябва да бъдат изпълнени едновременно. Нека разгледаме първото и последното уравнения като система. Може лесно да се реши чрез алгебрично събиране.
Получаваме x 1 = a/2, x 2 = 1/2. Да проверим на какво Аще бъде изпълнено второто равенство: x 1 · x 2 = (a – 1)/2. Нека заместим получените стойности и ще имаме: a/4 = (a – 1)/2. Тогава a = 2. Очевидно е, че ако a = 2, всички условия са изпълнени.
Отговор: когато a = 2.
Пример 5.
Какво е равно на най-малка стойност a, при което сумата от корените на уравнението
x 2 – 2a(x – 1) – 1 = 0 е равно на сбора от квадратите на своите корени.
Решение.
Първо, нека приведем уравнението в канонична форма: x 2 – 2ax + 2a – 1 = 0. То ще има корени, ако D/4 ≥ 0. Следователно: a 2 – (2a – 1) ≥ 0. Или (a – 1 ) 2 ≥ 0. И това условие е валидно за всяко a.
Нека приложим теоремата на Виета: x 1 + x 2 = 2a, x 1 x 2 = 2a – 1. Нека изчислим
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2. Или след заместване x 1 2 + x 2 2 = (2a) 2 – 2 · (2a – 1) = 4a 2 – 4a + 2. Остава да се създаде равенство, което отговаря на условията на задачата: x 1 + x 2 = x 1 2 + x 2 2 . Получаваме: 2a = 4a 2 – 4a + 2. Това квадратно уравнение има 2 корена: a 1 = 1 и a 2 = 1/2. Най-малкият от тях е –1/2.
Отговор: 1/2.
Пример 6.
Намерете връзката между коефициентите на уравнението ax 2 + bx + c = 0, ако сборът от кубовете на неговите корени е равен на произведението на квадратите на тези корени.
Решение.
Ще приемем, че това уравнение има корени и следователно теоремата на Виета може да се приложи към него.
Тогава условието на задачата ще бъде написано по следния начин: x 1 3 + x 2 3 = x 1 2 · x 2 2. Или: (x 1 + x 2)(x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2) = (x 1 x 2) 2.
Вторият фактор трябва да се преобразува. x 1 2 – x 1 x 2 + x 2 2 = ((x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2) – x 1 x 2.
Получаваме (x 1 + x 2)((x 1 + x 2) 2 – 3x 1 x 2) = (x 1 x 2) 2. Остава да заменим сумите и произведенията на корените чрез коефициентите.
(-b/a)((b/a) 2 – 3 c/a) = (c/a) 2 . Този израз може лесно да се преобразува във формата b(3ac – b 2)/a = c 2.Връзката е открита.
Коментирайте.Трябва да се има предвид, че получената връзка има смисъл да се разглежда само след като е изпълнена другата: D ≥ 0.
Пример 7.
Намерете стойността на променливата a, за която сумата от квадратите на корените на уравнението x 2 + 2ax + 3a 2 – 6a – 2 = 0 е най-голямата стойност.
Решение.
Ако това уравнение има корени x 1 и x 2, тогава тяхната сума е x 1 + x 2 = -2a, а произведението x 1 x 2 = 3a 2 – 6a – 2.
Изчисляваме x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 – 2x 1 x 2 = (-2a) 2 – 2(3a 2 – 6a – 2) = -2a 2 + 12a + 4 = -2 (а – 3) 2 + 22.
Сега е очевидно, че този израз приема най-висока стойностпри a = 3.
Остава да проверим дали първоначалното квадратно уравнение действително има корени при a = 3. Проверяваме чрез заместване и получаваме: x 2 + 6x + 7 = 0 и за него D = 36 – 28 > 0.
Следователно отговорът е: за a = 3.
Пример 8.
Уравнението 2x 2 – 7x – 3 = 0 има корени x 1 и x 2. Намерете утроената сума на коефициентите на даденото квадратно уравнение, чиито корени са числата X 1 = 1/x 1 и X 2 = 1/x 2. (*)
Решение.
Очевидно, x 1 + x 2 = 7/2 и x 1 x 2 = -3/2. Нека съставим второто уравнение от неговите корени във формата x 2 + px + q = 0. За да направим това, използваме обратното на теоремата на Виета. Получаваме: p = -(X 1 + X 2) и q = X 1 · X 2.
След като направим заместването в тези формули въз основа на (*), тогава: p = -(x 1 + x 2)/(x 1 x 2) = 7/3 и q = 1/(x 1 x 2) = - 2 /3.
Търсеното уравнение ще приеме формата: x 2 + 7/3 · x – 2/3 = 0. Сега можем лесно да изчислим утроената сума на неговите коефициенти:
3(1 + 7/3 – 2/3) = 8. Отговорът е получен.
Все още имате въпроси? Не сте сигурни как да използвате теоремата на Vieta?
За да получите помощ от учител -.
Първият урок е безплатен!
blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.
Първо, нека формулираме самата теорема: Нека имаме намалено квадратно уравнение във формата x^2+b*x + c = 0. Да кажем, че това уравнение съдържа корени x1 и x2. Тогава според теоремата са валидни следните твърдения:
1) Сумата от корените x1 и x2 ще бъде равна на отрицателната стойност на коефициента b.
2) Произведението на същите тези корени ще ни даде коефициента c.
Но какво е даденото уравнение?
Редуцирано квадратно уравнение е квадратно уравнение, чийто коефициент от най-висока степен е равен на единица, т.е. това е уравнение във вида x^2 + b*x + c = 0. (а уравнението a*x^2 + b*x + c = 0 е нередуцирано). С други думи, за да приведем уравнението в дадения вид, трябва да разделим това уравнение на коефициента на най-високата степен (a). Задачата е да доведем това уравнение до следния вид:
3*x^2 12*x + 18 = 0;
−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;
1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.
Разделяйки всяко уравнение на коефициента на най-високата степен, получаваме:
X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;
X^2 + 3,5*x − 5,5 = 0.
Както можете да видите от примерите, дори уравнения, съдържащи дроби, могат да бъдат приведени до дадения вид.
Използване на теоремата на Виета
X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;
получаваме корените: x1 = 2; х2 = 3;
X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;
като резултат получаваме корените: x1 = -2 ; х2 = -4;
X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;
получаваме корените: x1 = −1; x2 = −4.
Значението на теоремата на Виета
Теоремата на Vieta ни позволява да решим всяко квадратно редуцирано уравнение за почти секунди. На пръв поглед това изглежда доста трудна задача, но след 5 10 уравнения можете да се научите да виждате корените веднага.
От дадените примери и използването на теоремата става ясно как можете значително да опростите решението на квадратни уравнения, защото с помощта на тази теорема можете да решите квадратно уравнение практически без сложни изчисления и изчисляване на дискриминанта, а както знаете, по-малко изчисления, толкова по-трудно е да се направи грешка, което е важно.
Във всички примери използвахме това правило въз основа на две важни предположения:
Даденото уравнение, т.е. коефициентът на най-високата степен е равен на единица (това условие е лесно да се избегне. Можете да използвате нередуцирана форма на уравнението, тогава следните твърдения ще бъдат валидни x1+x2=-b/a; x1*x2=c/ a, но обикновено е по-трудно за решаване :))
Когато уравнението има две различни корени. Приемаме, че неравенството е вярно и дискриминантът е строго по-голям от нула.
Следователно можем да се поправим общ алгоритъмрешения с помощта на теоремата на Vieta.
Общ алгоритъм за решение, използващ теоремата на Vieta
Привеждаме квадратно уравнение до редуцирана форма, ако уравнението ни е дадено в нередуцирана форма. Когато коефициентите в квадратното уравнение, което преди това представихме като дадено, се окажат дробни (а не десетични), тогава в този случай трябва да решим нашето уравнение чрез дискриминанта.
Има и случаи, когато връщането към първоначалното уравнение ни позволява да работим с „удобни“ числа.
Теоремата на Vieta (по-точно теоремата, обратна на теоремата на Vieta) ви позволява да намалите времето за решаване на квадратни уравнения. Просто трябва да знаете как да го използвате. Как да се научим да решаваме квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета? Не е трудно, ако се замислите малко.
Сега ще говорим само за решаването на редуцираното квадратно уравнение с помощта на теоремата на Виета. Редуцираното квадратно уравнение е уравнение, в което a, тоест коефициентът на x², е равен на единица. Също така е възможно да се решават квадратни уравнения, които не са дадени с помощта на теоремата на Виета, но поне един от корените не е цяло число. Те са по-трудни за отгатване.
Обратната теорема на теоремата на Виета гласи: ако числата x1 и x2 са такива, че
тогава x1 и x2 са корените на квадратното уравнение
При решаване на квадратно уравнение с помощта на теоремата на Виета са възможни само 4 варианта. Ако си спомняте реда на разсъждение, можете да се научите да намирате цели корени много бързо.
I. Ако q е положително число,
това означава, че корените x1 и x2 са числа с един и същи знак (тъй като само умножаването на числа с еднакви знаци дава положително число).
I.a. Ако -p е положително число, (съответно, стр<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).
I.b. Ако -p - отрицателно число, (съответно p>0), тогава и двата корена са отрицателни числа (събрахме числа с един и същ знак и получихме отрицателно число).
II. Ако q е отрицателно число,
това означава, че корените x1 и x2 имат различни знаци (при умножаване на числа отрицателно число се получава само когато знаците на факторите са различни). В този случай x1+x2 вече не е сбор, а разлика (все пак при събиране на числа с различни знациизваждаме по-малкото от по-голямото). Следователно x1+x2 показва колко се различават корените x1 и x2, тоест колко един корен е по-голям от другия (по абсолютна стойност).
II.а. Ако -p е положително число, (тоест, стр<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.б. Ако -p е отрицателно число, (p>0), тогава по-големият (по модул) корен е отрицателно число.
Нека разгледаме решаването на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета, използвайки примери.
Решете даденото квадратно уравнение, като използвате теоремата на Виета:
Тук q=12>0, така че корените x1 и x2 са числа с един и същи знак. Тяхната сума е -p=7>0, така че и двата корена са положителни числа. Избираме цели числа, чието произведение е равно на 12. Това са 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Сборът е 7 за двойката 3 и 4. Това означава, че 3 и 4 са корените на уравнението.
В този пример q=16>0, което означава, че корените x1 и x2 са числа с еднакъв знак. Сборът им е -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
Тук q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, тогава по-голямото число е положително. Така че корените са 5 и -3.
q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
Между корените и коефициентите на квадратно уравнение, в допълнение към коренните формули, има други полезни връзки, които са дадени Теорема на Виета. В тази статия ще дадем формулировка и доказателство на теоремата на Виета за квадратно уравнение. След това разглеждаме теоремата, обратна на теоремата на Виета. След това ще анализираме решенията на най-типичните примери. Накрая записваме формулите на Vieta, които определят връзката между реалните корени алгебрично уравнениестепен n и нейните коефициенти.
Навигация в страницата.
Теорема на Виета, формулировка, доказателство
От формулите на корените на квадратното уравнение a·x 2 +b·x+c=0 от вида, където D=b 2 −4·a·c следват следните съотношения: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a. Тези резултати се потвърждават Теорема на Виета:
Теорема.
Ако x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0, тогава сумата от корените е равна на отношението на коефициентите b и a, взети с обратен знак, и произведението на корените е равно на отношението на коефициентите c и a, т.е.
Доказателство.
Ще проведем доказателството на теоремата на Виета по следната схема: съставяме сумата и произведението на корените на квадратното уравнение с помощта на известни коренни формули, след което трансформираме получените изрази и се уверяваме, че те са равни на −b/ a и c/a, съответно.
Да започнем със сбора на корените и да го съставим. Сега привеждаме дробите към общ знаменател, имаме . В числителя на получената дроб, след което:. Накрая, след 2, получаваме . Това доказва първата връзка от теоремата на Виета за сумата от корените на квадратно уравнение. Да преминем към второто.
Съставяме произведението на корените на квадратното уравнение: . Съгласно правилото за умножаване на дроби последният продукт може да бъде записан като . Сега умножаваме скоба по скоба в числителя, но е по-бързо да свием този продукт с формула за квадратна разлика, така че След това, спомняйки си, извършваме следващия преход. И тъй като дискриминантът на квадратното уравнение съответства на формулата D=b 2 −4·a·c, тогава вместо D в последната дроб можем да заместим b 2 −4·a·c, получаваме. След отваряне на скобите и привеждане на подобни членове, стигаме до дробта , а намаляването й с 4·a дава . Това доказва второто отношение на теоремата на Виета за произведението на корените.
Ако пропуснем обясненията, доказателството на теоремата на Виета ще приеме лаконична форма:
,
.
Остава само да се отбележи, че ако дискриминантът е равен на нула, квадратното уравнение има един корен. Но ако приемем, че уравнението в този случай има два еднакви корена, то равенствата от теоремата на Виета също са в сила. Наистина, когато D=0 коренът на квадратното уравнение е равен на , тогава и , и тъй като D=0, т.е. b 2 −4·a·c=0, откъдето b 2 =4·a·c, тогава .
На практика теоремата на Vieta най-често се използва във връзка с редуцираното квадратно уравнение (с водещ коефициент a равен на 1) от вида x 2 +p·x+q=0. Понякога се формулира само за квадратни уравнения от този тип, което не ограничава общото, тъй като всяко квадратно уравнение може да бъде заменено с еквивалентно уравнение чрез разделяне на двете страни на различно от нула число a. Нека дадем съответната формулировка на теоремата на Виета:
Теорема.
Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0 е равна на коефициента на x, взет с противоположния знак, а произведението на корените е равно на свободния член, т.е. x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.
Теорема, обратна на теоремата на Виета
Втората формулировка на теоремата на Vieta, дадена в предишния параграф, показва, че ако x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0, тогава отношенията x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. От друга страна, от записаните отношения x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q следва, че x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение x 2 +p x+q=0. С други думи, обратното на теоремата на Виета е вярно. Нека го формулираме под формата на теорема и го докажем.
Теорема.
Ако числата x 1 и x 2 са такива, че x 1 +x 2 =−p и x 1 · x 2 =q, тогава x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p · x+q =0.
Доказателство.
След замяна на коефициентите p и q в уравнението x 2 +p·x+q=0 с техните изрази чрез x 1 и x 2, то се трансформира в еквивалентно уравнение.
Нека заместим числото x 1 вместо x в полученото уравнение, имаме равенството x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, което за всяко x 1 и x 2 представлява правилното числено равенство 0=0, тъй като x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Следователно x 1 е коренът на уравнението x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, което означава, че x 1 е коренът на еквивалентното уравнение x 2 +p·x+q=0.
Ако в уравнението x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0заместваме числото x 2 вместо x, получаваме равенството x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Това е истинско равенство, тъй като x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Следователно x 2 също е корен на уравнението x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, и следователно уравненията x 2 +p·x+q=0.
Това завършва доказателството на теоремата, обратна на теоремата на Виета.
Примери за използване на теоремата на Vieta
Време е да поговорим за практическото приложение на теоремата на Виета и обратната й теорема. В този раздел ще анализираме решения на няколко от най-типичните примери.
Нека започнем с прилагането на теоремата, обратна на теоремата на Виета. Удобно е да се използва за проверка дали дадени две числа са корени на дадено квадратно уравнение. В този случай се изчислява тяхната сума и разлика, след което се проверява валидността на отношенията. Ако и двете от тези отношения са изпълнени, тогава по силата на теоремата, обратна на теоремата на Виета, се заключава, че тези числа са корените на уравнението. Ако поне едно от отношенията не е изпълнено, тогава тези числа не са корените на квадратното уравнение. Този подход може да се използва при решаване на квадратни уравнения за проверка на намерените корени.
Пример.
Коя от двойките числа 1) x 1 =−5, x 2 =3 или 2) или 3) е двойка корени на квадратното уравнение 4 x 2 −16 x+9=0?
Решение.
Коефициентите на даденото квадратно уравнение 4 x 2 −16 x+9=0 са a=4, b=−16, c=9. Според теоремата на Виета сумата от корените на квадратно уравнение трябва да е равна на −b/a, т.е. 16/4=4, а произведението на корените трябва да е равно на c/a, т.е. 9 /4.
Сега нека изчислим сумата и произведението на числата във всяка от трите дадени двойки и да ги сравним със стойностите, които току-що получихме.
В първия случай имаме x 1 +x 2 =−5+3=−2. Получената стойност е различна от 4, така че не може да се извърши допълнителна проверка, но използвайки теоремата, обратна на теоремата на Виета, може веднага да се заключи, че първата двойка числа не е двойка корени на даденото квадратно уравнение.
Да преминем към втория случай. Ето, че първото условие е изпълнено. Проверяваме второто условие: получената стойност е различна от 9/4. Следователно втората двойка числа не е двойка корени на квадратното уравнение.
Остава един последен случай. Тук и. И двете условия са изпълнени, така че тези числа x 1 и x 2 са корените на даденото квадратно уравнение.
отговор:
Обратното на теоремата на Виета може да се използва на практика за намиране на корените на квадратно уравнение. Обикновено се избират цели корени на дадените квадратни уравнения с цели коефициенти, тъй като в други случаи това е доста трудно да се направи. В този случай те използват факта, че ако сумата от две числа е равна на втория коефициент на квадратно уравнение, взето със знак минус, и произведението на тези числа е равно на свободния член, тогава тези числа са корени на това квадратно уравнение. Нека разберем това с пример.
Нека вземем квадратното уравнение x 2 −5 x+6=0. За да бъдат числата x 1 и x 2 корени на това уравнение, трябва да са изпълнени две равенства: x 1 + x 2 =5 и x 1 ·x 2 =6. Остава само да изберете такива числа. IN в този случайтова е доста лесно да се направи: такива числа са 2 и 3, тъй като 2+3=5 и 2·3=6. Така 2 и 3 са корените на това квадратно уравнение.
Теоремата, обратна на теоремата на Виета, е особено удобна за използване за намиране на втория корен на дадено квадратно уравнение, когато един от корените вече е известен или очевиден. В този случай вторият корен може да бъде намерен от всяка една от релациите.
Например, нека вземем квадратното уравнение 512 x 2 −509 x −3=0. Тук е лесно да се види, че единството е коренът на уравнението, тъй като сумата от коефициентите на това квадратно уравнение е равна на нула. Така че x 1 =1. Вторият корен x 2 може да се намери например от връзката x 1 ·x 2 =c/a. Имаме 1 x 2 =−3/512, от което x 2 =−3/512. Ето как определихме двата корена на квадратното уравнение: 1 и −3/512.
Ясно е, че изборът на корени е препоръчителен само в най-простите случаи. В други случаи, за да намерите корени, можете да използвате формули за корените на квадратно уравнение чрез дискриминант.
Друго практическо приложение на обратното на теоремата на Виета е да се съставят квадратни уравнения с дадени корени x 1 и x 2 . За да направите това, достатъчно е да изчислите сумата от корените, която дава коефициента на x с противоположен знак на даденото квадратно уравнение, и произведението на корените, което дава свободния член.
Пример.
Напишете квадратно уравнение, чиито корени са −11 и 23.
Решение.
Нека означим x 1 =−11 и x 2 =23. Изчисляваме сумата и произведението на тези числа: x 1 +x 2 =12 и x 1 ·x 2 =−253. Следователно посочените числа са корените на редуцираното квадратно уравнение с втори коефициент −12 и свободен член −253. Тоест x 2 −12·x−253=0 е търсеното уравнение.
отговор:
x 2 −12·x−253=0 .
Теоремата на Vieta се използва много често при решаване на задачи, свързани със знаците на корените на квадратни уравнения. Как теоремата на Виета е свързана със знаците на корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p·x+q=0? Ето две уместни твърдения:
- Ако свободният член q е положително число и ако квадратното уравнение има реални корени, тогава или и двете са положителни, или и двете отрицателни.
- Ако свободният член q е отрицателно число и ако квадратното уравнение има реални корени, тогава техните знаци са различни, с други думи, единият корен е положителен, а другият е отрицателен.
Тези твърдения следват от формулата x 1 · x 2 =q, както и от правилата за умножение на положителни, отрицателни числа и числа с различни знаци. Нека да разгледаме примери за тяхното приложение.
Пример.
R е положителен. Използвайки дискриминантната формула намираме D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, стойността на израза r 2 +8 е положителен за всяко реално r, следователно D>0 за всяко реално r. Следователно, оригиналното квадратно уравнение има два корена за всякакви реални стойности на параметъра r.
Сега нека разберем кога корените имат различни знаци. Ако знаците на корените са различни, тогава техният продукт е отрицателен и според теоремата на Vieta продуктът на корените на редуцираното квадратно уравнение е равен на свободния член. Следователно, ние се интересуваме от тези стойности на r, за които свободният член r−1 е отрицателен. По този начин, за да намерим стойностите на r, които ни интересуват, имаме нужда решаване на линейно неравенство r−1<0 , откуда находим r<1 .
отговор:
при r<1 .
Виета формули
По-горе говорихме за теоремата на Виета за квадратно уравнение и анализирахме връзките, които тя твърди. Но има формули, които свързват реалните корени и коефициенти не само на квадратни уравнения, но и на кубични уравнения, уравнения от четвърта степен и като цяло, алгебрични уравнениястепен n. Те се наричат Формулите на Виета.
Нека напишем формулата на Vieta за алгебрично уравнение от степен n на формата и ще приемем, че то има n реални корена x 1, x 2, ..., x n (сред тях може да има съвпадащи): 
Могат да се получат формулите на Vieta теорема за разлагането на полином на линейни множители, както и дефинирането на равни полиноми чрез равенството на всичките им съответни коефициенти. Така че полиномът и неговото разлагане на линейни множители на формата са равни. Отваряйки скобите в последния продукт и приравнявайки съответните коефициенти, получаваме формулите на Vieta.
По-специално, за n=2 имаме вече познатите формули на Vieta за квадратно уравнение.
За кубично уравнение формулите на Виета имат формата 
Остава само да се отбележи, че от лявата страна на формулите на Виета има така наречените елементарни симетрични полиноми.
Референции.
- Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Алгебраи началото на математическия анализ. 10. клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; изд. А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - М .: Образование, 2010.- 368 с. : болен. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Първото твърдение гласи, че сумата от корените на това уравнение е равна на стойността на коефициента на променливата x (в този случай е b), но с обратен знак. Визуално изглежда така: x1 + x2 = −b.
Второто твърдение вече не е свързано със сбора, а с произведението на същите тези два корена. Този продукт се приравнява към свободния коефициент, т.е. c. Или x1 * x2 = c. И двата примера са решени в системата.
Теоремата на Виета значително опростява решението, но има едно ограничение. Квадратно уравнение, чиито корени могат да бъдат намерени с помощта на тази техника, трябва да бъде намалено. В горното уравнение коефициентът a, този пред x2, е равен на едно. Всяко уравнение може да се доведе до подобна форма чрез разделяне на израза на първия коефициент, но тази операция не винаги е рационална.
Доказателство на теоремата
Като начало трябва да си спомним колко традиционно е обичайно да се търсят корените на квадратно уравнение. Намерени са първият и вторият корен, а именно: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. По принцип то се дели на 2a, но, както вече беше споменато, теоремата може да се приложи само когато a=1.От теоремата на Виета е известно, че сборът от корените е равен на втория коефициент със знак минус. Това означава, че x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.
Същото важи и за произведението на неизвестни корени: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. На свой ред D = b2-4c (отново с a=1). Оказва се, че резултатът е: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.
От даденото просто доказателство може да се направи само едно заключение: теоремата на Виета е напълно потвърдена.
Втора формулировка и доказателство
Теоремата на Виета има друго тълкуване. По-точно не е интерпретация, а формулировка. Факт е, че ако са изпълнени същите условия като в първия случай: има два различни реални корена, тогава теоремата може да бъде написана с друга формула.Това равенство изглежда така: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Ако функцията P(x) се пресича в две точки x1 и x2, тогава тя може да бъде записана като P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). В случай, че P има втора степен и точно така изглежда оригиналният израз, тогава R е просто число, а именно 1. Това твърдение е вярно поради причината, че в противен случай равенството няма да се запази. Коефициентът x2 при отваряне на скобите не трябва да бъде по-голям от единица, а изразът трябва да остане квадратен.
