Точкова оценка и нейните свойства. Оценка на математическото очакване на случайна величина

s x =(1.11)

По-нататък ще разгледаме важен проблем за изучаване на наблюдаема случайна променлива. Нека има някакъв образец (ще го обозначим С) случайна величина х. Изисква се оценка от наличната извадка неизвестни стойности m xИ .

Теорията на оценките на различни параметри заема математическа статистиказначително място. Затова нека първо да разгледаме обща задача. Нека е необходимо да се оцени някакъв параметър апо проба С. Всяка такава оценка а*е някаква функция a*=a*(S)от примерни стойности. Стойностите на извадката са произволни, следователно и самата оценка а*е случайна променлива. Възможно е да се изградят много различни оценки(т.е. функции) а*, но в същото време е желателно да има „добра“ или дори „най-добра“, в известен смисъл оценка. Следните три естествени изисквания обикновено се налагат на оценките.

1. Неразместен.Математическо очакване на оценката а*трябва да е равна на точната стойност на параметъра: М = а. С други думи, резултатът а*не трябва да има системна грешка.

2. Богатство.С безкрайно увеличаване на размера на извадката, оценката а*трябва да се сближи до точна стойност, т.е. с увеличаване на броя на наблюденията грешката в оценката клони към нула.

3. Ефективност.Степен а*се казва, че е ефективен, ако е безпристрастен и има възможно най-малката вариация на грешката. В този случай разпространението на оценките е минимално а*спрямо точната стойност и оценката е в известен смисъл „най-точна“.

За съжаление, не винаги е възможно да се състави оценка, която да удовлетворява и трите изисквания едновременно.

За оценка на математическото очакване най-често се използва оценка.

= , (1.12)

тоест средноаритметичната стойност на извадката. Ако случайната променлива хима крайни m xИ s x, тогава оценката (1.12) не е предубедена и последователна. Тази оценка е ефективна, например, ако хима нормално разпределение (Фигура 1.4, Приложение 1). За други дистрибуции може да не е ефективно. Например, в случай на равномерно разпределение (Фигура 1.1, Приложение 1), безпристрастната, последователна оценка ще бъде

(1.13)

В същото време оценката (1.13) за нормалното разпределение няма да бъде нито последователна, нито ефективна и дори ще се влоши с увеличаване на размера на извадката.

По този начин за всеки тип разпределение на случайна променлива хтрябва да използвате вашата оценка на математическото очакване. В нашата ситуация обаче видът на разпределението може да бъде известен само условно. Затова ще използваме оценка (1.12), която е доста проста и има най-много важни свойствабезпристрастност и последователност.

За да се оцени математическото очакване за групирана извадка, се използва следната формула:

= , (1.14)

което може да се получи от предишното, ако вземем предвид всичко m iпримерни стойности, включени в аз-ти интервал, равен на представителя z iтози интервал. Тази оценка естествено е по-груба, но изисква значително по-малко изчисления, особено при голям размер на извадката.

Най-често използваната оценка за оценка на дисперсията е:

= , (1.15)

Тази оценка не е пристрастна и е валидна за всяка случайна променлива х, имащи крайни моменти до четвърти ред включително.

В случай на групирана извадка използваната оценка е:

= (1.16)

Оценките (1.14) и (1.16) като правило са пристрастни и несъстоятелни, тъй като техните математически очаквания и границите, до които се сближават, се различават от m xи поради подмяната на всички примерни стойности, включени в аз-ти интервал, за представител на интервал z i.

Имайте предвид, че за големи н,коефициент n/(n – 1)в изрази (1.15) и (1.16) е близо до единица, така че може да бъде пропуснато.

Интервални оценки.

Позволявам точна стойностнякакъв параметър е равен на аи неговата оценка беше намерена като)по проба С. Оценка а*съответства на точка от цифровата ос (фиг. 1.5), така че тази оценка се нарича точка. Всички оценки, обсъдени в предходния параграф, са точкови оценки. Почти винаги, поради случайността

а* ¹ а, и можем само да се надяваме, че точката а*е някъде наблизо а. Но колко близо? Всяка друга точкова оценка ще има същия недостатък - липсата на мярка за надеждността на резултата.

Фиг.1.5. Оценка на точковия параметър.

По-конкретни в това отношение са интервални оценки. Интервалният резултат представлява интервал I b = (a, b), в който точната стойност на оценявания параметър се намира с дадена вероятност b. Интервал аз бНаречен доверителен интервал, и вероятността bНаречен вероятност за доверие и може да се счита за надеждност на оценката.

Доверителният интервал се базира на наличната извадка С, той е случаен в смисъл, че неговите граници са произволни като)И b(S), което ще изчислим от (случайна) извадка. Ето защо bима възможност случайният интервал аз бще покрие неслучайна точка а. На фиг. 1.6. интервал аз бпокри точката а, А Ib*- Не. Следователно не е съвсем правилно да се каже това а "попада" в интервала.

Ако вероятността за доверие bголеми (напр. b = 0,999), тогава почти винаги точната стойност ае в рамките на изградения интервал.

Фиг.1.6. Доверителни интервали на параметъра аза различни проби.

Нека разгледаме метода на изграждане доверителен интервалза математическото очакване на случайна променлива Х,базиран на централна гранична теорема.

Нека случайната променлива хима неизвестно математическо очакване m xИ известна дисперсия. Тогава, по силата на централната гранична теорема, средното аритметично е:

= , (1.17)

резултати н независими тестовеколичества хе случайна променлива, чието разпределение като цяло н, близо до нормална дистрибуциясъс средно m xи стандартно отклонение. Следователно случайната променлива

(1.18)

има вероятностно разпределение, което може да се вземе предвид стандартно нормалнос плътност на разпространение j(t), чиято графика е показана на фиг. 1.7 (както и на фиг. 1.4, Приложение 1).

Фиг.1.7. Разпределение на плътността на вероятността на случайна променлива T.

Нека бъде дадена вероятността за доверие bИ t b -число, удовлетворяващо уравнението

b = Ф 0 (t b) – Ф 0 (-t b) = 2 Ф 0 (t b),(1.19)

Където - Функция на Лаплас. Тогава вероятността за попадане в интервала (-t b, t b)ще бъде равно на защрихованото на фиг. 1.7. площ, и по силата на израз (1.19) е равно на b. Следователно

b = P(-t b< < t b) = P( – t b< m x < + t b ) =

= P( – t b< m x < + t b ).(1.20)

Така като доверителен интервал можем да вземем интервала

I b = ( – t b ; + tb ) , (1.21)

тъй като израз (1.20) означава, че неизвестната точна стойност m xе в аз бс определена доверителна вероятност b. За изграждане аз бнеобходимо, както е посочено bнамирам t bот уравнение (1.19). Нека дадем няколко стойности t bнеобходими в бъдеще :

t 0.9 = 1.645; t 0,95 = 1,96; t 0,99 = 2,58; t 0,999 = 3,3.

При извеждането на израз (1.21) се приема, че точната стойност на стандартното отклонение е известна s x. Не винаги обаче се знае. Затова нека използваме неговата оценка (1.15) и да получим:

I b = ( – t b ; +tb). (1.22)

Съответно оценките на и получените от групираната извадка дават следната формула за доверителния интервал:

I b = ( – t b ; +tb). (1.23)

ЦЕЛ НА ЛЕКЦИЯТА: да се въведе концепцията за оценка на неизвестен параметър на разпределение и да се даде класификация на такива оценки; получаване на точкови и интервални оценки на математическото очакване и дисперсията.

На практика в повечето случаи законът за разпределение на случайна променлива е неизвестен и според резултатите от наблюденията
необходимо е да се оценят числени характеристики (например математическо очакване, дисперсия или други моменти) или неизвестен параметър , който определя закона за разпределение (плътност на разпределение)
изследвана случайна променлива. По този начин за експоненциално разпределение или разпределение на Поасон е достатъчно да се оцени един параметър, но за нормално разпределение трябва да се оценят два параметъра - математическото очакване и дисперсията.

Видове оценки

Случайна стойност
има плътност на вероятността
, Където – неизвестен параметър на разпределение. В резултат на експеримента бяха получени стойностите на тази случайна променлива:
. Да се ​​направи оценка по същество означава, че примерните стойности на случайна променлива трябва да бъдат свързани с определена стойност на параметър , т.е. създайте някаква функция от резултатите от наблюдението
, чиято стойност се приема като приблизителна параметър . Индекс показва броя на извършените експерименти.

Всяка функция, която зависи от резултатите от наблюденията, се нарича статистика. Тъй като резултатите от наблюденията са случайни променливи, статистиката също ще бъде случайна променлива. Следователно оценката
неизвестен параметър трябва да се разглежда като случайна променлива и нейната стойност, изчислена от експериментални данни в обем , – като една от възможните стойности на тази случайна променлива.

Оценките на параметрите на разпределението (числовите характеристики на случайна променлива) са разделени на точки и интервали. Точкова оценкапараметър определени от едно число , а неговата точност се характеризира с дисперсията на оценката. Интервална оценканаречен резултат, който се определя от две числа, И – краища на интервала, покриващ оценения параметър с определена доверителна вероятност.

Класификация на точковите оценки

За точкова оценка на неизвестен параметър
най-доброто по отношение на точността, то трябва да бъде последователно, безпристрастно и ефективно.

Богатнаречена оценка
параметър , ако се сближава по вероятност с оценения параметър, т.е.

. (8.8)

Въз основа на неравенството на Чебишев може да се покаже, че достатъчно условиеизпълнението на отношението (8.8) е равенството

.

Съгласуваността е асимптотична характеристика на оценката при
.

Безпристрастеннаречена оценка
(оценка без систематична грешка), чието математическо очакване е равно на оценявания параметър, т.е.

. (8.9)

Ако равенството (8.9) не е изпълнено, тогава оценката се нарича предубедена. Разлика
наречено отклонение или систематична грешка в оценката. Ако равенството (8.9) е изпълнено само за
, тогава съответната оценка се нарича асимптотично безпристрастна.

Трябва да се отбележи, че ако последователността е почти задължително условие за всички оценки, използвани в практиката (непоследователните оценки се използват изключително рядко), тогава свойството на безпристрастност е само желателно. Много често използвани оценки нямат безпристрастното свойство.

IN общ случайточност на оценката на някакъв параметър , получени въз основа на експериментални данни
, характеризиращ се със средната квадратна грешка

,

които могат да бъдат сведени до формата

,

къде е дисперсията,
– отклонение на квадратната оценка.

Ако оценката е безпристрастна, тогава

При ограничен оценките може да се различават със средна квадратна грешка . Естествено, колкото по-малка е тази грешка, толкова по-тясно са групирани стойностите на оценката около прогнозния параметър. Следователно винаги е желателно грешката в оценката да бъде възможно най-малка, т.е. условието да е изпълнено

. (8.10)

Оценка , удовлетворяваща условието (8.10), се нарича оценка с минимална квадратна грешка.

Ефективеннаречена оценка
, за които средната квадратна грешка не е по-голяма от средната квадратна грешка на всяка друга оценка, т.е.

Където – всяка друга оценка на параметъра .

Известно е, че дисперсията на всяка безпристрастна оценка на един параметър удовлетворява неравенството на Крамър-Рао

,

Където
– условно разпределение на плътността на вероятността на получените стойности на случайната променлива при истинската стойност на параметъра .

По този начин, безпристрастната оценка
, за които неравенството на Крамър–Рао се превръща в равенство, ще бъдат ефективни, т.е. такава оценка има минимална дисперсия.

Точкови оценки на очакванията и отклоненията

Ако се разглежда случайна променлива
, което има математическо очакване и дисперсия , тогава и двата параметъра се считат за неизвестни. Следователно, над случайна променлива
произведени независими експерименти, които дават резултати:
. Необходимо е да се намерят последователни и безпристрастни оценки на неизвестни параметри И .

Като оценки И Обикновено статистическата (извадка) средна стойност и статистическа (извадка) дисперсия се избират съответно:

; (8.11)

. (8.12)

Оценката на математическото очакване (8.11) е последователна според закона за големите числа (теорема на Чебишев):

.

Очакване на случайна променлива

.

Следователно оценката е безпристрастен.

Разсейване на оценката на математическото очакване:

Ако случайната променлива
се разпределя по нормалния закон, след това оценката също е ефективен.

Очакване на оценка на дисперсията

В същото време

.

защото
, А
, тогава получаваме

. (8.13)

По този начин,
– необективна оценка, въпреки че е последователна и ефективна.

От формула (8.13) следва, че за получаване на безпристрастна оценка
дисперсията на извадката (8.12) трябва да се модифицира, както следва:

което се счита за „по-добро“ в сравнение с оценката (8.12), макар и като цяло тези оценки са почти равни една на друга.

Методи за получаване на оценки на параметрите на разпределението

Често на практика, въз основа на анализ на физическия механизъм, който генерира случайната променлива
, можем да направим заключение за закона за разпределение на тази случайна променлива. Параметрите на това разпределение обаче са неизвестни и трябва да бъдат оценени от експерименталните резултати, обикновено представени под формата на крайна извадка
. За решаване на този проблем най-често се използват два метода: методът на моментите и методът на максималната вероятност.

Метод на моментите. Методът се състои в приравняване на теоретичните моменти със съответните емпирични моменти от същия порядък.

Емпирични отправни точки -ти ред се определят по формулите:

,

и съответните теоретични начални моменти -ти ред - формули:

за дискретни случайни променливи,

за непрекъснати случайни променливи,

Където – оценен параметър на разпределение.

Да се ​​получат оценки на параметрите на разпределение, съдържащо два неизвестни параметъра И , се съставя система от две уравнения

Където И – теоретични и емпирични централни моменти от втори ред.

Решението на системата от уравнения са оценките И неизвестни параметри на разпространение И .

Приравнявайки теоретичните и емпиричните начални моменти от първи ред, получаваме, че чрез оценка на математическото очакване на случайна променлива
, с произволно разпределение, ще бъде средната стойност на извадката, т.е.
. Тогава, приравнявайки теоретичните и емпиричните централни моменти от втория ред, получаваме, че оценката на дисперсията на случайната променлива
, която има произволно разпределение, се определя по формулата

.

По подобен начин могат да се намерят оценки на теоретични моменти от всякакъв порядък.

Методът на моментите е прост и не изисква сложни изчисления, но оценките, получени по този метод, често са неефективни.

Метод на максимална вероятност. Методът на максималната вероятност за точкова оценка на неизвестни параметри на разпределение се свежда до намиране на максимума на функцията на един или повече оценени параметри.

Позволявам
е непрекъсната случайна променлива, която като резултат тестовете взеха стойности
. За да получите оценка на неизвестен параметър необходимо е да се намери такава стойност , при което вероятността за реализиране на получената извадка би била максимална. защото
представляват взаимно независими величини с еднаква вероятностна плътност
, Че функция на вероятносттаизвикване на аргументната функция :

Чрез оценка на максималната вероятност на параметъра тази стойност се нарича , при което функцията на вероятността достига максимум, т.е. е решение на уравнението

,

което явно зависи от резултатите от теста
.

Тъй като функциите
И
достигат максимум при същите стойности
, тогава за опростяване на изчисленията те често използват логаритмичната функция на вероятността и търсят корена на съответното уравнение

,

което се нарича уравнение на вероятността.

Ако трябва да оцените няколко параметъра
разпространение
, тогава функцията на вероятността ще зависи от тези параметри. За да намерите оценки
параметри на разпределение е необходимо да се реши системата уравнения на вероятността

.

Методът на максималната вероятност осигурява последователни и асимптотично ефективни оценки. Въпреки това, оценките, получени чрез метода на максималната вероятност, са пристрастни и в допълнение, за да се намерят оценки, често е необходимо да се решат доста сложни системи от уравнения.

Интервални оценки на параметрите

Точността на точковите оценки се характеризира с тяхната дисперсия. Няма обаче информация колко близки са получените оценки до истинските стойности на параметрите. В редица задачи не само трябва да намерите параметъра подходяща числена стойност, но и за оценка на нейната точност и надеждност. Трябва да разберете до какви грешки може да доведе подмяната на параметър неговата точкова оценка и с каква степен на увереност трябва да очакваме, че тези грешки няма да надхвърлят известните граници.

Такива задачи са особено подходящи, когато има малък брой експерименти. , когато точковата оценка до голяма степен произволна и приблизителна замяна На може да доведе до значителни грешки.

По-пълна и надежден начиноценката на параметрите на разпределенията се състои в определяне не на една точка, а на интервал, който с дадена вероятност покрива истинската стойност на оценения параметър.

Нека според резултатите експерименти, беше получена безпристрастна оценка
параметър . Необходимо е да се оцени възможната грешка. Избира се някаква достатъчно голяма вероятност
(например), така че събитие с тази вероятност може да се счита за практически сигурно събитие и се намира такава стойност , за което

. (8.15)

В този случай диапазонът от практически възможни стойности на грешката, която възниква по време на подмяната На , ще
, и големите абсолютна стойностгрешки ще се появят само с малка вероятност .

Израз (8.15) означава, че с вероятност
неизвестна стойност на параметъра попада в интервала

. (8.16)

Вероятност
Наречен вероятност за доверие, и интервалът , обхващащ с вероятност извиква се истинската стойност на параметъра доверителен интервал. Имайте предвид, че е неправилно да се каже, че стойността на параметъра е в рамките на доверителния интервал с вероятност . Използваната формулировка (обхваща) означава, че въпреки че параметърът, който се оценява, е неизвестен, той има постоянна стойност и следователно няма разпространение, тъй като не е случайна променлива.

Очакването е вероятностното разпределение на случайна променлива

Математическо очакване, дефиниция, математическо очакване на дискретни и непрекъснати случайни променливи, извадка, условно очакване, изчисление, свойства, проблеми, оценка на очакване, дисперсия, функция на разпределение, формули, примери за изчисление

Разширете съдържанието

Свиване на съдържанието

Математическото очакване е определението

Едно от най-важните понятия в математическата статистика и теорията на вероятностите, характеризиращо разпределението на стойности или вероятности на случайна променлива. Обикновено се изразява като среднопретеглена стойност на всички възможни параметри на случайна променлива. Широко използван в техническия анализ, изследването на числови серии и изследването на непрекъснати и отнемащи време процеси. То има важнопри оценка на рисковете, прогнозиране на ценови показатели при търговия на финансови пазари, използва се при разработването на стратегии и методи на тактика на играта в теорията на хазарта.

Математическото очакване есредната стойност на случайна променлива, вероятностното разпределение на случайна променлива се разглежда в теорията на вероятностите.

Математическото очакване емярка за средната стойност на случайна променлива в теорията на вероятностите. Очакване на случайна променлива хобозначен с M(x).

Математическото очакване е

Математическото очакване ев теорията на вероятностите, претеглена средна стойност на всички възможни стойности, които една случайна променлива може да приеме.

Математическото очакване есумата от продуктите на всички възможни стойности на случайна променлива и вероятностите на тези стойности.

Математическото очакване есредната полза от конкретно решение, при условие че такова решение може да се разглежда в рамките на теорията за големите числа и дългите разстояния.

Математическото очакване ев теорията на хазарта, количеството печалби, които играчът може да спечели или загуби средно за всеки залог. На езика на хазарта това понякога се нарича "предимство на играча" (ако е положително за играча) или "предимство на къщата" (ако е отрицателно за играча).

Математическото очакване епроцентът печалба на печалба, умножен по средната печалба, минус вероятността от загуба, умножена по средната загуба.

Математическо очакване на случайна променлива в математическа теория

Една от важните числени характеристики на случайна променлива е нейното математическо очакване. Нека въведем концепцията за система от случайни променливи. Нека разгледаме набор от случайни променливи, които са резултатите от същия случаен експеримент. Ако е една от възможните стойности на системата, тогава събитието съответства на определена вероятност, която удовлетворява аксиомите на Колмогоров. Функция, дефинирана за всякакви възможни стойности на случайни променливи, се нарича съвместен закон за разпределение. Тази функция ви позволява да изчислявате вероятностите за всякакви събития от. По-специално, съвместният закон за разпределение на случайни променливи и, които приемат стойности от набора и, се дава от вероятности.

Терминът „математическо очакване“ е въведен от Пиер Симон Маркиз дьо Лаплас (1795 г.) и идва от концепцията за „очаквана стойност на печалбите“, която за първи път се появява през 17 век в теорията на хазарта в трудовете на Блез Паскал и Кристиан Хюйгенс. Въпреки това, първото цялостно теоретично разбиране и оценка на това понятие е дадено от Пафнутий Лвович Чебишев (средата на 19 век).

Законът за разпределение на случайни числови променливи (функция на разпределение и ред на разпределение или плътност на вероятността) напълно описва поведението на случайна променлива. Но в редица задачи е достатъчно да знаете някои числени характеристики на изследваната величина (например нейната средна стойност и възможно отклонениеот него), за да отговорите на поставения въпрос. Основните числени характеристики на случайните променливи са математическото очакване, дисперсията, модата и медианата.

Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на нейните възможни стойности и съответните им вероятности. Понякога математическото очакване се нарича среднопретеглена стойност, тъй като е приблизително равно на средната аритметична стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива за голям брой експерименти. От дефиницията на математическото очакване следва, че неговата стойност е не по-малка от най-малката възможна стойност на случайна променлива и не повече от най-голямата. Математическото очакване на случайна променлива е неслучайна (постоянна) променлива.

Математическото очакване е просто физически смисъл: ако поставите единица маса върху права линия, като поставите някаква маса в някои точки (напр дискретно разпределение), или го „намажете“ с определена плътност (за абсолютно непрекъснато разпределение), тогава точката, съответстваща на математическото очакване, ще бъде координатата на „центъра на тежестта“ на линията.

Средната стойност на случайна променлива е определено число, което е неин „представител“ и го замества в грубо приблизителни изчисления. Когато казваме: „средното време на работа на лампата е 100 часа“ или „средната точка на удар е изместена спрямо целта с 2 м надясно“, ние посочваме определена числена характеристика на случайна променлива, която описва нейното местоположение на числовата ос, т.е. "позиционни характеристики".

От характеристиките на позицията в теорията на вероятностите жизненоважна роляиграе математическото очакване на случайна променлива, което понякога се нарича просто средна стойност на случайната променлива.

Помислете за случайната променлива х, имащи възможни стойности x1, x2, …, xnс вероятности p1, p2, …, pn. Трябва да характеризираме с някакво число позицията на стойностите на случайна променлива по оста x, като вземем предвид факта, че тези стойности имат различни вероятности. За целта е естествено да се използва т. нар. „среднопретеглена” стойност xi, и всяка стойност xi по време на осредняването трябва да се вземе предвид с „тегло“, пропорционално на вероятността за тази стойност. Така ще изчислим средната стойност на случайната променлива х, което обозначаваме M |X|:

Тази среднопретеглена стойност се нарича математическо очакване на случайната променлива. Така ние въведохме в разглеждането една от най-важните концепции на теорията на вероятностите - концепцията за математическото очакване. Математическото очакване на случайна променлива е сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайна променлива и вероятностите на тези стойности.

Нека се произвежда ннезависими експерименти, във всеки от които стойността хприема определена стойност. Да приемем, че стойността x1се появи m1пъти, стойност x2се появи м2пъти, общо значение xiсе появява ми пъти. Нека изчислим средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на стойността X, която за разлика от математическото очакване M|X|обозначаваме M*|X|:

С увеличаване на броя на експериментите нчестоти пище се доближи (сближи по вероятност) съответните вероятности. Следователно, средната аритметична стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива M|X|с увеличаване на броя на експериментите ще се доближи (сближи по вероятност) до своето математическо очакване. Формулираната по-горе връзка между средното аритметично и математическото очакване съставлява съдържанието на една от формите на закона за големите числа.

Вече знаем, че всички форми на закона за големите числа посочват факта, че някои средни стойности са стабилни за голям брой експерименти. Тук говорим за устойчивост на средноаритметичното от поредица от наблюдения на една и съща величина. При малък брой експерименти средноаритметичната стойност на техните резултати е случайна; с достатъчно увеличаване на броя на експериментите, той става „почти неслучаен“ и, стабилизирайки се, се доближава до постоянна стойност - математическото очакване.

Стабилността на средните стойности за голям брой експерименти може лесно да се провери експериментално. Например, когато претегляме тяло в лаборатория на прецизни везни, в резултат на претеглянето всеки път получаваме нова стойност; За да намалим грешката на наблюдение, претегляме тялото няколко пъти и използваме средноаритметичната стойност на получените стойности. Лесно е да се види, че с по-нататъшно увеличаване на броя на експериментите (претегляния), средноаритметичната стойност реагира на това увеличение все по-малко и при достатъчно голям брой експерименти практически престава да се променя.

трябва да бъде отбелязано че най-важната характеристикапозиция на случайна променлива - математическо очакване - не съществува за всички случайни променливи. Възможно е да се съставят примери за такива случайни променливи, за които не съществува математическо очакване, тъй като съответната сума или интеграл се разминават. Такива случаи обаче не представляват съществен интерес за практиката. Обикновено случайните променливи, с които работим, имат ограничен диапазон от възможни стойности и, разбира се, имат математическо очакване.

В допълнение към най-важните характеристики на позицията на случайна променлива - математическото очакване - на практика понякога се използват и други характеристики на позицията, по-специално модата и медианата на случайната променлива.

Режимът на случайна променлива е нейната най-вероятна стойност. Терминът "най-вероятна стойност" строго погледнато се прилага само за прекъснати количества; За непрекъсната стойностРежимът е стойността, при която плътността на вероятността е максимална. Фигурите показват режима съответно за прекъснати и непрекъснати случайни променливи.

Ако полигонът на разпределение (кривата на разпределение) има повече от един максимум, разпределението се нарича "мултимодално".

Понякога има разпределения, които имат минимум в средата, а не максимум. Такива разпределения се наричат ​​„антимодални“.

В общия случай модата и математическото очакване на една случайна величина не съвпадат. В конкретния случай, когато разпределението е симетрично и модално (т.е. има мода) и има математическо очакване, то то съвпада с модата и центъра на симетрия на разпределението.

Често се използва и друга характеристика на позицията - така наречената медиана на случайна величина. Тази характеристика обикновено се използва само за непрекъснати случайни променливи, въпреки че може да бъде формално дефинирана за прекъсната променлива. Геометрично медианата е абсцисата на точката, в която площта, оградена от кривата на разпределение, е разделена наполовина.

При симетрично модално разпределение медианата съвпада с математическото очакване и модата.

Математическото очакване е средната стойност на случайна величина - числена характеристика на вероятностното разпределение на случайна величина. Най-общо казано, математическото очакване на случайна променлива X(w)се определя като интеграл на Лебег по отношение на вероятностната мярка Рв първоначалното вероятностно пространство:

Математическото очакване може да се изчисли и като интеграл на Лебег от хчрез разпределение на вероятностите pxколичества х:

Концепцията за случайна променлива с безкрайно математическо очакване може да се дефинира по естествен начин. Типичен примерслужат като времена за връщане в някои произволни разходки.

С помощта на математическото очакване много числени и функционални характеристикиразпределения (като математическо очакване на съответните функции от случайна променлива), например генерираща функция, характеристична функция, моменти от всякакъв ред, по-специално дисперсия, ковариация.

Математическото очакване е характеристика на местоположението на стойностите на случайна променлива (средната стойност на нейното разпределение). В това си качество математическото очакване служи като някакъв "типичен" параметър на разпределението и неговата роля е подобна на ролята на статичния момент - координатата на центъра на тежестта на разпределението на масата - в механиката. От други характеристики на местоположението, с помощта на които разпределението се описва в общи термини - медиани, моди, математическото очакване се различава по по-голямата стойност, която то и съответната характеристика на разсейване - дисперсия - имат в граничните теореми на теорията на вероятностите. Смисълът на математическото очакване се разкрива най-пълно от закона за големите числа (неравенството на Чебишев) и засиления закон за големите числа.

Очакване на дискретна случайна променлива

Нека има някаква случайна променлива, която може да приеме една от няколко числови стойности (например броят на точките при хвърляне на зарове може да бъде 1, 2, 3, 4, 5 или 6). Често на практика за такава стойност възниква въпросът: каква стойност приема „средно“ при голям брой тестове? Какъв ще бъде средният ни доход (или загуба) от всяка от рисковите сделки?

Да кажем, че има някаква лотария. Искаме да разберем дали е изгодно или не да участваме в него (или дори да участваме многократно, редовно). Да кажем, че всеки четвърти билет е печеливш, наградата ще бъде 300 рубли, а цената на всеки билет ще бъде 100 рубли. При безкрайно голям брой участия това се случва. В три четвърти от случаите ще загубим, всеки три загуби ще струват 300 рубли. Във всеки четвърти случай ще спечелим 200 рубли. (награда минус цена), тоест за четири участия губим средно 100 рубли, за едно - средно 25 рубли. Общо средната цена на нашата разруха ще бъде 25 рубли на билет.

Ние хвърляме зарове. Ако не е измама (без изместване на центъра на тежестта и т.н.), тогава колко точки ще имаме средно наведнъж? Тъй като всяка опция е еднакво вероятна, ние просто вземаме средната аритметична стойност и получаваме 3,5. Тъй като това е СРЕДНО, няма защо да се възмущавате, че нито едно конкретно хвърляне няма да даде 3,5 точки - е, това кубче няма лице с такова число!

Сега нека обобщим нашите примери:

Нека разгледаме току-що дадената снимка. Вляво има таблица на разпределението на случайна променлива. Стойността X може да приеме една от n възможни стойности (показани в горния ред). Не може да има други значения. Под всяка възможно значениенеговата вероятност е написана по-долу. Вдясно е формулата, където M(X) се нарича математическо очакване. Значението на тази стойност е, че при голям брой тестове (с голяма извадка) средната стойност ще клони към същото това математическо очакване.

Нека се върнем отново към същия игрален куб. Математическото очакване на броя на точките при хвърляне е 3,5 (изчислете го сами по формулата, ако не ми вярвате). Да кажем, че сте го хвърлили няколко пъти. Резултатите са 4 и 6. Средната е 5, което е далеч от 3,5. Хвърлиха го още веднъж, получиха 3, тоест средно (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Някак далече от математическото очакване. Сега направете луд експеримент - хвърлете кубчето 1000 пъти! И дори ако средната стойност не е точно 3,5, тя ще бъде близо до това.

Нека изчислим математическото очакване за описаната по-горе лотария. Плочата ще изглежда така:

Тогава математическото очакване ще бъде, както установихме по-горе:

Друго нещо е, че би било трудно да се направи „на пръсти“ без формула, ако имаше повече опции. Е, да кажем, че ще има 75% губещи билети, 20% печеливши билети и 5% особено печеливши.

Сега някои свойства на математическото очакване.

Лесно се доказва:

Константният множител може да се извади като знак на математическото очакване, тоест:

Това е частен случай на свойството линейност на математическото очакване.

Друго следствие от линейността на математическото очакване:

т.е. математическото очакване на сумата от случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на случайните променливи.

Нека X, Y са независими случайни променливи, Тогава:

Това също е лесно за доказване) Работа XYсама по себе си е случайна променлива и ако първоначалните стойности могат да приемат нИ мстойности съответно, тогава XYможе да приема nm стойности. Вероятността за всяка стойност се изчислява въз основа на факта, че вероятностите за независими събития се умножават. В резултат на това получаваме това:

Очакване на непрекъсната случайна променлива

Непрекъснатите случайни променливи имат такава характеристика като плътност на разпределение (плътност на вероятността). По същество характеризира ситуацията, че една случайна променлива приема някои стойности от набора от реални числа по-често, а някои по-рядко. Например, разгледайте тази графика:

Тук х- действителна случайна променлива, f(x)- плътност на разпространение. Съдейки по тази графика, по време на експериментите стойността хчесто ще бъде число, близко до нула. Шансовете са превишени 3 или да е по-малък -3 по-скоро чисто теоретично.

Нека, например, има равномерно разпределение:

Това е доста съвместимо с интуитивното разбиране. Да кажем, ако стигнем до равномерно разпределениемного произволни реални числа, всяко от сегмент |0; 1| , тогава средноаритметичната стойност трябва да бъде около 0,5.

Свойствата на математическото очакване - линейност и др., приложими за дискретни случайни величини, са приложими и тук.

Връзка между математическото очакване и други статистически показатели

В статистическия анализ, наред с математическото очакване, съществува система от взаимозависими показатели, които отразяват еднородността на явленията и устойчивостта на процесите. Индикаторите за вариация често нямат самостоятелно значение и се използват за допълнителен анализ на данни. Изключение прави коефициентът на вариация, който характеризира хомогенността на данните, което е ценна статистическа характеристика.

Степента на променливост или стабилност на процесите в статистическата наука може да се измери с помощта на няколко показателя.

Повечето важен показател, характеризиращ променливостта на случайна променлива, е дисперсия, което е най-тясно и пряко свързано с математическото очакване. Този параметър се използва активно в други видове статистически анализи (проверка на хипотези, анализ на причинно-следствените връзки и др.). Подобно на средното линейно отклонение, дисперсията също отразява степента на разпространение на данните около средната стойност.

Полезно е езикът на знаците да се преведе на езика на думите. Оказва се, че дисперсията е средният квадрат на отклоненията. Тоест първо се изчислява средната стойност, след което се взема разликата между всяка първоначална и средна стойност, повдига се на квадрат, добавя се и след това се разделя на броя на стойностите в популацията. Разликата между индивидуалната стойност и средната стойност отразява мярката на отклонението. Той се повдига на квадрат, така че всички отклонения да станат изключително положителни числа и да се избегне взаимното унищожаване на положителните и отрицателните отклонения при сумирането им. След това, като имаме квадратни отклонения, ние просто изчисляваме средната аритметична стойност. Средно - квадрат - отклонения. Отклоненията се повдигат на квадрат и се изчислява средната стойност. Отговорът на вълшебната дума „разпръскване“ се крие само в три думи.

Въпреки това, в чиста форма, като средно аритметично или индекс, дисперсията не се използва. Това е по-скоро спомагателен и междинен показател, който се използва за други видове статистически анализи. Дори няма нормална мерна единица. Съдейки по формулата, това е квадратът на мерната единица на оригиналните данни.

Нека измерим случайна променлива нпъти, например, измерваме скоростта на вятъра десет пъти и искаме да намерим средната стойност. Как средната стойност е свързана с функцията на разпределение?

Или ще хвърлим заровете голям брой пъти. Броят на точките, които ще се появят на заровете с всяко хвърляне, е случайна променлива и може да приеме произволна естествена стойност от 1 до 6. Средната аритметична стойност на изпуснатите точки, изчислена за всички хвърляния на зарове, също е случайна променлива, но за големи нклони към много конкретно число - математическо очакване Mx. IN в такъв случайМх = 3,5.

Как получихте тази стойност? Нека влезе нтестове n1след като получите 1 точка, n2веднъж - 2 точки и т.н. Тогава броят на резултатите, при които е паднала една точка:

По същия начин за резултатите, когато се хвърлят 2, 3, 4, 5 и 6 точки.

Нека сега приемем, че знаем закона за разпределение на случайната променлива x, тоест знаем, че случайната променлива x може да приема стойности x1, x2, ..., xk с вероятности p1, p2, ..., pk.

Математическото очакване Mx на случайна променлива x е равно на:

Математическото очакване не винаги е разумна оценка на някаква случайна променлива. И така, за да изчислим средната стойност заплатипо-разумно е да се използва понятието медиана, тоест такава стойност, че броят на хората, получаващи заплата, по-ниска от медианата, и по-голяма съвпадат.

Вероятността p1, че случайната променлива x ще бъде по-малка от x1/2, и вероятността p2, че случайната променлива x ще бъде по-голяма от x1/2, са еднакви и равни на 1/2. Медианата не се определя еднозначно за всички разпределения.

Стандартно или стандартно отклонениев статистиката се нарича степента на отклонение на данните от наблюденията или наборите от СРЕДНАТА стойност. Означава се с буквите s или s. Малко стандартно отклонение показва, че данните се групират около средната стойност, докато голямото стандартно отклонение показва, че първоначалните данни са разположени далеч от нея. Стандартно отклонениеравно на корен квадратенколичество, наречено дисперсия. Това е средната стойност на сумата от квадратите на разликите на първоначалните данни, които се отклоняват от средната стойност. Стандартното отклонение на случайна променлива е корен квадратен от дисперсията:

Пример. При условия на изпитване при стрелба по мишена, изчислете дисперсията и стандартното отклонение на случайната променлива:

Вариация- колебание, променливост на стойността на дадена характеристика сред единиците от съвкупността. Отделно числови стойностихарактеристики, открити в изследваната популация, се наричат ​​варианти на значението. Недостатъчна средна стойност за пълни характеристикипопулацията ни принуждава да допълваме средните стойности с показатели, които ни позволяват да оценим типичността на тези средни стойности чрез измерване на променливостта (вариацията) на изследваната характеристика. Коефициентът на вариация се изчислява по формулата:

Диапазон на вариация(R) представлява разликата между максималните и минималните стойности на атрибута в изследваната популация. Този показател дава най-много Главна идеяотносно променливостта на изследваната характеристика, тъй като тя показва разликата само между граничните стойности на опциите. Зависимостта от екстремните стойности на дадена характеристика придава на обхвата на вариацията нестабилен, случаен характер.

Средно линейно отклонениепредставлява средноаритметичното на абсолютните (по модул) отклонения на всички стойности на анализираната популация от тяхната средна стойност:

Математическо очакване в теорията на хазарта

Математическото очакване еСредната сума пари, която един комарджия може да спечели или загуби от даден залог. Това е много важна концепция за играча, защото е фундаментална за оценката на повечето игрови ситуации. Математическото очакване също е оптималният инструмент за анализиране на основни оформления на карти и игрови ситуации.

Да речем, че играете игра с монети с приятел, като залагате еднакво $1 всеки път, независимо какво се появи. Опашки означава, че печелите, глави означава, че губите. Шансовете са едно към едно, че ще се стигне до глави, така че залагате $1 към $1. Така вашето математическо очакване е нула, защото От математическа гледна точка не можете да знаете дали ще водите или ще загубите след две хвърляния или след 200.

Вашата почасова печалба е нула. Печалбите на час са сумата пари, която очаквате да спечелите за един час. Можете да хвърлите монета 500 пъти за един час, но няма да спечелите или загубите, защото... шансовете ви не са нито положителни, нито отрицателни. Ако погледнете, от гледна точка на сериозен играч, тази система за залагане не е лоша. Но това е просто загуба на време.

Но да кажем, че някой иска да заложи $2 срещу вашия $1 на същата игра. След това веднага имате положително очакване от 50 цента от всеки залог. Защо 50 цента? Средно печелите един залог и губите втория. Заложете първия долар и ще загубите $1, заложете втория и ще спечелите $2. Залагате $1 два пъти и водите с $1. Така че всеки от вашите залози от един долар ви е давал 50 цента.

Ако една монета се появи 500 пъти за един час, вашата почасова печалба вече ще бъде $250, защото... Средно сте загубили един долар 250 пъти и сте спечелили два долара 250 пъти. $500 минус $250 се равнява на $250, което е общата печалба. Моля, имайте предвид, че очакваната стойност, която е средната сума, която печелите на залог, е 50 цента. Спечелихте $250, като заложихте долар 500 пъти, което се равнява на 50 цента на залог.

Математическото очакване няма нищо общо с краткосрочните резултати. Вашият опонент, който е решил да заложи $2 срещу вас, може да ви победи при първите десет хвърляния подред, но вие, като имате предимство при залагания 2 към 1, при равни други условия, ще спечелите 50 цента за всеки $1 залог във всеки обстоятелства. Няма значение дали печелите или губите един залог или няколко залога, стига да разполагате с достатъчно пари, за да покриете удобно разходите. Ако продължите да залагате по същия начин, тогава за дълъг периодСлед време вашите печалби ще се доближат до сумата от очакваните стойности в отделните хвърляния.

Всеки път, когато направите най-добър залог (залог, който може да се окаже печеливш в дългосрочен план), когато шансовете са във ваша полза, вие сте длъжни да спечелите нещо от него, без значение дали го губите или не в подадена ръка. Обратно, ако направите аутсайдер залог (залог, който е нерентабилен в дългосрочен план), когато шансовете са срещу вас, вие губите нещо, независимо дали печелите или губите ръката.

Вие правите залог с най-добър резултат, ако очакванията ви са положителни и е положителен, ако шансовете са на ваша страна. Когато направите залог с най-лош изход, вие имате отрицателно очакване, което се случва, когато шансовете са срещу вас. Сериозните играчи залагат само на най-добрия резултат; ако се случи най-лошото, те фолдват. Какво означава коефициентът във ваша полза? В крайна сметка може да спечелите повече от реалните коефициенти. Реалните шансове за приземяване на глави са 1 към 1, но вие получавате 2 към 1 поради съотношението на шансовете. В този случай шансовете са във ваша полза. Определено получавате най-добрия резултат с положително очакване от 50 цента на залог.

Ето един по-сложен пример за математическо очакване. Един приятел записва числа от едно до пет и залага $5 срещу вашия $1, че няма да познаете числото. Трябва ли да се съгласите на такъв залог? Какво е очакването тук?

Средно ще сгрешите четири пъти. Въз основа на това шансовете да познаете числото са 4 към 1. Шансовете да загубите долар при един опит. Вие обаче печелите 5 към 1, с възможност да загубите 4 към 1. Така че шансовете са във ваша полза, можете да приемете залога и да се надявате на най-добрия изход. Ако направите този залог пет пъти, средно ще загубите $1 четири пъти и ще спечелите $5 веднъж. Въз основа на това, за всичките пет опита ще спечелите $1 с положително математическо очакване от 20 цента на залог.

Играч, който ще спечели повече, отколкото е заложил, както в примера по-горе, рискува. Напротив, той съсипва шансовете си, когато очаква да спечели по-малко, отколкото залага. Залагащият може да има положително или отрицателно очакване, което зависи от това дали печели или разваля шансовете.

Ако заложите $50, за да спечелите $10 с шанс 4 към 1 за печалба, ще получите отрицателно очакване от $2, защото Средно ще спечелите $10 четири пъти и ще загубите $50 веднъж, което показва, че загубата на залог ще бъде $10. Но ако заложите $30, за да спечелите $10, със същите шансове за победа 4 към 1, тогава в този случай имате положително очакване от $2, т.к. отново печелите $10 четири пъти и губите $30 веднъж, за печалба от $10. Тези примери показват, че първият залог е лош, а вторият е добър.

Математическото очакване е в центъра на всяка игрова ситуация. Когато букмейкър насърчава футболните фенове да залагат $11, за да спечелят $10, той има положително очакване от 50 цента на всеки $10. Ако казиното плаща дори пари от пас линията в зарове, тогава положителното очакване на казиното ще бъде приблизително $1,40 за всеки $100, т.к. Тази игра е структурирана така, че всеки, който залага на тази линия, губи средно 50,7% и печели 49,3% от общото време. Несъмнено това привидно минимално положително очакване носи огромни печалби на собствениците на казина по света. Както отбеляза собственикът на казино Vegas World Боб Ступак, „една хилядна от един процент отрицателна вероятност на достатъчно голямо разстояние ще съсипе най-богатият човекв света".

Очаквания при игра на покер

Играта на покер е най-нагледният и нагледен пример от гледна точка на използването на теорията и свойствата на математическото очакване.

Очакваната стойност в покера е средната полза от конкретно решение, при условие че такова решение може да се разглежда в рамките на теорията за големите числа и дългите разстояния. Успешната игра на покер означава винаги да се приемат ходове с положителна очаквана стойност.

Математическото значение на математическото очакване при игра на покер е, че често срещаме случайни променливи, когато вземаме решения (не знаем какви карти има опонентът в ръцете си, какви карти ще дойдат в следващите рундове на залагане). Трябва да разгледаме всяко от решенията от гледна точка на теорията на големите числа, която гласи, че при достатъчно голяма извадка средната стойност на случайна променлива ще клони към нейното математическо очакване.

Сред конкретните формули за изчисляване на математическото очакване, следната е най-приложима в покера:

Когато играете покер, очакваната стойност може да бъде изчислена както за залози, така и за плащания. В първия случай трябва да се вземе предвид собственият капитал на фолд, а във втория - собствените шансове на банката. Когато оценявате математическото очакване на конкретен ход, трябва да запомните, че фолдът винаги има нулево очакване. По този начин изхвърлянето на карти винаги ще бъде по-изгодно решение от всяко отрицателно движение.

Очакванията ви казват какво можете да очаквате (печалба или загуба) за всеки долар, който рискувате. Казината правят пари, защото математическото очакване на всички игри, които се играят в тях, е в полза на казиното. При достатъчно дълга поредица от игри можете да очаквате, че клиентът ще загуби парите си, тъй като „коефициентите“ са в полза на казиното. Професионалните казино играчи обаче ограничават игрите си до кратки периоди от време, като по този начин натрупват шансовете в своя полза. Същото важи и за инвестирането. Ако очакванията ви са положителни, можете да спечелите повече пари, като направите много сделки за кратък период от време. Очакването е вашият процент печалба на печалба, умножен по средната ви печалба, минус вероятността от загуба, умножена по средната ви загуба.

Покерът може да се разглежда и от гледна точка на математическото очакване. Може да приемете, че определен ход е печеливш, но в някои случаи може да не е най-добрият, защото друг ход е по-печеливш. Да приемем, че сте ударили фул хаус в покер с пет карти. Опонентът ви прави залог. Знаете, че ако вдигнете залога, той ще отговори. Следователно рейзът изглежда най-добрата тактика. Но ако вдигнете залога, останалите двама играчи със сигурност ще се откажат. Но ако колнеш, си напълно уверен, че другите двама играчи зад теб ще направят същото. Когато увеличите залога си, получавате една единица, а когато просто платите, получавате две. По този начин колването ви дава по-висока положителна очаквана стойност и ще бъде най-добрата тактика.

Математическото очакване също може да даде представа кои покер тактики са по-малко печеливши и кои са по-печеливши. Например, ако играете определена ръка и смятате, че загубата ви ще бъде средно 75 цента, включително анте, тогава трябва да играете тази ръка, защото това е по-добре от фолдване, когато антето е $1.

Друг важна причинада разберете същността на математическото очакване е, че то ви дава усещане за спокойствие, независимо дали печелите залога или не: ако сте направили добър залог или сте фолднали навреме, ще знаете, че сте спечелили или спестили определена сума пари, която по-слабият играч не успя да спаси. Много по-трудно е да фолднете, ако сте разстроени, защото опонентът ви е изтеглил по-силна ръка. С всичко това парите, които спестявате, като не играете, вместо да залагате, се добавят към вашите печалби за нощта или месеца.

Само не забравяйте, че ако смените ръцете си, опонентът ви щеше да ви плати и както ще видите в статията за фундаменталната теорема на покера, това е само едно от вашите предимства. Трябва да си щастлив, когато това се случи. Можете дори да се научите да се наслаждавате на загубата на ръка, защото знаете, че други играчи на вашата позиция биха загубили много повече.

Както беше обсъдено в примера с играта с монети в началото, коефициентът на почасова печалба е свързан с математическото очакване и тази концепцияособено важно за професионални играчи. Когато отидете да играете покер, трябва да прецените наум колко можете да спечелите за един час игра. В повечето случаи ще трябва да разчитате на интуицията и опита си, но можете да използвате и малко математика. Например, вие играете дроу лоубол и виждате трима играчи да залагат $10 и след това да разменят две карти, което е много лоша тактика, можете да разберете, че всеки път, когато залагат $10, губят около $2. Всеки от тях прави това осем пъти на час, което означава, че и тримата губят приблизително $48 на час. Вие сте един от останалите четирима играчи, които са приблизително равни, така че тези четирима играчи (и вие сред тях) трябва да разделят $48, като всеки печели $12 на час. Вашите почасови шансове в този случай са просто равни на вашия дял от сумата пари, загубена от трима лоши играчи за един час.

За дълъг период от време общите печалби на играча са сумата от неговите математически очаквания в отделните ръце. Колкото повече ръце играете с положително очакване, толкова повече печелите и обратното, колкото повече ръце играете с отрицателно очакване, толкова повече губите. В резултат на това трябва да изберете игра, която може да максимизира положителното ви очакване или да отхвърли отрицателното ви очакване, така че да можете да максимизирате почасовите си печалби.

Положително математическо очакване в стратегията за игри

Ако знаете как да броите карти, можете да имате предимство пред казиното, стига да не ви забележат и да ви изхвърлят. Казината обичат пияни играчи и не толерират играчи, които броят карти. Предимството ще ви позволи да спечелите с течение на времето. по-голям бройпъти, отколкото да загубите. Добро управлениекапитал, когато използвате изчисления на очакваната стойност, може да ви помогне да извлечете повече печалба от вашето предимство и да намалите загубите си. Без предимство е по-добре да дадете парите за благотворителност. В играта на фондовата борса предимство дава системата на играта, която създава по-големи печалби от загуби, ценови разлики и комисионни. Никакво управление на парите не може да спаси лоша игрална система.

Положителното очакване се определя като стойност, по-голяма от нула. Колкото по-голямо е това число, толкова по-силно е статистическото очакване. Ако стойността е по-малка от нула, тогава математическото очакване също ще бъде отрицателно. Колкото по-голям е модулът на отрицателната стойност, толкова по-лоша е ситуацията. Ако резултатът е нула, тогава чакането е равностойно. Можете да спечелите само когато имате положително математическо очакване и разумна система на игра. Играта с интуицията води до катастрофа.

Математическо очакване и борсова търговия

Математическото очакване е доста широко използван и популярен статистически индикатор при извършване на борсова търговия на финансовите пазари. На първо място, този параметър се използва за анализ на успеха на търговията. Не е трудно да се досетите, че колкото по-висока е тази стойност, толкова повече са причините да се смята, че изучаваната търговия е успешна. Разбира се, анализът на работата на търговеца не може да се извърши само с този параметър. Въпреки това, изчислената стойност, в комбинация с други методи за оценка на качеството на работа, може значително да повиши точността на анализа.

Математическото очакване често се изчислява в услугите за наблюдение на сметки за търговия, което ви позволява бързо да оцените извършената работа по депозита. Изключенията включват стратегии, които използват нерентабилни сделки за „отсядане“. Търговецът може да има късмет за известно време и следователно може изобщо да няма загуби в работата му. В този случай няма да е възможно да се ръководи само от математическото очакване, тъй като рисковете, използвани в работата, няма да бъдат взети предвид.

В пазарната търговия математическото очакване се използва най-често, когато се прогнозира доходността на всяка стратегия за търговия или когато се прогнозира доходът на търговеца въз основа на статистически данни от предишната му търговия.

По отношение на управлението на парите е много важно да се разбере, че когато се правят сделки с отрицателни очаквания, няма схема за управление на парите, която определено може да донесе високи печалби. Ако продължите да играете на фондовия пазар при тези условия, тогава независимо от това как управлявате парите си, ще загубите цялата си сметка, без значение колко голяма е била в началото.

Тази аксиома е вярна не само за игри или сделки с отрицателни очаквания, но и за игри с равни шансове. Следователно, единственият път, когато имате шанс да спечелите в дългосрочен план, е ако сключвате сделки с положителна очаквана стойност.

Разликата между негативните очаквания и позитивните очаквания е разликата между живота и смъртта. Няма значение колко положително или колко отрицателно е очакването; Всичко, което има значение, е дали е положително или отрицателно. Ето защо, преди да обмислите управление на парите, трябва да намерите игра с положителни очаквания.

Ако нямате тази игра, тогава цялото управление на парите на света няма да ви спаси. От друга страна, ако имате положително очакване, можете чрез правилно управление на парите да го превърнете във функция на експоненциален растеж. Няма значение колко малко е положителното очакване! С други думи, няма значение колко печеливша е системата за търговия, базирана на един договор. Ако имате система, която печели $10 на договор на сделка (след комисионни и пропускане), можете да използвате техники за управление на парите, за да я направите по-печеливша от система, която средно $1000 на сделка (след приспадане на комисионни и пропускане).

Това, което има значение, не е колко печеливша е била системата, а колко сигурно може да се каже, че системата показва поне минимална печалба в бъдеще. Следователно най-важната подготовка, която търговецът може да направи, е да гарантира, че системата ще покаже положителна очаквана стойност в бъдеще.

За да имате положителна очаквана стойност в бъдеще, е много важно да не ограничавате степените на свобода на вашата система. Това се постига не само чрез елиминиране или намаляване на броя на параметрите, които трябва да се оптимизират, но и чрез намаляване на възможно най-много системни правила. Всеки параметър, който добавяте, всяко правило, което правите, всяка малка промяна, която правите в системата, намалява броя на степените на свобода. В идеалния случай трябва да изградите доста примитивен и проста система, което постоянно ще генерира малки печалби на почти всеки пазар. Отново, важно е да разберете, че няма значение колко печеливша е системата, стига да е печеливша. Парите, които печелите от търговия, ще бъдат спечелени чрез ефективно управлениепари.

Системата за търговия е просто инструмент, който ви дава положителна очаквана стойност, така че да можете да използвате управлението на парите. Системи, които работят (показват поне минимални печалби) само на един или няколко пазара, или имат различни правила или параметри за различните пазари, най-вероятно няма да работят в реално време достатъчно дълго. Проблемът с повечето технически ориентирани търговци е, че отделят твърде много време и усилия за оптимизация различни правилаи стойности на параметрите на системата за търговия. Това дава напълно противоположни резултати. Вместо да губите енергия и компютърно време за увеличаване на печалбите на системата за търговия, насочете енергията си към повишаване на нивото на надеждност за получаване на минимална печалба.

Знаейки, че управлението на парите е просто игра с числа, която изисква използването на положителни очаквания, търговецът може да спре да търси „свещения граал“ на борсовата търговия. Вместо това той може да започне да тества метода си на търговия, да разбере колко логичен е този метод и дали дава положителни очаквания. Правилни методиуправлението на парите, приложено към всякакви, дори много посредствени методи за търговия, сами ще свършат останалата работа.

За да успее всеки търговец в работата си, той трябва да реши най-много три важни задачи: . Да се ​​гарантира, че броят на успешните транзакции надвишава неизбежните грешки и грешни изчисления; Настройте вашата система за търговия, така че да имате възможност да печелите пари възможно най-често; Постигнете стабилни положителни резултати от дейността си.

И тук, за нас, работещите трейдъри, математическото очакване може да бъде от голяма полза. Този термин е един от ключовите в теорията на вероятностите. С негова помощ можете да дадете средна оценка на някаква произволна стойност. Математическото очакване на случайна променлива е подобно на центъра на тежестта, ако си представите всички възможни вероятности като точки с различни маси.

Във връзка със стратегията за търговия, математическото очакване на печалба (или загуба) най-често се използва за оценка на нейната ефективност. Този параметър се определя като сумата от продуктите на дадени нива на печалба и загуба и вероятността за тяхното възникване. Например, разработената стратегия за търговия предполага, че 37% от всички транзакции ще донесат печалба, а останалата част - 63% - ще бъдат нерентабилни. В същото време средният доход от успешна транзакция ще бъде $7, а средната загуба ще бъде $1,4. Нека изчислим математическото очакване на търговията с помощта на тази система:

Какво означава това число? Там се казва, че следвайки правилата на тази система, средно ще получим $1708 от всяка затворена транзакция. Тъй като резултатната оценка на ефективността е по-голяма от нула, такава система може да се използва за реална работа. Ако в резултат на изчислението математическото очакване се окаже отрицателно, тогава това вече означава средна загуба и такава търговия ще доведе до крах.

Размерът на печалбата на транзакция може да бъде изразен и като относителна стойност под формата на %. Например:

– процент доход от 1 сделка - 5%;

– процент на успешни търговски операции - 62%;

– процент на загуба на 1 сделка - 3%;

– процент на неуспешни сделки - 38%;

Тоест средната търговия ще донесе 1,96%.

Възможно е да се разработи система, която въпреки преобладаването на нерентабилните сделки ще даде положителен резултат, тъй като неговият MO>0.

Самото чакане обаче не е достатъчно. Трудно е да се правят пари, ако системата дава много малко сигнали за търговия. В този случай неговата доходност ще бъде сравнима с банковата лихва. Нека всяка операция произвежда средно само 0,5 долара, но какво ще стане, ако системата включва 1000 операции годишно? Това ще бъде много значителна сума за сравнително кратко време. От това логично следва, че може да се има предвид още една отличителна черта на добрата система за търговия краткосрочендържане на позиции.

Източници и връзки

dic.academic.ru – академичен онлайн речник

mathematics.ru – образователен сайт по математика

nsu.ru – образователен сайт на Новосибирск държавен университет

webmath.ru – образователен порталза студенти, кандидати и ученици.

exponenta.ru образователен математически уебсайт

ru.tradimo.com – безплатно училище за онлайн търговия

crypto.hut2.ru – мултидисциплинарен информационен ресурс

poker-wiki.ru – безплатна енциклопедия на покера

sernam.ru – Научна библиотекаизбрани природонаучни издания

reshim.su – уебсайт НИЕ ЩЕ РАЗРЕШАВАМЕ проблеми с курсовата работа

unfx.ru – Forex на UNFX: обучение, сигнали за търговия, доверително управление

slovopedia.com – Голям енциклопедичен речникСловопедия

pokermansion.3dn.ru – Вашият водач в света на покера

statanaliz.info – информационен блог „Анализ на статистически данни“

forex-trader.rf – Портал за Forex-Trader

megafx.ru – актуални Форекс анализи

fx-by.com – всичко за един търговец