Формулите за намаляване на тригонометрията са лесни за запомняне. Формули за редукция, мнемонично правило, доказателство, примери

И още нещо: има доста много формули за редуциране и веднага ще ви предупредим да не ги учите наизуст. Няма абсолютно никаква нужда от това - има такава, която ви позволява лесно да прилагате формули за намаляване.

И така, нека запишем всички формули за редукция под формата на таблица.

Тези формули могат да бъдат пренаписани с градуси и радиани. За да направите това, просто запомнете връзката между градуси и радиани и заменете π със 180 градуса навсякъде.

Примери за използване на формули за намаляване

Целта на този параграф е да покаже как формулите за редукция се използват на практика за решаване на примери.

Като начало си струва да кажем, че има безкраен бройначини за представяне на ъгъл под знака на тригонометрични функции във формата и . Това се дължи на факта, че ъгълът може да приеме всякаква стойност. Нека покажем това с пример.

Например, нека вземем ъгъла под знака тригонометрична функцияравен Този ъгъл може да бъде представен като , или как , или как , или по много други начини.

Сега нека видим какви формули за намаляване ще трябва да използваме в зависимост от представянето на ъгъла. Да вземем.

Ако представим ъгъла като , тогава това представяне съответства на редукционна формула от формата , от която получаваме . Тук можем да посочим стойността на тригонометричната функция: .

За представяне вече ще използваме формула на формата , което ни води до следния резултат: .

И накрая, тъй като съответната формула за редукция има формата .

За да завършим тази дискусия, особено си струва да се отбележи, че има определени удобства при използване на ъглови представяния, в които ъгълът има стойност от 0 до 90 градуса (от 0 до pi в половин радиани).

Нека разгледаме друг пример за използване на формули за редукция.

Пример.

Използвайки формули за редукция, представете през синуса, а също и през косинуса на остър ъгъл.

Решение.

За да приложим формулите за намаляване, трябва да представим ъгъл от 197 градуса във формата или , а според условията на задачата ъгълът трябва да е остър. Това може да стане по два начина: или . По този начин, или .

Обръщайки се към съответните формули за намаляване и , получаваме и .

Отговор:

И .

Мнемонично правило

Както споменахме по-горе, не е необходимо да запомняте формули за намаляване. Ако ги разгледате внимателно, можете да идентифицирате модели, от които можете да получите правило, което ви позволява да получите някоя от формулите за намаляване. Наричат ​​го мнемонично правило(мнемотехниката е изкуството на запаметяването).

Мнемоничното правило включва три етапа:

Струва си да кажем веднага, че за да приложите мнемоничното правило, трябва да сте много добри в идентифицирането на знаците на синус, косинус, тангенс и котангенс по четвърти, тъй като ще трябва да правите това постоянно.

Нека да разгледаме приложението на мнемоничното правило, използвайки примери.

Пример.

Използвайки мнемонично правило, запишете формулите за намаляване на И , като се има предвид, че ъгълът е ъгълът на първата четвърт.

Решение.

Не е нужно да правим първата стъпка от правилото, тъй като ъглите под знаците на тригонометричните функции вече са написани в необходимата форма.

Да определим знака на функциите И . При условие, че - ъгълът на първата четвърт, ъгълът е също ъгълът на първата четвърт и ъгълът - ъгъл на втората четвърт. Косинусът в първата четвърт е със знак плюс, а тангенсът във втората четвърт е със знак минус. На този етап необходимите формули ще имат формата и . Сега, след като разбрахме знаците, можем да преминем към последната стъпка от мнемоничното правило.

Тъй като аргументът на функцията косинус има формата , тогава името на функцията трябва да се промени на кофункция, тоест на синус. И аргументът на допирателната има формата , следователно името на функцията трябва да остане същото.

В резултат на това имаме И . Можете да погледнете таблицата с формули за намаляване, за да се уверите, че получените резултати са верни.

Отговор:

И .

За да консолидирате материала, помислете за решаване на пример с конкретни ъгли.

Пример.

Използвайки мнемонично правило, редуцирайте до тригонометрични функции на остър ъгъл.

Решение.

Първо, нека си представим ъгъла от 777 градуса във формата, необходима за прилагане на мнемоничното правило. Това може да стане по два начина: или.

Първоначалният ъгъл е първата четвърт ъгъл, синусът на този ъгъл има знак плюс.

За представяне името на синуса трябва да остане същото, но за да се представи типа, синусът трябва да се промени на косинус.

В резултат на това имаме и .

Отговор:

И .

За да завършите тази точка, разгледайте пример, илюстриращ важността на правилното представяне на ъгъл под знака на тригонометрични функции за прилагане на мнемоничното правило: ъгъла трябва да е остър!!!

Нека изчислим тангенса на ъгъла. По принцип, като се позоваваме на материала в статията стойности на синус, косинус, тангенс и котангенс, можем веднага да отговорим на въпроса за проблема: .

Ако представим ъгъла като или като , тогава можем да използваме мнемоничното правило: И , което ни води до същия резултат.

Но това е, което може да се случи, ако вземете представяне на ъгъл, например, на формата. В този случай мнемоничното правило ще ни доведе до този резултат. Този резултат е неправилен и това се обяснява с факта, че за представянето нямахме право да приложим мнемоничното правило, тъй като ъгълът не е остър.

Доказателство на формули за редукция

Формулите за намаляване отразяват свойствата на периодичност, симетрия и изместване по ъгли и . Нека веднага да отбележим, че всички формули за намаляване могат да бъдат доказани чрез изхвърляне на термина в аргументите, тъй като това означава промяна на ъгъла с цял брой пълни обороти и това не променя стойностите на тригонометричните функции. Този термин служи като отражение на периодичността.

Първият блок от 16 формули за редукция следва директно от свойствата на синус, косинус, тангенс и котангенс. Дори не си струва да се спираме на тях.

Да преминем към следващия блок от формули. Първо, нека докажем първите две от тях. Останалото следва от тях. И така, нека докажем формулите за редукция на формата И .

Нека разгледаме единичната окръжност. Нека началната точка A, след завъртане на ъгъл, отива в точка A 1 (x, y), а след завъртане на ъгъл, в точка A 2. Нека начертаем A 1 H 1 и A 2 H 2 – перпендикуляри на правата Ox.

Лесно се вижда, че правоъгълните триъгълници OA 1 H 1 и OA 2 H 2 са равни по хипотенуза и два съседни ъгъла. От равенството на триъгълниците и разположението на точки A 1 и A 2 върху единичната окръжност става ясно, че ако точка A 1 има координати x и y, то точка A 2 има координати −y и x. Тогава дефинициите на синус и косинус ни позволяват да напишем равенствата и , от което следва, че И . Това доказва разглежданите формули за намаляване за всеки ъгъл.

Като се има предвид това И (ако е необходимо, вижте статията основни тригонометрични идентичности), както и току-що доказаните формули, ние получаваме и . Така доказахме следните две формули за редукция.

За да докажете формули за редукция с аргумент, достатъчно е да го представите като и след това да използвате доказаните формули и свойства на тригонометрични функции с противоположни аргументи. Например, .

Всички останали редукционни формули се доказват по подобен начин въз основа на вече доказаните чрез двойно приложение. Например, изглежда като , но като . И и - както и съответно.

Библиография.

• Алгебра:Учебник за 9 клас. ср. училище/Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. Теляковски С. А. - М.: Образование, 1990. - 272 с.: ил. - ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. И.Алгебра и началото на анализа: Учебник. за 10-11 клас. ср. училище - 3-то изд. - М.: Образование, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров - 14-то изд. - М.: Образование, 2004. - 384 с.: ил. - ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Определение. Редукционните формули са формули, които ви позволяват да преминете от тригонометрични функции на формата към функции на аргумент. С тяхна помощ синусът, косинусът, тангенсът и котангенсът на произволен ъгъл могат да бъдат намалени до синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл от интервала от 0 до 90 градуса (от 0 до радиани). По този начин формулите за намаляване ни позволяват да преминем към работа с ъгли в рамките на 90 градуса, което несъмнено е много удобно.

Формули за намаляване:

Има две правила за използване на формули за намаляване.

1. Ако ъгълът може да бъде представен като (π/2 ±a) или (3*π/2 ±a), тогава промени в името на функцията sin към cos, cos към sin, tg към ctg, ctg към tg. Ако ъгълът може да бъде представен във формата (π ±a) или (2*π ±a), тогава Името на функцията остава непроменено.

Погледнете снимката по-долу, на нея е показано схематично кога да смените знака и кога не

2. Знак за намалена функция остава същото. Ако първоначалната функция е имала знак плюс, тогава намалената функция също има знак плюс. Ако първоначалната функция е имала знак минус, тогава намалената функция също има знак минус.

Фигурата по-долу показва знаците на основните тригонометрични функции в зависимост от тримесечието.

Пример:

Изчисли

Нека използваме формулите за намаляване:

Sin(150˚) е във втората четвърт; от фигурата виждаме, че знакът sin в тази четвърт е равен на „+“. Това означава, че дадената функция също ще има знак „+“. Приложихме второто правило.

Сега 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ е π/2. Тоест имаме работа със случая π/2+60, следователно, според първото правило, променяме функцията от sin на cos. В резултат на това получаваме Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

И още една задача Б11 по същата тема - от истинския Единен държавен изпит по математика.

Задача. Намерете значението на израза:

В този кратък видео урок ще научим как да кандидатстваме формули за намаляванеза решаване на реални задачи В11 от Единния държавен изпит по математика. Както можете да видите, имаме два тригонометрични израза, всеки от които съдържа синуси и косинуси, както и някои доста брутални числени аргументи.

Преди да решим тези задачи, нека си припомним какво представляват формулите за редукция. Така че, ако имаме изрази като:

Тогава можем да се отървем от първия член (от формата k · π/2) според специални правила. Нека начертаем тригонометрична окръжност и върху нея да отбележим основните точки: 0, π/2; π; 3π/2 и 2π. След това разглеждаме първия член под знака на тригонометричната функция. Ние имаме:

1. Ако членът, който ни интересува, лежи на вертикалната ос на тригонометричната окръжност (например: 3π/2; π/2 и т.н.), тогава първоначалната функция се заменя с кофункция: синусът се заменя с косинус, и косинус, напротив, по синус.
2. Ако нашият член лежи на хоризонталната ос, тогава първоначалната функция не се променя. Просто премахваме първия член в израза и това е всичко.

Така получаваме тригонометрична функция, която не съдържа членове от вида k · π/2. Работата с редукционните формули обаче не свършва дотук. Факт е, че нашата нова функция, получена след „изхвърляне“ на първия член, може да има знак плюс или минус пред него. Как да разпознаем този знак? Сега ще разберем.

Нека си представим, че ъгълът α, оставащ вътре в тригонометричната функция след трансформации, има много малка градусна мярка. Но какво означава „малка мярка“? Да речем α ∈ (0; 30°) – това е напълно достатъчно. Да вземем пример за функцията:

След това, следвайки нашите допускания, че α ∈ (0; 30°), заключаваме, че ъгълът 3π/2 − α лежи в третата координатна четвърт, т.е. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Нека си спомним знака на оригиналната функция, т.е. y = sin x на този интервал. Очевидно синусът в третата координатна четвърт е отрицателен, тъй като по дефиниция синусът е ординатата на края на движещия се радиус (накратко, синусът е y координатата). Е, координатата у в долната полуравнина винаги приема отрицателни стойности. Това означава, че през третото тримесечие y също е отрицателно.

Въз основа на тези отражения можем да запишем крайния израз:

Задача B11 ​​- Вариант 1

Същите тези техники са доста подходящи за решаване на задача B11 ​​от Единния държавен изпит по математика. Единствената разлика е, че в много реални задачи B11, вместо мярка в радиан (т.е. числа π, π/2, 2π и т.н.) се използва мярка в градус (т.е. 90°, 180°, 270° и т.н.). Нека разгледаме първата задача:

Нека първо да разгледаме числителя. защото 41° не е таблична стойност, така че не можем да направим нищо с него. Нека го оставим така за сега.

Сега нека да разгледаме знаменателя:

sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°

Очевидно това е редукционна формула, така че синусът се заменя с косинус. Освен това ъгълът 41° лежи върху сегмента (0°; 90°), т.е. в първия координатен квадрант - точно колкото е необходимо за прилагане на формулите за редукция. Но тогава 90° + 41° е втората координатна четвърт. Първоначалната функция y = sin x е положителна там, така че поставихме знак плюс пред косинуса на последната стъпка (с други думи, не поставихме нищо).

Остава да се справим с последния елемент:

cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5

Тук виждаме, че 180° е хоризонтална ос. Следователно самата функция няма да се промени: имаше косинус - и косинусът също ще остане. Но отново възниква въпросът: плюс или минус ще се появи пред получения израз cos 60°? Имайте предвид, че 180° е третата координатна четвърт. Косинусът там е отрицателен, следователно косинусът в крайна сметка ще има знак минус пред себе си. Като цяло получаваме конструкцията −cos 60° = −0,5 - това е таблична стойност, така че всичко е лесно за изчисляване.

Сега заместваме получените числа в оригиналната формула и получаваме:

Както можете да видите, числото cos 41° в числителя и знаменателя на дробта лесно се намалява и остава обичайният израз, който е равен на −10. В този случай минусът може или да бъде изваден и поставен пред знака за дроб, или да се „задържи“ до втория фактор до последната стъпка от изчисленията. Във всеки случай отговорът ще бъде −10. Това е всичко, проблем B11 е решен!

Задача B14 - вариант 2

Да преминем към втората задача. Пред нас отново е фракция:

Е, 27° се намира в първата координатна четвърт, така че няма да променяме нищо тук. Но грях 117° трябва да се напише (засега без квадрат):

sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°

Очевидно отново пред нас формула за намаляване: 90° е вертикалната ос, следователно синусът ще се промени в косинус. Освен това ъгълът α = 117° = 90° + 27° лежи във втория координатен квадрант. Първоначалната функция y = sin x е положителна там, следователно след всички трансформации все още има знак плюс пред косинуса. С други думи, там не се добавя нищо - оставяме го така: cos 27°.

Връщаме се към оригиналния израз, който трябва да бъде изчислен:

Както виждаме, след трансформациите основното тригонометрично тъждество възниква в знаменателя: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Общо −4: 1 = −4 - така намерихме отговора на втората задача B11.

Както можете да видите, с помощта на формули за редукция такива задачи от Единния държавен изпит по математика се решават буквално в няколко реда. Няма синус от сумата и косинус от разликата. Всичко, което трябва да запомним, е само тригонометричната окръжност.

Тази статия е посветена на подробно проучване тригонометрични формулипризраци Дан пълен списъкформули за намаляване, показани са примери за тяхното използване и е дадено доказателство за правилността на формулите. Статията предоставя също мнемонично правило, което ви позволява да извличате формули за редукция, без да запомняте всяка формула.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Формули за намаляване. списък

Формулите за редукция ви позволяват да намалите основните тригонометрични функции на ъгли с произволна величина до функции на ъгли, разположени в диапазона от 0 до 90 градуса (от 0 до π 2 радиана). Работата с ъгли от 0 до 90 градуса е много по-удобна от работата с произволно големи стойности, поради което формулите за редукция се използват широко при решаване на тригонометрични задачи.

Преди да запишем самите формули, нека изясним няколко важни точки за разбиране.

• Аргументите на тригонометричните функции във формулите за редукция са ъгли от вида ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z. Тук z е всяко цяло число, а α е произволен ъгъл на завъртане.
• Не е необходимо да научите всички формули за намаляване, чийто брой е доста впечатляващ. Има мнемонично правило, което улеснява извеждането на желаната формула. Ще говорим за мнемоничното правило по-късно.

Сега нека преминем директно към формулите за намаляване.

Формулите за намаляване ви позволяват да преминете от работа с произволни и произволно големи ъгли към работа с ъгли в диапазона от 0 до 90 градуса. Нека напишем всички формули в таблична форма.

Формули за намаляване

sin α + 2 π z = sin α, cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α, c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α, cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α, cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α, c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

IN в такъв случайформулите се записват в радиани. Можете обаче да ги напишете и с помощта на степени. Достатъчно е просто да преобразувате радиани в градуси, като замените π със 180 градуса.

Примери за използване на формули за намаляване

Ще покажем как да използваме формули за редукция и как тези формули се използват за решаване на практически примери.

Ъгълът под знака на тригонометричната функция може да бъде представен не по един, а по много начини. Например аргументът на тригонометрична функция може да бъде представен под формата ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z. Нека демонстрираме това.

Да вземем ъгъла α = 16 π 3. Този ъгъл може да се запише така:

α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π

В зависимост от представянето на ъгъла се използва подходящата формула за намаляване.

Нека вземем същия ъгъл α = 16 π 3 и изчислим тангенса му

Пример 1: Използване на формули за редукция

α = 16 π 3 , t g α = ?

Нека представим ъгъла α = 16 π 3 като α = π + π 3 + 2 π 2

Това представяне на ъгъла ще съответства на формулата за намаляване

t g (π + α + 2 π z) = t g α

t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3

Използвайки таблицата, посочваме стойността на тангентата

Сега използваме друго представяне на ъгъла α = 16 π 3.

Пример 2: Използване на формули за редукция

α = 16 π 3 , t g α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3

И накрая, за третото представяне на ъгъла, което пишем

Пример 3. Използване на формули за редукция

α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6 = 3

Сега нека дадем пример за използване на по-сложни формули за намаляване

Пример 4: Използване на формули за редукция

Нека си представим sin 197° през синуса и косинуса на остър ъгъл.

За да можете да приложите формули за намаляване, трябва да представите ъгъла α = 197 ° в една от формите

± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Според условията на задачата ъгълът трябва да е остър. Съответно имаме два начина да го представим:

197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°

Получаваме

sin 197° = sin (180° + 17°) sin 197° = sin (270° - 73°)

Сега нека да разгледаме формулите за намаляване на синусите и да изберем подходящите

sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin (270 ° - 73 ° + 360 ° z) = - cos 73 °

Мнемонично правило

Има много формули за намаляване и, за щастие, няма нужда да ги запомняте. Съществуват закономерности, чрез които могат да се изведат редукционни формули за различни ъгли и тригонометрични функции. Тези модели се наричат ​​мнемонични правила. Мнемониката е изкуството на запаметяването. Мнемоничното правило се състои от три части или съдържа три етапа.

Мнемонично правило

1. Аргументът на оригиналната функция е представен в една от следните форми:

± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz

Ъгъл α трябва да е между 0 и 90 градуса.

2. Определя се знакът на изходната тригонометрична функция. Функцията, написана от дясната страна на формулата, ще има същия знак.

3. За ъглите ± α + 2 πz и π ± α + 2 πz името на оригиналната функция остава непроменено, а за ъглите π 2 ± α + 2 πz и съответно 3 π 2 ± α + 2 πz се променя на „кофункция“. Синус - косинус. Тангенс - котангенс.

За да използвате мнемоничното ръководство за формули за редукция, трябва да можете да определяте знаците на тригонометричните функции въз основа на четвъртините на единичната окръжност. Нека да разгледаме примери за използване на мнемоничното правило.

Пример 1: Използване на мнемонично правило

Нека запишем формулите за редукция на cos π 2 - α + 2 πz и t g π - α + 2 πz. α е логаритъм на първото тримесечие.

1. Тъй като по условие α е логаритъм на първата четвърт, пропускаме първата точка от правилото.

2. Определете знаците cos функцииπ 2 - α + 2 πz и t g π - α + 2 πz. Ъгълът π 2 - α + 2 πz също е ъгълът на първата четвърт, а ъгълът π - α + 2 πz е във втората четвърт. През първата четвърт функцията косинус е положителна, а тангенса през втората четвърт е със знак минус. Нека запишем как ще изглеждат необходимите формули на този етап.

cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -

3. Според трета точка за ъгъла π 2 - α + 2 π името на функцията се променя на Конфуций, а за ъгъла π - α + 2 πz остава същото. Нека запишем:

cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α

Сега нека да разгледаме дадените по-горе формули и да се уверим, че мнемоничното правило работи.

Нека разгледаме пример с определен ъгъл α = 777°. Нека намалим синус алфа до тригонометричната функция на остър ъгъл.

Пример 2: Използване на мнемонично правило

1. Представете си ъгъла α = 777 ° в необходимата форма

777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2

2. Първоначалният ъгъл е ъгълът на първата четвърт. Това означава, че синусът на ъгъла има положителен знак. В резултат на това имаме:

3. sin 777° = sin (57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = sin (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°

Сега нека да разгледаме пример, който показва колко е важно да се определи правилно знакът на тригонометричната функция и правилно да се представи ъгълът, когато се използва мнемоничното правило. Нека го повторим отново.

важно!

Ъгъл α трябва да е остър!

Нека изчислим тангенса на ъгъл 5 π 3. От таблицата със стойности на основните тригонометрични функции можете веднага да вземете стойността t g 5 π 3 = - 3, но ще приложим мнемоничното правило.

Пример 3: Използване на мнемонично правило

Нека си представим ъгъла α = 5 π 3 в необходимата форма и използваме правилото

t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3

Ако представим ъгъла алфа във формата 5 π 3 = π + 2 π 3, тогава резултатът от прилагането на мнемоничното правило ще бъде неправилен.

t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3

Неправилният резултат се дължи на факта, че ъгълът 2 π 3 не е остър.

Доказателството на формулите за редукция се основава на свойствата на периодичност и симетрия на тригонометричните функции, както и на свойството на изместване с ъгли π 2 и 3 π 2. Доказателството за валидността на всички формули за редукция може да се извърши без да се взема предвид членът 2 πz, тъй като той означава промяна на ъгъла с цял брой пълни обороти и отразява точно свойството на периодичност.

Първите 16 формули следват директно от свойствата на основните тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс и котангенс.

Ето доказателство за редукционните формули за синуси и косинуси

sin π 2 + α = cos α и cos π 2 + α = - sin α

Нека разгледаме единична окръжност, чиято начална точка след завъртане на ъгъл α отива в точката A 1 x, y, а след завъртане на ъгъл π 2 + α - в точка A 2. От двете точки изчертаваме перпендикуляри към абсцисната ос.

две правоъгълен триъгълник O A 1 H 1 и O A 2 H 2 са равни по хипотенуза и прилежащи ъгли. От местоположението на точките върху окръжността и равенството на триъгълниците можем да заключим, че точка A 2 има координати A 2 - y, x. Използвайки дефинициите на синус и косинус, пишем:

sin α = y, cos α = x, sin π 2 + α = x, cos π 2 + α = y

sin π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - sin α

Като вземем предвид основните идентичности на тригонометрията и току-що доказаното, можем да напишем

t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - t g α

За да се докажат формули за редукция с аргумент π 2 - α, той трябва да бъде представен във формата π 2 + (- α). Например:

cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - sin (- α) = sin α

Доказателството използва свойствата на тригонометрични функции с аргументи с противоположни знаци.

Всички други формули за намаляване могат да бъдат доказани въз основа на тези, написани по-горе.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Урок и презентация на тема: "Приложение на формули за редукция при решаване на задачи"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, желания. Всички материали са проверени с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазина на Интеграл за 10 клас
1C: Училище. Интерактивни конструиращи задачи за 7-10 клас
1C: Училище. Решаваме задачи по геометрия. Интерактивни задачи за изграждане в пространството за 10-11 клас

Какво ще изучаваме:
1. Да повторим малко.
2. Правила за редукционни формули.
3. Таблица за преобразуване на формули за редукция.
4. Примери.

Преглед на тригонометрични функции

Момчета, вече сте попадали на формули за призраци, но все още не сте ги нарекли така. Как мислите: къде?

Вижте нашите рисунки. Правилно, когато бяха въведени дефинициите на тригонометричните функции.

Правило за редукционни формули

Нека въведем основното правило: Ако под знака на тригонометричната функция има число от вида π×n/2 + t, където n е всяко цяло число, тогава нашата тригонометрична функция може да бъде намалена до повече прост изглед, който ще съдържа само аргумента t. Такива формули се наричат ​​призрачни формули.

Нека си припомним някои формули:

• sin(t + 2π*k) = sin(t)
• cos(t + 2π*k) = cos(t)
• sin(t + π) = -sin(t)
• cos(t + π) = -cos(t)
• sin(t + π/2) = cos(t)
• cos(t + π/2) = -sin(t)
• tan(t + π*k) = tan(x)
• ctg(t + π*k) = ctg(x)

има много призрачни формули, нека направим правило, по което ще определяме нашите тригонометрични функции, когато използваме призрачни формули:

• Ако знакът на тригонометрична функция съдържа числа от вида: π + t, π - t, 2π + t и 2π - t, тогава функцията няма да се промени, т.е. например синусът ще остане синус, котангенс ще остане котангенс.
• Ако знакът на тригонометричната функция съдържа числа от вида: π/2 + t, π/2 - t,
  3π/2 + t и 3π/2 - t, тогава функцията ще се промени на свързана, тоест синусът ще стане косинус, котангенсът ще стане тангенс.
• Преди получената функция трябва да поставите знака, който трансформираната функция би имала при условие 0

Тези правила се прилагат и когато аргументът на функцията е даден в градуси!

Можем също да създадем таблица с трансформации на тригонометрични функции:

Примери за използване на формули за намаляване

1. Преобразувайте cos(π + t). Името на функцията остава, т.е. получаваме cos(t). Нека освен това приемем, че π/2

2. Преобразувайте sin(π/2 + t). Променя се името на функцията, т.е. получаваме cos(t). След това приемете, че 0 sin(t + π/2) = cos(t)

3. Преобразувайте tg(π + t). Името на функцията остава, т.е. получаваме tan(t). Нека освен това приемем, че 0

4. Трансформирайте ctg(270 0 + t). Името на функцията се променя, тоест получаваме tg(t). Нека освен това приемем, че 0

Задачи с редукционни формули за самостоятелно решение

Момчета, конвертирайте го сами, като използвате нашите правила:

1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) легло (π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) cotg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) sin(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).