, Където
.
Редът на Фурие на функция f(x) в интервала (-l;l) е тригонометричен ред от вида: 
, Където
.
Предназначение. Онлайн калкулаторе предназначен да разшири функцията f(x) в ред на Фурие.
За модулни функции (като |x|), използвайте косинусово разширение.
Частично непрекъснати редове на Фурие, частично монотонни и ограничени в интервала (- л;л) на функцията се събира на цялата числова ос.
Сума от редове на Фурие С(х):
- е периодична функция с период 2 л. Функция u(x) се нарича периодична с период T (или T-периодична), ако за всички x от областта R, u(x+T)=u(x).
- на интервала (- л;л) съвпада с функцията f(х), с изключение на точките на прекъсване
- в точки на прекъсване (от първи вид, тъй като функцията е ограничена) на функцията f(х) и в края на интервала приема средни стойности:
Казват, че функцията се разширява в ред на Фурие на интервала (- л;л):
.
Ако f(х) е четна функция, то в нейното разширяване участват само четни функции, т.е b n=0.
Ако f(х) е нечетна функция, то в нейното разширение участват само нечетни функции, т.е a n=0
Близо до Фурие
функции f(х) на интервала (0; л) чрез косинуси на множество дъги
редът се нарича: 
, Където 
.
Близо до Фурие
функции f(х) на интервала (0; л) по синусите на множество дъги
редът се нарича: 
, Където 
.
Сумата от редовете на Фурие върху косинусите на множество дъги е четна периодична функция с период 2 л, съвпадаща с f(х) на интервала (0; л) в точки на непрекъснатост.
Сумата от редовете на Фурие върху синусите на множество дъги е нечетна периодична функция с период 2 л, съвпадаща с f(х) на интервала (0; л) в точки на непрекъснатост.
Серията на Фурие за дадена функция на даден интервал има свойството уникалност, т.е. ако разширението се получава по някакъв начин, различен от използването на формули, например чрез избиране на коефициенти, тогава тези коефициенти съвпадат с тези, изчислени от формулите .
Пример №1. Функция за разгъване f(х)=1:
а) в пълен ред на Фурие на интервала(-π ;π);
б) в серия по синусите на множество дъги на интервала(0;π); начертайте получения ред на Фурие
Решение:
а) Разлагането в ред на Фурие върху интервала (-π;π) има формата: 
,
и всички коефициенти b n=0, защото тази функция- дори; По този начин,
Очевидно равенството ще бъде спазено, ако приемем
А 0 =2, А 1 =А 2 =А 3 =…=0
Поради свойството уникалност, това са необходимите коефициенти. По този начин, необходимото разлагане: 
или просто 1=1.
В този случай, когато една редица съвпада идентично със своята функция, графиката на реда на Фурие съвпада с графиката на функцията върху цялата числова ос.
б) Разширението върху интервала (0;π) по отношение на синусите на множество дъги има формата:
Очевидно е невъзможно да се изберат коефициентите, така че равенството да се запази еднакво. Нека използваме формулата за изчисляване на коефициентите:
По този начин, за дори н (н=2к) ние имаме b n=0, за нечетно ( н=2к-1) - 
накрая 
.
Нека начертаем получения ред на Фурие, използвайки неговите свойства (вижте по-горе).
Първо, изграждаме графика на тази функция на даден интервал. След това, като се възползваме от нечетността на сбора на серията, продължаваме графиката симетрично към началото: 
Продължаваме периодично по цялата числова линия: 
И накрая, в точките на прекъсване попълваме средните (между дясната и лявата граница) стойности: 
Пример №2. Разширяване на функция 
на интервала (0;6) по синусите на множество дъги
Решение: Необходимото разширение има формата:
Тъй като и лявата, и дясната страна на равенството съдържат само функции гряхот различни аргументи, трябва да проверите дали за някакви стойности съвпадат н(естествени!) аргументи на синуси в ляво и десни частиравенство:
или откъде н=18. Това означава, че такъв член се съдържа от дясната страна и неговият коефициент трябва да съвпада с коефициента от лявата страна: b 18 =1;
или откъде н=4. означава, b 4 =-5.
По този начин, чрез избиране на коефициентите, беше възможно да се получи желаното разширение:
Как да вмъкна математически формуликъм уебсайта?
Ако някога трябва да добавите една или две математически формули към уеб страница, тогава най-лесният начин да направите това е както е описано в статията: математическите формули лесно се вмъкват в сайта под формата на снимки, които се генерират автоматично от Wolfram Alpha . В допълнение към простотата, този универсален метод ще помогне за подобряване на видимостта на сайта в търсачките. Работи отдавна (и мисля, че ще работи завинаги), но вече е морално остарял.
Ако редовно използвате математически формули на вашия сайт, тогава ви препоръчвам да използвате MathJax - специална JavaScript библиотека, която показва математическа нотация в уеб браузъри, използвайки MathML, LaTeX или ASCIIMathML маркиране.
Има два начина да започнете да използвате MathJax: (1) като използвате прост код, можете бързо да свържете MathJax скрипт към вашия уебсайт, който автоматично ще бъде зареден от отдалечен сървър в точното време (списък със сървъри); (2) изтеглете скрипта MathJax от отдалечен сървър на вашия сървър и го свържете към всички страници на вашия сайт. Вторият метод - по-сложен и отнемащ време - ще ускори зареждането на страниците на вашия сайт и ако родителският MathJax сървър стане временно недостъпен по някаква причина, това няма да се отрази по никакъв начин на вашия собствен сайт. Въпреки тези предимства избрах първия метод, тъй като е по-прост, по-бърз и не изисква технически умения. Следвайте примера ми и само след 5 минути ще можете да използвате всички функции на MathJax на вашия сайт.
Можете да свържете скрипта на библиотеката MathJax от отдалечен сървър, като използвате две опции за код, взети от основния уебсайт на MathJax или от страницата с документация:
Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете и/или непосредствено след тага. Според първата опция MathJax се зарежда по-бързо и забавя страницата по-малко. Но втората опция автоматично следи и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва да се актуализира периодично. Ако поставите втория код, страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо постоянно да следите актуализациите на MathJax.
Най-лесният начин за свързване на MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете уиджет, предназначен да вмъква JavaScript код на трета страна, копирайте първата или втората версия на кода за изтегляне, представен по-горе, в него и поставете уиджета по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса за маркиране на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вмъквате математически формули в уеб страниците на вашия сайт.
Всеки фрактал се конструира според определено правило, което се прилага последователно неограничен брой пъти. Всяко такова време се нарича итерация.
Итеративният алгоритъм за конструиране на гъба на Менгер е доста прост: оригиналният куб със страна 1 е разделен от равнини, успоредни на лицата му, на 27 равни куба. От него се отстраняват един централен куб и 6 куба, съседни на него по стените. Резултатът е комплект, състоящ се от останалите 20 по-малки кубчета. Като направим същото с всяко от тези кубчета, получаваме комплект, състоящ се от 400 по-малки кубчета. Продължавайки този процес безкрайно, получаваме гъба Menger.
Функция, дефинирана за всички стойности хНаречен периодичен, ако такъв номер съществува T (T≠ 0), че за всяка стойност хима равенство f(x + T) = f(x). Номер Tв този случай е периодът на функцията.
Свойства на периодичните функции:
1) Сбор, разлика, произведение и частно на периодичните функции на периода Tе периодична функция на периода T.
2) Ако функцията f(x)има период T, след това функцията f(ax)има период
Всъщност за всякакъв аргумент х:
(умножаването на аргумент по число означава компресиране или разтягане на графиката на тази функция по оста ОХ)
Например, една функция има период, периодът на функцията е
3) Ако f(x)функция на периодичен период T, тогава всеки два интеграла на тази функция, взети върху интервал с дължина, са равни T(приема се, че тези интеграли съществуват).
Ред на Фурие за функция с период T=.
Тригонометрична серия е серия от формата:
или накратко,
Където , , , , , … , , , … са реални числа, наречени коефициенти на редицата.
Всеки член на тригонометричния ред е периодична функция на периода (тъй като - има всякакви
период, а периодът () е равен на , и следователно и ). Всеки термин (), с n= 1,2,3... е аналитичен израз за просто хармонично трептене, където А- амплитуда,
Начална фаза. Като вземем предвид горното, получаваме: ако една тригонометрична серия се събира на сегмент с дължина на периода, тогава тя се събира на цялата числова линия и нейната сума е периодична функция на периода.
Нека тригонометричният ред се събира равномерно на сегмент (и следователно на всеки сегмент) и сумата му е равна на . За да определим коефициентите на тази серия, използваме следните равенства:
Ще използваме и следните свойства.
1) Както е известно, сумата от редица, съставена от непрекъснати функции, която равномерно се събира на определен сегмент, сама по себе си е непрекъсната функция на този сегмент. Като вземем това предвид, получаваме, че сумата от тригонометрична серия, равномерно събираща се на сегмент, е непрекъсната функцияна цялата числова ос.
2) Равномерната сходимост на ред върху сегмент няма да бъде нарушена, ако всички членове на реда се умножат по функция, непрекъсната на този сегмент.
По-специално, равномерната конвергенция на сегмент от дадена тригонометрична серия няма да бъде нарушена, ако всички членове на серията се умножат по или по .
По условие
В резултат на почленно интегриране на равномерно сходящия се ред (4.2) и като се вземат предвид горните равенства (4.1) (ортогоналност тригонометрични функции), получаваме:
Следователно коефициентът
Умножавайки равенството (4.2) по , интегрирайки това равенство в диапазона от до и като вземем предвид горните изрази (4.1), получаваме:
Следователно коефициентът
По същия начин, умножавайки равенство (4.2) по и интегрирайки го в диапазона от до , като вземем предвид равенства (4.1), имаме:
Следователно коефициентът
Така се получават следните изрази за коефициентите на реда на Фурие:
Достатъчни критерии за разложимостта на функция в ред на Фурие. Припомнете си, че точката х o прекъсване на функцията f(x)се нарича точка на прекъсване от първи вид, ако има крайни граници отдясно и отляво на функцията f(x)в близост до точка.
Ограничение вдясно
Ляво ограничение.
Теорема (Дирихле). Ако функцията f(x)има период и е непрекъснат на сегмента или има краен брой точки на прекъсване от първи вид и освен това сегментът може да бъде разделен на краен брой сегменти, така че вътре във всеки от тях f(x)е монотонна, тогава редът на Фурие за функцията f(x)се сближава за всички стойности х. Освен това в точките на непрекъснатост на функцията f(x)сумата му е равна f(x), и в точките на прекъсване на функцията f(x)сумата му е равна, т.е. средноаритметичната стойност на граничните стойности отляво и отдясно. В допълнение, редът на Фурие за функцията f(x)се събира равномерно на всеки сегмент, който заедно с краищата си принадлежи към интервала на непрекъснатост на функцията f(x).
Пример : разширете функцията в ред на Фурие
Удовлетворяване на условието.
Решение.функция f(x)удовлетворява условията за разлагане в ред на Фурие, така че можем да напишем:
В съответствие с формули (4.3) могат да се получат следните стойности на коефициентите на серията на Фурие:
При изчисляване на коефициентите на реда на Фурие е използвана формулата „интегриране по части“.
И следователно
Редица на Фурие за четни и нечетни функции с период T = .
Използваме следното свойство на интеграла върху симетричния по отношение на х=0празнина:
Ако f(x)- странна функция,
Ако f(x)- равномерна функция.
Обърнете внимание, че произведението на две четни или две нечетни функции е четна функция, а произведението на четна функция и нечетна функция е нечетна функция. Нека сега f(x)- четна периодична функция с период, удовлетворяващ условията за разлагане в ред на Фурие. След това, използвайки горното свойство на интегралите, получаваме:
По този начин редът на Фурие за четна функция съдържа само дори функции- косинус и се записва така:
и коефициентите bn = 0.
Разсъждавайки по подобен начин, откриваме, че ако f(x) -е нечетна периодична функция, която отговаря на условията за разширяване в ред на Фурие, тогава, следователно, редът на Фурие за нечетна функция съдържа само нечетни функции - синуси и се записва, както следва:
при което an =0при n= 0, 1,...
Пример: разширяване на периодична функция в ред на Фурие
Тъй като дадената странна функция f(x)тогава удовлетворява условията за разлагане в ред на Фурие
или, което е същото,
И редът на Фурие за тази функция f(x)може да се напише така:
Редици на Фурие за функции от произволен период T=2 л.
Позволявам f(x)- периодична функция на всеки период Т=2л(аз-полуцикъл), частично гладка или частично монотонна на сегмента [ - л, л]. Вярвайки x=при,получаваме функцията дебел)аргумент T,чийто период е равен . Да изберем Атака че периодът на функцията дебел)беше равен, т.е. Т = 2л
Решение.функция f(x)- странно, отговарящо на условията за разширяване в серия на Фурие, следователно, въз основа на формули (4.12) и (4.13), имаме:
(при изчисляване на интеграла използвахме формулата „интегриране по части“).
Бизнес играта е имитация на реална производствена (управленска или икономическа) ситуация. Създаването на опростен модел на работен процес позволява на всеки участник да Истински живот, но в рамките на определени правила, играйте роля, вземете решение, предприемете действия.
Метод бизнес игриБизнес игри (BI) са ефективен методпрактическо обучение и се използват доста широко. Те се използват като средство за познание в управлението, икономиката, екологията, медицината и други области.
DI се използва активно в света за изучаване на науката за управление от средата на 20 век. Значителен принос в развитието игрови технологиидовели С.П. Рубинщайн, З. Фройд и други учени.
Този метод ви позволява да моделирате обект (организация) или да симулирате процес (вземане на решение, цикъл на управление). Производствените и икономическите ситуации са свързани с подчинение на началници, а организационните и управленски ситуации с управлението на отдел, група или служител.
Играчите могат да си поставят различни цели, за постигането на които използват знания от основите на социологията, икономиката и методите на управление. Резултатите от играта ще бъдат свързани със степента на постигане на целите и качеството на управление.
Класификация на бизнес игритеDI може да се класифицира според много критерии.
Отражение на реалността | Реално (практика) | Теоретичен (реферат) |
|
Ниво на трудност | Малък (една задача, малък екип от играчи) | „Боен кораб“, „Търг“, „Кръстословица“, „Кой знае повече“, „Представяне“ |
|
Игра на имитация | Имитация на практика. Участниците решават задача заедно или поотделно. | „Мениджърска етика“, „Клюки във фирмата“, „Как да попречим на служителя да напусне?“, „Изнудване“ |
|
Иновативен | Насочен към генериране на нови идеи в нестандартна ситуация. | Обучение по самоорганизация, мозъчна атака |
|
Стратегически | Колективно създаване на картина за бъдещото развитие на ситуацията. | „Създаване на нов продукт“, „Навлизане на нови пазари“ |
|
Всички горепосочени технологии и примери за бизнес игри са взаимосвързани. Препоръчително е да се използват в комбинация за ефективна практическа дейност на участниците и постигане на поставените задачи.
Игрите се играят по определени правила.
Провеждането на бизнес игра може да включва голям брой етапи. По време на играта участниците ще трябва да идентифицират проблема, да обмислят и анализират ситуацията и да разработят предложения за разрешаване на проблема. Работата завършва с обсъждане на напредъка на играта и желанията.
В управлението на производството се моделира активна игра за управление на бизнеса. Примерът включва характеристиките и сценария на бизнес играта „Производствена среща“. Провежда се в края на курса „Мениджмънт“, когато студентите вече имат разбиране за принципите на управление и ролята на производствения процес.
Участници в играта:
- служители на предприятието (7 души). На срещата присъстват директор, заместник по производството, началник технически отдел, началник монтажен цех, началник стругарски цех, бригадир, секретар;
- група от експерти (10 души).
Завод за ремонт или машиностроене на парни локомотиви (организация от всякакъв профил със среден или малък брой персонал). Наскоро собствениците на фирмата назначиха нов директор. Той беше представен пред колектива и ръководството на завода. За първи път директорът ще трябва да проведе оперативна среща.
План за игра на производствена срещаСценарий на бизнес игра |
|
Уводна част | Въведение. Цели и тема на играта. |
Игрова ситуация | Запознаване със ситуацията във фирмата. |
План за подготовка на срещата |
|
|
|
Среща | Реч на директора, реакция и въпроси от началниците. |
Дискусия и колективно обсъждане на проблемите. | Какво ще бъде поведението на директора на срещата? Какво може да каже или направи, за да подобри бизнес отношенията със служителите? Какви решения може да вземе при обобщаване на резултатите от първото оперативно съвещание? |
Обобщаване | Заключения от експерти и участници в играта. Самочувствие. Решихте ли задачите и постигнахте ли целите си? |
Влизането в производствена ситуация в определена роля е интересна бизнес игра. Примерите за учениците могат да бъдат много разнообразни. Просто трябва да използвате въображението си.
Стратегическа игра „Плетачна фабрика „Стил““. Ръководството на плетачната фабрика планира разширяване на пазарите за продажби. Това налага производството на по-качествени и търсени продукти. Освен това се планира пускането на няколко нови технологични линии.
Отдавна беше планирано да се подмени оборудването в няколко цеха. Проблемът беше липсата на финансов ресурс, свързан с големите вземания. Коя стратегия е подходяща в тази ситуация? Какво може да направи управлението на завода? Прогноза на базата на таблични данни. Препоръчително е да се представят няколко показателя за финансова и икономическа дейност за три години.
Примери за бизнес игри |
|
Групова дискусия | „Осиновяване управленски решения. Избор на кандидат за длъжността директор" "Организационна култура на студентите" „Цикълът на управление в образователна институция“ |
Ролева игра | "Сертификация на персонала" „Как да поискам увеличение на заплатата?“ "Телефонни преговори" "Сключване на договор" |
Емоционално-активна игра | „Етика бизнес комуникация. Любовна афера на работа" "Конфликт между ръководители на отдели" „Делови разговор. Уволнение на служител" „За справяне със стреса“ |
Игра на имитация | „Ефективност на контрола“ "Разработване на бизнес план" "Бизнес писмо" "Изготвяне на годишен отчет" |
При планирането на бизнес игра е препоръчително да комбинирате различните й форми. Играта може да съдържа случаи (ситуации). Методът на казусите се различава от метода на бизнес игрите, тъй като е насочен към намиране и решаване на проблем. Примери за бизнес игри са свързани с развитието на уменията, формирането на умения.
Така калъфът е модел определена ситуация, а бизнес играта е модел на практическа дейност.
Методът на бизнес играта ви позволява ясно да представите принципите на управление и процесите на вземане на решения. Основното предимство на игрите е активното участие на групата, екипа от играчи.
