Определение 7.1.Множеството от всички точки на равнината, за които сумата от разстоянията до две фиксирани точки F 1 и F 2 е дадена постоянна стойност, се нарича елипса.
Дефиницията на елипса дава следния метод за нейното геометрично изграждане. Фиксираме две точки F 1 и F 2 на равнината и означаваме неотрицателна постоянна стойност с 2a. Нека разстоянието между точките F 1 и F 2 е 2c. Нека си представим, че неразтеглив конец с дължина 2а е фиксиран в точки F 1 и F 2, например, с помощта на две игли. Ясно е, че това е възможно само при a ≥ c. След като издърпате конеца с молив, начертайте линия, която ще бъде елипса (фиг. 7.1).
Така че описаното множество не е празно, ако a ≥ c. Когато a = c, елипсата е отсечка с краища F 1 и F 2, а когато c = 0, т.е. Ако фиксираните точки, определени в дефиницията на елипса, съвпадат, това е окръжност с радиус a. Като отхвърлим тези изродени случаи, ние ще приемем, като правило, че a > c > 0.
Фиксираните точки F 1 и F 2 в дефиницията 7.1 на елипсата (виж фиг. 7.1) се наричат фокуси на елипса, разстоянието между тях, обозначено с 2c, - фокусно разстояние, а отсечките F 1 M и F 2 M, свързващи произволна точка M от елипсата с нейните фокуси, са фокусни радиуси.
Формата на елипсата се определя изцяло от фокусното разстояние |F 1 F 2 | = 2c и параметър a, а позицията му в равнината - двойка точки F 1 и F 2.
От дефиницията на елипса следва, че тя е симетрична по отношение на линията, минаваща през фокусите F 1 и F 2, както и по отношение на линията, която разделя сегмента F 1 F 2 наполовина и е перпендикулярна на него (Фиг. 7.2, а). Тези линии се наричат оси на елипса. Точката О на тяхното пресичане е центърът на симетрия на елипсата и се нарича центъра на елипсата, и точките на пресичане на елипсата с осите на симетрия (точки A, B, C и D на фиг. 7.2, а) - върховете на елипсата.
Числото а се нарича голямата полуос на елипсата, и b = √(a 2 - c 2) - неговото второстепенна ос. Лесно се вижда, че при c > 0, голямата полуос a е равна на разстоянието от центъра на елипсата до тези от нейните върхове, които са на една и съща ос с фокусите на елипсата (върховете A и B на фиг. 7.2, а), а малката полуос b е равна на разстоянието от централната елипса до другите й два върха (върхове C и D на фиг. 7.2, а).
Уравнение на елипса.Нека разгледаме някаква елипса в равнината с фокуси в точки F 1 и F 2, голяма ос 2а. Нека 2c е фокусното разстояние, 2c = |F 1 F 2 |
Нека изберем правоъгълна координатна система Oxy на равнината, така че началото й да съвпада с центъра на елипсата, а фокусите й да са върху ос х(Фиг. 7.2, b). Такава координатна система се нарича канониченза въпросната елипса и съответните променливи са каноничен.
В избраната координатна система фокусите имат координати F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Използвайки формулата за разстоянието между точките, записваме условието |F 1 M| + |F 2 M| = 2a в координати:
√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Това уравнение е неудобно, защото съдържа два квадратни радикала. Така че нека го трансформираме. Нека преместим втория радикал в уравнение (7.2) към правилната странаи го на квадрат:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .
След като отворим скобите и приведем подобни термини, получаваме
√((x + c) 2 + y 2) = a + εx
където ε = c/a. Повтаряме операцията за повдигане на квадрат, за да премахнем втория радикал: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, или, като вземем предвид стойността на въведения параметър ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. Тъй като a 2 - c 2 = b 2 > 0, тогава
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)
Уравнение (7.4) се удовлетворява от координатите на всички точки, лежащи върху елипсата. Но при извеждането на това уравнение бяха използвани нееквивалентни трансформации на оригиналното уравнение (7.2) - две повдигания на квадрат, които премахват квадратните радикали. Поставянето на квадрат на уравнение е еквивалентна трансформация, ако и двете страни имат количества с еднакъв знак, но ние не проверихме това в нашите трансформации.
Можем да избегнем проверката на еквивалентността на трансформациите, ако вземем предвид следното. Двойка точки F 1 и F 2, |F 1 F 2 | = 2c, на равнината определя семейство от елипси с фокуси в тези точки. Всяка точка от равнината, с изключение на точките от сегмента F 1 F 2, принадлежи към някаква елипса от посоченото семейство. В този случай няма две елипси, които да се пресичат, тъй като сумата от фокалните радиуси еднозначно определя конкретна елипса. И така, описаното семейство елипси без пресичане покрива цялата равнина, с изключение на точките на сегмента F 1 F 2. Нека разгледаме набор от точки, чиито координати удовлетворяват уравнение (7.4) с дадена стойност на параметър a. Може ли това множество да бъде разпределено между няколко елипси? Някои от точките на множеството принадлежат на елипса с голяма полуос a. Нека в това множество има точка, лежаща на елипса с голяма полуос a. Тогава координатите на тази точка се подчиняват на уравнението
тези. уравнения (7.4) и (7.5) имат общи решения. Въпреки това е лесно да се провери дали системата
за ã ≠ a няма решения. За да направите това, достатъчно е да изключите, например, x от първото уравнение:
което след трансформации води до уравнението
което няма решения за ã ≠ a, тъй като . И така, (7.4) е уравнението на елипса с голяма полуос a > 0 и малка полуос b =√(a 2 - c 2) > 0. Нарича се канонично уравнение на елипса.
Изглед на елипса.Геометричният метод за конструиране на елипса, разгледан по-горе, дава достатъчна представа за външен виделипса. Но формата на елипсата може да бъде изследвана и с помощта на нейното канонично уравнение (7.4). Например, можете, ако приемете y ≥ 0, да изразите y чрез x: y = b√(1 - x 2 /a 2) и след като сте проучили тази функция, да построите нейната графика. Има и друг начин за конструиране на елипса. Окръжност с радиус a с център в началото на каноничната координатна система на елипсата (7.4) се описва от уравнението x 2 + y 2 = a 2. Ако се компресира с коефициент a/b > 1 по у-ос, тогава ще получите крива, която е описана от уравнението x 2 + (ya/b) 2 = a 2, т.е. елипса.
Забележка 7.1.Ако същата окръжност се компресира с фактор a/b
Ексцентричност на елипса. Отношението на фокусното разстояние на елипса към нейната голяма ос се нарича ексцентричност на елипсатаи се означава с ε. За дадена елипса
канонично уравнение (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Ако в (7.4) параметрите a и b са свързани с неравенството a
Когато c = 0, когато елипсата се превръща в кръг и ε = 0. В други случаи 0
Уравнение (7.3) е еквивалентно на уравнение (7.4), тъй като уравнения (7.4) и (7.2) са еквивалентни. Следователно уравнението на елипсата също е (7.3). В допълнение, съотношението (7.3) е интересно, защото дава проста формула без радикали за дължината |F 2 M| един от фокалните радиуси на точката M(x; y) на елипсата: |F 2 M| = a + εx.
Подобна формула за втория фокусен радиус може да се получи от съображения за симетрия или чрез повтаряне на изчисления, при които, преди да се повдигне на квадрат уравнение (7.2), първият радикал се прехвърля в дясната страна, а не вторият. И така, за всяка точка M(x; y) на елипсата (виж Фиг. 7.2)
|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)
и всяко от тези уравнения е уравнение на елипса.
Пример 7.1.Нека намерим каноничното уравнение на елипса с голяма полуос 5 и ексцентричност 0,8 и го построим.
Като знаем голямата полуос на елипсата a = 5 и ексцентрицитета ε = 0,8, ще намерим малката й полуос b. Тъй като b = √(a 2 - c 2) и c = εa = 4, тогава b = √(5 2 - 4 2) = 3. Така че каноничното уравнение има формата x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. За да се построи елипса, е удобно да се начертае правоъгълник с център в началото на каноничната координатна система, чиито страни са успоредни на осите на симетрия на елипсата и равни на съответните оси (фиг. 7.4). Този правоъгълник се пресича с
осите на елипсата в нейните върхове A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), а самата елипса е вписана в нея. На фиг. 7.4 също показва фокусите F 1.2 (±4; 0) на елипсата.
Геометрични свойства на елипсата.Нека пренапишем първото уравнение в (7.6) като |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Обърнете внимание, че стойността a/ε - x за a > c е положителна, тъй като фокусът F 1 не принадлежи на елипсата. Тази стойност представлява разстоянието до вертикалната линия d: x = a/ε от точката M(x; y), лежаща вляво от тази линия. Уравнението на елипсата може да бъде написано като
|F 1 M|/(a/ε - x) = ε
Това означава, че тази елипса се състои от тези точки M(x; y) на равнината, за които съотношението на дължината на фокусния радиус F 1 M към разстоянието до правата d е постоянна стойност, равна на ε (фиг. 7.5).
Правата линия d има „двойник“ - вертикалната права линия d, симетрична на d спрямо центъра на елипсата, която е дадена от уравнението x = -a/ε По отношение на d, елипсата е описана в по същия начин както по отношение на d. И двата реда d и d" се наричат директриси на елипсата. Директриксите на елипсата са перпендикулярни на оста на симетрия на елипсата, върху която са разположени нейните фокуси, и са отдалечени от центъра на елипсата на разстояние a/ε = a 2 /c (виж фиг. 7.5).
Разстоянието p от директрисата до най-близкия до нея фокус се нарича фокусен параметър на елипсата. Този параметър е равен на
p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c
Елипсата има още едно важно геометрично свойство: фокалните радиуси F 1 M и F 2 M сключват равни ъгли с допирателната към елипсата в точка M (фиг. 7.6).
Този имот има чиста физически смисъл. Ако източникът на светлина е поставен на фокус F 1, тогава лъчът, излизащ от този фокус, след отражение от елипсата, ще премине по втория фокусен радиус, тъй като след отражението той ще бъде под същия ъгъл спрямо кривата, както преди отражението. Така всички лъчи, излизащи от фокуса F 1, ще бъдат концентрирани във втория фокус F 2 и обратно. Въз основа на това тълкуване това свойство се нарича оптично свойство на елипсата.
Определение. Елипса е геометричното място на точки в равнина, сумата от разстоянията на всяка от които от две дадени точки от тази равнина, наречени фокуси, е постоянна стойност (при условие, че тази стойност е по-голяма от разстоянието между фокусите) .
Нека обозначим огнищата чрез разстоянието между тях - чрез , и постоянна стойност, равно на суматаразстояния от всяка точка на елипсата до фокусите, през (според условието).
Нека изградим декартова координатна система, така че фокусите да са на абсцисната ос, а началото на координатите да съвпада със средата на сегмента (фиг. 44). Тогава фокусите ще имат следните координати: ляв фокус и десен фокус. Нека изведем уравнението на елипсата в избраната от нас координатна система. За целта разгледайте произволна точка от елипсата. По дефиницията на елипса сумата от разстоянията от тази точка до фокусите е равна на:
Използвайки формулата за разстоянието между две точки, следователно получаваме
За да опростим това уравнение, ние го записваме във формата
След това, повдигайки на квадрат двете страни на уравнението, получаваме
или след очевидни опростявания:
Сега отново повдигаме на квадрат двете страни на уравнението, след което имаме:
или след идентични трансформации:
Тъй като, според условието в дефиницията на елипса, тогава числото е положително. Нека въведем нотацията
Тогава уравнението ще приеме следния вид:
По дефиницията на елипса, координатите на всяка от нейните точки отговарят на уравнение (26). Но уравнение (29) е следствие от уравнение (26). Следователно, то също се удовлетворява от координатите на всяка точка от елипсата.
Може да се покаже, че координатите на точки, които не лежат на елипсата, не отговарят на уравнение (29). Така уравнение (29) е уравнение на елипса. Нарича се канонично уравнение на елипсата.
Нека установим формата на елипсата, използвайки нейното канонично уравнение.
Първо, нека обърнем внимание на факта, че това уравнение съдържа само дори градуси x и y. Това означава, че ако някоя точка принадлежи на елипса, тогава тя съдържа също точка, симетрична на точката спрямо абсцисната ос, и точка, симетрична на точката спрямо ординатната ос. Така елипсата има две взаимно перпендикулярни оси на симетрия, които в избраната от нас координатна система съвпадат с координатните оси. Осите на симетрия на елипсата оттук нататък ще наричаме оси на елипсата, а точката на тяхното пресичане - център на елипсата. Оста, върху която са разположени фокусите на елипсата (в в такъв случай x-ос) се нарича фокална ос.
Нека първо определим формата на елипсата в първата четвърт. За да направите това, нека решим уравнение (28) за y:
Очевидно е, че тук , тъй като y приема имагинерни стойности. Докато нараствате от 0 до a, y намалява от b до 0. Частта от елипсата, лежаща в първата четвърт, ще бъде дъга, ограничена от точки B (0; b) и лежаща върху координатните оси (фиг. 45). Използвайки сега симетрията на елипсата, стигаме до заключението, че елипсата има формата, показана на фиг. 45.
Пресечните точки на елипсата с осите се наричат върхове на елипсата. От симетрията на елипсата следва, че освен върховете, елипсата има още два върха (виж фиг. 45).
Отсечките и свързващите срещуположни върхове на елипсата, както и техните дължини се наричат съответно голяма и малка ос на елипсата. Числата a и b се наричат съответно голяма и малка полуос на елипсата.
Съотношението на половината от разстоянието между фокусите към голямата полуос на елипсата се нарича ексцентричност на елипсата и обикновено се обозначава с буквата:
Тъй като , ексцентричността на елипсата е по-малка от единица: Ексцентричността характеризира формата на елипсата. Наистина, от формула (28) следва, че колкото по-малък е ексцентрицитетът на елипсата, толкова по-малко нейната малка полуос b се различава от голямата полуос a, т.е. толкова по-малко е удължена елипсата (по фокалната ос).
В граничния случай резултатът е кръг с радиус a: , или . В същото време фокусите на елипсата сякаш се сливат в една точка - центъра на кръга. Ексцентричността на окръжността е нула:
Връзката между елипсата и кръга може да се установи и от друга гледна точка. Нека покажем, че елипса с полуоси a и b може да се разглежда като проекция на окръжност с радиус a.
Нека разгледаме две равнини P и Q, образуващи помежду си такъв ъгъл a, за който (фиг. 46). Да построим координатна система в равнината P, а в равнината Q система Oxy с общо начало O и обща абсцисна ос, съвпадаща с пресечната линия на равнините. Да разгледаме окръжност в равнината P
с център в началото и радиус равен на a. Нека е произволно избрана точка от окръжността, нейната проекция върху равнината Q и нека е проекцията на точка M върху оста Ox. Нека покажем, че точката лежи върху елипса с полуоси a и b.
Криви от втори редна равнина са линии, определени от уравнения, в които променливата координати хИ гсе съдържат във втора степен. Те включват елипса, хипербола и парабола.
Общата форма на уравнението на кривата от втори ред е следната:
Където А Б В Г Д Е- числа и поне един от коефициентите А, Б, Вне е равно на нула.
При решаване на задачи с криви от втори ред най-често се разглеждат каноничните уравнения на елипсата, хиперболата и параболата. Лесно е да се премине към тях от общи уравнения; пример 1 на задачи с елипси ще бъде посветен на това.
Елипса, дадена от каноничното уравнение
Дефиниция на елипса.Елипса е набор от всички точки на равнината, за които сумата от разстоянията до точките, наречени фокуси, е постоянна стойност, по-голяма от разстоянието между фокусите.
Фокусите са посочени както на фигурата по-долу.
Каноничното уравнение на елипса има формата:
Където аИ b (а > b) - дължините на полуосите, т.е. половината от дължините на сегментите, отрязани от елипсата на координатните оси.
Правата, минаваща през фокусите на елипсата, е нейната ос на симетрия. Друга ос на симетрия на елипса е права линия, минаваща през средата на сегмент, перпендикулярен на този сегмент. Точка ОТНОСНОпресечната точка на тези линии служи като център на симетрия на елипсата или просто център на елипсата.
Абсцисната ос на елипсата се пресича в точките ( а, ОТНОСНО) И (- а, ОТНОСНО), а ординатната ос е в точки ( b, ОТНОСНО) И (- b, ОТНОСНО). Тези четири точки се наричат върхове на елипсата. Отсечката между върховете на елипсата по оста x се нарича нейна голяма ос, а по ординатната ос - нейна малка ос. Техните сегменти от върха до центъра на елипсата се наричат полуоси.
Ако а = b, тогава уравнението на елипсата приема формата . Това е уравнението на окръжност с радиус а, а кръгът е специален случайелипса. Елипса може да се получи от кръг с радиус а, ако го компресирате в а/bпъти по оста Ой .
Пример 1.Проверете дали линия, дадена от общо уравнение, е 
, елипса.
Решение. Ние правим трансформации общо уравнение. Използваме прехвърлянето на свободния член в дясната страна, разделянето на член по член на уравнението със същото число и намаляването на дробите:
Отговор. Полученото в резултат на трансформациите уравнение е каноничното уравнение на елипсата. Следователно тази права е елипса.
Пример 2.Съставете каноничното уравнение на елипса, ако нейните полуоси са равни съответно на 5 и 4.
Решение. Разглеждаме формулата за каноничното уравнение на елипса и заместваме: голямата полуос е а= 5, малката полуос е b= 4 . Получаваме каноничното уравнение на елипсата:
Точки и , обозначени в зелено на голямата ос, където
са наречени трикове.
Наречен ексцентричностелипса.
Поведение b/ахарактеризира "сплескаността" на елипсата. Колкото по-малък е този коефициент, толкова повече елипсата е удължена по голямата ос. Но степента на удължаване на елипса по-често се изразява чрез ексцентричност, формулата за която е дадена по-горе. За различните елипси ексцентричността варира от 0 до 1, като винаги остава по-малка от единица.
Пример 3.Съставете каноничното уравнение на елипса, ако разстоянието между фокусите е 8 и голямата ос е 10.
Решение. Нека направим няколко прости извода:
Ако голямата ос е равна на 10, тогава половината от нея, т.е. полуоста а = 5 ,
Ако разстоянието между огнищата е 8, тогава числото ° Сот фокалните координати е равно на 4.
Заместваме и изчисляваме:
Резултатът е каноничното уравнение на елипсата:
Пример 4.Съставете каноничното уравнение на елипса, ако нейната голяма ос е 26 и нейният ексцентрицитет е .
Решение. Както следва както от размера на голямата ос, така и от уравнението на ексцентрицитета, голямата полуос на елипсата а= 13. От уравнението на ексцентрицитета изразяваме числото ° С, необходими за изчисляване на дължината на малката полуос:
.
Изчисляваме квадрата на дължината на малката полуос:
Съставяме каноничното уравнение на елипсата:
Пример 5.Определете фокусите на елипсата, дадена от каноничното уравнение.
Решение. Намерете числото ° С, което определя първите координати на фокусите на елипсата:
.
Получаваме фокусите на елипсата:
Пример 6.Фокусите на елипсата са разположени на оста волсиметрични относно произхода. Съставете каноничното уравнение на елипсата, ако:
1) разстоянието между фокусите е 30, а голямата ос е 34
2) второстепенна ос 24 и един от фокусите е в точка (-5; 0)
3) ексцентричност, а един от фокусите е в точка (6; 0)
Нека продължим да решаваме задачи с елипса заедно
Ако е произволна точка от елипсата (обозначена в зелено в горната дясна част на елипсата на чертежа) и е разстоянието до тази точка от фокусите, то формулите за разстоянията са следните:
За всяка точка, принадлежаща на елипсата, сумата от разстоянията от фокусите е постоянна стойност, равна на 2 а.
Линии, определени от уравнения
са наречени директоркиелипса (на чертежа има червени линии по ръбовете).
От двете уравнения по-горе следва, че за всяка точка от елипсата
,
където и са разстоянията на тази точка до директрисите и .
Пример 7.Дадена е елипса. Напишете уравнение за неговите директриси.
Решение. Разглеждаме уравнението на директрисата и установяваме, че трябва да намерим ексцентрицитета на елипсата, т.е. Имаме всички данни за това. Изчисляваме:
.
Получаваме уравнението на директрисите на елипсата:
Пример 8.Съставете каноничното уравнение на елипса, ако нейните фокуси са точки, а директрисите са прави.
Лекции по алгебра и геометрия. Семестър 1.
Лекция 15. Елипса.
Глава 15. Елипса.
клауза 1. Основни определения.
Определение. Елипса е GMT на равнина, сумата от разстоянията до две фиксирани точки на равнината, наречени фокуси, е постоянна стойност.
Определение. Разстоянието от произволна точка M на равнината до фокуса на елипсата се нарича фокален радиус на точката M.
Обозначения: 
– фокуси на елипсата, 
– фокусни радиуси на точка M.
По дефиницията на елипса, точка M е точка на елипса тогава и само ако 
– постоянна стойност. Тази константа обикновено се означава като 2a:
.
(1)
забележи това 
.
По дефиниция на елипса, нейните фокуси са фиксирани точки, така че разстоянието между тях също е постоянна стойност за дадена елипса.
Определение. Разстоянието между фокусите на елипсата се нарича фокусно разстояние.
Обозначаване: 
.
От триъгълник 
следва това 
, т.е.
.
Нека означим с b числото, равно на 
, т.е.
.
(2)
Определение. Поведение
(3)
се нарича ексцентричност на елипсата.
Нека въведем координатна система на тази равнина, която ще наречем канонична за елипсата.
Определение. Оста, върху която лежат фокусите на елипсата, се нарича фокална ос.
Нека конструираме каноничен PDSC за елипсата, вижте фиг. 2.
Избираме фокалната ос като абсцисната ос и начертаваме ординатната ос през средата на сегмента 
перпендикулярно на фокалната ос.
Тогава огнищата имат координати 
,
.
клауза 2. Канонично уравнение на елипса.
Теорема. В каноничната координатна система за елипса уравнението на елипсата има формата:
.
(4)
Доказателство. Извършваме доказването на два етапа. На първия етап ще докажем, че координатите на всяка точка, разположена върху елипсата, удовлетворяват уравнение (4). На втория етап ще докажем, че всяко решение на уравнение (4) дава координатите на точка, лежаща върху елипсата. Оттук следва, че уравнение (4) се удовлетворява от тези и само онези точки от координатната равнина, които лежат на елипсата. От това и от определението на уравнението на крива ще следва, че уравнение (4) е уравнение на елипса.
1) Нека точката M(x, y) е точка на елипсата, т.е. сумата от неговите фокусни радиуси е 2a:
.
Нека използваме формулата за разстоянието между две точки в координатната равнина и използваме тази формула, за да намерим фокалните радиуси на дадена точка M:
,
, откъдето получаваме:
Нека преместим един корен от дясната страна на равенството и го повдигнем на квадрат:
Намалявайки, получаваме:
Представяме подобни, намаляваме с 4 и премахваме радикала:
.
Квадратура
Отворете скобите и съкратете с 
:
където получаваме:
Използвайки равенство (2), получаваме:
.
Разделяне на последното равенство на 
, получаваме равенство (4) и т.н.
2) Нека сега двойка числа (x, y) удовлетворява уравнение (4) и нека M(x, y) е съответната точка в координатната равнина Oxy.
Тогава от (4) следва:
.
Заместваме това равенство в израза за фокалните радиуси на точка М:
.
Тук използвахме равенство (2) и (3).
По този начин, 
. по същия начин, 
.
Сега отбележете, че от равенство (4) следва, че
или 
и т.н. 
, тогава следва неравенството:
.
Оттук следва, на свой ред, че
или 
И
,
.
(5)
От равенствата (5) следва, че 
, т.е. точката M(x, y) е точка от елипсата и т.н.
Теоремата е доказана.
Определение. Уравнение (4) се нарича канонично уравнение на елипсата.
Определение. Каноничните координатни оси за една елипса се наричат главни оси на елипсата.
Определение. Началото на каноничната координатна система за елипса се нарича център на елипсата.
клауза 3. Свойства на елипсата.
Теорема. (Свойства на елипса.)
1. В каноничната координатна система за елипса всичко
точките на елипсата са в правоъгълника
,
.
2. Точките лежат върху
3. Елипса е крива, която е симетрична по отношение на
основните им оси.
4. Центърът на елипсата е нейният център на симетрия.
Доказателство. 1, 2) Непосредствено следва от каноничното уравнение на елипсата.
3, 4) Нека M(x, y) е произволна точка от елипсата. Тогава неговите координати удовлетворяват уравнение (4). Но тогава координатите на точките също отговарят на уравнение (4) и следователно са точки на елипсата, от която следват твърденията на теоремата.
Теоремата е доказана.
Определение. Величината 2а се нарича голяма ос на елипсата, а величината а се нарича голяма полуос на елипсата.
Определение. Величината 2b се нарича малка ос на елипсата, величината b се нарича малка полуос на елипсата.
Определение. Пресечните точки на елипсата с нейните главни оси се наричат върхове на елипсата.
Коментирайте. Една елипса може да бъде конструирана по следния начин. В самолета ние „забиваме пирон във фокусните точки“ и закрепваме дължина на конеца към тях 
. След това вземаме молив и с него затягаме конеца. След това преместваме оловото на молива по равнината, като се уверяваме, че конецът е опънат.
От определението за ексцентричност следва, че
Нека фиксираме числото a и насочим числото c към нула. След това при 
,
И 
. В лимита, който получаваме
или 
– уравнение на окръжност.
Нека сега да насочим 
. Тогава 
,
и виждаме, че в границата елипсата се изражда в прав сегмент 
в обозначението на фигура 3.
клауза 4. Параметрични уравнения на елипсата.
Теорема. Позволявам 
– произволни реални числа. След това системата от уравнения
,
(6)
са параметрични уравнения на елипса в каноничната координатна система за елипсата.
Доказателство. Достатъчно е да се докаже, че системата от уравнения (6) е еквивалентна на уравнение (4), т.е. те имат еднакъв набор от решения.
1) Нека (x, y) е произволно решение на система (6). Разделете първото уравнение на a, второто на b, повдигнете двете уравнения на квадрат и добавете:
.
Тези. всяко решение (x, y) на система (6) удовлетворява уравнение (4).
2) Обратно, нека двойката (x, y) е решение на уравнение (4), т.е.
.
От това равенство следва, че точката с координати 
лежи върху окръжност с единичен радиус с център в началото, т.е. е точка от тригонометрична окръжност, на която съответства определен ъгъл 
:
От определението за синус и косинус веднага следва това
,
, Където 
, от което следва, че двойката (x, y) е решение на система (6) и т.н.
Теоремата е доказана.
Коментирайте. Елипса може да се получи в резултат на равномерно „компресиране“ на кръг с радиус a към абсцисната ос.
Позволявам 
– уравнение на окръжност с център в началото. „Компресирането“ на кръг към абсцисната ос не е нищо повече от трансформация на координатната равнина, извършена съгласно следното правило. За всяка точка M(x, y) свързваме точка в същата равнина 
, Където 
,
– степен на компресия.
С тази трансформация всяка точка от кръга „преминава“ към друга точка от равнината, която има същата абциса, но по-малка ордината. Нека изразим старата ордината на точка чрез новата:
и заместете кръгове в уравнението:
.
От тук получаваме:
.
(7)
От това следва, че ако преди трансформацията „компресия“ точката M(x, y) лежеше върху окръжността, т.е. нейните координати удовлетворяват уравнението на окръжността, след което след трансформацията на „компресията“ тази точка се „трансформира“ в точката 
, чиито координати удовлетворяват уравнението на елипсата (7). Ако искаме да получим уравнението на елипса с полумалка осb, тогава трябва да вземем коефициента на компресия
.
клауза 5. Допирателна към елипса.
Теорема. Позволявам 
– произволна точка на елипсата
.
Тогава уравнението на допирателната към тази елипса в точката 
има формата:
.
(8)
Доказателство. Достатъчно е да разгледаме случая, когато точката на допиране се намира в първата или втората четвърт на координатната равнина: 
. Уравнението на елипсата в горната полуравнина има формата:
.
(9)
Нека използваме уравнението на допирателната към графиката на функцията 
в точката 
:
Където 
– стойността на производната на дадена функция в точка 
. Елипса в първата четвърт може да се разглежда като графика на функция (8). Нека намерим неговата производна и нейната стойност в точката на допиране:
,
. Тук се възползвахме от факта, че допирателната точка 
е точка от елипсата и следователно нейните координати удовлетворяват уравнението на елипсата (9), т.е.
.
Заместваме намерената стойност на производната в уравнението на допирателната (10):
,
където получаваме:
Това предполага:
Нека разделим това равенство на 
:
.
Остава да отбележим, че 
, защото точка 
принадлежи на елипсата и нейните координати удовлетворяват нейното уравнение.
Уравнението на допирателната (8) се доказва по подобен начин в точката на допиране, разположена в третата или четвъртата четвърт на координатната равнина.
И накрая, можем лесно да проверим, че уравнение (8) дава уравнението на допирателната в точките 
,
:
или 
, И 
или 
.
Теоремата е доказана.
клауза 6. Огледално свойство на елипса.
Теорема. Допирателната към елипсата има равни ъгли с фокалните радиуси на точката на допиране.
Позволявам 
- точка на допир, 
,
– радиуси на фокуса на допирателната точка, P и Q – проекции на фокуси върху допирателната, начертана към елипсата в точката 
.
Теоремата гласи, че
.
(11)
Това равенство може да се тълкува като равенство на ъглите на падане и отражение на светлинен лъч от елипса, освободена от фокуса. Това свойство се нарича огледално свойство на елипсата:
Светлинен лъч, излязъл от фокуса на елипсата, след отражение от огледалото на елипсата, преминава през друг фокус на елипсата.
Доказателство на теоремата. За да докажем равенството на ъглите (11), доказваме сходството на триъгълниците 
И 
, по което страните 
И 
ще бъде подобен. Тъй като триъгълниците са правоъгълни, достатъчно е да се докаже равенството
Елипса е геометричното място на точки в равнина, сумата от разстоянията от всяка от тях до две дадени точки F_1, а F_2 е постоянна стойност (2a), по-голяма от разстоянието (2c) между тези дадени точки(Фиг. 3.36, а). Това геометрично определение изразява фокално свойство на елипса.
Фокално свойство на елипса
Точките F_1 и F_2 се наричат фокуси на елипсата, разстоянието между тях 2c=F_1F_2 е фокусното разстояние, средата O на отсечката F_1F_2 е центърът на елипсата, числото 2a е дължината на голямата ос на елипса (съответно числото a е голямата полуос на елипсата). Отсечките F_1M и F_2M, свързващи произволна точка M от елипсата с нейните фокуси, се наричат фокални радиуси на точка M. Отсечката, свързваща две точки от елипсата, се нарича хорда на елипсата.
Съотношението e=\frac(c)(a) се нарича ексцентричност на елипсата. От определението (2a>2c) следва, че 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Геометрично определение на елипса, изразяваща нейното фокусно свойство, е еквивалентна на нейната аналитична дефиниция - линията, дадена от каноничното уравнение на елипсата:
Наистина, нека въведем правоъгълна координатна система (фиг. 3.36c). Вземаме центъра O на елипсата за начало на координатната система; вземаме правата, минаваща през фокусите (фокалната ос или първата ос на елипсата) като абсцисната ос (положителната посока върху нея е от точка F_1 до точка F_2); нека вземем права линия, перпендикулярна на фокалната ос и минаваща през центъра на елипсата (втората ос на елипсата) като ординатна ос (посоката на ординатната ос е избрана така, че правоъгълната координатна система Oxy да е права) .
Нека създадем уравнение за елипсата, използвайки нейната геометрична дефиниция, която изразява фокалното свойство. В избраната координатна система определяме координатите на фокусите F_1(-c,0),~F_2(c,0). За произволна точка M(x,y), принадлежаща на елипсата, имаме:
\vline\,\стрелка надясно(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\стрелка надясно(F_2M)\,\vline\,=2a.
Записвайки това равенство в координатна форма, получаваме:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Преместваме втория радикал в дясната страна, квадратираме двете страни на уравнението и въвеждаме подобни членове:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Разделяйки на 4, повдигаме на квадрат двете страни на уравнението:
a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Като определи b=\sqrt(a^2-c^2)>0, получаваме b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Разделяйки двете страни на a^2b^2\ne0 , получаваме канонично уравнениеелипса:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Следователно избраната координатна система е канонична.
Ако фокусите на елипсата съвпадат, тогава елипсата е кръг (фиг. 3.36,6), тъй като a=b. В този случай всяка правоъгълна координатна система с начало в точката ще бъде канонична O\equiv F_1\equiv F_2, а уравнението x^2+y^2=a^2 е уравнението на окръжност с център в точка O и радиус, равен на a.
Разсъждавайки в обратен ред, може да се покаже, че всички точки, чиито координати отговарят на уравнение (3.49), и само те, принадлежат към геометричното място на точките, наречено елипса. С други думи, аналитичната дефиниция на елипса е еквивалентна на нейната геометрична дефиниция, която изразява фокалното свойство на елипсата.
Директорско свойство на елипса
Директрисите на елипса са две прави линии, минаващи успоредно на ординатната ос на каноничната координатна система на същото разстояние \frac(a^2)(c) от нея. При c=0, когато елипсата е кръг, няма директриси (можем да приемем, че директрисите са в безкрайност).
Елипса с ексцентричност 0
Всъщност, например, за фокус F_2 и директриса d_2 (фиг. 3.37,6) условието \frac(r_2)(\rho_2)=eможе да се запише в координатна форма:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)
Отърваване от ирационалността и подмяна e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, стигаме до уравнението на каноничната елипса (3.49). Подобно разсъждение може да се извърши за фокус F_1 и директор d_1\колон\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Уравнение на елипса в полярна координатна система
Уравнението на елипсата в полярната координатна система F_1r\varphi (фиг. 3.37, c и 3.37 (2)) има формата
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
където p=\frac(b^2)(a) е фокусният параметър на елипсата.
Всъщност нека изберем левия фокус F_1 на елипсата като полюс на полярната координатна система, а лъча F_1F_2 като полярна ос (фиг. 3.37, c). Тогава за произволна точка M(r,\varphi), съгласно геометричната дефиниция (фокално свойство) на елипса, имаме r+MF_2=2a. Изразяваме разстоянието между точките M(r,\varphi) и F_2(2c,0) (вижте):
\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(подравнено)
Следователно в координатна форма уравнението на елипсата F_1M+F_2M=2a има формата
r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Изолираме радикала, повдигаме на квадрат двете страни на уравнението, разделяме на 4 и представяме подобни членове:
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Изразете полярния радиус r и направете замяната e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Геометричен смисъл на коефициентите в уравнението на елипсата
Нека намерим пресечните точки на елипсата (виж фиг. 3.37a) с координатните оси (върховете на елипсата). Замествайки y=0 в уравнението, намираме точките на пресичане на елипсата с абсцисната ос (с фокалната ос): x=\pm a. Следователно дължината на сегмента от фокалната ос, съдържащ се вътре в елипсата, е равна на 2a. Този сегмент, както беше отбелязано по-горе, се нарича голямата ос на елипсата, а числото a е голямата полуос на елипсата. Като заместим x=0, получаваме y=\pm b. Следователно дължината на сегмента от втората ос на елипсата, съдържащ се вътре в елипсата, е равна на 2b. Този сегмент се нарича малка ос на елипсата, а числото b е малка полуос на елипсата.
Наистина ли, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, а равенството b=a се получава само в случай c=0, когато елипсата е кръг. Поведение k=\frac(b)(a)\leqslant1се нарича коефициент на компресия на елипса.
Бележки 3.9
1. Правите линии x=\pm a,~y=\pm b ограничават основния правоъгълник на координатната равнина, вътре в който има елипса (виж фиг. 3.37, а).
2. Елипса може да се определи като геометричното място на точките, получено чрез компресиране на кръг до неговия диаметър.
Наистина, нека уравнението на окръжност в правоъгълната координатна система Oxy е x^2+y^2=a^2. Когато се компресира към оста x с коефициент 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) Като заместим окръжностите x=x" и y=\frac(1)(k)y" в уравнението, получаваме уравнението за координатите на изображението M"(x",y") на точката M(x, y) : (x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} тъй като b=k\cdot a . Това е каноничното уравнение на елипсата. 3. Координатните оси (на каноничната координатна система) са осите на симетрия на елипсата (наричани главни оси на елипсата), а нейният център е центърът на симетрия. Наистина, ако точката M(x,y) принадлежи на елипсата . тогава точките M"(x,-y) и M""(-x,y), симетрични на точката M спрямо координатните оси, също принадлежат на една и съща елипса. 4. От уравнението на елипсата в полярната координатна система r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(виж фиг. 3.37, c), геометричният смисъл на фокалния параметър е изяснен - това е половината от дължината на хордата на елипсата, минаваща през нейния фокус перпендикулярно на фокалната ос (r = p при \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Ексцентричността e характеризира формата на елипсата, а именно разликата между елипсата и кръга. Колкото по-голямо е, толкова по-издължена е елипсата и колкото е по-близо до нула, толкова по-близо е елипсата до кръг (фиг. 3.38а). Наистина, като вземем предвид, че e=\frac(c)(a) и c^2=a^2-b^2, получаваме e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\right )\^2=1-k^2,
!} където k е коефициентът на компресия на елипсата, 0 6. Уравнение \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1при а 7. Уравнение \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bопределя елипса с център в точка O"(x_0,y_0), чиито оси са успоредни на координатните оси (фиг. 3.38, c). Това уравнение се редуцира до каноничното с помощта на паралелна транслация (3.36). Когато a=b=R уравнението (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2описва окръжност с радиус R с център в точка O"(x_0,y_0) . Параметрично уравнение на елипсав каноничната координатна система има формата \begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.
Наистина, замествайки тези изрази в уравнение (3.49), стигаме до основната тригонометрична идентичност \cos^2t+\sin^2t=1. Пример 3.20.Начертайте елипса \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1в каноничната координатна система Oxy. Намерете полуосите, фокусното разстояние, ексцентрицитета, коефициента на компресия, фокусния параметър, уравненията на директрисата. Решение.Сравнявайки даденото уравнение с каноничното, определяме полуосите: a=2 - голяма полуос, b=1 - малка полуос на елипсата. Построяваме основен правоъгълник със страни 2a=4,~2b=2 с център в началото (фиг. 3.39). Имайки предвид симетрията на елипсата, ние я вписваме в основния правоъгълник. Ако е необходимо, определете координатите на някои точки от елипсата. Например, замествайки x=1 в уравнението на елипсата, получаваме \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Следователно, точки с координати \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- принадлежат на елипсата. Изчисляване на степента на компресия k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); фокусно разстояние 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ексцентричност e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); фокусен параметър p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Съставяме директрисните уравнения: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).Параметрично уравнение на елипса
