У дома Мъдреци Посочете графика със стъпка на разпределение на Поасон. Формула на Поасон и закон на разпределение на Поасон

Мъдреци

Посочете графика със стъпка на разпределение на Поасон. Формула на Поасон и закон на разпределение на Поасон

Въведение

Подчиняват ли се на някакви закони случайните явления? Да, но тези закони са различни от тези, с които сме свикнали физични закони. Стойностите на SV не могат да бъдат предвидени дори при известни експериментални условия; можем само да посочим вероятностите SV да приеме една или друга стойност. Но като знаем вероятностното разпределение на SV, можем да направим заключения за събитията, в които участват тези случайни променливи. Вярно е, че тези заключения също ще имат вероятностен характер.

Нека някои SV са дискретни, т.е. може да приема само фиксирани стойности Xi. В този случай поредицата от вероятностни стойности P(Xi) за всички (i=1…n) допустими стойности на това количество се нарича неговия закон за разпределение.

Законът за разпределение на SV е връзка, която установява връзка между възможните стойности на SV и вероятностите, с които тези стойности се приемат. Законът за разпределение напълно характеризира SV.

При изграждане математически моделза проверка статистическа хипотезанеобходимо е да се въведе математическо предположение за закона на разпределение на SV (параметричен начин за конструиране на модела).

Непараметричният подход за описание на математическия модел (SV няма параметричен закон за разпределение) е по-малко точен, но има по-широк обхват.

Точно както за вероятността от случайно събитие, за закона за разпределение на SV има само два начина да се намери. Или изграждаме диаграма на случайно събитие и намираме аналитичен израз (формула) за изчисляване на вероятността (може би някой вече е направил или ще направи това вместо нас!), или ще трябва да използваме експеримент и въз основа на честотите от наблюдения, направете някои предположения (изложете хипотези) относно законовите разпределения.

Разбира се, за всяко едно от “класическите” разпределения тази работа е извършена отдавна – широко известни и много често използвани в приложната статистика са биномиалните и полиномиалните разпределения, геометричните и хипергеометричните, разпределенията на Паскал и Поасон и много други.

За почти всички класически разпределения веднага бяха съставени и публикувани специални статистически таблици, усъвършенствани с увеличаване на точността на изчисленията. Без използването на много томове от тези таблици, без обучение в правилата за използването им, практическото използване на статистиката е невъзможно през последните два века.

Днес ситуацията се промени - няма нужда да съхранявате изчислителни данни с помощта на формули (колкото и сложни да са последните!), Времето за използване на закона за разпределение за практика е намалено до минути или дори секунди. Вече има достатъчен брой различни приложни софтуерни пакети за тези цели.

Сред всички вероятностни разпределения има такива, които се използват особено често в практиката. Тези разпределения са проучени подробно и техните свойства са добре известни. Много от тези разпределения са в основата на цели области на знанието, като например теорията опашка, теория на надеждността, контрол на качеството, теория на игрите и др.

Сред тях не може да не се обърне внимание на трудовете на Поасон (1781-1840), който доказа по-обща форма на закона за големите числа от Якоб Бернули, а също така за първи път приложи теорията на вероятността за проблеми със стрелба . Името на Поасон се свързва с един от законите за разпределение, който играе важна роля в теорията на вероятностите и нейните приложения.

Тази статия е посветена на този закон за разпределение. курсова работа. Това е занепосредствено за закона, за неговите математически характеристики, специални свойства, връзка с биномното разпределение. Ще бъдат казани няколко думи за практическото приложение и ще бъдат дадени няколко примера от практиката.

Целта на нашето есе е да изясним същността на теоремите за разпределението на Бернули и Поасон.

Задачата е да се проучи и анализира литературата по темата на есето.

1. Биномиално разпределение (разпределение на Бернули)

Биномиално разпределение (разпределение на Бернули) - вероятностно разпределение на броя на събитията с повторение независими тестове, ако вероятността за възникване на това събитие във всеки опит е p (0

Казва се, че SV X се разпределя според закона на Бернули с параметър p, ако приема стойности 0 и 1 с вероятности pX(x)ºP(X=x) = pxq1-x; p+q=1; х=0,1.

Биномиалното разпределение възниква в случаите, когато се задава въпросът: колко пъти се случва определено събитие в поредица от определен брой независими наблюдения (експерименти), извършени при едни и същи условия.

За удобство и яснота ще приемем, че знаем стойността p - вероятността посетител, влизащ в магазина, да се окаже купувач и (1- p) = q - вероятността посетител, влизащ в магазина, да не бъде купувач.

Ако X е броят купувачи от общия брой n посетители, тогава вероятността да има k купувачи сред n посетители е равна на

P(X= k) = , където k=0,1,…n 1)

Формула (1) се нарича формула на Бернули. При голям брой тестове биномното разпределение има тенденция да бъде нормално.

Тестът на Бернули е вероятностен експеримент с два резултата, които обикновено се наричат „успех“ (обикновено означаван със символа 1) и „неуспех“ (съответно обозначен с 0). Вероятността за успех обикновено се обозначава с буквата p, провал - с буквата q; разбира се q=1-p. Стойността p се нарича параметър на теста на Бернули.

Биномиални, геометрични, паскалови и отрицателни биномиални случайни променливи се получават от последователност от независими опити на Бернули, ако последователността е прекратена по един или друг начин, например след n-то изпитание или х-ти успех. Обикновено се използва следната терминология:

– параметър на теста на Бернули (вероятност за успех в един тест);

– брой тестове;

– брой успехи;

– брой повреди.

Биномиална случайна променлива (m|n,p) – броят на m успеха в n опита.

Геометрична случайна променлива G(m|p) – броят m опити до първия успех (включително първия успех).

Паскал случайна променлива C(m|x,p) – броят m опити до x-тия успех (без да включва, разбира се, самия x-ти успех).

Отрицателна биномна случайна променлива Y(m|x,p) – броят m неуспехи преди x-тия успех (без да се включва x-тият успех).

Забележка: понякога отрицателното биномно разпределение се нарича разпределение на Паскал и обратно.

Поасоново разпределение

2.1. Дефиниция на закона на Поасон

В много практически задачи трябва да се работи със случайни променливи, разпределени според особен закон, който се нарича закон на Поасон.

Нека разгледаме прекъсната случайна променлива X, която може да приема само цели числа, неотрицателни стойности: 0, 1, 2, ... , m, ... ; Освен това последователността от тези стойности е теоретично неограничена. Казва се, че случайна променлива X е разпределена съгласно закона на Поасон, ако вероятността тя да приеме определена стойност m се изразява с формулата:

където a е някакво положително количество, наречено параметър на закона на Поасон.

Диапазон на разпространение случайна величина X, разпределен според закона на Поасон, изглежда така:

xm				…	м	…
следобед	е-а			…		…

2.2.Основни характеристики на разпределението на Поасон

Първо, нека се уверим, че последователността от вероятности може да бъде серия на разпределение, т.е. че сумата от всички вероятности Рm е равна на единица.

Използваме разширението на функцията ex в серията Maclaurin:

Известно е, че тази серия се сближава за всяка стойност на x, следователно, приемайки x = a, получаваме

следователно

Нека да определим основните характеристики - очаквана стойности дисперсия - случайна величина X, разпределена по закона на Поасон. Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички нейни възможни стойности и техните вероятности. По дефиниция, когато дискретна случайна променлива приема изброим набор от стойности:

Първият член на сумата (съответстващ на m=0) е равен на нула, следователно сумирането може да започне с m=1:

Така параметър a не е нищо повече от математическото очакване на случайната променлива X.

Дисперсията на случайна променлива X е математическото очакване на квадрата на отклонението на случайна променлива от нейното математическо очакване:

Въпреки това е по-удобно да го изчислите по формулата:

Затова нека първо намерим втория начален момент X стойности:

Според предварително доказани

Освен това,

2.3.Допълнителни характеристики на разпределението на Поасон

I. Началният момент от ред k на случайна променлива X е математическото очакване на стойността Xk:

По-специално, началният момент на първи ред е равен на математическото очакване:

II. Централният момент на ред k на случайна променлива X е математическото очакване на стойността k:

По-специално централният момент от 1-ви ред е 0:

μ1=M=0,

централният момент от 2-ри ред е равен на дисперсията:

μ2=M2=a.

III. За случайна променлива X, разпределена според закона на Поасон, намираме вероятността тя да приеме стойност не по-малка от даденото k. Означаваме тази вероятност с Rk:

Очевидно вероятността Rk може да се изчисли като сума

Въпреки това е много по-лесно да се определи от вероятността противоположно събитие:

По-специално, вероятността стойността на X да приеме положителна стойност се изразява с формулата

Както вече споменахме, много практически задачи водят до разпределение на Поасон. Нека разгледаме един от типичните проблеми от този вид.

Фиг.2

Нека точките са произволно разпределени по оста x Ox (фиг. 2). Да приемем, че произволното разпределение на точките удовлетворява следните условия:

1) Вероятността определен брой точки да попаднат на сегмент l зависи само от дължината на този сегмент, но не зависи от позицията му върху абсцисната ос. С други думи, точките са разпределени по оста x с еднаква средна плътност. Нека означим тази плътност, т.е. математическо очакване на броя точки на единица дължина, изразено чрез λ.

2) Точките са разпределени по оста x независимо една от друга, т.е. вероятността определен брой точки да попаднат на даден сегмент не зависи от това колко от тях попадат на друг сегмент, който не се припокрива с него.

3) Вероятността две или повече точки да попаднат в малка област Δx е незначителна в сравнение с вероятността една точка да попадне (това условие означава практическата невъзможност две или повече точки да съвпадат).

Нека изберем определен сегмент с дължина l по абсцисната ос и разгледаме дискретна случайна променлива X - броя точки, попадащи на този сегмент. Възможни стойностистойностите ще бъдат 0,1,2,...,m,... Тъй като точките попадат на сегмента независимо една от друга, теоретично е възможно там да има толкова много, колкото желаете, т.е. тази серияпродължава безкрайно.

Нека докажем, че случайната променлива X е разпределена според закона на Поасон. За да направите това, трябва да изчислите вероятността Pm точно m точки да попаднат на сегмента.

Първо нека решим повече проста задача. Нека разгледаме малка област Δx на оста Ox и изчислим вероятността поне една точка да попадне върху тази област. Ще разсъждаваме по следния начин. Математическото очакване за броя на точките, попадащи на този участък, очевидно е равно на λ·Δx (тъй като средно λ точки падат на единица дължина). Съгласно условие 3, за малък сегмент Δx можем да пренебрегнем възможността две или повече точки да попаднат върху него. Следователно математическото очакване λ·Δх на броя точки, попадащи върху площта Δх, ще бъде приблизително равно на вероятността една точка да попадне върху нея (или, което е еквивалентно при тези условия, поне една).

Така до безкрайно малко по-висок ред, за Δх→0 можем да приемем, че вероятността една (поне една) точка да попадне на отсечката Δх е равна на λ·Δх, а вероятността да не падне нито една равна на 1-c·Δх.

Нека използваме това, за да изчислим вероятността Pm точно m точки да попаднат на сегмента l. Нека разделим отсечката l на n равни части по дължина Съгласни сме да наричаме елементарната отсечка Δx „празна“, ако не съдържа нито една точка, и „заета“, ако има поне една. Съгласно горното вероятността отсечката Δх да бъде „заета” е приблизително равна на λ·Δх=; вероятността да бъде „празен“ е 1-. Тъй като, съгласно условие 2, точките, попадащи в неприпокриващи се сегменти, са независими, тогава нашите n сегмента могат да се разглеждат като n независими „експеримента“, във всеки от които сегментът може да бъде „зает“ с вероятност p=. Нека намерим вероятността сред n сегмента да има точно m "заети". Според теоремата за повтарящите се независими опити тази вероятност е равна на

или нека обозначим λl=a:

За достатъчно голямо n тази вероятност е приблизително равна на вероятността точно m точки да попаднат на сегмента l, тъй като вероятността две или повече точки да попаднат на сегмента Δx е незначителна. За да намерите точна стойностРm, трябва да отидете до лимита като n→∞:

Като се има предвид това

намираме, че желаната вероятност се изразява с формулата

където a=λl, т.е. стойността на X се разпределя по закона на Поасон с параметър a=λl.

Трябва да се отбележи, че стойността a по смисъл представлява средният брой точки на сегмент l. Стойността на R1 (вероятността стойността на X да приеме положителна стойност) в в такъв случайизразява вероятността поне една точка да попадне на отсечката l: R1=1-e-a.

По този начин ние сме убедени, че разпределението на Поасон възниква, когато някои точки (или други елементи) заемат произволна позиция независимо една от друга и се брои броят на тези точки, попадащи в някаква област. В нашия случай такава област беше сегментът l по абсцисната ос. Това заключение обаче може лесно да се разшири до случая на разпределение на точки в равнината (случайно плоско поле от точки) и в пространството (случайно пространствено поле от точки). Не е трудно да се докаже, че ако са изпълнени условията:

1) точките са разпределени статистически равномерно в полето със средна плътност λ;

2) точките попадат в неприпокриващи се региони независимо;

3) точките се появяват поотделно, а не по двойки, тройки и т.н.,

тогава броят на точките X, попадащи във всяка област D (плоска или пространствена), се разпределя съгласно закона на Поасон:

където a е средният брой точки, попадащи в зона D.

За плосък случай a=SD λ, където SD е площта на областта D,

за пространствено a= VD λ, където VD е обемът на област D.

За разпределението на Поасон на броя точки, попадащи в сегмент или област, условието за постоянна плътност (λ=const) не е важно. Ако другите две условия са изпълнени, тогава законът на Поасон все още е в сила, само че параметърът a в него приема различен израз: той се получава не чрез просто умножаване на плътността λ по дължината, площта или обема, а чрез интегриране на променливата плътност над сегмента, площта или обема.

Разпределението на Поасон играе важна роляв редица въпроси на физиката, теорията на комуникацията, теорията на надеждността, теорията на масовото обслужване и др. Навсякъде, където произволен брой събития (радиоактивни разпадания, телефонни обаждания, повреди на оборудването, аварии и т.н.) могат да възникнат за определен период от време.

Нека разгледаме най-типичната ситуация, в която възниква разпределението на Поасон. Нека някои събития (покупки в магазина) се случват в произволни моменти. Нека определим броя на появата на такива събития във времевия интервал от 0 до T.

Случайният брой събития, настъпили за времето от 0 до T, се разпределя по закона на Поасон с параметъра l=aT, където a>0 е проблемен параметър, отразяващ средната честота на събитията. Вероятността за k покупки за голям интервал от време (например ден) ще бъде

Заключение

В заключение бих искал да отбележа, че разпределението на Поасон е доста често срещано и важно разпределение, което има приложение както в теорията на вероятностите и нейните приложения, така и в математическа статистика.

Много практически проблеми в крайна сметка се свеждат до разпределението на Поасон. Неговото специално свойство, което се състои в равенството на математическото очакване и дисперсията, често се използва на практика за решаване на въпроса дали дадена случайна променлива е разпределена според закона на Поасон или не.

Също така важен е фактът, че законът на Поасон позволява да се намерят вероятностите за събитие в повтарящи се независими опити с голям брой повторения на експеримента и малка единична вероятност.

Разпределението на Бернули обаче се използва изключително рядко в практиката на икономическите изчисления и по-специално в анализа на стабилността. Това се дължи както на изчислителните трудности, така и на факта, че разпределението на Бернули е за дискретни количества, и с факта, че условията на класическата схема (независимост, изброим брой тестове, инвариантност на условията, влияещи върху възможността за възникване на събитие) не винаги са изпълнени в практически ситуации. По-нататъшни изследвания в областта на анализа на схемата на Бернули, извършени през 18-19 век. Лаплас, Моавр, Поасон и други бяха насочени към създаване на възможност за използване на схемата на Бернули в случай на голям брой тестове, клонящи към безкрайност.

Литература

1. Вентцел Е.С. Теория на вероятностите. – М, „Висше училище” 1998г

2. Гмурман В.Е. Ръководство за решаване на задачи по теория на вероятностите и математическа статистика. – М, „Висше училище” 1998г

3. Сборник задачи по математика за колежи. Ед. Ефимова А.В. - М, Наука 1990г

Нека разгледаме разпределението на Поасон, изчислим неговото математическо очакване, дисперсия и мода. Използвайки функцията на MS EXCEL POISSON.DIST(), ще построим графики на функцията на разпределение и плътността на вероятността. Нека оценим параметъра на разпределението, неговото математическо очакване и стандартното отклонение.

Първо даваме суха формална дефиниция на разпределението, след което даваме примери за ситуации, когато Поасоново разпределение(Английски) Поасонразпространение) е адекватен модел за описание на случайна променлива.

Ако се случват случайни събития в даден период от време (или в определен обем материя) с средна честота λ( ламбда), след това броя на събитията х, настъпили през този период от време ще има Поасоново разпределение.

Приложение на разпределението на Поасон

Примери, когато Поасоново разпределениее адекватен модел:

броя на повикванията, получени на телефонната централа за определен период от време;
броя на частиците, претърпели радиоактивен разпад за определен период от време;
брой дефекти в парче плат с фиксирана дължина.

Поасоново разпределениее адекватен модел, ако са изпълнени следните условия:

събитията се случват независимо едно от друго, т.е. вероятността от последващо събитие не зависи от предишното;
средният процент на събития е постоянен. В резултат на това вероятността за събитие е пропорционална на продължителността на интервала на наблюдение;
две събития не могат да се случат едновременно;
броят на събитията трябва да приема стойност 0; 1; 2…

Забележка: Добра представа е, че наблюдаваната случайна променлива има Разпределение на Поасон,е фактът, че е приблизително равен (виж по-долу).

По-долу са дадени примери за ситуации, при които Поасоново разпределение не могасе прилагат:

броят на студентите, които напускат университета в рамките на един час (тъй като средният поток от студенти не е постоянен: по време на часовете има малко студенти, а по време на почивката между часовете броят на студентите се увеличава рязко);
броя на земетресенията с амплитуда 5 пункта годишно в Калифорния (тъй като едно земетресение може да предизвика вторични трусове с подобна амплитуда - събитията не са независими);
брой дни, които пациентите прекарват в отделението интензивни грижи(защото броят на дните, които пациентите прекарват в интензивното отделение винаги е по-голям от 0).

Забележка: Поасоново разпределениее приближение на по-точно дискретни разпределения: И .

Забележка: За връзката Поасоново разпределениеИ Биномиално разпределениеможе да се прочете в статията. За връзката Поасоново разпределениеИ Експоненциално разпределениеможете да прочетете в статията за.

Поасоново разпределение в MS EXCEL

В MS EXCEL, започвайки от версия 2010, за Разпределения Поасонима функция POISSON.DIST() , английско име- POISSON.DIST(), което ви позволява да изчислите не само вероятността какво ще се случи за даден период от време хсъбития (функция плътност на вероятността p(x), вижте формулата по-горе), но също така (вероятността поне през даден период от време хсъбития).

Преди MS EXCEL 2010, EXCEL имаше функцията POISSON(), която също ви позволява да изчислявате разпределителна функцияИ плътност на вероятността p(x). POISSON() е оставен в MS EXCEL 2010 за съвместимост.

Примерният файл съдържа графики разпределение на плътността на вероятносттаИ кумулативна функция на разпределение.

Поасоново разпределениеима изкривена форма (дълга опашка от дясната страна на вероятностната функция), но с увеличаването на параметъра λ става все по-симетрична.

Забележка: Средно аритметичноИ дисперсия(квадрат) са равни на параметъра Поасоново разпределение– λ (вж файл с примерен лист Пример).

Задача

Типично приложение Поасонови разпределенияв контрола на качеството е модел на броя на дефектите, които могат да се появят в инструмент или устройство.

Например, при среден брой дефекти в чип λ (ламбда), равен на 4, вероятността произволно избран чип да има 2 или по-малко дефекта е: = POISSON.DIST(2;4;TRUE)=0,2381

Третият параметър във функцията е зададен = TRUE, така че функцията ще се върне кумулативна функция на разпределение, тоест вероятността броят на случайните събития да бъде в диапазона от 0 до 4 включително.

Изчисленията в този случай се извършват по формулата:

Вероятността произволно избрана микросхема да има точно 2 дефекта е: = POISSON.DIST(2;4;FALSE)=0,1465

Третият параметър във функцията е зададен = FALSE, така че функцията ще върне плътността на вероятността.

Вероятността произволно избрана микросхема да има повече от 2 дефекта е равна на: =1-POISSON.DIST(2;4;TRUE) =0,8535

Забележка: Ако хне е цяло число, тогава при изчисляване на формулата . Формули =POISSON.DIST( 2 ; 4; ЛЪЖА)И =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; ЛЪЖА)ще върне същия резултат.

Генериране на случайни числа и оценка на λ

За стойностите на λ >15 , Поасоново разпределениедобре приблизително Нормална дистрибуция със следните параметри: μ =λ , σ 2 =λ .

Повече подробности за връзката между тези разпределения можете да намерите в статията. Има и примери за приближение и са обяснени условията кога е възможно и с каква точност.

СЪВЕТ: Можете да прочетете за други дистрибуции на MS EXCEL в статията.

В много практически важни приложения разпределението на Поасон играе важна роля. Много от цифровите дискретни величини са реализации на процес на Поасон, който има следните свойства:

Интересуваме се колко пъти се случва определено събитие в дадена област възможни резултатислучаен експеримент. Зоната на възможните резултати може да бъде интервал от време, сегмент, повърхност и др.
Вероятността за дадено събитие е еднаква за всички области на възможни резултати.
Броят на събитията, случващи се в една област на възможни резултати, не зависи от броя на събитията, случващи се в други области.
Вероятността дадено събитие да се случи повече от веднъж в една и съща област от възможни резултати клони към нула, тъй като областта от възможни резултати намалява.

За да разберем допълнително значението на процеса на Поасон, да предположим, че изследваме броя на клиентите, посещаващи банков клон, разположен в централния бизнес район по време на обяд, т.е. от 12 до 13 часа. Да предположим, че искате да определите броя на клиентите, пристигащи за една минута. Тази ситуация има ли характеристиките, изброени по-горе? Първо, събитието, което ни интересува, е пристигането на клиент, а диапазонът от възможни резултати е интервал от една минута. Колко клиенти ще дойдат в банката за минута - нито един, един, двама или повече? Второ, разумно е да се предположи, че вероятността клиентът да пристигне в рамките на една минута е еднаква за всички едноминутни интервали. Трето, пристигането на един клиент по време на всеки едноминутен интервал е независимо от пристигането на всеки друг клиент по време на който и да е друг едноминутен интервал. И накрая, вероятността повече от един клиент да дойде в банката клони към нула, ако интервалът от време клони към нула, например, стане по-малък от 0,1 s. И така, броят на клиентите, идващи в банката по време на обяд в рамките на една минута, се описва от разпределението на Поасон.

Разпределението на Поасон има един параметър, обозначен със символа λ (гръцката буква "ламбда") - средният брой успешни опити в даден диапазон от възможни резултати. Дисперсията на разпределението на Поасон също е λ, а стандартното му отклонение е . Брой успешни опити хПоасоновата случайна променлива варира от 0 до безкрайност. Разпределението на Поасон се описва с формулата:

Където P(X)- вероятност хуспешни опити, λ - очакван брой успехи, д- база натурален логаритъм, равно на 2,71828, х- брой успехи за единица време.

Да се върнем към нашия пример. Да кажем, че по време на обедната почивка в банката идват средно по трима клиенти на минута. Каква е вероятността двама клиенти да дойдат в банката в даден момент? Каква е вероятността повече от двама клиенти да дойдат в банката?

Нека приложим формула (1) с параметър λ = 3. Тогава вероятността двама клиента да дойдат в банката в рамките на дадена минута е равна на

Вероятността повече от двама клиенти да дойдат в банката е равна на P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + … + P(X = ∞) . Тъй като сумата от всички вероятности трябва да е равна на 1, членовете на серията от дясната страна на формулата представляват вероятността за добавяне към събитието X ≤ 2. С други думи, сумата на тази серия е равна на 1 – P(X ≤ 2). Така P(X>2) = 1 – P(X≤2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]. Сега, използвайки формула (1), получаваме:

Така вероятността не повече от двама клиента да дойдат в банката в рамките на една минута е 0,423 (или 42,3%), а вероятността повече от двама клиента да дойдат в банката в рамките на една минута е 0,577 (или 57,7%).

Такива изчисления може да изглеждат досадни, особено ако параметърът λ е достатъчно голям. За да се избегнат сложни изчисления, много вероятности на Поасон могат да бъдат намерени в специални таблици (фиг. 1). Например, вероятността двама клиента да дойдат в банката в дадена минута, ако средно трима клиенти идват в банката на минута, е в пресечната точка на линията х= 2 и колона λ = 3. Така тя е равна на 0,2240 или 22,4%.

Ориз. 1. Поасонова вероятност при λ = 3

Сега е малко вероятно някой да използва таблици, ако има под ръка Excel с неговата =POISSON.DIST() функция (фиг. 2). Тази функция има три параметъра: брой успешни опити х, среден очакван брой успешни опити λ, параметър Интеграл, приемайки две стойности: FALSE – в този случай се изчислява вероятността за броя на успешните опити х(само X), TRUE – в този случай вероятността за броя на успешните опити от 0 до Х.

Ориз. 2. Изчисляване в Excel на вероятностите на разпределението на Поасон при λ = 3

Апроксимация на биномното разпределение с помощта на разпределението на Поасон

Ако броят не голям и броят Р- малко, биномиалното разпределение може да се апроксимира с помощта на разпределението на Поасон. как по-голям брой ни по-малко число Ртолкова по-висока е точността на приближението. Следният модел на Поасон се използва за приблизително биномиално разпределение.

Където P(X)- вероятност хуспех с дадени параметри нИ Р, н- размер на извадката, Р- истинска вероятност за успех, д- основата на естествения логаритъм, х- брой успехи в извадката (X = 0, 1, 2, …, н).

Теоретично, случайна променлива с разпределение на Поасон приема стойности от 0 до ∞. Въпреки това, в ситуации, когато разпределението на Поасон се използва за приближаване на биномното разпределение, случайната променлива на Поасон е броят на успехите сред ннаблюдения - не може да надхвърля броя н. От формула (2) следва, че с увеличаване на броя ни намаляване на броя Рвероятността за откриване на голям брой успехи намалява и клони към нула.

Както бе споменато по-горе, очакването µ и дисперсията σ 2 на разпределението на Поасон са равни на λ. Следователно, когато се приближава биномиалното разпределение с помощта на разпределението на Поасон, трябва да се използва формула (3) за приближаване на математическото очакване.

(3) µ = E(X) = λ =н.п.

За приближаване на стандартното отклонение се използва формула (4).

Моля, обърнете внимание, че стандартното отклонение, изчислено с помощта на формула (4), клони към стандартно отклонениев биномен модел – когато вероятността за успех стрклони към нула и, съответно, вероятността от повреда 1 – стрклони към единство.

Да приемем, че 8% от гумите, произведени в даден завод, са дефектни. За да илюстрираме използването на разпределението на Поасон за приблизително биномиално разпределение, ние изчисляваме вероятността да открием една дефектна гума в извадка от 20 гуми. Нека приложим формула (2), получаваме

Ако изчислим истинското биномно разпределение, а не неговото приближение, ще получим следния резултат:

Тези изчисления обаче са доста досадни. Въпреки това, ако използвате Excel за изчисляване на вероятностите, тогава използването на приближението на разпределението на Поасон става излишно. На фиг. Фигура 3 показва, че сложността на изчисленията в Excel е същата. Според мен обаче този раздел е полезен, за да се разбере, че при някои условия биномното разпределение и разпределението на Поасон дават подобни резултати.

Ориз. 3. Сравнение на сложността на изчисленията в Excel: (а) Разпределение на Поасон; (б) биномно разпределение

И така, в тази и две предишни бележки бяха разгледани три дискретни числени разпределения: и Поасон. За да разберем по-добре как тези разпределения са свързани едно с друго, представяме малко дърво от въпроси (фиг. 4).

Ориз. 4. Класификация на дискретни вероятностни разпределения

Използвани са материали от книгата Levin et al. – М.: Уилямс, 2004. – стр. 320–328

Поасоново разпределение.

Нека разгледаме най-типичната ситуация, в която възниква разпределението на Поасон. Нека събитието Асе появява определен брой пъти във фиксирана област от пространството (интервал, площ, обем) или период от време с постоянна интензивност. За да бъдем конкретни, помислете за последователното възникване на събития във времето, наречено поток от събития. Графично потокът от събития може да се илюстрира с много точки, разположени на времевата ос.

Това може да е поток от обаждания в сектора на услугите (ремонт домакински уреди, повикване на линейка и т.н.), потокът от обаждания към телефонната централа, отказ на някои части от системата, радиоактивно разпадане, парчета плат или метални листове и броя на дефектите на всеки от тях и т.н. Разпределението на Поасон е най-полезен в онези задачи, при които се изисква да се определи само броят на положителните резултати („успехите“).

Нека си представим кифла със стафиди, разделена на еднакви по големина малки парчета. Поради произволно разпределениестафиди, не можете да очаквате всички парчета да съдържат еднакъв брой стафиди. Когато е известен средният брой стафиди, съдържащи се в тези парчета, тогава разпределението на Поасон дава вероятността всяко дадено парче да съдържа х=к(к= 0,1,2,...,)брой стафиди.

С други думи, разпределението на Поасон определя коя част от дълга поредица от части ще съдържа равно на 0, или 1, или 2, или т.н. брой акценти.

Нека направим следните предположения.

1. Вероятността за настъпване на определен брой събития в даден интервал от време зависи само от дължината на този интервал, а не от позицията му върху времевата ос. Това е свойството на стационарността.

2. Настъпването на повече от едно събитие за достатъчно кратък период от време е практически невъзможно, т.е. условната вероятност за възникване на друго събитие в същия интервал клони към нула при ® 0. Това е свойството на обикновеността.

3. Вероятността за настъпване на даден брой събития за определен период от време не зависи от броя на събитията, появяващи се в други периоди от време. Това е свойството липса на последействие.

Нарича се поток от събития, който удовлетворява горните предложения най-простият.

Нека разгледаме сравнително кратък период от време. Въз основа на свойство 2, събитието може да се появи веднъж в този интервал или да не се появи изобщо. Нека означим вероятността за настъпване на събитие с Р, а неявяване – чрез q = 1-стр.Вероятност Ре константа (свойство 3) и зависи само от стойността (свойство 1). Математическото очакване на броя на случванията на събитие в интервала ще бъде равно на 0 × р+ 1× стр = стр. Тогава средният брой на поява на събития за единица време се нарича интензитет на потока и се означава с а,тези. а = .

Помислете за краен период от време Tи го разделете на нчасти = . Появата на събития във всеки от тези интервали е независима (свойство 2). Нека определим вероятността за период от време Tпри постоянна интензивност на потока Асъбитието ще се появи точно X = kняма да се появи отново n–k. Тъй като едно събитие може във всяка от нпропуски се появяват не повече от 1 път, след това за появата му кведнъж в сегмент от продължителност Tтрябва да се появи във всеки кинтервали от общото н.Има общо такива комбинации и вероятността за всяка е еднаква. Следователно чрез теоремата за добавяне на вероятностите получаваме желаната вероятност добре позната формулаБернули

Това равенство е записано като приблизително, тъй като изходната предпоставка за извеждането му е свойство 2, което се изпълнява толкова по-точно, колкото по-малко е . За да получим точно равенство, нека преминем към границата при ® 0 или, което е същото, н® . Ще го получим след смяна.

П = а= и р = 1 – .

Нека въведем нов параметър = при, което означава средният брой появявания на събитие в сегмент T. След прости трансформации и преминаване към границата във факторите получаваме.

= 1, = ,

Накрая получаваме

, k = 0, 1, 2, ...

e = 2,718... е основата на натуралния логаритъм.

Определение. Случайна стойност х, което приема само цяло число, положителни стойности 0, 1, 2, ... има закон за разпределение на Поасон с параметър if

За к = 0, 1, 2, ...

Разпределението на Поасон е предложено от френския математик С.Д. Поасон (1781-1840). Използва се за решаване на проблеми за изчисляване на вероятностите за относително редки, случайни, взаимно независими събития за единица време, дължина, площ и обем.

За случая, когато а) е голям и б) к= , формулата на Стърлинг е валидна:

За изчисляване на последващи стойности се използва рекурентна формула

П(к + 1) = П(к).

Пример 1. Каква е вероятността от 1000 души в даден ден: а) да не се роди нито един, б) един, в) двама, г) трима?

Решение. защото стр= 1/365, тогава р= 1 – 1/365 = 364/365 "1.

Тогава

а) ,

б) ,

V) ,

G) .

Следователно, ако има проби от 1000 души, тогава средният брой хора, които са родени на определен ден, съответно ще бъде 65; 178; 244; 223.

Пример 2. Определете стойността, при която с вероятност Рсъбитието се появи поне веднъж.

Решение. Събитие А= (появяват се поне веднъж) и = (не се появяват дори веднъж). Следователно.

Оттук И .

Например за Р= 0,5, за Р= 0,95 .

Пример 3. На станове, управлявани от един тъкач, се случват 90 скъсвания на нишка в рамките на един час. Намерете вероятността поне едно прекъсване на нишка да се случи за 4 минути.

Решение. По условие t = 4 мин. и среден брой прекъсвания в минута, от къде . Необходимата вероятност е .

Имоти. Математическото очакване и дисперсията на случайна променлива с разпределение на Поасон с параметър са равни на:

М(х) = д(х) = .

Тези изрази се получават чрез директни изчисления:

Тук е направена подмяната н = к– 1 и фактът, че .

Чрез извършване на трансформации, подобни на тези, използвани в изхода М(х), получаваме

Разпределението на Поасон се използва за приближаване на биномното разпределение като цяло н

Повечето общ случай различни видовевероятностните разпределения са биномни разпределения. Нека използваме неговата гъвкавост, за да определим най-често срещаните специфични видове разпределения, срещани в практиката.

Биномиално разпределение

Нека има някакво събитие А. Вероятността за възникване на събитие А е равна на стр, вероятността да не се случи събитие А е 1 стр, понякога се обозначава като р. Позволявам нброй тестове, мчестота на възникване на събитие А в тези нтестове.

Известно е, че общата вероятност от всички възможни комбинации от резултати е равна на единица, тоест:

1 = стр н + н · стр н 1 (1 стр) + ° С н н 2 · стр н 2 (1 стр) 2 + + ° С н м · стр м· (1 стр) н м+ + (1 стр) н .

стр нвероятност, че в ннведнъж;

н · стр н 1 (1 стр) вероятност, че в нн 1) веднъж и няма да се случи 1 път;

° С н н 2 · стр н 2 (1 стр) 2 вероятност, че в нтестове, ще настъпи събитие А ( н 2) пъти и няма да стане 2 пъти;

П м = ° С н м · стр м· (1 стр) н м вероятност, че в нтестове, ще настъпи събитие А мникога няма да се случи ( н м) веднъж;

(1 стр) нвероятност, че в нпри опити събитие А няма да се случи дори веднъж;

брой комбинации от нот м .

Очаквана стойност Мбиномиалното разпределение е равно на:

М = н · стр ,

Където нброй тестове, стрвероятност за възникване на събитие А.

Стандартно отклонение σ :

σ = sqrt( н · стр· (1 стр)) .

Пример 1. Изчислете вероятността събитие, което има вероятност стр= 0,5, инча н= Ще се случат 10 опита м= 1 път. Ние имаме: ° С 10 1 = 10 и по-нататък: П 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,0098. Както виждаме, вероятността това събитие да се случи е доста ниска. Това се обяснява, първо, с факта, че абсолютно не е ясно дали събитието ще се случи или не, тъй като вероятността е 0,5, а шансовете тук са „50 на 50“; и второ, изисква се да се изчисли, че събитието ще се случи точно веднъж (не повече и не по-малко) от десет.

Пример 2. Изчислете вероятността събитие, което има вероятност стр= 0,5, инча н= Ще се случат 10 опита м= 2 пъти. Ние имаме: ° С 10 2 = 45 и по-нататък: П 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,044. Вероятността това събитие да се случи се увеличи!

Пример 3. Нека увеличим вероятността самото събитие да се случи. Нека го направим по-вероятно. Изчислете вероятността събитие, което има вероятност стр= 0,8, инча н= Ще се случат 10 опита м= 1 път. Ние имаме: ° С 10 1 = 10 и по-нататък: П 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,000004. Вероятността е станала по-малка, отколкото в първия пример! Отговорът на пръв поглед изглежда странен, но тъй като събитието има доста голяма вероятност, е малко вероятно да се случи само веднъж. По-вероятно е това да се случи повече от веднъж. Наистина, броене П 0 , П 1 , П 2 , П 3, , П 10 (вероятност събитие в н= 10 опита ще се случат 0, 1, 2, 3, , 10 пъти), ще видим:

° С 10 0 = 1 , ° С 10 1 = 10 , ° С 10 2 = 45 , ° С 10 3 = 120 , ° С 10 4 = 210 , ° С 10 5 = 252 ,
° С 10 6 = 210 , ° С 10 7 = 120 , ° С 10 8 = 45 , ° С 10 9 = 10 , ° С 10 10 = 1 ;

П 0 = 1 0,8 0 (1 0,8) 10 0 = 1 1 0,2 10 = 0,0000;
П 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,0000;
П 2 = 45 0,8 2 (1 0,8) 10 2 = 45 0,8 2 0,2 8 = 0,0000;
П 3 = 120 0,8 3 (1 0,8) 10 3 = 120 0,8 3 0,2 7 = 0,0008;
П 4 = 210 0,8 4 (1 0,8) 10 4 = 210 0,8 4 0,2 6 = 0,0055;
П 5 = 252 0,8 5 (1 0,8) 10 5 = 252 0,8 5 0,2 5 = 0,0264;
П 6 = 210 0,8 6 (1 0,8) 10 6 = 210 0,8 6 0,2 4 = 0,0881;
П 7 = 120 0,8 7 (1 0,8) 10 7 = 120 0,8 7 0,2 3 = 0,2013;
П 8 = 45 0,8 8 (1 0,8) 10 8 = 45 0,8 8 0,2 2 = 0,3020(най-висока вероятност!);
П 9 = 10 0,8 9 (1 0,8) 10 9 = 10 0,8 9 0,2 1 = 0,2684;
П 10 = 1 0,8 10 (1 0,8) 10 10 = 1 0,8 10 0,2 0 = 0,1074

Разбира се П 0 + П 1 + П 2 + П 3 + П 4 + П 5 + П 6 + П 7 + П 8 + П 9 + П 10 = 1 .

Нормална дистрибуция

Ако изобразим количествата П 0 , П 1 , П 2 , П 3, , П 10, които изчислихме в пример 3, на графиката се оказва, че тяхното разпределение има вид, близък до нормалния закон на разпределение (виж фиг. 27.1) (виж лекция 25. Моделиране на нормално разпределени случайни променливи).

Ориз. 27.1. Тип биномно разпределение
вероятности за различни m при p = 0,8, n = 10

Биномният закон става нормален, ако вероятностите за настъпване и ненастъпване на събитие А са приблизително еднакви, т.е. можем условно да напишем: стр≈ (1 стр) . Например, нека вземем н= 10 и стр= 0,5 (т.е стр= 1 стр = 0.5 ).

По същество до такъв проблем ще стигнем, ако например искаме теоретично да изчислим колко момчета и колко момичета ще има на 10 деца, родени в родилния дом в един и същи ден. По-точно ще броим не момчета и момичета, а вероятността да се родят само момчета, да се родят 1 момче и 9 момичета, да се родят 2 момчета и 8 момичета и т.н. Нека приемем за простота, че вероятността да имате момче и момиче е една и съща и равна на 0,5 (но всъщност, честно казано, това не е така, вижте курса „Моделиране на системи с изкуствен интелект“).

Ясно е, че разпределението ще бъде симетрично, тъй като вероятността да имаш 3 момчета и 7 момичета е равна на вероятността да имаш 7 момчета и 3 момичета. Най-голяма вероятност за раждане ще има 5 момчета и 5 момичета. Тази вероятност е 0,25, между другото, не е толкова голяма абсолютна стойност. Освен това вероятността 10 или 9 момчета да се родят наведнъж е много по-малка от вероятността 5 ± 1 момче да се роди от 10 деца. Биномното разпределение ще ни помогне да направим това изчисление. Така.

П 0 = 1 0,5 0 (1 0,5) 10 0 = 1 1 0,5 10 = 0,000977;
П 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,009766;
П 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,043945;
П 3 = 120 0,5 3 (1 0,5) 10 3 = 120 0,5 10 = 0,117188;
П 4 = 210 0,5 4 (1 0,5) 10 4 = 210 0,5 10 = 0,205078;
П 5 = 252 0,5 5 (1 0,5) 10 5 = 252 0,5 10 = 0,246094;
П 6 = 210 0,5 6 (1 0,5) 10 6 = 210 0,5 10 = 0,205078;
П 7 = 120 0,5 7 (1 0,5) 10 7 = 120 0,5 10 = 0,117188;
П 8 = 45 0,5 8 (1 0,5) 10 8 = 45 0,5 10 = 0,043945;
П 9 = 10 0,5 9 (1 0,5) 10 9 = 10 0,5 10 = 0,009766;
П 10 = 1 0,5 10 (1 0,5) 10 10 = 1 0,5 10 = 0,000977

Разбира се П 0 + П 1 + П 2 + П 3 + П 4 + П 5 + П 6 + П 7 + П 8 + П 9 + П 10 = 1 .

Нека изведем количествата на графиката П 0 , П 1 , П 2 , П 3, , П 10 (виж Фиг. 27.2).

Ориз. 27.2. Графика на биномно разпределение с параметри
p = 0,5 и n = 10, което го доближава до нормалния закон

И така, при условията м ≈ н/2 и стр≈ 1 стрили стр≈ 0,5 вместо биномното разпределение можете да използвате нормалното. За големи стойности нграфиката се измества надясно и става все по-плоска, тъй като математическото очакване и дисперсията се увеличават с увеличаване н : М = н · стр , д = н · стр· (1 стр) .

Между другото, биномният закон клони към нормално и с нарастване н, което е съвсем естествено, съгласно централната гранична теорема (виж лекция 34. Записване и обработка на статистически резултати).

Сега помислете как биномният закон се променя в случай, когато стр ≠ р, това е стр> 0 . В този случай хипотезата за нормално разпределение не може да бъде приложена и биномиалното разпределение се превръща в разпределение на Поасон.

Поасоново разпределение

Разпределението на Поасон е специален случайбиномно разпределение (с н>> 0 и при стр>0 (редки събития)).

От математиката е известна формула, която ви позволява приблизително да изчислите стойността на всеки член на биномното разпределение:

Където а = н · стр Параметър на Поасон (математическо очакване), а дисперсията е равна на математическото очакване. Нека представим математически изчисления, които обясняват този преход. Биномен закон на разпределение

П м = ° С н м · стр м· (1 стр) н м

може да се напише, ако поставите стр = а/н , като

защото стре много малък, тогава трябва да се вземат предвид само числата м, малък в сравнение с н. работа

много близо до единството. Същото важи и за размера

величина

много близо до д а. От тук получаваме формулата:

Пример. Кутията съдържа н= 100 части, както качествени, така и дефектни. Вероятността да получите дефектен продукт е стр= 0,01. Да кажем, че извадим продукт, установим дали е дефектен или не и го върнем обратно. По този начин се оказа, че от 100 продукта, през които преминахме, два се оказаха дефектни. Каква е вероятността от това?

От биномното разпределение получаваме:

От разпределението на Поасон получаваме:

Както можете да видите, стойностите се оказаха близки, така че в случай на редки събития е напълно приемливо да се приложи законът на Поасон, особено след като изисква по-малко изчислителни усилия.

Нека покажем графично формата на закона на Поасон. Да вземем параметрите като пример стр = 0.05 , н= 10. Тогава:

П 0 = 1 0,05 0 (1 0,05) 10 0 = 1 1 0,95 10 = 0,5987;
П 1 = 10 0,05 1 (1 0,05) 10 1 = 10 0,05 1 0,95 9 = 0,3151;
П 2 = 45 0,05 2 (1 0,05) 10 2 = 45 0,05 2 0,95 8 = 0,0746;
П 3 = 120 0,05 3 (1 0,05) 10 3 = 120 0,05 3 0,95 7 = 0,0105;
П 4 = 210 0,05 4 (1 0,05) 10 4 = 210 0,05 4 0,95 6 = 0,00096;
П 5 = 252 0,05 5 (1 0,05) 10 5 = 252 0,05 5 0,95 5 = 0,00006;
П 6 = 210 0,05 6 (1 0,05) 10 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000;
П 7 = 120 0,05 7 (1 0,05) 10 7 = 120 0,05 7 0,95 3 = 0,0000;
П 8 = 45 0,05 8 (1 0,05) 10 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000;
П 9 = 10 0,05 9 (1 0,05) 10 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000;
П 10 = 1 0,05 10 (1 0,05) 10 10 = 1 0,05 10 0,95 0 = 0,0000