Случайна стойност е количество, което в резултат на експеримент приема неизвестна досега стойност.

Брой присъстващи студенти на лекцията.

Броят на въведените в експлоатация къщи през текущия месец.

Температура на околната среда.

Теглото на фрагмент от експлодиращ снаряд.

Случайните величини се делят на дискретни и непрекъснати.

Дискретно (прекъснато) наречена случайна променлива, която приема отделни стойности, изолирани една от друга, с определени вероятности.

Броят на възможните стойности на дискретна случайна променлива може да бъде краен или изброим.

Непрекъснато наречена случайна променлива, която може да приеме произволна стойност от някакъв краен или безкраен интервал.

Очевидно броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкраен.

В дадените примери: 1 и 2 са дискретни случайни променливи, 3 и 4 са непрекъснати случайни променливи.

В бъдеще вместо думите „случайна променлива“ често ще използваме съкращението c. V.

Като правило, случайните променливи ще бъдат обозначени с главни букви, а техните възможни стойности- малък.

В теоретичната интерпретация на основните понятия на теорията на вероятностите, случайната променлива X е функция на елементарно събитие: X =φ(ω), където ω е елементарно събитие, принадлежащо на пространството Ω (ω  Ω). В този случай наборът Ξ от възможните стойности на c. V. X се състои от всички стойности, които функцията φ(ω) приема.

Закон за разпределение на случайна величина е всяко правило (таблица, функция), което ви позволява да намерите вероятностите за всички видове събития, свързани с произволна променлива (например вероятността тя да приеме определена стойност или да попадне в определен интервал).

Форми за уточняване на законите на разпределение на случайни величини. Серия на разпространение.

Това е таблица, в горния ред на която всички възможни стойности на случайната променлива X са изброени във възходящ ред: x 1, x 2, ..., x n, а в долния ред - вероятностите на тези стойности: p 1, p 2, ..., p n, където p i = Р(Х = x i ).

Тъй като събитията (X = x 1 ), (X = x 2 ), ... са непоследователни и образуват пълна група, сумата от всички вероятности в долния ред на серията на разпределение е равна на единица

Серията на разпределение се използва за определяне на закона за разпределение само на отделни случайни променливи.

Разпределителен полигон

Графичното представяне на серия на разпределение се нарича полигон на разпределение. Той се конструира по следния начин: за всяка възможна стойност на c. V. възстановява се перпендикуляр на оста x, върху който се нанася вероятността за дадена стойност c. V. За по-голяма яснота (и само за по-голяма яснота!), Получените точки са свързани с прави сегменти.

Кумулативна функция на разпределение (или просто функция на разпределение).

Това е функция, която за всяка стойност на аргумента x е числено равна на вероятността случайната променлива  да бъде по-малка от стойността на аргумента x.

Функцията на разпределение се означава с F(x): F(x) = P (X  x).

Сега можете да дадете повече точно определениенепрекъсната случайна променлива: случайна променлива се нарича непрекъсната, ако нейната функция на разпределение е непрекъсната, частично диференцируема функция с непрекъсната производна.

Функцията на разпределение е най-универсалната форма за определяне на c. v., който може да се използва за уточняване на законите за разпределение както за дискретни, така и за непрекъснати s. V.

Проблем 14.В паричната лотария се играят 1 печалба от 1 000 000 рубли, 10 печалби от 100 000 рубли. и 100 печалби по 1000 рубли всяка. с общ брой билети 10 000 Намерете закона за разпределение на случайните печалби хза притежателя на един лотариен билет.

Решение. Възможни стойности за х: х 1 = 0; х 2 = 1000; х 3 = 100000;

х 4 = 1000000. Техните вероятности са съответно равни: Р 2 = 0,01; Р 3 = 0,001; Р 4 = 0,0001; Р 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Следователно законът за разпределение на печалбите хможе да се даде от следната таблица:

Построете многоъгълник на разпределение.

Решение. Нека изградим правоъгълна координатна система и ще начертаем възможните стойности по абсцисната ос x i,а по ординатната ос - съответните вероятности p i. Нека начертаем точките М 1 (1;0,2), М 2 (3;0,1), М 3 (6;0,4) и М 4 (8;0,3). Свързвайки тези точки с прави сегменти, получаваме желания многоъгълник на разпределение.

§2. Числени характеристики на случайни величини

Случайната променлива се характеризира напълно със своя закон на разпределение. Осреднено описание на случайна променлива може да се получи чрез използване на нейните числени характеристики

2.1. Очаквана стойност. дисперсия.

Нека случайна променлива приема стойности със съответните вероятности.

Определение. Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички нейни възможни стойности и съответните вероятности:

.

Свойства на математическото очакване.

Дисперсията на случайна променлива около средната стойност се характеризира с дисперсия и стандартно отклонение.

Дисперсията на случайна променлива е математическото очакване на квадрата на отклонението на случайна променлива от нейното математическо очакване:

Следната формула се използва за изчисления

Свойства на дисперсията.

2. , където са взаимно независими случайни променливи.

3. Стандартно отклонение .

Проблем 16.Намерете математическото очакване на случайна променлива З = X+ 2Y, ако са известни математическите очаквания на случайни променливи хИ Y: М(х) = 5, М(Y) = 3.

Решение. Ние използваме свойствата на математическото очакване. Тогава получаваме:

М(X+ 2Y)= М(х) + М(2Y) = М(х) + 2М(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Проблем 17.Дисперсия на случайна променлива хе равно на 3. Намерете дисперсията на случайните величини: а) –3 Х;б) 4 х + 3.

Решение. Нека приложим свойства 3, 4 и 2 на дисперсията. Ние имаме:

а) д(–3х) = (–3) 2 д(х) = 9д(х) = 9 . 3 = 27;

б) д(4X+ 3) = д(4х) + д(3) = 16д(х) + 0 = 16 . 3 = 48.

Проблем 18.Дадена е независима случайна променлива Y– броят на падналите точки при хвърляне зарове. Намерете закона за разпределение, математическото очакване, дисперсията и средната стойност стандартно отклонениеслучайна величина Y.

Решение.Таблица за разпределение на случайни променливи Yима формата:

Y
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Тогава М(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

д(Y) = (1 – 3,5) 2 1/6 +(2 – 3,5) 2 /6 + (3 – 3,5) 2 1/6 + (4 – 3,5) 2 / 6 +(5 – –3,5) 2 1/6 + (6 – 3,5) 2. 1/6 = 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.

Отговор: Помислете за прекъсната случайна променлива хс възможни стойности. Всяка от тези стойности е възможна, но не сигурна и стойността хможе да приеме всеки от тях с известна вероятност. В резултат на експеримента стойността хще приеме една от тези стойности, т.е. ще се случи едно от пълната група несъвместими събития:

Нека означим с букви вероятностите за тези събития Рсъс съответните индекси:

Тоест, вероятностното разпределение на различни стойности може да бъде определено чрез таблица на разпределение, в която всички стойности, взети от дадена дискретна случайна променлива, са посочени в горния ред, а вероятностите на съответните стойности са посочени в долния ред. Тъй като несъвместимите събития (3.1) образуват пълна група, тогава, т.е. сумата от вероятностите на всички възможни стойности на случайната променлива е равна на единица. Вероятностното разпределение на непрекъснати случайни променливи не може да бъде представено под формата на таблица, тъй като броят на стойностите на такива случайни променливи е безкраен дори в ограничен интервал. Освен това вероятността да получите някаква конкретна стойност е нула. Една случайна променлива ще бъде напълно описана от вероятностна гледна точка, ако уточним това разпределение, тоест посочим точно каква вероятност има всяко от събитията. С това ще установим така наречения закон за разпределение на случайна променлива. Законът за разпределение на случайна променлива е всяка връзка, която установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответните вероятности. За една случайна величина ще кажем, че се подчинява на даден закон на разпределение. Нека установим формата, в която може да бъде определен законът за разпределение на прекъсната случайна променлива Х. Най-простата формаДефиницията на този закон е таблица, която изброява възможните стойности на случайната променлива и съответните вероятности:

x i	х 1	х 2	× × ×	x n
p i	стр 1	стр 2	× × ×	p n

Такава таблица ще наричаме поредица от разпределения на случайна променлива Х.

Ориз. 3.1

За да придадат на серията разпределение по-визуален вид, те често прибягват до нейното графично представяне: възможните стойности на случайната променлива са нанесени по абсцисната ос, а вероятностите на тези стойности са нанесени по ординатната ос. За по-голяма яснота получените точки са свързани с прави сегменти. Такава фигура се нарича разпределителен полигон (фиг. 3.1). Полигонът на разпределение, както и серията на разпределение, напълно характеризират случайната променлива. това е една от формите на закона за разпределение. Понякога така наречената „механична“ интерпретация на серията за разпределение е удобна. Нека си представим, че определена маса, равна на единица, е разпределена по абсцисната ос, така че в нмасите се концентрират в отделни точки, респ . Тогава серията на разпределение се интерпретира като система от материални точки с някои маси, разположени по абсцисната ос.

Опитът е всяко изпълнение на определени условия и действия, при които се наблюдава изучаваното случайно явление. Експериментите могат да бъдат характеризирани качествено и количествено. Случайна величина е величина, която в резултат на експеримент може да приеме една или друга стойност, като предварително не е известно каква.

Случайните променливи обикновено се обозначават (X,Y,Z), а съответните стойности (x,y,z)

Дискретните са случайни променливи, които приемат отделни стойности, изолирани една от друга, които могат да бъдат надценени. Непрекъснати количествавъзможните стойности на които непрекъснато запълват определен диапазон. Законът за разпределение на случайна променлива е всяко отношение, което установява връзка между възможните стойности на случайни променливи и съответните вероятности. Разпределителен ред и полигон. Най-простата форма на закона за разпределение на дискретна величина е серия за разпределение. Графичната интерпретация на серията на разпределение е полигонът на разпределение.

Информацията, която ви интересува, можете да намерите и в научната търсачка Otvety.Online. Използвайте формата за търсене:

Още по тема 13. Дискретна случайна величина. Разпределителен полигон. Операции със случайни променливи, пример:

1. 13. Дискретна случайна величина и закон за нейното разпределение. Разпределителен полигон. Операции със случайни величини. Пример.
2. Понятието „случайна величина” и нейното описание. Дискретна случайна величина и нейния закон (серия) на разпределение. Независими случайни променливи. Примери.
3. 14. Случайни величини, техните видове. Закон за вероятностно разпределение на дискретна случайна променлива (DRV). Методи за конструиране на случайни величини (СВ).
4. 16. Закон за разпределение на дискретна случайна величина. Числени характеристики на дискретна случайна величина: математическо очакване, дисперсия и стандартно отклонение.
5. Математически операции върху дискретни случайни променливи и примери за конструиране на закони за разпределение на KX, X"1, X + K, XV въз основа на дадени разпределения на независими случайни променливи X и Y.
6. Концепцията за случайна променлива. Закон за разпределение на дискретни случаи. количества. Математически операции върху случаен принцип. количества.

2.1. Относителна честота. Относителна стабилност на честотата

2.2. Ограничения на класическата дефиниция на вероятността. Статистическа вероятност

2.3. Геометрични вероятности

2.4. Теорема за добавяне на вероятности

2.5. Пълна група от събития

2.6. Противоположни събития

2.7. Принципът на практическата невъзможност за невероятни събития

2.8. Продуциране на събития. Условна вероятност

2.9. Теорема за умножение на вероятностите

2.10. Независими събития. Теорема за умножение за независими събития

2.10. Вероятност за настъпване на поне едно събитие

Лекция № 3 Следствия от теореми за събиране и умножение

3.1. Теорема за добавяне на вероятности за съвместни събития

3.2. Формула за пълна вероятност

3.3. Вероятност на хипотези. Формули на Бейс

4. Повторение на тестове

4.1. Формула на Бернули

4.2. Пределни теореми в схемата на Бернули

4.3. Локални и интегрални теореми на Моавр-Лаплас

4.3. Вероятност за отклонение на относителната честота от постоянната вероятност в независими опити

5. Случайни променливи

5.1. Концепцията за случайна променлива. Закон за разпределение на случайна величина

5.2. Закон за разпределение на дискретна случайна величина. Разпределителен полигон

5.3. Биномиално разпределение

5.4. Поасоново разпределение

5.5. Геометрично разпределение

5.6. Хипергеометрично разпределение

6. Математическо очакване на дискретна случайна величина

6.1. Числени характеристики на дискретни случайни величини

6.2. Очакване на дискретна случайна променлива

6.3. Вероятностно значение на математическото очакване

6.4. Свойства на математическото очакване

6.5. Математическо очакване на броя на случванията на събитие в независими опити

7. Дисперсия на дискретна случайна променлива

7.1. Възможността за въвеждане на числена характеристика на разсейването на случайна променлива

7.2. Отклонение на случайна величина от нейното математическо очакване

7.3. Дисперсия на дискретна случайна променлива

7.4. Формула за изчисляване на дисперсията

7.5. Дисперсионни свойства

7.6. Вариация на броя на появяванията на събитие в независими опити

7.7. Стандартно отклонение

7.8. Стандартно отклонение на сумата от взаимно независими случайни променливи

7.9. Еднакво разпределени взаимно независими случайни променливи

7.10. Начални и централни теоретични положения

8. Закон за големите числа

8.1. Предварителни бележки

8.2. Неравенството на Чебишев

8.3. Теорема на Чебишев

8.4. Същността на теоремата на Чебишев

8.5. Значението на теоремата на Чебишев за практиката

8.6. Теорема на Бернули

Функция на вероятностното разпределение на случайна променлива

9.1. Определение на функцията на разпределение

9.2. Свойства на функцията на разпределение

9.3. Графика на функцията на разпределение

10. Плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива

10.1. Определяне на плътността на разпределение

10.2. Вероятност непрекъсната случайна променлива да попадне в даден интервал

10.3. Закон за равномерно разпределение на вероятностите

11. Нормално разпределение

11.1. Числени характеристики на непрекъснати случайни величини

11.2. Нормална дистрибуция

11.3. Нормална крива

11.4. Влияние на параметрите на нормалното разпределение върху формата на нормалната крива

11.5. Вероятност за попадане в даден интервал на нормална случайна променлива

11.6. Изчисляване на вероятността за дадено отклонение

11.7. Правилото на трите сигми

11.8. Концепцията на теоремата на Ляпунов. Изложение на централната гранична теорема

11.9. Оценка на отклонението на теоретичното разпределение от нормалното. Изкривяване и ексцес

11.10. Функция на един случаен аргумент и неговото разпределение

11.11. Математическо очакване на функция от един случаен аргумент

11.12. Функция на два произволни аргумента. Разпределение на сумата от независими членове. Стабилност на нормалното разпределение

11.13. Разпределение хи квадрат

11.14. Студентско разпределение

11.15. Разпределение на Фишер–Снедекор

12. Експоненциално разпределение

12.1. Определение за експоненциално разпределение

12.2. Вероятност за попадане в даден интервал на експоненциално разпределена случайна променлива

§ 3. Числени характеристики на експоненциалното разпределение

12.4. Функция за надеждност

12.5. Закон за експоненциалната надеждност

12.6. Характерно свойство на експоненциалния закон за надеждност

5.2. Закон за разпределение на дискретна случайна величина. Разпределителен полигон

На пръв поглед може да изглежда, че за да се дефинира дискретна случайна променлива е достатъчно да се изброят всички нейни възможни стойности. В действителност това не е така: случайните променливи могат да имат едни и същи списъци с възможни стойности, но техните вероятности могат да бъдат различни. Следователно, за да посочите дискретна случайна променлива, не е достатъчно да изброите всички нейни възможни стойности, трябва също да посочите техните вероятности.

Закон за разпределение на дискретна случайна величинаобадете се на съответствието между възможните стойности и техните вероятности; може да се посочи таблично, аналитично (под формата на формула) и графично.

Определение.Всяко правило (таблица, функция, графика), което ви позволява да намерите вероятностите за произволни събития А С (С– -алгебра на събитията в пространството ), по-специално, посочвайки вероятностите на отделните стойности на случайна променлива или набор от тези стойности, се нарича закон за разпределение на случайната променлива(или просто: разпространение). Относно с.в. те казват, че „той се подчинява на даден закон за разпределение“.

Позволявам х– д.с.в., който приема стойности х 1 , х 2 , …, х н,... (наборът от тези стойности е краен или изброим) с известна вероятност стр i, Където i = 1,2,…, н,… Закон за разпределение d.s.v. удобен за настройка с помощта на формулата стр i = П{х = х i)Където i = 1,2,…, н,..., което определя вероятността в резултат на експеримента р.в. хще вземе стойността х i. За д.с.в. хзаконът за разпределение може да бъде даден във формата разпределителни маси:

				х н
				Р н

При посочване на закона за разпределение на дискретна случайна величина в таблица първият ред на таблицата съдържа възможните стойности, а вторият – техните вероятности. такава таблица се нарича близко разпространение.

Като вземем предвид, че в едно изпитване случайната променлива приема една и само една възможна стойност, заключаваме, че събитията х = х 1 , х = х 2 , ..., х = х нобразуват пълна група; следователно сумата от вероятностите за тези събития, т.е. сумата от вероятностите на втория ред на таблицата е равна на единица, т.е.

Ако наборът от възможни стойности хбезкрайно (изброимо), след това серията Р 1 + Р 2 + ... се събира и сборът му е равен на едно.

Пример.Има издадени 100 билета за паричната лотария. Тегли се една печалба от 50 рубли. и десет печалби от 1 rub. Намерете закона за разпределение на случайна променлива х– цената на възможните печалби за притежателя на един лотарен билет.

Решение.Нека напишем възможните стойности х: х 1 = 50, х 2 = 1, х 3 = 0. Вероятностите за тези възможни стойности са: Р 1 = 0,01, Р 2 = 0,01, Р 3 = 1 – (Р 1 + Р 2)=0,89.

Нека напишем необходимия закон за разпределение:

Контрола: 0,01 + 0,1 + 0,89 =1.

Пример.В урната има 8 топки, 5 от които са бели, останалите са черни. От него произволно се изтеглят 3 топки. Намерете закона за разпределение на броя на белите топки в извадката.

Решение.Възможни стойности на r.v. х– в извадката има брой бели топки х 1 = 0, х 2 = 1, х 3 = 2, х 4 = 3. Техните вероятности ще бъдат съответно

;
;
.

Нека напишем закона за разпределение под формата на таблица.

Контрол:
.

Закон за разпределение d.s.v. могат да бъдат посочени графично, ако възможните стойности на r.v са нанесени на абсцисната ос, а вероятностите на тези стойности са нанесени на ординатната ос. прекъсната линия, свързваща последователно точки ( х 1 , Р 1), (х 2 , Р 2),... наречен многоъгълник(или многоъгълник) разпространение(виж Фиг. 5.1).

Ориз. 5.1. Разпределителен полигон

Сега можем да дадем по-точна дефиниция на d.s.v.

Определение.Случайна стойност X е дискретно, ако има краен или изброим набор от числа х 1 , х 2 , ... такова, че П{х = х i } = стр i > 0 (i= 1,2,...) и стр 1 + стр 2 + Р 3 +… = 1.

Нека дефинираме математически операции върху дискретни r.v.

Определение.Количество (разлика, работа) д.с.в. х, приемайки стойности х iс вероятности стр i = П{х = х i }, i = 1, 2, …, н, и д.с.в. Y, приемайки стойности г й с вероятности стр й = П{Y = г й }, й = 1, 2, …, м, се нарича д.с.в. З = х + Y (З = х – Y, З = х Y), вземайки стойности z ij = х i + г й (z ij = х i – г й , z ij = х i  г й) с вероятности стр ij = П{х = х i , Y = г й) за всички посочени стойности iИ й. Ако някои суми съвпадат х i + г й (разлики х i – г й, върши работа х i  г й) се добавят съответните вероятности.

Определение.работад.с.в. На номер sнаречен д.с.в. cX, приемайки стойности сх iс вероятности стр i = П{х = х i }.

Определение.Две д.с.в. хИ Yса наречени независима, ако събития ( х = х i } = А iИ ( Y = г й } = Б йнезависими за всякакви i = 1, 2, …, н, й = 1, 2, …, м, това е

Иначе р.в. Наречен зависим. Няколко р.в. се наричат ​​взаимно независими, ако законът за разпределение на някое от тях не зависи от това какви възможни стойности са взели другите количества.

Нека разгледаме няколко от най-често използваните закони за разпределение.