Знаци при умножение на отрицателни числа. Умножение на числа с различни знаци, правила, примери

Сега нека се справим с умножение и деление.

Да кажем, че трябва да умножим +3 по -4. Как да го направим?

Да разгледаме такъв случай. Трима души са задлъжнели и всеки има $4 дълг. Какъв е общият дълг? За да го намерите, трябва да съберете трите дълга: 4 долара + 4 долара + 4 долара = 12 долара. Решихме, че събирането на три числа 4 се означава като 3x4. Тъй като в в такъв случайговорим за дълг, има знак "-" преди 4. Знаем, че общият дълг е $12, така че нашият проблем сега става 3x(-4)=-12.

Ще получим същия резултат, ако според задачата всеки от четиримата има дълг от $3. С други думи, (+4)x(-3)=-12. И тъй като редът на факторите няма значение, получаваме (-4)x(+3)=-12 и (+4)x(-3)=-12.

Нека обобщим резултатите. Когато умножите едно положително число и едно отрицателно число, резултатът винаги ще бъде отрицателно число. Числената стойност на отговора ще бъде същата като при положителните числа. Продукт (+4)x(+3)=+12. Наличието на знака „-“ засяга само знака, но не влияе върху числовата стойност.

Как да умножим две отрицателни числа?

За съжаление е много трудно да се измисли подходящ пример от реалния живот по тази тема. Лесно е да си представим дълг от 3 или 4 долара, но е абсолютно невъзможно да си представим -4 или -3 души, които са задлъжнели.

Може би ще тръгнем по друг път. При умножение, когато знакът на един от множителите се промени, знакът на продукта се променя. Ако променим знаците и на двата фактора, трябва да променим два пъти работен знак, първо от положителен към отрицателен, а след това обратно, от отрицателен към положителен, тоест продуктът ще има начален знак.

Следователно е съвсем логично, макар и малко странно, че (-3) x (-4) = +12.

Позиция на знаккогато се умножи, се променя така:

• положително число x положително число = положително число;
• отрицателно число x положително число = отрицателно число;
• положително число x отрицателно число = отрицателно число;
• отрицателно число x отрицателно число = положително число.

С други думи, умножавайки две числа с еднакви знаци, получаваме положително число. Умножение на две числа с различни знаци, получаваме отрицателно число.

Същото правило важи и за действието, противоположно на умножението - за.

Можете лесно да проверите това, като стартирате операции обратно умножение. Във всеки от примерите по-горе, ако умножите частното по делителя, ще получите дивидента и ще се уверите, че има същия знак, например (-3)x(-4)=(+12).

Тъй като идва зимата, е време да помислите с какво да смените обувките на железния си кон, за да не се подхлъзнете на леда и да се чувствате уверени на леда. зимни пътища. Можете например да закупите гуми Yokohama на уебсайта: mvo.ru или някои други, основното е, че те са с високо качество, можете да намерите повече информация и цени на уебсайта Mvo.ru.

Образователни:

• Възпитателна дейност;

Тип урок

Оборудване:

1. Проектор и компютър.

План на урока

1.Организационен момент

2. Актуализиране на знанията

3. Математическа диктовка

4. Изпълнение на теста

5. Решение на упражнения

6. Обобщение на урока

7. Домашна работа.

По време на часовете

1. Организационен момент

Днес ще продължим да работим по умножаване и деление на положителни и отрицателни числа. Задачата на всеки от вас е да разбере как е усвоил тази тема и, ако е необходимо, да усъвършенства това, което все още не е напълно проработило. Освен това ще научите много интересни неща за първия пролетен месец – март. (Слайд1)

2. Актуализиране на знанията.

3x=27; -5 x=-45; x:(2,5)=5.

3. Математическа диктовка(слайд 6.7)

Опция 1

Вариант 2

4. Изпълнение на теста (слайд 8)

Отговор : Марциус

5.Решение на упражнения

(Слайдове 10 до 19)

4 март -

2) y×(-2,5)=-15

6 март

3) -50, 4:x=-4, 2

4) -0,25:5×(-260)

13 март

5) -29,12: (-2,08)

14 март

6) (-6-3,6×2,5) ×(-1)

7) -81,6:48×(-10)

17 март

8) 7,15×(-4): (-1,3)

22 март

9) -12,5×50: (-25)

10) 100+(-2,1:0,03)

30 март

6. Обобщение на урока

7. Домашна работа:

Вижте съдържанието на документа
„Умножение и деление на числа с различни знаци“

Тема на урока: „Умножение и деление на числа с различни знаци.“

Цели на урока:повторение на изучения материал по темата „Умножение и деление на числа с различни знаци“, упражняване на умения за използване на операциите умножение и деление на положително число с отрицателно число и обратно, както и отрицателно число с a отрицателно число.

Цели на урока:

Образователни:

Консолидиране на правила по тази тема;

Формиране на умения и способности за работа с операции на умножение и деление на числа с различни знаци.

Образователни:

Развитие на познавателния интерес;

развитие логично мислене, памет, внимание;

Образователни:

Възпитателна дейност;

Възпитаване на умения у учениците самостоятелна работа;

Насърчаване на любов към природата, внушаване на интерес към народните знаци.

Тип урок. Урок-повторение и обобщение.

Оборудване:

Проектор и компютър.

План на урока

1.Организационен момент

2. Актуализиране на знанията

3. Математическа диктовка

4. Изпълнение на теста

5. Решение на упражнения

6. Обобщение на урока

7. Домашна работа.

По време на часовете

1. Организационен момент

Здравейте момчета! Какво направихме в предишните уроци? (Умножение и деление рационални числа.)

Днес ще продължим да работим по умножаване и деление на положителни и отрицателни числа. Задачата на всеки от вас е да разбере как е усвоил тази тема и, ако е необходимо, да усъвършенства това, което все още не е напълно проработило. Освен това ще научите много интересни неща за първия пролетен месец – март. (Слайд1)

2. Актуализиране на знанията.

Прегледайте правилата за умножение и деление на положителни и отрицателни числа.

Припомням си мнемонично правило. (Слайд 2)

Изпълнете умножение: (слайд 3)

5x3; 9×(-4); -10×(-8); 36 × (-0,1); -20×0,5; -13×(-0,2).

2. Извършете разделяне: (слайд 4)

48:(-8); -24: (-2); -200:4; -4,9:7; -8,4: (-7); 15:(- 0,3).

3. Решете уравнението: (слайд 5)

3x=27; -5 x=-45; x:(2,5)=5.

3. Математическа диктовка(слайд 6.7)

Опция 1

Вариант 2

Учениците си разменят тетрадките, попълват теста и поставят оценка.

4. Изпълнение на теста (слайд 8)

Някога в Русия годините се броят от 1 март, от началото на земеделската пролет, от първата пролетна капка. Март беше „началото“ на годината. Името на месеца март идва от римляните. Кръстиха този месец на един от техните богове, тест ще ви помогне да разберете какъв бог е.

Отговор : Марциус

Римляните нарекли един месец от годината Мартиус в чест на бога на войната Марс. В Рус това име е опростено, като са взети само първите четири букви (слайд 9).

Хората казват: „Март е неверен, ту плаче, ту се смее“. Има много народни знаци, свързани с март. Някои от неговите дни имат свои имена. Нека сега всички заедно съставим фолклорен месец март.

5.Решение на упражнения

Учениците на дъската решават примери, чиито отговори са дните от месеца. На дъската се появява пример, а след това денят от месеца с името и народен знак.

(Слайдове 10 до 19)

4 март -Архип. На Архип жените трябваше да прекарат целия ден в кухнята. Колкото повече храна приготви, толкова по-богата ще бъде къщата.

2) y×(-2,5)=-15

6 март- Тимофей-пролет. Ако има сняг в деня на Тимофей, тогава реколтата е за пролетта.

3) -50, 4:x=-4, 2

4) -0,25:5×(-260)

13 март- Василий капкотворецът: капе от покривите. Птиците гнездят, а прелетните птици долитат от топли места.

5) -29,12: (-2,08)

14 март- Евдокия (Авдотия Бръшляновата) - снегът се изравнява със запарка. Втората среща на пролетта (първата на срещата). Каквато е Евдокия, такова е и лятото. Евдокия е червена - и пролетта е червена; сняг на Евдокия - за реколтата.

6) (-6-3,6×2,5) ×(-1)

7) -81,6:48×(-10)

17 март- Герасим гребарят донесе топовете. Топовете кацат на обработваема земя и ако летят право към гнездата си, ще има дружна пролет.

8) 7,15×(-4): (-1,3)

22 март- Свраки - денят е равен на нощта. Зимата свършва, пролетта започва, чучулигите пристигат. По древен обичай от тестото се пекат чучулиги и блатове.

9) -12,5×50: (-25)

10) 100+(-2,1:0,03)

30 март- Алексей е топъл. Водата идва от планината, а рибата идва от лагера (от зимната хижа). Каквито са потоците в този ден (големи или малки), такова е и разливът (наводнението).

6. Обобщение на урока

Момчета, харесахте ли днешния урок? Какво ново научи днес? Какво повторихме? Предлагам ви да подготвите своя месечна книга за април. Трябва да намерите знаците на април и да създадете примери с отговори, съответстващи на деня от месеца.

7. Домашна работа:стр. 218 № 1174, 1179 (1) (Слайд 20)

В тази статия ще се занимаваме с умножение на числа с различни знаци. Тук първо ще формулираме правилото за умножаване на положителни и отрицателни числа, ще го обосновем и след това ще разгледаме приложението на това правило при решаване на примери.

Навигация в страницата.

Правило за умножение на числа с различни знаци

Умножаването на положително число с отрицателно число, както и отрицателно число с положително число, се извършва по следния начин: правилото за умножение на числа с различни знаци: за да умножите числа с различни знаци, трябва да умножите и да поставите знак минус пред получения продукт.

Нека го запишем това правилопод формата на писмо. За всяко положително реално число a и всяко отрицателно реално число −b, равенството a·(−b)=−(|a|·|b|) , а също и за отрицателно число −a и положително число b равенството (−a)·b=−(|a|·|b|) .

Правилото за умножение на числата с различни знаци е напълно в съответствие с свойства на операциите с реални числа. Наистина, на тяхна основа е лесно да се покаже, че за реални и положителни числа a и b има верига от равенства от вида a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, което доказва, че a·(−b) и a·b са противоположни числа, което предполага равенството a·(−b)=−(a·b) . А от него следва и валидността на въпросното правило за умножение.

Трябва да се отбележи, че посоченото правило за умножение на числа с различни знаци е валидно както за реални числа, така и за рационални числа и за цели числа. Това следва от факта, че операциите с рационални и цели числа имат същите свойства, които бяха използвани в горното доказателство.

Ясно е, че умножаването на числа с различни знаци според полученото правило се свежда до умножаване на положителни числа.

Остава само да разгледаме примери за прилагане на разглобеното правило за умножение при умножаване на числа с различни знаци.

Примери за умножение на числа с различни знаци

Нека да разгледаме няколко решения примери за умножение на числа с различни знаци. Нека започнем с прост случай, за да се съсредоточим върху стъпките на правилото, а не върху изчислителната сложност.

Пример.

Умножете отрицателното число −4 по положителното число 5.

Решение.

Според правилото за умножение на числа с различни знаци, първо трябва да умножим абсолютните стойности на първоначалните множители. Модулът на −4 е 4, а модулът на 5 е 5 и умножаването на естествените числа 4 и 5 дава 20. Накрая остава да поставим знак минус пред полученото число, имаме −20. Това завършва умножението.

Накратко решението може да се запише по следния начин: (−4)·5=−(4·5)=−20.

Отговор:

(−4)·5=−20.

При умножаване дробни числас различни знаци трябва да можете да умножавате обикновени дроби, да умножавате десетични числа и техните комбинации с естествени и смесени числа.

Пример.

Умножете числа с различни знаци 0, (2) и .

Решение.

Чрез преобразуване на периодична десетична дроб в обикновена дроб, а също и чрез преобразуване от смесено число в неправилна дроб от оригиналния продукт ще стигнем до продукта обикновени дробис различни знаци на формата . Това произведение, според правилото за умножение на числа с различни знаци, е равно на . Всичко, което остава, е да умножим обикновените дроби в скоби, които имаме .

Цели на урока:

Образователни:

• формулиране на правила за умножение на числа с еднакви и различни знаци;
• усвояване и усъвършенстване на уменията за умножение на числа с различни знаци.

Образователни:

• развитие на мисловни операции: сравнение, обобщение, анализ, аналогия;
• развитие на умения за самостоятелна работа;
• разширяване кръгозора на учениците.

Образователни:

• насърчаване на култура на водене на записи;
• възпитание на отговорност, внимание;
• възпитаване на интерес към предмета.

Тип урок:изучаване на нов материал.

Оборудване:компютър, мултимедиен проектор, карти за играта “Математически бой”, тестове, карти за знания.

Плакати по стените:

• Знанието е най-превъзходното притежание. Всеки се стреми към него, но то не идва от само себе си.
  Ал-Бируни
• Във всичко искам да стигна до същината...
  Б. Пастернак

План на урока

1. Организационен момент (1 мин).
2. Встъпително слово на учителя (3 мин.).
3. Устна работа (10 мин.).
4. Представяне на материала (15 мин.).
5. Математическа верига (5 мин).
6. Домашна работа (2 мин.).
7. Тест (6 минути).
8. Обобщение на урока (3 мин.).

По време на часовете

I. Организационен момент

готовността на учениците за урока.

II. Встъпително слово на учителя

Момчета, днес се срещнахме с вас не напразно, а за ползотворна работа: придобиване на знания.

Откакто Вселената съществува,
Няма човек, който да не се нуждае от знания.
Какъвто и език и възраст да изберем,
Човекът винаги се е стремял към знанието...
Рудаки

В клас ще учим нов материал, консолидирайте го, работете независимо, оценявайте себе си и своите другари. Всеки има на бюрото си карта със знания, в която нашият урок е разделен на етапи. Ще въведете точките, които печелите на различни етапи от урока, в тази карта. И в края на урока ще обобщим. Поставете тези карти на видно място.

III. Устна работа (под формата на игра „Математическа битка“)

Момчета, преди да преминем към нова тема, нека прегледаме какво сме научили преди. Всеки има на бюрото си лист с играта „Математически бой“. Вертикалните и хоризонталните колони съдържат числата, които трябва да бъдат добавени. Тези числа са маркирани с точки. Ще напишем отговорите в тези клетки на полето, където са точките.

Три минути за завършване. Започнахме работа.

Сега си разменихме работите със съседа по бюрото и ги проверяваме помежду си. Ако смятате, че отговорът е грешен, внимателно го задраскайте и напишете правилния до него. Да проверим.

Сега нека проверим отговорите с екрана ( Верните отговори се проектират на екрана).

За правилно решен

5 задачи се дават 5 точки;
4 задачи – 4 точки;
3 задачи – 3 точки;
2 задачи – 2 точки;
1 задача – 1 точка.

Много добре. Оставят всичко настрана. Момчета, нека въведем броя точки, отбелязани за „Математическата битка“ в нашите карти за знания ( Приложение 1).

IV. Представяне на материала

Отворете работните книги. Запишете номера, страхотна работа.

• Какви операции с положителни и отрицателни числа знаете?
• Как да събера две отрицателни числа?
• Как се събират две числа с различни знаци?
• Как да извадим числа с различни знаци?
• Винаги използвате думата "модул". Какъв е модулът на числото? А?

Темата на днешния урок също е свързана с действието на числа с различни знаци. Но беше скрит в анаграма, в която трябва да размените буквите и да получите позната дума. Нека се опитаме да го разберем.

ЕНОЖЕУМНИ

Записваме темата на урока: „Умножение“.

Целта на нашия урок: да се запознаем с умножението на положителни и отрицателни числа и да формулираме правила за умножение на числа с еднакви и различни знаци.

Цялото внимание към дъската. Пред вас е таблица със задачи, решавайки които ще формулираме правилата за умножаване на положителни и отрицателни числа.

1. 2*3 = 6°C;
2. –2*3 = –6°С;
3. –2*(–3) = 6°С;
4. 2*(–3) = –6°С;

1. Температурата на въздуха се повишава с 2°C на всеки час. Сега термометърът показва 0°C ( Приложение 2– Термометър) (слайд 1 на компютъра).

• Колко получихте?(6 ° СЪС).
• Някой ще напише решението на дъската, а ние всички сме в тетрадки.
• Нека погледнем термометъра, получихме ли правилния отговор? (слайд 2 на компютъра).

2. Температурата на въздуха се понижава с 2°C на всеки час. Термометърът вече показва 0°C (слайд 3 на компютъра).Каква температура на въздуха ще показва термометърът след 3 часа?

• Колко получихте?(–6 ° СЪС).
• Записваме съответното решение на дъската и в тетрадките. Аналогия със задача 1.
• .(слайд 4 на компютъра).

3. Температурата на въздуха се понижава с 2°C на всеки час. Термометърът вече показва 0°C (слайд 5 на компютъра).

• Колко получихте?(6 ° СЪС).
• Записваме съответното решение на дъската и в тетрадките. Аналогия със задачи 1 и 2.
• Нека сравним резултата с показанията на термометъра.(слайд 6 на компютъра).

4. Температурата на въздуха се повишава с 2°C на всеки час. Термометърът вече показва 0°C (слайд 7 на компютъра).Каква температура на въздуха показваше термометърът преди 3 часа?

• Колко получихте?(–6 ° СЪС).
• Записваме съответното решение на дъската и в тетрадките. Аналогия със задачи 1-3.
• Нека сравним резултата с показанията на термометъра.(слайд 8 на компютъра).

Вижте резултатите си. При умножаване на числа с еднакви знаци (примери 1 и 3), с кой знак получихте отговора? (положителен).

Глоба. Но в пример 3 и двата фактора са отрицателни, а отговорът е положителен. Коя математическа концепция ви позволява да преминете от отрицателни числа към положителни? (модул).

Правило за внимание:За да умножите две числа с еднакви знаци, трябва да умножите техните абсолютни стойности и да поставите знак плюс пред резултата. (2 души повтарят).

Да се ​​върнем към пример 3. На какво са равни модулите (–2) и (–3)? Нека умножим тези модули. Колко получихте? С какъв знак?

При умножаване на числа с различни знаци (примери 2 и 4), с кой знак получихте отговора? (отрицателен).

Формулирайте свои собствени правила за умножение на числа с различни знаци.

Правило: Когато умножавате числа с различни знаци, трябва да умножите техните модули и да поставите знак минус пред резултата. (2 души повтарят).

Да се ​​върнем към примери No2 и No4. Какви са величините на техните фактори? Нека умножим тези модули. Колко получихте? Какъв знак трябва да се даде в резултат?

Използвайки тези две правила, можете също да умножавате дроби: десетични, смесени, обикновени.

На дъската пред вас има няколко примера. Три ще решим заедно с мен, а останалите сами. Обърнете внимание на записа и дизайна.

Много добре. Нека отворим учебниците и да отбележим правилата, които трябва да се научат за следващия урок (стр. 190, §7 (точка 35)). Познаването на тези правила ще ви помогне бързо да овладеете разделянето на положителни и отрицателни числа в бъдеще.

V. Математическа верига

А сега Dunno иска да провери как сте научили новия материал и ще ви зададе няколко въпроса. Трябва да запишем решението и отговорите в тетрадки ( Приложение 3– Математическа верига).

Компютърна презентация
Здравейте момчета. Виждам, че си много умен и любознателен, затова искам да ти задам няколко въпроса. Бъдете внимателни, особено със знаците.
Първият ми въпрос е: умножете (–3) по (–13).
Втори въпрос: умножете полученото в първата задача по (–0,1).
Трети въпрос: умножете резултата от втората задача по (–2).
Четвърти въпрос: умножете (-1/3) по резултата от третата задача.
И последният, пети въпрос: изчислете точката на замръзване на живака, като умножите резултата от четвъртата задача по 15.
Благодаря за труда. Пожелавам ти успех.

Момчета, нека проверим как изпълнихме задачите. Всички станаха.

Колко получихте на първата задача?

Тези, които имат различен отговор, сядат, а тези, които сядат, си даваме 0 точки за математическата верига на картата за запис на знания. Останалите не слагат нищо.

Колко получихте във втората задача?

Ако имате различен отговор, седнете и добавете 1 точка към вашата карта със знания за математическата верига.

Колко получихте на третата задача?

За тези, които имат различен отговор, седнете и добавете 2 точки към вашата карта за запис на знания за математическата верига.

Колко получихте на четвъртата задача?

За тези, които имат различен отговор, седнете и добавете 3 точки към вашата карта за запис на знания за математическата верига.

Колко получихте на петата задача?

За тези, които имат различен отговор, седнете и добавете 4 точки към вашата карта за запис на знания за математическата верига. Останалите момчета решиха всичките 5 задачи правилно. Седнете, давате си 5 точки за математическата верига на вашата карта със знания.

Каква е точката на замръзване на живака?(–39 °C).

VI. Домашна работа

§7 (т. 35, стр. 190), № 1121 – учебник: Математика. 6 клас: [Н.Я.Виленкин и др.]

Творческа задача:Напишете задача за умножение на положителни и отрицателни числа.

VII. Тест

Нека да преминем към следващия етап от урока: изпълнение на теста ( Приложение 4).

Трябва да решите задачите и да оградите номера на верния отговор. За първите две правилно изпълнени задачи ще получите 1 точка, за 3-та задача - 2 точки, за 4-та задача - 3 точки. Започнахме работа.

Δ –1 точка;
o –2 точки;
– 3 точки.

Сега нека запишем числата на верните отговори в таблицата под теста. Да проверим резултатите. Трябва да получите числото 1418 в празните клетки (Пиша на дъската). Който го получи, поставя 7 точки на картата със знания. Тези, които са допуснали грешки, поставят броя точки, получени само за правилно изпълнени задачи, в картата за запис на знания.

Голямата световна война продължава точно 1418 дни. Отечествена война, победа, в която руският народ получи висока цена. А на 9 май 2010 г. ще отбележим 65-ата годишнина от Победата над нацистка Германия.

VIII. Обобщение на урока

Сега да преброим обща сумаТочките, които сте събрали за урока, и резултатите ще бъдат въведени в картата за запис на знанията на ученика. След това раздаваме тези карти.

15 – 17 точки – оценка „5”;
10 – 14 точки – оценка „4”;
по-малко от 10 точки – оценка „3“.

Вдигнете ръцете си, които са получили "5", "4", "3".

• Каква тема разгледахме днес?
• Как се умножават числа с еднакви знаци; с различни знаци?

И така, нашият урок приключи. Искам да ви кажа БЛАГОДАРЯ за работата ви в този урок.

Този урок обхваща умножение и деление на рационални числа.

Съдържание на урока

Умножение на рационални числа

Правилата за умножение на цели числа важат и за рационалните числа. С други думи, за да умножите рационални числа, трябва да можете

Също така трябва да знаете основните закони на умножението, като: комутативния закон на умножението, асоциативния закон на умножението, разпределителния закон на умножението и умножението по нула.

Пример 1.Намерете стойността на израз

Това е умножението на рационални числа с различни знаци. За да умножите рационални числа с различни знаци, трябва да умножите техните модули и да поставите минус пред получения отговор.

За да видим ясно, че имаме работа с числа с различни знаци, поставяме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му

Модулът на числото е равен на , а модулът на числото е равен на . След като умножихме получените модули като положителни дроби, получихме отговора, но преди отговора поставихме минус, както правилото изисква от нас. За да се осигури това минус преди отговора, умножението на модулите беше извършено в скоби, предшествано от минус.

Краткото решение изглежда така:

Пример 2.Намерете стойността на израз

Пример 3.Намерете стойността на израз

Това е умножението на отрицателни рационални числа. За да умножите отрицателни рационални числа, трябва да умножите техните модули и да поставите плюс пред получения отговор

Решението за този пример може да бъде написано накратко:

Пример 4.Намерете стойността на израз

Решението за този пример може да бъде написано накратко:

Пример 5.Намерете стойността на израз

Това е умножението на рационални числа с различни знаци. Нека умножим модулите на тези числа и поставим минус пред получения отговор

Краткото решение ще изглежда много по-просто:

Пример 6.Намерете стойността на израз

Нека преобразуваме смесеното число в неправилна дроб. Нека пренапишем останалото, както е

Получихме умножението на рационални числа с различни знаци. Нека умножим модулите на тези числа и поставим минус пред получения отговор. Записът с модули може да се пропусне, за да не се претрупва израза

Решението за този пример може да бъде написано накратко

Пример 7.Намерете стойността на израз

Това е умножението на рационални числа с различни знаци. Нека умножим модулите на тези числа и поставим минус пред получения отговор

Първоначално отговорът се оказа неправилна дроб, но ние подчертахме цялата част в нея. забележи, че цяла частбеше отделен от модула на фракцията. Полученото смесено число беше оградено в скоби, предшествано от знак минус. Това се прави, за да се гарантира, че изискването на правилото е изпълнено. А правилото изискваше полученият отговор да се предхожда от минус.

Решението за този пример може да бъде написано накратко:

Пример 8.Намерете стойността на израз

Първо, нека умножим и и умножим полученото число с останалото число 5. Ще пропуснем записа с модули, за да не затрупваме израза.

Отговор:стойност на израза е равно на −2.

Пример 9.Намерете значението на израза:

Нека преобразуваме смесени числа в неправилни дроби:

Получихме умножението на отрицателни рационални числа. Нека умножим модулите на тези числа и поставим плюс пред получения отговор. Записът с модули може да се пропусне, за да не се претрупва израза

Пример 10.Намерете стойността на израз

Изразът се състои от няколко фактора. Според асоциативния закон за умножение, ако изразът се състои от няколко фактора, тогава продуктът няма да зависи от реда на действията. Това ни позволява да оценим даден израз в произволен ред.

Нека не преоткриваме колелото, а изчислим този израз отляво надясно по реда на факторите. Нека пропуснем записа с модулите, за да не претрупваме израза

Трето действие:

Четвърто действие:

Отговор:стойността на израза е

Пример 11.Намерете стойността на израз

Нека си припомним закона за умножение по нула. Този закон гласи, че продуктът е равен на нула, ако поне един от факторите е равен на нула.

В нашия пример един от факторите е равен на нула, така че без да губим време отговаряме, че стойността на израза е равна на нула:

Пример 12.Намерете стойността на израз

Произведението е равно на нула, ако поне един от множителите е равен на нула.

В нашия пример един от факторите е равен на нула, така че без да губим време отговаряме, че стойността на израза е равно на нула:

Пример 13.Намерете стойността на израз

Можете да използвате реда на действията и първо да изчислите израза в скоби и да умножите получения отговор с дроб.

Можете също така да използвате закона за разпределение на умножението - умножете всеки член на сумата по дроб и добавете получените резултати. Ние ще използваме този метод.

Според реда на операциите, ако изразът съдържа събиране и умножение, тогава първо трябва да се извърши умножението. Следователно, в получения нов израз, нека поставим в скоби тези параметри, които трябва да бъдат умножени. По този начин можем ясно да видим кои действия да извършим по-рано и кои по-късно:

Трето действие:

Отговор:стойност на израза равно на

Решението за този пример може да бъде написано много по-кратко. Ще изглежда така:

Ясно е, че този пример може да бъде решен дори на ум. Следователно, трябва да развиете умението да анализирате израз, преди да го решите. Вероятно може да се реши психически и да се спестят много време и нерви. А при контролните и изпитите, както знаете, времето е много ценно.

Пример 14.Намерете стойността на израза −4,2 × 3,2

Това е умножението на рационални числа с различни знаци. Нека умножим модулите на тези числа и поставим минус пред получения отговор

Забележете как са умножени модулите на рационалните числа. В този случай, за да се умножат модулите на рационалните числа, беше необходимо .

Пример 15.Намерете стойността на израза −0,15 × 4

Това е умножението на рационални числа с различни знаци. Нека умножим модулите на тези числа и поставим минус пред получения отговор

Забележете как са умножени модулите на рационалните числа. В този случай, за да се умножат модулите на рационалните числа, беше необходимо да можете.

Пример 16.Намерете стойността на израза −4,2 × (−7,5)

Това е умножението на отрицателни рационални числа. Нека умножим модулите на тези числа и поставим плюс пред получения отговор

Деление на рационални числа

Правилата за деление на цели числа важат и за рационалните числа. С други думи, за да можете да разделяте рационални числа, трябва да можете

В противен случай се използват същите методи за разделяне на обикновени и десетични дроби. За да разделите обикновена дроб на друга дроб, трябва да умножите първата дроб по реципрочната на втората дроб.

И да разделят десетичен знаккъм друга десетична дроб, трябва да преместите десетичната запетая в делителя и в делителя надясно с толкова цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя, след което извършете делението както при обикновено число.

Пример 1.Намерете значението на израза:

Това е разделянето на рационални числа с различни знаци. За да изчислите такъв израз, трябва да умножите първата дроб по реципрочната на втората.

И така, нека умножим първата дроб по реципрочната на втората.

Получихме умножението на рационални числа с различни знаци. И ние вече знаем как да изчисляваме такива изрази. За да направите това, трябва да умножите модулите на тези рационални числа и да поставите минус пред получения отговор.

Нека завършим този пример до края. Записът с модули може да се пропусне, за да не се претрупва израза

Значи стойността на израза е

Подробното решение е както следва:

Кратко решение би изглеждало така:

Пример 2.Намерете стойността на израз

Това е разделянето на рационални числа с различни знаци. За да изчислите този израз, трябва да умножите първата дроб по реципрочната на втората.

Реципрочната на втората дроб е дробта . Нека умножим първата дроб по нея:

Кратко решение би изглеждало така:

Пример 3.Намерете стойността на израз

Това е деленето на отрицателни рационални числа. За да изчислите този израз, отново трябва да умножите първата дроб по реципрочната на втората.

Реципрочната на втората дроб е дробта . Нека умножим първата дроб по нея:

Получихме умножението на отрицателни рационални числа. Вече знаем как се изчислява такъв израз. Трябва да умножите модулите на рационалните числа и да поставите плюс пред получения отговор.

Нека завършим този пример докрай. Можете да пропуснете записа с модули, за да не претрупвате израза:

Пример 4.Намерете стойността на израз

За да изчислите този израз, трябва да умножите първото число −3 по обратната дроб на .

Обратната на дроб е дробта. Умножете първото число −3 по него

Пример 6.Намерете стойността на израз

За да изчислите този израз, трябва да умножите първата дроб по реципрочната стойност на 4.

Реципрочната стойност на числото 4 е дроб. Умножете първата дроб по нея

Пример 5.Намерете стойността на израз

За да изчислите този израз, трябва да умножите първата дроб по обратната на −3

Обратното на −3 е дроб. Нека умножим първата дроб по нея:

Пример 6.Намерете стойността на израза −14,4: 1,8

Това е разделянето на рационални числа с различни знаци. За да изчислите този израз, трябва да разделите модула на дивидента на модула на делителя и да поставите минус пред получения отговор.

Забележете как модулът на дивидента е разделен на модула на делителя. В този случай, за да го направите правилно, беше необходимо да можете.

Ако не искате да се забърквате с десетични знаци (и това се случва често), тогава тези, след това преобразувайте тези смесени числа в неправилни дроби и след това направете самото деление.

Нека изчислим предишния израз −14,4: 1,8 по този начин. Нека преобразуваме десетичните числа в смесени числа:

Сега нека преобразуваме получените смесени числа в неправилни дроби:

Сега можете да направите директно деление, а именно да разделите дроб на дроб. За да направите това, трябва да умножите първата дроб по обратната част на втората:

Пример 7.Намерете стойността на израз

Нека преобразуваме десетичната дроб −2,06 в неправилна дроб и умножим тази дроб по реципрочната стойност на втората дроб:

Многоетажни дроби

Често можете да срещнете израз, в който разделянето на дроби е написано с дробна линия. Например изразът може да бъде написан по следния начин:

Каква е разликата между изразите и ? Наистина няма разлика. Тези два израза носят едно и също значение и можем да поставим знак за равенство между тях:

В първия случай знакът за деление е двоеточие и изразът се записва на един ред. Във втория случай разделянето на дроби се записва с дробна черта. Резултатът е фракция, която хората са съгласни да наричат многоетажна.

Когато срещнете такива многоетажни изрази, трябва да приложите същите правила за разделяне на обикновени дроби. Първата дроб трябва да се умножи по реципрочната на втората.

Изключително неудобно е да използвате такива дроби в решение, така че можете да ги напишете в разбираема форма, като използвате двоеточие, а не наклонена черта като знак за деление.

Например, нека напишем многоетажна дроб в разбираема форма. За да направите това, първо трябва да разберете къде е първата дроб и къде е втората, защото не винаги е възможно да направите това правилно. Многоетажните фракции имат няколко дробни линии, които могат да бъдат объркващи. Основната дробна линия, която разделя първата фракция от втората, обикновено е по-дълга от останалите.

След като определите основната дробна линия, можете лесно да разберете къде е първата дроб и къде е втората:

Пример 2.

Намираме главната дробна линия (тя е най-дългата) и виждаме, че цялото число −3 е разделено на обикновена дроб

И ако по погрешка вземем втория дробен ред за основен (този, който е по-къс), тогава ще се окаже, че разделяме дроба на цяло число 5. В този случай, дори ако този израз е изчислен правилно, проблемът ще бъде решен неправилно, тъй като дивидентът в това В този случай числото е −3, а делителят е дробта.

Пример 3.Нека напишем многостепенната дроб в разбираема форма

Намираме главната дробна линия (тя е най-дългата) и виждаме, че дробта е разделена на цяло число 2

И ако по погрешка вземем първия дробен ред за водещ (този, който е по-къс), тогава ще се окаже, че делим на дроб цялото число −5.В този случай, дори ако този израз е изчислен правилно, задачата ще бъде решена неправилно, тъй като дивидентът в този случай е дробта, а делителят е цяло число 2.

Въпреки факта, че многостепенните дроби са неудобни за работа, ще ги срещнем много често, особено когато изучаваме висша математика.

Естествено, отнема допълнително време и пространство, за да се преведе многоетажна фракция в разбираема форма. Следователно можете да използвате повече бърз метод. Този метод е удобен и изходът ви позволява да получите готов израз, в който първата дроб вече е умножена по реципрочната част на втората.

Този метод се изпълнява, както следва:

Ако фракцията е четириетажна, например, тогава номерът, който се намира на първия етаж, се издига на последния етаж. И фигурата, разположена на втория етаж, се издига на третия етаж. Получените числа трябва да бъдат свързани със знаци за умножение (×)

В резултат на това, заобикаляйки междинната нотация, получаваме нов израз, в който първата дроб вече е умножена по реципрочната част на втората. Удобство и това е!

За да избегнете грешки при използване този метод, можете да се ръководите от следното правило:

От първи до четвърти. От второ до трето.

Правилото се отнася за етажите. Фигурата от първия етаж трябва да бъде издигната на четвъртия етаж. А фигурата от втория етаж трябва да бъде издигната на третия етаж.

Нека се опитаме да изчислим многоетажна фракция, използвайки горното правило.

И така, вдигаме номера, разположен на първия етаж, на четвъртия етаж и вдигаме номера, разположен на втория етаж, на третия етаж

В резултат на това, заобикаляйки междинната нотация, получаваме нов израз, в който първата дроб вече е умножена по реципрочната част на втората. След това можете да използвате съществуващите си знания:

Нека се опитаме да изчислим дроб на много нива, използвайки нова схема.

Има само първи, втори и четвърти етаж. Трети етаж няма. Но ние не се отклоняваме от основната схема: издигаме фигурата от първия етаж до четвъртия етаж. И тъй като няма трети етаж, оставяме номера на втория етаж такъв

В резултат на това, заобикаляйки междинната нотация, получихме нов израз, в който първото число −3 вече е умножено по реципрочната част от второто. След това можете да използвате съществуващите си знания:

Нека се опитаме да изчислим многоетажната фракция, използвайки новата схема.

Има само втори, трети и четвърти етаж. Няма първи етаж. Тъй като няма първи етаж, няма какво да се качим на четвъртия етаж, но можем да вдигнем фигурата от втория етаж на третия:

В резултат на това, заобикаляйки междинната нотация, получихме нов израз, в който първата дроб вече е умножена по обратното на делителя. След това можете да използвате съществуващите си знания:

Използване на променливи

Ако изразът е сложен и ви се струва, че ще ви обърка в процеса на решаване на проблема, тогава част от израза може да бъде поставена в променлива и след това да работите с тази променлива.

Математиците често правят това. Сложният проблем се разделя на по-лесни подзадачи и се решава. Тогава решените подзадачи се събират в едно цяло. Това е творчески процес и човек го научава с годините чрез усилени тренировки.

Използването на променливи е оправдано при работа с фракции на много нива. Например:

Намерете стойността на израз

И така, има дробен израз в числителя и в знаменателя на който има дробни изрази. С други думи, отново сме изправени пред многоетажна фракция, която не ни харесва толкова много.

Изразът в числителя може да бъде въведен в променлива с произволно име, например:

Но в математиката в такъв случай е обичайно променливите да се назовават с главни латински букви. Нека не нарушаваме тази традиция и да обозначим първия израз с голямо латиницаА

А изразът в знаменателя може да се означи с главна буква Б

Сега оригиналният ни израз приема формата . Тоест, заменихме числовия израз с буквен, като преди това въведохме числителя и знаменателя в променливи A и B.

Сега можем отделно да изчислим стойностите на променлива A и стойността на променлива B. Ще вмъкнем готовите стойности в израза.

Нека намерим стойността на променливата А

Нека намерим стойността на променливата б

Сега нека заместим техните стойности в основния израз вместо променливи A и B:

Получихме многоетажна фракция, в която можем да използваме схемата „от първи до четвърти, от втори до трети“, тоест да повдигнем номера, разположен на първия етаж, до четвъртия етаж и да повишим номер намиращ се от втори етаж до трети етаж. По-нататъшните изчисления няма да бъдат трудни:

Така стойността на израза е −1.

Разбира се, че сме обмислили най-прост пример, но нашата цел беше да научим как можем да използваме променливи, за да улесним нещата за себе си, да минимизираме грешките.

Обърнете внимание също, че решението за този пример може да бъде написано без използване на променливи. Ще изглежда така

Това решение е по-бързо и по-кратко и в този случай е по-смислено да го напишете по този начин, но ако изразът се окаже сложен, състоящ се от няколко параметъра, скоби, корени и степени, тогава е препоръчително да го изчислите в няколко етапа, като въвежда част от своите изрази в променливи.

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група VKontakte и започнете да получавате известия за нови уроци