একটি বিন্দু M কে একটি নির্দিষ্ট সেটের অভ্যন্তরীণ বলা হয় যদি এটি এই সেটের সাথে এর কিছু আশেপাশের অংশের সাথে যুক্ত হয়। একটি বিন্দু N কে একটি সেট G-এর একটি সীমানা বিন্দু বলা হয় যদি এর কোনো সম্পূর্ণ আশেপাশে এমন বিন্দু থাকে যা G এর অন্তর্গত এবং এর অন্তর্গত নয়।

একটি সেট G এর সমস্ত সীমানা বিন্দুর সেটকে G-এর সীমানা বলে।

একটি সেট G একটি অঞ্চল বলা হবে যদি এর সমস্ত বিন্দু অভ্যন্তরীণ হয় (খোলা সেট)। একটি সংযুক্ত সীমার সাথে একটি সেট G কে একটি বন্ধ অঞ্চল বলা হয়। একটি অঞ্চলকে আবদ্ধ বলা হয় যদি এটি সম্পূর্ণরূপে যথেষ্ট বড় ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তের মধ্যে থাকে।

একটি নির্দিষ্ট এলাকায় একটি ফাংশনের ক্ষুদ্রতম এবং বৃহত্তম মানগুলিকে এই এলাকার ফাংশনের পরম প্রান্ত বলা হয়।

Weierstrass এর উপপাদ্য: একটি সীমাবদ্ধ এবং একটি ফাংশন অবিরত বন্ধ এলাকা, এই অঞ্চলে তার সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ মান পৌঁছেছে।

পরিণতি। একটি প্রদত্ত অঞ্চলে একটি ফাংশনের নিখুঁত প্রান্তটি হয় এই অঞ্চলের অন্তর্গত ফাংশনের সমালোচনামূলক বিন্দুতে অর্জন করা হয়, বা একটি বদ্ধ অঞ্চল G-এ একটি ফাংশনের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মানগুলি খুঁজে পেতে, এটি খুঁজে বের করা প্রয়োজন এই অঞ্চলে এর সমস্ত সমালোচনামূলক পয়েন্ট, এই পয়েন্টগুলিতে ফাংশনের মানগুলি গণনা করুন (সীমানা সহ) এবং প্রাপ্ত সংখ্যাগুলির তুলনা করে, তাদের মধ্যে বৃহত্তম এবং ছোটটি নির্বাচন করুন।

উদাহরণ 4.1।ফাংশনের নিখুঁত প্রান্তটি খুঁজুন (সবচেয়ে বড় এবং ক্ষুদ্রতম মান)
একটি ত্রিভুজাকার অঞ্চলে D শীর্ষবিন্দু সহ
,
,
(আকার 1).

;
,

অর্থাৎ, বিন্দু O(0, 0) হল D অঞ্চলের অন্তর্গত একটি গুরুত্বপূর্ণ বিন্দু। z(0,0)=0।

চলুন সীমান্ত অন্বেষণ করা যাক:

ক) OA: y=0
;z(x, 0)=0; z(0, 0)=0; z(1, 0)=0,

খ) OB: x=0
z(0,y)=0; z(0, 0)=0; z(0, 2)=0,

ট্যাক্সি: ;
,

উদাহরণ 4.2।স্থানাঙ্ক অক্ষ এবং সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ একটি বদ্ধ এলাকায় একটি ফাংশনের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মানগুলি খুঁজুন
.

1) অঞ্চলে পড়ে থাকা গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টগুলি সন্ধান করুন:

,
,

.

চলুন সীমান্ত অন্বেষণ করা যাক. কারণ সীমানা অক্স অক্ষের একটি সেগমেন্ট OA, Oy অক্ষের একটি সেগমেন্ট OB এবং একটি সেগমেন্ট AB নিয়ে গঠিত, তারপর আমরা এই সেগমেন্টগুলির প্রতিটিতে z ফাংশনের বৃহত্তম এবং ক্ষুদ্রতম মান নির্ধারণ করি।

, z(0, 2)=–3, z(0, 0)=5, z(0, 4)=5।

M 3 (5/3,7/3), z(5/3, 7/3)=–10/3।

সমস্ত পাওয়া মানগুলির মধ্যে, z max =z(4, 0)=13 নির্বাচন করুন; z naim =z(1, 2)=–4.

5. শর্তাধীন চরম। Lagrange গুণক পদ্ধতি

আসুন আমরা বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের ফাংশনগুলির জন্য নির্দিষ্ট একটি সমস্যা বিবেচনা করি, যখন এর চরমতমটি সংজ্ঞার সম্পূর্ণ ডোমেনের উপর নয়, তবে একটি নির্দিষ্ট শর্তকে সন্তুষ্ট করে এমন একটি সেটের উপর চাওয়া হয়।

ফাংশন বিবেচনা করা যাক
, যুক্তি এবং যা শর্ত পূরণ করে
, কাপলিং সমীকরণ বলা হয়।

ডট
একটি শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ (ন্যূনতম) পয়েন্ট বলা হয় যদি এই বিন্দুর এমন একটি আশেপাশ থাকে যা সমস্ত পয়েন্টের জন্য
এই পাড়া থেকে শর্ত সন্তুষ্ট
, অসমতা ঝুলিতে
বা
.

চিত্র 2 শর্তসাপেক্ষ সর্বোচ্চ পয়েন্ট দেখায়
. স্পষ্টতই, এটি ফাংশনের শর্তহীন চরম বিন্দু নয়
(চিত্র 2-এ এই বিন্দু
).

দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের কন্ডিশনাল এক্সট্রিমাম খুঁজে বের করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের এক্সট্রিমাম খুঁজে বের করার সমস্যা কমানো। আমাদের সংযোগ সমীকরণ অনুমান করা যাক
ভেরিয়েবলগুলির একটির সাথে সমাধান করতে পরিচালিত, উদাহরণস্বরূপ, প্রকাশ করা মাধ্যম :
. দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনে ফলিত রাশিটিকে প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই

সেগুলো. একটি ভেরিয়েবলের ফাংশন। এর এক্সট্রিম হবে ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমাম
.

উদাহরণ 5.1।একটি ফাংশনের সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন পয়েন্ট খুঁজুন
দেত্তয়া আছে
.

সমাধান। সমীকরণ থেকে প্রকাশ করা যাক
পরিবর্তনশীল পরিবর্তনশীল মাধ্যমে এবং ফলে অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন করুন
একটি ফাংশন মধ্যে . আমরা পেতে
বা
. এই ফাংশন একটি অনন্য সর্বনিম্ন এ আছে
. সংশ্লিষ্ট ফাংশন মান
. এইভাবে,
- শর্তাধীন চরম বিন্দু (ন্যূনতম)।

বিবেচিত উদাহরণে, কাপলিং সমীকরণ
রৈখিক হতে পরিণত হয়েছে, তাই এটি ভেরিয়েবলগুলির একটির সাথে সহজেই সমাধান করা যেতে পারে। যাইহোক, আরও জটিল ক্ষেত্রে এটি করা যায় না।

সাধারণ ক্ষেত্রে শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিম খুঁজে পেতে, ল্যাগ্রেঞ্জ গুণক পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। তিনটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন বিবেচনা করুন। এই ফাংশন Lagrange ফাংশন বলা হয়, এবং - Lagrange গুণক। নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি সত্য।

উপপাদ্য।যদি বিন্দু
ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ চরম বিন্দু
দেত্তয়া আছে
, তারপর একটি মান আছে যেমন বিন্দু
ফাংশনের চরম বিন্দু
.

এইভাবে, ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্ত খুঁজে বের করতে
দেত্তয়া আছে
সিস্টেমের একটি সমাধান খুঁজে বের করতে হবে

পৃ এই সমীকরণের শেষটি কাপলিং সমীকরণের সাথে মিলে যায়। সিস্টেমের প্রথম দুটি সমীকরণ আকারে পুনর্লিখন করা যেতে পারে, যেমন শর্তসাপেক্ষ চরম বিন্দুতে ফাংশন গ্রেডিয়েন্ট
এবং
সমরেখা চিত্রে। চিত্র 3 ল্যাগ্রেঞ্জের অবস্থার জ্যামিতিক অর্থ দেখায়। লাইন
ডটেড, লেভেল লাইন
ফাংশন
কঠিন ডুমুর থেকে। এটি শর্তসাপেক্ষ চরম বিন্দুতে ফাংশন স্তর লাইন অনুসরণ করে
লাইন স্পর্শ করে
.

উদাহরণ 5.2. ফাংশনের চরম বিন্দু খুঁজুন
দেত্তয়া আছে
, Lagrange গুণক পদ্ধতি ব্যবহার করে।

সমাধান। আমরা Lagrange ফাংশন রচনা. এর আংশিক ডেরিভেটিভগুলিকে শূন্যের সাথে সমান করে, আমরা সমীকরণের একটি সিস্টেম পাই:

তার একমাত্র সমাধান। সুতরাং, শর্তাধীন চরম বিন্দু শুধুমাত্র বিন্দু হতে পারে (3; 1)। এই সময়ে ফাংশনটি যাচাই করা সহজ
একটি শর্তাধীন সর্বনিম্ন আছে. ভেরিয়েবলের সংখ্যা দুইটির বেশি হলে, বেশ কয়েকটি যুগল সমীকরণ বিবেচনা করা যেতে পারে। তদনুসারে, এই ক্ষেত্রে বেশ কয়েকটি ল্যাগ্রেঞ্জ গুণক থাকবে।

শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিম খুঁজে পাওয়ার সমস্যাটি সম্পদের সর্বোত্তম বরাদ্দ খুঁজে বের করা, সিকিউরিটিজের একটি সর্বোত্তম পোর্টফোলিও বেছে নেওয়া ইত্যাদির মতো অর্থনৈতিক সমস্যার সমাধানে ব্যবহৃত হয়।

জোসেফ লুই ল্যাগ্রেঞ্জের জন্ম তুরিনে (ইতালি) একটি ইতালীয়-ফরাসি পরিবারে। তিনি অধ্যয়ন করেন এবং তারপর আর্টিলারি স্কুলে শিক্ষকতা করেন। 1759 সালে, অয়লারের সুপারিশে, 23 বছর বয়সী ল্যাগ্রেঞ্জ বার্লিন একাডেমি অফ সায়েন্সেসের সদস্য নির্বাচিত হন। 1766 সালে তিনি ইতিমধ্যে এর রাষ্ট্রপতি হয়েছিলেন। দ্বিতীয় ফ্রেডরিক ল্যাগ্রেঞ্জকে বার্লিনে আমন্ত্রণ জানান। 1786 সালে দ্বিতীয় ফ্রেডরিকের মৃত্যুর পর ল্যাগ্রেঞ্জ প্যারিসে চলে আসেন। 1722 সাল থেকে তিনি প্যারিস একাডেমি অফ সায়েন্সেসের সদস্য ছিলেন, 1795 সালে তিনি দ্রাঘিমাংশের ব্যুরোর সদস্য নিযুক্ত হন এবং তিনি ব্যবস্থার মেট্রিক সিস্টেম তৈরিতে সক্রিয় অংশ নেন। বৃত্ত বৈজ্ঞানিক গবেষণা Lagrange অস্বাভাবিকভাবে প্রশস্ত ছিল. তারা বলবিদ্যা, জ্যামিতি, গাণিতিক বিশ্লেষণ, বীজগণিত, সংখ্যা তত্ত্ব এবং তাত্ত্বিক জ্যোতির্বিদ্যায় নিবেদিত। ল্যাগ্রেঞ্জের গবেষণার মূল দিকটি ছিল একীভূত দৃষ্টিকোণ থেকে মেকানিক্সে বিভিন্ন ধরণের ঘটনার উপস্থাপনা। তিনি একটি সমীকরণ তৈরি করেছিলেন যা শক্তির প্রভাবের অধীনে যে কোনও সিস্টেমের আচরণকে বর্ণনা করে। জ্যোতির্বিদ্যার ক্ষেত্রে, ল্যাগ্রেঞ্জ স্থিতিশীলতার সমস্যা সমাধানের জন্য অনেক কিছু করেছিলেন সৌর জগৎ; স্থিতিশীল গতির কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে প্রমাণিত হয়েছে, বিশেষ করে তথাকথিত ত্রিভুজাকার লিব্রেশন পয়েন্টে অবস্থিত ছোট দেহগুলির জন্য।

ল্যাগ্রেঞ্জ পদ্ধতি─ এটি একটি সমস্যা সমাধানের একটি পদ্ধতি শর্তাধীন অপ্টিমাইজেশান, যেখানে অন্তর্নিহিত ফাংশন হিসাবে লেখা সীমাবদ্ধতাগুলিকে একটি নতুন সমীকরণের আকারে উদ্দেশ্য ফাংশনের সাথে একত্রিত করা হয় ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান.

চলো বিবেচনা করি বিশেষ মামলা সাধারণ কাজনা রৈখিক প্রোগ্রামিং:

সিস্টেম দিয়েছেন অরৈখিক সমীকরণ (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

ফাংশনের ক্ষুদ্রতম (বা বৃহত্তম) মান খুঁজুন (2)

(2) f (x1,x2,…,xn),

যদি ভেরিয়েবলের অ-নেতিবাচক হওয়ার কোন শর্ত না থাকে এবং f(x1,x2,…,xn) এবং gi(x1,x2,…,xn) ফাংশনগুলি তাদের আংশিক ডেরিভেটিভের সাথে অবিচ্ছিন্ন থাকে।

এই সমস্যার একটি সমাধান খুঁজে পেতে, আপনি ব্যবহার করতে পারেন পরবর্তী পদ্ধতি: 1. ভ্যারিয়েবলের একটি সেট লিখুন λ1, λ2,…, λm, যাকে Lagrange multipliers বলা হয়, Lagrange ফাংশন রচনা করুন (3)

(3) F(х1, х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi।

2. xi এবং λi ভেরিয়েবলের সাপেক্ষে Lagrange ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি খুঁজুন এবং তাদের শূন্যের সাথে সমান করুন।

3. সমীকরণের পদ্ধতিটি সমাধান করা, বিন্দুগুলি খুঁজুন উদ্দেশ্য ফাংশনসমস্যা একটি চরম থাকতে পারে.

4. সন্দেহজনক পয়েন্টগুলির মধ্যে যেগুলি এক্সট্রিমাম নয়, সেগুলি খুঁজে বের করুন যেখানে এক্সট্রিমাম পৌঁছেছে এবং এই পয়েন্টগুলিতে ফাংশনের মানগুলি গণনা করুন .

4. f ফাংশনের প্রাপ্ত মান তুলনা করুন এবং সেরাটি নির্বাচন করুন।

উৎপাদন পরিকল্পনা অনুযায়ী, কোম্পানির 180টি পণ্য উত্পাদন করতে হবে। এই পণ্য দুটি প্রযুক্তিগত উপায়ে তৈরি করা যেতে পারে. পদ্ধতি I ব্যবহার করে x1 পণ্য উত্পাদন করার সময়, খরচ হয় 4*x1+x1^2 রুবেল, এবং দ্বিতীয় পদ্ধতি ব্যবহার করে x2 পণ্য উৎপাদন করার সময়, সেগুলি হল 8*x2+x2^2 রুবেল। প্রতিটি পদ্ধতি ব্যবহার করে কতগুলি পণ্য তৈরি করা উচিত তা নির্ধারণ করুন, যাতে উৎপাদনের মোট খরচ সর্বনিম্ন হয়।

সমাধান: সমস্যার গাণিতিক সূত্র নির্ণয় করতে হয় সর্বনিম্ন মানদুটি ভেরিয়েবলের কাজ:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, প্রদত্ত x1 +x2 = 180।

চলুন Lagrange ফাংশন রচনা করা যাক:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2)।

আসুন x1, x2, λ এর সাপেক্ষে এর আংশিক ডেরিভেটিভগুলি গণনা করি এবং তাদের 0 এর সাথে সমান করি:

প্রথম দুটি সমীকরণের ডান দিকে λ সরানো যাক এবং তাদের বাম দিকগুলিকে সমান করা যাক, আমরা 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2 বা x1 − x2 = 2 পাব।

x1 + x2 = 180 সমীকরণের সাথে একসাথে শেষ সমীকরণটি সমাধান করে, আমরা x1 = 91, x2 = 89 খুঁজে পাই, অর্থাৎ, আমরা শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে এমন একটি সমাধান পেয়েছি:

চলুন ভেরিয়েবলের এই মানের জন্য উদ্দেশ্য ফাংশন f এর মান খুঁজে বের করা যাক:

F(x1, x2) = 17278

এই বিন্দু একটি চরম বিন্দু জন্য সন্দেহজনক. দ্বিতীয় আংশিক ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে, আমরা দেখাতে পারি যে পয়েন্টে (91.89) ফাংশন f এর একটি সর্বনিম্ন আছে।

পদ্ধতির বর্ণনা

কোথায় .

যুক্তি

Lagrange গুণক পদ্ধতির জন্য নিম্নলিখিত ন্যায্যতা এটির একটি কঠোর প্রমাণ নয়। এটি বুঝতে সাহায্য করার জন্য হিউরিস্টিক যুক্তি রয়েছে জ্যামিতিক অর্থপদ্ধতি

দ্বি-মাত্রিক কেস

লেভেল লাইন এবং বক্ররেখা।

সমীকরণ দ্বারা নির্দিষ্ট শর্তের অধীনে দুটি ভেরিয়েবলের কিছু ফাংশনের সীমানা খুঁজে বের করার প্রয়োজন হতে দিন . আমরা অনুমান করব যে সমস্ত ফাংশন ক্রমাগত পার্থক্যযোগ্য, এবং এই সমীকরণটি একটি মসৃণ বক্ররেখা সংজ্ঞায়িত করে এসপৃষ্ঠের উপর . তারপরে সমস্যাটি ফাংশনের প্রান্ত খুঁজে পেতে হ্রাস পায় চবক্ররেখার উপর এস. আমরা এটাও ধরে নেব এসগ্রেডিয়েন্ট যেখানে পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যায় না চ 0 এ পরিণত হয়।

প্লেনে ফাংশন লেভেল লাইন আঁকুন চ(অর্থাৎ, বক্ররেখা)। জ্যামিতিক বিবেচনা থেকে এটা স্পষ্ট যে ফাংশনের চরমতম চবক্ররেখার উপর এসশুধুমাত্র বিন্দু হতে পারে যেখানে স্পর্শক এসএবং সংশ্লিষ্ট স্তরের লাইন মিলে যায়। প্রকৃতপক্ষে, যদি বক্ররেখা এসলেভেল লাইন অতিক্রম করে চএকটি বিন্দুতে ট্রান্সভারসলি (অর্থাৎ, কিছু অ-শূন্য কোণে), তারপর বক্ররেখা বরাবর চলমান এসএকটি বিন্দু থেকে আমরা একটি বৃহত্তর মান অনুরূপ স্তর লাইন পেতে পারেন চ, এবং কম। অতএব, এই ধরনের একটি বিন্দু একটি চরম বিন্দু হতে পারে না.

এইভাবে, আমাদের ক্ষেত্রে একটি চরমের জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত স্পর্শকগুলির কাকতালীয় হবে। এটিকে বিশ্লেষণাত্মক আকারে লিখতে, লক্ষ্য করুন যে এটি ফাংশনের গ্রেডিয়েন্টের সমান্তরালতার সমতুল্য চএবং ψ একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে, যেহেতু গ্রেডিয়েন্ট ভেক্টরটি স্তর রেখার স্পর্শকটির সাথে লম্ব। এই অবস্থা নিম্নলিখিত আকারে প্রকাশ করা হয়:

যেখানে λ হল একটি অ-শূন্য সংখ্যা যা একটি Lagrange গুণক।

এখন বিবেচনা করা যাক ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশন, এবং λ এর উপর নির্ভর করে:

এর চরম অংশের জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত হল গ্রেডিয়েন্টটি শূন্যের সমান। বিভেদ নিয়ম অনুসারে, এটি আকারে লেখা হয়

আমরা এমন একটি সিস্টেম পেয়েছি যার প্রথম দুটি সমীকরণ প্রয়োজনীয় শর্তের সমতুল্য স্থানীয় চরম(1), এবং তৃতীয়টি - সমীকরণে . আপনি এটি থেকে এটি খুঁজে পেতে পারেন. তাছাড়া, যেহেতু অন্যথায় ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট চবিন্দুতে অদৃশ্য হয়ে যায় , যা আমাদের অনুমানের বিপরীত। এটি লক্ষ করা উচিত যে এইভাবে পাওয়া পয়েন্টগুলি শর্তাধীন চরমের পছন্দসই পয়েন্ট নাও হতে পারে - বিবেচিত শর্তটি প্রয়োজনীয়, তবে যথেষ্ট নয়। একটি অক্জিলিয়ারী ফাংশন ব্যবহার করে একটি শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিমাম সন্ধান করা এলএবং Lagrange গুণক পদ্ধতির ভিত্তি তৈরি করে, দুটি ভেরিয়েবলের সহজতম ক্ষেত্রে এখানে প্রয়োগ করা হয়েছে। এটা দেখা যাচ্ছে যে উপরের যুক্তিগুলি শর্তগুলি নির্দিষ্ট করে এমন ভেরিয়েবল এবং সমীকরণের নির্বিচারে সংখ্যার ক্ষেত্রে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে।

Lagrange গুণক পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে, কিছু প্রমাণ করা সম্ভব যথেষ্ট শর্তএকটি শর্তসাপেক্ষ চরমের জন্য, ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশনের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের বিশ্লেষণের প্রয়োজন।

আবেদন

• ল্যাগ্রেঞ্জ মাল্টিপ্লায়ার পদ্ধতিটি অরৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যাগুলি সমাধান করতে ব্যবহৃত হয় যা অনেক ক্ষেত্রে উদ্ভূত হয় (উদাহরণস্বরূপ, অর্থনীতিতে)।
• প্রদত্ত গড় বিটরেটে অডিও এবং ভিডিও ডেটা এনকোডিংয়ের গুণমান অপ্টিমাইজ করার সমস্যা সমাধানের প্রধান পদ্ধতি (বিকৃতি অপ্টিমাইজেশান - ইংরেজি। হার-বিকৃতি অপ্টিমাইজেশান).

আরো দেখুন

লিঙ্ক

• জোরিখ ভি.এ. গাণিতিক বিশ্লেষণ. পার্ট 1. - এড. ২য়, রেভ। এবং অতিরিক্ত - এম.: ফাজিস, 1997।

উইকিমিডিয়া ফাউন্ডেশন। 2010।

অন্যান্য অভিধানে "ল্যাগ্রেঞ্জ মাল্টিপ্লায়ার" কী তা দেখুন:

Lagrange multipliers- অতিরিক্ত কারণ যা উত্তল প্রোগ্রামিং (বিশেষত, রৈখিক প্রোগ্রামিং) এর একটি চরম সমস্যার উদ্দেশ্য ফাংশনকে রূপান্তরিত করে যখন এটি ক্লাসিক্যাল পদ্ধতিগুলির একটি ব্যবহার করে সমাধান করা হয়, গুণকগুলি সমাধান করার পদ্ধতি... ... অর্থনৈতিক এবং গাণিতিক অভিধান

Lagrange multipliers- অতিরিক্ত কারণগুলি যা একটি চরম উত্তল প্রোগ্রামিং সমস্যার (বিশেষত, রৈখিক প্রোগ্রামিং) উদ্দেশ্যমূলক ফাংশনকে রূপান্তরিত করে যখন এটি ক্লাসিক্যাল পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি ব্যবহার করে সমাধান করা হয়, গুণকগুলি সমাধান করার পদ্ধতি (ল্যাগ্রেঞ্জ পদ্ধতি) .... ... প্রযুক্তিগত অনুবাদকের গাইড

মেকানিক্স। 1) 1ম ধরনের Lagrange সমীকরণ, যান্ত্রিক গতির ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। সিস্টেম, যা আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর অনুমানে দেওয়া হয় এবং তথাকথিত থাকে। Lagrange multipliers. 1788 সালে J. Lagrange দ্বারা প্রাপ্ত. একটি holonomic সিস্টেমের জন্য, ... ... শারীরিক বিশ্বকোষ

সাধারণ মেকানিক্স ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ২য় ক্রম, যান্ত্রিক গতিবিধি বর্ণনা করে। তাদের উপর প্রয়োগ করা বাহিনীর প্রভাবের অধীনে সিস্টেম। L.u. J. Lag রেঞ্জ দ্বারা দুটি আকারে প্রতিষ্ঠিত: L. u. 1ম ধরনের, বা কার্টেসিয়ান সমীকরণের সাথে সমন্বয় করে... ... গাণিতিক বিশ্বকোষ

1) হাইড্রোমেকানিক্সে, ল্যাগ্রেঞ্জ ভেরিয়েবলে তরল (গ্যাস) গতির সমীকরণ, যা মাধ্যমের স্থানাঙ্ক। ফরাসি প্রাপ্ত বিজ্ঞানী J. Lagrange (প্রায় 1780)। L. u থেকে। মাধ্যমের গতির নিয়ম নির্ভরতা আকারে নির্ধারিত হয়... ... শারীরিক বিশ্বকোষ

Lagrange গুণক পদ্ধতি, f(x) ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্ত খুঁজে বের করার একটি পদ্ধতি, যেখানে, m সীমাবদ্ধতার সাপেক্ষে, i এক থেকে m পর্যন্ত পরিবর্তিত হয়। বিষয়বস্তু 1 পদ্ধতির বর্ণনা... উইকিপিডিয়া

একটি ফাংশন যা অনেকগুলি ভেরিয়েবল এবং ফাংশনালের ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্তে সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয়। L. f এর সাহায্যে। রেকর্ড করা হয় প্রয়োজনীয় শর্তাবলীশর্তসাপেক্ষ চরমে সমস্যায় সর্বোত্তমতা। এই ক্ষেত্রে, শুধুমাত্র ভেরিয়েবল প্রকাশ করার প্রয়োজন নেই ... গাণিতিক বিশ্বকোষ

শর্তসাপেক্ষ চরমে সমস্যা সমাধানের পদ্ধতি; L.M.M একটি অক্জিলিয়ারী ফাংশনের নিঃশর্ত প্রান্তে এই সমস্যাগুলিকে কমিয়ে দেয়, যাকে বলা হয়। Lagrange ফাংশন. f (x1, x2,..., xn) ফাংশনের প্রান্তের সমস্যার জন্য... ...

ভেরিয়েবল, যার সাহায্যে একটি শর্তসাপেক্ষ প্রান্তের সমস্যা অধ্যয়ন করার সময় ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশন তৈরি করা হয়। রৈখিক পদ্ধতি এবং Lagrange ফাংশন ব্যবহার আমাদের একটি অভিন্ন উপায়ে শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিম্যাম জড়িত সমস্যাগুলির জন্য প্রয়োজনীয় সর্বোত্তম অবস্থা পেতে অনুমতি দেয়... গাণিতিক বিশ্বকোষ

1) হাইড্রোমেকানিক্সে, একটি তরল মাধ্যমের গতির সমীকরণ, ল্যাগ্রঞ্জ ভেরিয়েবলে লিখিত, যা মাধ্যমের কণার স্থানাঙ্ক। L. u থেকে। মাধ্যমের কণার গতির নিয়ম নির্ধারিত হয় সময়ের উপর স্থানাঙ্কের নির্ভরতার আকারে এবং তাদের থেকে... ... গ্রেট সোভিয়েত এনসাইক্লোপিডিয়া

• টিউটোরিয়াল

সবাই শুভ দিন. এই নিবন্ধে আমি একটি দেখাতে চান গ্রাফিক পদ্ধতিনির্মাণ গাণিতিক মডেলগতিশীল সিস্টেমের জন্য, যা বলা হয় বন্ড গ্রাফ("বন্ড" - সংযোগ, "গ্রাফ" - গ্রাফ)। রাশিয়ান সাহিত্যে, আমি শুধুমাত্র টমস্কির পাঠ্যপুস্তকে এই পদ্ধতির বর্ণনা পেয়েছি পলিটেকনিক বিশ্ববিদ্যালয়, A.V. ভোরোনিন "মেকাট্রনিক সিস্টেমের মডেলিং" 2008 এছাড়াও দেখান ক্লাসিক পদ্ধতি২য় ধরনের ল্যাগ্রেঞ্জ সমীকরণের মাধ্যমে।

ল্যাগ্রেঞ্জ পদ্ধতি

আমি তত্ত্বটি বর্ণনা করব না, আমি কয়েকটি মন্তব্য সহ হিসাবের পর্যায়গুলি দেখাব। ব্যক্তিগতভাবে, 10 বার তত্ত্ব পড়ার চেয়ে উদাহরণ থেকে শেখা আমার পক্ষে সহজ। এটা আমার কাছে মনে হয়েছিল যে রাশিয়ান সাহিত্যে, এই পদ্ধতির ব্যাখ্যা এবং প্রকৃতপক্ষে গণিত বা পদার্থবিদ্যা খুব সমৃদ্ধ। জটিল সূত্র, যার জন্য সেই অনুযায়ী একটি গুরুতর গাণিতিক পটভূমি প্রয়োজন। ল্যাগ্রেঞ্জ পদ্ধতি অধ্যয়ন করার সময় (আমি ইতালির তুরিনের পলিটেকনিক বিশ্ববিদ্যালয়ে অধ্যয়ন করি), আমি গণনা পদ্ধতির তুলনা করার জন্য রাশিয়ান সাহিত্য অধ্যয়ন করেছি এবং এই পদ্ধতির সমাধানের অগ্রগতি অনুসরণ করা আমার পক্ষে কঠিন ছিল। এমনকি খারকভ এভিয়েশন ইনস্টিটিউটের মডেলিং কোর্সের কথা মনে রেখেও, এই জাতীয় পদ্ধতিগুলির উদ্ভাবন খুব কষ্টকর ছিল এবং কেউ এই সমস্যাটি বোঝার চেষ্টা করে নিজেদের বিরক্ত করেনি। এটিই আমি লেখার সিদ্ধান্ত নিয়েছি, ল্যাগ্রেঞ্জ অনুসারে গাণিতিক মডেলগুলি তৈরির জন্য একটি ম্যানুয়াল, যেহেতু এটি দেখা গেছে এটি মোটেও কঠিন নয়, সময় এবং আংশিক ডেরিভেটিভের ক্ষেত্রে ডেরিভেটিভগুলি কীভাবে গণনা করা যায় তা জানা যথেষ্ট। আরও জটিল মডেলগুলির জন্য, ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্সগুলিও যোগ করা হয়, তবে তাদের মধ্যেও জটিল কিছু নেই।

মডেলিং পদ্ধতির বৈশিষ্ট্য:

• নিউটন-অয়লার: গতিশীল ভারসাম্যের উপর ভিত্তি করে ভেক্টর সমীকরণ বলএবং মুহূর্ত
• ল্যাগ্রঞ্জ: গতি এবং সম্ভাবনার সাথে যুক্ত রাষ্ট্রীয় ফাংশনের উপর ভিত্তি করে স্কেলার সমীকরণ শক্তি
• বন্ড কাউন্ট: প্রবাহ ভিত্তিক পদ্ধতি ক্ষমতাসিস্টেম উপাদানগুলির মধ্যে

চলো আমরা শুরু করি সহজ উদাহরণ. বসন্ত এবং ড্যাম্পার সঙ্গে ভর. আমরা মাধ্যাকর্ষণ শক্তি উপেক্ষা.

আকার 1. বসন্ত এবং ড্যাম্পার সঙ্গে ভর

প্রথমত, আমরা মনোনীত করি:

• প্রাথমিক সিস্টেমস্থানাঙ্ক(NSK) বা স্থির এসকে R0(i0,j0,k0). কোথায়? আপনি আকাশের দিকে আপনার আঙুল নির্দেশ করতে পারেন, কিন্তু মস্তিষ্কের নিউরনের টিপস মোচড়ানোর মাধ্যমে, ধারণাটি M1 বডির নড়াচড়ার লাইনে NSC স্থাপনের মাধ্যমে যায়।
• ভর দিয়ে প্রতিটি শরীরের জন্য সমন্বয় সিস্টেম(আমাদের M1 আছে R1(i1,j1,k1)), অভিযোজন নির্বিচারে হতে পারে, তবে কেন আপনার জীবনকে জটিল করে তুলুন, NSC থেকে ন্যূনতম পার্থক্যের সাথে সেট করুন
• সাধারণীকৃত স্থানাঙ্ক q_i(সর্বনিম্ন সংখ্যক ভেরিয়েবল যা গতিবিধি বর্ণনা করতে পারে), এই উদাহরণে একটি সাধারণীকৃত স্থানাঙ্ক রয়েছে, শুধুমাত্র j অক্ষ বরাবর চলাচল

চিত্র 2. আমরা স্থানাঙ্ক সিস্টেম এবং সাধারণীকৃত স্থানাঙ্ক নামিয়ে রাখি

চিত্র 3. শরীরের অবস্থান এবং গতি M1

তারপরে আমরা সূত্রগুলি ব্যবহার করে ড্যাম্পারের জন্য গতি (C) এবং সম্ভাব্য (P) শক্তি এবং ডিসিপেটিভ ফাংশন (D) খুঁজে পাব:

চিত্র 4. সম্পূর্ণ সূত্রগতিসম্পর্কিত শক্তি

আমাদের উদাহরণে কোন ঘূর্ণন নেই, দ্বিতীয় উপাদানটি 0।

চিত্র 5. গতিবিদ্যা, সম্ভাব্য শক্তি এবং অপব্যয়কারী ফাংশনের গণনা

Lagrange সমীকরণ নিম্নলিখিত ফর্ম আছে:

চিত্র 6. Lagrange সমীকরণ এবং Lagrangian

ডেল্টা W_iএটি প্রয়োগকৃত শক্তি এবং মুহূর্ত দ্বারা সম্পন্ন ভার্চুয়াল কাজ। আসুন তাকে খুঁজে বের করি:

চিত্র 7. ভার্চুয়াল কাজের গণনা

কোথায় ডেল্টা q_1ভার্চুয়াল আন্দোলন।

আমরা Lagrange সমীকরণে সবকিছু প্রতিস্থাপন করি:

চিত্র 8. বসন্ত এবং দাম্পার সঙ্গে ফলে ভর মডেল

এখানেই Lagrange এর পদ্ধতি শেষ হয়েছে। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এটি এতটা জটিল নয়, তবে এটি এখনও একটি খুব সাধারণ উদাহরণ, যার জন্য সম্ভবত নিউটন-অয়লার পদ্ধতিটি আরও সহজ হবে। আরও জটিল সিস্টেমের জন্য, যেখানে বিভিন্ন কোণে একে অপরের সাপেক্ষে বেশ কয়েকটি দেহ ঘোরানো হবে, ল্যাগ্রেঞ্জ পদ্ধতিটি সহজ হবে।

বন্ড পদ্ধতিচিত্রলেখ

একটি ভর, একটি স্প্রিং এবং একটি ড্যাম্পার সহ উদাহরণের জন্য বন্ড-গ্রাফে মডেলটি কেমন দেখাচ্ছে তা আমি এখনই আপনাকে দেখাব:

চিত্র 9. স্প্রিং এবং ড্যাম্পার সহ বন্ড-গ্রাফ ভর

এখানে আপনাকে একটু তত্ত্ব বলতে হবে, যা নির্মাণের জন্য যথেষ্ট হবে সহজ মডেল. কেউ আগ্রহী হলে বইটি পড়তে পারেন ( বন্ড গ্রাফ পদ্ধতি) বা ( ভোরোনিন A.V. মেকাট্রনিক সিস্টেমের মডেলিং: টিউটোরিয়াল. - টমস্ক: টমস্ক পলিটেকনিক ইউনিভার্সিটি পাবলিশিং হাউস, 2008).

আসুন প্রথমে এটি নির্ধারণ করি জটিল সিস্টেমবিভিন্ন ডোমেইন নিয়ে গঠিত। উদাহরণস্বরূপ, একটি বৈদ্যুতিক মোটর বৈদ্যুতিক এবং যান্ত্রিক অংশ বা ডোমেন নিয়ে গঠিত।

বন্ড গ্রাফএই ডোমেইন, সাবসিস্টেমগুলির মধ্যে শক্তি বিনিময়ের উপর ভিত্তি করে। মনে রাখবেন যে পাওয়ার এক্সচেঞ্জ, যে কোনও ফর্মের, সর্বদা দুটি ভেরিয়েবল দ্বারা নির্ধারিত হয় ( পরিবর্তনশীল শক্তি) যার সাহায্যে আমরা একটি গতিশীল সিস্টেমের মধ্যে বিভিন্ন সাবসিস্টেমের মিথস্ক্রিয়া অধ্যয়ন করতে পারি (টেবিল দেখুন)।

টেবিল থেকে দেখা যায়, ক্ষমতার প্রকাশ প্রায় সব জায়গায় একই। সংক্ষেপে, শক্তি- এই কাজ " প্রবাহ - চ" চালু " প্রচেষ্টা - ই».

একটি প্রচেষ্টা(ইংরেজি) প্রচেষ্টা) বৈদ্যুতিক ডোমেনে এটি ভোল্টেজ (ই), যান্ত্রিক ডোমেনে এটি বল (এফ) বা টর্ক (টি), হাইড্রলিক্সে এটি চাপ (পি)।

প্রবাহ(ইংরেজি) প্রবাহ) বৈদ্যুতিক ডোমেনে এটি বর্তমান (i), যান্ত্রিক ডোমেনে এটি গতি (v) বা কৌণিক বেগ(ওমেগা), হাইড্রলিক্সে – তরল প্রবাহ বা প্রবাহের হার (Q)।

এই স্বরলিপি গ্রহণ করে, আমরা শক্তির জন্য একটি অভিব্যক্তি পাই:

চিত্র 10. পাওয়ার ভেরিয়েবলের মাধ্যমে পাওয়ার সূত্র

বন্ড-গ্রাফের ভাষায়, দুটি সাবসিস্টেমের মধ্যে সংযোগ যা শক্তি বিনিময় করে তা একটি বন্ড দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়। বন্ধন) সেজন্যই এটা বলা হয় এই পদ্ধতি বন্ড-গ্রাফবা ছ raf-সংযোগ, সংযুক্ত গ্রাফ. চলো বিবেচনা করি ব্লক ডায়াগ্রামএকটি বৈদ্যুতিক মোটরের সাথে একটি মডেলের সংযোগ (এটি এখনও একটি বন্ড-গ্রাফ নয়):

চিত্র 11. ডোমেনের মধ্যে পাওয়ার প্রবাহের ব্লক ডায়াগ্রাম

যদি আমাদের একটি ভোল্টেজের উত্স থাকে, তবে সেই অনুযায়ী এটি ভোল্টেজ তৈরি করে এবং এটিকে ঘুরানোর জন্য মোটরে স্থানান্তর করে (এ কারণেই তীরটি মোটরের দিকে পরিচালিত হয়), উইন্ডিংয়ের প্রতিরোধের উপর নির্ভর করে, ওহমের আইন অনুসারে একটি কারেন্ট উপস্থিত হয় (নির্দেশিত মোটর থেকে উৎস পর্যন্ত)। তদনুসারে, একটি ভেরিয়েবল হল সাবসিস্টেমের একটি ইনপুট, এবং দ্বিতীয়টি অবশ্যই হতে হবে প্রস্থানসাবসিস্টেম থেকে। এখানে ভোল্টেজ ( প্রচেষ্টা) - ইনপুট, বর্তমান ( প্রবাহ) - প্রস্থান করুন।

আপনি যদি একটি বর্তমান উৎস ব্যবহার করেন, তাহলে চিত্রটি কীভাবে পরিবর্তন হবে? ঠিক। কারেন্ট মোটরের দিকে এবং ভোল্টেজ উৎসের দিকে পরিচালিত হবে। তারপর বর্তমান ( প্রবাহ) - ইনপুট, ভোল্টেজ ( প্রচেষ্টা) - প্রস্থান করুন।

আসুন মেকানিক্সের একটি উদাহরণ দেখি। একটি ভর অভিনয় বল.

চিত্র 12. ভর প্রয়োগ করা হয়

ব্লক ডায়াগ্রামটি নিম্নরূপ হবে:

চিত্র 13. ব্লক ডায়াগ্রাম

এই উদাহরণে, শক্তি ( প্রচেষ্টা) - ভরের জন্য ইনপুট পরিবর্তনশীল। (ভরের উপর বল প্রয়োগ করা হয়েছে)
নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র অনুসারে:

ভর গতির সাথে সাড়া দেয়:

এই উদাহরণে, যদি একটি পরিবর্তনশীল ( বল - প্রচেষ্টা) হয় প্রবেশদ্বারযান্ত্রিক ডোমেনে, তারপর আরেকটি পাওয়ার ভেরিয়েবল ( গতি - প্রবাহ) – স্বয়ংক্রিয়ভাবে হয়ে যায় প্রস্থান.

ইনপুট কোথায় এবং আউটপুট কোথায় তা পার্থক্য করতে, উপাদানগুলির মধ্যে তীর (সংযোগ) এর শেষে একটি উল্লম্ব রেখা ব্যবহার করা হয়, এই লাইনটিকে বলা হয় কার্যকারণ লক্ষণ বা কার্যকারণ (কার্যকারণ) এটা দেখা যাচ্ছে: প্রয়োগ করা শক্তি কারণ, এবং গতি হল প্রভাব। এই চিহ্নটি একটি সিস্টেম মডেলের সঠিক নির্মাণের জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, কারণ কার্যকারণ একটি পরিণতি শারীরিক আচরণএবং দুটি সাবসিস্টেমের ক্ষমতার বিনিময়, তাই কার্যকারণ চিহ্নের অবস্থানের পছন্দ নির্বিচারে হতে পারে না।

চিত্র 14. কার্যকারণ উপাধি

এই উল্লম্ব রেখা দেখায় কোন সাবসিস্টেম বল গ্রহণ করে ( প্রচেষ্টা) এবং ফলস্বরূপ একটি প্রবাহ উৎপন্ন করে ( প্রবাহ) ভর সহ উদাহরণে এটি এরকম হবে:

চিত্র 14. ভরের উপর ক্রিয়াশীল শক্তির জন্য কার্যকারণ সম্পর্ক

এটি তীর থেকে স্পষ্ট যে ভরের জন্য ইনপুট হল - বল, এবং আউটপুট হয় গতি. এটি করা হয় যাতে তীর দিয়ে ডায়াগ্রামটি বিশৃঙ্খল না হয় এবং মডেলটির নির্মাণকে সুশৃঙ্খল করে না।

পরবর্তী গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট. সাধারণীকৃত আবেগ(আন্দোলনের পরিমাণ) এবং চলন্ত(শক্তি ভেরিয়েবল).

বিভিন্ন ডোমেনে শক্তি এবং শক্তির ভেরিয়েবলের সারণী

উপরের টেবিলটি বন্ড-গ্রাফ পদ্ধতিতে ব্যবহৃত দুটি অতিরিক্ত শারীরিক পরিমাণের পরিচয় দেয়। তাদের ডাকা হয় সাধারণীকৃত আবেগ (আর) এবং সাধারণীকৃত আন্দোলন (q) বা শক্তি ভেরিয়েবল, এবং তারা সময়ের সাথে পাওয়ার ভেরিয়েবলগুলিকে একীভূত করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে:

চিত্র 15. শক্তি এবং শক্তি ভেরিয়েবলের মধ্যে সম্পর্ক

বৈদ্যুতিক ডোমেনে :

ফ্যারাডে আইনের উপর ভিত্তি করে, ভোল্টেজ, বৈদ্যুতিক একক বিশেষকন্ডাকটরের শেষে এই কন্ডাক্টরের মাধ্যমে ম্যাগনেটিক ফ্লাক্সের ডেরিভেটিভের সমান।

ক বর্তমান শক্তি - শারীরিক পরিমাণ, কিছু সময়ের মধ্য দিয়ে যাওয়া চার্জ Q এর অনুপাতের সমান প্রস্থচ্ছেদকন্ডাক্টর, সময়ের এই সময়ের মান।

যান্ত্রিক ডোমেইন:

নিউটনের ২য় সূত্র থেকে, বল– আবেগের সময় ডেরিভেটিভ

এবং অনুরূপভাবে, গতিস্থানচ্যুতির সময় ডেরিভেটিভ:

আসুন সংক্ষিপ্ত করা যাক:

মৌলিক উপাদান

গতিশীল সিস্টেমের সমস্ত উপাদানকে দুই-মেরু এবং চার-মেরু উপাদানে ভাগ করা যায়।
চলো বিবেচনা করি বাইপোলার উপাদান:

সূত্র
প্রচেষ্টা এবং প্রবাহ উভয়ের উত্স রয়েছে। বৈদ্যুতিক ডোমেনে সাদৃশ্য: প্রচেষ্টার উৎস – বিভব উৎস, স্ট্রিম উৎস – বর্তমান উৎস. উত্সের জন্য কার্যকারণ লক্ষণগুলি কেবল এইরকম হওয়া উচিত।

চিত্র 16. কার্যকারণ সংযোগ এবং উত্সের পদবী

উপাদান আর - অপসারণকারী উপাদান

উপাদান I - জড় উপাদান

উপাদান গ - ক্যাপাসিটিভ উপাদান

পরিসংখ্যান থেকে দেখা যায়, একই উপাদান বিভিন্ন R, C, I টাইপ করুনএকই সমীকরণ দ্বারা বর্ণিত। বৈদ্যুতিক ক্যাপাসিট্যান্সের জন্য শুধুমাত্র একটি পার্থক্য আছে, আপনাকে এটি মনে রাখতে হবে!

চতুর্ভুজ উপাদান:

আসুন দুটি উপাদান দেখুন: একটি ট্রান্সফরমার এবং একটি গাইরেটর।

বন্ড-গ্রাফ পদ্ধতির শেষ গুরুত্বপূর্ণ উপাদান হল সংযোগ। দুই ধরনের নোড আছে:

যে উপাদান সঙ্গে এটা.

একটি বন্ড-গ্রাফ নির্মাণের পর কার্যকারণ সম্পর্ক স্থাপনের প্রধান পদক্ষেপ:

1. প্রত্যেককে কার্যকারণ সংযোগ দিন সূত্র
2. সমস্ত নোডের মধ্য দিয়ে যান এবং পয়েন্ট 1 এর পরে কার্যকারণ সম্পর্ক রাখুন
3. জন্য উপাদান Iএকটি ইনপুট কার্যকারণ সম্পর্ক নির্ধারণ করুন (প্রচেষ্টা এই উপাদান অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে), জন্য উপাদান সিআউটপুট কার্যকারণ নির্ধারণ করুন (প্রচেষ্টা এই উপাদান থেকে বেরিয়ে আসে)
4. পয়েন্ট 2 পুনরাবৃত্তি করুন
5. জন্য কার্যকারণ সংযোগ সন্নিবেশ করান R উপাদান

এটি তত্ত্বের উপর মিনি-কোর্সটি শেষ করে। এখন আমাদের কাছে মডেল তৈরির জন্য প্রয়োজনীয় সবকিছু আছে।
উদাহরণ কয়েক সমাধান করা যাক. একটি বৈদ্যুতিক সার্কিট দিয়ে শুরু করা যাক, একটি বন্ড-গ্রাফ নির্মাণের সাদৃশ্যটি বোঝা ভাল।

উদাহরণ 1

আসুন একটি ভোল্টেজের উত্স সহ একটি বন্ড-গ্রাফ তৈরি করা শুরু করি। শুধু Se লিখুন এবং একটি তীর রাখুন।

দেখুন, সবকিছু সহজ! আসুন আরও দেখি, R এবং L সিরিজে সংযুক্ত, যার অর্থ তাদের মধ্যে একই কারেন্ট প্রবাহ, যদি আমরা পাওয়ার ভেরিয়েবলে কথা বলি - একই প্রবাহ। কোন নোড একই প্রবাহ আছে? সঠিক উত্তর হল 1-নোড। আমরা 1-নোডের সাথে সোর্স, রেজিস্ট্যান্স (কম্পোনেন্ট - R) এবং ইনডাক্ট্যান্স (কম্পোনেন্ট - I) সংযোগ করি।

এর পরে, আমাদের সমান্তরালভাবে ক্যাপাসিট্যান্স এবং রেজিস্ট্যান্স রয়েছে, যার অর্থ তাদের একই ভোল্টেজ বা বল রয়েছে। 0-নোড অন্য কোন মত উপযুক্ত. আমরা ক্যাপাসিট্যান্স (কম্পোনেন্ট C) এবং রেজিস্ট্যান্স (কম্পোনেন্ট R) কে 0-নোডের সাথে সংযুক্ত করি।

আমরা নোড 1 এবং 0 একে অপরের সাথে সংযুক্ত করি। তীরগুলির দিক নির্বিচারে নির্বাচিত হয়; সংযোগের দিকটি শুধুমাত্র সমীকরণের চিহ্নকে প্রভাবিত করে

আপনি নিম্নলিখিত সংযোগ গ্রাফ পাবেন:

এখন আমাদের কার্যকারণ সম্পর্ক স্থাপন করতে হবে। তাদের বসানোর ক্রম নির্দেশাবলী অনুসরণ করে, উৎস দিয়ে শুরু করা যাক।

1. আমাদের কাছে ভোল্টেজের একটি উৎস রয়েছে (প্রচেষ্টা), এই জাতীয় উত্সের কার্যকারণের একটি মাত্র রূপ রয়েছে - আউটপুট। এর উপর করা যাক.
2. এর পরে কম্পোনেন্ট I আছে, তারা কী সুপারিশ করে তা দেখা যাক। আমরা রাখি
3. আমরা 1-নোডের জন্য এটি নিচে রাখা. খাওয়া
4. একটি 0-নোডে অবশ্যই একটি ইনপুট এবং সমস্ত আউটপুট কার্যকারণ সংযোগ থাকতে হবে। আপাতত আমাদের একদিন ছুটি আছে। আমরা C বা I উপাদান খুঁজছি। আমরা এটি পেয়েছি। আমরা রাখি
5. কি বাকি আছে তালিকা করা যাক

এখানেই শেষ. বন্ড গ্রাফ নির্মিত হয়. হুররে, কমরেডস!

যা অবশিষ্ট থাকে তা হল সেই সমীকরণগুলি লিখতে যা আমাদের সিস্টেমকে বর্ণনা করে। এটি করার জন্য, 3 টি কলাম সহ একটি টেবিল তৈরি করুন। প্রথমটিতে সিস্টেমের সমস্ত উপাদান থাকবে, দ্বিতীয়টিতে প্রতিটি উপাদানের জন্য ইনপুট ভেরিয়েবল থাকবে এবং তৃতীয়টিতে একই উপাদানের জন্য আউটপুট ভেরিয়েবল থাকবে। আমরা ইতিমধ্যেই কার্যকারণ সম্পর্ক দ্বারা ইনপুট এবং আউটপুট সংজ্ঞায়িত করেছি। তাই কোনো সমস্যা হওয়া উচিত নয়।

লেভেল রেকর্ড করার সুবিধার জন্য প্রতিটি সংযোগ সংখ্যা করা যাক। আমরা C, R, I উপাদানগুলির তালিকা থেকে প্রতিটি উপাদানের জন্য সমীকরণ গ্রহণ করি।

একটি টেবিল কম্পাইল করার পরে, আমরা স্টেট ভেরিয়েবলগুলিকে সংজ্ঞায়িত করি, এই উদাহরণে তাদের মধ্যে 2টি রয়েছে, p3 এবং q5। পরবর্তীতে আপনাকে রাজ্যের সমীকরণগুলি লিখতে হবে:

এটা, মডেল প্রস্তুত.

উদাহরণ 2. আমি অবিলম্বে ছবির মানের জন্য ক্ষমা চাইতে চাই, প্রধান জিনিস হল যে আপনি পড়তে পারেন

আসুন একটি যান্ত্রিক সিস্টেমের জন্য আরেকটি উদাহরণ সমাধান করি, যেটি আমরা ল্যাগ্রেঞ্জ পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করেছি। আমি মন্তব্য ছাড়া সমাধান দেখাব। আসুন এই পদ্ধতিগুলির মধ্যে কোনটি সহজ এবং সহজ তা পরীক্ষা করে দেখি।

মাতবালায়, একই পরামিতি সহ উভয় গাণিতিক মডেল সংকলিত হয়েছিল, ল্যাগ্রেঞ্জ পদ্ধতি এবং বন্ড-গ্রাফ দ্বারা প্রাপ্ত। ফলাফল নীচে: ট্যাগ যোগ করুন

শর্তসাপেক্ষ এক্সট্রিম্যাম নির্ধারণের পদ্ধতিটি একটি অক্জিলিয়ারী ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশন তৈরির মাধ্যমে শুরু হয়, যা সম্ভাব্য সমাধানের অঞ্চলে ভেরিয়েবলের একই মানগুলির জন্য সর্বাধিক পৌঁছায়। এক্স 1 , এক্স 2 , ..., এক্স n , যা উদ্দেশ্য ফাংশন হিসাবে একই z . ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্ত নির্ধারণের সমস্যাটি সমাধান করা যাক z = f(X) বিধিনিষেধের অধীনে φ i ( এক্স 1 , এক্স 2 , ..., এক্স n ) = 0, i = 1, 2, ..., মি , মি < n

এর একটি ফাংশন রচনা করা যাক

চমগ্মজগচ ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশন. এক্স , - ধ্রুবক কারণ ( Lagrange multipliers) মনে রাখবেন যে Lagrange গুণককে একটি অর্থনৈতিক অর্থ দেওয়া যেতে পারে। যদি f(x 1 , এক্স 2 , ..., এক্স n ) - আয় পরিকল্পনার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ X = (x 1 , এক্স 2 , ..., এক্স n ) , এবং ফাংশন φ i (এক্স 1 , এক্স 2 , ..., এক্স n ) - এই পরিকল্পনার সাথে সম্পর্কিত i-th সম্পদের খরচ, তারপর এক্স , হল i-th সম্পদের মূল্য (অনুমান), i-th সম্পদের (প্রান্তিক অনুমান) আকারের পরিবর্তনের উপর নির্ভর করে উদ্দেশ্য ফাংশনের চরম মানের পরিবর্তনকে চিহ্নিত করে। L(X) - ফাংশন n+মি ভেরিয়েবল (এক্স 1 , এক্স 2 , ..., এক্স n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . এই ফাংশনের স্থির বিন্দুগুলি নির্ধারণ করা সমীকরণের সিস্টেমের সমাধানের দিকে নিয়ে যায়

এটা দেখতে সহজ . এইভাবে, ফাংশনের শর্তসাপেক্ষ প্রান্ত খুঁজে বের করার কাজ z = f(X) ফাংশনের স্থানীয় প্রান্ত খুঁজে পেতে হ্রাস করে L(X) . যদি একটি স্থির বিন্দু পাওয়া যায়, তবে সহজতম ক্ষেত্রে একটি চরমের অস্তিত্বের প্রশ্নটি চরমের জন্য পর্যাপ্ত শর্তের ভিত্তিতে সমাধান করা হয় - দ্বিতীয় পার্থক্যের চিহ্নটি অধ্যয়ন করা d 2 L(X) একটি স্থির বিন্দুতে, যদি পরিবর্তনশীল বৃদ্ধি পায় Δx i - সম্পর্কের দ্বারা সংযুক্ত

যুগল সমীকরণ পার্থক্য দ্বারা প্রাপ্ত.

ফাইন্ড সলিউশন টুল ব্যবহার করে দুটি অজানা অরৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করা

সেটিংস সমাধান খোঁজাআপনাকে দুটি অজানা সহ অরৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেমের সমাধান খুঁজে পেতে দেয়:

কোথায়
- ভেরিয়েবলের অরৈখিক ফাংশন এক্স এবং y ,
- নির্বিচারে ধ্রুবক।

জানা গেছে, দম্পতি ( এক্স , y ) হ'ল সমীকরণের সিস্টেমের একটি সমাধান (10) যদি এবং শুধুমাত্র যদি এটি দুটি অজানা সহ নিম্নলিখিত সমীকরণের একটি সমাধান হয়:

সঙ্গেঅন্যদিকে, সিস্টেমের সমাধান (10) হল দুটি বক্ররেখার ছেদ বিন্দু: চ ] (এক্স, y) = গ এবং চ 2 (x, y) = C 2 পৃষ্ঠের উপর XOY.

এটি সিস্টেমের শিকড় খুঁজে বের করার জন্য একটি পদ্ধতির দিকে নিয়ে যায়। অরৈখিক সমীকরণ:

সমীকরণ (10) বা সমীকরণ (11) সিস্টেমের সমাধানের অস্তিত্বের ব্যবধান (অন্তত আনুমানিক) নির্ধারণ করুন। এখানে সিস্টেমে অন্তর্ভুক্ত সমীকরণের ধরন, তাদের প্রতিটি সমীকরণের সংজ্ঞার ডোমেন ইত্যাদি বিবেচনা করা প্রয়োজন। কখনও কখনও সমাধানের প্রাথমিক আনুমানিক নির্বাচন ব্যবহার করা হয়;

নির্বাচিত ব্যবধানে x এবং y ভেরিয়েবলের জন্য সমীকরণ (11) এর সমাধানটি ট্যাবুলেট করুন বা ফাংশনের গ্রাফ তৈরি করুন চ 1 (এক্স, y) = গ, এবং চ 2 (x,y) = C 2 (সিস্টেম(10))।

সমীকরণ সিস্টেমের অনুমিত শিকড়গুলিকে স্থানীয়করণ করুন - সমীকরণ (11) এর মূলগুলি সারণি করা টেবিল থেকে বেশ কয়েকটি ন্যূনতম মান খুঁজুন, বা সিস্টেমে অন্তর্ভুক্ত বক্ররেখাগুলির ছেদ বিন্দু নির্ধারণ করুন (10)।

4. অ্যাড-ইন ব্যবহার করে সমীকরণ (10) সিস্টেমের জন্য মূল খুঁজুন একটি সমাধান খোঁজা.