সেগমেন্ট দ্বারাএই দুটি বিন্দুর মধ্যে অবস্থিত এই লাইনের সমস্ত বিন্দু নিয়ে গঠিত একটি সরল রেখার একটি অংশকে কল করুন - সেগুলিকে সেগমেন্টের প্রান্ত বলা হয়।
এর প্রথম উদাহরণ তাকান. স্থানাঙ্ক সমতলের দুটি বিন্দু দ্বারা একটি নির্দিষ্ট সেগমেন্টকে সংজ্ঞায়িত করা যাক। IN এই ক্ষেত্রেআমরা পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করে এর দৈর্ঘ্য খুঁজে পেতে পারি।
সুতরাং, স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় আমরা এর প্রান্তগুলির প্রদত্ত স্থানাঙ্কগুলির সাথে একটি সেগমেন্ট আঁকি(x1; y1) এবং (x2; y2) . অক্ষে এক্স এবং Y সেগমেন্টের প্রান্ত থেকে লম্ব আঁকুন। স্থানাঙ্ক অক্ষের মূল অংশ থেকে অনুমান করা অংশগুলিকে লাল রঙে চিহ্নিত করা যাক। এর পরে, আমরা সেগমেন্টের প্রান্তের সমান্তরাল অভিক্ষেপ বিভাগগুলি স্থানান্তর করি। আমরা একটি ত্রিভুজ (আয়তক্ষেত্রাকার) পেতে। এই ত্রিভুজের কর্ণটি AB নিজেই সেগমেন্ট হবে এবং এর পাগুলি স্থানান্তরিত অনুমান।
আসুন এই অনুমানগুলির দৈর্ঘ্য গণনা করি। সুতরাং, অক্ষ সম্মুখের Y অভিক্ষেপ দৈর্ঘ্য হয় y2-y1 , এবং অক্ষের উপর এক্স অভিক্ষেপ দৈর্ঘ্য হয় x2-x1 . আসুন পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করি: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . এই ক্ষেত্রে |এবি| সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য।
আপনি যদি একটি সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য গণনা করতে এই চিত্রটি ব্যবহার করেন, তাহলে আপনাকে সেগমেন্টটি নির্মাণ করতে হবে না। এখন স্থানাঙ্কের সাহায্যে সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য গণনা করা যাক (1;3) এবং (2;5) . পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করে আমরা পাই: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . এর মানে হল আমাদের সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য সমান 5:1/2 .
একটি অংশের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করার জন্য নিম্নলিখিত পদ্ধতিটি বিবেচনা করুন। এটি করার জন্য, আমাদের কিছু সিস্টেমে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক জানতে হবে। একটি দ্বি-মাত্রিক কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ব্যবহার করে এই বিকল্পটি বিবেচনা করা যাক।
সুতরাং, একটি দ্বি-মাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, সেগমেন্টের চরম বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি দেওয়া হয়। যদি আমরা এই বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে সরল রেখা আঁকতে পারি, তবে সেগুলি অবশ্যই স্থানাঙ্ক অক্ষের লম্ব হতে হবে, তাহলে আমরা পাব সমকোণী ত্রিভুজ. মূল সেগমেন্টটি ফলস্বরূপ ত্রিভুজের কর্ণ হবে। একটি ত্রিভুজের পাগুলি অংশগুলি তৈরি করে, তাদের দৈর্ঘ্য স্থানাঙ্ক অক্ষগুলিতে কর্ণের অভিক্ষেপের সমান। পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি: একটি প্রদত্ত সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করার জন্য, আমাদের দুটি স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর অনুমানগুলির দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করতে হবে।
আসুন অনুমানগুলির দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করি (X এবং Y) স্থানাঙ্ক অক্ষে মূল সেগমেন্ট। আমরা একটি পৃথক অক্ষ বরাবর বিন্দুর স্থানাঙ্কের পার্থক্য খুঁজে বের করে তাদের গণনা করি: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .
সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য গণনা করুন ক , এর জন্য আমরা বর্গমূল খুঁজে পাই:
A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .
যদি আমাদের সেগমেন্ট বিন্দুর মধ্যে অবস্থিত হয় যার স্থানাঙ্ক 2;4 এবং 4;1 , তাহলে এর দৈর্ঘ্য অনুরূপভাবে সমান √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3.61 .
নীচের নিবন্ধটি একটি সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করার বিষয়গুলিকে কভার করবে যদি এর চরম বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি প্রাথমিক ডেটা হিসাবে পাওয়া যায়। কিন্তু আমরা সমস্যা অধ্যয়ন শুরু করার আগে, আসুন আমরা বেশ কয়েকটি সংজ্ঞা উপস্থাপন করি।
Yandex.RTB R-A-339285-1 সংজ্ঞা 1
সেগমেন্ট- একটি সরল রেখা দুটি নির্বিচারে বিন্দুকে সংযুক্ত করে, যাকে একটি অংশের প্রান্ত বলে। একটি উদাহরণ হিসাবে, এগুলি বিন্দু A এবং B এবং সেই অনুযায়ী, সেগমেন্ট A B হতে দিন।
A এবং B বিন্দু থেকে A B রেখাংশটি উভয় দিকে অব্যাহত থাকলে, আমরা একটি সরল রেখা A B পাই। তারপর সেগমেন্ট A B হল ফলস্বরূপ সরলরেখার অংশ, A এবং B বিন্দু দ্বারা আবদ্ধ। সেগমেন্ট A B বিন্দু A এবং B কে এক করে, যা এর শেষ, সেইসাথে বিন্দুগুলির সেটের মধ্যে রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা A এবং B বিন্দুর মধ্যে অবস্থিত কোনো নির্বিচারে বিন্দু K নিই, তাহলে আমরা বলতে পারি K বিন্দু A B অংশে অবস্থিত।
সংজ্ঞা 2
বিভাগের দৈর্ঘ্য- একটি প্রদত্ত স্কেলে একটি সেগমেন্টের প্রান্তের মধ্যে দূরত্ব (একক দৈর্ঘ্যের একটি অংশ)। নিম্নরূপ A B রেখাংশের দৈর্ঘ্য নির্দেশ করা যাক: A B।
সংজ্ঞা 3
সেগমেন্টের মধ্যবিন্দু- একটি বিন্দু একটি অংশে শুয়ে আছে এবং এর প্রান্ত থেকে সমান দূরত্বে। সেগমেন্ট A B এর মাঝখানে C বিন্দু দ্বারা মনোনীত হলে, সমতা হবে সত্য: A C = C B
প্রারম্ভিক তথ্য: স্থানাঙ্ক রেখা O x এবং এর উপর অ-সঙ্গত বিন্দু: A এবং B। এই পয়েন্টগুলি বাস্তব সংখ্যার সাথে মিলে যায় x ক এবং x খ. বিন্দু C হল সেগমেন্ট A B এর মাঝখানে: স্থানাঙ্ক নির্ণয় করা প্রয়োজন x গ।
যেহেতু C বিন্দু A B রেখাংশের মধ্যবিন্দু, তাই সমতা সত্য হবে: | ক সি | = | গ বি | . বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব তাদের স্থানাঙ্কের পার্থক্যের মডুলাস দ্বারা নির্ধারিত হয়, যেমন
| ক সি | = | গ বি | ⇔ x C - x A = x B - x C
তাহলে দুটি সমতা সম্ভব: x C - x A = x B - x C এবং x C - x A = - (x B - x C)
প্রথম সমতা থেকে আমরা C বিন্দুর স্থানাঙ্কের সূত্র বের করি: x C = x A + x B 2 (সেগমেন্টের প্রান্তের স্থানাঙ্কের অর্ধেক)।
দ্বিতীয় সমতা থেকে আমরা পাই: x A = x B, যা অসম্ভব, কারণ উৎস তথ্যে - অ-মিলিত পয়েন্ট। এইভাবে, A (x A) প্রান্ত সহ A B সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্ক নির্ধারণের সূত্র এবং B(xB):
সমতলে বা মহাকাশে একটি সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্ক নির্ধারণের জন্য ফলস্বরূপ সূত্রটি ভিত্তি হবে।
প্রাথমিক তথ্য: O x y সমতলে আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা, প্রদত্ত স্থানাঙ্ক A x A, y A এবং B x B, y B সহ দুটি নির্বিচারে অ-মিলিত বিন্দু। বিন্দু C হল সেগমেন্ট A B এর মাঝখানে। বিন্দু C এর জন্য x C এবং y C স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করা প্রয়োজন।
আসুন বিশ্লেষণের জন্য বিবেচনা করি যখন বিন্দু A এবং B একত্রিত হয় না এবং একই স্থানাঙ্ক রেখা বা অক্ষগুলির একটিতে লম্ব রেখার উপর থাকে না। A x , A y ; B x, B y এবং C x, C y - স্থানাঙ্ক অক্ষে A, B এবং C বিন্দুর অনুমান (সরল রেখা O x এবং O y)।
নির্মাণ অনুসারে, লাইনগুলি A A x, B B x, C C x সমান্তরাল; রেখাগুলোও একে অপরের সমান্তরাল। এর সাথে, থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে, সমতা A C = C B থেকে সমতাগুলি অনুসরণ করে: A x C x = C x B x এবং A y C y = C y B y, এবং তারা পরিবর্তে নির্দেশ করে যে বিন্দু C x হল সেগমেন্টের মাঝখানে A x B x এবং C y হল A y B y রেখাংশের মাঝখানে। এবং তারপরে, পূর্বে প্রাপ্ত সূত্রের উপর ভিত্তি করে, আমরা পাই:
x C = x A + x B 2 এবং y C = y A + y B 2
একই সূত্রগুলি সেই ক্ষেত্রে ব্যবহার করা যেতে পারে যখন বিন্দু A এবং B একই স্থানাঙ্ক রেখা বা অক্ষগুলির একটিতে লম্ব রেখার উপর থাকে। আচার বিস্তারিত বিশ্লেষণআমরা এই ক্ষেত্রে বিবেচনা করব না, আমরা এটি শুধুমাত্র গ্রাফিকভাবে বিবেচনা করব:
উপরের সবগুলোর সংক্ষিপ্তকরণ, প্রান্তের স্থানাঙ্কের সাথে সমতলে A B সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্ক A (x A, y A) এবং B(xB, yB) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:
(x A + x B 2 , y A + y B 2)
প্রাথমিক তথ্য: স্থানাঙ্ক সিস্টেম O x y z এবং প্রদত্ত স্থানাঙ্ক A (x A, y A, z A) এবং B (x B, y B, z B) সহ দুটি স্বেচ্ছাচারী বিন্দু। বিন্দু C এর স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করা প্রয়োজন, যা A B সেগমেন্টের মাঝখানে।
A x , A y , A z ; B x , B y , B z এবং C x , C y , C z - সকলের অনুমান প্রদত্ত পয়েন্টস্থানাঙ্ক সিস্টেমের অক্ষের উপর।
থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে, নিম্নলিখিত সমতাগুলি সত্য: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z
অতএব, বিন্দু C x , C y , C z হল যথাক্রমে A x B x , A y B y , A z B z অংশের মধ্যবিন্দু। তারপর, মহাকাশে একটি অংশের মাঝখানের স্থানাঙ্ক নির্ধারণ করতে, নিম্নলিখিত সূত্রগুলি সঠিক:
x C = x A + x B 2, y c = y A + y B 2, z c = z A + Z B 2
ফলাফলের সূত্রগুলি সেই ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য যেখানে বিন্দু A এবং B স্থানাঙ্ক রেখাগুলির একটিতে অবস্থিত; একটি অক্ষের লম্ব সরলরেখায়; একটি স্থানাঙ্ক সমতলে বা সমতল সমতলের একটি স্থানাঙ্ক সমতলে লম্ব।
প্রান্তের ব্যাসার্ধ ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলির মাধ্যমে একটি অংশের মাঝখানের স্থানাঙ্কগুলি নির্ধারণ করা
একটি রেখাংশের মাঝখানের স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করার সূত্রটিও ভেক্টরের বীজগণিতিক ব্যাখ্যা অনুসারে নেওয়া যেতে পারে।
ইনপুট ডেটা: আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেম O x y, প্রদত্ত স্থানাঙ্ক A (x A, y A) এবং B (x B, x B) সহ বিন্দু। বিন্দু C হল সেগমেন্ট A B এর মাঝখানে।
ভেক্টরের ক্রিয়াগুলির জ্যামিতিক সংজ্ঞা অনুসারে, নিম্নলিখিত সমতা সত্য হবে: O C → = 1 2 · O A → + O B → । এই ক্ষেত্রে C বিন্দু হল O A → এবং O B → ভেক্টরের ভিত্তিতে নির্মিত একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণগুলির ছেদ বিন্দু। কর্ণের মধ্যবর্তী বিন্দু বিন্দুর ব্যাসার্ধ ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি বিন্দুর স্থানাঙ্কের সমান, তাহলে সমতাগুলি সত্য: O A → = (x A, y A), O B → = (x B)। , y বি)। আসুন স্থানাঙ্কে ভেক্টরের উপর কিছু ক্রিয়াকলাপ করি এবং পাই:
O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2
অতএব, বিন্দু C স্থানাঙ্ক রয়েছে:
x A + x B 2 , y A + y B 2
সাদৃশ্য দ্বারা, স্থানের একটি অংশের মাঝখানে স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করার জন্য একটি সূত্র নির্ধারণ করা হয়:
C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)
একটি সেগমেন্টের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করার সমস্যা সমাধানের উদাহরণ
উপরের প্রাপ্ত সূত্রগুলির ব্যবহার জড়িত সমস্যাগুলির মধ্যে, এমন কিছু রয়েছে যেখানে সরাসরি প্রশ্নটি হল সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্কগুলি গণনা করা, এবং যেগুলি এই প্রশ্নে প্রদত্ত শর্তগুলি নিয়ে আসা জড়িত: শব্দটি "মধ্য" প্রায়শই ব্যবহার করা হয়, লক্ষ্য হল একটি অংশের প্রান্ত থেকে একটির স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করা, এবং প্রতিসাম্য সমস্যাগুলিও সাধারণ, যার সমাধানটি সাধারণভাবে এই বিষয়টি অধ্যয়ন করার পরে অসুবিধা সৃষ্টি করবে না। এর সাধারণ উদাহরণ তাকান.
উদাহরণ 1
প্রাথমিক তথ্য:সমতলে - প্রদত্ত স্থানাঙ্ক A (- 7, 3) এবং B (2, 4) সহ বিন্দু। A B রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন।
সমাধান
C বিন্দু দিয়ে A B রেখাংশের মাঝখানে চিহ্নিত করা যাক। এর স্থানাঙ্কগুলি সেগমেন্টের প্রান্তের স্থানাঙ্কগুলির অর্ধেক হিসাবে নির্ধারিত হবে, যেমন পয়েন্ট A এবং B
x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2
উত্তর: A B - 5 2, 7 2 সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্ক।
উদাহরণ 2
প্রাথমিক তথ্য: A B C ত্রিভুজের স্থানাঙ্কগুলি পরিচিত: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8)। মাঝারি A M এর দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করা প্রয়োজন।
সমাধান
- সমস্যার শর্ত অনুসারে, A M হল মধ্যক, যার মানে M হল B C রেখাংশের মধ্যবিন্দু। প্রথমত, B C সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা যাক, অর্থাৎ এম পয়েন্ট:
x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3
- যেহেতু আমরা এখন মধ্যকের উভয় প্রান্তের স্থানাঙ্ক (বিন্দু A এবং M) জানি, তাই আমরা বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণ করতে এবং A M মধ্যকের দৈর্ঘ্য গণনা করতে সূত্রটি ব্যবহার করতে পারি:
A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58
উত্তরঃ 58
উদাহরণ 3
প্রাথমিক তথ্য:একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় ব্যবস্থায় ত্রিমাত্রিক স্থানদেওয়া সমান্তরাল A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . বিন্দু C 1 (1, 1, 0) এর স্থানাঙ্কগুলি দেওয়া হয়েছে, এবং বিন্দু Mও সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যা তির্যক B D 1 এর মধ্যবিন্দু এবং এর স্থানাঙ্ক M (4, 2, - 4) রয়েছে। বিন্দু A এর স্থানাঙ্ক গণনা করা প্রয়োজন।
সমাধান
একটি সমান্তরাল পাইপের কর্ণগুলি এক বিন্দুতে ছেদ করে, যা সমস্ত কর্ণের মধ্যবিন্দু। এই বিবৃতির উপর ভিত্তি করে, আমরা মনে রাখতে পারি যে বিন্দু M, সমস্যাটির অবস্থা থেকে জানা, A C 1 সেগমেন্টের মধ্যবিন্দু। মহাকাশে একটি সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করার সূত্রের উপর ভিত্তি করে, আমরা বিন্দু A এর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে পাই: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z গ 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8
উত্তরঃ A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (7, 3, - 8)।
আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন তবে দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন
জ্যামিতিতে ব্যবহৃত তিনটি প্রধান সমন্বয় ব্যবস্থা রয়েছে, তাত্ত্বিক বলবিদ্যা, পদার্থবিজ্ঞানের অন্যান্য শাখা: কার্টেসিয়ান, মেরু এবং গোলাকার। এই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, সম্পূর্ণ বিন্দুতে তিনটি স্থানাঙ্ক রয়েছে। 2 বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি জেনে আপনি এই দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণ করতে পারেন।
আপনার প্রয়োজন হবে
- একটি সেগমেন্টের প্রান্তের কার্টেসিয়ান, মেরু এবং গোলাকার স্থানাঙ্ক
নির্দেশনা
1. প্রথমত, একটি আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা বিবেচনা করুন। এই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় স্থানের একটি বিন্দুর অবস্থান নির্ধারণ করা হয় স্থানাঙ্ক x, y এবং z। একটি ব্যাসার্ধ ভেক্টর উৎপত্তি থেকে বিন্দু পর্যন্ত আঁকা হয়। স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর এই ব্যাসার্ধ ভেক্টরের অনুমান হবে স্থানাঙ্কএই পয়েন্ট এখন আপনার সঙ্গে দুটি পয়েন্ট আছে স্থানাঙ্কযথাক্রমে x1,y1,z1 এবং x2,y2 এবং z2। প্রথম এবং ২য় বিন্দুর ব্যাসার্ধ ভেক্টর যথাক্রমে r1 এবং r2 দ্বারা চিহ্নিত করুন। দৃশ্যত, এই দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব হবে ভেক্টরের মডুলাস r = r1-r2, যেখানে (r1-r2) ভেক্টর r এর স্থানাঙ্কগুলি দৃশ্যত নিম্নোক্ত হবে: x1-x2, y1-y2, z1-z2। তাহলে r ভেক্টরের মাত্রা বা দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব সমান হবে: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+(z1-z2)^2 ))।
2. এখন একটি পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা বিবেচনা করুন, যেখানে একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক রেডিয়াল স্থানাঙ্ক r (XY সমতলে ব্যাসার্ধ ভেক্টর), কৌণিক স্থানাঙ্ক দিয়ে দেওয়া হবে? (ভেক্টর r এবং X অক্ষের মধ্যে কোণ) এবং z স্থানাঙ্ক, কার্টেসিয়ান সিস্টেমের z স্থানাঙ্কের মতো একটি বিন্দুর মেরু স্থানাঙ্কগুলিকে নিম্নলিখিত উপায়ে কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে রূপান্তর করা যেতে পারে: x = r*cos? , y = r*sin?, z = z। তারপর সঙ্গে দুই পয়েন্ট মধ্যে দূরত্ব স্থানাঙ্ক r1, ?1 ,z1 এবং r2, ?2, z2 সমান হবে R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+(r1*sin?1-r2*sin ?2 )^2)+(z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin? 2) +((z1-z2)^2))
3. এখন গোলাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার দিকে তাকান। এটিতে, পয়েন্টের অবস্থান তিনটি দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়েছে স্থানাঙ্ক r,? এবং?। r – উৎপত্তি থেকে বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব, ? আর? – যথাক্রমে আজিমুথাল এবং জেনিথ কোণ। কোণ? মেরু স্থানাঙ্ক সিস্টেমে একই পদবী সহ একটি কোণের অনুরূপ, তাই না? – ব্যাসার্ধ ভেক্টর r এবং Z অক্ষের মধ্যে কোণ, 0 সহ<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с স্থানাঙ্ক r1, ?1, ?1 এবং r2, ?2 এবং ?2 হবে R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin? ?1 )^2)+(r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+sin?1*sin?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))
বিষয়ের উপর ভিডিও
একটি অংশের দৈর্ঘ্য বিভিন্ন উপায়ে নির্ধারণ করা যেতে পারে। একটি সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করার জন্য, এটি একটি শাসক থাকা বা গণনার জন্য বিশেষ সূত্র জানা যথেষ্ট।
একটি রুলার ব্যবহার করে একটি সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য
এটি করার জন্য, আমরা সমতলে নির্মিত সেগমেন্টে মিলিমিটার বিভাগ সহ একটি শাসক প্রয়োগ করি এবং সূচনা বিন্দুটি অবশ্যই শাসক স্কেলের শূন্যের সাথে সারিবদ্ধ হতে হবে। তারপরে আপনার এই স্কেলে এই বিভাগের শেষ বিন্দুর অবস্থান চিহ্নিত করা উচিত। পুরো স্কেলের বিভাজনের ফলস্বরূপ সংখ্যা হবে সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য, সেমি এবং মিমিতে প্রকাশ করা হবে।
সমতল সমন্বয় পদ্ধতি
যদি সেগমেন্টের স্থানাঙ্ক (x1;y1) এবং (x2;y2) জানা থাকে, তাহলে এর দৈর্ঘ্য নিম্নরূপ গণনা করা উচিত। প্রথম বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি দ্বিতীয় বিন্দুর সমতলে স্থানাঙ্ক থেকে বিয়োগ করতে হবে। ফলাফল দুটি সংখ্যা হওয়া উচিত। এই সংখ্যার প্রতিটি বর্গ করা আবশ্যক, এবং তারপর এই বর্গক্ষেত্রের যোগফল খুঁজে পাওয়া আবশ্যক. ফলস্বরূপ সংখ্যা থেকে আপনাকে বর্গমূল বের করতে হবে, যা পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব হবে। যেহেতু এই পয়েন্টগুলি সেগমেন্টের শেষ, এই মানটি হবে এর দৈর্ঘ্য।
স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে একটি সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য কীভাবে বের করা যায় তার একটি উদাহরণ দেখা যাক। দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক রয়েছে (-1;2) এবং (4;7)। বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে পার্থক্য খুঁজে বের করার সময়, আমরা নিম্নলিখিত মানগুলি পাই: x = 5, y = 5। ফলস্বরূপ সংখ্যাগুলি সেগমেন্টের স্থানাঙ্ক হবে। তারপর আমরা প্রতিটি সংখ্যাকে বর্গ করে ফলাফলের যোগফল বের করি, এটি 50 এর সমান। আমরা এই সংখ্যার বর্গমূল নিই। ফলাফল হল: 2 এর 5টি মূল। এটি সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য।
স্থানাঙ্কের পদ্ধতি
এটি করার জন্য, আপনাকে একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য কীভাবে খুঁজে বের করতে হবে তা বিবেচনা করতে হবে। এটিই ইউক্লিডীয় স্থানের একটি অংশ হবে। এটি একটি সমতলের একটি অংশের দৈর্ঘ্যের মতো প্রায় একইভাবে পাওয়া যায়। ভেক্টর বিভিন্ন প্লেনে নির্মিত হয়. কিভাবে একটি ভেক্টর দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করতে?
- ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন এটি করার জন্য, আপনাকে এর শেষ বিন্দুর স্থানাঙ্ক থেকে এর শুরু বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি বিয়োগ করতে হবে।
- এর পরে, আপনাকে প্রতিটি ভেক্টর স্থানাঙ্ক বর্গ করতে হবে।
- তারপর আমরা বর্গাকার স্থানাঙ্ক যোগ করি।
- একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য খুঁজে পেতে, আপনাকে স্থানাঙ্কগুলির বর্গের সমষ্টির বর্গমূল নিতে হবে।
আসুন একটি উদাহরণ ব্যবহার করে গণনার অ্যালগরিদমটি দেখি। AB ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন। বিন্দু A এবং B এর নিম্নলিখিত স্থানাঙ্ক রয়েছে: A (1;6;3) এবং B (3;-1;7)। ভেক্টরের শুরু A বিন্দুতে, শেষটি B বিন্দুতে অবস্থিত। সুতরাং, এর স্থানাঙ্ক খুঁজে পেতে, বিন্দুর স্থানাঙ্ক থেকে A বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি বিয়োগ করতে হবে: (3 - 1; -1 - 6;7 - 3) = (2;- 7:4)।
এখন আমরা প্রতিটি স্থানাঙ্ককে বর্গক্ষেত্র করে যোগ করি: 4+49+16=69। অবশেষে, এটি প্রদত্ত সংখ্যার বর্গমূল নেয়। এটি নিষ্কাশন করা কঠিন, তাই আমরা ফলাফলটি এইভাবে লিখি: ভেক্টরের দৈর্ঘ্য 69 এর মূলের সমান।
যদি আপনার নিজের জন্য বিভাগ এবং ভেক্টরের দৈর্ঘ্য গণনা করা গুরুত্বপূর্ণ না হয়, তবে শুধুমাত্র ফলাফলের প্রয়োজন হয়, তাহলে আপনি একটি অনলাইন ক্যালকুলেটর ব্যবহার করতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ, এটি।
এখন, এই পদ্ধতিগুলি অধ্যয়ন করে এবং উপস্থাপিত উদাহরণগুলি বিবেচনা করার পরে, আপনি সহজেই যে কোনও সমস্যায় একটি অংশের দৈর্ঘ্য খুঁজে পেতে পারেন।
এই নিবন্ধে আমরা তার প্রান্তের স্থানাঙ্কগুলি থেকে একটি অংশের মাঝখানের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করার বিষয়ে কথা বলব। প্রথমে, আমরা প্রয়োজনীয় ধারণাগুলি দেব, তারপরে আমরা একটি সেগমেন্টের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করার জন্য সূত্রগুলি পাব এবং উপসংহারে আমরা সাধারণ উদাহরণ এবং সমস্যার সমাধান বিবেচনা করব।
পৃষ্ঠা নেভিগেশন.
একটি সেগমেন্টের মাঝখানের ধারণা।
একটি সেগমেন্টের মাঝখানের ধারণাটি চালু করার জন্য, আমাদের একটি সেগমেন্ট এবং এর দৈর্ঘ্যের সংজ্ঞা প্রয়োজন।
উচ্চ বিদ্যালয়ের পঞ্চম শ্রেণিতে গণিত পাঠে একটি সেগমেন্টের ধারণাটি নিম্নরূপ দেওয়া হয়েছে: যদি আমরা দুটি নির্বিচারে অ-সঙ্গতিপূর্ণ বিন্দু A এবং B গ্রহণ করি, তাদের সাথে একটি শাসক সংযুক্ত করুন এবং A থেকে B (বা B থেকে B) পর্যন্ত একটি রেখা আঁকুন A থেকে), তারপর আমরা পাই সেগমেন্ট AB(বা সেগমেন্ট B A)। পয়েন্ট A এবং B বলা হয় সেগমেন্টের শেষ. আমাদের মনে রাখা উচিত যে সেগমেন্ট AB এবং রেখাংশ BA একই সেগমেন্ট।
যদি রেখাংশ AB প্রান্ত থেকে উভয় দিকে অনির্দিষ্টকালের জন্য অব্যাহত থাকে, তাহলে আমরা পাব সোজা AB(বা সরাসরি VA)। সেগমেন্ট AB হল AB রেখার একটি অংশ, A এবং B বিন্দুর মধ্যে আবদ্ধ। এইভাবে, রেখাংশ AB হল A, B বিন্দুর মিলন এবং A এবং B বিন্দুর মধ্যে অবস্থিত সরলরেখা AB-এর সমস্ত বিন্দুর সেট। যদি আমরা A এবং B বিন্দুর মধ্যে অবস্থিত একটি রেখা AB এর একটি নির্বিচারে বিন্দু M নিই, তাহলে আমরা সেই বিন্দুটিকে M বলি মিথ্যা AB সেগমেন্টে।
সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য AB হল একটি নির্দিষ্ট স্কেলে A এবং B বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব (একক দৈর্ঘ্যের একটি অংশ)। আমরা রেখাংশ AB এর দৈর্ঘ্য হিসাবে চিহ্নিত করব।
সংজ্ঞা।
ডট সি বলা হয় সেগমেন্টের মধ্যবিন্দু AB, যদি এটি AB রেখাংশের উপর থাকে এবং এর প্রান্ত থেকে একই দূরত্বে থাকে।
অর্থাৎ, বিন্দু C যদি AB রেখাংশের মধ্যবিন্দু হয়, তাহলে এটি তার উপর অবস্থিত এবং।
এর পরে, আমাদের কাজ হবে AB সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা, যদি A এবং B বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি একটি স্থানাঙ্ক রেখায় বা একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমে দেওয়া হয়।
একটি স্থানাঙ্ক রেখার একটি অংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক।
আমাদেরকে একটি স্থানাঙ্ক রেখা Ox এবং এর উপর দুটি অ-সঙ্গত বিন্দু A এবং B দেওয়া যাক, যা বাস্তব সংখ্যার সাথে মিলে যায় এবং . বিন্দু C হল AB রেখাংশের মধ্যবিন্দু। চলুন C বিন্দুর স্থানাঙ্ক বের করি।
যেহেতু বিন্দু C হল রেখাংশ AB এর মাঝখানে, তাহলে সমতা সত্য। একটি স্থানাঙ্ক রেখার বিন্দু থেকে বিন্দু পর্যন্ত দূরত্ব বিভাগে, আমরা দেখিয়েছি যে বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব তাদের স্থানাঙ্কের পার্থক্যের মডুলাসের সমান, তাই, তারপর 
বা 
. সমতা থেকে আমরা স্থানাঙ্ক রেখায় AB রেখাংশের মাঝখানের স্থানাঙ্ক খুঁজে পাই: 
- এটি সেগমেন্টের প্রান্তের স্থানাঙ্কের অর্ধেক সমষ্টির সমান। দ্বিতীয় সমতা থেকে আমরা পাই, যা অসম্ভব, যেহেতু আমরা ভিন্ন বিন্দু A এবং B নিয়েছি।
তাই, প্রান্ত সহ AB রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করার সূত্রটির ফর্ম রয়েছে .
সমতলে একটি অংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক।
আসুন সমতলে একটি আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেম Оxyz চালু করি। আমাদের দুটি বিন্দু দেওয়া যাক এবং আমরা জানি যে বিন্দু C হল AB রেখাংশের মাঝখানে। আসুন স্থানাঙ্ক এবং বিন্দু C সন্ধান করি।
নির্মাণ দ্বারা, সোজা 
সমান্তরাল, এবং সমান্তরাল রেখাও 
, অতএব, দ্বারা থ্যালেসের উপপাদ্যসেগমেন্টের সমতা থেকে AC এবং CB সেগমেন্টের সমতা অনুসরণ করে এবং পাশাপাশি সেগমেন্ট এবং . অতএব, বিন্দুটি সেগমেন্টের মধ্যবিন্দু এবং a হল সেগমেন্টের মধ্যবিন্দু। তারপর, এই নিবন্ধের পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ দ্বারা এবং 
.
এই সূত্রগুলি ব্যবহার করে, আপনি AB রেখাংশের মাঝখানের স্থানাঙ্কগুলি গণনা করতে পারেন যেখানে A এবং B বিন্দুগুলি স্থানাঙ্ক অক্ষগুলির একটিতে বা স্থানাঙ্ক অক্ষগুলির একটিতে লম্ব সরলরেখায় অবস্থিত। আসুন মন্তব্য ছাড়াই এই কেসগুলি ছেড়ে দিন এবং গ্রাফিক চিত্রগুলি দিন।
এইভাবে, একটি সমতলে AB সেগমেন্টের মাঝখানে বিন্দুতে শেষ এবং স্থানাঙ্ক রয়েছে 
.
মহাকাশে সেগমেন্টের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক।
ত্রিমাত্রিক স্থানে একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম অক্সিজ চালু করা হোক এবং দুটি বিন্দু নির্দিষ্ট করা হোক 
এবং 
. আসুন C বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করার জন্য সূত্রগুলি গ্রহণ করি, যা AB রেখাংশের মধ্যবিন্দু।
আসুন সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক।
স্থানাঙ্ক অক্ষ Ox, Oy এবং Oz-এ যথাক্রমে A, B এবং C বিন্দুর অনুমান করা যাক।
থ্যালেসের উপপাদ্য অনুসারে, তাই বিন্দুগুলি হল সেগমেন্টের মধ্যবিন্দু 
যথাক্রমে তারপর (এই নিবন্ধের প্রথম অনুচ্ছেদ দেখুন)। তাই আমরা পেয়েছিলাম মহাকাশে তার প্রান্তের স্থানাঙ্ক থেকে একটি সেগমেন্টের মাঝখানের স্থানাঙ্ক গণনা করার সূত্র.
এই সূত্রগুলি এমন ক্ষেত্রেও প্রয়োগ করা যেতে পারে যেখানে A এবং B বিন্দুগুলি স্থানাঙ্ক অক্ষগুলির একটিতে বা স্থানাঙ্ক অক্ষগুলির একটিতে লম্ব সরলরেখায় থাকে, সেইসাথে যদি A এবং B বিন্দুগুলি স্থানাঙ্ক সমতলগুলির একটিতে বা একটিতে অবস্থিত থাকে সমতল সমতল সমতল সমতলগুলির একটির সমান্তরাল।
একটি অংশের মাঝখানের স্থানাঙ্কগুলি এর প্রান্তের ব্যাসার্ধ ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলির মাধ্যমে।
ভেক্টর বীজগণিতের দিকে বাঁক দিয়ে একটি রেখাংশের মাঝখানের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করার সূত্রগুলি সহজেই পাওয়া যেতে পারে।
সমতলে একটি আয়তক্ষেত্রাকার কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক সিস্টেম অক্সি দেওয়া যাক এবং বিন্দু C হল AB রেখাংশের মধ্যবিন্দু, এবং .
ভেক্টরের উপর অপারেশনের জ্যামিতিক সংজ্ঞা অনুসারে, সমতা 
(বিন্দু C হল ভেক্টরের উপর নির্মিত একটি সমান্তরালগ্রামের কর্ণগুলির ছেদ বিন্দু এবং , অর্থাৎ, বিন্দু C হল সমান্তরালগ্রামের কর্ণের মাঝখানে)। একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ভেক্টর স্থানাঙ্ক নিবন্ধে, আমরা খুঁজে পেয়েছি যে একটি বিন্দুর ব্যাসার্ধ ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি এই বিন্দুর স্থানাঙ্কের সমান, তাই, 
. তারপর, স্থানাঙ্কগুলিতে ভেক্টরগুলির উপর সংশ্লিষ্ট ক্রিয়াকলাপগুলি সম্পাদন করার পরে, আমাদের আছে। কিভাবে আমরা উপসংহার করতে পারি যে বিন্দু C এর স্থানাঙ্ক রয়েছে .
একেবারে একইভাবে, AB রেখাংশের মাঝখানের স্থানাঙ্কগুলি মহাশূন্যে এর প্রান্তগুলির স্থানাঙ্কগুলির মাধ্যমে পাওয়া যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, C যদি AB এবং রেখাংশের মাঝখানে হয়, তাহলে আমাদের আছে 
.
একটি সেগমেন্টের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক, উদাহরণ, সমাধান খুঁজে বের করা।
অনেক সমস্যায়, আপনাকে একটি সেগমেন্টের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজে পেতে সূত্র ব্যবহার করতে হবে। আসুন সবচেয়ে সাধারণ উদাহরণগুলির সমাধান দেখি।
আসুন একটি উদাহরণ দিয়ে শুরু করা যাক যার জন্য কেবল সূত্রটি প্রয়োগ করা প্রয়োজন।
উদাহরণ।
সমতলে দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে 
. AB রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজুন।
সমাধান।
বিন্দু C হল AB রেখাংশের মধ্যবিন্দু। এর স্থানাঙ্কগুলি A এবং B বিন্দুগুলির সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলির অর্ধেক সমষ্টির সমান: 
সুতরাং, AB রেখাংশের মাঝখানে স্থানাঙ্ক রয়েছে।
