Neki problemi iz fizike i matematike mogu se riješiti korištenjem svojstava brojevnih nizova. Dva najjednostavnija brojevna niza koja se uče u školama su algebarski i geometrijski. U ovom članku ćemo detaljnije pogledati pitanje kako pronaći zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije.
Geometrijska progresija
Ove riječi označavaju niz realnih brojeva čiji elementi a i zadovoljavaju izraz:
Ovdje je i broj elementa u nizu, r je konstantan broj koji se zove nazivnik.
Ova definicija pokazuje da, znajući bilo koji član progresije i njegov nazivnik, možete vratiti cijeli niz brojeva. Na primjer, ako je 10. element poznat, tada će se dijeljenjem sa r dobiti 9. element, zatim će se ponovnim dijeljenjem dobiti 8. i tako dalje. Ovi jednostavni argumenti nam omogućavaju da zapišemo izraz koji vrijedi za niz brojeva koji se razmatra:
Primjer progresije sa nazivnikom 2 bi bio sljedeći niz:
1, 2, 4, 8, 16, 32, ...
Ako je imenilac jednak -2, onda se dobija potpuno drugačiji niz:
1, -2, 4, -8, 16, -32, ...
Geometrijska progresija je mnogo brža od algebarske progresije, odnosno njeni članovi se brzo povećavaju i brzo smanjuju.
Zbir i uslova progresije
Za rješavanje praktičnih problema često je potrebno izračunati zbir nekoliko elemenata numeričkog niza koji se razmatra. Za ovaj slučaj vrijedi sljedeća formula:
S i = a 1 *(r i -1)/(r-1)
Može se vidjeti da za izračunavanje zbroja i članova trebate znati samo dva broja: a 1 i r, što je logično, jer oni jedinstveno određuju cijeli niz.
Opadajući niz i zbir njegovih članova
Sada razmotrimo poseban slučaj. Pretpostavićemo da modul nazivnika r ne prelazi jedan, odnosno -1 Zanimljivo je razmotriti opadajuću geometrijsku progresiju jer beskonačan zbir njenih članova teži konačnom realnom broju. Hajde da dobijemo formulu za zbir To je lako uraditi ako napišete izraz za S i dat u prethodnom pasusu. Imamo: S i = a 1 *(r i -1)/(r-1) Razmotrimo slučaj kada je i->∞. Pošto je modul nazivnika manji od 1, podizanjem na beskonačan stepen dobit će nula. Ovo se može provjeriti na primjeru r=0,5: 0,5 2 = 0,25; 0,5 3 = 0,125; ...., 0,5 20 = 0,0000009. Kao rezultat, zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije će poprimiti oblik: Ova formula se često koristi u praksi, na primjer, za izračunavanje površina figura. Također se koristi za rješavanje paradoksa Zenona iz Eleje s kornjačom i Ahilejem. Očigledno je da će razmatranje sume beskonačne geometrijske rastuće progresije (r>1) dovesti do rezultata S ∞ = +∞. Pokažimo kako primijeniti gornje formule na primjeru rješavanja problema. Poznato je da je zbir beskonačne geometrijske progresije 11. Štaviše, njen sedmi član je 6 puta manji od trećeg člana. Koji je prvi element za ovaj niz brojeva? Prvo, napišimo dva izraza za određivanje 7. i 3. elementa. Dobijamo: Podijelimo prvi izraz drugim i izrazimo imenilac, imamo: a 7 /a 3 = r 4 => r = 4 √(a 7 /a 3) Pošto je omjer sedmog i trećeg člana dat u iskazu problema, možete ga zamijeniti i pronaći r: r = 4 √(a 7 /a 3) = 4 √(1/6) ≈ 0,63894 Izračunali smo r na pet decimala. Kako je rezultirajuća vrijednost manja od jedan, progresija se smanjuje, što opravdava korištenje formule za njen beskonačan zbir. Zapišimo izraz za prvi član kroz zbir S ∞: U ovu formulu zamjenjujemo poznate vrijednosti i dobijamo odgovor: a 1 = 11*(1-0,63894) = 3,97166. Zenon iz Eleje je poznati grčki filozof koji je živeo u 5. veku pre nove ere. e. Brojni njeni apogeji ili paradoksi dosegli su danas, u kojima se formuliše problem beskonačno velikog i beskonačno malog u matematici. Jedan od Zenonovih poznatih paradoksa je nadmetanje Ahila i kornjače. Zenon je vjerovao da ako Ahilej kornjači da prednost u daljini, nikada je neće moći sustići. Na primjer, neka Ahil trči 10 puta brže od životinje koja puzi, a koja je, na primjer, 100 metara ispred njega. Kada ratnik pretrči 100 metara, kornjača puzi 10 metara, Ahilej nakon ponovnog pretrčavanja 10 metara vidi da kornjača puzi još 1 metar. Ovako možete raspravljati do beskonačnosti, razmak između konkurenata će se zaista smanjiti, ali kornjača će uvijek biti ispred. Naveo je Zenona do zaključka da kretanje ne postoji, a sva okolna kretanja objekata su iluzija. Naravno, starogrčki filozof nije bio u pravu. Rješenje paradoksa leži u činjenici da beskonačan zbir stalno opadajućih segmenata teži konačnom broju. U gornjem slučaju, za udaljenost koju je Ahilej pretrčao, dobijamo: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... Primjenjujući formulu za zbir beskonačne geometrijske progresije, dobivamo: S ∞ = 100 /(1-0,1) ≈ 111,111 metara Ovaj rezultat pokazuje da će Ahil sustići kornjaču kada pređe samo 11.111 metara. Stari Grci nisu znali kako da rade sa beskonačnim veličinama u matematici. Međutim, ovaj paradoks se može razriješiti ako obratimo pažnju ne na beskonačan broj praznina koje Ahilej mora savladati, već na konačan broj koraka koji trkaču treba da dostigne svoj cilj. Svrha časa: upoznati učenike sa novom vrstom niza - beskonačno opadajućom geometrijskom progresijom. Lekcija na temu “Beskonačno opadajuća geometrijska progresija” (algebra, 10. razred) Svrha lekcije: upoznavanje učenika sa novom vrstom niza - beskonačno opadajućom geometrijskom progresijom. Zadaci: formulisanje početne ideje o granici numeričkog niza; upoznavanje sa drugim načinom pretvaranja beskonačnih periodičnih razlomaka u obične koristeći formulu za zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije; razvoj intelektualnih kvaliteta ličnosti učenika kao što su logičko mišljenje, sposobnost evaluacije i generalizacije; negovanje aktivnosti, uzajamne pomoći, kolektivizma i interesovanja za predmet. Oprema: kompjuterska klasa, projektor, platno. Vrsta lekcije: lekcija - učenje nove teme. Tokom nastave I. Org. momenat. Navedite temu i svrhu lekcije. II. Ažuriranje znanja učenika. U 9. razredu ste učili aritmetičku i geometrijsku progresiju. Pitanja 1. Definicija aritmetička progresija.
(Aritmetička progresija je niz u kojem je svaki član Počevši od drugog, jednak je prethodnom članu dodanom istom broju). 2. Formula n th član aritmetičke progresije 3. Formula za zbir prvog n termini aritmetičke progresije. ( ili ) 4. Definicija geometrijske progresije. (Geometrijska progresija je niz brojeva koji nisu nula Svaki od njih, počevši od drugog, jednak je prethodnom članu pomnoženom sa Isti broj). 5. Formula br th član geometrijske progresije 6. Formula za zbir prvog n članovi geometrijske progresije. 7. Koje druge formule znate? (, Gdje ; ; ;
,
)
Zadaci 1. Aritmetička progresija je data formulom a n = 7 – 4n . Pronađite 10. (-33) 2. U aritmetičkoj progresiji a 3 = 7 i a 5 = 1 . Pronađite 4. (4) 3. U aritmetičkoj progresiji a 3 = 7 i a 5 = 1 . Pronađite 17 . (-35) 4. U aritmetičkoj progresiji a 3 = 7 i a 5 = 1 . Pronađite S 17. (-187) 5. Za geometrijsku progresijupronađite peti član. 6. Za geometrijsku progresiju nađi n-ti član. 7. Eksponencijalno b 3 = 8 i b 5 = 2. Nađi b 4 . (4) 8. Eksponencijalno b 3 = 8 i b 5 = 2. Naći b 1 i q. 9. Eksponencijalno b 3 = 8 i b 5 = 2. Pronađite S5. (62) III. Učenje nove teme(demonstracija prezentacije). Razmotrimo kvadrat sa stranicom jednakom 1. Nacrtajmo još jedan kvadrat čija je stranica upola manja od prvog kvadrata, zatim još jedan čija je stranica polovina drugog, zatim sljedeći, itd. Svaki put je stranica novog kvadrata jednaka polovini prethodnog. Kao rezultat toga, dobili smo niz stranica kvadrataformirajući geometrijsku progresiju sa nazivnikom.
I, što je jako važno, što više gradimo takvih kvadrata, to će biti manja stranica kvadrata. Na primjer , One. Kako se broj n povećava, termini progresije se približavaju nuli. Koristeći ovu sliku, možete razmotriti drugu sekvencu. Na primjer, redoslijed površina kvadrata: I opet, ako n raste neograničeno, tada se područje približava nuli koliko god želite. Pogledajmo još jedan primjer. Jednakostranični trokut sa stranicama jednakim 1 cm. Konstruirajmo sljedeći trokut sa vrhovima u sredinama stranica 1. trokuta, prema teoremi o srednjoj liniji trokuta - stranica 2. jednaka je polovini stranice prvog, stranica 3. jednaka je polovini stranice 2. itd. Ponovo dobijamo niz dužina stranica trouglova. U . Ako uzmemo u obzir geometrijsku progresiju sa negativni imenilac.
Zatim, opet, sa sve većim brojem n uslovi progresije se približavaju nuli. Obratimo pažnju na nazivnike ovih nizova. Svugdje su imenioci bili manji od 1 u apsolutnoj vrijednosti. Možemo zaključiti: geometrijska progresija će biti beskonačno opadajuća ako je modul njenog nazivnika manji od 1. Frontalni rad. definicija: Geometrijska progresija naziva se beskonačno opadajućim ako je modul njegovog nazivnika manji od jedan..
Koristeći definiciju, možete odlučiti da li je geometrijska progresija beskonačno opadajuća ili ne. Zadatak Da li je niz beskonačno opadajuća geometrijska progresija ako je dat formulom: Rješenje: Nađimo q. ;
;
;
.
ova geometrijska progresija je beskonačno opadajuća. b) ovaj niz nije beskonačno opadajuća geometrijska progresija. Razmotrite kvadrat sa stranom jednakom 1. Podijelite ga na pola, jednu od polovina na pola, itd. Površine svih rezultujućih pravokutnika formiraju beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju: Zbir površina svih pravokutnika dobijenih na ovaj način bit će jednak površini 1. kvadrata i jednak 1. Ali na lijevoj strani ove jednakosti nalazi se zbir beskonačnog broja članova. Razmotrimo zbir prvih n članova. Prema formuli za zbir prvih n članova geometrijske progresije, ona je jednaka.
Ako je n onda se neograničeno povećava ili . Stoga, tj. . Zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresijepostoji ograničenje sekvence S 1, S 2, S 3, …, S n, …. Na primjer, za napredovanje,
imamo Jer Zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresijemože se pronaći pomoću formule.
III. Razumijevanje i konsolidacija(izvršavanje zadataka). №13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.
IV. Rezimirajući. S kojim ste se nizom danas upoznali? Definirajte beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju. Kako dokazati da je geometrijska progresija beskonačno opadajuća? Dajte formulu za zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije. V. Domaći. 2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).
Da biste koristili preglede prezentacija, kreirajte Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com Svako treba da bude u stanju da dosledno razmišlja, sudi dokazima i pobija pogrešne zaključke: fizičar i pesnik, traktorista i hemičar. E. Kolman U matematici ne treba pamtiti formule, već procese mišljenja. V.P. Ermakov Lakše je pronaći kvadraturu kruga nego nadmudriti matematičara. Augustus de Morgan Koja bi nauka mogla biti plemenitija, vrednija divljenja, korisnija za čovječanstvo od matematike? Franklin Beskonačno opadajuća geometrijska progresija, ocjena 10 I. Aritmetičke i geometrijske progresije. Pitanja 1. Definicija aritmetičke progresije. Aritmetička progresija je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu dodanom istom broju. 2. Formula za n-ti član aritmetičke progresije. 3. Formula za zbir prvih n članova aritmetičke progresije. 4. Definicija geometrijske progresije. Geometrijska progresija je niz brojeva koji nisu nula, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom sa istim brojem 5. Formula za n-ti član geometrijske progresije. 6. Formula za zbir prvih n članova geometrijske progresije. II. Aritmetička progresija. Zadaci Aritmetička progresija je data formulom a n = 7 – 4 n Nađi a 10 . (-33) 2. U aritmetičkoj progresiji, a 3 = 7 i a 5 = 1. Pronađite 4. (4) 3. U aritmetičkoj progresiji a 3 = 7 i a 5 = 1. Pronađite 17 . (-35) 4. U aritmetičkoj progresiji, a 3 = 7 i a 5 = 1. Pronađite S 17. (-187) II. Geometrijska progresija. Zadaci 5. Za geometrijsku progresiju pronaći peti član 6. Za geometrijsku progresiju pronaći n-ti član. 7. U geometrijskoj progresiji b 3 = 8 i b 5 = 2. Nađi b 4 . (4) 8. U geometrijskoj progresiji b 3 = 8 i b 5 = 2. Naći b 1 i q. 9. U geometrijskoj progresiji b 3 = 8 i b 5 = 2. Pronađite S5. (62) definicija: Geometrijska progresija se naziva beskonačno opadajućom ako je modul njenog nazivnika manji od jedan. Zadatak br. 1 Da li je niz beskonačno opadajuća geometrijska progresija ako je data formulom: Rješenje: a) ova geometrijska progresija je beskonačno opadajuća. b) ovaj niz nije beskonačno opadajuća geometrijska progresija. Zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije je granica niza S 1, S 2, S 3, ..., S n, .... Na primjer, za progresiju imamo Budući da se zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije može pronaći pomoću formule Izvršavanje zadataka Nađite zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije sa prvim članom 3, drugim 0,3. 2. br. 13; br. 14; udžbenik, str.138 3. br.15(1;3); br.16(1;3) br.18(1;3); 4. br. 19; br. 20. S kojim ste se nizom danas upoznali? Definirajte beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju. Kako dokazati da je geometrijska progresija beskonačno opadajuća? Dajte formulu za zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije. Pitanja Čuveni poljski matematičar Hugo Steinhaus u šali tvrdi da postoji zakon koji je formuliran na sljedeći način: matematičar će to učiniti bolje. Naime, ako dvoje ljudi, od kojih je jedan matematičar, povjerite da obave bilo koji njima nepoznat posao, onda će rezultat uvijek biti sljedeći: matematičar će to učiniti bolje. Hugo Steinhaus 01/14/1887-02/25/1972 NUMERIČKI NISOVI VI § l48. Zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije Do sada, kada se govori o zbirovima, uvijek smo pretpostavljali da je broj članova u tim zbirovima konačan (na primjer, 2, 15, 1000, itd.). Ali kada se rješavaju neki problemi (posebno više matematike) mora se pozabaviti zbirom beskonačnog broja članova S= a
1 + a
2 + ... + a
n
+ ... . (1) Koji su to iznosi? A-prioritet zbir beskonačnog broja pojmova a
1 , a
2 , ..., a
n
, ... naziva se granica sume S n
prvo P
brojevi kada P
-> ∞
: S=S n
= (a
1 + a
2 + ... + a
n
). (2) Granica (2), naravno, može i ne mora postojati. Shodno tome, kažu da zbir (1) postoji ili ne postoji. Kako možemo saznati postoji li zbir (1) u svakom konkretnom slučaju? Zajednička odluka Ovo pitanje daleko prevazilazi okvire našeg programa. Međutim, postoji jedan važan poseban slučaj koji sada moramo razmotriti. Govorit ćemo o sabiranju pojmova beskonačno opadajuće geometrijske progresije. Neka a
1 , a
1 q
, a
1 q
2, ... je beskonačno opadajuća geometrijska progresija. To znači da | q
|< 1. Сумма первых P
uslovi ove progresije su jednaki Iz osnovnih teorema o granicama varijabli (vidi § 136) dobijamo: Ali 1 = 1, a qn
= 0. Dakle Dakle, zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije jednak je prvom članu ove progresije podijeljen sa jedan minus nazivnik ove progresije. 1) Zbir geometrijske progresije 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... jednak je a zbir geometrijske progresije je 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... jednako 2) Pretvorite jednostavan periodični razlomak 0,454545 ... u običan. Da biste riješili ovaj problem, zamislite ovaj razlomak kao beskonačan zbir: Desni deo Ova jednakost je zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije, čiji je prvi član jednak 45/100, a imenilac je 1/100. Zbog toga Koristeći opisanu metodu, također se može dobiti opšte pravilo pretvaranje prostih periodičnih razlomaka u obične (vidi Poglavlje II, § 38): Da biste pretvorili jednostavan periodični razlomak u običan razlomak, potrebno je učiniti sljedeće: u brojiocu stavite period decimalnog razlomka, a u nazivnik - broj koji se sastoji od devetki uzetih onoliko puta koliko ima znamenki u periodu decimalnog razlomka.
3) Pretvorite mješoviti periodični razlomak 0,58333 .... u običan razlomak. Zamislimo ovaj razlomak kao beskonačan zbir: Na desnoj strani ove jednakosti, svi članovi, počevši od 3/1000, formiraju beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju, čiji je prvi član jednak 3/1000, a imenilac je 1/10. Zbog toga Koristeći opisanu metodu, može se dobiti opšte pravilo za pretvaranje mešovitih periodičnih razlomaka u obične (videti Poglavlje II, § 38). Mi to namjerno ne predstavljamo ovdje. Nema potrebe da pamtite ovo glomazno pravilo. Mnogo je korisnije znati da se svaki mješoviti periodični razlomak može predstaviti kao zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije i određenog broja. I formula za zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije, morate, naravno, zapamtiti. Kao vežbu, predlažemo da, pored zadataka br. 995-1000 datih u nastavku, još jednom pogledate problem br. 301 § 38. Vježbe
995. Šta se naziva zbirom beskonačno opadajuće geometrijske progresije? 996. Nađi sume beskonačno opadajućih geometrijskih progresija: 997. Na kojim vrijednostima X
progresija da li se beskonačno smanjuje? Pronađite zbroj takve progresije. 998. U jednakostraničnom trouglu sa stranom A
novi trougao je upisan spajanjem središta njegovih stranica; novi trokut je upisan u ovaj trokut na isti način, i tako redom do beskonačnosti. a) zbir obima svih ovih trouglova; b) zbir njihovih površina. 999. Kvadrat sa stranom A
novi kvadrat se upisuje spajanjem sredina njegovih stranica; kvadrat je upisan u ovaj kvadrat na isti način, i tako redom ad beskonačno. Nađite zbir opsega svih ovih kvadrata i zbir njihovih površina. 1000. Sastavite beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju tako da je njen zbir jednak 25/4, a zbir kvadrata njegovih članova jednak 625/24. Dakle, hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer: Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju ih ima). Koliko god brojeva zapisali, uvijek možemo reći koji je prvi, koji drugi, i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva: Redoslijed brojeva je skup brojeva, od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj. Na primjer, za naš niz: Dodijeljeni broj je specifičan za samo jedan broj u nizu. Drugim riječima, u nizu nema broja od tri sekunde. Drugi broj (kao i ti broj) je uvijek isti. Broj sa brojem naziva se n-ti član niza. Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer,), a svaki član ovog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju ovog člana: . u našem slučaju: Najčešći tipovi progresije su aritmetička i geometrijska. U ovoj temi ćemo govoriti o drugoj vrsti - geometrijska progresija. Još u antičko doba, italijanski matematičar monah Leonardo iz Pize (poznatiji kao Fibonači) bavio se praktičnim potrebama trgovine. Monah je bio suočen sa zadatkom da odredi koji je najmanji broj utega koji se može koristiti za vaganje proizvoda? Fibonači u svojim radovima dokazuje da je takav sistem pondera optimalan: Ovo je jedna od prvih situacija u kojoj su se ljudi morali suočiti s geometrijskom progresijom, za koju ste vjerovatno već čuli i barem imate opšti koncept. Kada u potpunosti shvatite temu, razmislite zašto je takav sistem optimalan? Trenutno se u životnoj praksi geometrijska progresija manifestuje prilikom ulaganja novca u banku, kada se iznos kamate obračunava na iznos akumuliran na računu za prethodni period. Drugim riječima, ako stavite novac na oročeni depozit u štedionici, onda će se nakon godinu dana depozit povećati za prvobitni iznos, tj. novi iznos će biti jednak doprinosu pomnoženom sa. U narednoj godini ovaj iznos će se povećati za, tj. iznos koji se tada dobije ponovo će se pomnožiti sa i tako dalje. Slična situacija je opisana u problemima izračunavanja tzv složena kamata- procenat se uzima svaki put od iznosa koji se nalazi na računu, uzimajući u obzir prethodne kamate. O ovim zadacima ćemo malo kasnije. Postoji mnogo jednostavnijih slučajeva u kojima se primjenjuje geometrijska progresija. Na primjer, širenje gripe: jedna osoba je zarazila drugu osobu, oni su, pak, zarazili drugu osobu, tako da je drugi val infekcije osoba, a oni su, zauzvrat, zarazili drugu... i tako dalje. . Inače, finansijska piramida, isti MMM, je jednostavan i suv proračun zasnovan na svojstvima geometrijske progresije. Zanimljivo? Hajde da to shvatimo. Recimo da imamo niz brojeva: Odmah ćete odgovoriti da je to lako i da je naziv takvog niza aritmetička progresija s razlikom njegovih članova. sta kazes na ovo: Oduzmete li prethodni broj od sljedećeg broja, vidjet ćete da svaki put dobijete novu razliku (i tako dalje), ali niz definitivno postoji i lako ga je primijetiti - svaki sljedeći broj je puta veći od prethodnog! Ova vrsta niza brojeva se zove geometrijska progresija i određen je. Geometrijska progresija () je numerički niz, čiji je prvi član različit od nule, a svaki član, počevši od drugog, jednak je prethodnom, pomnoženom istim brojem. Ovaj broj se naziva nazivnik geometrijske progresije. Ograničenja da prvi član ( ) nije jednak i nisu slučajni. Pretpostavimo da ih nema, a prvi član je i dalje jednak, a q jednako, hmm.. neka bude, onda ispada: Slažete se da ovo više nije napredak. Kao što razumijete, dobit ćemo iste rezultate ako postoji bilo koji broj osim nule, a. U tim slučajevima jednostavno neće biti progresije, jer će cijeli niz brojeva biti ili sve nule, ili jedan broj, a svi ostali će biti nule. Hajdemo sada detaljnije o nazivniku geometrijske progresije, odnosno o. Ponovimo: - ovo je broj koliko puta se mijenja svaki naredni pojam? geometrijska progresija. Šta mislite da bi to moglo biti? Tako je, pozitivno i negativno, ali ne nula (o tome smo pričali malo više). Pretpostavimo da je naš pozitivan. Neka u našem slučaju, a. Koja je vrijednost drugog termina i? Na to možete lako odgovoriti: Tako je. Prema tome, ako, onda svi naredni termini progresije imaju isti predznak - oni su pozitivni. Šta ako je negativan? Na primjer, a. Koja je vrijednost drugog termina i? Ovo je sasvim druga priča Pokušajte da prebrojite uslove ove progresije. Koliko si dobio? Imam. Dakle, ako, onda se znaci članova geometrijske progresije izmjenjuju. Odnosno, ako vidite progresiju sa naizmjeničnim znakovima za njegove članove, tada je njen nazivnik negativan. Ovo znanje vam može pomoći da se testirate kada rješavate probleme na ovu temu. Sada malo vježbajmo: pokušajmo odrediti koji nizovi brojeva su geometrijska progresija, a koji aritmetička progresija: Jasno? Uporedimo naše odgovore: Vratimo se na našu posljednju progresiju i pokušajmo pronaći njen član, baš kao u aritmetičkom. Kao što ste možda pretpostavili, postoje dva načina da ga pronađete. Svaki član sukcesivno množimo sa. Dakle, th član opisane geometrijske progresije je jednak. Kao što ste već pretpostavili, sada ćete sami izvesti formulu koja će vam pomoći da pronađete bilo koji član geometrijske progresije. Ili ste ga već razvili za sebe, opisujući kako da pronađete tog člana korak po korak? Ako je tako, onda provjerite ispravnost vašeg razmišljanja. Ilustrirajmo ovo na primjeru pronalaženja th člana ove progresije: Drugim riječima: Sami pronađite vrijednost člana date geometrijske progresije. Desilo se? Uporedimo naše odgovore: Imajte na umu da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo uzastopno množili svaki prethodni član geometrijske progresije. Izvedena formula vrijedi za sve vrijednosti - i pozitivne i negativne. Provjerite ovo sami tako što ćete izračunati uvjete geometrijske progresije s sledeće uslove: , A. Jeste li brojali? Uporedimo rezultate: Slažem se da bi bilo moguće pronaći termin progresije na isti način kao i termin, međutim, postoji mogućnost pogrešnog izračunavanja. A ako smo već pronašli th član geometrijske progresije, što bi onda moglo biti jednostavnije od korištenja „skraćenog“ dijela formule. Nedavno smo govorili o tome da može biti ili veći ili manji od nule, međutim, postoje posebne vrijednosti za koje se naziva geometrijska progresija beskonačno opadajuća. Šta mislite zašto je dato ovo ime? Vidimo da je svaki naredni član manji od prethodnog za faktor, ali hoće li biti bilo kakvog broja? Odmah ćete odgovoriti - "ne". Zato se beskonačno smanjuje – smanjuje se i smanjuje, ali nikada ne postaje nula. Da bismo jasno razumjeli kako ovo izgleda vizualno, pokušajmo nacrtati graf našeg napredovanja. Dakle, za naš slučaj, formula ima sljedeći oblik: Na grafovima smo navikli crtati ovisnost o, dakle: Suština izraza se nije promijenila: u prvom unosu smo pokazali ovisnost vrijednosti člana geometrijske progresije od njegovog rednog broja, a u drugom unosu jednostavno smo uzeli vrijednost člana geometrijske progresije kao , i označio redni broj ne kao, već kao. Sve što ostaje da se uradi je da se napravi graf. Vidiš? Funkcija se smanjuje, teži nuli, ali je nikada ne prelazi, tako da je beskonačno opadajuća. Označimo naše tačke na grafu, a ujedno i šta znače koordinate i: Pokušajte shematski prikazati graf geometrijske progresije ako je i njegov prvi član jednak. Analizirajte u čemu je razlika s našim prethodnim grafikonom? Jeste li uspjeli? Evo grafikona do kojeg sam došao: Sada kada ste u potpunosti razumeli osnove teme geometrijske progresije: znate šta je to, znate kako da pronađete njen pojam, a takođe znate šta je beskonačno opadajuća geometrijska progresija, pređimo na njeno glavno svojstvo. Sjećate li se svojstva članova aritmetičke progresije? Da, da, kako pronaći vrijednost određenog broja progresije kada postoje prethodne i sljedeće vrijednosti pojmova ove progresije. Sjećaš li se? Ovo: Sada smo suočeni sa potpuno istim pitanjem za termine geometrijske progresije. Da bismo izveli takvu formulu, počnimo crtati i zaključivati. Vidjet ćete, vrlo je lako, a ako zaboravite, možete sami izvući. Uzmimo još jednu jednostavnu geometrijsku progresiju u kojoj znamo i. Kako pronaći? Sa aritmetičkom progresijom to je lako i jednostavno, ali šta je sa ovim? Zapravo, ni u geometriji nema ništa komplicirano - samo trebate zapisati svaku vrijednost koja nam je data prema formuli. Možete pitati, šta sada da radimo povodom toga? Da, vrlo jednostavno. Prvo, oslikajmo ove formule na slici i pokušajmo ih napraviti razne manipulacije doći do vrijednosti. Hajde da apstrahujemo od brojeva koji su nam dati, fokusirajmo se samo na njihov izraz kroz formulu. Moramo pronaći vrijednost označenu narandžastom bojom, znajući termine koji su joj susjedni. Pokušajmo proizvoditi s njima razne akcije, kao rezultat čega možemo dobiti. Dodatak. Iz ovog izraza, kao što vidite, ne možemo ga izraziti na bilo koji način, stoga ćemo pokušati drugu opciju - oduzimanje. Oduzimanje. Kao što vidite, ni to ne možemo izraziti, pa hajde da pomnožimo ove izraze jedan s drugim. Množenje. Sada pažljivo pogledajte šta imamo množenjem pojmova geometrijske progresije koja nam je data u poređenju sa onim što treba pronaći: Pogodite o čemu pričam? Tako je, da pronađemo moramo uzeti Kvadratni korijen od brojeva geometrijske progresije pored željenog pomnoženih jedan s drugim: Izvoli. Sami ste izveli svojstvo geometrijske progresije. Pokušajte upisati ovu formulu opšti pogled. Desilo se? Zaboravili ste uslov za? Razmislite zašto je to važno, na primjer, pokušajte sami izračunati. Šta će se dogoditi u ovom slučaju? Tako je, potpuna glupost jer formula izgleda ovako: Shodno tome, ne zaboravite ovo ograničenje. Sada izračunajmo koliko je to jednako Tačan odgovor - ! Ako niste zaboravili drugu prilikom izračunavanja moguće značenje, onda si super momak i možeš odmah da pređeš na trening, a ako si zaboravio pročitaj o čemu se govori u nastavku i obrati pažnju zašto je potrebno u odgovoru upisati oba korena. Nacrtajmo obje naše geometrijske progresije - jednu s vrijednošću, a drugu s vrijednošću i provjerimo da li obje imaju pravo na postojanje: Da bismo provjerili postoji li takva geometrijska progresija ili ne, potrebno je vidjeti da li su svi njeni dati pojmovi isti? Izračunajte q za prvi i drugi slučaj. Vidite zašto moramo napisati dva odgovora? Jer predznak pojma koji tražite zavisi od toga da li je pozitivan ili negativan! A pošto ne znamo šta je to, moramo da napišemo oba odgovora sa plusom i minusom. Sada kada ste savladali glavne tačke i izveli formulu za svojstvo geometrijske progresije, pronađite, saznajte i Uporedite svoje odgovore sa tačnim: Šta mislite, šta ako nam nisu date vrijednosti članova geometrijske progresije koji su susjedni željenom broju, već jednako udaljeni od njega. Na primjer, trebamo pronaći, i dati i. Možemo li koristiti formulu koju smo izveli u ovom slučaju? Pokušajte potvrditi ili opovrgnuti ovu mogućnost na isti način, opisujući od čega se svaka vrijednost sastoji, kao što ste učinili kada ste prvobitno izveli formulu, at. Sada ponovo pažljivo pogledajte. Iz ovoga možemo zaključiti da formula funkcionira ne samo sa susedima sa željenim terminima geometrijske progresije, ali i sa jednako udaljena od onoga što članovi traže. Dakle, naša početna formula ima oblik: Odnosno, ako smo u prvom slučaju to rekli, sada kažemo da može biti jednako bilo kojem prirodni broj, koji je manji. Glavna stvar je da je isti za oba data broja. Vježbajte na konkretnim primjerima, samo budite izuzetno oprezni! Odlučili? Nadam se da ste bili izuzetno pažljivi i da ste primijetili malu zamku. Hajde da uporedimo rezultate. U prva dva slučaja mirno primjenjujemo gornju formulu i dobivamo sljedeće vrijednosti: U trećem slučaju, nakon detaljnijeg ispitivanja serijski brojevi brojeva koji su nam dati, razumijemo da nisu jednako udaljeni od broja koji tražimo: to je prethodni broj, ali je uklonjen na poziciji, tako da nije moguće primijeniti formulu. Kako to riješiti? Zapravo i nije tako teško kao što se čini! Zapišimo od čega se sastoji svaki broj koji nam je dat i broj koji tražimo. Dakle, imamo i. Da vidimo šta možemo sa njima? Predlažem podjelu po. Dobijamo: Svoje podatke zamjenjujemo u formulu: Sljedeći korak koji možemo pronaći je - za ovo trebamo uzeti kubni korijen rezultirajućeg broja. Sada pogledajmo ponovo šta imamo. Imamo ga, ali ga moramo pronaći, a ono je zauzvrat jednako: Pronašli smo sve potrebne podatke za izračun. Zamijenite u formulu: Naš odgovor: . Pokušajte sami riješiti još jedan sličan problem: Koliko si dobio? Imam - . Kao što vidite, u suštini vam je potrebno zapamtite samo jednu formulu- . Sve ostalo možete sami povući bez ikakvih poteškoća u bilo koje vrijeme. Da biste to učinili, jednostavno napišite najjednostavniju geometrijsku progresiju na komad papira i zapišite čemu je jednak svaki od njegovih brojeva, prema gore opisanoj formuli. Sada pogledajmo formule koje nam omogućavaju da brzo izračunamo zbir članova geometrijske progresije u datom intervalu: Da biste izveli formulu za zbir članova konačne geometrijske progresije, pomnožite sve dijelove gornje jednadžbe sa. Dobijamo: Pogledajte pažljivo: šta je zajedničko poslednje dve formule? Tako je, zajednički članovi, na primjer, i tako dalje, osim prvog i posljednjeg člana. Pokušajmo oduzeti 1. od 2. jednačine. šta si dobio? Sada izrazite izraz geometrijske progresije kroz formulu i zamijenite rezultirajući izraz u našu posljednju formulu: Grupirajte izraz. Trebali biste dobiti: Sve što ostaje da se uradi je da izrazimo: Shodno tome, u ovom slučaju. Šta ako? Koja formula onda radi? Zamislite geometrijsku progresiju na. Kakva je ona? Niz identičnih brojeva je tačan, pa će formula izgledati ovako: Postoje mnoge legende o aritmetičkoj i geometrijskoj progresiji. Jedna od njih je legenda o Setu, tvorcu šaha. Mnogi ljudi znaju da je igra šaha izmišljena u Indiji. Kada ju je hinduistički kralj upoznao, bio je oduševljen njenom duhovitošću i raznolikošću mogućih pozicija u njoj. Saznavši da ga je izmislio jedan od njegovih podanika, kralj je odlučio da ga lično nagradi. Pozvao je pronalazača k sebi i naredio mu da traži od njega sve što želi, obećavajući da će ispuniti i najvještiju želju. Seta je tražio vremena za razmišljanje, a kada se sledećeg dana Seta pojavio pred kraljem, iznenadio je kralja neviđenom skromnošću svog zahteva. Tražio je da se da zrno pšenice za prvo polje šahovske table, zrno pšenice za drugo, zrno pšenice za treće, četvrto itd. Kralj se naljutio i otjerao Seta, rekavši da je molba sluge nedostojna kraljeve velikodušnosti, ali je obećao da će sluga dobiti svoja zrna za sva polja na tabli. A sada pitanje: koristeći formulu za zbir članova geometrijske progresije, izračunajte koliko zrna Set treba da dobije? Počnimo sa rasuđivanjem. Pošto je, prema uslovu, Set tražio zrno pšenice za prvo polje šahovske table, za drugo, za treće, za četvrto itd., onda vidimo da je problem oko geometrijske progresije. Šta je jednako u ovom slučaju? Ukupan broj kvadrata na šahovskoj tabli. Odnosno, . Imamo sve podatke, ostaje nam samo da ih ubacimo u formulu i izračunamo. Da bismo zamislili barem približno "skalu" datog broja, transformiramo koristeći svojstva stepena: Naravno, ako želite, možete uzeti kalkulator i izračunati koji broj ćete dobiti, a ako ne, morate mi vjerovati na riječ: konačna vrijednost izraza će biti. kvintilion kvadrilion trilion milijardi milijardi miliona hiljada. Fuj) Ako želite da zamislite ogromnu veličinu ovog broja, onda procenite kolika bi ambara bila potrebna da primi celokupnu količinu žita. Da je kralj jak u matematici, mogao je pozvati i samog naučnika da prebroji zrna, jer da bi prebrojao milion zrna, trebao bi mu barem dan neumornog brojanja, a s obzirom da je potrebno prebrojati kvintilione, zrna morao bi se računati tokom njegovog života. Sada ćemo riješiti jednostavan problem koji uključuje zbir članova geometrijske progresije. Dakle, prvi član geometrijske progresije je Vasya, odnosno osoba. Pojam geometrijske progresije su dvije osobe koje je zarazio prvog dana svog dolaska. ukupan iznosčlanova progresije jednak je broju učenika u 5A. Shodno tome, govorimo o progresiji u kojoj: Zamijenimo naše podatke u formulu za zbir članova geometrijske progresije: Cijeli razred će se razboljeti za nekoliko dana. Ne vjerujete formulama i brojevima? Pokušajte sami dočarati “zarazu” učenika. Desilo se? Pogledajte kako izgleda za mene: Izračunajte sami koliko bi dana trebalo da se učenici razbole od gripa da svaki zarazi osobu, a u razredu je samo jedna osoba. Koju vrijednost ste dobili? Ispostavilo se da su svi počeli da se razboljevaju nakon jednog dana. Kao što vidite, takav zadatak i crtež za njega nalikuju piramidi, u kojoj svaki sljedeći "dovodi" nove ljude. Međutim, prije ili kasnije dođe trenutak kada ovo drugo ne može nikoga privući. U našem slučaju, ako zamislimo da je klasa izolirana, osoba iz zatvara lanac (). Dakle, ako je osoba bila uključena u finansijske piramide, u kojem je novac dat ako dovedete još dva učesnika, zatim osobu (ili opšti slučaj) nikog ne bi doveo, pa bi zbog toga izgubili sve što su uložili u ovu finansijsku prevaru. Sve što je gore rečeno odnosi se na opadajuću ili rastuću geometrijsku progresiju, ali, kao što se sjećate, imamo poseban tip - beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju. Kako izračunati zbir njegovih članova? I zašto ova vrsta progresije ima određene karakteristike? Hajde da to shvatimo zajedno. Dakle, prvo, pogledajmo ponovo ovaj crtež beskonačno opadajuće geometrijske progresije iz našeg primjera: Pogledajmo sada formulu za sumu geometrijske progresije, izvedenu malo ranije: čemu težimo? Tako je, grafikon pokazuje da teži nuli. To jest, at, bit će gotovo jednaka, odnosno kada izračunamo izraz dobićemo skoro. S tim u vezi, smatramo da se pri izračunavanju sume beskonačno opadajuće geometrijske progresije ova zagrada može zanemariti, jer će biti jednaka. - formula je zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije. BITAN! Koristimo formulu za zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije samo ako uvjet eksplicitno kaže da trebamo pronaći zbir beskonačno broj članova. Ako je specificiran određeni broj n, tada koristimo formulu za zbir n članova, čak i ako je ili. Sada vježbajmo. Nadam se da ste bili izuzetno oprezni. Uporedimo naše odgovore: Sada znate sve o geometrijskoj progresiji i vrijeme je da pređete s teorije na praksu. Najčešći problemi s geometrijskom progresijom na koji se susreću na ispitu su problemi s izračunavanjem složene kamate. Ovo su oni o kojima ćemo govoriti. Vjerovatno ste čuli za takozvanu formulu složene kamate. Da li razumete šta to znači? Ako ne, hajde da to shvatimo, jer kada shvatite sam proces, odmah ćete shvatiti kakve veze ima geometrijska progresija s tim. Svi idemo u banku i znamo da ih ima različitim uslovima na depozite: ovo je rok, i dodatna usluga, i kamata sa dva Različiti putevi njegovi proračuni - jednostavni i složeni. WITH obična kamata sve je manje-više jasno: kamata se obračunava jednom na kraju roka depozita. Odnosno, ako kažemo da položimo 100 rubalja na godinu dana, onda će oni biti kreditirani tek na kraju godine. U skladu s tim, do kraja depozita dobit ćemo rublje. Složena kamata- ovo je opcija u kojoj se javlja kapitalizacija kamate, tj. njihovo dodavanje na iznos depozita i naknadni obračun prihoda ne od početnog, već od akumuliranog iznosa depozita. Kapitalizacija se ne dešava stalno, već sa određenom frekvencijom. Po pravilu, takvi periodi su jednaki i banke najčešće koriste mjesec, kvartal ili godinu. Pretpostavimo da godišnje deponujemo iste rublje, ali uz mjesečnu kapitalizaciju depozita. Šta mi radimo? Razumijete li sve ovdje? Ako ne, hajde da to shvatimo korak po korak. Doneli smo rublje u banku. Do kraja mjeseca na računu bi trebalo da imamo iznos koji se sastoji od naših rubalja plus kamate na njih, to jest: Slažem se? Možemo to izvaditi iz zagrada i onda dobijamo: Slažem se, ova formula je već sličnija onome što smo napisali na početku. Sve što je preostalo je izračunati procente U opisu problema nam je rečeno o godišnjim stopama. Kao što znate, mi ne množimo sa - mi pretvaramo procente u decimale, to je: zar ne? Sada možete pitati, odakle je došao broj? Veoma jednostavno! Shvatili ste? Sada pokušajte da napišete kako bi izgledao ovaj dio formule kada bih rekao da se kamata obračunava dnevno. Dobro urađeno! Vratimo se našem zadatku: napišite koliko će nam biti pripisano na račun u drugom mjesecu, s obzirom da se na akumulirani iznos depozita obračunava kamata. Ili, drugim riječima: Mislim da ste već primijetili uzorak i vidjeli geometrijsku progresiju u svemu tome. Napišite koliko će biti jednak njen član ili, drugim riječima, koji iznos novca ćemo dobiti na kraju mjeseca. Kao što vidite, ako stavite novac u banku na godinu dana uz prostu kamatu, dobićete rublje, a ako po složenoj kamatnoj stopi, dobit ćete rublje. Korist je mala, ali to se dešava samo u toku godine, ali za više dug period kapitalizacija je mnogo isplativija: Pogledajmo drugu vrstu problema koji uključuje složenu kamatu. Nakon onoga što ste shvatili, to će vam biti elementarno. Dakle, zadatak: Kompanija Zvezda počela je da investira u industriju 2000. godine, sa kapitalom u dolarima. Svake godine od 2001. godine ostvaruje dobit jednak kapitalu prethodne godine. Koliko će dobiti Zvezdina kompanija na kraju 2003. godine ako se dobit ne povuče iz prometa? Kapital kompanije Zvezda 2000. godine. Ili možemo ukratko napisati: Za naš slučaj: 2000, 2001, 2002 i 2003. odgovori: 2003, 2004, 2005, 2006, 2007. 2005, 2006, 2007. 1) Geometrijska progresija ( ) je numerički niz čiji je prvi član različit od nule, a svaki član, počevši od drugog, jednak je prethodnom, pomnoženom istim brojem. Ovaj broj se naziva nazivnik geometrijske progresije. 2) Jednačina članova geometrijske progresije je . 3) može uzeti bilo koju vrijednost osim i. 4) , sa - svojstvom geometrijske progresije (susedni pojmovi) ili Kada ga pronađete, nemojte to zaboraviti trebalo bi da postoje dva odgovora. Na primjer, 5) Zbir članova geometrijske progresije izračunava se po formuli: Ako je progresija beskonačno opadajuća, tada: BITAN! Koristimo formulu za zbir članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije samo ako uvjet eksplicitno kaže da trebamo pronaći zbir beskonačnog broja članova. 6) Problemi koji uključuju složenu kamatu se takođe izračunavaju pomoću formule za th član geometrijske progresije, pod uslovom da gotovina nisu povučeni iz prometa: Geometrijska progresija( ) je numerički niz čiji je prvi član različit od nule, a svaki član, počevši od drugog, jednak je prethodnom, pomnoženom istim brojem. Ovaj broj se zove nazivnik geometrijske progresije. Imenilac geometrijske progresije može uzeti bilo koju vrijednost osim i. Jednadžba pojmova geometrijske progresije - . Zbir članova geometrijske progresije izračunato po formuli: Lekcija na temu “Beskonačno opadajuća geometrijska progresija” (algebra, 10. razred)
Svrha lekcije: upoznavanje učenika sa novom vrstom niza - beskonačno opadajućom geometrijskom progresijom. Oprema: projektor, platno. Vrsta lekcije: lekcija - učenje nove teme. Tokom nastave I
. Org. momenat. Navedite temu i svrhu lekcije. II
. Ažuriranje znanja učenika. U 9. razredu ste učili aritmetičku i geometrijsku progresiju. Pitanja 1. Definicija aritmetičke progresije. (Aritmetička progresija je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu dodanom istom broju). 2. Formula n ti član aritmetičke progresije ( 3. Formula za zbir prvog n termini aritmetičke progresije. ( 4. Definicija geometrijske progresije. (Geometrijska progresija je niz brojeva koji nisu nula, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom istim brojem). 5. Formula n th član geometrijske progresije ( 6. Formula za zbir prvog nčlanovi geometrijske progresije. ( 7. Koje druge formule znate? ( 5. Za geometrijsku progresiju 6. Za geometrijsku progresiju 7. Eksponencijalno b
3
= 8
I b
5
= 2
. Nađi b
4
. (4) 8. Eksponencijalno b
3
= 8
I b
5
= 2
. Nađi b
1
I
q
. 9. Eksponencijalno b
3
= 8
I b
5
= 2
. Nađi S
5
. (62) III
. Učenje nove teme(demonstracija prezentacije). Razmotrimo kvadrat sa stranicom jednakom 1. Nacrtajmo još jedan kvadrat čija je stranica upola manja od prvog kvadrata, zatim još jedan čija je stranica polovina drugog, zatim sljedeći, itd. Svaki put je stranica novog kvadrata jednaka polovini prethodnog. Kao rezultat toga, dobili smo niz stranica kvadrata I, što je jako važno, što više gradimo takvih kvadrata, to će biti manja stranica kvadrata. Na primjer, One. Kako se broj n povećava, termini progresije se približavaju nuli. Koristeći ovu sliku, možete razmotriti drugu sekvencu. Na primjer, redoslijed površina kvadrata: Pogledajmo još jedan primjer. Jednakostranični trokut sa stranicama jednakim 1 cm. Konstruirajmo sljedeći trokut sa vrhovima u sredinama stranica 1. trokuta, prema teoremi o srednjoj liniji trokuta - stranica 2. jednaka je polovini stranice prvog, stranica 3. jednaka je polovini stranice 2. itd. Ponovo dobijamo niz dužina stranica trouglova. Ako uzmemo u obzir geometrijsku progresiju sa negativnim nazivnikom. Zatim, opet, sa sve većim brojem n uslovi progresije se približavaju nuli. Obratimo pažnju na nazivnike ovih nizova. Svugdje su imenioci bili manji od 1 u apsolutnoj vrijednosti. Možemo zaključiti: geometrijska progresija će biti beskonačno opadajuća ako je modul njenog nazivnika manji od 1. definicija:
Za geometrijsku progresiju se kaže da je beskonačno opadajuća ako je modul njenog nazivnika manji od jedan. Koristeći definiciju, možete odlučiti da li je geometrijska progresija beskonačno opadajuća ili ne. Zadatak Da li je niz beskonačno opadajuća geometrijska progresija ako je dat formulom: Rješenje: ova geometrijska progresija je beskonačno opadajuća. b) ovaj niz nije beskonačno opadajuća geometrijska progresija. Razmotrite kvadrat sa stranom jednakom 1. Podijelite ga na pola, jednu od polovina na pola, itd. Površine svih rezultujućih pravokutnika formiraju beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju: Zbir površina svih pravokutnika dobijenih na ovaj način bit će jednak površini 1. kvadrata i jednak 1.
Zadatak pronalaženja prvog člana progresije
Zenonov poznati paradoks sa brzim Ahilejem i sporom kornjačom
Zadaci:
formulisanje početne ideje o granici numeričkog niza;
upoznavanje sa drugim načinom pretvaranja beskonačnih periodičnih razlomaka u obične koristeći formulu za zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije;
razvoj intelektualnih kvaliteta ličnosti učenika kao što su logičko mišljenje, sposobnost evaluacije i generalizacije;
negovanje aktivnosti, uzajamne pomoći, kolektivizma i interesovanja za predmet.Skinuti:
Pregled:
Pregled:
Naslovi slajdova:
Geometrijska progresija. Sveobuhvatan vodič sa primjerima (2019)
Redoslijed brojeva
Zašto je potrebna geometrijska progresija i njena istorija?
Geometrijska progresija.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu- Stavimo to u opšti oblik i dobijemo:Beskonačno opadajuća geometrijska progresija.
Prvo, zapišimo neku geometrijsku progresiju koja se sastoji od pojmova.
Recimo onda:
Da vidimo šta imaš. Evo grafikona do kojeg sam došao:
Svojstvo geometrijske progresije.
Pokušajmo dodati dva izraza i dobićemo:
šta si dobio?
i shodno tome:
Dato: ,
Nađi:Zbir članova geometrijske progresije.
U redu.
To je:
Ako je štala m visoka i m široka, njena dužina bi se morala protezati za km, tj. duplo dalje nego od Zemlje do Sunca.
Učenik 5A razreda Vasja se razbolio od gripe, ali nastavlja da ide u školu. Svaki dan Vasya zarazi dvije osobe, koje zauzvrat zaraze još dvije osobe, itd. U razredu su samo ljudi. Za koliko dana će cijeli razred biti bolestan od gripe?
ili
Problemi sa obračunom složene kamate.
Ponavljam: izjava problema govori o ANNUAL kamata koja se akumulira MONTHLY. Kao što znate, za godinu dana, shodno tome, banka će nam naplatiti dio godišnje kamate mjesečno:
Jeste li uspjeli? Uporedimo rezultate:
Evo šta sam dobio:
Jeste li? Hajde da proverimo!
- kapital kompanije Zvezda 2001. godine.
- kapital kompanije Zvezda 2002. godine.
- kapital kompanije Zvezda 2003. godine.
odnosno:
rubalja
Napominjemo da u ovom zadatku nemamo podjelu ni po ni po, jer se procenat daje GODIŠNJE i obračunava se GODIŠNJE. Odnosno, kada čitate problem o složenoj kamati, obratite pažnju na to koji je procenat dat i u kom periodu se obračunava, pa tek onda pređite na obračun.
Sada znate sve o geometrijskoj progresiji.Trening.
Kompanija MDM Capital:
- povećava se za 100%, odnosno 2 puta.
odnosno:
rubalja
Kompanija MSK Cash Flows:
- povećava se za, odnosno za puta.
odnosno:
rubalja
rubaljaHajde da sumiramo.
, at (jednako udaljeni pojmovi)
ili
iliGEOMETRIJSKA PROGRESIJA. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA
ili
)
ili 
)
)
)
, Gdje 
; 
; 
; 
, 
)
pronađite peti član. 
nađi n th član. 
formiranje geometrijske progresije sa nazivnikom.
. I opet, ako n raste neograničeno, tada se područje približava nuli koliko god želite.
at 
.
.
; 
.. Naći ćemo q
.
; 
; 
; 
.
