Izvod funkcije je jedan od teške teme V školski program. Neće svaki diplomac odgovoriti na pitanje šta je derivat.
Ovaj članak na jednostavan i jasan način objašnjava što je derivat i zašto je potreban.. Nećemo sada težiti matematičkoj strogosti u prezentaciji. Najvažnije je razumjeti značenje.
Prisjetimo se definicije:
Izvod je stopa promjene funkcije.
Na slici su prikazani grafikoni tri funkcije. Šta mislite koji od njih raste brže?
Odgovor je očigledan - treći. Ima najveću stopu promjene, odnosno najveći derivat.
Evo još jednog primjera.
Kostya, Grisha i Matvey dobili su posao u isto vrijeme. Pogledajmo kako su im se prihodi promijenili tokom godine:
Grafikon prikazuje sve odjednom, zar ne? Kostijin prihod se više nego udvostručio za šest mjeseci. I Grišin prihod se također povećao, ali samo malo. A Matveyev prihod pao je na nulu. Početni uslovi su isti, ali brzina promjene funkcije, tj derivat, - drugačije. Što se tiče Matveya, njegov derivat prihoda je općenito negativan.
Intuitivno, lako procjenjujemo brzinu promjene funkcije. Ali kako da ovo uradimo?
Ono što zapravo gledamo je koliko strmo grafik funkcije ide nagore (ili naniže). Drugim riječima, koliko brzo se mijenja y kako se mijenja x? Očigledno, ista funkcija u različitim tačkama može imati drugačije značenje derivat – to jest, može se mijenjati brže ili sporije.
Derivat funkcije je označen .
Pokazat ćemo vam kako ga pronaći pomoću grafikona.
Nacrtan je graf neke funkcije. Uzmimo tačku sa apscisom na njoj. Nacrtajmo tangentu na graf funkcije u ovoj tački. Želimo procijeniti koliko strmo grafik funkcije ide gore. Pogodna vrijednost za ovo je tangenta tangentnog ugla.
Derivat funkcije u nekoj tački jednak je tangenti tangentnog ugla nacrtanog na graf funkcije u ovoj tački.
Imajte na umu da kao ugao nagiba tangente uzimamo ugao između tangente i pozitivnog smera ose.
Ponekad učenici pitaju šta je tangenta na graf funkcije. Ovo je prava linija koja ima jednu zajedničku tačku sa grafikom u ovom odeljku, kao što je prikazano na našoj slici. Izgleda kao tangenta na kružnicu.
Hajde da ga nađemo. Sjećamo se da je tangenta oštrog ugla u pravougaonog trougla jednak omjeru suprotne i susjedne strane. Iz trougla:
Izvod smo pronašli koristeći graf, a da nismo ni znali formulu funkcije. Takvi problemi se često nalaze na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike pod brojem.
Postoji još jedan važan odnos. Podsjetimo da je ravna linija data jednadžbom
Količina u ovoj jednačini se zove nagib prave linije. Jednaka je tangenti ugla nagiba prave linije prema osi.
.
Shvatili smo to
Prisjetimo se ove formule. Ona izražava geometrijsko značenje derivat.
Derivat funkcije u tački jednak je nagibu tangente povučene na graf funkcije u toj tački.
Drugim riječima, derivacija je jednaka tangentu ugla tangente.
Već smo rekli da ista funkcija može imati različite izvode u različitim tačkama. Pogledajmo kako je derivacija povezana s ponašanjem funkcije.
Nacrtajmo graf neke funkcije. Neka se ova funkcija povećava u nekim područjima, a smanjuje u drugim, i to različitim brzinama. I neka ova funkcija ima maksimum i minimum bodova.
U jednom trenutku funkcija se povećava. Tangenta na graf nacrtan u tački formira oštar ugao; sa pozitivnim smjerom ose. To znači da je izvod u tački pozitivan.
U trenutku kada se naša funkcija smanjuje. Tangenta u ovoj tački formira tupi ugao; sa pozitivnim smjerom ose. Pošto je tangenta tupog ugla negativna, derivacija u tački je negativna.
Evo šta se dešava:
Ako je funkcija rastuća, njen izvod je pozitivan.
Ako se smanjuje, njegov izvod je negativan.
Šta će se dogoditi na maksimalnim i minimalnim tačkama? Vidimo da je u tačkama (maksimalna tačka) i (tačka minimuma) tangenta horizontalna. Prema tome, tangenta tangente u ovim tačkama je nula, a derivacija je takođe nula.
Point - maksimalni poen. U ovom trenutku povećanje funkcije zamjenjuje se smanjenjem. Posljedično, predznak derivacije se mijenja u tački sa “plus” na “minus”.
U tački - minimalnoj tački - derivacija je također nula, ali se njen predznak mijenja sa "minus" na "plus".
Zaključak: pomoću izvoda možemo saznati sve što nas zanima o ponašanju funkcije.
Ako je izvod pozitivan, tada se funkcija povećava.
Ako je izvod negativan, tada se funkcija smanjuje.
U tački maksimuma, izvod je nula i mijenja predznak iz “plus” u “minus”.
U minimalnoj tački, derivacija je također nula i mijenja predznak iz “minus” u “plus”.
Zapišimo ove zaključke u obliku tabele:
| povećava | maksimalni poen | smanjuje | minimalna tačka | povećava | |
| + | 0 | - | 0 | + |
Hajde da napravimo dva mala pojašnjenja. Jedan od njih će vam trebati prilikom rješavanja problema. Drugi - na prvoj godini, sa ozbiljnijim proučavanjem funkcija i derivata.
Moguće je da je derivacija funkcije u nekoj tački jednaka nuli, ali funkcija nema ni maksimum ni minimum u ovoj tački. Ovo je tzv :
U tački, tangenta na graf je horizontalna, a derivacija je nula. Međutim, prije točke funkcija se povećala - a nakon točke nastavlja rasti. Predznak derivacije se ne mijenja - ostaje pozitivan kakav je bio.
Takođe se dešava da u tački maksimuma ili minimuma izvod ne postoji. Na grafikonu to odgovara oštrom prekidu, kada je nemoguće nacrtati tangentu u datoj tački.
Kako pronaći izvod ako funkcija nije data grafom, već formulom? U ovom slučaju se primjenjuje
Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.
Kao rezultat rješavanja problema pronalaženja izvoda najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i precizno definirana pravila diferencijacije. . Prvi koji su radili na polju pronalaženja derivata bili su Isak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Stoga, u naše vrijeme, da biste pronašli izvod bilo koje funkcije, ne morate izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već samo trebate koristiti tablicu derivati i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je pogodan za pronalaženje izvoda.
Da nađemo derivat, potreban vam je izraz pod predznakom rastaviti jednostavne funkcije na komponente i odredite koje akcije (proizvod, zbir, količnik) ove funkcije su povezane. Zatim pronalazimo izvode elementarnih funkcija u tabeli izvoda, a formule za izvode proizvoda, sume i količnika - u pravilima diferencijacije. Izvodna tablica i pravila diferencijacije dati su nakon prva dva primjera.
Primjer 1. Pronađite izvod funkcije
Rješenje. Iz pravila diferencijacije saznajemo da je derivacija zbira funkcija zbir izvoda funkcija, tj.
Iz tabele izvoda saznajemo da je izvod "x" jednak jedan, a izvod sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbir derivacija i pronalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:
Primjer 2. Pronađite izvod funkcije
Rješenje. Razlikujemo kao derivaciju sume u kojoj drugi član ima konstantan faktor; može se izvaditi iz predznaka izvoda:
Ako se i dalje postavljaju pitanja o tome odakle nešto dolazi, obično se razjasne nakon što se upoznate s tablicom izvedenica i najjednostavnijim pravilima diferencijacije. Prelazimo na njih upravo sada.
Tablica izvoda jednostavnih funkcija
| 1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek jednako nuli. Ovo je veoma važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno | |
| 2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "X". Uvek jednak jedan. Ovo je takođe važno zapamtiti dugo vremena | |
| 3. Derivat stepena. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u potencije. | |
| 4. Derivat varijable na stepen -1 | |
| 5. Derivat kvadratni korijen | |
| 6. Derivat sinusa | |
| 7. Derivat kosinusa |  |
| 8. Derivat tangente |  |
| 9. Derivat kotangensa |  |
| 10. Derivat od arcsinusa |  |
| 11. Derivat arc kosinusa |  |
| 12. Derivat arktangensa |  |
| 13. Derivat arc kotangensa |  |
| 14. Derivat prirodnog logaritma | |
| 15. Derivat logaritamske funkcije |  |
| 16. Derivat eksponenta | |
| 17. Derivat eksponencijalne funkcije |
Pravila diferencijacije
| 1. Derivat zbira ili razlike |  |
| 2. Derivat proizvoda |  |
| 2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom | |
| 3. Derivat količnika |  |
| 4. Derivat kompleksne funkcije |  |
Pravilo 1.Ako funkcije
su diferencibilne u nekoj tački, onda su funkcije diferencibilne u istoj tački
i
one. izvod algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.
Posljedica. Ako se dvije diferencijabilne funkcije razlikuju po konstantnom članu, onda su njihovi derivati jednaki, tj.
Pravilo 2.Ako funkcije
su diferencibilni u nekom trenutku, onda je njihov proizvod diferencibilan u istoj tački
i
one. Izvod proizvoda dvije funkcije jednak je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i derivacije druge.
Zaključak 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:
Zaključak 2. Derivat proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbroju proizvoda izvoda svakog faktora i svih ostalih.
Na primjer, za tri množitelja:
Pravilo 3.Ako funkcije
diferenciran u nekom trenutku I , onda je u ovom trenutku njihov količnik također diferenciranu/v , i
one. izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a nazivnik je kvadrat bivši brojilac.
Gdje tražiti stvari na drugim stranicama
Prilikom pronalaženja derivacije proizvoda i količnika u realnim problemima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, pa je u članku više primjera o tim izvodnicama"Derivat proizvoda i količnik funkcija".
Komentar. Ne treba brkati konstantu (tj. broj) kao pojam u zbiru i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana, njegov izvod je jednak nuli, a u slučaju konstantnog faktora uzet je iz predznaka izvoda. Ovo tipična greška, što se javlja u početnoj fazi proučavanja izvedenica, ali kako prosječan student rješava nekoliko jednodijelnih i dvodijelnih primjera, više ne pravi ovu grešku.
I ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, u kojem u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i, prema tome, cijeli član će biti jednak nuli (ovaj slučaj je razmatran u primjeru 10).
Ostalo uobičajena greška- mehaničko rješenje izvoda složene funkcije kao izvoda proste funkcije. Zbog toga derivat kompleksne funkcije posvećen je poseban članak. Ali prvo ćemo naučiti pronaći derivate jednostavne funkcije.
Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnik u novim prozorima. Akcije sa moćima i korijenima I Operacije sa razlomcima .
Ako tražite rješenja za izvode razlomaka sa potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda kao 
, zatim slijedi lekcija "Izvod zbira razlomaka sa potencijama i korijenima."
Ako imate zadatak kao 
, onda ćete uzeti lekciju “Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija”.
Korak po korak primjeri - kako pronaći derivat
Primjer 3. Pronađite izvod funkcije
Rješenje. Definiramo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja proizvod, a njegovi faktori su zbroji, u drugom od kojih jedan od pojmova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija derivacijom druge:
Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbira: derivacija algebarskog zbira funkcija jednaka je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbiru drugi član ima predznak minus. U svakom zbiru vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "X" se pretvara u jedan, a minus 5 u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi sa 2, tako da množimo dva sa istom jedinicom kao izvod "x". Dobijamo sljedeće derivacijske vrijednosti:
Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbir proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:
Primjer 4. Pronađite izvod funkcije
Rješenje. Od nas se traži da pronađemo izvod količnika. Primjenjujemo formulu za diferenciranje količnika: izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku, čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda od nazivnik, a imenilac je kvadrat prethodnog brojnika. Dobijamo:
Već smo pronašli derivaciju faktora u brojiocu u primjeru 2. Ne zaboravimo također da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet sa predznakom minus:
Ako tražite rješenja za probleme u kojima trebate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i potencija, kao što je npr. 
, onda dobro došli na čas "Derivat zbira razlomaka sa potencijama i korijenima" .
Ako trebate naučiti više o derivatima sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijske funkcije, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda lekcija za vas "Derivati jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .
Primjer 5. Pronađite izvod funkcije
Rješenje. U ovoj funkciji vidimo proizvod čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, čiji smo izvod upoznali u tabeli derivacija. Koristeći pravilo za razlikovanje proizvoda i tabelarne vrijednosti izvoda kvadratnog korijena, dobijamo:
Primjer 6. Pronađite izvod funkcije
Rješenje. U ovoj funkciji vidimo količnik čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Koristeći pravilo diferencijacije količnika, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarne vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobijamo:
Da biste se riješili razlomka u brojniku, pomnožite brojilac i imenilac sa .
Datum: 20.11.2014
Šta je derivat?
Tabela derivata.
Derivat je jedan od glavnih koncepata više matematike. U ovoj lekciji ćemo predstaviti ovaj koncept. Upoznajmo se, bez strogih matematičkih formulacija i dokaza.
Ovo poznanstvo će vam omogućiti da:
Razumjeti suštinu jednostavnih zadataka s izvedenicama;
Uspješno riješite ove najjednostavnije zadatke;
Pripremite se za ozbiljnije lekcije o izvedenicama.
Prvo - prijatno iznenađenje.)
Stroga definicija derivacije zasniva se na teoriji granica i stvar je prilično komplikovana. Ovo je uznemirujuće. Ali praktična primjena derivata, u pravilu, ne zahtijeva tako opsežno i duboko znanje!
Da biste uspješno obavili većinu zadataka u školi i na fakultetu, dovoljno je znati samo nekoliko termina- razumjeti zadatak, i samo nekoliko pravila- da to rešim. To je sve. Ovo me čini srećnim.
Hajde da počnemo da se upoznajemo?)
Termini i oznake.
U osnovnoj matematici postoji mnogo različitih matematičkih operacija. Zbrajanje, oduzimanje, množenje, stepenovanje, logaritam itd. Ako ovim operacijama dodate još jednu operaciju, elementarna matematika postaje viša. Ovo nova operacija pozvao diferencijaciju. O definiciji i značenju ove operacije raspravljat ćemo u zasebnim lekcijama.
Ovdje je važno razumjeti da je diferencijacija jednostavno matematička operacija nad funkcijom. Uzimamo bilo koju funkciju i, prema određenim pravilima, transformiramo je. Rezultat će biti nova funkcija. Ova nova funkcija se zove: derivat.
Diferencijacija- radnja na funkciji.
Derivat- rezultat ove akcije.
Baš kao npr. suma- rezultat sabiranja. Or privatni- rezultat podjele.
Poznavajući pojmove, možete barem razumjeti zadatke.) Formulacije su sljedeće: pronaći derivaciju funkcije; uzeti derivat; razlikovati funkciju; izračunaj derivat i tako dalje. Ovo je sve isto. Naravno, postoje i složeniji zadaci, gdje će nalaženje derivacije (diferencijacije) biti samo jedan od koraka u rješavanju problema.
Izvod je označen crticom u gornjem desnom uglu funkcije. Volim ovo: y" ili f"(x) ili S"(t) i tako dalje.
Čitanje igrik stroke, ef stroke from x, es stroke from te, pa razumes...)
Promet također može ukazivati na derivaciju određene funkcije, na primjer: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" itd. Često se derivati označavaju pomoću diferencijala, ali nećemo razmatrati takvu notaciju u ovoj lekciji.
Pretpostavimo da smo naučili da razumijemo zadatke. Ostaje samo da naučite kako ih riješiti.) Da vas podsjetim još jednom: pronalaženje derivacije je transformacija funkcije prema određenim pravilima. Iznenađujuće, vrlo je malo ovih pravila.
Da biste pronašli derivaciju funkcije, trebate znati samo tri stvari. Tri stuba na kojima stoji sva diferencijacija. Evo ova tri stuba:
1. Tabela derivacija (formule diferencijacije).
3. Derivat složena funkcija.
Počnimo redom. U ovoj lekciji ćemo pogledati tabelu izvedenica.
Tabela derivata.
U svijetu postoji beskonačan broj funkcija. Među ovim setom nalaze se funkcije koje su najvažnije za praktičnu upotrebu. Ove funkcije se nalaze u svim zakonima prirode. Od ovih funkcija, kao od cigli, možete konstruirati sve ostale. Ova klasa funkcija se zove elementarne funkcije. Upravo se te funkcije izučavaju u školi - linearne, kvadratne, hiperbola itd.
Diferencijacija funkcija "od nule", tj. Na osnovu definicije derivata i teorije granica, ovo je prilično radno intenzivna stvar. I matematičari su ljudi, da, da!) Pa su pojednostavili svoj (i nama) život. Izračunali su izvode elementarnih funkcija prije nas. Rezultat je tabela derivata, gdje je sve spremno.)
Evo ga, ova ploča za najpopularnije funkcije. lijevo - elementarna funkcija, desno je njegov derivat.
| Funkcija y |
Derivat funkcije y y" |
|
| 1 | C (konstantna vrijednost) | C" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n - bilo koji broj) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | sin x | (sin x)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - sin x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctan x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | a x |  |
| e x | ||
| 5 | log a x |  |
| ln x ( a = e) |
Preporučujem da obratite pažnju na treću grupu funkcija u ovoj tabeli derivata. Derivat funkcija snage- jedna od najčešćih formula, ako ne i najčešća! Shvaćate li nagovještaj?) Da, preporučljivo je znati tablicu izvedenica napamet. Usput, ovo nije tako teško kao što se čini. Pokušajte riješiti više primjera, sama tabela će se zapamtiti!)
Nađi vrijednost tabele derivat, kao što razumijete, zadatak nije najteži. Stoga vrlo često u takvim zadacima postoje dodatni čipovi. Ili u tekstu zadatka, ili u originalnoj funkciji, koje kao da nema u tabeli...
Pogledajmo nekoliko primjera:
1. Naći derivaciju funkcije y = x 3
Ne postoji takva funkcija u tabeli. Ali postoji derivat funkcije snage u opšti pogled(treća grupa). U našem slučaju n=3. Zato zamjenjujemo tri umjesto n i pažljivo zapisujemo rezultat:
(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
To je to.
odgovor: y" = 3x 2
2. Pronađite vrijednost izvoda funkcije y = sinx u tački x = 0.
Ovaj zadatak znači da prvo morate pronaći derivaciju sinusa, a zatim zamijeniti vrijednost x = 0 u samu ovu izvedenicu. Upravo tim redosledom! U suprotnom, desi se da odmah zamjene nulu u originalnu funkciju... Od nas se traži da pronađemo ne vrijednost originalne funkcije, već vrijednost njen derivat. Izvod je, da vas podsjetim, nova funkcija.
Pomoću tablete nalazimo sinus i odgovarajuću derivaciju:
y" = (sin x)" = cosx
Zamjenjujemo nulu u izvod:
y"(0) = cos 0 = 1
Ovo će biti odgovor.
3. Razlikujte funkciju:
Šta, nadahnjuje?) Ne postoji takva funkcija u tabeli izvedenica.
Dozvolite mi da vas podsjetim da je diferenciranje funkcije jednostavno pronaći izvod ove funkcije. Ako zaboravite elementarnu trigonometriju, traženje derivacije naše funkcije je prilično problematično. Tabela ne pomaže...
Ali ako vidimo da je naša funkcija kosinus dvostruki ugao , onda sve ide na bolje odmah!
Da da! Zapamtite transformaciju originalne funkcije prije diferencijacije sasvim prihvatljivo! I dešava se da život čini mnogo lakšim. Koristeći kosinusnu formulu dvostrukog ugla:
One. naša lukava funkcija nije ništa drugo do y = cosx. A ovo je tabela funkcija. Odmah dobijamo:
odgovor: y" = - sin x.
Primjer za napredne maturante i studente:
4. Pronađite izvod funkcije:
U tabeli derivata, naravno, nema takve funkcije. Ali ako se sjetite elementarne matematike, operacija sa potencijama... Onda je sasvim moguće pojednostaviti ovu funkciju. Volim ovo:
A x na stepen jedne desetine je već tabelarna funkcija! Treća grupa, n=1/10. Pišemo direktno prema formuli:
To je sve. Ovo će biti odgovor.
Nadam se da je sve jasno sa prvim stubom diferencijacije - tabelom izvedenica. Ostaje da se pozabavimo sa dva preostala kita. U sljedećoj lekciji naučit ćemo pravila diferencijacije.
Šta je derivat?
Definicija i značenje derivirane funkcije
Mnogi će biti iznenađeni neočekivanim smještajem ovog članka u moj autorski kurs o izvodu funkcije jedne varijable i njenim primjenama. Uostalom, kao što je to bilo još od škole: standardni udžbenik prije svega daje definiciju derivacije, njeno geometrijsko, mehaničko značenje. Zatim učenici pronalaze derivate funkcija po definiciji i, zapravo, tek tada usavršavaju tehniku diferencijacije koristeći derivativne tabele.
Ali sa moje tačke gledišta, sledeći pristup je pragmatičniji: pre svega, preporučljivo je DOBRO RAZUMEVATI granica funkcije, a posebno, beskonačno male količine. Činjenica je da definicija derivata je zasnovana na konceptu granice, što se slabo razmatra u školskom kursu. Zato značajan dio mladih potrošača granita znanja ne razumije samu suštinu derivata. Dakle, ako imate malo znanja o diferencijalnom računu ili imate mudar mozak za duge godine uspješno se riješio ovog prtljaga, počnite s ograničenja funkcije. Istovremeno, savladajte/zapamtite njihovo rješenje.
Isti praktični smisao nalaže da je prvo korisno naučite pronaći derivate, uključujući derivati složenih funkcija. Teorija je teorija, ali, kako kažu, uvijek se želi razlikovati. S tim u vezi, bolje je proraditi kroz navedene osnovne lekcije, a možda majstor diferencijacije a da nisu ni shvatili suštinu svojih postupaka.
Preporučujem da počnete s materijalima na ovoj stranici nakon čitanja članka. Najjednostavniji problemi sa izvedenicama, gdje se posebno razmatra problem tangente na graf funkcije. Ali možete čekati. Činjenica je da mnoge primjene derivata ne zahtijevaju njegovo razumijevanje, i nije iznenađujuće da se teorijska lekcija pojavila prilično kasno - kada sam trebao objasniti pronalaženje rastućih/opadajućih intervala i ekstrema funkcije. Štaviše, bio je na toj temi dosta dugo. Funkcije i grafovi“, sve dok konačno nisam odlučio da to stavim ranije.
Stoga, dragi čajnici, nemojte žuriti da upijate esenciju derivata poput gladnih životinja, jer će zasićenje biti neukusno i nepotpuno.
Koncept povećanja, smanjenja, maksimuma, minimuma funkcije
Mnogi nastavna sredstva doveo do koncepta derivacije koristeći neke praktične probleme, a došao sam i do zanimljivog primjera. Zamislite da nam predstoji put do grada do kojeg se može doći na različite načine. Hajdemo odmah da odbacimo zakrivljene vijugave staze i razmotrimo samo ravne autoputeve. Međutim, pravolinijski pravci su takođe različiti: do grada možete doći ravnom magistralom. Ili uz brdovitu magistralu - gore-dolje, gore-dolje. Drugi put ide samo uzbrdo, a drugi stalno nizbrdo. Ekstremni entuzijasti će izabrati rutu kroz klisuru sa strmom liticom i strmim usponom.
Ali bez obzira na vaše želje, preporučljivo je znati područje ili barem imati topografsku kartu. Šta ako takve informacije nedostaju? Uostalom, možete odabrati, na primjer, glatku stazu, ali kao rezultat naići na skijašku stazu s veselim Fincima. Nije činjenica da će navigator ili čak satelitski snimak pružiti pouzdane podatke. Stoga bi bilo lijepo formalizirati reljef puta pomoću matematike.
Pogledajmo neki put (pogled sa strane): 
Za svaki slučaj, podsjećam vas na elementarnu činjenicu: putovanja se dešavaju s lijeva na desno. Radi jednostavnosti, pretpostavljamo da je funkcija kontinuirano na području koje se razmatra.
Koje su karakteristike ovog grafikona?
U intervalima 
funkcija povećava, odnosno svaku sledeću njegovu vrednost više prethodni. Grubo govoreći, raspored je u toku dole gore(penjemo se na brdo). I na intervalu funkcija smanjuje– svaka sljedeća vrijednost manje prethodni, a naš raspored je u toku odozgo prema dolje(spuštamo se niz padinu).
Obratimo pažnju i na posebne tačke. Na tački do koje stižemo maksimum, to je postoji takav dio putanje gdje će vrijednost biti najveća (najviša). U istom trenutku to se postiže minimum, And postoji njegovu okolinu u kojoj je vrijednost najmanja (najniža).
U nastavi ćemo pogledati strožiju terminologiju i definicije. o ekstremima funkcije, ali za sada proučimo još jednu važna karakteristika: u intervalima 
funkcija se povećava, ali se povećava različitim brzinama. I prva stvar koja vam upada u oči je da graf raste u toku intervala mnogo kul, nego na intervalu . Da li je moguće izmjeriti strminu puta pomoću matematičkih alata?
Brzina promjene funkcije
Ideja je sledeća: hajde da uzmemo neku vrednost (čitaj "delta x"), koje ćemo nazvati povećanje argumenta, i počnimo "isprobavati" na različitim točkama na našem putu: 
1) Pogledajmo krajnju lijevu tačku: prelazeći razdaljinu, penjemo se uz padinu do visine (zelena linija). Količina se zove povećanje funkcije, i u u ovom slučaju ovaj prirast je pozitivan (razlika u vrijednostima duž ose je veća od nule). Hajde da napravimo omjer koji će biti mjera strmine našeg puta. Očigledno, ovo je vrlo specifičan broj, a budući da su oba prirasta pozitivna, onda .
Pažnja! Oznake su JEDAN simbol, to jest, ne možete "otkinuti" "deltu" od "X" i razmotriti ova slova odvojeno. Naravno, komentar se odnosi i na simbol povećanja funkcije.
Istražimo prirodu rezultujućeg razlomka smislenije. Budimo u početku na visini od 20 metara (na lijevoj crnoj tački). Prešavši udaljenost od metara (lijeva crvena linija), naći ćemo se na visini od 60 metara. Tada će inkrement funkcije biti 
metara (zelena linija) i: . dakle, na svakom metru ovom dijelu puta visina se povećava prosjek za 4 metra...zaboravio si opremu za penjanje? =) Drugim riječima, konstruirani odnos karakterizira PROSJEČNU STOPU PROMJENE (u ovom slučaju rast) funkcije.
Bilješka : numeričke vrijednosti Primjer koji se razmatra odgovara proporcijama crteža samo približno.
2) Sada idemo na istu udaljenost od krajnje desne crne tačke. Ovdje je porast postepeniji, tako da je prirast (crvena linija) relativno mali, a omjer u odnosu na prethodni slučaj će biti vrlo skroman. Relativno govoreći, 
metara i stopa rasta funkcije je . Odnosno, ovdje ima za svaki metar staze prosjek pola metra uspona.
3) Mala avantura na planini. Pogledajmo vrh crna tačka, koji se nalazi na osi ordinata. Pretpostavimo da je ovo oznaka od 50 metara. Ponovo savladavamo udaljenost, zbog čega se nalazimo niže - na nivou od 30 metara. S obzirom da je pokret izveden odozgo prema dolje(u "kontra" smjeru ose), zatim konačni prirast funkcije (visine) će biti negativan: 
metara (smeđi segment na crtežu). A u ovom slučaju već govorimo stopa smanjenja Karakteristike: 
, odnosno za svaki metar puta ove dionice visina se smanjuje prosjek za 2 metra. Vodite računa o svojoj odjeći na petoj tački.
Postavimo sebi pitanje: koju vrijednost “mjernog standarda” je najbolje koristiti? Potpuno je razumljivo, 10 metara je jako grubo. Na njih može lako stati desetak humoka. Bez obzira na neravnine, ispod može biti duboka klisura, a nakon nekoliko metara je njena druga strana sa daljim strmim usponom. Dakle, sa deset metara nećemo dobiti razumljiv opis ovakvih dionica puta kroz omjer .
Iz gornje rasprave slijedi sljedeći zaključak: kako manje vrijednosti , što preciznije opisujemo topografiju puta. Štaviše, istinite su sljedeće činjenice:
– Za bilo koga tačke podizanja 
možete odabrati vrijednost (čak i ako je vrlo mala) koja se uklapa u granice određenog porasta. To znači da će odgovarajući prirast visine biti zajamčeno pozitivan, a nejednakost će ispravno ukazati na rast funkcije u svakoj tački ovih intervala.
- Isto tako, za bilo koji tačka nagiba postoji vrijednost koja će u potpunosti stati na ovu padinu. Prema tome, odgovarajuće povećanje visine je jasno negativno, a nejednakost će ispravno pokazati smanjenje funkcije u svakoj tački datog intervala.
– Posebno je zanimljiv slučaj kada je brzina promjene funkcije nula: . Prvo, nulti porast visine () je znak glatke putanje. I drugo, postoje i druge zanimljive situacije čije primjere vidite na slici. Zamislite da nas je sudbina dovela do samog vrha brda sa orlovima koji lebde ili na dno jaruge sa graktanjem žaba. Ako napravite mali korak u bilo kojem smjeru, promjena visine će biti zanemariva, a možemo reći da je stopa promjene funkcije zapravo nula. Upravo je to slika koja je uočena na tačkama.
Tako smo došli do nevjerovatne prilike da savršeno precizno okarakteriziramo brzinu promjene funkcije. Nakon svega matematička analiza omogućava vam da usmjerite povećanje argumenta na nulu: , to jest, napravite ga infinitezimal.
Kao rezultat toga, postavlja se još jedno logično pitanje: da li je moguće pronaći cestu i njen raspored druga funkcija, koji će nas obavijestiti o svim ravnim dijelovima, usponima, padovima, vrhovima, dolinama, kao i stopi rasta/padanja na svakoj tački na putu?
Šta je derivat? Definicija derivata.
Geometrijsko značenje derivacije i diferencijala
Pročitajte pažljivo i ne prebrzo - materijal je jednostavan i dostupan svima! U redu je ako na nekim mjestima nešto nije jasno, uvijek se možete vratiti na članak kasnije. Reći ću više, korisno je proučiti teoriju nekoliko puta kako bi se sve stvari temeljno razumjele (savjet je posebno relevantan za „tehničke“ studente, kojima viša matematika igra značajnu ulogu u obrazovnom procesu).
Naravno, u samoj definiciji derivacije u jednoj tački zamjenjujemo je sa:
Do čega smo došli? I došli smo do zaključka da za funkciju po zakonu 
je u skladu druga funkcija, koji se zove derivirajuća funkcija(ili jednostavno derivat).
Izvod karakteriše stopa promjene funkcije Kako? Ideja teče kao crvena nit od samog početka članka. Hajde da razmotrimo neku tačku domenu definicije funkcije Neka je funkcija diferencibilna u datoj tački. onda:
1) Ako , tada funkcija raste u točki . I očigledno postoji interval(čak i vrlo mali), koji sadrži tačku u kojoj funkcija raste, a njen graf ide „odozdo prema vrhu“.
2) Ako , tada funkcija opada u točki . I postoji interval koji sadrži tačku u kojoj funkcija opada (grafikon ide od vrha do dna).
3) Ako , onda beskonačno blizu blizu tačke funkcija održava konstantnu brzinu. To se događa, kao što je navedeno, sa konstantnom funkcijom i na kritičnim tačkama funkcije, posebno na minimalnim i maksimalnim tačkama.
Malo semantike. Šta znači glagol „diferencirati“ u širem smislu? Razlikovati znači istaknuti osobinu. Diferenciranjem funkcije „izoliramo“ stopu njene promjene u obliku derivacije funkcije. Šta, uzgred, znači riječ „derivacija“? Funkcija dogodilo od funkcije.
Pojmovi se vrlo uspješno tumače mehaničkim značenjem izvedenice
:
Razmotrimo zakon promjene koordinata tijela, ovisno o vremenu, i funkciju brzine kretanja dato telo. Funkcija karakterizira brzinu promjene koordinata tijela, stoga je prvi izvod funkcije s obzirom na vrijeme: . Da koncept "pokretanja tijela" ne postoji u prirodi, onda ga ne bi bilo derivat koncept "brzine tijela".
Ubrzanje tijela je brzina promjene brzine, dakle: 
. Da prvobitni koncepti "kretanja tijela" i "brzine tijela" ne postoje u prirodi, onda ne bi postojali derivat koncept “ubrzanja tijela”.
Definicija. Neka je funkcija \(y = f(x)\) definirana u određenom intervalu koji sadrži tačku \(x_0\). Dajmo argumentu inkrement \(\Delta x \) tako da ne napušta ovaj interval. Nađimo odgovarajući prirast funkcije \(\Delta y \) (kada se krećemo od tačke \(x_0 \) do tačke \(x_0 + \Delta x \)) i sastavimo relaciju \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Ako postoji ograničenje za ovaj omjer na \(\Delta x \rightarrow 0\), tada se navedena granica naziva derivat funkcije\(y=f(x) \) u tački \(x_0 \) i označimo \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Simbol y se često koristi za označavanje izvoda. Imajte na umu da je y" = f(x) nova funkcija, ali prirodno povezana sa funkcijom y = f(x), definiranom u svim točkama x u kojima postoji gornja granica. Ova funkcija se zove ovako: derivacija funkcije y = f(x).
Geometrijsko značenje derivacije je kako slijedi. Ako je moguće nacrtati tangentu na graf funkcije y = f(x) u tački sa apscisom x=a, koja nije paralelna sa y-osi, tada f(a) izražava nagib tangente :
\(k = f"(a)\)
Pošto je \(k = tg(a) \), onda je jednakost \(f"(a) = tan(a) \) tačna.
Protumačimo sada definiciju derivacije sa stanovišta približnih jednakosti. Neka funkcija \(y = f(x)\) ima izvod u određenoj tački \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To znači da je blizu tačke x približna jednakost \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), tj. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Smisaono značenje rezultirajuće približne jednakosti je sljedeće: prirast funkcije je „gotovo proporcionalan“ prirastu argumenta, a koeficijent proporcionalnosti je vrijednost derivacije u dati poen X. Na primjer, za funkciju \(y = x^2\) vrijedi približna jednakost \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Ako pažljivo analiziramo definiciju derivacije, otkrićemo da ona sadrži algoritam za njeno pronalaženje.
Hajde da to formulišemo.
Kako pronaći derivaciju funkcije y = f(x)?
1. Popravite vrijednost \(x\), pronađite \(f(x)\)
2. Dajte argumentu \(x\) povećanje \(\Delta x\), idite na novu tačku \(x+ \Delta x \), pronađite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Pronađite prirast funkcije: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Kreirajte relaciju \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Izračunajte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ova granica je derivacija funkcije u tački x.
Ako funkcija y = f(x) ima izvod u tački x, onda se naziva diferencijabilna u tački x. Poziva se postupak za pronalaženje izvoda funkcije y = f(x). diferencijaciju funkcije y = f(x).
Razgovarajmo o sljedećem pitanju: kako su kontinuitet i diferencijabilnost funkcije u nekoj tački međusobno povezani?
Neka je funkcija y = f(x) diferencijabilna u tački x. Tada se tangenta može povući na graf funkcije u tački M(x; f(x)), i, podsjetimo, kutni koeficijent tangente je jednak f"(x). Takav graf se ne može „lomiti“ u tački M, tj. funkcija mora biti kontinuirana u tački x.
To su bili „praktični“ argumenti. Hajde da damo rigoroznije rezonovanje. Ako je funkcija y = f(x) diferencijabilna u tački x, tada vrijedi približna jednakost \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Ako u ovoj jednakosti \(\Delta x \) teži nuli, tada će \(\Delta y\) težiti nuli, a to je uslov za kontinuitet funkcije u tački.
dakle, ako je funkcija diferencijabilna u tački x, tada je u toj tački kontinuirana.
Obrnuta izjava nije tačna. Na primjer: funkcija y = |x| je kontinuirano svuda, posebno u tački x = 0, ali tangenta na graf funkcije u “tački spajanja” (0; 0) ne postoji. Ako se u nekom trenutku tangenta ne može povući na graf funkcije, onda izvod ne postoji u toj tački.
Još jedan primjer. Funkcija \(y=\sqrt(x)\) je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, uključujući u tački x = 0. A tangenta na graf funkcije postoji u bilo kojoj tački, uključujući i tačku x = 0 Ali u ovoj tački tangenta se poklapa sa y-osom, tj. okomita je na osu apscise, njena jednadžba ima oblik x = 0. Takva prava linija nema koeficijent ugla, što znači da je \(f "(0)\) ne postoji.
Dakle, upoznali smo se sa novim svojstvom funkcije - diferencijabilnošću. Kako se iz grafa funkcije može zaključiti da je diferencibilna?
Odgovor je zapravo dat gore. Ako je u nekom trenutku moguće povući tangentu na graf funkcije koja nije okomita na osu apscise, tada je funkcija diferencibilna. Ako u nekom trenutku tangenta na graf funkcije ne postoji ili je okomita na osu apscise, tada funkcija nije diferencibilna.
Pravila diferencijacije
Operacija pronalaženja derivacije se zove diferencijaciju. Prilikom izvođenja ove operacije često morate raditi s količnikima, zbrojima, produktima funkcija, kao i "funkcijama funkcija", odnosno složenim funkcijama. Na osnovu definicije derivacije, možemo izvesti pravila diferencijacije koja olakšavaju ovaj rad. Ako je C konstantan broj i f=f(x), g=g(x) su neke diferencibilne funkcije, onda je sljedeće istinito pravila diferencijacije:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
