povećanje na intervalu \(X\) ako za bilo koje \(x_1, x_2\u X\) tako da je \(x_1

Funkcija se poziva neopadajući

\(\blacktriangleright\) Poziva se funkcija \(f(x)\). opadajući na intervalu \(X\) ako za bilo koje \(x_1, x_2\u X\) tako da je \(x_1 f(x_2)\) .

Funkcija se poziva bez povećanja na intervalu \(X\) ako za bilo koje \(x_1, x_2\u X\) tako da je \(x_1

\(\blacktriangleright\) Pozivaju se rastuće i opadajuće funkcije strogo monotono, a nerastući i neopadajući su jednostavno monotono.

\(\crni trougao desno\) Glavna svojstva:

I. Ako je funkcija \(f(x)\) striktno monotona na \(X\) , tada iz jednakosti \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\) ) slijedi \(f( x_1)= f(x_2)\) , i obrnuto.

Primjer: funkcija \(f(x)=\sqrt x\) je striktno rastuća za sve \(x\in \), stoga jednačina \(x^2=9\) ima najviše jedno rješenje na ovom intervalu, odnosno jedan: \(x=-3\) .

funkcija \(f(x)=-\dfrac 1(x+1)\) je strogo rastuća za sve \(x\in (-1;+\infty)\) , tako da je jednadžba \(-\dfrac 1 (x +1)=0\) nema više od jednog rješenja na ovom intervalu, odnosno nijedno, jer brojilac lijeve strane nikada ne može biti jednak nuli.

III. Ako je funkcija \(f(x)\) neopadajuća (nerastuća) i kontinuirana na segmentu \(\), a na krajevima segmenta uzima vrijednosti \(f(a)= A, f(b)=B\), tada za \(C\in \) (\(C\in \) ) jednačina \(f(x)=C\) uvijek ima barem jedno rješenje.

Primjer: funkcija \(f(x)=x^3\) je strogo rastuća (tj. strogo monotona) i kontinuirana za sve \(x\in\mathbb(R)\) , dakle za bilo koje \(C\ u ( -\infty;+\infty)\) jednačina \(x^3=C\) ima tačno jedno rješenje: \(x=\sqrt(C)\) .

Zadatak 1 #3153

Nivo zadatka: Lakši od Jedinstvenog državnog ispita

ima tačno dva korena.

Prepišimo jednačinu kao: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\] Razmotrimo funkciju \(f(t)=t^3+t\) . Tada će jednačina biti prepisana u obliku: \ Proučimo funkciju \(f(t)\) . \ Prema tome, funkcija \(f(t)\) raste za sve \(t\) . To znači da svaka vrijednost funkcije \(f(t)\) odgovara tačno jednoj vrijednosti argumenta \(t\) . Dakle, da bi jednadžba imala korijen, potrebno je: \ Da bi rezultirajuća jednačina imala dva korijena, njen diskriminant mora biti pozitivan: \

odgovor:

\(\lijevo(-\infty;\dfrac1(12)\desno)\)

Zadatak 2 #2653

Nivo zadatka: jednak Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) za koje je jednadžba \

ima dva korena.

(Zadatak od pretplatnika.)

Napravimo zamjenu: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Tada će jednačina poprimiti oblik: \ Razmotrimo funkciju \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . Tada će naša jednadžba poprimiti oblik: \

Nađimo derivat \ Imajte na umu da je za sve \(w\ne 0\) derivacija \(f"(w)>0\) , jer \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . da je sama funkcija \(f(w)\) definirana za sve \(w\) . Pošto je \(f(w)\) kontinuirano, možemo zaključiti da se \(f (w)\) povećava u cjelini. \(\mathbb(R)\) .
To znači da je jednakost \(f(t)=f(u)\) moguća ako i samo ako je \(t=u\) . Vratimo se na originalne varijable i riješimo rezultirajuću jednadžbu:

\ Da bi ova jednadžba imala dva korijena, ona mora biti kvadratna i njen diskriminanta mora biti pozitivna:

\[\begin(slučajevi) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(slučajevi) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

odgovor:

\((-\infty;1)\cup(1;2)\)

Zadatak 3 #3921

Nivo zadatka: jednak Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve pozitivne vrijednosti parametra \(a\) za koje je jednadžba

ima najmanje \(2\) rješenja.

Pomaknimo sve pojmove koji sadrže \(ax\) ulijevo, a one koji sadrže \(x^2\) udesno i razmotrimo funkciju
\

Tada će originalna jednadžba poprimiti oblik:
\

Nađimo derivat:
\

Jer \((t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0\), zatim \(f"(t)\geqslant 0\) za bilo koji \(t\in \mathbb(R)\) .

Štaviše, \(f"(t)=0\) ako je \((t-2)^2=0\) i \(1+\cos(2t)=0\) u isto vrijeme, što nije tačno za bilo koji \ (t\) . Dakle, \(f"(t)> 0\) za bilo koji \(t\in \mathbb(R)\) .

Dakle, funkcija \(f(t)\) je striktno rastuća za sve \(t\in \mathbb(R)\) .

To znači da je jednačina \(f(ax)=f(x^2)\) ekvivalentna jednačini \(ax=x^2\) .

Jednačina \(x^2-ax=0\) za \(a=0\) ima jedan korijen \(x=0\), a za \(a\ne 0\) ima dva razni koreni\(x_1=0\) i \(x_2=a\) .
Moramo pronaći vrijednosti \(a\) pri kojima će jednadžba imati najmanje dva korijena, također uzimajući u obzir činjenicu da je \(a>0\) .
Dakle, odgovor je: \(a\in (0;+\infty)\) .

odgovor:

\((0;+\infty)\) .

Zadatak 4 #1232

Nivo zadatka: jednak Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih je jednadžba \

ima jedinstveno rešenje.

Pomnožimo desnu i lijevu stranu jednačine sa \(2^(\sqrt(x+1))\) (pošto \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) i prepišimo jednačinu u obliku: \

Razmotrite funkciju \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\) za \(t\geqslant 0\) (pošto \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) ).

Derivat \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\desno)\).

Jer \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) za sve \(t\geqslant 0\) , tada \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

Kao posljedica toga, kao \(t\geqslant 0\) funkcija \(y\) monotono opada.

Jednačina se može posmatrati u obliku \(y(t)=y(z)\) , gdje je \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . Iz monotonosti funkcije slijedi da je jednakost moguća samo ako je \(t=z\) .

To znači da je jednačina ekvivalentna jednadžbi: \(ax=\sqrt(x+1)\), koja je zauzvrat ekvivalentna sistemu: \[\početak(slučajevi) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(slučajevi)\]

Kada je \(a=0\) sistem ima jedno rješenje \(x=-1\) koje zadovoljava uvjet \(ax\geqslant 0\) .

Razmotrimo slučaj \(a\ne 0\) . Diskriminanta prve jednadžbe sistema \(D=1+4a^2>0\) za sve \(a\) . Prema tome, jednadžba uvijek ima dva korijena \(x_1\) i \(x_2\), i različitog su predznaka (jer prema Vietovoj teoremi \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\) ).

To znači da za \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) uslov je zadovoljen pozitivnim korijenom. Stoga sistem uvijek ima jedinstveno rješenje.

Dakle, \(a\in \mathbb(R)\) .

odgovor:

\(a\in \mathbb(R)\) .

Zadatak 5 #1234

Nivo zadatka: jednak Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih je jednadžba \

ima barem jedan korijen iz segmenta \([-1;0]\) .

Razmotrite funkciju \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\) za neke fiksne \(a\) . Nađimo njen derivat: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\).

Imajte na umu da je \(f"(x)\geqslant 0\) za sve vrijednosti \(x\) i \(a\) , i da je jednako \(0\) samo za \(x=a=1 Ali za \(a=1\) :
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Strelica desno f(x)=2(x-1)^3 \Strelica desno\) jednadžba \(2(x-1)^3=0\) ima jedan korijen \(x=1\) koji ne zadovoljava uvjet. Stoga, \(a\) ne može biti jednako \(1\) .

To znači da je za sve \(a\ne 1\) funkcija \(f(x)\) striktno rastuća, dakle, jednačina \(f(x)=0\) ne može imati više od jednog korijena. Uzimajući u obzir svojstva kubične funkcije, graf \(f(x)\) za neki fiksni \(a\) će izgledati ovako:

To znači da da bi jednadžba imala korijen segmenta \([-1;0]\), potrebno je: \[\početak(slučajevi) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(slučajevi) \Desno \begin(slučajevi) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(slučajevi) \Rightarrow \begin(slučajevi) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(slučajevi) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Dakle, \(a\in [-2;0]\) .

odgovor:

\(a\u [-2;0]\) .

Zadatak 6 #2949

Nivo zadatka: jednak Jedinstvenom državnom ispitu

Pronađite sve vrijednosti parametra \(a\) , za svaku od kojih je jednadžba \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

ima korene.

(Zadatak od pretplatnika)

ODZ jednadžbe: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). Stoga, da bi jednadžba imala korijen, potrebno je da barem jedna od jednadžbi \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(or)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\] imao odluke o ODZ-u.

1) Razmotrite prvu jednačinu \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(sakupljeno)\begin(poravnano) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(poravnano) \end(sakupljeno)\desno. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\] Ova jednadžba mora imati korijen u \(\) . Zamislite krug:

Dakle, vidimo da će za bilo koje \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) jednačina imati jedno rješenje, a za sve ostale neće imati rješenja. Stoga, kada \(a\u \lijevo[-1;-1+\sin 1\desno]\) jednačina ima rješenja.

2) Razmotrimo drugu jednačinu \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

Razmotrimo funkciju \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) . Nađimo njen derivat: \ Na ODZ-u derivacija ima jednu nulu: \(x=\frac34\) , što je ujedno i maksimalna tačka funkcije \(f(x)\) .
Imajte na umu da \(f(0)=f(1)=0\) . Dakle, shematski graf \(f(x)\) izgleda ovako:

Dakle, da bi jednadžba imala rješenja, potrebno je da se graf \(f(x)\) siječe sa pravom linijom \(y=-a\) (na slici je prikazana jedna od pogodnih opcija). Odnosno, neophodno je to \ . Za ove \(x\):

Funkcija \(y_1=\sqrt(x-1)\) je striktno rastuća. Graf funkcije \(y_2=5x^2-9x\) je parabola, čiji je vrh u tački \(x=\dfrac(9)(10)\) . Prema tome, za sve \(x\geqslant 1\), funkcija \(y_2\) je također striktno rastuća (desna grana parabole). Jer zbir strogo rastućih funkcija je striktno rastući, tada je \(f_a(x)\) striktno rastući (konstanta \(3a+8\) ne utiče na monotonost funkcije).

Funkcija \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) za sve \(x\geqslant 1\) predstavlja dio desne grane hiperbole i striktno je opadajuća.

Rješavanje jednadžbe \(f_a(x)=g_a(x)\) znači pronalaženje presječnih tačaka funkcija \(f\) i \(g\) . Iz njihove suprotne monotonosti slijedi da jednačina može imati najviše jedan korijen.

Kada \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 . Stoga će jednačina imati jedinstveno rješenje ako:

\\cup

odgovor:

\(a\in (-\infty;-1]\šaljica , ograničen na ovaj segment;

· zbir rastućih (opadajućih) funkcija je rastuća (opadajuća) funkcija;

· if funkcija f povećava (smanjuje) i n– neparan broj, takođe se povećava (smanjuje);

· Ako f"(x)>0 za sve xO(a,b), zatim funkciju y=f(x) raste u intervalu (a,b);

· Ako f"(x)<0 za sve xO(a,b), zatim funkciju y=f(x) se smanjuje na intervalu (a,b);

· Ako f(x) – kontinuirana i monotona funkcija na setu X, zatim jednadžba f(x)=C, Gdje WITH– ova konstanta može imati X ne više od jednog rješenja;

· ako je u domenu definicije jednačine f(x)=g(x) funkcija f(x) povećava, a funkcija g(x) opada, tada jednačina ne može imati više od jednog rješenja.

Teorema. (dovoljan uslov za monotonost funkcije). Ako je kontinuiran na segmentu [ a, b] funkcija y = f(X) u svakoj tački intervala ( a, b) ima pozitivan (negativan) izvod, tada se ova funkcija povećava (smanjuje) na segmentu [ a, b].

Dokaz. Neka >0 za sve xO(a,b). Razmotrimo dvije proizvoljne vrijednosti x 2 > x 1, koji pripada [ a, b]. Prema Lagrangeovoj formuli x 1<с < х 2 . (With) > 0 I x 2 – x 1 > 0, dakle > 0, odakle > , odnosno funkcija f(x) raste na intervalu [ a, b]. Drugi dio teoreme dokazuje se na sličan način.

Teorema 3. (nužan znak postojanja ekstremuma funkcije). Ako je funkcija diferencibilna u točki c at=f(X) ima ekstrem u ovoj tački, onda .

Dokaz. Neka, na primjer, funkcija at= f(X) ima maksimum u tački c. To znači da postoji probušena okolina tačke c takva da za sve tačke x ovaj komšiluk je zadovoljan f(x) < f (c), to jest f(c) je najveća vrijednost funkcije u ovom susjedstvu. Zatim Fermatovom teoremom.

Slučaj minimuma u tački c dokazuje se na sličan način.

Komentar. Funkcija može imati ekstrem u tački u kojoj njen izvod ne postoji. Na primjer, funkcija ima minimum u tački x = 0, iako ne postoji. Tačke u kojima je derivacija funkcije nula ili ne postoji nazivaju se kritične točke funkcije. Međutim, funkcija nema ekstrem na svim kritičnim tačkama. Na primjer, funkcija y = x 3 nema ekstrema, iako je njegov derivat =0.

Teorema 4. (dovoljan znak postojanja ekstremuma). Ako kontinuirana funkcija y = f(x) ima izvod u svim tačkama određenog intervala koji sadrži kritičnu tačku C (osim, možda, same ove tačke), i ako derivacija, kada argument prođe s lijeva na desno kroz kritičnu tačku C, mijenja predznak sa plusa na minus, tada funkcija u tački C ima maksimum, a kada se predznak promijeni sa minusa na plus, minimum.

Dokaz. Neka je c kritična tačka i neka, na primjer, kada argument prođe kroz tačku c promijeni predznak sa plus na minus. To znači da u nekom intervalu (c–e; c) funkcija se povećava, a na intervalu (c; c+e)– smanjuje se (na e>0). Dakle, u tački c funkcija ima maksimum. Slučaj minimuma se dokazuje na sličan način.

Komentar. Ako derivacija ne promijeni predznak kada argument prođe kroz kritičnu tačku, tada funkcija u ovoj tački nema ekstrem.

Budući da se definicije granice i kontinuiteta za funkciju više varijabli praktički poklapaju s odgovarajućim definicijama za funkciju jedne varijable, onda su za funkcije više varijabli sačuvana sva svojstva granica i kontinuiranih funkcija.

©2015-2019 stranica
Sva prava pripadaju njihovim autorima. Ova stranica ne tvrdi autorstvo, ali pruža besplatno korišćenje.
Datum kreiranja stranice: 2016-02-12

Teorema o granici monotone funkcije. Dokaz teoreme je dat korištenjem dvije metode. Date su i definicije strogo rastuće, neopadajuće, strogo opadajuće i nerastuće funkcije. Definicija monotone funkcije.

Definicije

Definicije rastućih i opadajućih funkcija
Neka je funkcija f (x) je definiran na nekom skupu realnih brojeva X.
Funkcija se poziva striktno raste (strogo opada), ako za sve x′, x′′ ∈ X takav da je x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′)< f(x′′) (f (x′) > f(x′′) ) .
Funkcija se poziva neopadajući (ne rastući), ako za sve x′, x′′ ∈ X takav da je x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)(f (x′) ≥ f(x′′) ) .

Iz toga slijedi da je striktno rastuća funkcija također neopadajuća. Strogo opadajuća funkcija također nije rastuća.

Definicija monotone funkcije
Funkcija se poziva monotono, ako se ne smanjuje ili ne raste.

Da biste proučavali monotonost funkcije na određenom skupu X, morate pronaći razliku njenih vrijednosti u dvije proizvoljne točke koje pripadaju ovom skupu. Ako je , tada je funkcija striktno rastuća; ako je , tada se funkcija ne smanjuje; ako , onda striktno opada; ako , onda se ne povećava.

Ako je na određenom skupu funkcija pozitivna: , tada da biste odredili monotonost, možete proučavati količnik dijeljenja njegovih vrijednosti u dvije proizvoljne točke ovog skupa. Ako je , tada je funkcija striktno rastuća; ako je , tada se funkcija ne smanjuje; ako , onda striktno opada; ako , onda se ne povećava.

Teorema
Neka je funkcija f (x) ne smanjuje se na intervalu (a, b), Gdje .
Ako je odozgo omeđen brojem M:, tada postoji konačna lijeva granica u tački b:. (x) Ako je f
nije ograničeno odozgo, onda . (x) Ako je f (x) je dolje ograničen brojem m : , tada postoji konačna desna granica u tački a : .

Ako je f
nije ograničen ispod, onda .

Ako su tačke a i b beskonačne, onda u izrazima granični znaci znače da . (x) ne smanjuje se na intervalu (a, b) Ova teorema se može formulirati kompaktnije.
;
.

Neka je funkcija f

, Gdje . Tada postoje jednostrane granice u tačkama a i b:
;
.

Slična teorema za nerastuću funkciju.
Neka funkcija ne raste na intervalu gdje .
Zatim postoje jednostrane granice:

Posljedica

Neka je funkcija monotona na intervalu.

Tada u bilo kojoj točki iz ovog intervala postoje jednostrane konačne granice funkcije:

i .

Dokaz teoreme

.
;
.

Funkcija se ne smanjuje
b - konačni broj
Funkcija je ograničena odozgo
;
;
.
1.1.1. Neka je funkcija odozgo ograničena brojem M: za .
b - konačni broj

b - konačni broj
Budući da se funkcija ne smanjuje, onda kada .

Onda

u .
Transformirajmo posljednju nejednakost:
Jer onda .
Onda

.

b - konačni broj

"Definicije jednostranih granica funkcije u krajnjoj točki").
b - konačni broj
Funkcija nije ograničena odozgo

1. Neka se funkcija ne smanjuje na intervalu.

i .

u .
1.1. Neka je broj b konačan: .
Onda

1.1.2. Neka funkcija nije ograničena iznad.
.
Dokažimo da u ovom slučaju postoji granica. Označimo .:
;
Onda za bilo koga postoji, tako
.

To znači da je granica lijevo u tački b (pogledajte "Definicije jednostranih beskonačnih granica funkcije u krajnjoj točki").
b - konačni broj

b rano plus beskonačnost
b - konačni broj
1.2.1. Neka je funkcija odozgo ograničena brojem M: za .

Onda

u .
Pošto je funkcija ograničena iznad, postoji konačan supremum
Prema definiciji tačne gornje granice,
Onda

sledećim uslovima
.

Budući da se funkcija ne smanjuje, onda kada .

Zatim u .
b - konačni broj
Dakle, za bilo koji postoji broj, dakle

To znači da je granica na jednaka (vidi "Definicije jednostranih beskonačnih granica u beskonačnosti").

Funkcija se ne povećava

Sada razmotrite slučaj kada se funkcija ne povećava. Možete, kao što je gore navedeno, razmotriti svaku opciju zasebno. Ali mi ćemo ih odmah pokriti. Za ovo koristimo. Dokažimo da u ovom slučaju postoji granica.
.
Razmotrimo konačni infimum skupa vrijednosti funkcije:
;
Ovdje B može biti ili konačan broj ili beskonačna tačka.
.
Prema definiciji tačne donje granice, ispunjeni su sljedeći uvjeti:

za bilo koju okolinu tačke B postoji argument za koji
b - konačni broj
Prema uslovima teoreme, .
b - konačni broj
Zato .

Budući da se funkcija ne povećava, onda kada .
b - konačni broj
Od tada

Or

Zatim napominjemo da nejednakost definira lijevo probušeno susjedstvo tačke b.

Dakle, našli smo da za bilo koju okolinu tačke postoji probušena leva okolina tačke b takva da

To znači da je granica lijevo u tački b: -1 (vidi univerzalnu definiciju granice funkcije prema Cauchyju).

Ograničenje u tački a
.
Sada ćemo pokazati da postoji granica u tački a i pronaći njegovu vrijednost.
.

Razmotrimo funkciju.
.

Prema uvjetima teoreme, funkcija je monotona za .
(1) .
Zamenimo promenljivu x sa - x (ili izvršimo supstituciju, a zatim zamenimo promenljivu t sa x). Tada je funkcija monotona za .
.
Množenje nejednakosti sa
b - konačni broj

i mijenjajući njihov redoslijed dolazimo do zaključka da je funkcija monotona za .
b - konačni broj
Na sličan način lako je pokazati da ako se ne smanjuje, onda se ne povećava. Zatim, prema onome što je gore dokazano, postoji granica
b - konačni broj
Ako se ne povećava, ne smanjuje se. U ovom slučaju postoji granica
b - konačni broj

Sada ostaje pokazati da ako postoji granica funkcije na , onda postoji granica funkcije na , a ove granice su jednake:
Hajde da uvedemo notaciju:
Hajde da uvedemo notaciju:
Hajde da uvedemo notaciju:
b - konačni broj

Dakle, otkrili smo da za svakoga postoji takvo što
b - konačni broj
To znači da
.

Teorema je dokazana.

Lekcija i prezentacija iz algebre u 10. razredu na temu: "Istraživanje funkcije za monotonost. Algoritam istraživanja"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u internetskoj trgovini Integral za 10. razred od 1C
Algebarski zadaci sa parametrima, razredi 9–11
Softversko okruženje "1C: Matematički konstruktor 6.1"

Šta ćemo proučavati:
1. Opadajuće i povećavajuće funkcije.
2. Odnos između derivacije i monotonosti funkcije.
3. Dvije važne teoreme o monotonosti.
4. Primjeri.

Ljudi, ranije smo gledali mnogo toga razne funkcije i sagradili svoje grafikone. Hajde sada da uvedemo nova pravila koja rade za sve funkcije koje smo razmatrali i koje ćemo nastaviti da razmatramo.

Smanjenje i povećanje funkcija

Pogledajmo koncept rastućih i opadajućih funkcija. Ljudi, šta je funkcija?

Funkcija je korespondencija y= f(x), u kojoj je svaka vrijednost x povezana s jednom vrijednošću y.

Pogledajmo graf neke funkcije:

Naš grafikon pokazuje: što je veći x, to je manji y. Dakle, hajde da definiramo opadajuću funkciju. Funkcija se naziva opadajućom ako veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

Ako je x2 > x1, onda f(x2) Pogledajmo sada graf ove funkcije:
Ovaj grafikon pokazuje da što je veći x, to je veći y. Dakle, hajde da definiramo rastuću funkciju. Funkcija se naziva rastućom ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije.
Ako je x2 > x1, onda je f(x2 > f(x1) ili: što je x veći, to je veći y.

Ako se funkcija povećava ili smanjuje u određenom intervalu, onda se kaže da na ovom intervalu je monotona.

Odnos derivacije i monotonosti funkcije

Ljudi, sada razmislimo o tome kako možete primijeniti koncept derivacije kada proučavate grafove funkcija. Nacrtajmo graf rastuće diferencijabilne funkcije i nacrtajmo nekoliko tangenti na naš graf.

Ako pogledate naše tangente ili vizualno nacrtate bilo koju drugu tangentu, primijetit ćete da će kut između tangente i pozitivnog smjera x-ose biti oštar. To znači da tangenta ima pozitivan nagib. Tangentni nagib jednaka vrijednosti derivacija u apscisi tačke dodira. Dakle, vrijednost derivacije je pozitivna u svim tačkama našeg grafikona. Za rastuću funkciju vrijedi sljedeća nejednakost: f"(x) ≥ 0, za bilo koju tačku x.

Ljudi, pogledajmo sada graf neke opadajuće funkcije i konstruirajmo tangente na graf funkcije.

Pogledajmo tangente i vizualno nacrtajmo bilo koju drugu tangentu. Primijetit ćemo da je kut između tangente i pozitivnog smjera x-ose tup, što znači da tangenta ima negativan nagib. Dakle, vrijednost izvoda je negativna u svim tačkama našeg grafa. Za opadajuću funkciju vrijedi sljedeća nejednakost: f"(x) ≤ 0, za bilo koju tačku x.

Dakle, monotonost funkcije zavisi od predznaka derivacije:

Ako funkcija raste na intervalu i ima izvod na tom intervalu, onda taj izvod neće biti negativan.

Ako funkcija opada na intervalu i ima izvod na tom intervalu, onda taj izvod neće biti pozitivan.

Važno, tako da su intervali na kojima razmatramo funkciju otvoreni!

Dvije važne teoreme o monotonosti

Teorema 1. Ako nejednakost f'(x) ≥ 0 vrijedi u svim točkama otvorenog intervala X (a jednakost derivacije sa nulom ili ne vrijedi ili vrijedi, već samo u konačnom skupu tačaka), tada funkcija y= f(x) raste na intervalu X.

Teorema 2. Ako nejednakost f'(x) ≤ 0 vrijedi u svim točkama otvorenog intervala X (a jednakost derivacije sa nulom ili ne vrijedi ili vrijedi, već samo u konačnom skupu tačaka), tada funkcija y= f(x) opada na intervalu X.

Teorema 3. Ako je u svim točkama otvorenog intervala X jednakost
f’(x)= 0, tada je funkcija y= f(x) konstantna na ovom intervalu.

Primjeri proučavanja funkcije za monotonost

1) Dokazati da je funkcija y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 rastuća na cijeloj brojevnoj pravoj.

Rješenje: Nađimo izvod naše funkcije: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. Pošto je stepen na x paran, onda funkcija snage uzima samo pozitivne vrijednosti. Tada je y" > 0 za bilo koje x, što znači da prema teoremi 1, naša funkcija raste na cijeloj brojevnoj pravoj.

2) Dokazati da je funkcija opadajuća: y= sin(2x) - 3x.

Nađimo izvod naše funkcije: y"= 2cos(2x) - 3.
Hajde da riješimo nejednakost:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
Jer -1 ≤ cos(x) ≤ 1, što znači da je naša nejednakost zadovoljena za bilo koje x, tada prema teoremi 2 funkcija y= sin(2x) - 3x opada.

3) Ispitati monotonost funkcije: y= x 2 + 3x - 1.

Rješenje: Nađimo izvod naše funkcije: y"= 2x + 3.
Hajde da riješimo nejednakost:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
Tada naša funkcija raste za x ≥ -3/2, a opada za x ≤ -3/2.
Odgovor: Za x ≥ -3/2 funkcija raste, za x ≤ -3/2 funkcija se smanjuje.

4) Ispitati monotonost funkcije: y= $\sqrt(3x - 1)$.

Rješenje: Nađimo izvod naše funkcije: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$.
Riješimo nejednakost: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.

Naša nejednakost je veća ili jednaka nuli:
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
Hajde da riješimo nejednakost:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
Ali to je nemoguće, jer kvadratni korijen je definirana samo za pozitivne izraze, što znači da naša funkcija nema opadajućih intervala.
Odgovor: za x ≥ 1/3 funkcija raste.

Problemi koje treba riješiti samostalno

a) Dokaži da funkcija y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 raste duž cijele brojevne prave.
b) Dokazati da je funkcija opadajuća: y= cos(5x) - 7x.
c) Ispitati monotonost funkcije: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5.
d) Ispitajte monotonost funkcije: y = $\frac(3x-1)(3x+1)$.

Povećanje, smanjenje i ekstremi funkcije

Pronalaženje intervala povećanja, smanjenja i ekstrema funkcije je i samostalan zadatak i bitan dio drugih zadataka, posebno, studija pune funkcije. Date su početne informacije o porastu, smanjenju i ekstremima funkcije teorijsko poglavlje o derivatu, što toplo preporučujem za preliminarnu studiju (ili ponavljanje)– također iz razloga što je sljedeći materijal zasnovan na samom suštinski derivat,što je harmoničan nastavak ovog članka. Mada, ako je vremena malo, onda je moguća i čisto formalna praksa primjera iz današnje lekcije.

I danas je u zraku duh rijetke jednodušnosti i direktno osjećam da svi prisutni gore od želje naučiti istraživati ​​funkciju koristeći njen derivat. Stoga se razumna, dobra, vječna terminologija odmah pojavljuje na ekranima vašeg monitora.

Za šta? Jedan od razloga je najpraktičniji: tako da je jasno šta se generalno traži od vas u određenom zadatku!

Monotonost funkcije. Ekstremne tačke i ekstremi funkcije

Razmotrimo neku funkciju. Pojednostavljeno, pretpostavljamo da ona kontinuirano na cijeloj brojevnoj pravoj:

Za svaki slučaj, hajde da se odmah oslobodimo mogućih iluzija, posebno za one čitaoce koji su se nedavno upoznali sa intervali konstantnog predznaka funkcije. Sada mi NISAM ZAINTERESOVAN, kako se graf funkcije nalazi u odnosu na osu (iznad, ispod, gdje se osa siječe). Da biste bili uvjerljivi, mentalno obrišite ose i ostavite jedan grafikon. Jer tu leži interes.

Funkcija povećava na intervalu ako je za bilo koje dvije točke ovog intervala povezane relacijom , nejednakost je istinita. To jest, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide „odozdo prema vrhu“. Funkcija demonstracije raste u intervalu.

Isto tako, funkcija smanjuje se na intervalu ako za bilo koje dvije točke datog intervala takve da , nejednakost je istinita. Odnosno, veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije, a njen graf ide „od vrha do dna“. Naša funkcija opada u intervalima .

Ako se funkcija povećava ili smanjuje u intervalu, tada se poziva strogo monotono u ovom intervalu. Šta je monotonija? Shvatite to doslovno – monotonija.

Također možete definirati neopadajući funkcija (opušteno stanje u prvoj definiciji) i bez povećanja funkcija (ublaženi uslov u 2. definiciji). Funkcija koja se ne smanjuje ili ne raste na intervalu naziva se monotonom funkcijom na datom intervalu (stroga monotonija - poseban slučaj"samo" monotonija).

Teorija takođe razmatra i druge pristupe određivanju povećanja/smanjenja funkcije, uključujući na poluintervali, segmente, ali kako vam ne bismo sipali ulje-ulje-ulje na glavu, dogovorićemo se da radimo sa otvorenim intervalima sa kategoričkim definicijama - ovo je jasnije, a za rješavanje mnogih praktičnih problema sasvim dovoljno.

dakle, u mojim člancima formulacija "monotonost funkcije" će gotovo uvijek biti skrivena intervalima stroga monotonija (strogo rastuća ili striktno opadajuća funkcija).

Susjedstvo tačke. Riječi nakon kojih učenici bježe gdje god mogu i kriju se užasnuti po ćoškovima. ...Iako posle posta Cauchy granice Vjerojatno se više ne kriju, već se samo lagano dršću =) Ne brinite, sada neće biti dokaza teorema matematička analiza– Trebalo mi je okruženje da strože formulišem definicije ekstremne tačke. prisjetimo se:

Susjedstvo tačke naziva se interval koji sadrži ovu tačku, dok se radi pogodnosti često pretpostavlja da je interval simetričan. Na primjer, tačka i njeno standardno susjedstvo:

Zapravo, definicije:

Tačka se zove stroga maksimalna tačka, Ako postoji njen komšiluk, za sve vrijednosti od kojih je, osim same tačke, nejednakost . U našem konkretnom primjeru, ovo je tačka.

Tačka se zove stroga minimalna tačka, Ako postoji njen komšiluk, za sve vrijednosti od kojih je, osim same tačke, nejednakost . Na crtežu se nalazi tačka “a”.

Napomena : zahtjev simetrije susjedstva uopće nije neophodan. Osim toga, važno je sama činjenica postojanja susjedstvo (bilo maleno ili mikroskopsko) koje zadovoljava navedene uvjete

Tačke se zovu strogo ekstremne tačke ili samo ekstremne tačke funkcije. Odnosno, to je generalizovani termin za maksimalne i minimalne poene.

Kako razumemo reč „ekstremno“? Da, direktno kao i monotonija. Ekstremne tačke rolerkostera.

Kao iu slučaju monotonosti, labavi postulati postoje i još su češći u teoriji (pod koje, naravno, spadaju strogi slučajevi koji se smatraju!):

Tačka se zove maksimalni poen, Ako postoji njegova okolina je takva da za sve
Tačka se zove minimalna tačka, Ako postoji njegova okolina je takva da za sve vrijednosti ovog susjedstva, vrijedi nejednakost.

Imajte na umu da se prema posljednje dvije definicije, svaka tačka konstantne funkcije (ili „ravni presjek“ funkcije) smatra i maksimalnom i minimalnom točkom! Funkcija je, inače, i nerastuća i neopadajuća, odnosno monotona. Međutim, ova razmatranja ćemo prepustiti teoretičarima, jer u praksi gotovo uvijek razmatramo tradicionalna „brda“ i „udubine“ (vidi crtež) sa jedinstvenim „kraljem brda“ ili „princezom močvare“. Kao varijanta, javlja se tip, usmjeren gore ili dolje, na primjer, minimum funkcije u tački.

Oh, i kad smo kod kraljevske porodice:
– naziva se značenje maksimum funkcije;
– naziva se značenje minimum funkcije.

Uobičajeno ime – ekstremi funkcije.

Molimo budite oprezni sa svojim riječima!

Ekstremne tačke– ovo su “X” vrijednosti.
Ekstremi– značenja „igre“.

! Napomena : ponekad se navedeni pojmovi odnose na “X-Y” tačke koje leže direktno na GRAFIKU SAME funkcije.

Koliko ekstrema može imati funkcija?

Ništa, 1, 2, 3, ... itd. ad infinitum. Na primjer, sinus ima beskonačno mnogo minimuma i maksimuma.

VAŽNO! Izraz "maksimum funkcije" nije identično izraz “maksimalna vrijednost funkcije”. Lako je primijetiti da je vrijednost maksimalna samo u lokalnoj četvrti, a gore lijevo su “hladniji drugovi”. Isto tako, “minimum funkcije” nije isto što i “minimalna vrijednost funkcije”, a na crtežu vidimo da je vrijednost minimalna samo u određenom području. U tom smislu se nazivaju i tačke ekstrema lokalne ekstremne tačke, a ekstremi – lokalni ekstremi . Šetaju i lutaju u blizini i globalno braćo. Dakle, svaka parabola ima na svom vrhu globalni minimum ili globalni maksimum. Nadalje, neću praviti razliku između vrsta ekstrema, a objašnjenje je izraženo više u općeobrazovne svrhe - dodatni pridjevi „lokalni“/„globalni“ ne bi vas trebali iznenaditi.

Sumirajmo naš kratki izlet u teoriju uz probni snimak: šta znači zadatak „pronaći intervale monotonosti i tačke ekstrema funkcije“?

Formulacija vas podstiče da pronađete:

– intervali rastuće/opadajuće funkcije (neopadajući, nerastući se pojavljuje mnogo rjeđe);

– maksimalne i/ili minimalne bodove (ako postoje). Pa, da biste izbjegli neuspjeh, bolje je sami pronaći minimume/maksimume ;-)

Kako sve ovo utvrditi? Korištenje derivacijske funkcije!

Kako pronaći intervale povećanja, smanjenja,
tačke ekstrema i ekstremi funkcije?

Mnoga pravila su, zapravo, već poznata i shvaćena iz njih lekcija o značenju izvedenice.

Tangentni derivat donosi vesele vijesti da se funkcija sve više povećava domenu definicije.

Sa kotangensom i njegovim derivatom situacija je upravo suprotna.

Arksinus raste u intervalu - izvod je ovdje pozitivan: .
Kada je funkcija definirana, ali nije diferencirana. Međutim, na kritičnoj tački nalaze se desna derivacija i desna tangenta, a na drugoj ivici su njihovi levoruki parnjaci.

Mislim da vam neće biti previše teško izvesti slično razmišljanje za ark kosinus i njegovu derivaciju.

Svi gore navedeni slučajevi, od kojih mnogi jesu tabelarne izvedenice, podsjećam, pratite direktno iz derivativne definicije.

Zašto istraživati ​​funkciju koristeći njen derivat?

Da bismo bolje razumjeli kako izgleda graf ove funkcije: gdje ide “odozdo prema gore”, gdje “odozgo prema dolje”, gdje dostiže minimume i maksimume (ako uopće dostigne). Nisu sve funkcije tako jednostavne - u većini slučajeva nemamo pojma o grafu određene funkcije.

Vrijeme je da prijeđemo na smislenije primjere i razmotrimo algoritam za pronalaženje intervala monotonosti i ekstrema funkcije:

Primjer 1

Naći intervale povećanja/spadanja i ekstreme funkcije

Rješenje:

1) Prvi korak je pronaći domenu funkcije, a također zabilježite tačke prekida (ako postoje). IN u ovom slučaju funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, a ova radnja je u određenoj mjeri formalna. Ali u nizu slučajeva ovdje se razbuktaju ozbiljne strasti, pa hajde da se odnosimo prema paragrafu bez prezira.

2) Druga tačka algoritma je zbog

neophodan uslov za ekstrem:

Ako u nekoj tački postoji ekstremum, tada vrijednost ili ne postoji.

Zbunjeni zbog kraja? Ekstremum funkcije “modulus x”. .

Uslov je neophodan, ali nije dovoljno, a obrnuto nije uvijek tačno. Dakle, iz jednakosti još ne slijedi da funkcija doseže maksimum ili minimum u tački . Klasičan primjer je već istaknut gore - ovo je kubna parabola i njena kritična tačka.

Ali kako god bilo, neophodno stanje ekstrem diktira potrebu pronalaženja sumnjivih tačaka. Da biste to učinili, pronađite izvod i riješite jednačinu:

Na početku prvog članka o grafovima funkcija Rekao sam vam kako brzo izgraditi parabolu koristeći primjer : “...uzimamo prvi izvod i izjednačavamo ga sa nulom: ...Dakle, rješenje naše jednačine: - u ovoj tački se nalazi vrh parabole...”. Sada, mislim, svi razumiju zašto se vrh parabole nalazi upravo u ovoj tački =) Općenito, ovdje bi trebali početi sa sličnim primjerom, ali je previše jednostavan (čak i za lutke). Osim toga, postoji analog na samom kraju lekcije o derivat funkcije. Stoga, povećajmo stepen:

Primjer 2

Naći intervale monotonosti i ekstreme funkcije

Ovo je primjer za nezavisna odluka. Kompletno rješenje i približan konačni uzorak zadatka na kraju lekcije.

Došao je dugo očekivani trenutak susreta sa frakcijsko-racionalnim funkcijama:

Primjer 3

Istražite funkciju koristeći prvi izvod

Imajte na umu koliko različito se isti zadatak može preformulisati.

Rješenje:

1) Funkcija trpi beskonačne diskontinuitete u tačkama.

2) Otkrivamo kritične tačke. Nađimo prvi izvod i izjednačimo ga sa nulom:

Hajde da riješimo jednačinu. Razlomak je nula kada mu je brojilac nula:

Tako dobijamo tri kritične tačke:

3) Ucrtavamo SVE otkrivene tačke na brojevnu pravu i intervalna metoda definišemo znakove DERIVATA:

Podsjećam vas da trebate uzeti neku tačku u intervalu i izračunati vrijednost derivacije na njoj i odredi njegov predznak. Isplativije je ni ne brojati, već verbalno „procenjivati“. Uzmimo, na primjer, tačku koja pripada intervalu i izvršimo zamjenu: .

Dva “plusa” i jedan “minus” daju “minus”, dakle, što znači da je izvod negativan u cijelom intervalu.

Radnju, kao što razumijete, treba izvršiti za svaki od šest intervala. Usput, imajte na umu da su faktor brojila i nazivnik striktno pozitivni za bilo koju tačku u bilo kojem intervalu, što uvelike pojednostavljuje zadatak.

Dakle, derivat nam je rekao da se SAMA FUNKCIJA povećava za i smanjuje se za . Pogodno je povezati intervale istog tipa pomoću ikone spajanja.

U trenutku kada funkcija dostigne svoj maksimum:
U trenutku kada funkcija dosegne minimum:

Razmislite zašto ne morate preračunavati drugu vrijednost ;-)

Prilikom prolaska kroz tačku derivacija ne mijenja predznak, pa funkcija tu NEMA EKSTREMUMA - i smanjila se i ostala u opadanju.

! Ponovimo važna tačka : tačke se ne smatraju kritičnim - one sadrže funkciju nije definisano. Shodno tome, evo U principu ne može biti ekstrema(čak i ako derivacija promijeni predznak).

Odgovori: funkcija se povećava za i smanjuje se za U tački kada je dostignut maksimum funkcije: , a u tački – minimum: .

Poznavanje intervala monotonosti i ekstrema, zajedno sa utvrđenim asimptote već daje vrlo dobru ideju izgled funkcionalna grafika. Osoba prosječne obuke može verbalno odrediti da graf funkcije ima dvije vertikalne asimptote i jednu kosu asimptotu. Evo našeg heroja:

Pokušajte još jednom povezati rezultate studije s grafikonom ove funkcije.
Ne postoji ekstremum na kritičnoj tački, ali postoji fleksija grafa(što se po pravilu dešava u sličnim slučajevima).

Primjer 4

Pronađite ekstreme funkcije

Primjer 5

Pronađite intervale monotonosti, maksimume i minimume funkcije

…to je skoro kao neka vrsta praznika „X u kocki“ danas....
Jaooo, ko je u galeriji ponudio piće za ovo? =)

Svaki zadatak ima svoje suštinske nijanse i tehničke suptilnosti, koje se komentarišu na kraju lekcije.