Diferencijalne jednadžbe za varijaciju proizvoljne konstante. Rješavanje linearnih nehomogenih diferencijalnih jednadžbi višeg reda Lagrangeovom metodom

Razmotrimo linearnu nehomogenu diferencijalnu jednačinu sa konstantni koeficijenti proizvoljni n-ti red:
(1) .
Metoda varijacije konstante, koju smo razmatrali za jednačinu prvog reda, primjenjiva je i za jednačine višeg reda.

Rješenje se izvodi u dvije faze. U prvom koraku odbacujemo desnu stranu i rješavamo homogenu jednačinu. Kao rezultat, dobijamo rješenje koje sadrži n proizvoljnih konstanti. U drugoj fazi mijenjamo konstante. To jest, vjerujemo da su ove konstante funkcije nezavisne varijable x i nalazimo oblik ovih funkcija.

Iako ovdje razmatramo jednadžbe sa konstantnim koeficijentima, ali Lagrangeova metoda je također primjenjiva za rješavanje bilo koje linearne nehomogene jednačine. Da bi se to postiglo, međutim, mora biti poznat osnovni sistem rješenja homogene jednačine.

Korak 1. Rješavanje homogene jednačine

Kao iu slučaju jednadžbi prvog reda, prvo tražimo opšte rješenje homogene jednačine, izjednačavajući desnu nehomogenu stranu sa nulom:
(2) .
Opšte rješenje ove jednačine je:
(3) .
Ovdje su proizvoljne konstante; - n linearno nezavisnih rješenja homogene jednačine (2), koja čine osnovni sistem rješenja ove jednačine.

Korak 2. Varijacija konstanti - zamjena konstanti funkcijama

U drugoj fazi bavićemo se varijacijom konstanti. Drugim riječima, zamijenit ćemo konstante funkcijama nezavisne varijable x:
.
Odnosno, tražimo rješenje originalna jednadžba(1) kako slijedi:
(4) .

Ako zamijenimo (4) u (1), dobićemo jednu diferencijalnu jednadžbu za n funkcija. U ovom slučaju ove funkcije možemo povezati dodatnim jednadžbama. Tada dobijete n jednadžbi iz kojih se može odrediti n funkcija. Dodatne jednačine se mogu napisati Različiti putevi. Ali to ćemo učiniti tako da rješenje ima najjednostavniji oblik. Da biste to učinili, kada diferencirate, trebate izjednačiti na nulu pojmove koji sadrže derivate funkcija. Hajde da to demonstriramo.

Za zamjenu predloženog rješenja (4) u originalnu jednačinu (1), potrebno je pronaći izvode prvih n redova funkcije zapisane u obliku (4). Razlikujemo (4) koristeći pravila za razlikovanje suma i radi:
.
Hajde da grupišemo članove. Prvo zapisujemo pojmove s izvedenicama od , a zatim članove s derivatima od :

.
Nametnimo prvi uslov funkcijama:
(5.1) .
Tada će izraz za prvi izvod u odnosu na imati jednostavniji oblik:
(6.1) .

Koristeći istu metodu, nalazimo drugi izvod:

.
Hajde da nametnemo drugi uslov funkcijama:
(5.2) .
Onda
(6.2) .
I tako dalje. IN dodatni uslovi, izjednačavamo članove koji sadrže derivate funkcija na nulu.

Dakle, ako odaberemo sljedeće dodatne jednadžbe za funkcije:
(5.k) ,
tada će prvi derivati ​​u odnosu na imati najjednostavniji oblik:
(6.k) .
Evo.

Pronađite n-tu izvodnicu:
(6.n)
.

Zamijenite u originalnu jednačinu (1):
(1) ;






.
Uzmimo u obzir da sve funkcije zadovoljavaju jednačinu (2):
.
Tada zbir članova koji sadrže nulu daje nulu. Kao rezultat dobijamo:
(7) .

Kao rezultat, dobili smo sistem linearnih jednačina za derivacije:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Rješavajući ovaj sistem, nalazimo izraze za izvode kao funkciju x. Integracijom dobijamo:
.
Ovdje su konstante koje više ne zavise od x. Zamjenom u (4) dobijamo opće rješenje originalne jednačine.

Imajte na umu da za određivanje vrijednosti derivacija nikada nismo koristili činjenicu da su koeficijenti a i konstantni. Zbog toga Lagrangeova metoda je primjenjiva za rješavanje bilo koje linearne nehomogene jednadžbe, ako je poznat osnovni sistem rješenja homogene jednačine (2).

Primjeri

Jednačine rješavati metodom varijacije konstanti (Lagrange).

Okrenimo se razmatranju linearne nehomogenosti diferencijalne jednadžbe vrsta

Gdje - traženu funkciju argumenta , i funkcije



su date i kontinuirane u određenom intervalu
.

Hajde da uvedemo u razmatranje linearnu homogenu jednačinu, lijeva strana koji se poklapa sa lijevom stranom nehomogena jednačina (2.31),

Jednačina oblika (2.32) se zove homogena jednačina koja odgovara nehomogenoj jednačini (2.31).

O strukturi općeg rješenja nehomogene linearne jednačine (2.31) vrijedi sljedeća teorema.

Teorema 2.6. Opće rješenje linearne nehomogene jednačine (2.31) u području

je zbir bilo kojeg njegovog posebnog rješenja i opšteg rješenja odgovarajuće homogene jednačine (2.32) u domeni (2.33), tj.

Gdje - posebno rješenje jednadžbe (2.31),
je osnovni sistem rješenja homogene jednačine (2.32), i
- proizvoljne konstante.

Dokaz ove teoreme naći ćete u.

Koristeći primjer diferencijalne jednadžbe drugog reda, prikazat ćemo metodu pomoću koje se može pronaći određeno rješenje linearne nehomogene jednadžbe. Ova metoda se zove Lagrangeova metoda varijacije proizvoljnih konstanti.

Dakle, neka nam je data nehomogena linearna jednačina

(2.35)

gdje su koeficijenti
i desnu stranu
kontinuirano u nekom intervalu
.

Označimo sa
I
osnovni sistem rješenja homogene jednačine

(2.36)

Tada njegovo opšte rješenje ima oblik

(2.37)

Gdje I - proizvoljne konstante.

Tražit ćemo rješenje jednačine (2.35) u istom obliku , kao i opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe, zamjenjujući proizvoljne konstante nekim diferencijabilnim funkcijama (mi variramo proizvoljne konstante), one.

Gdje
I
- neke diferencibilne funkcije iz , koji su još uvijek nepoznati i koje ćemo pokušati odrediti kako bi funkcija (2.38) bila rješenje nehomogene jednadžbe (2.35). Diferencirajući obje strane jednakosti (2.38), dobijamo

Tako da prilikom obračuna derivati ​​drugog reda od
I
, to zahtijevamo svuda
uslov je bio ispunjen

Onda za će imati

Izračunajmo drugi izvod

Zamjena izraza za ,,iz (2.38), (2.40), (2.41) u jednačinu (2.35), dobijamo

Izrazi u uglastim zagradama su svuda jednaki nuli
, jer I - parcijalna rješenja jednadžbe (2.36). U ovom slučaju, (2.42) će poprimiti oblik Kombinujući ovaj uslov sa uslovom (2.39), dobijamo sistem jednačina za određivanje
I

(2.43)

Poslednji sistem je sistem dve algebarske linearne nehomogene jednadžbe u odnosu na
I
. Odrednica ovog sistema je determinanta Wronskog za osnovni sistem rješenja ,i stoga je svuda različit od nule
. To znači da sistem (2.43) ima jedinstveno rješenje. Rešivši to na bilo koji način relativno
,
naći ćemo

Gdje
I
- poznate funkcije.

Izvođenje integracije i uzimajući u obzir da kao
,
trebali bismo uzeti jedan par funkcija i postaviti integracijske konstante jednake nuli. Dobijamo

Zamjenom izraza (2.44) u relacije (2.38), možemo zapisati željeno rješenje nehomogene jednačine (2.35) u obliku

Ova metoda se može generalizirati kako bi se pronašlo određeno rješenje linearne nehomogene jednačine -th red.

Primjer 2.6. Riješite jednačinu
at
if funkcije

formiraju fundamentalni sistem rješenja odgovarajuće homogene jednačine.

Nađimo posebno rješenje ove jednačine. Da bismo to učinili, u skladu sa Lagrangeovom metodom, prvo moramo riješiti sistem (2.43), koji u našem slučaju ima oblik
Smanjenje obje strane svake jednadžbe za dobijamo

Oduzimanjem prve jednačine član po član od druge jednačine, nalazimo
a zatim iz prve jednačine slijedi
Izvođenje integracije i postavljanje integracijskih konstanti na nulu, imat ćemo

Konkretno rješenje ove jednačine može se predstaviti kao

Opće rješenje ove jednačine ima oblik

Gdje I - proizvoljne konstante.

Na kraju, napomenimo jedno izuzetno svojstvo, koje se često naziva principom superpozicije rješenja i opisano je sljedećom teoremom.

Teorema 2.7. Ako između
funkcija
- posebno rješenje funkcije jednadžbe
određeno rješenje jednadžbe na istom intervalu je funkcija
postoji posebno rješenje jednačine

Teoretski minimum

U teoriji diferencijalnih jednadžbi postoji metoda koja tvrdi da ima prilično visok stepen univerzalnosti za ovu teoriju.
Govorimo o metodi varijacije proizvoljne konstante, primenljivoj na rešenje razne klase diferencijalne jednadžbe i njihove
sistemima To je upravo slučaj kada je teorija - ako izvučemo dokaze tvrdnji iz zagrada - minimalna, ali nam omogućava da postignemo
značajni rezultati, pa će akcenat biti na primjerima.

Opća ideja metode je prilično jednostavna za formuliranje. Neka je data jednadžba (sistem jednačina) teško rješiva ​​ili čak neshvatljiva,
kako to riješiti. Međutim, jasno je da se eliminacijom nekih članova iz jednačine ona rješava. Tada rješavaju upravo ovo pojednostavljeno
jednadžbe (sistema), dobijamo rješenje koje sadrži određeni broj proizvoljnih konstanti - ovisno o redoslijedu jednačine (broj
jednačine u sistemu). Tada se pretpostavlja da konstante u pronađenom rješenju zapravo nisu konstante, već pronađeno rješenje
se zameni u originalnu jednačinu (sistem), dobije se diferencijalna jednačina (ili sistem jednačina) da bi se odredile „konstante“.
Postoji određena specifičnost u primjeni metode varijacije proizvoljne konstante na različite probleme, ali to su već specifičnosti koje će
demonstrirano na primjerima.

Razmotrimo posebno rješenje linearnih nehomogenih jednačina višeg reda, tj. jednačine oblika
.
Opće rješenje linearne nehomogene jednadžbe je zbir opšteg rješenja odgovarajuće homogene jednačine i određenog rješenja
ove jednačine. Pretpostavimo da je opšte rešenje homogene jednačine već pronađeno, odnosno da je konstruisan fundamentalni sistem rešenja (FSS).
. Tada je opće rješenje homogene jednadžbe jednako .
Moramo pronaći bilo koje posebno rješenje nehomogene jednačine. U tu svrhu smatra se da konstante zavise od varijable.
Zatim morate riješiti sistem jednačina
.
Teorija garantuje da ovaj sistem algebarske jednačine u pogledu izvoda funkcija postoji jedinstveno rješenje.
Prilikom pronalaženja samih funkcija, konstante integracije se ne pojavljuju: na kraju krajeva, traži se bilo koje jedno rješenje.

U slučaju rješavanja sistema linearnih nehomogenih jednačina prvog reda oblika

algoritam ostaje gotovo nepromijenjen. Prvo morate pronaći odgovarajući FSR homogeni sistem jednadžbi, kreiraju osnovnu matricu
sistema, čije kolone predstavljaju elemente FSR-a. Zatim se sastavlja jednačina
.
Prilikom rješavanja sistema određujemo funkcije i na taj način nalazimo određeno rješenje za originalni sistem
(osnovna matrica se množi sa stupcem pronađenih funkcija).
Dodajemo ga opštem rješenju odgovarajućeg sistema homogenih jednačina, koje je konstruirano na osnovu već pronađenog FSR-a.
Dobija se generalno rješenje originalnog sistema.

Primjeri.

Primjer 1. Linearne nehomogene jednadžbe prvog reda.

Razmotrimo odgovarajuću homogenu jednačinu (označavamo željenu funkciju):
.
Ova jednačina se lako može riješiti korištenjem metode razdvajanja varijabli:

.
Sada zamislimo rješenje izvorne jednadžbe u obliku , gdje funkcija tek treba biti pronađena.
Ovu vrstu rješenja zamjenjujemo u originalnu jednačinu:
.
Kao što vidite, drugi i treći termin na lijevoj strani se međusobno poništavaju - to je karakteristika metoda varijacije proizvoljne konstante.

Ovdje je to već zaista proizvoljna konstanta. dakle,
.

Primjer 2. Bernoullijeva jednačina.

Nastavljamo slično kao u prvom primjeru - rješavamo jednačinu

metoda razdvajanja varijabli. Ispada, pa tražimo rješenje izvorne jednadžbe u obliku
.
Ovu funkciju zamjenjujemo u originalnu jednačinu:
.
I opet dolazi do smanjenja:
.
Ovdje morate zapamtiti da se prilikom dijeljenja sa rješenjem ne izgubi. I rješenje originalnog odgovara slučaju
jednačine Zapamtimo to. dakle,
.
Hajde da to zapišemo.
Ovo je rješenje. Prilikom pisanja odgovora treba navesti i prethodno pronađeno rješenje, jer ono ne odgovara nijednoj konačnoj vrijednosti
konstante

Primjer 3. Linearne nehomogene jednadžbe višeg reda.

Odmah napominjemo da se ova jednačina može jednostavnije riješiti, ali je zgodno demonstrirati metodu pomoću nje. Iako neke prednosti
Metoda varijacije također ima proizvoljnu konstantu u ovom primjeru.
Dakle, morate početi s FSR-om odgovarajuće homogene jednadžbe. Podsjetimo da se za pronalaženje FSR-a sastavlja karakteristična kriva
jednačina
.
Dakle, opšte rešenje homogene jednačine
.
Ovdje uključene konstante moraju se mijenjati. Pravljenje sistema

Metoda varijacije proizvoljnih konstanti

Metoda varijacije proizvoljnih konstanti za konstruiranje rješenja linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = f(t)

sastoji se od zamjene proizvoljnih konstanti c k u opštem rešenju

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c n z n (t)

odgovarajuća homogena jednačina

a n (t)z (n) (t) + a n − 1 (t)z (n − 1) (t) + ... + a 1 (t)z"(t) + a 0 (t)z(t) = 0

za pomoćne funkcije c k (t) , čiji derivati ​​zadovoljavaju linearni algebarski sistem

Determinanta sistema (1) je Wronskian funkcija z 1 ,z 2 ,...,z n , što osigurava njegovu jedinstvenu rješivost u odnosu na .

Ako su antiderivati ​​za , uzeti pri fiksnim vrijednostima integracijskih konstanti, onda je funkcija

je rješenje originalne linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe. Integracija nehomogene jednačine u prisustvu opšteg rešenja odgovarajuće homogene jednačine se tako svodi na kvadrature.

Metoda varijacije proizvoljnih konstanti za konstruisanje rješenja sistema linearnih diferencijalnih jednadžbi u vektorskom normalnom obliku

sastoji se u konstruisanju određenog rješenja (1) u obliku

Gdje Z(t) je osnova rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe, zapisana u obliku matrice, a vektorska funkcija , koja je zamijenila vektor proizvoljnih konstanti, definirana je relacijom . Traženo određeno rješenje (sa nultim početnim vrijednostima pri t = t 0 izgleda

Za sistem sa konstantnim koeficijentima, poslednji izraz je pojednostavljen:

Matrix Z(t)Z− 1 (τ) pozvao Cauchy matrica operater L = A(t) .

Eksterne veze

• exponenta.ru - Teorijske informacije s primjerima

Wikimedia Foundation. 2010.

Metoda varijacije proizvoljne konstante ili Lagrangeova metoda je još jedan način rješavanja linearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda i Bernoullijeve jednadžbe.

Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda su jednadžbe oblika y’+p(x)y=q(x). Ako je na desnoj strani nula: y’+p(x)y=0, onda je ovo linearna homogena Jednačina 1. reda. Prema tome, jednadžba s desnom stranom različitom od nule, y’+p(x)y=q(x), je heterogena linearna jednačina 1. red.

Metoda varijacije proizvoljne konstante (Lagrangeova metoda) je kako slijedi:

1) Tražimo opšte rješenje homogene jednačine y’+p(x)y=0: y=y*.

2) U opštem rješenju, C nije konstanta, već funkcija od x: C = C (x). Pronalazimo derivaciju opšteg rješenja (y*)’ i zamjenjujemo rezultirajući izraz za y* i (y*)’ u početni uvjet. Iz rezultirajuće jednačine nalazimo funkciju C(x).

3) U opštem rešenju homogene jednačine, umesto C, zamenjujemo pronađeni izraz C(x).

Pogledajmo primjere metode mijenjanja proizvoljne konstante. Uzmimo iste zadatke kao u, uporedimo napredak rješenja i uvjerimo se da se dobijeni odgovori poklapaju.

1) y’=3x-y/x

Prepišimo jednačinu u standardnom obliku (za razliku od Bernoullijeve metode, gdje nam je oblik notacije bio potreban samo da bismo vidjeli da je jednadžba linearna).

y’+y/x=3x (I). Sada nastavljamo prema planu.

1) Riješite homogenu jednačinu y’+y/x=0. Ovo je jednadžba sa odvojivim varijablama. Zamislite y’=dy/dx, zamjena: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Obe strane jednačine množimo sa dx i delimo sa xy≠0: dy/y=-dx/x. Hajde da integrišemo:

2) U rezultirajućem opštem rješenju homogene jednadžbe, smatrat ćemo C ne konstantom, već funkcijom od x: C=C(x). Odavde

Dobivene izraze zamjenjujemo u uvjet (I):

Integrirajmo obje strane jednačine:

ovdje je C već neka nova konstanta.

3) U opštem rješenju homogene jednačine y=C/x, gdje smo pretpostavili C=C(x), odnosno y=C(x)/x, umjesto C(x) zamjenjujemo pronađeni izraz x³ +C: y=(x³ +C)/x ili y=x²+C/x. Dobili smo isti odgovor kao i kod rješavanja Bernulijevom metodom.

Odgovor: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Ovdje je jednačina već napisana u standardnom obliku, nema potrebe da je transformišete.

1) Riješite homogenu linearnu jednačinu y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Hajde da integrišemo:

Da bismo dobili prikladniji oblik notacije, uzimamo eksponent na stepen C kao novi C:

Ova transformacija je izvedena da bi bilo pogodnije pronaći izvod.

2) U rezultirajućem opštem rješenju linearne homogene jednadžbe, smatramo da C nije konstanta, već funkcija x: C=C(x). Pod ovim uslovom

Zamjenjujemo rezultirajuće izraze y i y' u uvjet:

Pomnožite obje strane jednačine sa

Integriramo obje strane jednačine koristeći formulu integracije po dijelovima, dobivamo:

Ovdje C više nije funkcija, već obična konstanta.

3) U opštem rešenju homogene jednačine

zamijeni pronađenu funkciju C(x):

Dobili smo isti odgovor kao i kod rješavanja Bernulijevom metodom.

Metoda varijacije proizvoljne konstante je također primjenjiva za rješavanje.

y'x+y=-xy².

Svodimo jednačinu na standardni pogled: y’+y/x=-y² (II).

1) Riješite homogenu jednačinu y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Obe strane jednačine množimo sa dx i delimo sa y: dy/y=-dx/x. Sada da integrišemo:

Dobivene izraze zamjenjujemo u uslov (II):

Hajde da pojednostavimo:

Dobili smo jednadžbu sa odvojivim varijablama za C i x:

Ovdje je C već obična konstanta. Tokom procesa integracije pisali smo jednostavno C umjesto C(x), kako ne bismo preopteretili notaciju. I na kraju smo se vratili na C(x), da ne pobrkamo C(x) sa novim C.

3) U opštem rješenju homogene jednadžbe y=C(x)/x zamjenjujemo pronađenu funkciju C(x):

Dobili smo isti odgovor kao kada smo ga rješavali Bernulijevom metodom.

Primjeri samotestiranja:

1. Prepišimo jednačinu u standardnom obliku: y’-2y=x.

1) Riješite homogenu jednačinu y’-2y=0. y’=dy/dx, dakle dy/dx=2y, pomnožite obje strane jednadžbe sa dx, podijelite sa y i integrirajte:

Odavde nalazimo y:

Zamjenjujemo izraze za y i y’ u uvjet (radi kratkoće koristit ćemo C umjesto C(x) i C’ umjesto C"(x)):

Da bismo pronašli integral na desnoj strani, koristimo formulu integracije po dijelovima:

Sada zamjenjujemo u, du i v u formulu:

Ovdje C =konst.

3) Sada u rastvor stavljamo homogeno