Opšti termin niza je $u_n=n^2$. Zamjenom $n=1$ dobijamo:

$$ u_1=1^2=1. $$

Ovo je prvi član niza. Zamjenom $n=2$ u $u_n=n^2$, dobijamo drugi član niza:

$$ u_2=2^2=4. $$

Ako zamijenimo $n=3$, dobićemo treći član niza:

$$ u_3=3^2=9. $$

Na isti način nalazimo četvrti, peti, šesti i druge članove niza. Ovako dobijamo odgovarajuće brojeve:

$$ 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \ldots $$

Takođe je vredno imati na umu termine niza $u_n=n^3$. Evo nekih od njegovih prvih članova:

\begin(jednačina)1;\; 8;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ldots \end(jednačina)

Osim toga, da bi se formirao opći termin niza, često se koristi niz $u_n=n!$, od kojih su prvih nekoliko pojmova sljedeći:

\begin(jednačina)1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040; \ldots \end(jednačina)

Snimak "n!" (čitaj "en factorial") označava proizvod svega prirodni brojevi od 1 do n, tj.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. $$

Po definiciji, pretpostavlja se da je $0!=1!=1$. Na primjer, nađimo 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Često se koriste i aritmetičke i geometrijske progresije. Ako je prvi član aritmetičke progresije jednak $a_1$, a razlika jednaka $d$, tada se opći član aritmetičke progresije zapisuje korištenjem sljedeće formule:

\begin(equation)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \end(jednadžba)

Šta je aritmetička progresija? prikaži\sakrij

Aritmetička progresija je niz brojeva u kojem je razlika između sljedećeg i prethodnog pojma konstantna. Ova konstantna razlika se zove razlika u napredovanju

$$ 3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \ldots $$

Imajte na umu da bez obzira koji par susjednih elemenata uzmemo, razlika između sljedećih i prethodnih članova uvijek će biti konstantna i jednaka 7:

\begin(poravnano) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldtačke\kraj (poravnano)

Ovaj broj, tj. 7, i postoji razlika u progresiji. Obično se označava slovom $d$, tj. $d=7$. Prvi element progresije je $a_1=3$. Zapisujemo opći pojam ove progresije koristeći formulu. Zamjenom $a_1=3$ i $d=7$ u njega, imat ćemo:

$$ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. $$

Radi jasnoće, koristimo formulu $a_n=7n-4$ da pronađemo prvih nekoliko članova aritmetičke progresije:

\begin(aligned) & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7\cdot 4-4=24;\\ & a_5=7\cdot 5-4=31. \end (poravnano)

Zamjenom bilo koje vrijednosti broja $n$ u formulu $a_n=7n-4$, možete dobiti bilo koji član aritmetičke progresije.

Također je vrijedno napomenuti geometrijsku progresiju. Ako je prvi član progresije jednak $b_1$, a nazivnik jednak $q$, onda je opći član geometrijske progresije dat sljedećom formulom:

\begin(equation)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \end(jednačina)

Šta se desilo geometrijska progresija? prikaži\sakrij

Geometrijska progresija je niz brojeva u kojem je odnos između sljedećih i prethodnih pojmova konstantan. Ovaj stalni odnos se zove imenilac progresije. Na primjer, razmotrite sljedeći niz:

$$ 6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \ldots $$

Imajte na umu da bez obzira koji par susjednih elemenata uzmemo, omjer sljedećeg i prethodnog uvijek će biti konstantan i jednak 3:

\begin(poravnano) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ldots \end (poravnano)

Ovaj broj, tj. 3 je imenilac progresije. Obično se označava slovom $q$, tj. $q=3$. Prvi element progresije je $b_1=6$. Zapisujemo opći pojam ove progresije koristeći formulu. Zamjenom $b_1=6$ i $q=3$ u njega, imat ćemo:

$$ b_n=6\cdot 3^(n-1). $$

Radi jasnoće, koristimo formulu $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ da pronađemo prvih nekoliko članova geometrijske progresije:

\begin(aligned) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486. \end (poravnano)

Zamjenom bilo koje vrijednosti broja $n$ u formulu $b_n=6\cdot 3^(n-1)$, možete dobiti bilo koji član geometrijske progresije.

U svim primjerima ispod, označit ćemo članove niza slovima $u_1$ (prvi član niza), $u_2$ (drugi član niza) itd. Oznaka $u_n$ će označavati zajednički termin serije.

Primjer br. 1

Pronađite zajednički član niza $\frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\ldots$.

Suština takvih zadataka je uočiti obrazac koji je svojstven prvim članovima serije. I na osnovu ovog obrasca izvucite zaključak o vrsti zajedničkog člana. Šta znači izraz "pronaći zajednički pojam"? To znači da je potrebno pronaći takav izraz, zamjenom $n=1$ u koji dobijamo prvi član niza, tj. $\frac(1)(7)$; Zamjenom $n=2$ dobijamo drugi član niza, tj. $\frac(2)(9)$; Zamjenom $n=3$ dobijamo treći član niza, tj. $\frac(3)(11)$ i tako dalje. Znamo prva četiri člana serije:

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$

Krenimo postepeno. Svi nama poznati članovi niza su razlomci, pa je razumno pretpostaviti da je i zajednički član niza predstavljen razlomkom:

$$ u_n=\frac(?)(?) $$

Naš zadatak je otkriti šta se krije ispod upitnika u brojniku i nazivniku. Pogledajmo prvo brojilac. Brojnici nama poznatih članova niza su brojevi 1, 2, 3 i 4. Obratite pažnju da je broj svakog člana niza jednak brojiocu. Prvi član ima brojilac jedan, drugi ima dva, treći tri, a četvrti četiri.

Logično je pretpostaviti da će n-ti član imati $n$ u svom brojiocu:

$$ u_n=\frac(n)(?) $$

Inače, do ovog zaključka možemo doći i na drugi način, formalnije. Koji je niz 1, 2, 3, 4? Imajte na umu da je svaki sljedeći član ovog niza za 1 veći od prethodnog. Radimo sa četiri člana aritmetičke progresije, od kojih je prvi član $a_1=1$, a razlika je $d=1$. Koristeći formulu, dobijamo izraz za opšti član progresije:

$$ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. $$

Dakle, nagađanje ili formalno izračunavanje je stvar ukusa. Glavna stvar je da smo zapisali brojnik zajedničkog člana serije. Pređimo na imenilac.

U nazivnicima imamo niz 7, 9, 11, 13. Ovo su četiri člana aritmetičke progresije, čiji je prvi član jednak $b_1=7$, a razlika je $d=2$. Opći pojam progresije nalazimo koristeći formulu:

$$ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. $$

Dobijeni izraz, tj. $2n+5$, i biće imenilac zajedničkog člana serije. dakle:

$$ u_n=\frac(n)(2n+5). $$

Dobija se opšti termin serije. Provjerimo da li je formula koju smo pronašli $u_n=\frac(n)(2n+5)$ pogodna za izračunavanje već poznatih članova serije. Nađimo pojmove $u_1$, $u_2$, $u_3$ i $u_4$ koristeći formulu $u_n=\frac(n)(2n+5)$. Rezultati se, naravno, moraju poklapati sa prva četiri člana serije koja nam je data uslovom.

$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(2\cdot 4+5)=\frac(4)(13). $$

Tako je, rezultati su isti. Niz specificiran u uvjetu sada se može napisati u sljedećem obliku: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$. Opšti pojam serije ima oblik $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\ldots $$

Zar takva serija nema pravo na postojanje? Još uvijek ima. I za ovu seriju možemo to napisati

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=0\; (n≥ 5). $$

Možete napisati još jedan nastavak. Na primjer, ovo:

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\frac(1)(5)+\frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ldots $$

I takav nastavak ničemu ne protivreči. U ovom slučaju to možemo napisati

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (n≥ 5). $$

Ako su vam se prve dvije opcije učinile previše formalnim, onda ću predložiti treću. Zapišimo uobičajeni termin na sljedeći način:

$$ u_n=\frac(n)(n^4-10n^3+35n^2-48n+29). $$

Izračunajmo prva četiri člana serije koristeći predloženu formulu općeg pojma:

\begin(aligned) & u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4 )(4^4-10\cdot 4^3+35\cdot 4^2-48\cdot 4+29)=\frac(4)(13). \end (poravnano)

Kao što vidite, predložena formula za opšti pojam je sasvim tačna. I možete smisliti beskonačan broj takvih varijacija, njihov broj je neograničen. IN standardni primjeri, naravno, koristi se standardni skup određenih poznatih sekvenci (progresije, potenci, faktorijali, itd.). Međutim, u takvim zadacima uvijek postoji neizvjesnost i preporučljivo je zapamtiti to.

U svim narednim primjerima ova dvosmislenost neće biti navedena. Rješavat ćemo standardnim metodama koje su prihvaćene u većini knjiga zadataka.

Odgovori: zajednički pojam serije: $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

Primjer br. 2

Zapišite zajednički član serije $\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1)(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1) (7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots$.

Znamo prvih pet pojmova serije:

$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2=\frac(1)(3\cdot 8); \; u_3=\frac(1)(5\cdot 11); \; u_4=\frac(1)(7\cdot 14); \; u_5=\frac(1)(9\cdot 17). $$

Svi nama poznati članovi niza su razlomci, što znači da ćemo zajednički član niza tražiti u obliku razlomka:

$$ u_n=\frac(?)(?). $$

Odmah obratimo pažnju na brojilac. Svi brojnici sadrže jedinice, pa će i brojnik zajedničkog člana niza sadržavati jednu, tj.

$$ u_n=\frac(1)(?). $$

Sada pogledajmo imenilac. Imenioci prvih članova nama poznatog niza sadrže proizvode brojeva: $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$. Prvi od ovih brojeva su: 1, 3, 5, 7, 9. Ovaj niz ima prvi član $a_1=1$, a svaki sljedeći se dobija od prethodnog dodavanjem broja $d=2$. Drugim riječima, ovo je prvih pet članova aritmetičke progresije, čiji se opći pojam može napisati pomoću formule:

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$

U proizvodima $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ drugi brojevi su: 5, 8, 11, 14, 17. Ovo su elementi aritmetičke progresije, čiji je prvi član $b_1=5$, a nazivnik je $d=3$. Zapisujemo opći pojam ove progresije koristeći istu formulu:

$$ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. $$

Hajde da spojimo rezultate. Proizvod u nazivniku zajedničkog člana niza je: $(2n-1)(3n+2)$. A opći pojam same serije ima sljedeći oblik:

$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)). $$

Da bismo provjerili dobiveni rezultat, koristimo formulu $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ da pronađemo prva četiri člana niza koje poznajemo:

\begin(poravnano) & u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ frac(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4 +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1 )(9\cdot 17). \end (poravnano)

Dakle, formula $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ vam omogućava da precizno izračunate članove serije, poznate iz uslova. Po želji, dati niz se može napisati ovako:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1 )(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1)(7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots $$

Odgovori: zajednički pojam serije: $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.

Nastavit ćemo ovu temu u drugom i trećem dijelu.

Mnogi ljudi su čuli za aritmetičku progresiju, ali nemaju svi dobru ideju o tome šta je to. U ovom članku ćemo dati odgovarajuću definiciju, a također ćemo razmotriti pitanje kako pronaći razliku aritmetičke progresije i dati niz primjera.

Matematička definicija

Dakle, ako govorimo o aritmetičkoj ili algebarskoj progresiji (ovi koncepti definiraju istu stvar), onda to znači da postoji određeni niz brojeva koji zadovoljava sljedeći zakon: svaka dva susjedna broja u nizu se razlikuju za istu vrijednost. Matematički to piše ovako:

Ovdje n označava broj elementa a n u nizu, a broj d je razlika progresije (njegov naziv slijedi iz predstavljene formule).

Šta znači znati razliku d? O tome koliko su susjedni brojevi "daleko" jedan od drugog. Međutim, znanje o d je neophodno, ali ne dovoljno stanje za određivanje (obnavljanje) cjelokupne progresije. Potrebno je znati još jedan broj, koji može biti apsolutno bilo koji element niza koji se razmatra, na primjer, 4, a10, ali u pravilu koriste prvi broj, odnosno 1.

Formule za određivanje elemenata progresije

Općenito, gore navedene informacije su već dovoljne za prelazak na rješavanje konkretnih problema. Ipak, prije nego što se da aritmetička progresija, a bit će potrebno pronaći njenu razliku, predstavljamo nekoliko korisne formule, čime se olakšava kasniji proces rješavanja problema.

Lako je pokazati da se bilo koji element niza s brojem n može pronaći na sljedeći način:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Zaista, svako može provjeriti ovu formulu jednostavnim pretraživanjem: ako zamijenite n = 1, dobićete prvi element, ako zamijenite n = 2, onda izraz daje zbir prvog broja i razlike, i tako dalje.

Uslovi mnogih zadataka sastavljeni su na način da je, za dat poznati par brojeva, čiji su brojevi takođe dati u nizu, potrebno rekonstruisati čitav niz brojeva (naći razliku i prvi element). Sada ćemo ovaj problem riješiti u opštem obliku.

Dakle, neka su data dva elementa sa brojevima n i m. Koristeći gornju formulu, možete kreirati sistem od dvije jednadžbe:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Da bismo pronašli nepoznate količine, koristimo poznate jednostavan trik rješenja za takav sistem: oduzmite lijevu i desnu stranu u paru, jednakost će ostati važeća. Imamo:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Dakle, isključili smo jednu nepoznatu (a 1). Sada možemo napisati konačni izraz za određivanje d:

d = (a n - a m) / (n - m), gdje je n > m

Imamo veoma jednostavna formula: da biste izračunali razliku d u skladu sa uslovima zadatka, potrebno je samo uzeti omjer razlika između samih elemenata i njihovih serijski brojevi. Treba obratiti pažnju na jednu važna tačka pažnja: uzimaju se razlike između „starijih“ i „mlađih“ članova, odnosno n > m („stariji“ znači da stoji dalje od početka niza, njegov apsolutna vrijednost može biti veći ili manji od „mlađeg” elementa).

Izraz za progresiju razlike d treba zamijeniti u bilo koju od jednadžbi na početku rješavanja problema da bi se dobila vrijednost prvog člana.

U naše doba razvoja računarske tehnologije, mnogi školarci pokušavaju da na internetu pronađu rješenja za svoje zadatke, pa se često postavljaju pitanja ovog tipa: pronaći razliku aritmetičke progresije na internetu. Za takav zahtjev pretraživač će vratiti određeni broj web stranica, odlaskom na koje ćete morati unijeti podatke poznate iz uvjeta (to mogu biti ili dva člana progresije ili zbir određenog broja njih ) i odmah primite odgovor. Međutim, ovakav pristup rješavanju problema je neproduktivan u smislu studentovog razvoja i razumijevanja suštine zadatka koji mu je dodijeljen.

Rješenje bez korištenja formula

Rešimo prvi problem bez upotrebe nijedne od datih formula. Neka su dati elementi niza: a6 = 3, a9 = 18. Nađi razliku aritmetičke progresije.

Poznati elementi stoje blizu jedan drugom u nizu. Koliko puta se razlika d mora dodati najmanjoj da bi se dobila najveća? Tri puta (prvi put dodavanjem d, dobijamo 7. element, drugi put - osmi, konačno, treći put - deveti). Koji broj tri puta treba dodati tri da bi se dobilo 18? Ovo je broj pet. stvarno:

Dakle, nepoznata razlika d = 5.

Naravno, rješenje je moglo biti izvedeno odgovarajućom formulom, ali to nije učinjeno namjerno. Detaljno objašnjenje rješenje problema treba postati jasno i sjajan primjerŠta je aritmetička progresija?

Zadatak sličan prethodnom

Sada ćemo riješiti sličan problem, ali promijenimo ulazne podatke. Dakle, trebali biste pronaći ako je a3 = 2, a9 = 19.

Naravno, opet možete pribjeći metodi “head-on” rješenja. Ali budući da su dati elementi serije, koji su relativno udaljeni jedan od drugog, ova metoda neće biti sasvim zgodna. Ali korištenje rezultirajuće formule brzo će nas dovesti do odgovora:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2,83

Ovdje smo zaokružili konačan broj. U kojoj mjeri je ovo zaokruživanje dovelo do greške može se procijeniti provjerom rezultata:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Ovaj rezultat se razlikuje za samo 0,1% od vrijednosti date u uvjetu. Stoga se zaokruživanje korišteno na najbliže stotinke može smatrati uspješnim izborom.

Problemi koji uključuju primjenu formule za termin

Razmotrimo klasičan primjer problema za određivanje nepoznatog d: pronađite razliku aritmetičke progresije ako je a1 = 12, a5 = 40.

Kada su data dva broja nepoznatog algebarskog niza, a jedan od njih je element a 1, onda ne morate dugo razmišljati, već odmah treba primijeniti formulu za a n član. IN u ovom slučaju imamo:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Tačan broj smo dobili prilikom dijeljenja, tako da nema smisla provjeravati tačnost izračunatog rezultata, kao što je to urađeno u prethodnom pasusu.

Riješimo još jedan sličan problem: trebamo pronaći razliku aritmetičke progresije ako je a1 = 16, a8 = 37.

Koristimo pristup sličan prethodnom i dobijamo:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Šta još trebate znati o aritmetičkoj progresiji?

Pored problema pronalaženja nepoznate razlike ili pojedinačnih elemenata, često je potrebno riješiti i probleme zbira prvih članova niza. Razmatranje ovih zadataka je izvan okvira ovog članka, međutim, radi potpunosti informacija koje iznosimo opšta formula za zbir n brojeva u nizu:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Instrukcije

Aritmetička progresija je niz oblika a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Broj d korak progresija.Očigledno je da je general proizvoljnog n-tog člana aritmetike progresija ima oblik: An = A1+(n-1)d. Zatim poznavanje jednog od članova progresija, član progresija i korak progresija, možete, odnosno broj naprednog člana. Očigledno, to će biti određeno formulom n = (An-A1+d)/d.

Neka sada bude poznat m-ti pojam progresija i još jedan član progresija- n-ti, ali n , kao u prethodnom slučaju, ali je poznato da se n i m ne poklapaju. progresija može se izračunati pomoću formule: d = (An-Am)/(n-m). Tada je n = (An-Am+md)/d.

Ako je poznat zbir nekoliko elemenata aritmetičke jednadžbe progresija, kao i njegov prvi i zadnji, tada se može odrediti i broj ovih elemenata. progresija biće jednako: S = ((A1+An)/2)n. Tada je n = 2S/(A1+An) - chdenov progresija. Koristeći činjenicu da je An = A1+(n-1)d, ova formula se može prepisati kao: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Iz ovoga možemo izraziti n rješavanjem kvadratna jednačina.

Aritmetički niz je uređeni skup brojeva čiji se svaki član, osim prvog, razlikuje od prethodnog za isti iznos. Ova konstantna vrijednost naziva se razlika progresije ili njenog koraka i može se izračunati iz poznatih pojmova aritmetičke progresije.

Instrukcije

Ako su vrijednosti prvog i drugog ili bilo kojeg drugog para susjednih članova poznate iz uslova zadatka, za izračunavanje razlike (d) jednostavno oduzmite prethodni od sljedećeg člana. Rezultirajuća vrijednost može biti pozitivna ili negativan broj- zavisi od toga da li se progresija povećava. IN opšti oblik napišite rješenje za proizvoljno odabrani par (aᵢ i aᵢ₊₁) susjednih članova progresije na sljedeći način: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Za par termina takve progresije, od kojih je jedan prvi (a₁), a drugi bilo koji drugi proizvoljno odabran, također je moguće kreirati formulu za pronalaženje razlike (d). Međutim, u ovom slučaju, serijski broj (i) proizvoljno odabranog člana niza mora biti poznat. Da biste izračunali razliku, zbrojite oba broja i rezultat podijelite s rednim brojem proizvoljnog člana smanjenom za jedan. Općenito, napišite ovu formulu na sljedeći način: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Ako je, pored proizvoljnog člana aritmetičke progresije s rednim brojem i, poznat još jedan član s rednim brojem u, promijenite formulu iz prethodnog koraka u skladu s tim. U ovom slučaju, razlika (d) progresije će biti zbir ova dva člana podijeljen s razlikom njihovih rednih brojeva: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Formula za izračunavanje razlike (d) postaje nešto komplikovanija ako uslovi problema daju vrijednost njegovog prvog člana (a₁) i zbir (Sᵢ) datog broja (i) prvih članova aritmetičkog niza. Da biste dobili željenu vrijednost, podijelite zbroj s brojem članova koji ga čine, oduzmite vrijednost prvog broja u nizu i udvostručite rezultat. Dobivenu vrijednost podijelite sa brojem članova koji čine zbroj smanjen za jedan. Općenito, napišite formulu za izračunavanje diskriminanta na sljedeći način: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Ciljevi:

1. Uvesti koncept aritmetičke progresije.
2. Razmotrite glavne vrste problema koristeći formulu za n-ti član aritmetičke progresije.
3. Koristite elemente razvojnog učenja na času.
4. Razvijati analitičko mišljenje učenika.

Tokom nastave

Učitelju. U prethodnoj lekciji uveli smo pojam beskonačnog niza brojeva kao funkcije definirane na skupu prirodnih brojeva i saznali da nizovi mogu biti beskonačni i konačni, rastući i opadajući, a naučili smo i načine za njihovo definiranje. Navedite ih.

Studenti.

1. Analitički (koristeći formulu).
2. Verbalno (postavljanje niza sa opisom).
3. Rekurentno (kada se bilo koji član niza, počevši od nekog, izražava kroz prethodne članove).

Vježba 1. Navedite, ako je moguće, 7. član svake sekvence.

(a n): 6; 10; 14; 18; 22; 26;…
(bn): 49; 25; 81; 4; 121; 64...
(cn): 22; 17; 12; 7; 2; -3…
(xn): -3,8; -2,6; -1,4; -0,2; 1; 2.2…
(y n): -12; 7; 8; 14; -23; 41…

Učitelju. Zašto je nemoguće odgovoriti na pitanje za nizove b n i y n?

Studenti. Ne postoji specifičan obrazac u ovim nizovima, iako se (b n) sastoji od kvadrata prirodnih brojeva, ali se uzimaju proizvoljnim redoslijedom, a (y n) predstavlja proizvoljne serije brojevi, tako da sedmo mjesto može biti bilo koji broj.

Učitelju. Za sekvence (a n); (cn); (x n) svi ste uspjeli tačno pronaći 7. član.

Zadatak 2. Smislite vlastiti primjer takvog niza. Navedite njegova prva 4 člana. Razmijenite sveske sa komšijom za stolom i odredite 5. član ovog niza.

Učitelju. Koje zajedničko svojstvo imaju takvi nizovi?

Student. Svaki sljedeći pojam razlikuje se od prethodnog za isti broj.

Učitelju. Nizovi ovog tipa nazivaju se aritmetičke progresije. Oni će biti predmet naše današnje studije. Formulirajte temu lekcije.

(Učenik može lako da formuliše prvi deo teme. Nastavnik može sam da formuliše drugi deo)

Učitelju. Formulirajte ciljeve lekcije na osnovu ove teme.

(Važno je da učenici što potpunije i preciznije formulišu svoje ciljeve učenja, zatim ih prihvate i teže da ih ostvare)

Studenti.

1. Definirajte aritmetičku progresiju.
2. Izvedite formulu za n-ti član aritmetičke progresije.
3. Naučite rješavati probleme na temu (razmotrite Razne vrste zadaci).

Tada je korisno projicirati nastavnikove ciljeve za učenike na ekran kako bi se osiguralo da imaju zajedničke ciljeve.

Učitelju. Malo istorije. Izraz "progresija" dolazi od latinskog progresija, što znači "pomicanje naprijed", a uveo ga je rimski autor Boetije u 6. vijeku nove ere. i primljeno dalji razvoj u radovima Fibonaccija, Chuqueta, Gausa i drugih naučnika.

Definicija. Aritmetička progresija je niz u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu dodanom istom broju. Ovaj broj se naziva razlika aritmetičke progresije i označava se d.

(a n): a 1 ; a 2 ; a 3 ; ...a n ...aritmetička progresija.
d = a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = … = a n+1 - a n

Zadatak 3. Neka je a 1 = 7; d = 0.

Imenujte sljedeća 3 člana niza.

Studenti. 7; 7; 7

Učitelju. Takvi nizovi se nazivaju konstantnim ili stacionarnim.

Neka je a 1 = -12; d = 3. Imenujte 3 člana ovog niza.

Student. -9; -6; -3

Učitelju. Da li ću biti u pravu ako navedem brojeve: -15; -18; -21?

Po pravilu, većina studenata smatra da je to tačno. Zatim ih zamolite da identifikuju broj svakog člana. Pošto broj člana niza mora biti izražen kao prirodan broj, imenovani brojevi ne mogu biti prisutni u ovom nizu.

Zadatak 4. U aritmetičkoj progresiji a 1; a 2 ; 6; 4; a 5 nađi a 1 ; a 2 ; a 5.

Zadatak se izvodi u paru, jedan učenik ga po želji ispunjava poleđina ploče.

Rješenje:

d = 4 – 6 = -2
a 5 = a 4 + d = 4 – 2 = 2
a 2 = a 3 – d = 6 – (-2) = 8
a 1 = a 2 – d = 8 – (-2) = 10

Odredite za ovu sekvencu 8 i 126

Studenti. a 8 = -4 i 126 se mogu specificirati, ali je potrebno predugo za brojanje.

Učitelju. To znači da moramo pronaći način koji će nam omogućiti da brzo pronađemo bilo koji član niza. Pokušajte izvesti formulu za n-ti član aritmetičke progresije.

Možete pozvati snažnog učenika na ploču i kroz jasno postavljena pitanja i uz pomoć razreda izvući formulu.

Derivacija formule:

a 2 = a 1 + d
a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d
a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d
itd.

A n = a 1 + (n – 1) d- formulan-ti član aritmetičke progresije.

Učitelju. Dakle, šta trebate znati da biste odredili bilo koji član aritmetičke progresije?

Studenti. a 1 i d

Učitelju. Koristeći ovu formulu, pronađite 126.

Studenti. a 126 = a 1 + 125d = 10 = 125 ∙ (- 2) = 10 – 250 = - 240

Zadatak 5. Neka (b n): aritmetička progresija u kojoj je b 1 prvi član, a d razlika. Pronađite greške:

b 4 = b 1 + 3d		b 2k = b 1 + (2k – 1)∙d
b 9 = b 1 + 10d		b k-4 = b 1 + (k – 3)∙d
b -3 = b 1 - 4d		b k+7 = b 1 + (k – 6)∙d

Zadatak 6. Razmotrimo formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Hajde da saznamo koje vrste problema se mogu riješiti pomoću ove formule. Formulirajte direktan problem.

Studenti. S obzirom na vrijednosti a 1 i d, pronađite a n.

Učitelju. Koji se inverzni problemi mogu postaviti?

Studenti.

1. Dati su 1 i n. Nađi d.
2. Dati su d i a n. Pronađite 1.
3. Date su 1, d i a n. Nađi br.

Zadatak 7. Pronađite razliku aritmetičke progresije u kojoj je y 1 = 10; y 5 = 22

Rešenje na tabli:

y 5 = y 1 + 4d
22 = 10 + 4d
4d = 12
d=3

Zadatak 8. Da li aritmetička progresija sadrži 2; 9; ... broj 156?

Analiza: obrazloženjem dolazimo do zaključka da jer svaki broj u nizu ima svoj broj, izražen kao prirodan broj, tada treba pronaći broj člana niza i saznati da li on pripada skupu prirodnih brojeva. Ako pripada, tada niz sadrži dati broj, u suprotnom ne.

Rješenje na tabli:

a n = a 1 + (n – 1) d
156 = 2 + 7 (n – 1)
7 (n – 1) = 154
n – 1 = 22
n = 23

Odgovor: a 23 = 156

Zadatak 9. Pronađite prva tri člana aritmetičke progresije u kojoj

a 1 + a 5 = 24;
a 2 ∙a 3 =60

Analiziramo zadatak, kreiramo sistem jednačina koje predlažemo da riješimo kod kuće.

a 1 + a 1 + 4d = 24;
(a 1 + d)∙(a 1 + 4d)= 60.

Sažimanje ukupno lekcija.

Šta ste novo naučili danas na času? Šta ste naučili?

Zadaća. Pročitajte materijal iz 25. paragrafa udžbenika. Naučite definiciju aritmetičke progresije i formulu za n-ti član. Biti u stanju izraziti iz formule sve količine koje su u njoj uključene. Riješite sistem za zadatak 9. Pratite udžbenik br. 575 (a, b); 576; 578(a); 579(a).

Dodatni zadatak ocjenjivanja: neka 1 ; a 2 ; a 3 ; ...a n ...aritmetička progresija. Dokazati da je a n+1 = (a n + a n+2) : 2

Prvi nivo

Aritmetička progresija. Detaljna teorija s primjerima (2019)

Redoslijed brojeva

Dakle, hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:
Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju ih ima). Koliko god brojeva zapisali, uvijek možemo reći koji je prvi, koji drugi, i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:

Redoslijed brojeva
Na primjer, za naš niz:

Dodijeljeni broj je specifičan za samo jedan broj u nizu. Drugim riječima, u nizu nema broja od tri sekunde. Drugi broj (kao i ti broj) je uvijek isti.
Broj sa brojem naziva se th član niza.

Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer,), a svaki član ovog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju ovog člana: .

u našem slučaju:

Recimo da imamo niz brojeva u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.
Na primjer:

itd.
Ovaj niz brojeva naziva se aritmetička progresija.
Termin "progresija" uveo je rimski autor Boetije još u 6. veku i shvaćen je u širem smislu kao beskonačan numerički niz. Naziv "aritmetika" prenet je iz teorije kontinuiranih proporcija, koju su proučavali stari Grci.

Ovo je niz brojeva čiji je svaki član jednak prethodnom dodanom istom broju. Ovaj broj se naziva razlika aritmetičke progresije i označava se.

Pokušajte odrediti koji nizovi brojeva su aritmetička progresija, a koji nisu:

a)
b)
c)
d)

Jasno? Uporedimo naše odgovore:
Is aritmetička progresija - b, c.
Nije aritmetička progresija - a, d.

Vratimo se na datu progresiju () i pokušamo pronaći vrijednost njenog th člana. Postoji dva način da ga nađete.

1. Metoda

Možemo dodati broj progresije na prethodnu vrijednost dok ne dođemo do th člana progresije. Dobro je da nemamo mnogo toga da rezimiramo - samo tri vrijednosti:

Dakle, th član opisane aritmetičke progresije je jednak.

2. Metoda

Šta ako trebamo pronaći vrijednost th člana progresije? Zbrajanje bi nam oduzelo više od jednog sata, a nije činjenica da ne bismo pogriješili prilikom sabiranja brojeva.
Naravno, matematičari su smislili način na koji nije potrebno dodati razliku aritmetičke progresije na prethodnu vrijednost. Pogledajte izbliza nacrtanu sliku... Sigurno ste već primijetili određeni uzorak, i to:

Na primjer, da vidimo od čega se sastoji vrijednost th člana ove aritmetičke progresije:


Drugim riječima:

Pokušajte sami pronaći vrijednost člana date aritmetičke progresije na ovaj način.

Jesi li izračunao? Uporedite svoje bilješke sa odgovorom:

Imajte na umu da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo uzastopno dodali članove aritmetičke progresije na prethodnu vrijednost.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu- Hajde da je dovedemo opšti oblik i dobijamo:

Jednačina aritmetičke progresije.

Aritmetičke progresije mogu biti rastuće ili opadajuće.

Povećanje- progresije u kojima je svaka naredna vrijednost pojmova veća od prethodne.
Na primjer:

Silazno- progresije u kojima je svaka naredna vrijednost pojmova manja od prethodne.
Na primjer:

Izvedena formula se koristi u izračunavanju članova u rastućim i opadajućim terminima aritmetičke progresije.
Hajde da to proverimo u praksi.
Dobili smo aritmetičku progresiju koja se sastoji od sljedećih brojeva: Provjerimo koliki će biti th broj ove aritmetičke progresije ako koristimo našu formulu da ga izračunamo:

Od tada:

Stoga smo uvjereni da formula djeluje i u opadajućoj i u rastućoj aritmetičkoj progresiji.
Pokušajte sami pronaći th i th članove ove aritmetičke progresije.

Uporedimo rezultate:

Svojstvo aritmetičke progresije

Hajde da zakomplikujemo problem - izvešćemo svojstvo aritmetičke progresije.
Recimo da nam je dat sljedeći uslov:
- aritmetička progresija, pronađite vrijednost.
Lako, kažete i počinjete brojati prema formuli koju već znate:

Neka, ah, onda:

Apsolutno u pravu. Ispada da prvo pronađemo, pa ga dodamo prvom broju i dobijemo ono što tražimo. Ako je progresija predstavljena malim vrijednostima, onda u tome nema ništa komplikovano, ali šta ako su nam dati brojevi u uslovu? Slažem se, postoji mogućnost da napravite grešku u proračunima.
Sada razmislite o tome da li je moguće riješiti ovaj problem u jednom koraku koristeći bilo koju formulu? Naravno da, i to je ono što ćemo sada pokušati da iznesemo.

Označimo traženi član aritmetičke progresije kao, formula za njeno pronalaženje nam je poznata - to je ista formula koju smo izveli na početku:
, Zatim:

• prethodni termin progresije je:
• sljedeći termin progresije je:

Sumirajmo prethodni i naredni termin progresije:

Ispada da je zbir prethodnog i narednog člana progresije dvostruka vrijednost člana progresije koji se nalazi između njih. Drugim riječima, da biste pronašli vrijednost progresijskog člana sa poznatim prethodnim i uzastopnim vrijednostima, trebate ih sabrati i podijeliti.

Tako je, imamo isti broj. Osigurajmo materijal. Sami izračunajte vrijednost za napredak, to uopće nije teško.

Dobro urađeno! Znate skoro sve o napredovanju! Ostaje da saznamo samo jednu formulu, koju je, prema legendi, lako zaključio jedan od najvećih matematičara svih vremena, “kralj matematičara” - Karl Gauss...

Kada je Carl Gauss imao 9 godina, učiteljica, zauzeta provjeravanjem rada učenika u drugim razredima, zadala je sljedeći zadatak u razredu: „Izračunaj zbir svih prirodnih brojeva od do (prema drugim izvorima do) uključivo.” Zamislite učiteljevo iznenađenje kada je jedan od njegovih učenika (ovo je bio Karl Gauss) minut kasnije dao tačan odgovor na zadatak, dok je većina drznika iz razreda, nakon dugih proračuna, dobila pogrešan rezultat...

Mladi Carl Gauss primijetio je određeni obrazac koji i vi možete lako primijetiti.
Recimo da imamo aritmetičku progresiju koja se sastoji od --tih članova: Moramo pronaći zbir ovih članova aritmetičke progresije. Naravno, možemo ručno sabrati sve vrijednosti, ali šta ako zadatak zahtijeva pronalaženje zbira njegovih članova, kao što je Gauss tražio?

Hajde da opišemo napredak koji nam je dat. Pogledajte pobliže istaknute brojeve i pokušajte s njima izvesti razne matematičke operacije.


Jeste li probali? Šta ste primetili? Tačno! Njihove sume su jednake

Sada mi recite koliko je ukupno takvih parova u progresiji koja nam je data? Naravno, tačno polovina svih brojeva, tj.
Na osnovu činjenice da je zbir dva člana aritmetičke progresije jednak, a slični parovi jednaki, dobijamo da ukupan iznos je jednako:
.
Dakle, formula za zbir prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

U nekim problemima ne znamo th pojam, ali znamo razliku progresije. Pokušajte zamijeniti formulu th-og člana u formulu zbira.
šta si dobio?

Dobro urađeno! Vratimo se sada na problem koji je postavljen Carlu Gausu: izračunajte sami čemu je jednak zbir brojeva koji počinju od th i zbiru brojeva koji počinju od th.

Koliko si dobio?
Gauss je otkrio da je zbir članova jednak i zbir članova. Jesi li tako odlučio?

U stvari, formulu za zbir članova aritmetičke progresije dokazao je starogrčki naučnik Diofant još u 3. veku, i sve to vreme, duhoviti ljudi su u potpunosti koristili svojstva aritmetičke progresije.
Na primjer, zamislite Drevni Egipat i najveći građevinski poduhvat tog vremena - izgradnja piramide... Na slici je jedna njena strana.

Gdje je tu napredak, kažete? Pažljivo pogledajte i pronađite uzorak u broju pješčanih blokova u svakom redu zida piramide.


Zašto ne aritmetička progresija? Izračunajte koliko je blokova potrebno za izgradnju jednog zida ako su blok cigle postavljene u podnožju. Nadam se da nećete brojati dok pomičete prst po monitoru, sjećate se posljednje formule i svega što smo rekli o aritmetičkoj progresiji?

U ovom slučaju, progresija izgleda ovako: .
Razlika aritmetičke progresije.
Broj članova aritmetičke progresije.
Zamijenimo naše podatke u posljednje formule (izračunajte broj blokova na 2 načina).

Metoda 1.

Metoda 2.

A sada možete izračunati na monitoru: usporedite dobivene vrijednosti s brojem blokova koji se nalaze u našoj piramidi. Jasno? Bravo, savladali ste zbir n-ih članova aritmetičke progresije.
Naravno, ne možete izgraditi piramidu od blokova u podnožju, ali od? Pokušajte izračunati koliko je pješčanih cigli potrebno za izgradnju zida s ovim uvjetom.
Jeste li uspjeli?
Tačan odgovor su blokovi:

Trening

Zadaci:

1. Maša je u formi za ljeto. Svakim danom povećava broj čučnjeva. Koliko puta će Maša raditi čučnjeve u sedmici ako je radila čučnjeve na prvom treningu?
2. Koliki je zbir svih neparnih brojeva sadržanih u.
3. Prilikom skladištenja trupaca, drvosječe ih slažu na način da svaki gornji sloj sadrži jedan dnevnik manje od prethodnog. Koliko je trupaca u jednom zidu, ako je temelj zidanja trupac?

odgovori:

1. Definirajmo parametre aritmetičke progresije. U ovom slučaju
   (sedmice = dani).

   odgovor: Za dvije sedmice, Maša bi trebala raditi čučnjeve jednom dnevno.

2. Prvi neparni broj, zadnji broj.
   Razlika aritmetičke progresije.
   Broj neparnih brojeva u je pola, međutim, provjerimo ovu činjenicu koristeći formulu za pronalaženje th člana aritmetičke progresije:

   Brojevi sadrže neparne brojeve.
   Zamijenimo dostupne podatke u formulu:

   odgovor: Zbir svih neparnih brojeva sadržanih u je jednak.

3. Prisjetimo se problema s piramidama. Za naš slučaj, a , pošto je svaki gornji sloj smanjen za jedan log, onda ukupno postoji gomila slojeva, tj.
   Zamijenimo podatke u formulu:

   odgovor: U zidovima su trupci.

Hajde da sumiramo

1. - brojevni niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka. Može se povećavati ili smanjivati.
2. Pronalaženje formule Vi član aritmetičke progresije piše se formulom - , gdje je broj brojeva u progresiji.
3. Svojstvo članova aritmetičke progresije- - gdje je broj brojeva u progresiji.
4. Zbir članova aritmetičke progresije može se naći na dva načina:
   
   , gdje je broj vrijednosti.

ARITHMETIČKA PROGRESIJA. PROSJEČAN NIVO

Redoslijed brojeva

Hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:

Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite. Ali uvijek možemo reći koji je prvi, koji je drugi i tako dalje, odnosno možemo ih numerisati. Ovo je primjer niza brojeva.

Redoslijed brojeva je skup brojeva, od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.

Drugim riječima, svaki broj može biti povezan s određenim prirodnim brojem, i to jedinstvenim. I nećemo dodijeliti ovaj broj nijednom drugom broju iz ovog skupa.

Broj sa brojem naziva se th član niza.

Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer,), a svaki član ovog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju ovog člana: .

Vrlo je zgodno ako se th član niza može specificirati nekom formulom. Na primjer, formula

postavlja redoslijed:

A formula je sljedeći niz:

Na primjer, aritmetička progresija je niz (prvi član je ovdje jednak, a razlika je). Ili (, razlika).

formula n-tog člana

Formulu nazivamo rekurentnom u kojoj, da biste saznali th pojam, morate znati prethodni ili nekoliko prethodnih:

Da bismo pronašli, na primjer, th član progresije koristeći ovu formulu, morat ćemo izračunati prethodnih devet. Na primjer, neka. onda:

Pa, da li je sada jasno koja je formula?

U svakom redu dodajemo, pomnoženo nekim brojem. Koji? Vrlo jednostavno: ovo je broj trenutnog člana minus:

Sada je mnogo zgodnije, zar ne? Provjeravamo:

Odlučite sami:

U aritmetičkoj progresiji pronađite formulu za n-ti član i pronađite stoti član.

Rješenje:

Prvi član je jednak. Koja je razlika? Evo šta:

(Zato se zove razlika jer je jednaka razlici uzastopnih članova progresije).

Dakle, formula:

Tada je stoti član jednak:

Koliki je zbir svih prirodnih brojeva od do?

Prema legendi, veliki matematičar Carl Gauss, kao 9-godišnji dječak, izračunao je ovu količinu za nekoliko minuta. Primijetio je da je zbir prvog i zadnji datum je jednak, zbir drugog i pretposljednjeg je isti, zbir trećeg i trećeg s kraja je isti, i tako dalje. Koliko ukupno ima takvih parova? Tako je, tačno polovina broja svih brojeva, tj. dakle,

Opća formula za zbir prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

primjer:
Pronađite zbir svih dvocifrenim brojevima, višestruki.

Rješenje:

Prvi takav broj je ovaj. Svaki naredni broj se dobija dodavanjem prethodnog broja. Dakle, brojevi koji nas zanimaju formiraju aritmetičku progresiju sa prvim članom i razlikom.

Formula th člana za ovu progresiju:

Koliko članova ima u progresiji ako svi moraju biti dvocifreni?

Vrlo jednostavno: .

Posljednji član progresije će biti jednak. Zatim suma:

Odgovor: .

Sada odlučite sami:

1. Svakog dana sportista pretrči više metara nego prethodnog dana. Koliko će ukupno kilometara pretrčati u sedmici ako je prvog dana pretrčao km m?
2. Biciklista svaki dan prijeđe više kilometara nego prethodnog dana. Prvog dana prešao je km. Koliko dana mu je potrebno da pređe kilometar? Koliko će kilometara preći tokom posljednjeg dana svog putovanja?
3. Cijena frižidera u trgovini svake godine se smanjuje za isti iznos. Odredite za koliko se smanjila cijena frižidera svake godine ako je, stavljen na prodaju za rublje, šest godina kasnije prodat za rublje.

odgovori:

1. Ovdje je najvažnije prepoznati aritmetičku progresiju i odrediti njene parametre. U ovom slučaju, (sedmice = dani). Morate odrediti zbir prvih članova ove progresije:
   .
   odgovor:
2. Ovdje je dato: , mora se naći.
   Očigledno, morate koristiti istu formulu sume kao u prethodnom zadatku:
   .
   Zamijenite vrijednosti:

   Korijen očito ne odgovara, tako da je odgovor.
   Izračunajmo put koji smo prešli u posljednjem danu koristeći formulu th člana:
   (km).
   odgovor:

3. Dato: . Pronađite: .
   Ne može biti jednostavnije:
   (rub).
   odgovor:

ARITHMETIČKA PROGRESIJA. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Ovo je niz brojeva u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.

Aritmetička progresija može biti rastuća () i opadajuća ().

Na primjer:

Formula za pronalaženje n-og člana aritmetičke progresije

zapisuje se po formuli, gdje je broj brojeva u progresiji.

Svojstvo članova aritmetičke progresije

Omogućava vam da lako pronađete pojam progresije ako su poznati njegovi susjedni pojmovi - gdje je broj brojeva u progresiji.

Zbir članova aritmetičke progresije

Postoje dva načina da pronađete iznos:

Gdje je broj vrijednosti.

Gdje je broj vrijednosti.