Ujednačena distribucija.Slučajna vrijednost X ima značenje koordinate tačke odabrane nasumično na segmentu

[a, b. Ujednačena gustina distribucija slučajne varijable X(Sl. 10.5, A) može se definirati kao:

Rice. 10.5. Uniformna distribucija slučajne varijable: A- gustina distribucije; b- funkcija distribucije

Funkcija distribucije slučajne varijable X ima oblik:

Grafikon funkcije uniformne distribucije prikazan je na Sl. 10.5, b.

Izračunavamo Laplaceovu transformaciju uniformne distribucije koristeći (10.3):

Očekivana vrijednost i varijansa se lako izračunavaju direktno iz odgovarajućih definicija:

Slične formule za matematičko očekivanje i disperziju se također mogu dobiti korištenjem Laplaceove transformacije korištenjem formula (10.8), (10.9).

Razmotrimo primjer uslužnog sistema koji se može opisati uniformnom distribucijom.

Saobraćaj na raskrsnici reguliše se automatskim semaforom, na kojem je zeleno svetlo upaljeno 1 minut, a crveno 0,5 minuta. Vozači prilaze raskrsnici slučajni momenti vrijeme sa ravnomjernom distribucijom koja nije vezana za rad semafora. Nađimo vjerovatnoću da će automobil proći raskrsnicu bez zaustavljanja.

Trenutak kada automobil prođe kroz raskrsnicu ravnomjerno je raspoređen u intervalu 1 + 0,5 = 1,5 minuta. Automobil će proći kroz raskrsnicu bez zaustavljanja ako je trenutak prolaska raskrsnice unutar vremenskog intervala. Za ravnomerno raspoređenu slučajnu promenljivu u intervalu, verovatnoća pada u interval je 1/1,5=2/3. Vrijeme čekanja Gož je mješovita slučajna varijabla. Sa vjerovatnoćom 2/3 jednaka je nuli, a sa vjerovatnoćom 0,5/1,5 uzima bilo koju vrijednost između 0 i 0,5 min. Dakle, prosječno vrijeme čekanja i varijacija na raskrsnici

Eksponencijalna (eksponencijalna) distribucija. Za eksponencijalnu distribuciju, gustina distribucije slučajne varijable može se napisati kao:

gdje se A naziva parametar distribucije.

Grafikon gustine vjerovatnoće eksponencijalne raspodjele prikazan je na Sl. 10.6, A.

Funkcija distribucije slučajne varijable sa eksponencijalnom distribucijom ima oblik

Rice. 10.6. Eksponencijalna distribucija slučajne varijable: A- gustina distribucije; b - funkcija distribucije

Grafikon funkcije eksponencijalne distribucije prikazan je na Sl. 10.6, 6.

Izračunavamo Laplaceovu transformaciju eksponencijalne distribucije koristeći (10.3):

Pokažimo to za slučajnu varijablu X, ima eksponencijalnu distribuciju, očekivanu vrijednost jednako standardnoj devijaciji a i obrnuto parametru A:

Dakle, za eksponencijalnu raspodelu imamo: Takođe se može pokazati da

one. eksponencijalna raspodjela je u potpunosti okarakterizirana srednjom ili parametrom X .

Eksponencijalna distribucija ima broj korisna svojstva, koji se koriste u modeliranju uslužnih sistema. Na primjer, nema memoriju. Kada , To

Drugim riječima, ako slučajna varijabla odgovara vremenu, tada distribucija preostalog trajanja ne ovisi o vremenu koje je već prošlo. Ovo svojstvo je ilustrovano na Sl. 10.7.

Rice. 10.7.

Razmotrimo primjer sistema čiji se radni parametri mogu opisati eksponencijalnom distribucijom.

Kada uređaj radi, kvarovi se javljaju u nasumično vrijeme. Vrijeme rada uređaja T od njegovog uključivanja do pojave kvara raspoređuje se po eksponencijalnom zakonu sa parametrom X. Ako se otkrije kvar, uređaj odmah ide u popravku, koja traje vrijeme / 0. Nađimo gustinu i funkciju distribucije vremenskog intervala G između dva susjedna rasjeda, matematičko očekivanje i disperziju, kao i vjerovatnoću da vrijeme T x biće ih još 2t 0 .

Od tada

Normalna distribucija. Normalna je distribucija vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable, koja je opisana gustinom

Iz (10.48) slijedi da normalna distribucija određuju dva parametra – matematičko očekivanje T i disperzija a 2. Graf gustine vjerovatnoće slučajne varijable sa normalnom distribucijom pri t= 0, a 2 =1 je prikazano na Sl. 10.8, A.

Rice. 10.8. Zakon normalne distribucije slučajne varijable at T= 0, st 2 = 1: A- gustina vjerovatnoće; 6 - funkcija distribucije

Funkcija distribucije je opisana formulom

Grafikon funkcije raspodjele vjerovatnoće normalno raspoređene slučajne varijable at T= 0, a 2 = 1 je prikazano na Sl. 10.8, b.

Odredimo vjerovatnoću da Xće uzeti vrijednost koja pripada intervalu (a, p):

Gdje je Laplaceova funkcija i vjerovatnoća da

Šta apsolutna vrijednost odstupanja manja od pozitivnog broja 6:

Konkretno, kada t = 0 jednakost je tačna:

Kao što vidite, slučajna varijabla s normalnom distribucijom može imati i pozitivne i negativne vrijednosti. Stoga je za izračunavanje momenata potrebno koristiti dvosmjernu Laplaceovu transformaciju

Međutim, ovaj integral ne postoji nužno. Ako postoji, umjesto (10.50) obično se koristi izraz

koji se zove karakteristična funkcija ili generirajuća funkcija momenata.

Izračunajmo generirajuću funkciju momenata normalne distribucije koristeći formulu (10.51):

Nakon transformacije brojioca podeksponencijalnog izraza u formu dobijamo

Integral

budući da je to integral normalne gustine vjerovatnoće sa parametrima t + pa 2 i a 2. dakle,

Diferencirajući (10.52), dobijamo

Iz ovih izraza možete pronaći sljedeće tačke:

Normalna raspodjela se široko koristi u praksi, jer, prema središnjoj graničnoj teoremi, ako je slučajna varijabla zbir vrlo velikog broja međusobno nezavisnih slučajnih varijabli, od kojih je utjecaj svake na cijeli zbir zanemarljiv, tada ima distribuciju blisku normalnoj.

Razmotrimo primjer sistema čiji se parametri mogu opisati normalnom distribucijom.

Kompanija proizvodi dio određene veličine. Kvalitet dijela se ocjenjuje mjerenjem njegove veličine. Slučajne greške mjerenja podliježu normalnom zakonu sa standardnom devijacijom A - Yumkm. Nađimo vjerovatnoću da greška mjerenja neće biti veća od 15 mikrona.

Iz (10.49) nalazimo

Radi lakšeg korišćenja razmatranih distribucija, dobijene formule sumiramo u tabeli. 10.1 i 10.2.

Tabela 10.1. Osnovne karakteristike kontinuiranih distribucija

Tabela 10.2. Generirajuće funkcije kontinuiranih distribucija

KONTROLNA PITANJA

• 1. Koje se distribucije vjerovatnoće smatraju kontinuiranim?
• 2. Šta je Laplace-Stieltjesova transformacija? Za šta se koristi?
• 3. Kako izračunati momente slučajnih varijabli koristeći Laplace-Stieltjes transformaciju?
• 4. Šta je Laplaceova transformacija zbira nezavisnih slučajnih varijabli?
• 5. Kako izračunati prosječno vrijeme i varijansu vremena kada sistem prelazi iz jednog stanja u drugo koristeći grafove signala?
• 6. Navedite glavne karakteristike ujednačene distribucije. Navedite primjere njegove upotrebe u uslužnim zadacima.
• 7. Navedite glavne karakteristike eksponencijalne raspodjele. Navedite primjere njegove upotrebe u uslužnim zadacima.
• 8. Navedite glavne karakteristike normalne distribucije. Navedite primjere njegove upotrebe u uslužnim zadacima.

Poglavlje 6. Kontinuirane slučajne varijable.

§ 1. Gustina i funkcija raspodjele kontinuirane slučajne varijable.

Skup vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je nebrojiv i obično predstavlja neki konačni ili beskonačni interval.

Poziva se slučajna varijabla x(w) definisana u prostoru vjerovatnoće (W, S, P). kontinuirano(apsolutno kontinuirano) W, ako postoji nenegativna funkcija takva da se za bilo koji x funkcija distribucije Fx(x) može predstaviti kao integral

Funkcija se zove funkcija gustine distribucije vjerovatnoće.

Definicija implicira svojstva funkcije gustoće distribucije:

1..gif" width="97" height="51">

3. U tačkama kontinuiteta, gustina distribucije je jednaka izvodu funkcije raspodjele: .

4. Gustina distribucije određuje zakon distribucije slučajne varijable, jer određuje vjerovatnoću da slučajna varijabla padne u interval:

5. Vjerovatnoća da će kontinuirana slučajna varijabla uzeti određenu vrijednost je nula: . Dakle, važe sljedeće jednakosti:

Poziva se graf funkcije gustoće distribucije kriva distribucije, a površina ograničena krivuljom distribucije i x-osom jednaka je jedinici. Tada je, geometrijski, vrijednost funkcije raspodjele Fx(x) u tački x0 površina ograničena krivuljom distribucije i x-osom i koja leži lijevo od tačke x0.

Zadatak 1. Funkcija gustoće kontinuirane slučajne varijable ima oblik:

Odrediti konstantu C, konstruisati funkciju distribucije Fx(x) i izračunati vjerovatnoću.

Rješenje. Konstanta C se nalazi iz uslova Imamo:

odakle C=3/8.

Da biste konstruirali funkciju distribucije Fx(x), imajte na umu da interval dijeli raspon vrijednosti argumenta x (numerička osa) na tri dijela: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">

pošto je gustina x na poluosi nula. U drugom slučaju

Konačno, u posljednjem slučaju, kada je x>2,

Pošto gustina nestaje na poluosi. Dakle, dobijena je funkcija distribucije

Vjerovatnoća Izračunajmo koristeći formulu. dakle,

§ 2. Numeričke karakteristike kontinuirane slučajne varijable

Očekivana vrijednost za kontinuirano distribuirane slučajne varijable određuje se formulom https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">,

ako integral na desnoj strani apsolutno konvergira.

Disperzija x se može izračunati pomoću formule , a također, kao u diskretnom slučaju, prema formuli https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src=">.

Sva svojstva matematičkog očekivanja i disperzije data u Poglavlju 5 za diskretne slučajne varijable vrijede i za kontinuirane slučajne varijable.

Problem 2. Za slučajnu varijablu x iz Zadatka 1, izračunajte matematičko očekivanje i varijansu .

Rješenje.

A to znači

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">

Za ujednačen grafikon gustine raspodjele, pogledajte sl. .

Sl.6.2. Funkcija distribucije i gustina distribucije. jedinstven zakon

Funkcija distribucije Fx(x) jednoliko raspoređene slučajne varijable je jednaka

Fx(x)=

Očekivanja i varijanse; .

Eksponencijalna (eksponencijalna) distribucija. Kontinuirana slučajna varijabla x koja uzima ne-negativne vrijednosti ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom l>0 ako je distribucija gustoće vjerovatnoće slučajne varijable jednaka

rx(x)=

Rice. 6.3. Funkcija distribucije i gustina distribucije eksponencijalnog zakona.

Funkcija distribucije eksponencijalne raspodjele ima oblik

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> i ako je njegova gustina raspodjele jednaka

.

Kroz označava skup svih slučajnih varijabli raspoređenih prema normalnom zakonu s parametrima, parametrima i .

Funkcija distribucije normalno raspoređene slučajne varijable je jednaka

.

Rice. 6.4. Funkcija distribucije i normalna gustina distribucije

Parametri normalne distribucije su matematičko očekivanje https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">

U posebnom slučaju kada https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> normalna distribucija se zove standard, a klasa takvih distribucija je označena sa https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49">,

i funkciju distribucije

Takav integral se ne može analitički izračunati (ne uzima se u „kvadraturama“), te su stoga za funkciju sastavljene tabele. Funkcija je povezana s Laplaceovom funkcijom predstavljenom u poglavlju 4

,

sljedećom relacijom . U slučaju proizvoljnih vrijednosti parametara https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> funkcija distribucije slučajne varijable povezana je s Laplaceovom funkcijom koristeći relaciju:

.

Prema tome, vjerovatnoća da normalno raspoređena slučajna varijabla padne u interval može se izračunati korištenjem formule

.

Nenegativna slučajna varijabla x naziva se lognormalno raspoređena ako njen logaritam h=lnx poštuje normalni zakon. Očekivana vrijednost i varijansa lognormalno raspoređene slučajne varijable su Mx= i Dx=.

Zadatak 3. Neka se zada slučajna varijabla https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.

Rješenje. Ovdje https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">

Laplaceova distribucija je dato funkcijom fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> i eksces je gx=3.

Sl.6.5. Laplaceova funkcija gustoće raspodjele.

Slučajna varijabla x je raspoređena po Weibullov zakon, ako ima funkciju gustoće distribucije jednaku https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">

Weibullova distribucija upravlja radnim vremenom bez otkaza mnogih tehničkih uređaja. U zadacima ovog profila važna karakteristika je stopa neuspjeha (stopa mortaliteta) l(t) proučavanih elemenata starosti t, određena relacijom l(t)=. Ako je a=1, onda se Weibullova raspodjela pretvara u eksponencijalnu, a ako je a=2 - u tzv. Rayleigh.

Matematičko očekivanje Weibullove distribucije: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, gdje je G(a) Euler funkcija.

IN razne zadatke U primijenjenoj statistici često se susreću takozvane „krnje“ distribucije. Na primjer, poreske vlasti su zainteresovane za raspodjelu prihoda onih pojedinaca čiji godišnji prihod prelazi određeni prag c0 utvrđen poreskim zakonima. Ispostavilo se da se ove distribucije približno poklapaju sa Pareto distribucijom. Pareto distribucija dato funkcijama

Fx(x)=P(x .gif" width="44" height="25"> slučajne varijable x i monotone diferencijabilne funkcije ..gif" width="200" height="51">

Ovdje https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.

Zadatak 4. Slučajna varijabla je ravnomjerno raspoređena na segmentu. Pronađite gustinu slučajne varijable.

Rješenje. Iz uslova problema proizilazi da

Dalje, funkcija je monotona i diferencibilna funkcija na intervalu i ima inverznu funkciju , čija je derivacija jednaka Dakle,

§ 5. Par kontinuiranih slučajnih varijabli

Neka su date dvije neprekidne slučajne varijable x i h. Tada par (x, h) definira “slučajnu” tačku na ravni. Par (x, h) se zove slučajni vektor ili dvodimenzionalna slučajna varijabla.

Funkcija zajedničke distribucije slučajne varijable x i h i funkcija se zove F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25">. gustina zglobova distribucija vjerovatnoće slučajnih varijabli x i h naziva se funkcija takva da .

Značenje ove definicije gustine zajedničke raspodjele je sljedeće. Verovatnoća da će „slučajna tačka“ (x, h) pasti u oblast na ravni izračunava se kao zapremina trodimenzionalne figure – „krivolinijskog“ cilindra ograničenog površinom https://pandia.ru/ text/78/107/images/image098_3. gif" width="211" height="39 src=">

Najjednostavniji primjer zajedničke distribucije dvije slučajne varijable je dvodimenzionalna ujednačena distribucija na setuA. Neka je ograničeni skup M dat sa površinom. Definisan je kao distribucija para (x, h), definisana sljedećom gustinom spoja:

Zadatak 5. Neka je dvodimenzionalni slučajni vektor (x, h) jednoliko raspoređen unutar trougla. Izračunajte vjerovatnoću nejednakosti x>h.

Rješenje. Površina navedenog trougla je jednaka (vidi sliku br.?). Na osnovu definicije dvodimenzionalne uniformne distribucije, zajednička gustina slučajnih varijabli x, h jednaka je

Događaj odgovara skupu na ravni, odnosno poluravni. Zatim vjerovatnoća

Na poluravni B, gustina spoja je nula izvan skupa https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. Dakle, poluravnina B podijeljena je na dva skupa i https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> i , a drugi integral je jednak nula, pošto je gustina spoja jednaka nuli. Zbog toga

Ako je data zajednička gustina raspodjele za par (x, h), tada se gustine obje komponente x i h nazivaju privatne gustine a izračunavaju se pomoću formula:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">

Za kontinuirano distribuirane slučajne varijable sa gustinama rx(h), rh(u), nezavisnost znači da

Zadatak 6. U uslovima prethodnog zadatka utvrditi da li su komponente slučajnog vektora x i h nezavisne?

Rješenje. Izračunajmo parcijalne gustine i . Imamo:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">

Očigledno, u našem slučaju https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> je zajednička gustina veličina x i h, i j( x, y) je dakle funkcija dva argumenta

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">

Zadatak 7. U uslovima prethodnog zadatka izračunajte .

Rješenje. Prema gornjoj formuli imamo:

.

Predstavljanje trougla kao

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">

§ 5. Gustina zbira dvije neprekidne slučajne varijable

Neka su x i h nezavisne slučajne varijable sa gustinama https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Gustoća slučajne varijable x + h se izračunava po formuli konvolucija

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Izračunajte gustinu sume.

Rješenje. Kako su x i h raspoređeni prema eksponencijalnom zakonu s parametrom , njihove gustine su jednake

dakle,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">

Ako je x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">je negativan, i stoga . Stoga, ako https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">

Tako smo dobili odgovor:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> normalno je distribuiran sa parametrima 0 i 1. Slučajne varijable x1 i x2 su nezavisne i imaju normalne distribucije sa parametrima a1, odnosno a2. Dokažite da x1 + x2 ima normalnu distribuciju Slučajne varijable x1, x2, ... xn su raspoređene i nezavisne i imaju istu funkciju gustine

.

Naći funkciju distribucije i gustinu distribucije vrijednosti:

a) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = max (x1,x2, ... xn)

Slučajne varijable x1, x2, ... xn su nezavisne i ravnomerno raspoređene na intervalu [a, b]. Naći funkcije raspodjele i funkcije gustoće distribucija veličina

x(1) = min (x1,x2, ... xn) i x(2)= max(x1, x2, ...xn).

Dokažite da je Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Slučajna varijabla je distribuirana prema Cauchyjevom zakonu. Nađi: a) koeficijent a; b) funkcija distribucije; c) vjerovatnoća pada u interval (-1, 1). Pokažite da matematičko očekivanje od x ne postoji. Slučajna varijabla je podložna Laplaceovom zakonu sa parametrom l (l>0): Pronađite koeficijent a; konstruirati grafove gustoće distribucije i funkcije raspodjele; pronaći Mx i Dx; naći vjerovatnoće događaja (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Napišite formulu za gustinu distribucije, pronađite Mx i Dx.

Računski zadaci.

Slučajna tačka A ima jednoliku distribuciju u krugu poluprečnika R. Naći matematičko očekivanje i varijansu udaljenosti r tačke do centra kružnice. Pokazati da je vrijednost r2 ravnomjerno raspoređena na segmentu.

Gustoća distribucije slučajne varijable ima oblik:

Izračunajte konstantu C, funkciju distribucije F(x) i vjerovatnoću Gustoća distribucije slučajne varijable ima oblik:

Izračunajte konstantu C, funkciju distribucije F(x) i vjerovatnoću Gustoća distribucije slučajne varijable ima oblik:
Izračunajte konstantu C, funkciju distribucije F(x), , varijansu i vjerovatnoću Slučajna varijabla ima funkciju distribucije

Izračunajte gustinu slučajne varijable, matematičko očekivanje, varijansu i vjerovatnoću Provjerite da li je funkcija =
može biti funkcija distribucije slučajne varijable. Naći numeričke karakteristike ove veličine: Mx i Dx. Slučajna varijabla je ravnomjerno raspoređena na segmentu. Zapišite gustinu distribucije. Pronađite funkciju distribucije. Nađite vjerovatnoću da slučajna varijabla padne na segment i na segment. Gustina raspodjele x je jednaka

.

Naći konstantu c, gustinu distribucije h = i vjerovatnoću

P (0,25

Vrijeme rada računara bez otkaza distribuira se prema eksponencijalnom zakonu s parametrom l = 0,05 (kvarovi po satu), odnosno ima funkciju gustine

p(x) = .

Rešavanje određenog problema zahteva nesmetan rad mašine u trajanju od 15 minuta. Ako dođe do kvara prilikom rješavanja problema, greška se otkriva tek nakon što je rješenje završeno i problem se ponovo rješava. Odrediti: a) vjerovatnoću da se tokom rješavanja problema neće desiti niti jedan kvar; b) prosječno vrijeme u kojem će se problem riješiti.

Štap dužine 24 cm razbije se na dva dijela; Pretpostavit ćemo da je tačka loma raspoređena ravnomjerno duž cijele dužine štapa. Koja je prosječna dužina većine štapa? Komad dužine 12 cm nasumično je izrezan na dva dijela. Tačka reza je ravnomjerno raspoređena duž cijele dužine segmenta. Kolika je prosječna dužina malog dijela segmenta? Slučajna varijabla je ravnomjerno raspoređena na segmentu. Naći gustinu distribucije slučajne varijable a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = .

Pokažite da ako x ima kontinuiranu funkciju distribucije

F(x) = P(x

Odrediti funkciju gustine i funkciju raspodjele zbira dvije nezavisne veličine x i h sa uniformnim zakonima raspodjele na segmentima i, respektivno. Slučajne varijable x i h su nezavisne i ravnomerno raspoređene po segmentima i, respektivno. Izračunajte gustinu sume x+h. Slučajne varijable x i h su nezavisne i ravnomerno raspoređene po segmentima i, respektivno. Izračunajte gustinu sume x+h. Slučajne varijable x i h su nezavisne i ravnomerno raspoređene po segmentima i, respektivno. Izračunajte gustinu sume x+h. Slučajne varijable su nezavisne i imaju eksponencijalnu distribuciju sa gustinom . Odrediti gustinu distribucije njihove sume. Pronađite distribuciju zbira nezavisnih slučajnih varijabli x i h, gdje x ima jednoliku distribuciju na intervalu, a h ima eksponencijalnu distribuciju s parametrom l. Pronađite P , ako x ima: a) normalnu distribuciju sa parametrima a i s2; b) eksponencijalna raspodjela sa parametrom l; c) ravnomjerna raspodjela na segmentu [-1;1]. Zajednička raspodjela x, h je ravnomjerna na kvadrat
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Pronađite vjerovatnoću . Da li su x i h nezavisni? Par slučajnih varijabli x i h ravnomjerno je raspoređen unutar trougla K=. Izračunajte gustine x i h. Da li su ove slučajne varijable nezavisne? Pronađite vjerovatnoću. Slučajne varijable x i h su nezavisne i ravnomerno raspoređene na segmentima i [-1,1]. Pronađite vjerovatnoću. Dvodimenzionalna slučajna varijabla (x, h) je ravnomjerno raspoređena u kvadratu sa vrhovima (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Pronađite vrijednost zajedničke funkcije raspodjele u tački (1, -1). Nasumični vektor (x, h) je ravnomerno raspoređen unutar kruga poluprečnika 3 sa središtem na početku. Napišite izraz za gustinu raspodjele spoja. Odredite da li su ove slučajne varijable zavisne. Izračunajte vjerovatnoću. Par slučajnih varijabli x i h ravnomjerno je raspoređen unutar trapeza sa vrhovima u tačkama (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Pronađite zajedničku gustinu raspodjele za ovaj par slučajnih varijabli i gustinu komponenti. Da li su x i h zavisni? Slučajni par (x, h) je ravnomerno raspoređen unutar polukruga. Naći gustine x i h, istražiti pitanje njihove zavisnosti. Gustoća spoja dvije slučajne varijable x i h jednaka je .
Naći gustine x, h. Istražiti pitanje zavisnosti x i h. Nasumični par (x, h) je ravnomerno raspoređen na skupu. Naći gustine x i h, istražiti pitanje njihove zavisnosti. Pronađite M(xh). Slučajne varijable x i h su nezavisne i raspoređene prema eksponencijalnom zakonu sa parametrom Find

Uz pomoć kojih se simuliraju mnogi stvarni procesi. A najčešći primjer je red vožnje javnog prijevoza. Pretpostavimo da je određeni autobus (trolejbus/tramvaj) trči svakih 10 minuta, a vi se zaustavite u nasumičnom trenutku. Kolika je vjerovatnoća da autobus stigne u roku od 1 minute? Očigledno 1/10. Kolika je vjerovatnoća da ćete morati čekati 4-5 minuta? isto. Kolika je vjerovatnoća da ćete morati čekati na autobus više od 9 minuta? Jedna desetina!

Hajde da razmotrimo neke konačan interval, neka je radi određenosti segment. Ako slučajna vrijednost ima konstantan gustina raspodjele vjerovatnoće na datom segmentu i nultu gustinu izvan njega, onda kažu da je distribuiran ravnomerno. U ovom slučaju, funkcija gustoće će biti strogo definirana:

Zaista, ako je dužina segmenta (vidi crtež) je , tada je vrijednost neizbježno jednaka - tako da se dobije jedinična površina pravokutnika, a to se promatra poznato svojstvo:


Provjerimo to formalno:
, itd. Sa probabilističke tačke gledišta, to znači da je slučajna varijabla pouzdano uzet će jednu od vrijednosti segmenta..., eh, polako postajem dosadan starac =)

Suština uniformnosti je da bez obzira na unutrašnji jaz fiksna dužina nismo razmatrali (zapamtite "autobusne" minute)– vjerovatnoća da će slučajna varijabla uzeti vrijednost iz ovog intervala će biti ista. Na crtežu sam zasenčio tri takve verovatnoće - još jednom to naglašavam određuju se po područjima, ne vrijednosti funkcije!

Razmotrimo tipičan zadatak:

Primjer 1

Kontinuirana slučajna varijabla određena je svojom gustinom distribucije:

Pronađite konstantu, izračunajte i sastavite funkciju raspodjele. Izgradite grafikone. Nađi

Drugim riječima, sve o čemu možete sanjati :)

Rješenje: od na intervalu (konačan interval) , tada slučajna varijabla ima jednoliku distribuciju, a vrijednost “ce” se može naći korištenjem direktne formule . Ali bolje je na opći način - korištenje svojstva:

...zašto je bolje? Da nema nepotrebnih pitanja ;)

Dakle, funkcija gustine je:

Hajde da crtamo. Vrijednosti nemoguće , i stoga su podebljane tačke postavljene ispod:


Za brzu provjeru, izračunajmo površinu pravokutnika:
, itd.

Hajde da nađemo očekivanu vrijednost, a vjerovatno već možete pretpostaviti čemu je to jednako. Zapamtite „10-minutni“ autobus: ako nasumično približavajući se stanici mnogo, mnogo dana, onda prosjek moraćete da ga sačekate 5 minuta.

Da, tako je - očekivanje bi trebalo biti tačno u sredini intervala "događaja":
, kao što je očekivano.

Izračunajmo varijansu koristeći formula . I ovdje vam treba oko i oko pri izračunavanju integrala:

dakle, disperzija:

Hajde da komponujemo funkcija distribucije . Ništa novo ovdje:

1) ako , onda i ;

2) ako , tada i:

3) i konačno, kada , Zbog toga:

Kao rezultat:

Napravimo crtež:


Na "živom" intervalu, funkcija distribucije raste linearno, a ovo je još jedan znak da imamo ravnomjerno raspoređenu slučajnu varijablu. Pa, naravno, nakon svega derivat linearna funkcija- postoji konstanta.

Tražena vjerovatnoća se može izračunati na dva načina, koristeći pronađenu funkciju distribucije:

ili koristeći određeni integral gustine:

Ko god voli.

I ovdje možete pisati odgovori: ,
, grafovi se grade duž rješenja.

... "moguće je" jer obično nema kazne za njegovo izostanak. Obično ;)

Postoje posebne formule za izračunavanje uniformne slučajne varijable, koje predlažem da sami izvedete:

Primjer 2

Kontinuirana slučajna varijabla je data gustoćom .

Izračunajte matematičko očekivanje i varijansu. Pojednostavite rezultate što je više moguće (skraćene formule za množenje pomoći).

Dobivene formule su zgodne za korištenje za provjeru; posebno provjerite problem koji ste upravo riješili tako što ćete u njih zamijeniti određene vrijednosti "a" i "b". Kratko rješenje na dnu stranice.

I na kraju lekcije, osvrnut ćemo se na nekoliko "tekstualnih" problema:

Primjer 3

Vrijednost podjele skale mjernog uređaja je 0,2. Očitavanja instrumenta su zaokružena na najbliži cijeli podeljak. Uz pretpostavku da su greške zaokruživanja ravnomjerno raspoređene, naći vjerovatnoću da pri sljedećem mjerenju neće preći 0,04.

Za bolje razumijevanje rješenja Zamislimo da je ovo neka vrsta mehaničkog uređaja sa strelicom, na primjer, vaga s vrijednošću podjele od 0,2 kg, a mi moramo izmjeriti svinju u boku. Ali ne da bi saznali njegovu debljinu - sada će biti važno GDJE se strelica zaustavlja između dva susjedna odjeljka.

Razmotrimo slučajnu varijablu - razdaljina strelice iz najbliži lijeva divizija. Ili od najbližeg udesno, nije važno.

Sastavimo funkciju gustoće vjerovatnoće:

1) Budući da udaljenost ne može biti negativna, onda na intervalu . Logično.

2) Iz uslova proizilazi da je strelica vage sa jednaka vjerovatnoća može stati bilo gdje između podjela * , uključujući i same podjele, a time i na intervalu:

* Ovo je neophodan uslov. Tako, na primjer, prilikom vaganja komada vate ili kilograma pakovanja soli, ujednačenost će se održavati u mnogo užim intervalima.

3) A budući da udaljenost od NAJBLIŽE lijeve podjele ne može biti veća od 0,2, tada je i at jednako nuli.

ovako:

Treba napomenuti da nas niko nije pitao za funkciju denziteta, a ja sam njenu kompletnu konstrukciju prikazao isključivo u kognitivnim lancima. Kada završite zadatak, dovoljno je zapisati samo 2. tačku.

A sada da odgovorimo na pitanje problema. Kada greška u zaokruživanju na najbliži podeljak neće biti veća od 0,04? Ovo će se desiti kada se strelica zaustavi ne dalje od 0,04 od lijevog podjela desno ili ne dalje od 0,04 od desnog podjela lijevo. Na crtežu sam zasenčio odgovarajuća područja:

Ostaje da se pronađu ova područja koristeći integrale. U principu, mogu se izračunati "na školski način" (kao površine pravougaonika), ali jednostavnost se ne razumije uvijek;)

By teorema sabiranja vjerovatnoća nespojivih događaja:

– vjerovatnoća da greška zaokruživanja neće biti veća od 0,04 (40 grama za naš primjer)

Lako je vidjeti da je najveća moguća greška zaokruživanja 0,1 (100 grama) i stoga vjerovatnoća da greška zaokruživanja neće preći 0,1 jednako jedan.

Odgovori: 0,4

Postoje alternativna objašnjenja/formulacije ovog problema u drugim izvorima informacija, a ja sam odabrao opciju koja mi se učinila najrazumljivijom. Posebna pažnja potrebno je obratiti pažnju na to da se u uslovu može govoriti o greškama NE zaokruživanje, već o nasumično greške merenja, koje su obično (ali ne uvijek), distribuira normalan zakon. dakle, Samo jedna riječ može radikalno promijeniti vašu odluku! Budite oprezni i razumite značenje.

I čim se sve vrti u krug, noge nas dovode do iste autobuske stanice:

Primjer 4

Autobusi na određenoj relaciji saobraćaju strogo po rasporedu i svakih 7 minuta. Sastavite funkciju gustoće slučajne varijable - vrijeme čekanja na sljedeći autobus od strane putnika koji je nasumično prišao stajalištu. Pronađite vjerovatnoću da će autobus čekati najviše tri minute. Pronađite funkciju distribucije i objasnite njeno značenje.

Kao što je ranije spomenuto, primjeri distribucije vjerovatnoće kontinuirana slučajna varijabla X su:

• ujednačena distribucija vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable;
• eksponencijalna distribucija vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable;
• normalna distribucija vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable.

Dajemo pojam uniformnih i eksponencijalnih zakona raspodjele, formule vjerovatnoće i numeričke karakteristike razmatranih funkcija.

Indeks	Zakon o jedinstvenoj distribuciji	Zakon eksponencijalne distribucije
Definicija	Zove se uniforma raspodjela vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X, čija gustina ostaje konstantna na segmentu i ima oblik	Eksponencijalna (eksponencijalna) se zove raspodjela vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable X, koja je opisana gustinom koja ima oblik
		gdje je λ konstantna pozitivna vrijednost
Funkcija distribucije
Vjerovatnoća pada u interval
Očekivana vrijednost
Disperzija
Standardna devijacija

Primjeri rješavanja zadataka na temu "Uniformni i eksponencijalni zakoni distribucije"

Zadatak 1.

Autobusi voze striktno po redu vožnje. Interval kretanja 7 min. Naći: a) vjerovatnoću da će putnik koji dolazi na stajalište čekati manje od dvije minute na sljedeći autobus; b) vjerovatnoća da će putnik koji dolazi na stajalište čekati najmanje tri minuta na sljedeći autobus; c) matematičko očekivanje i standardna devijacija slučajne varijable X - vrijeme čekanja putnika.

Rješenje. 1. Prema uslovima problema, kontinuirana slučajna varijabla X = (vrijeme čekanja putnika) ravnomerno raspoređeni između dolazaka dva autobusa. Dužina intervala distribucije slučajne varijable X jednaka je b-a=7, gdje je a=0, b=7.

2. Vrijeme čekanja će biti manje od dvije minute ako slučajna varijabla X padne u interval (5;7). Pronalazimo vjerovatnoću pada u dati interval koristeći formulu: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Vrijeme čekanja će biti najmanje tri minute (tj. od tri do sedam minuta) ako slučajna varijabla X padne u interval (0;4). Pronalazimo vjerovatnoću pada u dati interval koristeći formulu: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Matematičko očekivanje kontinuirane, ravnomjerno raspoređene slučajne varijable X – vrijeme čekanja putnika – naći će se pomoću formule: M(X)=(a+b)/2. M(X) = (0+7)/2 = 7/2 = 3,5.

5. Standardna devijacija kontinuirane, ravnomjerno raspoređene slučajne varijable X – vrijeme čekanja putnika – naći će se pomoću formule: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2.02.

Zadatak 2.

Eksponencijalna raspodjela je data za x ≥ 0 gustoćom f(x) = 5e – 5x. Obavezno: a) zapisati izraz za funkciju distribucije; b) naći vjerovatnoću da kao rezultat testa X padne u interval (1;4); c) naći vjerovatnoću da je kao rezultat testa X ≥ 2; d) izračunajte M(X), D(X), σ(X).

Rješenje. 1. Pošto je uslov dat eksponencijalna distribucija , onda iz formule za gustinu distribucije vjerovatnoće slučajne varijable X dobijamo λ = 5. Tada će funkcija distribucije imati oblik:

2. Vjerovatnoća da kao rezultat testa X padne u interval (1;4) će se naći po formuli:
P(a< X < b) = e −λa − e −λb .
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Vjerovatnoća da će se kao rezultat testa X ≥ 2 naći po formuli: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
P(X≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Pronađite za eksponencijalnu distribuciju:

• matematičko očekivanje prema formuli M(X) = 1/λ = 1/5 = 0,2;
• varijansa prema formuli D(X) = 1/ λ 2 = 1/25 = 0,04;
• standardna devijacija prema formuli σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1.2.

Ovo pitanje je dugo proučavano do detalja, a najčešće korištena metoda je metoda polarnih koordinata, koju su predložili George Box, Mervyn Muller i George Marsaglia 1958. godine. Ova metoda vam omogućava da dobijete par nezavisnih normalno distribuiranih slučajnih varijabli sa matematičkim očekivanjem 0 i varijansom 1 kako slijedi:

Gdje su Z 0 i Z 1 željene vrijednosti, s = u 2 + v 2, a u i v su slučajne varijable ravnomjerno raspoređene na intervalu (-1, 1), odabrane na takav način da je uvjet 0 zadovoljen< s < 1.
Mnogi ljudi koriste ove formule bez razmišljanja, a mnogi ni ne sumnjaju u njihovo postojanje, jer koriste gotove implementacije. Ali postoje ljudi koji imaju pitanja: „Odakle ova formula? A zašto dobijate nekoliko količina odjednom?” Zatim ću pokušati dati jasan odgovor na ova pitanja.

Za početak, da vas podsjetim što su gustina vjerovatnoće, funkcija distribucije slučajne varijable i inverzna funkcija. Pretpostavimo da postoji određena slučajna varijabla, čija je distribucija određena funkcijom gustoće f(x), koja ima sljedeći oblik:

To znači da je vjerovatnoća da će vrijednost date slučajne varijable biti u intervalu (A, B) jednaka površini zasjenjenog područja. I kao posljedica toga, površina cijele zasjenjene površine mora biti jednaka jedan, jer će u svakom slučaju vrijednost slučajne varijable pasti u domenu definicije funkcije f.
Funkcija distribucije slučajne varijable je integral funkcije gustoće. I u ovom slučaju, njegov približni izgled bit će ovakav:

Značenje ovdje je da će vrijednost slučajne varijable biti manja od A sa vjerovatnoćom B. I kao posljedica toga, funkcija se nikada ne smanjuje, a njene vrijednosti leže u intervalu.

Inverzna funkcija je funkcija koja vraća argument originalnoj funkciji ako se u nju prenese vrijednost originalne funkcije. Na primjer, za funkciju x 2 inverzna je funkcija izdvajanja korijena, za sin(x) to je arcsin(x), itd.

Budući da većina generatora pseudoslučajnih brojeva proizvodi samo uniformnu distribuciju kao izlaz, često postoji potreba da se ona pretvori u neku drugu. U ovom slučaju, na normalan Gaussov:

Osnova svih metoda za transformaciju uniformne distribucije u bilo koju drugu je metoda inverzne transformacije. Radi na sljedeći način. Pronađe se funkcija koja je inverzna funkciji tražene distribucije, a slučajna varijabla ravnomjerno raspoređena na intervalu (0, 1) se u nju predaje kao argument. Na izlazu dobijamo vrijednost sa traženom distribucijom. Radi jasnoće dajem sledeću sliku.

Dakle, uniformni segment je, takoreći, razmazan u skladu sa novom distribucijom, projektovan na drugu osu kroz inverznu funkciju. Ali problem je što integral gustine Gausove raspodele nije lako izračunati, pa su gore navedeni naučnici morali da varaju.

Postoji hi-kvadrat distribucija (Pearsonova distribucija), koja je distribucija zbira kvadrata k nezavisnih normalnih slučajnih varijabli. A u slučaju kada je k = 2, ova raspodjela je eksponencijalna.

To znači da ako tačka u pravougaonom koordinatnom sistemu ima nasumične koordinate X i Y raspoređene normalno, onda nakon pretvaranja ovih koordinata u polarni sistem (r, θ), kvadrat poluprečnika (udaljenost od početka do tačke) biće raspoređeni prema eksponencijalnom zakonu, pošto je kvadrat poluprečnika zbir kvadrata koordinata (prema Pitagorinom zakonu). Gustoća distribucije takvih tačaka na ravni će izgledati ovako:

Pošto je jednak u svim pravcima, ugao θ će imati jednoliku distribuciju u opsegu od 0 do 2π. Obratno je također istinito: ako definirate tačku u polarnom koordinatnom sistemu koristeći dvije nezavisne slučajne varijable (ugao raspoređen jednoliko i polumjer raspoređen eksponencijalno), tada će pravokutne koordinate ove tačke biti nezavisne normalne slučajne varijable. I mnogo je lakše dobiti eksponencijalnu distribuciju od uniformne koristeći istu metodu inverzne transformacije. Ovo je suština polarne Box-Muller metode.
Hajde sada da izvedemo formule.

(1)

Da bismo dobili r i θ, potrebno je generirati dvije slučajne varijable ravnomjerno raspoređene na intervalu (0, 1) (nazovimo ih u i v), od kojih se distribucija jedne (recimo v) mora pretvoriti u eksponencijalnu na dobiti radijus. Funkcija eksponencijalne distribucije izgleda ovako:

Njegova inverzna funkcija je:

Budući da je uniformna distribucija simetrična, transformacija će raditi slično s funkcijom

Iz formule hi-kvadrat raspodjele slijedi da je λ = 0,5. Zamijenite λ, v u ovu funkciju i dobijete kvadrat polumjera, a zatim i sam radijus:

Dobijamo ugao rastezanjem jediničnog segmenta na 2π:

Sada zamjenjujemo r i θ u formule (1) i dobijamo:

(2)

Ove formule su već spremne za upotrebu. X i Y će biti nezavisni i normalno raspoređeni sa varijansom od 1 i matematičkim očekivanjem od 0. Da bi se dobila distribucija sa drugim karakteristikama, dovoljno je rezultat funkcije pomnožiti sa standardnom devijacijom i dodati matematičko očekivanje.
Ali moguće je riješiti se trigonometrijskih funkcija specificiranjem kuta ne direktno, već indirektno preko pravokutnih koordinata slučajne točke u krugu. Tada će preko ovih koordinata biti moguće izračunati dužinu radijus vektora, a zatim pronaći kosinus i sinus dijeljenjem x i y s njim, respektivno. Kako i zašto funkcionira?
Odaberimo slučajnu tačku od onih ravnomjerno raspoređenih u krugu jediničnog radijusa i označimo kvadrat dužine radijus vektora ove tačke slovom s:

Odabir se vrši specificiranjem slučajnih pravokutnih koordinata x i y, ravnomjerno raspoređenih u intervalu (-1, 1), i odbacivanjem tačaka koje ne pripadaju krugu, kao i centralne tačke u kojoj je ugao vektora radijusa nije definisano. To jest, uslov 0 mora biti ispunjen< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

Dobijamo formule kao na početku članka. Nedostatak ove metode je što odbacuje tačke koje nisu uključene u krug. Odnosno, koristeći samo 78,5% generiranih slučajnih varijabli. Na starijim računarima nedostatak trigonometrijskih funkcija je i dalje bila velika prednost. Sada, kada jedna komanda procesora izračuna sinus i kosinus u trenu, mislim da se ove metode i dalje mogu takmičiti.

Ja lično imam još dva pitanja:

• Zašto je vrijednost s ravnomjerno raspoređena?
• Zašto je zbir kvadrata dvije normalne slučajne varijable raspoređen eksponencijalno?

Budući da je s kvadrat polumjera (radijus radijus nazivam dužinom vektora radijusa koji određuje položaj slučajne tačke), prvo saznamo kako su poluprečniki raspoređeni. Kako je krug ravnomjerno ispunjen, očito je da je broj tačaka poluprečnika r proporcionalan dužini kruga poluprečnika r. A obim kruga je proporcionalan poluprečniku. To znači da se gustina raspodjele polumjera ravnomjerno povećava od središta kruga do njegovih rubova. A funkcija gustine ima oblik f(x) = 2x na intervalu (0, 1). Koeficijent 2 tako da je površina figure ispod grafikona jednaka jedan. Kada se ova gustina kvadrira, postaje ujednačena. Budući da je teoretski u ovom slučaju potrebno podijeliti funkciju gustoće njenim izvodom funkcije transformacije (odnosno x 2). I jasno je da se to dešava ovako:

Ako se napravi slična transformacija za normalnu slučajnu varijablu, tada će funkcija gustoće njenog kvadrata biti slična hiperboli. A dodavanje dva kvadrata normalnih slučajnih varijabli je mnogo složeniji proces povezan s dvostrukom integracijom. A činjenicu da će rezultat biti eksponencijalna distribucija, ja lično moram samo provjeriti praktičnom metodom ili prihvatiti kao aksiom. A za one koji su zainteresovani, predlažem da malo bolje pogledate temu, stečući znanje iz ovih knjiga:

• Ventzel E.S. Teorija vjerovatnoće
• Knut D.E. Umetnost programiranja, tom 2

U zaključku, evo primjera implementacije normalno distribuiranog generatora slučajnih brojeva u JavaScriptu:

Funkcija Gauss() ( var ready = false; var second = 0.0; this.next = funkcija (srednja vrijednost, dev) ( srednja vrijednost = srednja vrijednost == nedefinirano ? 0.0: srednja vrijednost; dev = dev == nedefinirano ? 1.0: dev; ako ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - 1.0; s = u * u + v * v; ) dok (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = true; return r * v * dev + mean; ) ); ) g = new Gauss(); // kreiranje objekta a = g.next(); // generiramo par vrijednosti i dobijemo prvu b = g.next(); // dobijemo drugi c = g.next(); // ponovo generiramo par vrijednosti i dobijemo prvu
Parametri mean (matematičko očekivanje) i dev (standardna devijacija) nisu obavezni. Skrećem vam pažnju da je logaritam prirodan.