Metode najstrmiji spust i spuštanje po koordinatama čak i za kvadratna funkcija zahtijevaju beskonačan broj iteracije. Međutim, moguće je konstruirati takve smjerove spuštanja za kvadratnu funkciju

• (3.12)
• (gdje je r n-dimenzionalni vektor) sa simetričnom pozitivno određenom matricom A, proces spuštanja će konvergirati tačno na minimum u konačnom broju koraka.

Pozitivno određena matrica nam omogućava da uvedemo normu vektora na sljedeći način:

Definicija (3.13) znači da skalarni proizvod dva vektora x i y sada znači količinu (x, Au). Vektori ortogonalni u smislu ovog tačkastog proizvoda

(x, Au) = 0 (3.14)

nazivaju se konjugiranim (u odnosu na datu matricu A).

Na osnovu ovoga velika grupa metode: konjugirani gradijenti, konjugirani pravci, paralelne tangente i druge.

Za kvadratnu funkciju koriste se s jednakim uspjehom. Metoda konjugiranog smjera, u kojoj su detalji algoritma pažljivo odabrani, najbolje generalizira na proizvoljne funkcije.

Razmotrimo prvo kako se ova metoda primjenjuje na kvadratni oblik (3.12). Za to su nam potrebna neka svojstva konjugiranih vektora.

Neka postoji neki sistem parno konjugiranih vektora x i. Svaki od ovih vektora normalizujemo u smislu norme (3.14), a onda odnosi između njih dobijaju oblik

Dokažimo da su međusobno konjugirani vektori linearno nezavisni. Od jednakosti

što je u suprotnosti sa pozitivnom određenošću matrice. Ova kontradikcija dokazuje našu tvrdnju. To znači da je sistem n-konjugiranih vektora osnova u n-dimenzionalnom prostoru. Za datu matricu postoji beskonačan broj baza koje se sastoje od međusobno konjugiranih vektora.

Nađimo neku konjugiranu osnovu x i, 1 in. Odaberimo proizvoljnu tačku r 0 . Svako kretanje od ove tačke može se proširiti na konjugiranu osnovu

Zamjena ovog izraza u desna strana formulu (3.12), pretvaramo je, uzimajući u obzir konjugaciju baze (3.15), u sljedeći oblik:

Posljednji zbir se sastoji od članova, od kojih svaki odgovara samo jednoj komponenti zbira (3.16). To znači da kretanje duž jednog od konjugiranih pravaca x i mijenja samo jedan član sume (3.17), bez utjecaja na ostatak.

Od tačke r 0 pravimo naizmjenične spustove do minimuma duž svakog od konjugiranih smjerova x i . Svako spuštanje minimizira svoj član u zbiru (3.17), tako da se minimum kvadratne funkcije postiže tačno nakon izvršenja jednog ciklusa spuštanja, odnosno u konačnom broju koraka.

Konjugirana baza se može konstruirati metodom paralelnih tangentnih ravnina.

Neka je određena prava paralelna vektoru x, i neka kvadratna funkcija na ovoj pravoj dostigne svoju minimalnu vrijednost u tački r 0 . Zamenimo jednadžbu ove prave r = r 0 + bx u izraz (3.12) i tražimo da je zadovoljen uslov za minimum funkcije

c(b) = F(r 0) + b 2 + b (x, 2Ar 0 + b),

i stavi (dts/db) b-0 = 0. Ovo implicira jednačinu koju zadovoljava minimalna tačka:

(x, 2Ar 0 + b) = 0. (3.18)

Neka na nekoj drugoj pravoj, paralelnoj s prvom, funkcija zauzme minimalnu vrijednost u tački r 1, a zatim na sličan način nalazimo (x, 2Ar 1 + b) = 0. Oduzimajući ovu jednakost od (3.18), dobijamo

(x, A(r 1 r 0)) = 0. (3.19)

Prema tome, smjer koji povezuje minimalne tačke na dvije paralelne prave je konjugiran sa smjerom ovih pravih.

Dakle, uvijek je moguće konstruirati vektor konjugiran sa proizvoljnim datim vektorom x. Da biste to učinili, dovoljno je povući dvije prave paralelne sa x i na svakoj pravoj pronaći minimum kvadratnog oblika (3.12). Vektor r 1 r 0 koji povezuje ove minimume je konjugiran sa x. Imajte na umu da prava linija dodiruje liniju nivoa u tački gdje funkcija na ovoj pravoj liniji poprima minimalnu vrijednost; Ime metode je povezano s ovim.

Neka postoje dvije paralelne m-dimenzionalne ravni generirane sistemom konjugiranih vektora x i, 1 imn. Neka kvadratna funkcija dostigne svoju minimalnu vrijednost na ovim ravnima u tačkama r 0 i r 1, respektivno. Koristeći slično razmišljanje, može se dokazati da je vektor r 1 r 0 koji povezuje minimalne tačke konjugatan sa svim vektorima x i. Prema tome, ako je dat nekompletan sistem konjugiranih vektora x i, onda je pomoću ove metode uvijek moguće konstruirati vektor r 1 r 0 konjugiran sa svim vektorima ovog sistema.

Razmotrimo jedan ciklus procesa konstruisanja konjugirane baze. Neka je baza već konstruirana u kojoj su posljednjih m vektora međusobno konjugirani, i prvi n-m vektori nisu posljednji konjugirani. Nađimo minimum kvadratne funkcije (3.12) u nekoj m-dimenzionalnoj ravni generisanoj od posljednjih m vektora baze. Kako su ovi vektori međusobno konjugirani, za to je dovoljno proizvoljno odabrati tačku r 0 i spuštati se od nje naizmjenično duž svakog od ovih pravaca (na minimum). Označimo minimalnu tačku u ovoj ravni sa r 1 .

Sada ćemo od tačke r 1 napraviti alternativni spust duž prvih n - m baznih vektora. Ovo spuštanje će izvući putanju iz prve ravni i dovesti je do neke tačke r 2 . Od tačke r 2 ponovo ćemo se spustiti duž poslednjih m pravaca, što će dovesti do tačke r 3 . Ovo spuštanje znači tačno pronalaženje minimuma u drugoj ravni paralelnoj s prvom ravninom. Prema tome, pravac r 3 - r 1 je konjugiran sa posljednjim m vektora baze.

Ako se jedan od nekonjugiranih pravaca u bazi zamijeni smjerom r 3 - r 1, tada će u novoj bazi već m + 1 smjer biti međusobno konjugiran.

Počnimo računati cikluse od proizvoljne osnove; za njega možemo pretpostaviti da je m=1. Opisani proces u jednom ciklusu povećava broj konjugiranih vektora u bazi za jedan. To znači da će u n - 1 ciklusu svi bazni vektori postati konjugirani, a sljedeći ciklus će dovesti putanju do minimalne točke kvadratne funkcije (3.12).

Iako je koncept konjugirane baze definiran samo za kvadratnu funkciju, gore opisani proces je strukturiran tako da se može formalno primijeniti na proizvoljnu funkciju. Naravno, u ovom slučaju potrebno je pronaći minimum duž pravca pomoću parabole metode, a da se nigdje ne koriste formule povezane s određenim tipom kvadratne funkcije (3.12).

U maloj okolini minimuma, prirast dovoljno glatke funkcije obično se predstavlja u obliku simetričnog pozitivno određenog kvadratnog oblika tipa (3.2). Ako bi ova reprezentacija bila tačna, tada bi metoda konjugovanog smjera konvergirala u konačnom broju koraka. Ali reprezentacija je približna, tako da će broj koraka biti beskonačan; ali će konvergencija ove metode blizu minimuma biti kvadratna.

Zahvaljujući kvadratnoj konvergenciji, metoda konjugovanog pravca omogućava da se pronađe minimum sa velikom preciznošću. Metode s linearnom konvergencijom obično manje precizno određuju ekstremne vrijednosti koordinata.

Metoda konjugiranih smjerova je očito najviše efikasan metod spuštanje Dobro funkcionira i s degeneriranim minimumom, i sa rješivim gudurama, i u prisustvu slabo nagnutih dijelova reljefa - "visoravni", i sa velikim brojem varijabli - do dva tuceta.

Klasična mehanika i elektrodinamika, kada su pokušavali da ih primene da objasne atomske fenomene, doveli su do rezultata koji su bili u oštroj suprotnosti sa eksperimentom. Najupečatljiviji primjer ovoga je pokušaj primjene klasične elektrodinamike na model atoma, u kojem se elektroni kreću oko jezgre u klasičnim orbitama. Kod takvog kretanja, kao i kod svakog kretanja naelektrisanja sa ubrzanjem, elektroni bi morali neprekidno emitovati energiju u obliku elektromagnetnih talasa i, na kraju, neminovno bi pali na pozitivno naelektrisano jezgro. Dakle - sa stanovišta klasične elektrodinamike - atom je nestabilan. Kao što vidimo, ova teza nije tačna. Ovako duboka kontradikcija između teorije i eksperimenta ukazuje da opis mikroobjekata zahtijeva temeljnu promjenu osnovnih klasičnih koncepata i zakona.

Iz brojnih eksperimentalnih podataka (kao što je difrakcija elektrona) slijedi da mehanika koja upravlja atomskim fenomenima - kvantna mehanika - mora biti zasnovana na idejama o kretanju koje su fundamentalno različite od ideja klasične mehanike. U kvantnoj mehanici ne postoji koncept putanje čestice, a samim tim i drugih dinamičkih karakteristika. OVA TEZA JE FOLMULA U HEISENBERGOVOM PRINCIPU NESIGURNOSTI:

Nemoguće je istovremeno izmjeriti koordinatu i zamah mikroobjekta s bilo kakvom točnošću:

DxDstr³ h (II.1)

Treba napomenuti (a o tome će biti reči kasnije), relacija nesigurnosti povezuje ne samo koordinatu i impuls, već i niz drugih veličina.

Vratimo se sada na razmatranje matematičkog aparata kvantne mehanike.

Operater A uobičajeno je da se zove pravilo prema kojem svaka funkcija f odgovara funkciji j :

j= A f (II.3)

Najjednostavniji primjeri operatora: kvadratni korijen, diferencijacija itd.

Ne može na svaku funkciju utjecati bilo koji operator; na primjer, na nediferencirajuću funkciju ne može utjecati operator diferencijacije. Dakle, bilo koji operator se može definirati samo na određenoj klasi funkcija i smatra se definiranim ako je specificirano ne samo pravilo po kojem transformira jednu funkciju u drugu, već i skup funkcija na koje djeluje.

Po analogiji sa algebrom brojeva, možemo uvesti algebru operatora:

1) Operatori zbira ili razlike

(A ± B ) · f = A · f ± B · f (II.4)

2) Proizvod operatera

AB · f = A (B · f ) (II.5)

one. prvo na funkciji f operater djeluje B , formirajući neku novu funkciju, na koju zatim djeluje operator A . IN opšti slučaj radnja operatera AB ne odgovara radnji operatera B.A. .

Zaista, ako A=d/dx I B=x ,

To AB f=d/dx (xf )= f+xdf/dx ,

A BAf=xdf/dx¹f+xdf/dx

Ako AB=BA, tada se operatori nazivaju komutirajući, a if AB-BAº(A,B) (II.6), onda ne putuju na posao. Izraz u zagradama naziva se komutator.

U kvantnoj mehanici se obično koriste linearni samopridruženi (ili hermitski) operatori. Svojstvo linearnosti to znači

A(c 1 f 1 +c 2 f 2 )f =c 1 Af 1 +c 2 Af 2 (II.7)

Gdje c 1 I c 2 - konstante, i f 1 I f 2 - proizvoljne funkcije na kojima je definiran operator A. Ovo matematičko svojstvo je usko povezan sa principom superpozicije.

Samopridruženi Hermitov operator je operator za koji vrijedi jednakost:

òf 1 * (x)(Af 2 (x))dx = òf 2 (x)(A * f 1 * (x))dx (II.8)

pretpostavlja se da A definisano na f 1 * (x) I f 2 (x) i svi integrali uključeni u (1.8) postoje. Zahtjev hermitizma je veoma važan za kvantnu mehaniku i u nastavku ćemo saznati zašto.

Kao što je već spomenuto, djelovanje operatora se svodi na transformaciju jedne funkcije u drugu, međutim, mogući su i slučajevi kada se kao rezultat djelovanja operatora izvorna funkcija ne mijenja ili se pomnoži s konstantom. Najjednostavniji primjer:

Može se tvrditi da svaki operater A mogu se porediti linearna jednačina tip:

Af = af (II.9) ,

Gdje a = konst. a je vlastita vrijednost operatora, i f - vlastita funkcija operatera. Ova jednačina se zove jednačina svojstvenih vrijednosti. Vrijednosti konstanti pri kojima jednačina (1.9) uzima netrivijalna rješenja nazivaju se svojstvene vrijednosti. Zajedno čine spektar vlastitih vrijednosti, koje mogu biti diskretne, kontinuirane ili mješovite. Svaka vrijednost odgovara jednoj ili više vlastitih funkcija f T , a ako samo jedna funkcija odgovara jednoj svojstvenoj vrijednosti, onda je nedegenerirana, a ako ih ima nekoliko, onda je degenerirana.

Svojstvene funkcije i svojstvene vrijednosti Hermitian (self-adjoint) operatori imaju niz svojstava:

1. Vlastite vrijednosti takvih operatora su realne.

2. Vlastite funkcije f 1 I f 2 takvi operatori koji pripadaju različitim svojstvenim vrijednostima With 1 I c 2 ortogonalni jedan prema drugom, tj. ò f 1 * (x) f 2 (x) dx = 0 (II.10)

3. Moraju se normalizirati u jedinicu uvođenjem posebnog faktora normalizacije, koji se u općem slučaju opisuje uvjetom ortonormalnosti: ò f m * (x) f n (x) dx =d mn , d mn =0 at m ¹ n I d mn =1 at m = n (II.11)

4. Ako dva operatera A I B imaju zajednički sistem svojstvenih funkcija, onda komutiraju, a tačna je i suprotna izjava

5. Sopstvene funkcije Hermitovog operatora čine kompletan ortonormalni skup, tj. bilo koja funkcija definirana u istoj domeni varijabli može se predstaviti kao niz vlastitih funkcija operatora A:

(II.12),

Gdje c n- neke konstante, i ovo proširenje će biti tačno.

Posljednje svojstvo je vrlo važno za aparat kvantne mehanike, jer je na njegovoj osnovi moguće konstruirati matričnu reprezentaciju operatora i primijeniti moćan aparat linearne algebre.

Zaista, od god (II.12) izvorne funkcije f n (x) se smatraju poznatim, a zatim pronaći funkciju F(x) potrebno je i dovoljno pronaći sve koeficijente ekspanzije ( c n). Razmotrimo sada neki operator B, koji djeluje na funkciju c(x) i prenosi na F(x):

F(x) = Bc(x) (II.13)

Zamislimo sada funkcije F(x) I Bc(x) u obliku redova (II.12):

(II.14)

i stavi ih unutra (II.13)

(II.15)

(II.16)

Pomnožimo obje strane jednakosti sa f k * (x) i integrisati, uzimajući u obzir uslove ortonormalnosti:

Jednakost (II.17) opisuje prijelaz iz funkcije c(x) da funkcioniše F(x), što se izvodi postavljanjem svih koeficijenata M kn. Set svih količina M kn postoji operater B u matričnom prikazu i može se napisati kao

Dakle, bilo koji proizvoljni operator B u matričnom prikazu može se predstaviti kao kvadratna tablica brojeva, matrica, a ova reprezentacija će biti određena samo tipom operatora i početnim skupom osnovnih funkcija.

Podsjetimo se sada ukratko na glavne odredbe teorije matrica. Općenito, matrica je skup realnih ili kompleksnih brojeva a ij, zvani matrični elementi, raspoređeni u pravougaonu tabelu

Indeksi i I j pokazati da je element a ij nalazi se na raskrsnici i th linija i j th column. Ako matrica ima n linije i m kolone, onda se kaže da ima dimenziju ( n x m), Ako n = m, tada se matrica zove kvadratna. Pravokutna matrica veličine ( 1 x m) se naziva vektor reda, a ( n x1) je vektor stupac. Matrični element a ij at i = j naziva se dijagonala, matrica u kojoj su svi elementi osim dijagonalnih jednaki nuli naziva se dijagonala, a dijagonalna matrica u kojoj su svi elementi jednaki jedinici naziva se jedinica. Zbir dijagonalnih elemenata naziva se trag: Sp.

Lako je konstruirati matričnu algebru, koja će se svesti na sljedeća pravila:

1. Matrice i kažu da su jednake ako za sve i I j jednakost je tačna: a ij = b ij

2. Zbir matrica i dimenzija ( n x m) će biti matrica dimenzija ( n x m) takav da za svakoga i I j jednakost je tačna: c ij = a ij + b ij

3. Proizvod matrice proizvoljnim brojem a postojat će matrica iste dimenzije, takva da za sve i I j jednakost je tačna: c ij = aa ij

4. Proizvod matrice dimenzija ( n x m) na matricu dimenzija ( m x str) naziva se matrica dimenzija ( n x str) takav da

(II.20)

5. Matrica se naziva kompleksno konjugatom ako sadrži sve elemente matrice a ij zamijenjen kompleksnim konjugatima a ij * . Za matricu se kaže da je transponirana ako se dobije zamjenom redaka stupcima i obrnuto: a ’ ij = a ji. Matrica transponovana i kompleksna konjugata se naziva konjugatom i označava se

CONNECTED FUNCTION

Koncept teorije funkcija, koji je konkretan odraz određenog involutivnog operatora za odgovarajuću klasu funkcija.
1) S. f. na funkciju kompleksne vrijednosti . pozvao funkcija čije su vrijednosti kompleksno konjugirane sa vrijednostima f.
2) S. f. na harmonijsku funkciju - vidi Konjugirajte harmonijske funkcije.
3) S. f. k -periodično integrabilno na funkciji f(x) se poziva. funkcija

postoji i poklapa se skoro svuda sa -zbirom, ili Abel-Poissonovom sumom konjugirani trigonometrijski niz.
4) S. f. da funkcioniše definiran na vektorskom prostoru X koji je u dualnosti (u odnosu na bilinearni oblik ) sa vektorskim prostorom Y- funkcija na Y, data relacijom

Za funkciju specificiranu na Y, konjugirana funkcija je definirana slično.

S. f. na funkciju jedne varijable bit će funkcija

S. f. da funkcioniše u Hilbertovom prostoru X, skalarni proizvod je funkcija S. f. do normalnog u normalizovanom prostoru će postojati funkcija N*(y) , jednako nuli ako i jednako ako
Ako je f glatko i raste brže u beskonačnosti linearna funkcija, tada je f* ništa više od Legendre funkcije f. Za jednodimenzionalne striktno konveksne funkcije, definiciju ekvivalentnu (*) dao je W. Young, drugim terminima. W. Jung je definisao S. f. da funkcioniše

gdje je kontinuirana i striktno rastuća, po relaciji

gdje je funkcija inverzna definiciji (*) za jednodimenzionalne funkcije prvi je predložio S. Mandelbrojt, u konačnodimenzionalnom slučaju - V. Fenchel, u beskonačno-dimenzionalnom slučaju - J. Moreau i A. Brønsted . Za konveksnu funkciju n koja joj je konjugirana, Youngova

S. funkcija je konveksna zatvorena funkcija. Operator konjugacije*: jedinstveno prikazuje skup ispravnih konveksnih zatvorene funkcije na X je zbirka pravilnih konveksnih zatvorenih funkcija na Y (Fenchel - Moreau).
Za više detalja pogledajte i.
vidi takođe Konveksna analiza, potporna funkcija, dualnost u ekstremnim problemima i konveksnoj analizi.

Lit.: Joung W. H., lProc. Roy. Soc. A

Matematička enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Pogledajte šta je “CONJECTED FUNCTION” u drugim rječnicima:

Funkcionalnost potpore skupa A koji leži u vektorskom prostoru X je funkcija sA definirana u vektorskom prostoru Y koja je s njim u dualnosti relacijom Na primjer, O. f. jedinični kontejner u normalizovanom prostoru koji se razmatra u ... ... Mathematical Encyclopedia

Funkcija povezana s integralnim prikazom rješenja graničnih problema za diferencijalne jednadžbe. G. f. granični problem za linearnu diferencijalnu jednačinu fundamentalno rešenje jednadžbe koje zadovoljavaju homogene granične uslove....... Mathematical Encyclopedia

Antianalitička funkcija, funkcija jedne ili više složenih varijabli koja je kompleksno konjugirana s holomorfnom funkcijom (vidi Analitička funkcija). E. D. Solomecev ... Mathematical Encyclopedia

Kontrola, funkcija u(t), uključena u diferencijalna jednadžba vrijednosti roja u svakom trenutku mogu se birati proizvoljno. Obično se nameće ograničenje na raspon promjene u(t) za svaki t gdje je U dati zatvoreni skup u ... ... Mathematical Encyclopedia

Kontinuirani prikaz koji čuva oblik beskonačno malih figura. Osnovni koncepti. Kontinuirano preslikavanje w=f(z) regije G n-dimenzionalnog euklidskog prostora u n-dimenzionalni euklidski prostor se zove. konforman u tački ako u ovom trenutku ima... Mathematical Encyclopedia

1) Transformacija matematičkih analizu, ostvarujući dualnost između objekata u dualnim prostorima (uz projektivnu dualnost u analitičkoj geometriji i polarnu dualnost u konveksnoj geometriji). Neka glatka funkcija, ... ... Mathematical Encyclopedia

1) P. t. o konjugiranim funkcijama: neka periodično kontinuirana funkcija sa periodom 2p i trigonometrijski konjugiranom funkcijom sa f(t); onda ako f(t).zadovoljava Lipschitzov uslov o eksponentu na 0 Mathematical Encyclopedia

- (mod k) funkcija c(n)=c(n; k) na skupu cijelih brojeva, koja zadovoljava uslove: Drugim riječima, D. x. (mod k) je aritmetika. funkcije koje nisu identične nuli su potpuno multiplikativne i periodične s periodom k. Koncept D. x. ušao P....... Mathematical Encyclopedia

Jedna od generalizacija Lebesgueovog integrala koju je predložio A. Denjoy (A. Denjoy, 1919), koju je detaljno proučio T. J. Box (T. J. Boks, 1921). Realna funkcija f(x).na segmentu [a, b]periodično (sa periodom b a) nastavlja se duž cijele linije. Za… … Mathematical Encyclopedia

Dvostruki integral gdje je data (općenito govoreći, kompleksna) funkcija realnih varijabli, kvadratno integrabilne, proizvoljne (takođe kompleksne) funkcije, kvadratno integrabilne i kompleksno konjugirane funkcije c. Ako,… … Mathematical Encyclopedia

1 1 4 DODATAK B: TEORIJSKA KONCEPCIJA

Princip spregnutih podsistema

Sa identifikacijom bilo kojeg materijalnog sistema, automatski se pojavljuje odgovarajuće okruženje u kojem ovaj sistem postoji. Pošto je okruženje uvek veće od sistema, evoluciju sistema diktiraju promene u okruženju. Ideja evolucije podrazumijeva dva glavna i, u određenom smislu, alternativna aspekta: očuvanje (C) i promjenu (I). Ako jedan od njih nedostaje, onda nema evolucije: sistem ili nestaje ili je stabilan. Odnos promene i očuvanja (I/S) karakteriše evolucionu plastičnost sistema. Imajte na umu da su ovi uslovi alternativni: što je više I, to je manje C i, obrnuto, pošto se međusobno nadopunjuju u jedinicu: C + I = 1.

Za bolju implementaciju samo prvog aspekta – očuvanja – isplativije je da sistem bude održiv, stabilan, nepromjenjiv, odnosno da bude što dalje (ne u geometrijskom, već u informatičkom smislu) od destruktivnog. faktori životne sredine (slika B.1). Međutim, ti isti faktori istovremeno daju korisne informacije o smjeru promjena okoliša. A ako im se sistem treba prilagođavati, mijenjati prema promjenama u okruženju (drugi aspekt), onda mora biti osjetljiv, labilan i promjenjiv, odnosno biti što „bliži” (u informativnom smislu) štetnoj okolini. faktori koliko je to moguće. Shodno tome, dolazi do konfliktne situacije kada sistem, s jedne strane, treba da bude „dalje“ od okruženja, a sa druge „bliži“.

Problem životne sredine

Da biste promijenili (dobili korisne informacije) morate biti "bliži"

Moguća rješenja

Budite na "optimalnoj udaljenosti"

Podijelite na dva povezana podsistema

Rice. B.1 Odnos između sistema i okoline

Prvo moguće rešenje: sistem kao celina treba da bude na nekoj optimalnoj „udaljenosti” od okoline, birajući određeni kompromisni optimum I/C. Drugo rešenje: da se podeli na dva spregnuta podsistema, ukloni jedan „udaljeno” od okruženje, a drugog pomaknite „bliže“. Drugo rješenje uklanja konfliktne zahtjeve za očuvanjem (C) i promjenom (I) sistema i omogućava vam da istovremeno maksimizirate oba, povećavajući stabilnost sistema u cjelini. Ovaj zaključak leži u osnovi novog koncepta.

DODATAK B: TEORIJSKA FUNDAMENTALNA KONCEPCIJA 1 1 5

PRINCIP POVEZANIH PODSISTEMA

DIFERENCIJACIJA ADAPTIVNIH SISTEMA, KOJI SE RAZVOJU U PROMJELJIVOM OKRUŽENJU, U DVA POVEZANA PODSISTEMA SA KONZERVATIVNOM I OPERATIVNOM SPECIJALIZACIJOM, POVEĆAVA NJIHOVA STABILNOST.

Razdvajanje unutrašnjeg i eksternog podsistema mora se shvatiti ne u geometrijskom (morfološkom) smislu, već u informacionom, odnosno tokovi informacija iz okruženja o promenama koje su se u njemu dogodile prvo spadaju u eksterne podsisteme („RAM ”), a zatim u interne („konstantna memorija”). memorija” sistema).

U ovom opštem obliku, koncept važi za evoluirajuće, adaptivne sisteme, bez obzira na njihovu specifičnu prirodu – biološku, tehničku, igru ​​ili društvenu. Može se očekivati ​​da će se među adaptivnim sistemima koji se razvijaju dosta često pojavljivati ​​strukture koje se sastoje od dva povezana podsistema. U svim slučajevima kada je sistem primoran da prati „ponašanje neprijatelja“ (okruženje) i u skladu s tim gradi svoje „ponašanje“, diferencijacija, podjela službi na konzervativne i operativne povećava stabilnost. Vojska izdvaja izviđačke odrede i šalje ih u različitim pravcima u susret neprijatelju. Brod ima kobilicu (konzervativna služba) i odvojeno kormilo (operativno), avione konstantne i elerone; raketni stabilizatori i kormila.

Opće karakteristike binarnih konjugiranih diferencijacija

Prije pojave spregnutih podsistema, glavne kontrole evolucije, tok informacija je išao direktno iz okoline u sistem: E →S. Nakon pojave operativnih podsistema, oni prvi primaju informacije iz okruženja: okruženje → operativni → konzervativni podsistemi, E →o →k. Zbog toga novi podsistem je uvijek u funkciji i

nastaje između konzervativnog podsistema i okruženja.

Osnovna razlika između unitarnih i binarnih konjugiranih sistema je u formi njihovog informacionog kontakta sa okolinom. Za prve, informacije teku iz okoline direktno do svakog elementa sistema, dok za druge teku prvo do elemenata operativnog podsistema, a od njih do elemenata konzervativnog podsistema.

Dihronizam (asinhronizam) i dimorfizam (asimetrija) su usko povezani: kada se sistem identičnih elemenata podijeli na dva dijela, sve dok su kvalitativno homogeni, nema ni dimorfizma ni dihronizma (slika B.2). Ali čim jedan od njih počne da se razvija, istovremeno nastaju i dimorfizam i dihronizam. Duž morfološke ose, to su dva oblika koja formiraju strukturu „stabilno jezgro“ (SC) i „labilnu ljusku“ (LP) (slika B.3). Ova struktura štiti konzervativni podsistem od alternativnih faktora okoline, na primjer, od niskih i visokih temperatura.

1 1 6 DODATAK B: TEORIJSKA KONCEPCIJA

Sve evolucijske inovacije prvo se pojavljuju u operativnom podsistemu, tamo prolaze testiranje, nakon čega (nakon mnogo generacija) odabrane završavaju u konzervativnom podsistemu. Evolucija operativnog podsistema počinje i završava se ranije od konzervativnog. Stoga se po hronološkoj osi mogu smatrati „avangardnim“ i

„pozadinu” (slika B.4).

Duž ose „sistem-okruženje“ sistem je podeljen na „stabilno jezgro“ i „labilnu ljusku“

Duž vremenske ose, operativni podsistem se može smatrati „avangardnim” u odnosu na konzervativni.

Protok informacija

Wednesday Front

Conservative Operational

Conservative Operational

Protok informacija

Takva podjela i specijalizacija podsistema za alternativne zadatke očuvanja i promjene obezbjeđuje optimalne uslove za implementaciju glavnog metoda evolucije živih sistema – u određenom smislu metode pokušaja i greške. Sa koncentracijom uzoraka u RAM-u, greške i nalazi se i tamo lokalizuju. Ovo omogućava sistemu

isprobajte različite opcije za rješavanje evolucijskih problema bez rizika od ponavljanja neuspješnih rješenja.

Diferencijacija na konzervativne i operativne podsisteme nije apsolutna, već relativna. Mogu postojati uzastopni nizovi podsistema: α, β, γ,…..ω, pri čemu je najkonzervativnija (fundamentalna) veza α, a najoperacionalnija je ω. A unutar reda, u svakom paru, lijevo je konzervativni podsistem, desno je operativni podsistem (kao niz metalnih napona u elektrohemiji).

Da bi nove ekološke informacije ušle u operativni podsistem, fenotipska disperzija njegovih elemenata mora biti šira od one elemenata konzervativnog podsistema, tada će njihova podobnost biti niža, a koeficijent selekcije veći od potonjeg. Da bi to učinili, moraju imati istu normu reakcije. Budući da je očuvanje sistema često važnije od promjene (pošto izostanak ovog drugog prijeti stagnacijom, a prvog izumiranjem), podsistemi djece su nejednaki. Konzervativni podsistem je važniji i vredniji od operativnog. Zadržava neke karakteristike i funkcije majčinog, unitarnog sistema, dok operativni podsistem dobija nove. Stoga, da bi se razumjelo evolutivno značenje binarnih diferencijacija, dovoljno je razumjeti samo značenje operativnih podsistema.

DODATAK B: TEORIJSKA KONCEPCIJA 1 1 7

DA BI NOVE EKOLOŠKE INFORMACIJE Ušle U OPERATIVNI PODSISTEM, FENOTIPSKA VARIJANCIJA

NJEGOVI ELEMENTI TREBA DA BUDU ŠIRI A NORMA REAKCIJE UŽA OD ELEMENTA KONZERVATIVNOG PODSISTEMA.

Za efikasan prenos informacija između podsistema (OP CP), elementi operativnog podsistema takođe moraju imati širi „presek kanala“ komunikacije od elemenata konzervativnog.

Asinhrona evolucija podsistema

Evolucija sistema (S) određena je okruženjem (E), ES. Tok informacija koje dolaze iz okoline djeluje kao svojevrsni ekološki potencijal koji prisiljava sistem na promjenu. Povećanje disperzije elemenata unitarnih sistema, prije ili kasnije, automatski dovodi do njihove diferencijacije na konzervativne i operativne podsisteme. Ako uporedimo potencijal sredine sa električnim potencijalom, a unitarni sistem sa sijalicom, onda su binarni sistem dve sijalice koje se mogu spojiti na izvor struje paralelno ili serijski (slika B.5). Ovo je fundamentalno nova prilika koju unitarni sistemi nisu imali.

Rice. B.5 Sinhrona evolucija unitarnih sistema (US) i binarnih nekonjugiranih sistema (BNS)

Analog paralelnog kola. Asinhrona evolucija binarnih konjugiranih diferencijacija (BCD) je analog sekvencijalne šeme. Kovrdžave strelice pokazuju pravac evolucije, jednostavne strelice označavaju protok elektrona i informacija (Geodakyan, 2005).

Tri dijagrama-modela tri glavne metode reprodukcije i asimetrije. Kolo jedne sijalice analogno je aseksualnoj metodi, paralelno kolo je hermafroditskoj metodi, a sekvencijalno kolo je analogno dvodomnom (i asimetričnom mozgu).

Povezane funkcije. Subdiferencijale. Minimaks princip. Problemi o projektivnoj dualnosti Do 18. aprila 2014. (1) Pronađite konjugate funkcija p (a) |x|p , p ≥ 1 (b) ex−1 (c) max(|x|, x2 ) (d) f (x) = 12 hQx, xi + hb, xi + c, Q - simetrična pozitivna d × d matrica, b, x ∈ Rd, c ∈ R (e) f (x) = ln(1 + ex1 + · · · + exd) (f) max(x 1 , · · · , xn ) √ (g) 1 + x2 (h) δA , gdje je A skup u Rd i δA (x) = 0 ako je x ∈ A, δA (x) = +∞ ako je x∈ /A (i) hA , gdje je A skup u Rd i hA (y) = sup(hx, yi, x ∈ A). (2) Dokazati nejednakost p p hx, yi ≤ 1 + |x|2 − 1 − |y|2 , (3) (4) (5) (6) x, y ∈ Rd , |y| ≤ 1. Kada se postiže tačna jednakost? Kako funkcionira funkcija konjugirana s funkcijom čiji je graf konveksni poliedar? Razmotrimo skup segmenata dužine 1 na R+ ×R+ sa krajevima na koordinatnim linijama. Dokažite da je astroid omotač za ovaj skup. Koja je funkcija konjugat funkcije čiji je graf astroid? Neka je f nekonveksna funkcija. Opišite njegov drugi konjugat. Neka su f, f ∗ glatke konveksne funkcije i u svakoj tački matrice drugih izvoda (Hessian) D2 f, D2 f ∗ su nedegenerisane. Dokažite da za bilo koji x vrijedi relacija D2 f (x) · D2 f ∗ (∇f (x)) = I, gdje je I matrica identiteta. (7) Pronađite opšte rješenje sljedeće diferencijalne jednadžbe f 00 = (f − xf 0)2. (8) Izračunajte subdiferencijal konveksne funkcije na nuli (a) max(ex , 1 − x) P (b) di=1 |xi | (c) max1≤i≤d |xi | (9) Dokazati da je x0 minimalna tačka konveksne funkcije f ako i samo ako je 0 ∈ ∂f (x0). (10) Pronađite minimum funkcija (a) x2 + y 2 + 4p max(x, y) (b) x2 + y 2 + 2 (x − a)2 + (y − b)2 (11) Dokažite relacija (f ⊕ g)∗ = f∗ + g∗, 1 gdje je f ⊕ g(x) = inf a+b=x (f (a) + g(b)). (12) Dokažite (bez primjene minimax principa) da maksimum u problemu linearnog programiranja ne prelazi minimum u dualnom. (13) Formulirajte dualni problem linearnog programiranja i riješite ga. x1 + 2x2 + · · · + nxn → min x1 ≥ 1, x1 + x2 ≥ 2, · · · , x1 + x2 + · · · + xn ≥ n xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n. Problemi projektivnog dualiteta Definicija. Dvostruka projektivna ravan RP2∗ je prostor pravih na projektivnoj ravni RP2. 14) Dokazati da dualna projektivna ravan ima prirodnu projektivnu ravansku strukturu, u kojoj je prava porodica pravih u RP2 koje prolaze kroz datu tačku. (Konkretno, varijeteti RP2 i RP2∗ su difeomorfni.) 15) Razmotrite proizvoljne dvije različite prave a, b ⊂ RP2, označite O = a ∩ b, a = a \ O, b = b \ O. Na svakoj liniji postoji prirodna realna afina koordinata, jedinstveno definirana do kompozicije s afinom transformacijom: a, b " R. Za bilo koje x ∈ a i y ∈ b, neka je l(x, y) pravac koja prolazi kroz x i y. Dokažite da je preslikavanje a × b → RP2∗, (x, y) 7 → l(x, y) afino preslikavanje. Definicija: Neka je γ ⊂ RP2 glatka kriva. Dualna kriva na γ je kriva γ∗ ⊂ RP2∗, koja je porodica tangentnih linija na γ. 16) Dokažite da je γ∗∗ = γ. 17) Neka je f (x) glatka striktno konveksna funkcija i f∗ (x∗) njena Razmotrimo njihove grafove Γ(f) i Γ(f∗) u odgovarajućim afinim ravnima (x, y) i (x∗, y∗) (tačnije, konačnim dijelovima grafova gdje su vrijednosti funkcije Dokazati da je kriva Γ(f∗) transformirana afinom transformacijom u krivu dualnu Γ(f).Savjet: koristite rezultat zadatka 2. 18) Dokažite da je kriva dualna glatkoj konici (a kriva drugog reda koja se ne može svesti na par linija) je također glatka konika. 19) Dajte definiciju dvojne izlomljene linije (dualni poligon) i riješite analoge zadataka 3) i 4) za izlomljenu liniju γ i komadno afinu funkciju f (graf – izlomljena linija). 2