To može biti, na primjer, kalkulator iz osnovnog skupa programa operativni sistem Windows. Veza za njegovo pokretanje skrivena je prilično u glavnom meniju OS-a - otvorite ga klikom na dugme "Start", zatim otvorite njegov odjeljak "Programi", idite na pododjeljak "Standard", a zatim na "Utilities" odjeljak i, na kraju, kliknite na stavku "Kalkulator"" Umjesto korištenja miša i navigacije kroz menije, možete koristiti tastaturu i dijalog za pokretanje programa - pritisnite kombinaciju tipki WIN + R, upišite calc (ovo je naziv izvršne datoteke kalkulatora) i pritisnite Enter.
Prebacite sučelje kalkulatora u napredni način rada, koji vam omogućava da... Po defaultu se otvara u "normalnom" prikazu, ali vam je potreban "inženjering" ili " " (ovisno o verziji OS-a koju koristite). Proširite odjeljak "Prikaz" u izborniku i odaberite odgovarajuću liniju.
Unesite argument čiji prirodni broj želite procijeniti. Ovo se može uraditi ili sa tastature ili klikom na odgovarajuća dugmad u interfejsu kalkulatora na ekranu.
Kliknite na dugme označeno ln - program će izračunati logaritam na osnovu e i pokazati rezultat.
Koristite jedan od -kalkulatora kao alternativni izračun vrijednosti prirodni logaritam. Na primjer, onaj koji se nalazi na http://calc.org.ua. Njegov interfejs je izuzetno jednostavan - postoji jedno polje za unos u koje treba da unesete vrednost broja čiji logaritam treba da izračunate. Među dugmadima pronađite i kliknite na ono na kojem piše ln. Skripta ovog kalkulatora ne zahtijeva slanje podataka na server i odgovor, tako da ćete rezultat izračuna dobiti gotovo trenutno. Jedina karakteristika koju treba uzeti u obzir je separator između razlomaka i cijeli dio Uneseni broj ovdje mora imati tačku, a ne .
izraz " logaritam"potekao od dva grčke riječi, od kojih jedan označava "broj", a drugi "omjer". Označava matematičku operaciju izračunavanja promjenljive veličine (eksponenta) na koju se mora podići konstantna vrijednost (baza) da bi se dobio broj označen pod znakom logaritam A. Ako je baza jednaka matematičkoj konstanti koja se zove broj "e", onda logaritam nazivaju "prirodnim".
Trebaće ti
- Pristup internetu, Microsoft Office Excel ili kalkulator.
Uputstva
Koristite mnoge kalkulatore dostupne na Internetu - ovo je možda jednostavan način za izračunavanje prirodnog a. Ne morate tražiti odgovarajuću uslugu, jer ih ima mnogo tražilice i sami imaju ugrađene kalkulatore, sasvim pogodne za rad sa njima logaritam ami. Na primjer, idite na glavnu stranicu najvećeg internet pretraživača - Google. Ovdje nisu potrebna nikakva dugmad za unos vrijednosti ili odabir funkcija, samo upišite željeno u polje za unos zahtjeva matematička operacija. Recimo da izračunamo logaritam i broj 457 u osnovi “e”, unesite ln 457 - ovo će biti dovoljno da Google prikaže sa tačnošću od osam decimalnih mjesta (6.12468339) čak i bez pritiska na dugme za slanje zahtjeva serveru.
Koristite odgovarajuću ugrađenu funkciju ako trebate izračunati vrijednost prirodne vrijednosti logaritam i javlja se pri radu sa podacima u popularnom uređivaču tabela Microsoft Office Excel. Ova funkcija se ovdje poziva koristeći uobičajenu notaciju kao što je logaritam i velikim slovima - LN. Odaberite ćeliju u kojoj bi se trebao prikazati rezultat izračuna i unesite znak jednakosti - ovako bi u ovom uređivaču proračunskih tablica trebali započeti zapisi u ćelijama koje se nalaze u pododjeljku "Standard" odjeljka "Svi programi" glavnog izbornika. Prebacite kalkulator na funkcionalniji način rada pritiskom na Alt + 2. Zatim unesite vrijednost, prirodno logaritam koju želite da izračunate i kliknite u programskom interfejsu dugme označeno simbolima ln. Aplikacija će izvršiti proračun i prikazati rezultat.
Video na temu
Uopšte nije loše, zar ne? Dok matematičari traže riječi kako bi vam dali dugu, zbunjujuću definiciju, pogledajmo pobliže ovu jednostavnu i jasnu definiciju.
Broj e znači rast
Broj e označava kontinuirani rast. Kao što smo vidjeli u prethodnom primjeru, e x nam omogućava da povežemo kamatu i vrijeme: 3 godine sa 100% rasta isto je kao 1 godina sa 300%, pod pretpostavkom "složene kamate".
Možete zamijeniti bilo koje procentualne i vremenske vrijednosti (50% za 4 godine), ali je bolje postaviti postotak kao 100% radi pogodnosti (ispada 100% za 2 godine). Prelaskom na 100%, možemo se fokusirati isključivo na vremensku komponentu:
e x = e posto * vrijeme = e 1,0 * vrijeme = e vrijeme
Očigledno e x znači:
- koliko će moj doprinos rasti nakon x jedinica vremena (pod pretpostavkom 100% kontinuiranog rasta).
- na primjer, nakon 3 vremenska intervala dobiću e 3 = 20,08 puta više „stvari“.
e x je faktor skaliranja koji pokazuje na koji nivo ćemo narasti za vrijeme x.
Prirodni logaritam znači vrijeme
Prirodni logaritam je inverz od e, fensi termin za suprotnost. Govoreći o hirovima; na latinskom se zove logarithmus naturali, otuda i skraćenica ln.
I šta znači ova inverzija ili suprotnost?
- e x nam omogućava da zamijenimo vrijeme i dobijemo rast.
- ln(x) nam omogućava da uzmemo rast ili prihod i saznamo vrijeme koje je potrebno da ga generišemo.
na primjer:
- e 3 je 20.08. Nakon tri vremenska perioda, imaćemo 20,08 puta više nego što smo počeli.
- ln(08/20) bi bilo otprilike 3. Ako ste zainteresovani za rast od 20,08 puta, trebat će vam 3 vremenska perioda (opet, uz pretpostavku 100% kontinuiranog rasta).
Još čitate? Prirodni logaritam pokazuje vrijeme potrebno da se postigne željeni nivo.
Ovaj nestandardni logaritamski broj
Jeste li prošli kroz logaritme - čudna su stvorenja. Kako su uspjeli da množenje pretvore u sabiranje? Šta je sa deljenjem na oduzimanje? da vidimo.
Čemu je jednako ln(1)? Intuitivno se postavlja pitanje: koliko dugo trebam čekati da dobijem 1x više od onoga što imam?
Zero. Zero. Nikako. Već ga imate jednom. Nije potrebno dugo da se pređe sa nivoa 1 na nivo 1.
- ln(1) = 0
Dobro, šta je sa razlomkom? Koliko će nam vremena trebati da nam ostane 1/2 raspoložive količine? Znamo da sa 100% kontinuiranog rasta, ln(2) znači vrijeme koje je potrebno da se udvostruči. Ako mi vratimo vrijeme unazad(tj. sačekajte negativno vrijeme), tada ćemo dobiti polovinu onoga što imamo.
- ln(1/2) = -ln(2) = -0,693
Logično, zar ne? Ako se vratimo (vrijeme unazad) na 0,693 sekunde, naći ćemo polovinu raspoložive količine. Općenito, možete preokrenuti razlomak i uzeti negativnu vrijednost: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. To znači da ako se vratimo u prošlost na 1,09 puta, naći ćemo samo trećinu trenutnog broja.
Dobro, šta je sa logaritmom negativnog broja? Koliko je vremena potrebno da se kolonija bakterija "naraste" od 1 do -3?
Ovo je nemoguće! Ne možete dobiti negativan broj bakterija, zar ne? Možete dobiti maksimum (er...minimum) od nule, ali ne postoji način da dobijete negativan broj od ovih malih stvorenja. IN negativan broj bakterija jednostavno nema smisla.
- ln(negativan broj) = nedefinisano
"Nedefinirano" znači da ne postoji vrijeme koje bi trebalo čekati da dobije negativnu vrijednost.
Logaritamsko množenje je jednostavno smiješno
Koliko će vremena trebati da poraste četiri puta? Naravno, možete samo uzeti ln(4). Ali ovo je previše jednostavno, idemo drugim putem.
Možete zamisliti četvorostruki rast kao udvostručavanje (zahteva ln(2) jedinice vremena) i zatim ponovno udvostručavanje (zahteva još ln(2) jedinice vremena):
- Vrijeme da se poveća 4 puta = ln(4) = Vrijeme da se udvostruči i onda ponovo udvostruči = ln(2) + ln(2)
Zanimljivo. Svaka stopa rasta, recimo 20, može se smatrati udvostručenjem odmah nakon povećanja od 10x. Ili rast za 4 puta, a zatim za 5 puta. Ili utrostručiti, a zatim povećati za 6.666 puta. Vidite uzorak?
- ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
Logaritam A puta B je log(A) + log(B). Ovaj odnos odmah ima smisla kada se posmatra u smislu rasta.
Ako ste zainteresovani za rast od 30x, možete sačekati ln(30) u jednoj sednici, ili sačekati ln(3) za utrostručenje, a zatim još jedan ln(10) za 10x. Krajnji rezultat je isti, tako da, naravno, vrijeme mora ostati konstantno (i ostaje).
Šta je sa podjelom? Konkretno, ln(5/3) znači: koliko će vremena trebati da naraste 5 puta, a zatim dobijete 1/3 od toga?
Odlično, rast od 5 puta je ln(5). Povećanje od 1/3 puta će trajati -ln(3) jedinica vremena. dakle,
- ln(5/3) = ln(5) – ln(3)
To znači: pustite da naraste 5 puta, a zatim se „vratite u prošlost“ do tačke u kojoj ostaje samo trećina te količine, tako da ćete dobiti 5/3 rasta. Generalno, ispada
- ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
Nadam se da vam čudna aritmetika logaritama počinje imati smisla: množenje stopa rasta postaje zbrajanje vremenskih jedinica rasta, a dijeljenje oduzimanje vremenskih jedinica. Ne morate pamtiti pravila, pokušajte ih razumjeti.
Korištenje prirodnog logaritma za proizvoljan rast
Pa, naravno,” kažete, “ovo je sve dobro ako je rast 100%, ali šta je sa 5% koje dobijem?”
Nema problema. "Vrijeme" koje izračunavamo pomoću ln() je zapravo kombinacija kamatne stope i vremena, isto X iz jednačine e x. Upravo smo odlučili postaviti postotak na 100% radi jednostavnosti, ali slobodno možemo koristiti bilo koje brojeve.
Recimo da želimo postići rast od 30x: uzmimo ln(30) i dobijemo 3,4 To znači:
- e x = visina
- e 3,4 = 30
Očigledno, ova jednadžba znači "100% povrata tokom 3,4 godine daje 30x rast." Ovu jednačinu možemo napisati na sljedeći način:
- e x = e stopa*vrijeme
- e 100% * 3,4 godine = 30
Možemo mijenjati vrijednosti "bet" i "time", sve dok opklada * vrijeme ostaje 3.4. Na primjer, ako nas zanima rast od 30x, koliko ćemo morati čekati uz kamatnu stopu od 5%?
- ln(30) = 3.4
- stopa * vrijeme = 3.4
- 0,05 * vrijeme = 3,4
- vrijeme = 3,4 / 0,05 = 68 godina
Razmišljam ovako: "ln(30) = 3,4, tako da će za rast od 100% trebati 3,4 godine. Ako udvostručim stopu rasta, potrebno vrijeme će se prepoloviti."
- 100% za 3,4 godine = 1,0 * 3,4 = 3,4
- 200% za 1,7 godina = 2,0 * 1,7 = 3,4
- 50% za 6,8 godina = 0,5 * 6,8 = 3,4
- 5% preko 68 godina = .05 * 68 = 3.4.
Odlično, zar ne? Prirodni logaritam se može koristiti sa bilo kojom kamatnom stopom i vremenom jer njihov proizvod ostaje konstantan. Možete pomicati vrijednosti varijabli koliko god želite.
Sjajan primjer: Pravilo sedamdeset dva
Pravilo sedamdeset i dva je matematička tehnika koja vam omogućava da procijenite koliko će vremena trebati da se vaš novac udvostruči. Sada ćemo to zaključiti (da!), a štaviše, pokušat ćemo razumjeti njegovu suštinu.
Koliko će vam vremena trebati da udvostručite svoj novac uz 100% kamatu na godišnjem nivou?
Ups. Koristili smo prirodni logaritam za slučaj kontinuiranog rasta, a sada govorite o godišnjem kompaundiranju? Ne bi li ova formula postala neprikladna za takav slučaj? Da, hoće, ali za realne kamatne stope kao što su 5%, 6% ili čak 15%, razlika između godišnjeg kompaundiranja i kontinuiranog rasta će biti mala. Dakle, gruba procjena funkcionira, ovaj, otprilike, pa ćemo se pretvarati da imamo potpuno kontinuirano obračunavanje.
Sada je pitanje jednostavno: Koliko brzo možete da se udvostručite sa 100% rastom? ln(2) = 0,693. Potrebno je 0,693 jedinice vremena (godine u našem slučaju) da udvostručimo naš iznos uz kontinuirano povećanje od 100%.
Dakle, šta ako kamatna stopa nije 100%, već recimo 5% ili 10%?
Lako! Budući da je ulog * vrijeme = 0,693, udvostručit ćemo iznos:
- stopa * vrijeme = 0,693
- vrijeme = 0,693 / opklada
Ispada da ako je rast 10%, trebat će 0,693 / 0,10 = 6,93 godina da se udvostruči.
Da bismo pojednostavili proračune, pomnožimo obje strane sa 100, tada možemo reći "10" umjesto "0,10":
- vrijeme za udvostručenje = 69,3 / opklada, gdje je opklada izražena u postocima.
Sada je vrijeme da se udvostruči po stopi od 5%, 69,3 / 5 = 13,86 godina. Međutim, 69,3 nije najpogodnija dividenda. Odaberimo bliski broj, 72, koji je zgodno podijeliti sa 2, 3, 4, 6, 8 i drugim brojevima.
- vrijeme za udvostručenje = 72 / opklada
što je pravilo od sedamdeset dva. Sve je pokriveno.
Ako trebate pronaći vremena da utrostručite, možete koristiti ln(3) ~ 109,8 i dobiti
- vrijeme za utrostručenje = 110 / opklada
Šta je drugo korisno pravilo. "Pravilo 72" se odnosi na rast kamatnih stopa, rast populacije, bakterijske kulture i sve što raste eksponencijalno.
šta je sljedeće?
Nadam se da prirodni logaritam sada ima smisla za vas - on pokazuje vrijeme potrebno da bilo koji broj raste eksponencijalno. Mislim da se to naziva prirodnim jer je e univerzalna mjera rasta, tako da se ln može smatrati univerzalnim načinom određivanja koliko dugo je potrebno da raste.
Svaki put kada vidite ln(x), sjetite se "vrijeme koje je potrebno da poraste X puta." U narednom članku opisat ću e i ln zajedno kako bi svježi miris matematike ispunio zrak.
Dodatak: Prirodni logaritam od e
Brzi kviz: šta je ln(e)?
- matematički robot će reći: budući da su definirani kao inverzni jedni drugima, očito je da je ln(e) = 1.
- osoba koja razumije: ln(e) je broj puta koji je potreban da poraste "e" puta (oko 2.718). Međutim, sam broj e je mjera rasta za faktor 1, tako da je ln(e) = 1.
Razmišljaj jasno.
9. septembra 2013često uzimaju broj e = 2,718281828 . Logarithms by ovu osnovu su pozvani prirodno. Prilikom izvođenja proračuna prirodnim logaritmima uobičajeno je raditi sa predznakom ln, ne log; dok je broj 2,718281828 , koji definišu osnovu, nisu naznačeni.
Drugim riječima, formulacija će izgledati ovako: prirodni logaritam brojevi X- ovo je eksponent na koji se mora podići broj e dobiti x.
dakle, ln(7,389...)= 2, pošto e 2 =7,389... . Prirodni logaritam samog broja e= 1 jer e 1 =e, a prirodni logaritam jedinice je nula, pošto e 0 = 1.
Sam broj e definira granicu monotonog ograničenog niza
izračunao to e = 2,7182818284... .
Vrlo često, da bi se fiksirao broj u memoriji, cifre potrebnog broja povezuju se s nekim izvanrednim datumom. Brzina pamćenja prvih devet cifara broja e nakon decimale će se povećati ako primijetite da je 1828. godina rođenja Lava Tolstoja!
Danas ih ima dovoljno puni stolovi prirodni logaritmi.
Graf prirodnog logaritma(funkcije y =ln x) je posljedica toga što je graf eksponenta zrcalna slika prave linije y = x i ima oblik:
Prirodni logaritam se može naći za svaki pozitivan realan broj a kao površina ispod krive y = 1/x od 1 to a.
Elementarna priroda ove formulacije, koja je u skladu sa mnogim drugim formulama u kojima je uključen prirodni logaritam, bila je razlog za formiranje naziva „prirodni“.
Ako analizirate prirodni logaritam, kao realna funkcija realne varijable, tada djeluje inverzna funkcija na eksponencijalnu funkciju, koja se svodi na identitete:
e ln(a) =a (a>0)
ln(e a) =a
Po analogiji sa svim logaritmima, prirodni logaritam pretvara množenje u sabiranje, dijeljenje u oduzimanje:
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
ln(x/y)= lnx - lny
Logaritam se može naći za svaku pozitivnu bazu koja nije jednaka jedinici, ne samo za e, ali se logaritmi za druge baze razlikuju od prirodnog logaritma samo konstantnim faktorom i obično se definiraju u smislu prirodnog logaritma.
Nakon analize graf prirodnog logaritma, nalazimo da postoji za pozitivne vrijednosti varijable x. Ono se monotono povećava u svom domenu definicije.
At x → 0 granica prirodnog logaritma je minus beskonačnost ( -∞ ).At x → +∞ granica prirodnog logaritma je plus beskonačnost ( + ∞ ). Na slobodi x Logaritam raste prilično sporo. Bilo koja funkcija napajanja xa sa pozitivnim eksponentom a raste brže od logaritma. Prirodni logaritam je monotono rastuća funkcija, tako da nema ekstrema.
Upotreba prirodni logaritmi veoma racionalno pri polaganju više matematike. Stoga je korištenje logaritma pogodno za pronalaženje odgovora na jednadžbe u kojima se nepoznanice pojavljuju kao eksponenti. Upotreba prirodnih logaritama u proračunima omogućava značajno pojednostavljenje velikog broja matematičke formule. Logaritmi bazi e prisutni su u rešavanju značajnog broja fizičkih problema i prirodno su uključeni u matematički opis pojedinih hemijskih, bioloških i drugih procesa. Dakle, logaritmi se koriste za izračunavanje konstante raspada za poznato vrijeme poluraspada ili za izračunavanje vremena raspada u rješavanju problema radioaktivnosti. Nastupaju u vodeću ulogu u mnogim granama matematike i praktičnih nauka koriste se u oblasti finansija za rešavanje velikog broja problema, uključujući i obračun složene kamate.
Logaritam datog broja naziva se eksponent na koji se drugi broj mora podići, pozvati osnovu logaritam da dobijete ovaj broj. Na primjer, logaritam baze 10 od 100 je 2. Drugim riječima, 10 mora biti na kvadrat da bi se dobilo 100 (10 2 = 100). Ako n– dati broj, b– baza i l– logaritam, dakle b l = n. Broj n naziva se i bazni antilogaritam b brojevi l. Na primjer, antilogaritam od 2 prema bazi 10 jednak je 100. Ovo se može zapisati u obliku dnevnika odnosa b n = l i antilog b l = n.
Osnovna svojstva logaritama:
Bilo koji pozitivan broj osim jedan može poslužiti kao osnova za logaritme, ali nažalost ispada da ako b I n su racionalni brojevi, onda u rijetkim slučajevima postoji takav racionalni broj l, sta b l = n. Međutim, moguće je definirati iracionalan broj l, na primjer, takav da je 10 l= 2; ovo je iracionalan broj l može se aproksimirati sa bilo kojom potrebnom tačnošću racionalni brojevi. Ispostavilo se da u gornjem primjeru l je približno jednako 0,3010, a ova aproksimacija logaritma od 2 baze 10 može se naći u četverocifrenim tablicama decimalnih logaritama. Logaritmi s bazom 10 (ili logaritmi s bazom 10) se toliko često koriste u proračunima da se nazivaju običan logaritma i zapisano kao log2 = 0,3010 ili log2 = 0,3010, izostavljajući eksplicitnu naznaku osnove logaritma. Logaritmi bazi e, transcendentalni broj približno jednak 2,71828, nazivaju se prirodno logaritmi. Nalaze se uglavnom u radovima na matematička analiza i njegove primjene u raznim znanostima. Prirodni logaritmi se također pišu bez eksplicitne naznake baze, već uz korištenje posebne oznake ln: na primjer, ln2 = 0,6931, jer e 0,6931 = 2.
Korištenje tablica običnih logaritama.
Regularni logaritam broja je eksponent na koji se mora podići 10 da bi se dobio dati broj. Pošto je 10 0 = 1, 10 1 = 10 i 10 2 = 100, odmah dobijamo da je log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2, itd. za povećanje cjelobrojnih potencija 10. Isto tako, 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 i stoga log0,1 = –1, log0,01 = –2, itd. za sve negativne cjelobrojne potencije 10. Uobičajeni logaritmi preostalih brojeva su zatvoreni između logaritama najbližih cijelih potencija od 10; log2 mora biti između 0 i 1, log20 mora biti između 1 i 2, a log0.2 mora biti između -1 i 0. Dakle, logaritam se sastoji od dva dijela, cijelog broja i decimalni, zatvoren između 0 i 1. Poziva se cijeli broj karakteristika logaritam i određen je samim brojem, frakcijski dio pozvao mantissa i može se pronaći iz tabela. Takođe, log20 = log(2´10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Logaritam od 2 je 0,3010, tako da je log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Slično, log0.2 = log(2o10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. Nakon oduzimanja dobijamo log0.2 = – 0.6990. Međutim, zgodnije je predstaviti log0,2 kao 0,3010 – 1 ili kao 9,3010 – 10; može se formulisati i opšte pravilo: svi brojevi dobijeni iz datog broja množenjem sa stepenom od 10 imaju istu mantisu, jednaku mantisi datog broja. Većina tabela prikazuje mantise brojeva u rasponu od 1 do 10, jer se mantise svih ostalih brojeva mogu dobiti iz onih navedenih u tabeli.
Većina tabela daje logaritme sa četiri ili pet decimalnih mesta, iako postoje tabele sa sedam cifara i tabele sa čak i više decimalnih mesta. Najlakši način da naučite kako koristiti takve tablice je pomoću primjera. Da bismo pronašli log3.59, prije svega, napominjemo da je broj 3.59 između 10 0 i 10 1, pa je njegova karakteristika 0. Pronalazimo broj 35 (lijevo) u tabeli i krećemo se duž reda do kolona koja ima broj 9 na vrhu; presjek ove kolone i reda 35 je 5551, tako da je log3.59 = 0.5551. Pronaći mantisu broja sa četiri značajne figure, potrebno je pribjeći interpolaciji. U nekim tabelama, interpolacija je olakšana proporcijama datim u zadnjih devet kolona na desnoj strani svake stranice tabela. Nađimo sada log736.4; broj 736.4 leži između 10 2 i 10 3, pa je karakteristika njegovog logaritma 2. U tabeli nalazimo red sa leve strane od kojeg se nalazi 73 i kolona 6. Na preseku ovog reda i ove kolone nalazi se broj 8669. Među linearni dijelovi nalazimo kolonu 4. Na raskrsnici linije 73 i kolone 4 nalazi se broj 2. Dodavanjem 2 na 8669, dobijamo mantisu - jednaka je 8671. Dakle, log736.4 = 2.8671.
Prirodni logaritmi.
Tablice i svojstva prirodnih logaritama su slične tablicama i svojstvima običnih logaritama. Glavna razlika između jednog i drugog je u tome što cijeli broj prirodnog logaritma nije značajan u određivanju položaja decimalne točke, te stoga razlika između mantise i karakteristike ne igra posebnu ulogu. Prirodni logaritmi brojeva 5.432; 54,32 i 543,2 jednaki su 1,6923, respektivno; 3,9949 i 6,2975. Odnos između ovih logaritama će postati očigledan ako uzmemo u obzir razlike između njih: log543.2 – log54.32 = 6.2975 – 3.9949 = 2.3026; zadnji broj nije ništa drugo do prirodni logaritam broja 10 (napisano ovako: ln10); log543,2 – log5,432 = 4,6052; posljednji broj je 2ln10. Ali 543,2 = 10´54,32 = 10 2´5,432. Dakle, prirodnim logaritmom datog broja a možete pronaći prirodne logaritme brojeva jednake umnošku broja a za bilo koji stepen n brojevi 10 ako na ln a dodajte ln10 pomnoženo sa n, tj. ln( aґ10n) = log a + n ln10 = ln a + 2,3026n. Na primjer, ln0,005432 = ln(5,432´10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3´2,3026) = – 5,2155. Stoga tabele prirodnih logaritama, kao i tablice običnih logaritama, obično sadrže samo logaritme brojeva od 1 do 10. U sistemu prirodnih logaritama može se govoriti o antilogaritmima, ali češće govore o eksponencijalnoj funkciji ili eksponentu. Ako x= log y, To y = e x, And y naziva eksponentom x(radi tipografske pogodnosti često pišu y= exp x). Eksponent igra ulogu antilogaritma broja x.
Koristeći tablice decimalnih i prirodnih logaritama, možete kreirati tablice logaritama u bilo kojoj osnovi osim 10 i e. Ako log b a = x, To b x = a, i stoga log c b x=log c a ili x log c b=log c a, ili x=log c a/log c b=log b a. Stoga, koristeći ovu formulu inverzije iz tabele baznog logaritma c možete napraviti tablice logaritama u bilo kojoj drugoj bazi b. Množilac 1/log c b pozvao prelazni modul iz baze c do baze b. Ništa ne sprječava, na primjer, korištenje formule inverzije ili prijelaz iz jednog sistema logaritama u drugi, pronalaženje prirodnih logaritama iz tablice običnih logaritama ili obrnuti prijelaz. Na primjer, log105.432 = log e 5.432/log e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923´0,4343 = 0,7350. Broj 0,4343, kojim se prirodni logaritam datog broja mora pomnožiti da bi se dobio običan logaritam, modul je prelaska na sistem običnih logaritama.
Specijalni stolovi.
Logaritmi su prvobitno izmišljeni tako da, koristeći svoja svojstva log ab=log a+ log b i log a/b=log a–log b, pretvaraju proizvode u zbrojeve, a količnike u razlike. Drugim riječima, ako log a i log b su poznati, onda pomoću sabiranja i oduzimanja lako možemo pronaći logaritam proizvoda i količnika. U astronomiji se, međutim, često daju vrijednosti log a i log b treba pronaći dnevnik ( a + b) ili log( a – b). Naravno, prvo bi se moglo pronaći iz tablica logaritama a I b, zatim izvršite naznačeno sabiranje ili oduzimanje i, ponovo se okrećući tablicama, pronađite tražene logaritme, ali bi takav postupak zahtijevao tri puta pozivanje na tabele. Z. Leonelli je 1802. objavio tabele tzv. Gaussovi logaritmi– logaritmi za sabiranje zbira i razlika – koji su omogućili da se ograniči na jedan pristup tabelama.
I. Kepler je 1624. godine predložio tablice proporcionalnih logaritama, tj. logaritmi brojeva a/x, Gdje a– neka pozitivna konstantna vrijednost. Ove tabele koriste prvenstveno astronomi i navigatori.
Proporcionalni logaritmi pri a= 1 se pozivaju logaritmima i koriste se u proračunima kada se radi o proizvodima i količnikima. Kologaritam broja n jednak logaritmu recipročnog broja; one. colog n= log1/ n= – log n. Ako je log2 = 0,3010, onda je colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Prednost korištenja kolobaritama je u tome što se pri izračunavanju vrijednosti logaritma izraza kao pq/r trostruki zbir pozitivnih decimala log str+ log q+colog r lakše je pronaći nego mješoviti zapisnik sume i razlike str+ log q–log r.
Priča.
Princip koji leži u osnovi bilo kog sistema logaritama poznat je veoma dugo i može se pratiti do drevne vavilonske matematike (oko 2000. godine pne). U to vrijeme interpolacija između tablične vrijednosti Za izračunavanje složene kamate korištene su pozitivne cjelobrojne potencije cijelih brojeva. Mnogo kasnije, Arhimed (287–212 pne) je koristio moći od 108 da pronađe gornju granicu za broj zrna peska potrebnih da se u potpunosti ispuni tada poznati Univerzum. Arhimed je skrenuo pažnju na svojstvo eksponenata koje je u osnovi efektivnosti logaritama: proizvod stepena odgovara zbiru eksponenata. Krajem srednjeg vijeka i početkom moderne ere, matematičari su se sve više počeli okretati odnosu između geometrijske i aritmetičke progresije. M. Stiefel u svom eseju Celobrojna aritmetika(1544) dao je tablicu pozitivnih i negativnih potencija broja 2:
Stiefel je primijetio da je zbir dva broja u prvom redu (red eksponenta) jednak eksponentu dva koji odgovara proizvodu dva odgovarajuća broja u donjem redu (red eksponenta). U vezi sa ovom tabelom, Stiefel je formulisao četiri pravila koja su ekvivalentna četiri moderna pravila za operacije nad eksponentima ili četiri pravila za operacije nad logaritmima: zbir u gornjoj liniji odgovara proizvodu u donjem redu; oduzimanje na gornjoj liniji odgovara podjeli na donjoj liniji; množenje u gornjoj liniji odgovara eksponencijaciji u donjoj liniji; podjela na gornjoj liniji odgovara ukorjenjivanju na donjoj liniji.
Očigledno, pravila slična Stiefelovim pravilima navela su J. Napera da formalno uvede prvi sistem logaritama u svom radu Opis nevjerovatne tablice logaritama, objavljen 1614. Ali Napierove misli bile su zaokupljene problemom pretvaranja proizvoda u sume otkako je, više od deset godina prije objavljivanja svog rada, Napier dobio vijest iz Danske da su u opservatoriji Tycho Brahe njegovi pomoćnici imali metodu koja moguće je pretvoriti proizvode u sume. Metoda spomenuta u poruci koju je Napier primila bila je zasnovana na upotrebi trigonometrijske formule tip
stoga su se Naperove tabele uglavnom sastojale od logaritama trigonometrijske funkcije. Iako koncept baze nije eksplicitno uključen u definiciju koju je predložio Napier, ulogu ekvivalentnu bazi sistema logaritama u njegovom sistemu imao je broj (1 – 10 –7)´10 7, približno jednak 1/ e.
Nezavisno od Napera i gotovo istovremeno s njim, sistem logaritama, prilično sličan tipu, izumio je i objavio J. Bürgi u Pragu, objavljen 1620. Tablice aritmetičke i geometrijske progresije. To su bile tabele antilogaritama na osnovu (1 + 10 –4) ´10 4, prilično dobra aproksimacija broja e.
U Naperovom sistemu, logaritam broja 10 7 uzet je jednak nuli, a kako su se brojevi smanjivali, logaritmi su se povećavali. Kada je G. Briggs (1561–1631) posjetio Napier, obojica su se složili da bi bilo zgodnije koristiti broj 10 kao bazu i smatrati da je logaritam jedinice nula. Zatim, kako se brojevi povećavaju, njihovi logaritmi bi se povećavali. Dakle, dobili smo savremeni sistem decimalni logaritmi, čiju tabelu je Brigs objavio u svom radu Logaritamska aritmetika(1620). Logaritmi bazi e, iako ne baš one koje je uveo Naper, često se nazivaju Naperovim. Termine "karakteristika" i "mantisa" predložio je Briggs.
Prvi logaritmi su, iz istorijskih razloga, koristili aproksimacije za brojeve 1/ e I e. Nešto kasnije, ideja o prirodnim logaritmima počela se povezivati s proučavanjem područja pod hiperbolom xy= 1 (slika 1). U 17. veku pokazalo se da je površina ograničena ovom krivom osi x i ordinate x= 1 i x = a(na slici 1 ovo područje je prekriveno debljim i rijetkim tačkama) povećava se u aritmetička progresija, Kada a povećava u geometrijska progresija. Upravo ta zavisnost se javlja u pravilima za operacije sa eksponentima i logaritmima. To je dovelo do toga da se Naperijski logaritmi nazivaju "hiperboličkim logaritmima".
Logaritamska funkcija.
Bilo je vremena kada su se logaritmi smatrali isključivo računskim sredstvom, ali je u 18. stoljeću, uglavnom zahvaljujući Ojlerovom radu, formiran koncept logaritamske funkcije. Grafikon takve funkcije y= log x, čije ordinate rastu u aritmetičkoj progresiji, dok apscise rastu u geometrijskoj progresiji, prikazano je na Sl. 2, A. Graf inverzne ili eksponencijalne funkcije y = e x, čije ordinate rastu u geometrijskoj progresiji, a čije apscise rastu u aritmetičkoj progresiji, prikazano je, respektivno, na Sl. 2, b. (Krive y=log x I y = 10x sličnog oblika krivuljama y= log x I y = e x.) Predložene su i alternativne definicije logaritamske funkcije, npr.
kpi ; i, slično, prirodni logaritmi broja -1 su kompleksni brojevi vrste (2 k + 1)pi, Gdje k– cijeli broj. Slične tvrdnje su istinite za opšte logaritme ili druge sisteme logaritama. Dodatno, definicija logaritma se može generalizirati korištenjem Eulerovih identiteta kako bi se uključili kompleksni logaritmi kompleksnih brojeva.
Alternativna definicija logaritamske funkcije daje funkcionalna analiza. Ako f(x) – kontinuirana funkcija pravi broj x, koji ima sljedeća tri svojstva: f (1) = 0, f (b) = 1, f (uv) = f (u) + f (v), To f(x) je definiran kao logaritam broja x na osnovu b. Ova definicija ima niz prednosti u odnosu na definiciju datu na početku ovog članka.
Prijave.
Logaritmi su se prvobitno koristili samo za pojednostavljenje proračuna, a ova aplikacija je i dalje jedna od njihovih najvažnijih. Izračunavanje proizvoda, količnika, stepena i korijena je olakšano ne samo širokom dostupnošću objavljenih tablica logaritama, već i upotrebom tzv. Slide rule - računski alat čiji se princip rada zasniva na svojstvima logaritama. Lenjir je opremljen logaritamskim skalama, tj. udaljenost od broja 1 do bilo kojeg broja x odabrano da bude jednako log x; Pomicanjem jedne skale u odnosu na drugu moguće je iscrtati zbrojeve ili razlike logaritama, što omogućava da se direktno sa skale očitaju produkti ili količniki odgovarajućih brojeva. Također možete iskoristiti prednosti predstavljanja brojeva u logaritamskom obliku. logaritamski papir za crtanje grafova (papir sa ispisanim logaritamskim skalama na obe koordinatne ose). Ako funkcija zadovoljava zakon stepena oblika y = kxn, tada njegov logaritamski graf izgleda kao prava linija, jer log y=log k + n log x– jednačina linearna u odnosu na log y i log x. Naprotiv, ako logaritamski graf neke funkcionalne zavisnosti izgleda kao prava linija, onda je ta zavisnost stepena. Semi-log papir (gdje y-osa ima logaritamsku skalu, a x-osa ima uniformnu skalu) je koristan kada trebate identificirati eksponencijalne funkcije. Jednačine oblika y = kb rx nastaju kad god se količina, kao što je populacija, količina radioaktivnog materijala ili stanje u banci, smanjuje ili povećava brzinom proporcionalnom raspoloživom trenutno broj stanovnika, radioaktivnu materiju ili novac. Ako se takva zavisnost nacrta na polulogaritamskom papiru, graf će izgledati kao prava linija.
Logaritamska funkcija nastaje u vezi sa širokim spektrom prirodnih oblika. Cvjetovi u cvatovima suncokreta raspoređeni su u logaritamske spirale, školjke mekušaca su uvijene Nautilus, rogove planinskih ovaca i kljunove papagaja. Svi ovi prirodni oblici mogu poslužiti kao primjeri krive poznate kao logaritamska spirala jer je u polarnom koordinatnom sistemu njena jednadžba r = ae bq, ili ln r= log a + bq. Takva kriva je opisana pokretnom tačkom, čija se udaljenost od pola povećava u geometrijskoj progresiji, a ugao opisan njenim radijus vektorom raste u aritmetičkoj progresiji. Sveprisutnost takve krivulje, a samim tim i logaritamske funkcije, dobro je ilustrirana činjenicom da se javlja u tako udaljenim i potpuno različitim područjima kao što su kontura ekscentričnog ekscentra i putanja nekih insekata koji lete prema svjetlosti.
Logaritam broja b prema bazi a je eksponent na koji se broj a mora podići da bi se dobio broj b.
Ako, onda.
Logaritam - ekstremno važno matematička količina , budući da logaritamski račun omogućava ne samo rješavanje eksponencijalnih jednačina, već i rad s eksponentima, diferenciranje eksponencijalnih i logaritamskih funkcija, njihovo integraciju i dovođenje u prihvatljiviji oblik za izračunavanje.
Sva svojstva logaritama su direktno povezana sa svojstvima eksponencijalnih funkcija. Na primjer, činjenica da 
znači da:
Treba napomenuti da se prilikom rješavanja specifičnih problema svojstva logaritma mogu pokazati važnijim i korisnijim od pravila za rad sa potencijama.
Hajde da predstavimo neke identitete:
Evo osnovnih algebarskih izraza:
;
.
Pažnja! može postojati samo za x>0, x≠1, y>0.
Pokušajmo razumjeti pitanje šta su prirodni logaritmi. Posebno interesovanje za matematiku predstavljaju dva tipa- prvi ima broj “10” u osnovi i zove se “ decimalni logaritam" Drugi se naziva prirodnim. Osnova prirodnog logaritma je broj “e”. To je ono o čemu ćemo detaljno govoriti u ovom članku.
Oznake:
- lg x - decimalni;
- ln x - prirodno.
Koristeći identičnost, možemo vidjeti da je ln e = 1, kao i da je lg 10=1.
Graf prirodnog logaritma
Napravimo graf prirodnog logaritma koristeći standard na klasičan način po bodovima. Ako želite, možete provjeriti da li ispravno konstruiramo funkciju ispitivanjem funkcije. Međutim, ima smisla naučiti kako ga izgraditi "ručno" da biste znali kako pravilno izračunati logaritam.
Funkcija: y = ln x. Zapišimo tabelu tačaka kroz koje će graf proći:
Objasnimo zašto smo odabrali baš ove vrijednosti argumenta x. Sve se radi o identitetu: . Za prirodni logaritam ovaj identitet će izgledati ovako:
Radi praktičnosti, možemo uzeti pet referentnih tačaka:
;
;
.
;
.
Dakle, izračunavanje prirodnih logaritama je prilično jednostavan zadatak, štoviše, pojednostavljuje izračunavanje operacija sa potencijama, pretvarajući ih u; obično množenje.
Iscrtavanjem grafikona tačku po tačku, dobijamo približan grafikon:
Domen definicije prirodnog logaritma (tj. sve važeće vrijednosti argumenta X) su svi brojevi veći od nule.
Pažnja! Područje definicije prirodnog logaritma uključuje samo pozitivne brojeve! Opseg definicije ne uključuje x=0. To je nemoguće na osnovu uslova za postojanje logaritma.
Raspon vrijednosti (tj. sve važeće vrijednosti funkcije y = ln x) su svi brojevi u intervalu.
Ograničenje prirodnog dnevnika
Proučavajući graf, postavlja se pitanje - kako se funkcija ponaša na y<0.
Očigledno, graf funkcije teži da pređe y-osu, ali to neće moći učiniti, jer prirodni logaritam od x<0 не существует.
Granica prirodnog log može se napisati ovako:
Formula za zamjenu baze logaritma
Baviti se prirodnim logaritmom mnogo je lakše nego raditi s logaritmom koji ima proizvoljnu osnovu. Zato ćemo pokušati naučiti kako bilo koji logaritam svesti na prirodni, ili ga izraziti na proizvoljnu bazu kroz prirodne logaritme.
Počnimo s logaritamskim identitetom:
Tada se bilo koji broj ili varijabla y može predstaviti kao:
gdje je x bilo koji broj (pozitivan prema svojstvima logaritma).
Ovaj izraz se može uzeti logaritamski na obje strane. Uradimo ovo koristeći proizvoljnu bazu z:
Koristimo svojstvo (samo umjesto "c" imamo izraz):
Odavde dobijamo univerzalnu formulu:
.
Konkretno, ako je z=e, tada:
.
Mogli smo da predstavimo logaritam prema proizvoljnoj bazi kroz omjer dva prirodna logaritma.
Mi rješavamo probleme
Da bismo bolje razumjeli prirodne logaritme, pogledajmo primjere nekoliko problema.
Problem 1. Potrebno je riješiti jednačinu ln x = 3.
Rješenje: Koristeći definiciju logaritma: ako , onda , dobijamo:
Problem 2. Riješite jednačinu (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.
Rješenje: Koristeći definiciju logaritma: ako , onda , dobijamo:
.
Koristimo opet definiciju logaritma:
.
ovako:
.
Možete približno izračunati odgovor, ili ga možete ostaviti u ovom obliku.
Zadatak 3. Riješite jednačinu.
Rješenje: Napravimo zamjenu: t = ln x. Tada će jednačina poprimiti sljedeći oblik:
.
Imamo kvadratnu jednačinu. Nađimo njegov diskriminant:
Prvi korijen jednadžbe:
.
Drugi korijen jednačine:
.
Sjećajući se da smo izvršili zamjenu t = ln x, dobijamo:
U statistici i teoriji vjerovatnoće logaritamske veličine se vrlo često nalaze. To nije iznenađujuće, jer broj e često odražava stopu rasta eksponencijalnih količina.
U informatici, programiranju i teoriji računara, logaritmi se često nalaze, na primjer, kako bi se pohranilo N bitova u memoriju.
U teorijama fraktala i dimenzija stalno se koriste logaritmi, jer se dimenzije fraktala određuju samo uz njihovu pomoć.
U mehanici i fizici Ne postoji dio u kojem nisu korišteni logaritmi. Barometrijska distribucija, svi principi statističke termodinamike, jednačina Ciolkovskog, itd. su procesi koji se mogu matematički opisati samo pomoću logaritama.
U hemiji se logaritmi koriste u Nernstovim jednačinama i opisima redoks procesa.
Začudo, čak iu muzici, da bi se saznao broj delova oktave, koriste se logaritmi.
Prirodni logaritam Funkcija y=ln x njena svojstva
Dokaz glavnog svojstva prirodnog logaritma
