Upotreba teorije igara u ekonomiji. Matematički modeli teorije igara

3.4.1. Osnovni koncepti teorije igara

Trenutno mnoga rješenja problema u industrijskim, ekonomskim ili komercijalnim aktivnostima zavise od subjektivnih kvaliteta donosioca odluka. Prilikom odabira odluka u uslovima neizvjesnosti, element proizvoljnosti, a samim tim i rizika, uvijek je neizbježan.

Problemima donošenja odluka u uslovima potpune ili delimične neizvesnosti bavi se teorija igara i statistička rješenja. Neizvjesnost može imati oblik protivljenja druge strane, koja teži suprotnim ciljevima, ometa određene radnje ili stanja spoljašnje okruženje. U takvim slučajevima potrebno je uzeti u obzir moguće opcije ponašanja suprotne strane.

Moguće opcije ponašanja za obje strane i njihovi ishodi za svaku kombinaciju alternativa i stanja mogu se predstaviti u obliku matematički model koja se zove igra. Obje strane u sukobu ne mogu precizno predvideti međusobne akcije. Uprkos takvoj neizvjesnosti, svaka strana u sukobu mora donijeti odluke.

Teorija igara- Ovo matematička teorija konfliktne situacije. Glavna ograničenja ove teorije su pretpostavka potpune („idealne“) racionalnosti neprijatelja i donošenje najopreznije odluke o „reosiguranju“ prilikom rješavanja sukoba.

Pozivaju se sukobljene strane igrači, jedna implementacija igre – zabava, ishod utakmice - pobeda ili poraz.

U pokretu u teoriji igara je izbor jedne od radnji predviđenih pravilima i njena implementacija.

Lično zove igračev svjesni izbor jednog od moguće opcije akcije i njihovo sprovođenje.

Slučajni potez zove se izbor igrača koji nije napravljen voljnom odlukom igrača, već nekim mehanizmom slučajnog odabira (bacanje novčića, dijeljenje karata, itd.) jedne od mogućih opcija za akciju i njezinu provedbu.

Strategija igrača je skup pravila koja određuju izbor akcije za svaki lični potez ovog igrača, u zavisnosti od situacije koja se pojavi tokom igre

Optimalna strategija igrač je strategija koja, kada se ponovi mnogo puta u igri koja sadrži lične i nasumične poteze, pruža igraču maksimalan mogući prosjek dobitak (ili, što je isto, minimalno mogući prosjek gubitak).

Ovisno o razlozima koji uzrokuju neizvjesnost ishoda, igre se mogu podijeliti u sljedeće glavne grupe:

- Kombinatorski igre u kojima pravila, u principu, dozvoljavaju svakom igraču da analizira sve razne opcije ponašanje i, upoređujući ove opcije, odaberite najbolju. Neizvjesnost je u tome što postoji previše opcija koje treba analizirati.

- Kockanje igre u kojima je ishod neizvjestan zbog utjecaja slučajnih faktora.

- Strateški igre u kojima je neizvjesnost ishoda uzrokovana činjenicom da svaki igrač prilikom donošenja odluke ne zna koju će strategiju slijediti ostali učesnici u igri, budući da nema informacija o naknadnim akcijama protivnika (partnera). ).

- Igra se zove parovi, ako igra uključuje dva igrača.

- Igra se zove višestruka, ako ima više od dva igrača u igri.

- Igra se zove nula suma, ako svaki igrač pobjeđuje na račun ostalih, a zbir dobitaka i gubitaka jedne strane je jednak drugoj.

- Igra parova sa nultom sumom pozvao antagonistička igra.

- Igra se zove konačna, ako svaki igrač ima samo konačan broj strategija. Inače je to igra beskrajno.

- Igre u jednom koraku kada igrač odabere jednu od strategija i napravi jedan potez.

- U igricama u više koraka Igrači povlače niz poteza kako bi postigli svoje ciljeve, koji mogu biti ograničeni pravilima igre ili se mogu nastaviti sve dok jedan od igrača nema više resursa za nastavak igre.

- Poslovne igre imitiraju organizacione i ekonomske interakcije u različitim organizacijama i preduzećima. Prednosti simulacije igre u odnosu na stvarni objekt su:

Vidljivost posljedica donesenih odluka;

Varijabilna vremenska skala;

Ponavljanje postojećeg iskustva sa promjenama postavki;

Varijabilna pokrivenost pojava i objekata.

Elementi model igre su:

- Učesnici igre.

- Pravila igre.

- Informacijski niz, odražava stanje i kretanje modeliranog sistema.

Provođenje klasifikacije i grupisanja igara vam omogućava da pronađete opšte metode traženje alternativa u donošenju odluka, razvijanje preporuka za najracionalnije postupanje tokom razvoja konfliktnih situacija u različitim oblastima djelovanja.

3.4.2. Postavljanje ciljeva igre

Razmotrimo igru ​​parova sa konačnim nultom sumom. Igrač A ima m strategija (A 1 A 2 A m), a igrač B ima n strategija (B 1, B 2 Bn). Takva igra se zove igra dimenzije m x n. Neka je a ij isplata igrača A u situaciji kada je igrač A izabrao strategiju A i, a igrač B je izabrao strategiju B j. Isplata igrača u ovoj situaciji će biti označena sa b ij . Dakle, igra sa nultom sumom a ij = - b ij . Da bi se izvršila analiza, dovoljno je znati isplatu samo jednog od igrača, recimo A.

Ako se igra sastoji samo od ličnih poteza, tada izbor strategije (A i, B j) jedinstveno određuje ishod igre. Ako igra sadrži i nasumične poteze, onda je očekivana pobjeda prosječna vrijednost (matematičko očekivanje).

Pretpostavimo da su vrijednosti a ij poznate za svaki par strategija (A i, B j). Napravimo pravougaonu tabelu čiji redovi odgovaraju strategijama igrača A, a kolone strategije igrača B. Ova tabela se zove matrica plaćanja.

Cilj igrača A je da maksimizira svoj dobitak, a cilj igrača B je da minimizira svoj gubitak.

Dakle, matrica plaćanja izgleda ovako:

Zadatak je odrediti:

1) Najbolja (optimalna) strategija igrača A od strategija A 1 A 2 A m;

2) Najbolja (optimalna) strategija igrača B iz strategija B 1, B 2 Bn.

Za rješavanje problema primjenjuje se princip po kojem su učesnici igre podjednako inteligentni i svaki od njih čini sve da postigne svoj cilj.

3.4.3. Metode rješavanja problema igre

Minimaks princip

Analizirajmo sekvencijalno svaku strategiju igrača A. Ako igrač A odabere strategiju A 1, onda igrač B može izabrati takvu strategiju B j, u kojoj će isplata igrača A biti jednaka najmanjem od brojeva a 1j. Označimo to sa 1:

to jest, 1 je minimalna vrijednost svih brojeva u prvom redu.

Ovo se može proširiti na sve redove. Stoga igrač A mora izabrati strategiju za koju je broj a i maksimalan.

Vrijednost a je zagarantovani dobitak koji igrač a može sebi osigurati za bilo kakvo ponašanje igrača B. Vrijednost a naziva se niža cijena igre.

Igrač B je zainteresovan da smanji svoj gubitak, odnosno da svede dobitak igrača A na minimum. Da bi izabrao optimalnu strategiju, on mora pronaći maksimalnu vrijednost isplate u svakoj koloni i odabrati najmanju među njima.

Označimo sa b j maksimalnu vrijednost u svakoj koloni:

Najniža vrijednost b j označiti sa b.

b = min max a ij

b se zove gornja granica igrice. Princip koji nalaže da igrači biraju odgovarajuće strategije naziva se princip minimaksa.

Postoje matrične igre za koje je donja cijena igre jednaka gornjoj cijeni takve igre se nazivaju sedlama. U ovom slučaju, g=a=b se naziva neto cijena igre, a strategije A * i, B * j, koje omogućavaju postizanje ove vrijednosti, nazivaju se optimalnim. Par (A * i, B * j) se naziva sedlo matrice, jer je element a ij .= g istovremeno minimum u i-redu i maksimum u j-koloni. Optimalne strategije A * i, B * j i neto cijena su rješenje za igru ​​u čistim strategijama, tj. bez uključivanja mehanizma slučajnog odabira.

Primjer 1.

Neka je data matrica plaćanja. Pronađite rješenje za igru, odnosno odredite donju i gornju cijenu igre i minimaks strategije.

Ovdje a 1 =min a 1 j =min(5,3,8,2) =2

a =max min a ij = max(2,1,4) =4

b = min max a ij =min(9,6,8,7) =6

dakle, niža cijena igre (a=4) odgovara strategiji A 3. Odabirom ove strategije, igrač A će ostvariti isplatu od najmanje 4 za svako ponašanje igrača B. Gornja cijena igre (b=6) odgovara strategija igrača B. Ove strategije su minimaksne. Ako obje strane slijede ove strategije, isplata će biti 4 (a 33).

Primjer 2.

Matrica plaćanja je data. Pronađite donju i gornju cijenu igre.

a =max min a ij = max(1,2,3) =3

b = min max a ij =min(5,6,3) =3

Dakle, a =b=g=3. Tačka sedla je par (A * 3, B * 3). Ako matrična igra sadrži točku sedla, tada se njeno rješenje nalazi po principu minimaksa.

Rješavanje mješovitih strateških igara

Ako matrica plaćanja ne sadrži sedlo (a mešovita strategija.

Za korištenje mješovitih strategija potrebni su sljedeći uvjeti:

1) U igri nema sedla.

2) Igrači koriste nasumičnu mješavinu čistih strategija sa odgovarajućim vjerovatnoćama.

3) Igra se ponavlja više puta pod istim uslovima.

4) Prilikom svakog poteza, igrač nije obaviješten o izboru strategije od strane drugog igrača.

5) Usrednjavanje rezultata igre je dozvoljeno.

U teoriji igara je dokazano da svaka uparena igra sa nultom sumom ima barem jedno mješovito strateško rješenje, što implicira da svaka konačna igra ima cijenu g. g- prosječne dobitke, po seriji, zadovoljavajući uslov a<=g<=b . Оптимальное решение игры в смешанных стратегиях обладает следующим свойством: каждый из игроков не заинтересован в отходе от своей оптимальной смешанной стратегии.

Strategije igrača u njihovim optimalnim mješovitim strategijama nazivaju se aktivnim.

Teorema o aktivnim strategijama.

Primjena optimalne mješovite strategije osigurava igraču maksimalnu prosječnu pobjedu (ili minimalni prosječan gubitak) jednaku cijeni igre g, bez obzira na to koje radnje poduzima drugi igrač, sve dok ne prelazi granice njegove aktivne strategije.

Hajde da uvedemo sljedeću notaciju:

P 1 P 2 ... P m - vjerovatnoća da igrač A koristi strategije A 1 A 2 ..... A m ;

Q 1 Q 2 …Q n vjerovatnoća da igrač B koristi strategije B 1, B 2….. Bn

Zapisujemo mješovitu strategiju igrača A u obliku:

A 1 A 2…. A m

R 1 R 2 … R m

Mješovitu strategiju igrača B pišemo kao:

B 1 B 2…. Bn

Poznavajući matricu plaćanja A, možete odrediti prosječan dobitak (matematičko očekivanje) M(A,P,Q):

M(A,P,Q)=S Sa ij P i Q j

Prosječni dobici igrača A:

a =max minM(A,P,Q)

Prosječan gubitak igrača B:

b = min maxM(A,P,Q)

Označimo sa P A * i Q B * vektore koji odgovaraju optimalnim mješovitim strategijama pod kojima:

max minM(A,P,Q) = min maxM(A,P,Q)= M(A,P A * ,Q B *)

U ovom slučaju je ispunjen sljedeći uslov:

maxM(A,P,Q B *)<=maxМ(А,P А * ,Q В *)<= maxМ(А,P А * ,Q)

Rješavanje igre znači pronalaženje cijene igre i optimalne strategije.

Geometrijska metoda za određivanje cijena igara i optimalne strategije

(Za igru ​​2X2)

Segment dužine 1 iscrtan je na osi apscise. Lijevi kraj ovog segmenta odgovara strategiji A 1, a desni kraj strategiji A 2.

Y-osa prikazuje dobitke 11 i 12.

Dobici a 21 i a 22 su iscrtani duž linije koja je paralelna sa ordinatnom osom iz tačke 1.

Ako igrač B koristi strategiju B 1, onda povežite tačke a 11 i a 21, ako B 2, onda povežite tačke a 12 i a 22.

Prosečan dobitak je predstavljen tačkom N, tačkom preseka pravih B 1 B 1 i B 2 B 2. Apscisa ove tačke je jednaka P 2, a ordinata cene igre je g.

U poređenju sa prethodnom tehnologijom, dobitak je 55%.

Teorija igara je matematička metoda za proučavanje optimalnih strategija u igrama. Pojam „igra“ treba shvatiti kao interakciju dvije ili više strana koje nastoje da ostvare svoje interese. Svaka strana također ima svoju strategiju, koja može dovesti do pobjede ili poraza, što ovisi o tome kako se igrači ponašaju. Zahvaljujući teoriji igara, postaje moguće pronaći najefikasniju strategiju, uzimajući u obzir ideje o drugim igračima i njihovom potencijalu.

Teorija igara je posebna grana istraživanja operacija. U većini slučajeva metode teorije igara koriste se u ekonomiji, ali ponekad iu drugim društvenim naukama, na primjer, političkim naukama, sociologiji, etici i nekim drugim. Od 70-ih godina 20. stoljeća, počeli su ga koristiti i biolozi za proučavanje ponašanja životinja i teorije evolucije. Pored toga, danas je teorija igara veoma važna u oblasti kibernetike i. Zato želimo da vam pričamo o tome.

Istorija teorije igara

Naučnici su još u 18. veku predložili najoptimalnije strategije u oblasti matematičkog modeliranja. U 19. veku, problemi cena i proizvodnje na tržištu sa malo konkurencije, koji su kasnije postali klasični primeri teorije igara, razmatrali su naučnici kao što su Joseph Bertrand i Antoine Cournot. I početkom 20. stoljeća, istaknuti matematičari Emil Borel i Ernst Zermelo iznijeli su ideju o matematičkoj teoriji sukoba interesa.

Poreklo matematičke teorije igara treba tražiti u neoklasičnoj ekonomiji. U početku su temelji i aspekti ove teorije izneseni u radu Oscara Morgensterna i Johna von Neumanna, “Teorija igara i ekonomskog ponašanja” 1944. godine.

Predstavljeno matematičko polje našlo je odraza iu društvenoj kulturi. Na primjer, 1998. godine Sylvia Nasar (američka novinarka i spisateljica) objavila je knjigu posvećenu Johnu Nashu, dobitniku Nobelove nagrade za ekonomiju i teoretičaru igara. Po ovom djelu 2001. godine snimljen je film “A Beautiful Mind”. I brojne američke televizijske emisije, kao što su “NUMB3RS”, “Alias” i “Friend or Foe” također se povremeno pozivaju na teoriju igara u svojim emisijama.

Ali posebno treba spomenuti Johna Nasha.

Godine 1949. napisao je disertaciju o teoriji igara, a 45 godina kasnije dobio je Nobelovu nagradu za ekonomiju. U najranijim konceptima teorije igara analizirane su igre antagonističkog tipa u kojima postoje igrači koji pobjeđuju na račun gubitnika. Ali John Nash je razvio analitičke metode prema kojima svi igrači ili gube ili pobjeđuju.

Situacije koje je Nash razvio kasnije su nazvane “Nash equilibri”. Razlikuju se po tome što sve strane igre koriste najoptimalnije strategije, što stvara stabilnu ravnotežu. Održavanje ravnoteže je vrlo korisno za igrače, jer inače jedna promjena može negativno utjecati na njihovu poziciju.

Zahvaljujući radu Johna Nasha, teorija igara je dobila snažan poticaj u svom razvoju. Osim toga, matematički alati ekonomskog modeliranja bili su podvrgnuti velikoj reviziji. Džon Neš je uspeo da dokaže da klasično gledište po pitanju konkurencije, gde svako igra samo za sebe, nije optimalno, a najefikasnije strategije su one u kojima igrači postaju bolji tako što u početku čine druge boljim.

Unatoč činjenici da je teorija igara u početku uključivala ekonomske modele u svoje vidno polje, sve do 50-ih godina prošlog stoljeća bila je samo formalna teorija ograničena okvirima matematike. Međutim, od druge polovine 20. stoljeća pokušava se koristiti u ekonomiji, antropologiji, tehnologiji, kibernetici i biologiji. Tokom Drugog svjetskog rata i nakon njegovog završetka teoriju igara počela je razmatrati vojska, koja je u njoj vidjela ozbiljan aparat za razvoj strateških odluka.

Tokom 60-70-ih, interesovanje za ovu teoriju je izbledelo, uprkos činjenici da je davala dobre matematičke rezultate. Ali od 80-ih godina počinje aktivna primjena teorije igara u praksi, uglavnom u menadžmentu i ekonomiji. U posljednjih nekoliko decenija njegova važnost je značajno porasla, a neke moderne ekonomske trendove je potpuno nemoguće zamisliti bez nje.

Takođe ne bi bilo suvišno reći da je značajan doprinos razvoju teorije igara dao rad “Strategija sukoba” iz 2005. nobelovca za ekonomiju Thomasa Schellinga. U svom radu, Schelling je ispitao mnoge strategije koje koriste učesnici u konfliktnim interakcijama. Ove strategije su se poklopile sa taktikama upravljanja konfliktima i analitičkim principima koji se koriste u, kao i taktikama koje se koriste za upravljanje konfliktima u organizacijama.

U psihološkoj nauci i nizu drugih disciplina, pojam "igre" ima malo drugačije značenje nego u matematici. Kulturološko tumačenje pojma „igre“ predstavljeno je u knjizi „Homo Ludens“ Johana Huizinge, gdje autor govori o upotrebi igara u etici, kulturi i pravdi, te ističe da je sama igra značajno superiornija od ljudi u godinama, jer su i životinje sklone igri.

Takođe, koncept "igre" se može naći u konceptu Erica Byrnea, poznatom iz knjige "". Ovdje je, međutim, riječ o isključivo psihološkim igrama, čija je osnova transakciona analiza.

Primjena teorije igara

Ako govorimo o matematičkoj teoriji igara, ona je trenutno u fazi aktivnog razvoja. Ali matematička osnova je sama po sebi vrlo skupa, zbog čega se koristi uglavnom samo ako ciljevi opravdavaju sredstva, naime: u politici, ekonomiji monopola i raspodjeli tržišne moći, itd. Inače, teorija igara se koristi u proučavanju ponašanja ljudi i životinja u velikom broju situacija.

Kao što je već spomenuto, teorija igara se najprije razvila u granicama ekonomske nauke, omogućavajući određivanje i tumačenje ponašanja ekonomskih subjekata u različitim situacijama. Ali kasnije se opseg njegove primjene značajno proširio i počeo uključivati ​​mnoge društvene znanosti, zahvaljujući kojima teorija igara danas objašnjava ljudsko ponašanje u psihologiji, sociologiji i političkim znanostima.

Stručnjaci koriste teoriju igara ne samo da bi objasnili i predvidjeli ljudsko ponašanje – učinjeni su mnogi pokušaji da se ova teorija koristi za razvoj benchmark ponašanja. Osim toga, filozofi i ekonomisti su ga dugo koristili kako bi što bolje razumjeli dobro ili dostojno ponašanje.

Dakle, možemo zaključiti da je teorija igara postala prava prekretnica u razvoju mnogih nauka, a danas je sastavni dio procesa proučavanja različitih aspekata ljudskog ponašanja.

UMJESTO ZAKLJUČKA: Kao što ste primijetili, teorija igara je prilično usko povezana sa konfliktologijom - naukom posvećenom proučavanju ljudskog ponašanja u procesu interakcije sukoba. I, po našem mišljenju, ova oblast je jedna od najvažnijih ne samo među onima u kojima treba primijeniti teoriju igara, već i među onima koje bi čovjek sam trebao proučavati, jer su sukobi, kako god da se kaže, dio naših života. .

Ako imate želju da shvatite koje strategije ponašanja uopšte postoje, predlažemo vam da pohađate naš kurs samospoznaje koji će vam u potpunosti pružiti takve informacije. Ali, pored toga, nakon završetka našeg kursa, moći ćete da izvršite sveobuhvatnu procenu vaše ličnosti uopšte. To znači da ćete znati kako se ponašati u slučaju sukoba, te koje su vaše lične prednosti i mane, životne vrijednosti i prioriteti, predispozicije za rad i kreativnost i još mnogo toga. Općenito, ovo je vrlo koristan i neophodan alat za svakoga ko teži razvoju.

Naš kurs je u toku - slobodno započnite samospoznaju i usavršavajte se.

Želimo vam uspjeh i sposobnost da budete pobjednik u bilo kojoj utakmici!

Sekcija Teorija igara je predstavljena sa tri online kalkulatori:

1. Rješavanje matrične igre. U takvim problemima specificira se matrica plaćanja. Potrebno je pronaći čiste ili mješovite strategije igrača i, cijena igre. Da biste riješili, morate specificirati dimenziju matrice i metodu rješenja.
2. Bimatrix igra. Obično se u takvoj igri specificiraju dvije matrice iste veličine isplata prvog i drugog igrača. Redovi ovih matrica odgovaraju strategijama prvog igrača, a stupci matrica odgovaraju strategijama drugog igrača. U ovom slučaju, prva matrica predstavlja dobitak prvog igrača, a druga matrica predstavlja dobitke drugog.
3. Igre sa prirodom. Koristi se kada je potrebno odabrati upravljačku odluku prema kriterijima Maximaxa, Bayesa, Laplacea, Walda, Savagea, Hurwitza.

U praksi se često susrećemo sa problemima u kojima je potrebno donositi odluke u uslovima neizvjesnosti, tj. Nastaju situacije u kojima dvije strane teže različitim ciljevima, a rezultati djelovanja svake strane zavise od aktivnosti neprijatelja (ili partnera).

Situacija u kojoj efektivnost odluke koju donese jedna strana zavisi od radnji druge strane naziva se sukob. Konflikt je uvijek povezan sa nekom vrstom neslaganja (ovo nije nužno antagonistička kontradikcija).

Konfliktna situacija se zove antagonistički, ako povećanje dobitka jedne od strana za određeni iznos dovodi do smanjenja dobitka druge strane za isti iznos, i obrnuto.

U ekonomiji se konfliktne situacije javljaju vrlo često i raznolike su prirode. Na primjer, odnos između dobavljača i potrošača, kupca i prodavca, banke i klijenta. Svaki od njih ima svoje interese i teži donošenju optimalnih odluka koje će u najvećoj mjeri pomoći ostvarivanju njihovih ciljeva. Pri tome, svako mora voditi računa ne samo o svojim ciljevima, već i o ciljevima svog partnera i uzeti u obzir odluke koje će ti partneri donijeti (mogu biti nepoznati unaprijed). U cilju donošenja optimalnih odluka u konfliktnim situacijama kreirana je matematička teorija konfliktnih situacija, tzv. teorija igara . Pojava ove teorije datira iz 1944. godine, kada je objavljena monografija J. von Neumanna “Teorija igara i ekonomsko ponašanje”.

Igra je matematički model stvarne konfliktne situacije. Strane uključene u sukob nazivaju se igračima. Ishod sukoba naziva se pobjedom. Pravila igre su sistem uslova koji određuju opcije igrača za akciju; količinu informacija koje svaki igrač ima o ponašanju svojih partnera; isplati do koje svaki skup radnji vodi.

Igra se zove parna soba, ako uključuje dva igrača, i višestruko, ako je broj igrača veći od dva. Razmotrićemo samo igre parova. Igrači su određeni A I B.

Igra se zove antagonistički (nula suma), ako je dobitak jednog od igrača jednak gubitku drugog.

Zove se izbor i implementacija jedne od opcija predviđenih pravilima napredak igrač. Pokreti mogu biti lični i nasumični.
Lični potez- ovo je svjestan izbor igrača jedne od opcija za akciju (na primjer, u šahu).
Slučajni potez je nasumično odabrana radnja (na primjer, bacanje kocke). Razmatraćemo samo lične poteze.

Strategija igrača je skup pravila koja određuju ponašanje igrača tokom svakog ličnog poteza. Obično tokom igre u svakoj fazi igrač bira potez u zavisnosti od konkretne situacije. Takođe je moguće da je sve odluke igrač doneo unapred (tj. igrač je izabrao određenu strategiju).

Igra se zove krajnji, ako svaki igrač ima konačan broj strategija, i beskrajno- inače.

Svrha teorije igara– razviti metode za određivanje optimalne strategije za svakog igrača.

Zove se igračeva strategija optimalno, ako ovom igraču omogući višestruko ponavljanje igre maksimalnu moguću prosječnu pobjedu (ili minimalni mogući prosječni gubitak bez obzira na ponašanje protivnika).

Primjer 1. Svaki od igrača A ili B, može zapisati, nezavisno od drugog, brojeve 1, 2 i 3. Ako je razlika između brojeva koje su igrači zapisali pozitivna, tada A pobjeđuje broj bodova jednak razlici između brojeva. Ako je razlika manja od 0, on pobjeđuje B. Ako je razlika 0, to je neriješeno.
Igrač A ima tri strategije (opcije akcije): A 1 = 1 (upiši 1), A 2 = 2, A 3 = 3, igrač također ima tri strategije: B 1, B 2, B 3.

B A	B 1 =1	B2=2	B 3 =3
A 1 = 1	0	-1	-2
A 2 = 2	1	0	-1
A 3 = 3	2	1	0

Zadatak igrača A je da maksimizira svoj dobitak. Zadatak igrača B je da minimizira svoj gubitak, tj. minimizirati dobit A. Ovo igra parova sa nultom sumom.

Predgovor

Svrha ovog članka je da čitatelja upozna sa osnovnim konceptima teorije igara. Čitalac će iz članka naučiti što je teorija igara, razmotriti kratku povijest teorije igara i upoznati se s osnovnim principima teorije igara, uključujući glavne vrste igara i oblike njihovog predstavljanja. Članak će se dotaknuti klasičnog problema i temeljnog problema teorije igara. Završni dio članka posvećen je razmatranju problema korištenja teorije igara za donošenje upravljačkih odluka i praktičnoj primjeni teorije igara u menadžmentu.

Uvod.

21 vek. Doba informacija, brzog razvoja informacionih tehnologija, inovacija i tehnoloških inovacija. Ali zašto informacijsko doba? Zašto informacije igraju ključnu ulogu u gotovo svim procesima koji se dešavaju u društvu? Sve je vrlo jednostavno. Informacije nam daju neprocjenjivo vrijeme, au nekim slučajevima čak i priliku da ih preduzmemo. Uostalom, nije tajna da se u životu često morate nositi sa zadacima u kojima morate donositi odluke u uvjetima neizvjesnosti, u nedostatku informacija o odgovorima na vaše postupke, odnosno situacije u kojima se pojavljuju dvije (ili više) strana. teže različitim ciljevima, a rezultati bilo koje akcije svake strane zavise od aktivnosti partnera. Takve situacije se javljaju svaki dan. Na primjer, kada igrate šah, dame, domine i tako dalje. Unatoč činjenici da su igre uglavnom zabavne prirode, one se po svojoj prirodi odnose na konfliktne situacije u kojima je sukob već inherentan cilju igre – pobjedi jednog od partnera. Istovremeno, rezultat poteza svakog igrača ovisi o potezu odgovora protivnika. U ekonomiji se konfliktne situacije javljaju vrlo često i raznolike su prirode, a njihov broj je toliko velik da je nemoguće pobrojati sve konfliktne situacije koje se pojave na tržištu u barem jednom danu. Konfliktne situacije u privredi uključuju, na primjer, odnose između dobavljača i potrošača, kupca i prodavca, banke i klijenta. U svim navedenim primjerima konfliktnu situaciju generira razlika u interesima partnera i želja svakog od njih da donese optimalne odluke koje u najvećoj mjeri ostvaruju svoje ciljeve. Pri tome, svako mora voditi računa ne samo o svojim ciljevima, već i o ciljevima svog partnera, te voditi računa o unaprijed nepoznatim odlukama koje će ti partneri donijeti. Za kompetentno rješavanje problema u konfliktnim situacijama potrebne su naučno utemeljene metode. Takve metode razvija matematička teorija konfliktnih situacija, tzv teorija igara.

Šta je teorija igara?

Teorija igara je složen, višedimenzionalni koncept, pa se čini nemogućim tumačiti teoriju igara koristeći samo jednu definiciju. Pogledajmo tri pristupa definiranju teorije igara.

1.Teorija igara je matematička metoda za proučavanje optimalnih strategija u igrama. Igra je proces u kojem učestvuju dvije ili više strana koje se bore za ostvarivanje svojih interesa. Svaka strana ima svoj cilj i koristi neku strategiju koja može dovesti do pobjede ili gubitka – ovisno o ponašanju drugih igrača. Teorija igara pomaže u odabiru najboljih strategija, uzimajući u obzir ideje o drugim učesnicima, njihovim resursima i njihovim mogućim akcijama.

2. Teorija igara je grana primijenjene matematike, tačnije, istraživanja operacija. Metode teorije igara najčešće se koriste u ekonomiji, a nešto rjeđe u drugim društvenim naukama - sociologiji, politologiji, psihologiji, etici i dr. Od 1970-ih, usvojili su ga biolozi za proučavanje ponašanja životinja i teorije evolucije. Teorija igara je vrlo važna za umjetnu inteligenciju i kibernetiku.

3. Jedna od najvažnijih varijabli od kojih zavisi uspjeh organizacije je konkurentnost. Očigledno, sposobnost predviđanja akcija konkurenata znači prednost za svaku organizaciju. Teorija igara je metoda za modeliranje uticaja odluke na konkurente.

Istorija teorije igara

Optimalna rješenja ili strategije u matematičkom modeliranju predložena su još u 18. vijeku. Problemi proizvodnje i cijena u uslovima oligopola, koji su kasnije postali školski primjeri teorije igara, razmatrani su u 19. vijeku. A. Cournot i J. Bertrand. Početkom 20. vijeka. E. Lasker, E. Zermelo, E. Borel iznijeli su ideju o matematičkoj teoriji sukoba interesa.

Matematička teorija igara potiče iz neoklasične ekonomije. Matematički aspekti i primjena teorije prvi put su izneseni u klasičnoj knjizi Johna von Neumanna i Oscara Morgensterna iz 1944., Teorija igara i ekonomsko ponašanje.

Džon Neš, nakon što je diplomirao na Politehničkom institutu Karnegi sa dve diplome - diplomu i magistar - upisao se na Univerzitet Prinston, gde je slušao predavanja Džona fon Nojmana. U svojim spisima, Nash je razvio principe "menadžerske dinamike". Prvi koncepti teorije igara analizirali su igre sa nultom sumom, gdje su gubitnici i pobjednici na njihov račun. Nash razvija metode analize u kojima svi koji su uključeni ili pobjeđuju ili gube. Ove situacije se nazivaju „Neševa ravnoteža” ili „nekooperativna ravnoteža” u situaciji, strane koriste optimalnu strategiju, što dovodi do stvaranja stabilne ravnoteže. Za igrače je korisno da održavaju ovu ravnotežu, jer će svaka promjena pogoršati njihovu poziciju. Ovi Nashevi radovi dali su ozbiljan doprinos razvoju teorije igara, a revidirani su i matematički alati ekonomskog modeliranja. John Nash pokazuje da je klasični pristup A. Smitha konkurenciji, gdje je svako za sebe, suboptimalan. Optimalnije strategije su kada svako pokušava učiniti bolje za sebe, dok čini bolji za druge. John Nash je 1949. godine napisao disertaciju o teoriji igara, a 45 godina kasnije dobio je Nobelovu nagradu za ekonomiju.

Iako se teorija igara prvobitno bavila ekonomskim modelima, ostala je formalna teorija u matematici sve do 1950-ih. Ali već od 1950-ih. počinju pokušaji primjene metoda teorije igara ne samo u ekonomiji, već iu biologiji, kibernetici, tehnologiji i antropologiji. Tokom Drugog svetskog rata i neposredno nakon njega, vojska se ozbiljno zainteresovala za teoriju igara, koja je u njoj videla moćno oruđe za proučavanje strateških odluka.

Godine 1960 - 1970 interesovanje za teoriju igara jenjava, uprkos značajnim matematičkim rezultatima dobijenim do tog vremena. Od sredine 1980-ih. počinje aktivna praktična upotreba teorije igara, posebno u ekonomiji i menadžmentu. Tokom proteklih 20 - 30 godina, značaj teorije igara i interesovanje su značajno porasli neka područja moderne ekonomske teorije ne mogu se predstaviti bez upotrebe teorije igara.

Veliki doprinos primjeni teorije igara bio je rad Thomasa Schellinga, dobitnika Nobelove nagrade za ekonomiju iz 2005. godine, “Strategija sukoba”. T. Schelling razmatra različite „strategije“ ponašanja učesnika u sukobu. Ove strategije se poklapaju sa taktikom upravljanja konfliktima i principima analize konflikta u konfliktologiji i organizacionom upravljanju konfliktima.

Osnovni principi teorije igara

Upoznajmo se sa osnovnim konceptima teorije igara. Matematički model konfliktne situacije se naziva igra, strane uključene u sukob - igrači. Da biste opisali igru, prvo morate identificirati njene učesnike (igrače). Ovaj uslov se lako ispunjava kada su u pitanju obične igre kao što je šah itd. Drugačija je situacija sa „tržišnim igrama“. Ovdje nije uvijek lako prepoznati sve igrače, tj. trenutni ili potencijalni konkurenti. Praksa pokazuje da nije potrebno identifikovati sve igrače, potrebno je identifikovati najvažnije. Igre obično obuhvataju nekoliko perioda tokom kojih igrači poduzimaju sekvencijalne ili simultane radnje. Izbor i provedba jedne od radnji predviđenih pravilima naziva se napredak igrač. Pokreti mogu biti lični i nasumični. Lični potez- ovo je svjestan izbor igrača jedne od mogućih radnji (na primjer, potez u partiji šaha). Slučajni potez je nasumično odabrana radnja (na primjer, odabir karte iz promiješanog špila). Radnje se mogu odnositi na cijene, obim prodaje, troškove istraživanja i razvoja, itd. Zovu se periodi tokom kojih igrači povlače svoje poteze faze igrice. Potezi odabrani u svakoj fazi na kraju određuju "plaćanja"(pobjeda ili gubitak) svakog igrača, što se može izraziti u materijalnim sredstvima ili novcu. Drugi koncept u ovoj teoriji je strategija igrača. Strategija Igrač je skup pravila koja određuju izbor njegove akcije pri svakom ličnom potezu, ovisno o trenutnoj situaciji. Obično tokom igre, svakim ličnim potezom, igrač pravi izbor u zavisnosti od konkretne situacije. Međutim, u principu je moguće da sve odluke igrač donosi unaprijed (kao odgovor na bilo koju situaciju). To znači da je igrač odabrao određenu strategiju, koja se može specificirati kao lista pravila ili program. (Na ovaj način možete igrati igru ​​pomoću računara.) Drugim riječima, strategija se odnosi na moguće radnje koje omogućavaju igraču u svakoj fazi igre da od određenog broja alternativnih opcija izabere potez koji mu se čini „najboljim odgovorom“ na akcije drugih igrača. Što se tiče koncepta strategije, treba napomenuti da igrač određuje svoje postupke ne samo za faze koje je određena igra zaista dostigla, već i za sve situacije, uključujući i one koje se možda neće pojaviti u toku date igre. Igra se zove parna soba, ako uključuje dva igrača, i višestruko, ako je broj igrača veći od dva. Za svaku formalizovanu igru ​​uvode se pravila, tj. sistem uslova koji određuje: 1) opcije za akcije igrača; 2) količinu informacija koje svaki igrač ima o ponašanju svojih partnera; 3) dobitak do kojeg vodi svaki niz radnji. Obično se dobitak (ili poraz) može kvantifikovati; na primjer, gubitak možete vrednovati kao nula, pobjedu kao jedan, a neriješeno kao ½. Igra se naziva igrom nulte sume, ili antagonističkom, ako je dobitak jednog od igrača jednak gubitku drugog, odnosno da se igra završi, dovoljno je navesti vrijednost jednog od njih. Ako odredimo A- dobici jednog od igrača, b- dobitak drugog, zatim za igru ​​sa nultom sumom b = -a, stoga je dovoljno razmotriti npr A. Igra se zove krajnji, ako svaki igrač ima konačan broj strategija, i beskrajno- inače. Da bi odlučiti igru ili pronađi rešenje za igru, trebali biste odabrati strategiju za svakog igrača koja zadovoljava uvjet optimalnost, one. jedan od igrača mora primiti maksimalna pobeda kada se drugi drži svoje strategije. U isto vrijeme, drugi igrač mora imati minimalni gubitak, ako se prvi drži svoje strategije. Takve strategije su pozvani optimalno. Optimalne strategije takođe moraju zadovoljiti uslov održivost, tj. mora biti neisplativo za bilo koga od igrača da napusti svoju strategiju u ovoj igri. Ako se igra ponovi dosta puta, onda igrači mogu biti zainteresirani ne za pobjedu i poraz u svakoj određenoj igri, već za prosječna pobjeda (gubitak) u svim serijama. Svrha teorija igara je da odredi optimalno strategije za svakog igrača. Prilikom odabira optimalne strategije, prirodno je pretpostaviti da se oba igrača ponašaju razumno u smislu svojih interesa.

Zadružni i nekooperativni

Igra se zove kooperativna, ili koalicija, ako se igrači mogu udružiti u grupe, preuzimajući neke obaveze prema drugim igračima i koordinirajući njihove akcije. Ovo se razlikuje od nekooperativnih igara u kojima svako mora igrati za sebe. Zabavne igre su rijetko kooperativne, ali takvi mehanizmi nisu neuobičajeni u svakodnevnom životu.

Često se pretpostavlja da ono što kooperativne igre čini različitim jeste sposobnost igrača da međusobno komuniciraju. Generalno, to nije tačno. Postoje igre u kojima je komunikacija dozvoljena, ali igrači teže ličnim ciljevima, i obrnuto.

Od te dvije vrste igara, one koje ne surađuju opisuju situacije vrlo detaljno i daju preciznije rezultate. Zadruge posmatraju proces igre kao celinu.

Hibridne igre uključuju elemente kooperativnih i nekooperativnih igara. Na primjer, igrači mogu formirati grupe, ali će se igra igrati u nekooperativnom stilu. To znači da će svaki igrač slijediti interese svoje grupe, dok će u isto vrijeme pokušati ostvariti ličnu korist.

Simetrično i asimetrično

Asimetrična igra

Igra će biti simetrična kada su odgovarajuće strategije igrača jednake, odnosno imaju iste uplate. Drugim riječima, ako igrači mogu mijenjati mjesta i njihovi dobici za iste poteze se neće promijeniti. Mnoge proučavane igre za dva igrača su simetrične. Konkretno, to su: „Zatvorenička dilema“, „Lov na jelene“. U primjeru desno, igra na prvi pogled može izgledati simetrična zbog sličnih strategija, ali to nije tako - na kraju krajeva, isplata drugog igrača sa strateškim profilima (A, A) i (B, B) će biti veći od prvog.

Nul-zbroj i ne-nula-zbir

Igre sa nultom sumom su posebna vrsta igara sa konstantnim sumom, odnosno one u kojima igrači ne mogu povećati ili smanjiti raspoložive resurse, odnosno fond igre. U ovom slučaju, zbir svih dobitaka jednak je zbiru svih gubitaka za bilo koji potez. Pogledajte udesno - brojevi predstavljaju uplate igračima - i njihov zbir u svakoj ćeliji je nula. Primeri takvih igara uključuju poker, gde jedan dobija sve opklade drugih; reversi, gdje su zarobljeni neprijateljski dijelovi; ili banalno krađa.

Mnoge igre koje proučavaju matematičari, uključujući već pomenutu „Zatvoreničku dilemu“, su različite vrste: u igre sa nenultim sumom Pobjeda jednog igrača ne znači nužno i gubitak drugog, i obrnuto. Ishod takve igre može biti manji ili veći od nule. Takve igre se mogu pretvoriti u nultu sumu - to se radi uvođenjem fiktivni igrač, koji „prisvaja“ višak ili nadoknađuje nedostatak sredstava.

Druga igra sa nenultim sumom je trgovina, gdje svaki učesnik ima koristi. Ovo takođe uključuje dame i šah; u posljednja dva, igrač može svoju običnu figuru pretvoriti u jaču, stječući prednost. U svim ovim slučajevima, količina igre se povećava. Dobro poznati primjer gdje se smanjuje rat.

Paralelni i serijski

U paralelnim igrama, igrači se kreću istovremeno, ili barem nisu svjesni izbora drugih dok Sve neće napraviti svoj potez. Uzastopno, ili dinamičan U igrama, učesnici mogu da povlače poteze unapred određenim ili slučajnim redosledom, ali u isto vreme dobijaju neke informacije o prethodnim radnjama drugih. Ova informacija može čak i biti nije sasvim kompletan, na primjer, igrač može saznati da je njegov protivnik iz deset njegovih strategija definitivno nisam birao peto, bez saznanja ništa o ostalima.

O razlikama u prezentaciji paralelnih i uzastopnih igara raspravljalo se gore. Prvi su obično predstavljeni u normalnom obliku, a drugi u ekstenzivnom obliku.

Sa potpunim ili nepotpunim informacijama

Važan podskup uzastopnih igara su igre sa potpunim informacijama. U takvoj igri, učesnici znaju sve poteze napravljene do trenutnog trenutka, kao i moguće strategije svojih protivnika, što im omogućava da donekle predvide dalji razvoj igre. Kompletne informacije nisu dostupne u paralelnim igrama, jer su trenutni potezi protivnika nepoznati. Većina igara koje se proučavaju u matematici uključuju nepotpune informacije. Na primjer, sva "sol" Dileme zatvorenika leži u njegovoj nepotpunosti.

Primjeri igara sa potpunim informacijama: šah, dame i druge.

Koncept potpune informacije često se miješa sa sličnim - savršene informacije. Za potonje, dovoljno je samo znati sve strategije koje su dostupne protivnicima poznavanje svih njihovih poteza;

Igre s beskonačnim brojem koraka

Igre u stvarnom svijetu, ili igre koje se proučavaju u ekonomiji, obično traju final broj poteza. Matematika nije toliko ograničena, a teorija skupova se posebno bavi igrama koje se mogu nastaviti beskonačno. Štaviše, pobjednik i njegov dobitak nisu određeni do kraja svih poteza.

Zadatak koji se obično postavlja u ovom slučaju nije pronaći optimalno rješenje, već pronaći barem dobitnu strategiju.

Diskretne i kontinuirane igre

Većina proučavanih igara diskretno: imaju konačan broj igrača, poteza, događaja, ishoda, itd. Međutim, ove komponente se mogu proširiti na mnogo realnih brojeva. Igre koje uključuju takve elemente često se nazivaju diferencijalnim igrama. Oni su povezani sa nekom vrstom materijalne skale (obično vremenske), iako događaji koji se dešavaju u njima mogu biti diskretne prirode. Diferencijalne igre nalaze svoju primjenu u inženjerstvu i tehnologiji, fizici.

Metaigre

To su igre koje rezultiraju skupom pravila za drugu igru ​​(tzv cilj ili igra-objekat). Cilj metaigara je povećati korisnost datog skupa pravila.

Obrazac za prezentaciju igre

U teoriji igara, uz klasifikaciju igara, ogromnu ulogu igra i oblik prezentacije igre. Obično se razlikuje normalni ili matrični oblik i prošireni oblik, specificiran u obliku stabla. Ovi oblici za jednostavnu igru ​​prikazani su na Sl. 1a i 1b.

Za uspostavljanje prve veze sa područjem kontrole, igra se može opisati na sljedeći način. Dva preduzeća koja proizvode slične proizvode suočena su sa izborom. U jednom slučaju, oni mogu steći uporište na tržištu postavljanjem visoke cijene, što će im osigurati prosječan kartelski profit P K . Prilikom ulaska u žestoku konkurenciju obojica dobijaju profit P W. Ako jedan od konkurenata postavi visoku cijenu, a drugi nisku, onda potonji ostvaruje monopolski profit P M , dok drugi ostvaruje gubitke P G . Slična situacija može nastati, na primjer, kada obje firme moraju objaviti svoju cijenu, koja se naknadno ne može revidirati.

U nedostatku strogih uslova, za oba preduzeća je korisno da odrede nisku cenu. Strategija “niske cijene” je dominantna za svaku firmu: bez obzira koju cijenu odabere konkurentska firma, uvijek je poželjno postaviti nisku cijenu. Ali u ovom slučaju, firme se suočavaju sa dilemom, jer profit P K (koji je za oba igrača veći od profita P W) nije ostvaren.

Strateška kombinacija “niske cijene/niske cijene” sa odgovarajućim plaćanjima predstavlja Nashovu ravnotežu, u kojoj je nepovoljno da bilo koji igrač odvojeno odstupi od odabrane strategije. Ovaj koncept ravnoteže je fundamentalan u rješavanju strateških situacija, ali pod određenim okolnostima i dalje zahtijeva poboljšanje.

Što se tiče gornje dileme, njeno rješavanje zavisi, posebno, od originalnosti poteza igrača. Ako preduzeće ima priliku da preispita svoje strateške varijable (u ovom slučaju cenu), tada se kooperativno rešenje problema može naći čak i bez strogog dogovora između igrača. Intuicija sugerira da se s ponovljenim kontaktom između igrača otvaraju mogućnosti za postizanje prihvatljive "kompenzacije". Stoga je, pod određenim okolnostima, neprimjereno težiti kratkoročnom visokom profitu kroz damping cijena ako u budućnosti može doći do „rata cijena“.

Kao što je navedeno, obje slike karakteriziraju istu igru. Predstavljanje igre u normalnom obliku u normalnom slučaju odražava "sinkronicitet". Međutim, to ne znači „istovremenost“ događaja, već ukazuje na to da se igračev izbor strategije provodi u neznanju o izboru strategije protivnika. U proširenom obliku ova situacija je izražena kroz ovalni prostor (informaciono polje). U nedostatku ovog prostora, situacija u igri poprima drugačiji karakter: prvo bi jedan igrač morao donijeti odluku, a drugi bi to mogao učiniti nakon njega.

Klasični problem u teoriji igara

Razmotrimo klasični problem u teoriji igara. Lov na jelene je kooperativna simetrična igra iz teorije igara koja opisuje sukob između ličnih i javnih interesa. Igru je prvi opisao Jean-Jacques Rousseau 1755. godine:

„Ako su lovili jelena, onda su svi shvatili da je zbog toga dužan da ostane na svom mestu, ali ako bi zec pritrčao nekom od lovaca, onda nije bilo sumnje da će taj lovac, bez griže savesti, biti; krenuo za njim i, pošto je sustigao plijen, malo ko će žaliti što je na taj način lišio svoje drugove plena."

Lov na jelene je klasičan primjer izazova obezbjeđivanja javnog dobra, a istovremeno dovodi čovjeka u iskušenje da popusti pred vlastitim interesom. Da li lovac treba da ostane sa svojim drugovima i da se kladi na nepovoljniju priliku da isporuči veliki plen cijelom plemenu, ili da napusti svoje drugove i povjeri se pouzdanijoj prilici koja njegovoj vlastitoj porodici obećava zeca?

Fundamentalni problem u teoriji igara

Razmotrite fundamentalni problem u teoriji igara koji se zove Zatvorenikova dilema.

Zatvorenikova dilema je fundamentalni problem u teoriji igara, koji kaže da igrači neće uvijek sarađivati ​​jedni s drugima, čak i ako je to u njihovom najboljem interesu. Pretpostavlja se da igrač ("zatvorenik") maksimizira svoju isplatu ne mareći za dobit drugih. Suštinu problema formulirali su Meryl Flood i Melvin Drescher 1950. godine. Ime dilemi dao je matematičar Albert Taker.

U dilemi zatvorenika, izdaja striktno dominira preko saradnje, pa je jedina moguća ravnoteža izdaja oba učesnika. Jednostavno rečeno, bez obzira šta drugi igrač uradi, svako će dobiti više ako izda. Pošto je u svakoj situaciji isplativije izdati nego sarađivati, svi racionalni igrači će izabrati izdaju.

Ponašajući se individualno racionalno, učesnici zajedno dolaze do iracionalne odluke: ako oboje izdaju, dobit će ukupno manju isplatu nego da su sarađivali (jedina ravnoteža u ovoj igri ne dovodi do Pareto-optimalno odluka, tj. odluka koja se ne može poboljšati bez pogoršanja situacije drugih elemenata.). U tome leži dilema.

U ponovljenoj dilemi zatvorenika, igra se dešava periodično, a svaki igrač može "kazniti" onog drugog što ranije nije sarađivao. U takvoj igri saradnja može postati ravnoteža, a poticaj za izdaju može biti nadjačan prijetnjom kaznom.

Klasična zatvorenička dilema

U svim pravosudnim sistemima, kazna za razbojništvo (činjenje zločina u okviru organizovane grupe) je mnogo teža nego za ista krivična dela koja su počinjena sama (otuda alternativni naziv – „razbojnička dilema“).

Klasična formulacija zatvorenikove dileme je:

Dva kriminalca, A i B, uhvaćeni su otprilike u isto vrijeme za slična krivična djela. Ima razloga vjerovati da su djelovali u zavjeri, a policija im, izolujući ih jedne od drugih, nudi isti dogovor: ako jedan svjedoči protiv drugog, a on šuti, onda se prvi pušta radi pomaganja u istrazi, a drugi dobija maksimalnu kaznu zatvora (10 godina) (20 godina). Ako oboje šute, njihovo djelo se tereti po blažem članu i kažnjava se kaznom od 6 mjeseci (1 godina). Ako obojica svjedoče jedan protiv drugog, dobijaju minimalnu kaznu od 2 godine (5 godina). Svaki zatvorenik bira da li će šutjeti ili svjedočiti protiv drugog. Međutim, ni jedan od njih ne zna tačno šta će drugi uraditi. Šta će se desiti?

Igra se može predstaviti u obliku sljedeće tabele:

Dilema nastaje ako pretpostavimo da se obojica bave samo minimiziranjem vlastite zatvorske kazne.

Zamislimo razmišljanje jednog od zatvorenika. Ako vaš partner ćuti, onda je bolje da ga izdate i izađete na slobodu (inače - šest mjeseci zatvora). Ako partner svjedoči, onda je bolje svjedočiti i protiv njega kako bi dobio 2 godine (inače - 10 godina). Strategija “svjedočenja” striktno dominira strategijom “ćutati”. Slično, drugi zatvorenik dolazi do istog zaključka.

Sa stanovišta grupe (ova dva zatvorenika), najbolje je međusobno sarađivati, šutjeti i dobiti svaki po šest mjeseci, jer će se time smanjiti ukupna zatvorska kazna. Svako drugo rješenje će biti manje isplativo.

Generalizovani oblik

1. Igra se sastoji od dva igrača i bankara. Svaki igrač drži po 2 karte: jedna kaže “sarađujte”, druga “defekt” (ovo je standardna terminologija igre). Svaki igrač stavlja jednu kartu licem nadole ispred bankara (to jest, niko ne zna tuđu odluku, iako saznanje o nečijoj odluci ne utiče na analizu dominacije). Bankar otvara kartice i daje dobitke.
2. Ako oboje odluče da sarađuju, oboje dobijaju C. Ako je jedan izabrao "izdati", drugi "sarađivati" - prvi prima D, sekunda With. Ako obojica izaberu "izdaju", oboje primaju d.
3. Vrijednosti varijabli C, D, c, d mogu biti bilo kojeg predznaka (u primjeru iznad, sve su manje ili jednake 0). Nejednakost D > C > d > c mora biti zadovoljena da bi igra bila dilema zatvorenika (PD).
4. Ako se igra ponavlja, odnosno igra više puta uzastopno, ukupna isplata iz saradnje mora biti veća od ukupne isplate u situaciji kada jedan izda, a drugi ne, odnosno 2C > D + c.

Ova pravila je ustanovio Douglas Hofstadter i čine kanonski opis tipične zatvoreničke dileme.

Slična ali drugačija igra

Hofstadter je sugerirao da ljudi lakše razumiju probleme kao što je dilema zatvorenika ako se predstave kao zasebna igra ili proces trgovine. Jedan primjer je " razmjena zatvorenih kesa»:

Dvoje ljudi se sretnu i razmijene zatvorene kese, shvativši da je u jednoj novac, a u drugoj roba. Svaki igrač može poštovati dogovor i staviti ono što je dogovoreno u torbu, ili prevariti partnera dajući praznu vreću.

U ovoj igri, varanje će uvijek biti najbolje rješenje, što također znači da racionalni igrači nikada neće igrati igru ​​i da neće postojati tržište za trgovinu zatvorenim vrećama.

Primjena teorije igara za donošenje strateških upravljačkih odluka

Primjeri su odluke u vezi s provođenjem principijelne politike cijena, izlaskom na nova tržišta, kooperacijom i stvaranjem zajedničkih ulaganja, identificiranjem lidera i izvođača u oblasti inovacija, vertikalne integracije itd. Principi teorije igara se u principu mogu koristiti za sve vrste odluka ako su pod utjecajem drugih aktera. Ovi pojedinci ili igrači ne moraju nužno biti tržišni konkurenti; njihova uloga mogu biti poddobavljači, vodeći kupci, zaposleni u organizacijama, kao i radne kolege.

 Posebno je preporučljivo koristiti alate teorije igara kada postoje važne zavisnosti između učesnika u procesu u oblasti plaćanja. Situacija sa mogućim konkurentima prikazana je na sl. 2.

 Kvadranti 1 I 2 okarakterišu situaciju u kojoj reakcija konkurenata nema značajan uticaj na plaćanja kompanije. To se dešava u slučajevima kada takmičar nema motivaciju (polje 1 ) ili sposobnosti (polje 2 ) uzvratiti udarac. Stoga nema potrebe za detaljnom analizom strategije motivisanih akcija konkurenata.

Sličan zaključak slijedi, iako iz drugog razloga, i zbog situacije koju reflektira kvadrant 3 . Ovdje bi reakcija konkurenata mogla imati značajan utjecaj na kompaniju, ali kako njene vlastite akcije ne mogu u velikoj mjeri utjecati na isplate konkurenta, onda se ne treba bojati njegove reakcije. Primjer su odluke o ulasku u tržišnu nišu: pod određenim okolnostima veliki konkurenti nemaju razloga reagirati na takvu odluku male kompanije.

Samo situacija prikazana u kvadrantu 4 (mogućnost uzvratnih koraka od strane tržišnih partnera) zahtijeva korištenje odredbi teorije igara. Međutim, ovo su samo neophodni, ali ne i dovoljni uslovi da opravdaju upotrebu okvira teorije igara za borbu protiv konkurenata. Postoje situacije kada će jedna strategija nesumnjivo dominirati svim ostalima, bez obzira na to koje akcije konkurent poduzima. Ako uzmemo, na primjer, tržište lijekova, onda je često važno da kompanija prva uvede novi proizvod na tržište: profit “prvog pokretača” ispada toliko značajan da svi ostali “ igrači” mogu samo brzo intenzivirati inovativne aktivnosti.

 Trivijalan primjer „dominantne strategije“ sa stanovišta teorije igara je odluka o prodor na novo tržište. Uzmimo poduzeće koje djeluje kao monopolista na bilo kojem tržištu (na primjer, IBM na tržištu personalnih računara početkom 80-ih). Još jedno preduzeće, koje posluje, na primer, na tržištu računarske periferne opreme, razmatra pitanje prodora na tržište personalnih računara rekonfiguracijom svoje proizvodnje. Vanjska kompanija može odlučiti da uđe ili ne uđe na tržište. Kompanija monopolista može reagirati agresivno ili prijateljski na pojavu novog konkurenta. Obje kompanije ulaze u dvostepenu igru ​​u kojoj kompanija autsajder čini prvi potez. Situacija igre koja pokazuje plaćanja prikazana je u obliku stabla na slici 3.

 Ista situacija u igri može se prikazati u normalnom obliku (slika 4).

Ovdje su naznačena dva stanja – “ulazna/prijateljska reakcija” i “neulazak/agresivna reakcija”. Očigledno, druga ravnoteža je neodrživa. Iz proširenog oblika proizilazi da je za kompaniju koja je već uspostavila uporište na tržištu neprikladno agresivno reagovati na pojavu novog konkurenta: agresivnim ponašanjem trenutni monopolista dobija 1 (plaćanje), a prijateljskim ponašanje - 3. Kompanija autsajder takođe zna da nije racionalno da monopolista započne akcije da je istisne i stoga odlučuje da uđe na tržište. Kompanija autsajder neće snositi ugrožene gubitke od (-1).

Takva racionalna ravnoteža je karakteristična za „djelimično poboljšanu“ igru, koja namjerno isključuje apsurdne poteze. U praksi, takva ravnotežna stanja je, u principu, prilično lako pronaći. Konfiguracije ravnoteže mogu se identifikovati korišćenjem posebnog algoritma iz oblasti istraživanja operacija za bilo koju konačnu igru. Donosilac odluke postupa na sljedeći način: prvo se vrši izbor „najboljeg” poteza u posljednjoj fazi igre, zatim se bira „najbolji” potez u prethodnoj fazi, uzimajući u obzir izbor u posljednjoj fazi, i tako dalje, sve dok se ne dostigne početni čvor stabla igre.

Kako kompanije mogu imati koristi od analize zasnovane na teoriji igara? Na primjer, dobro je poznat slučaj sukoba interesa između IBM-a i Telexa. U vezi sa objavom pripremnih planova potonjeg za izlazak na tržište, održan je „krizni” sastanak menadžmenta IBM-a na kojem su analizirane mjere koje imaju za cilj da primoraju novog konkurenta da odustane od namjere prodora na novo tržište. Telex je očigledno postao svjestan ovih događaja. Analiza zasnovana na teoriji igara pokazala je da su prijetnje IBM-u zbog visokih troškova neosnovane. Ovo sugerira da je korisno da kompanije razmotre moguće reakcije svojih partnera u igricama. Izolovani ekonomski proračuni, čak i oni zasnovani na teoriji odlučivanja, često su, kao u opisanoj situaciji, ograničene prirode. Stoga bi kompanija autsajder mogla izabrati potez „neulaska“ ako bi je preliminarna analiza uvjerila da će prodor na tržište izazvati agresivnu reakciju monopoliste. U ovom slučaju, u skladu sa kriterijumom očekivane vrednosti, razumno je izabrati potez „neintervencije“ sa verovatnoćom agresivnog odgovora od 0,5.

 Sljedeći primjer se odnosi na rivalstvo kompanija u ovoj oblasti tehnološko vodstvo. Početna situacija je kada preduzeće 1 ranije je imao tehnološku superiornost, ali trenutno ima manje finansijskih sredstava za istraživanje i razvoj (R&D) od svog konkurenta. Obje kompanije moraju odlučiti hoće li pokušati postići dominaciju na globalnom tržištu u svojoj tehnološkoj oblasti kroz velika kapitalna ulaganja. Ako oba konkurenta ulažu velike količine novca u posao, onda su izgledi za uspjeh preduzeća 1 biće bolje, iako će izazvati velike finansijske troškove (kao što je preduzeće 2 ). Na sl. 5, ovu situaciju predstavljaju plaćanja sa negativnim vrijednostima.

Za preduzeća 1 najbolje bi bilo da preduzeće 2 odbio da se takmiči. Njegova korist u ovom slučaju bi bila 3 (isplate). Najvjerovatnije preduzeće 2 bi pobedio u konkurenciji kada bi preduzeće 1 prihvatio bi smanjeni investicioni program, a preduzeće 2 - šire. Ova pozicija se odražava u gornjem desnom kvadrantu matrice.

Analiza situacije pokazuje da do ravnoteže dolazi pri visokim troškovima istraživanja i razvoja preduzeća 2 i niska preduzeća 1 . U svakom drugom scenariju, jedan od konkurenata ima razlog da odstupi od strateške kombinacije: na primjer, za preduzeće 1 smanjeni budžet je poželjniji ako preduzeće 2 će odbiti učešće u takmičenju; u isto vreme preduzeću 2 Poznato je da kada su troškovi konkurenta niski, za njega je isplativo ulagati u istraživanje i razvoj.

Preduzeće sa tehnološkom prednošću može pribjeći analizi situacije na temelju teorije igara kako bi na kraju postiglo za sebe optimalan rezultat. Uz pomoć određenog signala mora pokazati da je spreman napraviti velike izdatke za istraživanje i razvoj. Ako se takav signal ne primi, onda za preduzeće 2 jasno je da preduzeće 1 bira opciju niske cijene.

Pouzdanost signala mora biti dokazana obavezama preduzeća. U ovom slučaju to može biti odluka preduzeća 1 o kupovini novih laboratorija ili angažovanju dodatnog istraživačkog osoblja.

Sa stanovišta teorije igara, takve obaveze su ekvivalentne promjeni toka igre: situacija istovremenog donošenja odluka zamjenjuje se situacijom uzastopnih poteza. Kompanija 1 čvrsto demonstrira nameru da napravi velike izdatke, preduzeće 2 registruje ovaj korak i više nema razloga da učestvuje u rivalstvu. Nova ravnoteža proizilazi iz scenarija „neučešća preduzeća 2 " i "visoki troškovi istraživanja i razvoja preduzeća 1 ".

 Dobro poznata područja primjene metoda teorije igara također uključuju cjenovna strategija, stvaranje zajedničkih ulaganja, vrijeme razvoja novog proizvoda.

Važan doprinos korištenju teorije igara dolazi iz eksperimentalni rad. Mnogi teorijski proračuni se testiraju u laboratorijskim uslovima, a dobijeni rezultati služe kao podsticaj praktičarima. Teoretski je pojašnjeno pod kojim uslovima je preporučljivo da dva sebična partnera sarađuju i postižu bolje rezultate za sebe.

Ovo znanje se može koristiti u praksi preduzeća kako bi se pomoglo dvema firmama da postignu win/win situaciju. Danas, konsultanti obučeni za igre na sreću brzo i jasno identifikuju mogućnosti koje kompanije mogu iskoristiti kako bi osigurale stabilne, dugoročne ugovore sa kupcima, poddobavljačima, razvojnim partnerima i slično.

Problemi praktične primjene u menadžmentu

Naravno, treba istaći da postoje određena ograničenja u primjeni analitičkih alata teorije igara. U sljedećim slučajevima može se koristiti samo ako se dobiju dodatne informacije.

prvo, to je slučaj kada preduzeća imaju različite ideje o igri u kojoj igraju ili kada nisu dovoljno informisana o mogućnostima jedni drugih. Na primjer, mogu postojati nejasne informacije o plaćanjima konkurenta (struktura troškova). Ako se informacije koje nisu previše složene karakterišu nekompletnošću, onda se može raditi upoređujući slične slučajeve, uzimajući u obzir određene razlike.

drugo, Teoriju igara je teško primijeniti na mnoge ravnotežne situacije. Ovaj problem može nastati čak i tokom jednostavnih igara sa simultanim strateškim odlukama.

treće, Ako je situacija strateškog donošenja odluka vrlo složena, onda igrači često ne mogu izabrati najbolje opcije za sebe. Lako je zamisliti složeniju situaciju prodora na tržište od gore opisane. Na primjer, nekoliko preduzeća može ući na tržište u različito vrijeme, ili reakcija poduzeća koja već posluju može biti složenija od agresivne ili prijateljske.

Eksperimentalno je dokazano da kada se igra proširi na deset ili više faza, igrači više nisu u mogućnosti koristiti odgovarajuće algoritme i nastaviti igru ​​sa ravnotežnim strategijama.

Teorija igara se ne koristi često. Nažalost, situacije u stvarnom svijetu često su vrlo složene i mijenjaju se tako brzo da je nemoguće precizno predvidjeti kako će konkurenti reagirati na promjenu taktike kompanije. Međutim, teorija igara je korisna kada je u pitanju identificiranje najvažnijih faktora koje treba uzeti u obzir u konkurentskoj situaciji donošenja odluka. Ove informacije su važne jer omogućavaju menadžmentu da razmotri dodatne varijable ili faktore koji mogu uticati na situaciju, čime se povećava efektivnost odluke.

U zaključku, treba posebno naglasiti da je teorija igara veoma složena oblast znanja. Prilikom rukovanja s njim, morate biti oprezni i jasno znati granice njegove upotrebe. Prejednostavna tumačenja, bilo da ih je usvojila sama firma ili uz pomoć konsultanata, bremenita su skrivenim opasnostima. Zbog svoje složenosti, analiza teorije igara i konsultacije preporučuju se samo za posebno važna problematična područja. Iskustvo firmi pokazuje da je upotreba odgovarajućih alata poželjna prilikom donošenja jednokratnih, suštinski važnih planiranih strateških odluka, uključujući i pripremu velikih sporazuma o saradnji.

Bibliografija

1. Teorija igara i ekonomsko ponašanje, von Neumann J., Morgenstern O., Naučna izdavačka kuća, 1970.

2. Petrosyan L.A., Zenkevič N.A., Semina E.A. Teorija igara: Udžbenik. priručnik za univerzitete - M.: Viš. škola, Knjižara "Univerzitet", 1998

3. Dubina I. N. Osnove teorije ekonomskih igara: udžbenik - M.: KNORUS, 2010

4. Arhiv časopisa "Problemi teorije i prakse menadžmenta", Rainer Voelker

5. Teorija igara u upravljanju organizacionim sistemima. 2. izdanje., Gubko M.V., Novikov D.A. 2005

- J. J. Rousseau. Razmišljanje o porijeklu i temeljima nejednakosti među ljudima // Traktati / Trans. sa francuskog A. Khayutina - M.: Nauka, 1969. - P. 75.

U praktičnim aktivnostima često je potrebno donositi odluke suočeni sa protivljenjem druge strane, koje mogu težiti suprotstavljenim ili različitim ciljevima, ili ometati postizanje zacrtanog cilja određenim radnjama ili stanjima vanjskog okruženja. Štaviše, ovi uticaji sa suprotne strane mogu biti pasivni ili aktivni. U takvim slučajevima potrebno je uzeti u obzir moguće opcije ponašanja suprotne strane, uzvratne radnje i njihove moguće posljedice.

Moguće opcije ponašanja za obje strane i njihovi ishodi za svaku kombinaciju opcija i stanja često su predstavljeni u obliku matematičkog modela, koja se zove igra .

Ako je suprotna strana neaktivna, pasivna strana koja se svjesno ne protivi postizanju ciljanog cilja, tada ova igra se zove igranje sa prirodom. Priroda se obično podrazumijeva kao skup okolnosti u kojima se moraju donositi odluke (neizvjesnost vremenskih prilika, nepoznato ponašanje kupaca u komercijalnim aktivnostima, neizvjesnost reakcije stanovništva na nove vrste roba i usluga itd.)

U drugim situacijama, suprotna strana se aktivno, svjesno protivi postizanju zacrtanog cilja. U takvim slučajevima dolazi do sukoba suprotstavljenih interesa, mišljenja i ideja. Takve situacije nazivaju se konfliktom , a donošenje odluka u konfliktnoj situaciji je otežano zbog neizvjesnosti ponašanja neprijatelja. Poznato je da neprijatelj namjerno nastoji poduzeti najmanje korisne akcije za vas kako bi osigurao najveći uspjeh. Nepoznato je u kojoj mjeri neprijatelj zna kako procijeniti situaciju i moguće posljedice, kako procjenjuje vaše mogućnosti i namjere. Obje strane ne mogu predvidjeti međusobne akcije. Uprkos takvoj neizvjesnosti, svaka strana u sukobu mora donijeti odluku

U ekonomiji se konfliktne situacije javljaju vrlo često i raznolike su prirode. To uključuje, na primjer, odnos između dobavljača i potrošača, kupca i prodavca, banke i klijenta itd. U svim ovim primjerima konfliktna situacija je generirana razlikom u interesima partnera i željom svakog od njih da optimalne odluke. Pritom, svako mora voditi računa ne samo o vlastitim ciljevima, već i o ciljevima svog partnera i uzeti u obzir njegove moguće radnje koje su unaprijed nepoznate.

Potreba da se opravdaju optimalne odluke u konfliktnim situacijama dovela je do pojave teorija igara.

Teorija igara - ovo je matematička teorija konfliktnih situacija. Polazišta ove teorije su pretpostavka potpune “idealne” racionalnosti neprijatelja i donošenje najopreznije odluke pri rješavanju sukoba.

Pozivaju se sukobljene strane igrači , jedna implementacija igre – party , ishod utakmice je pobeda ili poraza . Svaka radnja koja je moguća za igrača (unutar datih pravila igre) naziva se njegovom strategija .

Poenta igre je da svaki igrač, u okviru zadatih pravila igre, nastoji da primeni strategiju koja je za njega optimalna, odnosno strategiju koja će dovesti do najboljeg ishoda za njega. Jedan od principa optimalnog (celishodnog) ponašanja je postizanje ravnotežne situacije za čije kršenje niko od igrača nije zainteresovan.

Upravo situacija ravnoteže može biti predmet stabilnih dogovora između igrača. Osim toga, ravnotežne situacije su korisne za svakog igrača: u ravnotežnoj situaciji, svaki igrač prima najveću isplatu, u mjeri u kojoj to zavisi od njega.

Matematički model konfliktne situacije zove se igra , strane uključene u sukob, se zovu igrači.

Za svaku formalizovanu igru ​​uvode se pravila. Općenito, pravila igre određuju opcije igrača za akciju; količinu informacija koje svaki igrač ima o ponašanju svojih partnera; isplati do koje svaki skup radnji vodi.

Razvoj igre tokom vremena odvija se uzastopno, u fazama ili potezima. Pokret u teoriji igara naziva se izbor jedne od radnji predviđenih pravilima igre i njeno sprovođenje. Pokreti su lični i nasumični. Lično nazovite igračev svjestan izbor jedne od mogućih opcija za akciju i njenu implementaciju. Slučajni potez oni nazivaju izborom koji nije napravljen voljnom odlukom igrača, već nekom vrstom mehanizma slučajnog odabira (bacanje novčića, dodavanje, dijeljenje karata, itd.).

Ovisno o razlozima koji uzrokuju neizvjesnost ishoda, igre se mogu podijeliti u sljedeće glavne grupe:

kombinovane igre, u kojem pravila u principu pružaju mogućnost svakom igraču da analizira sve različite opcije za svoje ponašanje i, upoređujući ove opcije, odabere onu koja vodi do najboljeg ishoda za ovog igrača. Neizvjesnost ishoda obično je posljedica činjenice da je broj mogućih opcija ponašanja (poteza) prevelik i igrač praktički nije u stanju sve ih sortirati i analizirati.

Kockanje , kod kojih je ishod neizvjestan zbog utjecaja različitih slučajnih faktora. Kockarske igre se sastoje samo od nasumičnih poteza, u čijoj se analizi koristi teorija vjerovatnoće. Matematička teorija igara se ne bavi kockanjem.

Strateške igre , u kojem se potpuna neizvjesnost izbora opravdava činjenicom da svaki od igrača, donoseći odluku o izboru nadolazećeg poteza, ne zna kakvu će strategiju slijediti ostali učesnici u igri, te igračevo neznanje o ponašanje i namjere partnera je fundamentalno, jer nema informacija o naknadnim akcijama neprijatelja (partnera).

Postoje igre koje kombinuju svojstva kombinovanih i kockarskih igara, strateška priroda igara se može kombinovati sa kombinatorikom, itd.

U zavisnosti od broja učesnika u igri dijele se na parne i višestruke. U igri parova broj učesnika je dva, u igri više igrača broj učesnika je veći od dva. Učesnici višestruke igre mogu formirati koalicije. U ovom slučaju igre se pozivaju koalicija . Višestruka igra postaje dvostruka ako njeni učesnici formiraju dvije stalne koalicije.

Jedan od osnovnih koncepata teorije igara je strategija. Strategija igrača je skup pravila koja određuju izbor akcije za svaki lični potez ovog igrača, u zavisnosti od situacije koja se pojavi tokom igre.

Optimalna strategija igrač je strategija koja, kada se ponovi mnogo puta u igri koja sadrži lične i nasumične poteze, pruža igraču maksimalnu moguću prosječnu pobjedu ili minimalni mogući gubitak, bez obzira na ponašanje protivnika.

Igra se zove krajnji , ako je broj strategija igrača konačan, i beskrajno , ako barem jedan od igrača ima beskonačan broj strategija.

U problemima teorije igara sa više poteza, koncepti „strategije“ i „opcije mogućih akcija“ značajno se razlikuju jedan od drugog. U jednostavnim (jednokretnim) problemima igre, kada u svakoj igri svaki igrač može napraviti jedan potez, ovi koncepti se poklapaju, pa stoga skup strategija igrača pokriva sve moguće radnje koje on može poduzeti u svakoj mogućoj situaciji i pod bilo kojim mogućim stvarno stanje.

Igre se također razlikuju po iznosu dobitaka. Igra se zove igra sa nulom suma th, ako svaki igrač pobjeđuje na račun ostalih, a iznos pobjede jedne strane jednak je iznosu gubitka druge. U igri parova sa nultom sumom, interesi igrača su direktno suprotstavljeni. Poziva se igra parova sa nultom sumom Iantagonistička igra .

Igre u kojima dobitak jednog igrača i gubitak drugog nisu jednake su pozvaniigre sa nenultim sumom .

Postoje dva načina da opišete igre: poziciono i normalno . Poziciona metoda je povezana sa proširenim oblikom igre i svodi se na graf uzastopnih koraka (stablo igre). Normalan način je da se eksplicitno predstavi skup strategija igrača i funkcija plaćanja . Funkcija plaćanja u igri određuje dobitke svake strane za svaki set strategija koje su igrači odabrali.