Kako saznati da li sistem jednačina ima rješenje. Online kalkulator

Rješenje linearnih sistema algebarske jednačine(SLAE) je nesumnjivo najvažnija tema u kursu linearne algebre. Velika količina problemi iz svih grana matematike svode se na rješavanje sistema linearne jednačine. Ovi faktori objašnjavaju razlog za ovaj članak. Materijal članka je odabran i strukturiran tako da uz njegovu pomoć možete

• odabrati optimalnu metodu za rješavanje vašeg sistema linearnih algebarskih jednadžbi,
• proučavati teoriju odabrane metode,
• riješite svoj sistem linearnih jednačina razmatrajući detaljna rješenja tipičnih primjera i problema.

Kratak opis materijala članka.

Prvo dajemo sve potrebne definicije, koncepte i uvodimo oznake.

Zatim ćemo razmotriti metode rješavanja sistema linearnih algebarskih jednadžbi u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli i koje imaju jedinstveno rješenje. Prvo, fokusiraćemo se na Cramerovu metodu, drugo, pokazaćemo matričnu metodu za rešavanje ovakvih sistema jednačina, treće, analiziraćemo Gaussovu metodu (metoda sekvencijalna eliminacija nepoznate varijable). Da bismo konsolidirali teoriju, svakako ćemo riješiti nekoliko SLAE na različite načine.

Nakon toga prelazimo na rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi opšti pogled, u kojem se broj jednačina ne poklapa sa brojem nepoznatih varijabli ili je glavna matrica sistema singularna. Formulirajmo Kronecker-Capelli teorem, koji nam omogućava da uspostavimo kompatibilnost SLAE. Analizirajmo rješenja sistema (ako su kompatibilni) koristeći koncept baznog minora matrice. Također ćemo razmotriti Gaussovu metodu i detaljno opisati rješenja primjera.

Svakako ćemo se zadržati na strukturi opšteg rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih algebarskih jednačina. Hajde da damo koncept fundamentalnog sistema rešenja i pokažemo kako se piše zajednička odluka SLAE korištenjem vektora osnovnog sistema rješenja. Za bolje razumijevanje, pogledajmo nekoliko primjera.

U zaključku ćemo razmotriti sisteme jednačina koji se mogu svesti na linearne, kao i razne zadatke, u čijem rješenju nastaju SLAE.

Navigacija po stranici.

Definicije, koncepti, oznake.

Razmotrićemo sisteme p linearnih algebarskih jednadžbi sa n nepoznatih varijabli (p može biti jednako n) oblika

Nepoznate varijable - koeficijenti (neke realne ili kompleksni brojevi), - slobodni termini (takođe realni ili kompleksni brojevi).

Ovaj oblik snimanja SLAE se zove koordinata.

IN matrični oblik pisanje ovog sistema jednačina ima oblik,
Gdje - glavna matrica sistema, - matrica kolona nepoznatih varijabli, - matrica kolona slobodnih termina.

Ako matrici A dodamo matricu-stupac slobodnih pojmova kao (n+1)-ti stupac, dobijamo tzv. proširena matrica sistemi linearnih jednačina. Obično se proširena matrica označava slovom T, a stupac slobodnih pojmova odvojen je okomitom linijom od preostalih stupaca, tj.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina naziva skup vrijednosti nepoznatih varijabli koji pretvara sve jednadžbe sistema u identitete. Matrična jednadžba za date vrijednosti nepoznatih varijabli takođe postaje identitet.

Ako sistem jednačina ima barem jedno rješenje, onda se zove joint.

Ako sistem jednačina nema rješenja, onda se zove non-joint.

Ako SLAE ima jedinstveno rješenje, onda se ono zove siguran; ako postoji više od jednog rješenja, tada – neizvjesno.

Ako su slobodni članovi svih jednačina sistema jednaki nuli , tada se sistem poziva homogena, inače - heterogena.

Rješavanje elementarnih sistema linearnih algebarskih jednačina.

Ako je broj jednačina sistema jednak broju nepoznatih varijabli i determinanta njegove glavne matrice nije jednaka nuli, tada će se takve SLAE zvati osnovno. Takvi sistemi jednačina imaju jedinstveno rješenje, iu slučaju homogeni sistem sve nepoznate varijable su nula.

Počeli smo da proučavamo takve SLAE u srednjoj školi. Prilikom njihovog rješavanja, uzeli smo jednu jednačinu, izrazili jednu nepoznatu varijablu u terminima drugih i zamijenili je u preostale jednačine, zatim uzeli sljedeću jednačinu, izrazili sljedeću nepoznatu varijablu i zamijenili je u druge jednačine i tako dalje. Ili su koristili metodu sabiranja, odnosno dodali su dvije ili više jednadžbi kako bi eliminirali neke nepoznate varijable. Nećemo se detaljnije zadržavati na ovim metodama, jer su one u suštini modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za rješavanje elementarnih sistema linearnih jednačina su Cramerova metoda, matrična metoda i Gaussova metoda. Hajde da ih sredimo.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Cramerovom metodom.

Pretpostavimo da treba da rešimo sistem linearnih algebarskih jednačina

u kojoj je broj jednačina jednak broju nepoznatih varijabli, a determinanta glavne matrice sistema je različita od nule, tj.

Neka je determinanta glavne matrice sistema, i - determinante matrica koje se dobijaju iz A zamenom 1., 2., …, n-ti kolonu odnosno kolonu slobodnih članova:

Uz ovu notaciju, nepoznate varijable se izračunavaju korištenjem formula Cramerove metode kao . Ovako se pronalazi rješenje sistema linearnih algebarskih jednačina korištenjem Cramerove metode.

Primjer.

Cramerova metoda .

Rješenje.

Glavna matrica sistema ima oblik . Izračunajmo njegovu determinantu (ako je potrebno, pogledajte članak):

Pošto je determinanta glavne matrice sistema različita od nule, sistem ima jedinstveno rešenje koje se može naći Cramerovom metodom.

Sastavimo i izračunajmo potrebne determinante (determinantu dobijamo tako što prvi stupac u matrici A zamijenimo stupcem slobodnih termina, determinantu zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih pojmova i zamjenom treće kolone matrice A stupcem slobodnih pojmova) :

Pronalaženje nepoznatih varijabli pomoću formula :

odgovor:

Glavni nedostatak Cramerove metode (ako se to može nazvati nedostatkom) je složenost izračunavanja determinanti kada je broj jednačina u sistemu veći od tri.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).

Neka je sistem linearnih algebarskih jednadžbi zadan u matričnom obliku, pri čemu matrica A ima dimenziju n sa n i njena determinanta je različita od nule.

Budući da je matrica A invertibilna, odnosno postoji inverzna matrica. Ako obje strane jednakosti pomnožimo lijevom, dobićemo formulu za pronalaženje matrice-stupca nepoznatih varijabli. Tako smo dobili rješenje sistema linearnih algebarskih jednačina matrična metoda.

Primjer.

Riješiti sistem linearnih jednačina matrična metoda.

Rješenje.

Prepišimo sistem jednačina u matričnom obliku:

Jer

tada se SLAE može riješiti korištenjem matrične metode. Korišćenjem inverzna matrica rješenje za ovaj sistem se može naći kao .

Konstruirajmo inverznu matricu koristeći matricu iz algebarski dodaci elementi matrice A (ako je potrebno, pogledajte članak):

Ostaje izračunati matricu nepoznatih varijabli množenjem inverzne matrice na matricu-kolona slobodnih članova (ako je potrebno, pogledajte članak):

odgovor:

ili u drugoj notaciji x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavni problem pri pronalaženju rješenja sistema linearnih algebarskih jednadžbi metodom matrice je složenost pronalaženja inverzne matrice, posebno za kvadratne matrice reda većeg od trećeg.

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.

Pretpostavimo da treba da nađemo rešenje za sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih varijabli
determinanta glavne matrice koja je različita od nule.

Suština Gaussove metode sastoji se od sekvencijalnog isključivanja nepoznatih varijabli: prvo, x 1 se isključuje iz svih jednačina sistema, počevši od druge, zatim se x 2 isključuje iz svih jednačina, počevši od treće, i tako dalje, sve dok se ne pojavi samo nepoznata varijabla x n ostaje u posljednjoj jednadžbi. Ovaj proces transformacije sistemskih jednačina da bi se sekvencijalno eliminisale nepoznate varijable naziva se direktna Gausova metoda. Nakon završetka udar naprijed koristeći Gaussov metod, x n se nalazi iz posljednje jednačine, koristeći ovu vrijednost, x n-1 se izračunava iz pretposljednje jednačine, i tako dalje, x 1 se nalazi iz prve jednačine. Proces izračunavanja nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednadžbe sistema na prvu naziva se inverzno od Gausove metode.

Hajde da ukratko opišemo algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.

Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednačina sistema. Hajde da eliminišemo nepoznatu promenljivu x 1 iz svih jednačina sistema, počevši od druge. Da bismo to učinili, drugoj jednačini sistema dodajemo prvu, pomnoženu sa , trećoj jednačini dodajemo prvu, pomnoženu sa , i tako dalje, na n-tu jednačinu dodajemo prvu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje i .

Do istog rezultata bismo došli da smo izrazili x 1 u terminima drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednačini sistema i zamenili rezultujući izraz u sve ostale jednačine. Dakle, varijabla x 1 je isključena iz svih jednačina, počevši od druge.

Zatim nastavljamo na sličan način, ali samo s dijelom rezultirajućeg sistema koji je označen na slici

Da bismo to učinili, trećoj jednačini sistema dodajemo drugu, pomnoženu sa , četvrtoj jednačini dodamo drugu, pomnoženu sa , i tako dalje, na n-tu jednačinu dodamo drugu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje i . Dakle, varijabla x 2 je isključena iz svih jednačina, počevši od treće.

Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznatog x 3, dok slično postupamo sa dijelom sistema označenim na slici

Tako nastavljamo direktnu progresiju Gausove metode sve dok sistem ne poprimi oblik

Od ovog trenutka počinjemo obrnuto od Gaussove metode: izračunavamo x n iz posljednje jednačine kao , koristeći dobivenu vrijednost x n nalazimo x n-1 iz pretposljednje jednačine, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednačine .

Primjer.

Riješiti sistem linearnih jednačina Gaussova metoda.

Rješenje.

Isključimo nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednačine sistema. Da bismo to učinili, na obje strane druge i treće jednačine dodajemo odgovarajuće dijelove prve jednačine, pomnožene sa i sa:

Sada eliminiramo x 2 iz treće jednadžbe dodavanjem lijevoj i desnoj strani druge jednadžbe lijevu i desnu stranu druge jednačine, pomnožene sa:

Ovim se završava potez naprijed Gaussove metode; počinjemo obrnuti potez.

Iz posljednje jednačine rezultirajućeg sistema jednačina nalazimo x 3:

Iz druge jednačine dobijamo .

Iz prve jednadžbe nalazimo preostalu nepoznatu varijablu i time dovršavamo obrnuto Gaussovom metodom.

odgovor:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

IN opšti slučaj broj jednačina sistema p se ne poklapa sa brojem nepoznatih varijabli n:

Takvi SLAE možda nemaju rješenja, imaju jedno rješenje ili imaju beskonačno mnogo rješenja. Ova izjava se takođe odnosi na sisteme jednačina čija je glavna matrica kvadratna i singularna.

Kronecker–Capelli teorem.

Prije pronalaženja rješenja za sistem linearnih jednačina, potrebno je utvrditi njegovu kompatibilnost. Odgovor na pitanje kada je SLAE kompatibilan, a kada nekonzistentan daje Kronecker–Capelli teorem:
Da bi sistem p jednačina sa n nepoznatih (p može biti jednako n) bio konzistentan, potrebno je i dovoljno da rang glavne matrice sistema bude jednak rangu proširene matrice, tj. , Rang(A)=Rank(T).

Razmotrimo, kao primjer, primjenu Kronecker–Capellijeve teoreme za određivanje kompatibilnosti sistema linearnih jednačina.

Primjer.

Saznajte da li sistem linearnih jednačina ima rješenja.

Rješenje.

. Koristimo se metodom graničenja maloljetnika. Minor drugog reda različito od nule. Pogledajmo maloljetnike trećeg reda koji ga graniče:

Pošto su svi granični minori trećeg reda jednaki nuli, rang glavne matrice je jednak dva.

Zauzvrat, rang proširene matrice je jednako tri, pošto je umanjilac trećeg reda

različito od nule.

dakle, Rang(A), dakle, koristeći Kronecker–Capelli teorem, možemo zaključiti da je originalni sistem linearnih jednačina nekonzistentan.

odgovor:

Sistem nema rješenja.

Dakle, naučili smo utvrditi nekonzistentnost sistema koristeći Kronecker-Capelli teorem.

Ali kako pronaći rješenje za SLAE ako je uspostavljena njegova kompatibilnost?

Da bismo to učinili, potreban nam je koncept baznog mola matrice i teorema o rangu matrice.

Minor najviši red matrica A, različita od nule, naziva se osnovni.

Iz definicije baznog minora slijedi da je njegov red jednak rangu matrice. Za nenultu matricu A može postojati nekoliko baznih minora; uvijek postoji jedan bazni minor.

Na primjer, razmotrite matricu .

Svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli, jer su elementi trećeg reda ove matrice zbir odgovarajućih elemenata prvog i drugog reda.

Sljedeći minori drugog reda su osnovni, jer su različiti od nule

Maloljetnici nisu osnovne, jer su jednake nuli.

Teorema o rangu matrice.

Ako je rang matrice reda p po n jednak r, tada se svi elementi reda (i stupca) matrice koji ne čine odabrani bazni minor linearno izražavaju u terminima odgovarajućih elemenata reda (i stupca) koji formiraju osnovni minor.

Šta nam govori teorema o rangu matrice?

Ako smo, prema Kronecker–Capellijevoj teoremi, uspostavili kompatibilnost sistema, tada biramo bilo koji bazni minor glavne matrice sistema (njen red je jednak r) i isključujemo iz sistema sve jednačine koje čine ne čine odabrani bazni mol. Ovako dobijena SLAE bit će ekvivalentna originalnoj, budući da su odbačene jednadžbe i dalje suvišne (prema teoremi o rangu matrice, one su linearna kombinacija preostalih jednačina).

Kao rezultat, nakon odbacivanja nepotrebnih jednačina sistema moguća su dva slučaja.

Ako je broj jednačina r u rezultirajućem sistemu jednak broju nepoznatih varijabli, onda će ona biti definitivna i jedino rješenje se može naći Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Primjer.

.

Rješenje.

Rang glavne matrice sistema je jednako dva, pošto je minor drugog reda različito od nule. Prošireni matrični rang je takođe jednako dva, pošto je jedini minor trećeg reda nula

a gore razmatrani minor drugog reda je različit od nule. Na osnovu Kronecker–Capelli teoreme, možemo tvrditi kompatibilnost originalnog sistema linearnih jednačina, budući da je Rank(A)=Rank(T)=2.

Kao base minor uzimamo . Formira se koeficijentima prve i druge jednačine:


Treća jednačina sistema ne učestvuje u formiranju baznog minora, pa je isključujemo iz sistema na osnovu teoreme o rangu matrice:


Tako smo dobili elementarni sistem linearnih algebarskih jednačina. Rešimo ga Cramerovom metodom:


odgovor:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Ako je broj jednačina r u rezultirajućem SLAE manji od broja nepoznatih varijabli n, tada na lijevoj strani jednadžbe ostavljamo članove koji čine bazni minor, a preostale članove prenosimo na desne strane jednačine sistema sa suprotnim predznakom.

Nepoznate varijable (od njih r) koje ostaju na lijevoj strani jednadžbe se pozivaju main.

Nepoznate varijable (ima n - r komada) koje se nalaze na desnoj strani se pozivaju besplatno.

Sada vjerujemo da slobodne nepoznate varijable mogu imati proizvoljne vrijednosti, dok će r glavnih nepoznatih varijabli biti izražene kroz slobodne nepoznate varijable na jedinstven način. Njihov izraz se može naći rješavanjem rezultirajuće SLAE korištenjem Cramerove metode, matrične metode ili Gaussove metode.

Pogledajmo to na primjeru.

Primjer.

Riješiti sistem linearnih algebarskih jednačina .

Rješenje.

Nađimo rang glavne matrice sistema metodom graničenja maloletnika. Uzmimo 1 1 = 1 kao nenulti minor prvog reda. Počnimo tražiti minor koji nije nula drugog reda koji graniči s ovim minorom:


Ovako smo pronašli nenulti minor drugog reda. Počnimo tražiti granični minor koji nije nula trećeg reda:


Dakle, rang glavne matrice je tri. Rang proširene matrice je takođe jednak tri, odnosno sistem je konzistentan.

Za osnovni jedan uzimamo pronađeni minor trećeg reda različit od nule.

Radi jasnoće, prikazujemo elemente koji čine osnovni minor:


Ostavljamo članove uključene u bazni minor na lijevoj strani jednadžbe sistema, a ostatak prenosimo iz suprotnih znakova na desnu stranu:


Dajmo slobodnim nepoznatim varijablama x 2 i x 5 proizvoljne vrijednosti, odnosno prihvatamo , gdje su proizvoljni brojevi. U ovom slučaju, SLAE će poprimiti oblik


Rešimo rezultirajući elementarni sistem linearnih algebarskih jednadžbi koristeći Cramerovu metodu:


Dakle, .

U svom odgovoru ne zaboravite navesti slobodne nepoznate varijable.

odgovor:

Gdje su proizvoljni brojevi.

Sažmite.

Da bismo riješili sistem općih linearnih algebarskih jednadžbi, prvo utvrđujemo njegovu kompatibilnost koristeći Kronecker–Capelli teorem. Ako rang glavne matrice nije jednak rangu proširene matrice, onda zaključujemo da je sistem nekompatibilan.

Ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice, tada biramo bazni minor i odbacujemo jednadžbe sistema koje ne učestvuju u formiranju odabranog baznog minora.

Ako je red baznog minora jednak broju nepoznatih varijabli, tada SLAE ima jedinstveno rješenje, koje se može naći bilo kojom metodom koja nam je poznata.

Ako je red baznog minora manji od broja nepoznatih varijabli, tada na lijevoj strani sistemskih jednačina ostavljamo članove s glavnim nepoznatim varijablama, preostale članove prenosimo na desne strane i dajemo proizvoljne vrijednosti slobodne nepoznate varijable. Iz rezultirajućeg sistema linearnih jednačina nalazimo glavne nepoznate varijable koristeći Cramerovu metodu, matričnu metodu ili Gaussovu metodu.

Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Gaussova metoda se može koristiti za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina bilo koje vrste bez prethodnog testiranja njihove konzistentnosti. Proces sekvencijalne eliminacije nepoznatih varijabli omogućava da se izvede zaključak i o kompatibilnosti i o nekompatibilnosti SLAE, a ako rješenje postoji, omogućava ga pronalaženje.

Sa računske tačke gledišta, Gausova metoda je poželjnija.

Pazi Detaljan opis i analizirao primjere u članku Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina opšteg oblika.

Pisanje opšteg rešenja za homogene i nehomogene linearne algebarske sisteme korišćenjem vektora osnovnog sistema rešenja.

U ovom odeljku razgovaraćemo o simultanim homogenim i nehomogenim sistemima linearnih algebarskih jednadžbi koje imaju beskonačan broj rješenja.

Hajde da se prvo pozabavimo homogenim sistemima.

Osnovni sistem rješenja homogeni sistem p linearnih algebarskih jednačina sa n nepoznatih varijabli je skup (n – r) linearno nezavisnih rješenja ovog sistema, gdje je r red baznog minora glavne matrice sistema.

Ako linearno nezavisna rješenja homogene SLAE označimo kao X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) su stupasti matrice dimenzije n sa 1) , onda je opšte rešenje ovog homogenog sistema predstavljeno kao linearna kombinacija vektora osnovnog sistema rešenja sa proizvoljnim konstantni koeficijenti C 1, C 2, ..., C (n-r), odnosno, .

Šta znači pojam opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednačina (oroslau)?

Značenje je jednostavno: formula postavlja sve moguća rješenja originalni SLAE, drugim riječima, uzimajući bilo koji skup vrijednosti proizvoljnih konstanti C 1, C 2, ..., C (n-r), prema formuli ćemo dobiti jedno od rješenja za originalni homogeni SLAE.

Dakle, ako pronađemo fundamentalni sistem rješenja, onda možemo definirati sva rješenja ove homogene SLAE kao .

Pokažimo proces konstruisanja fundamentalnog sistema rješenja za homogenu SLAE.

Odabiremo bazni minor originalnog sistema linearnih jednadžbi, isključujemo sve ostale jednačine iz sistema i sve članove koji sadrže slobodne nepoznate varijable prenosimo na desnu stranu jednadžbi sistema suprotnih predznaka. Dajmo besplatne nepoznate varijabilne vrijednosti 1,0,0,…,0 i izračunati glavne nepoznanice rješavanjem rezultirajućeg elementarnog sistema linearnih jednačina na bilo koji način, na primjer, korištenjem Cramerove metode. Ovo će rezultirati X (1) - prvim rješenjem fundamentalnog sistema. Ako date besplatno nepoznate vrijednosti 0,1,0,0,…,0 i izračunamo glavne nepoznanice, dobijamo X (2) . I tako dalje. Ako slobodnim nepoznatim varijablama dodijelimo vrijednosti 0,0,…,0,1 i izračunamo glavne nepoznate, dobićemo X (n-r) . Na taj način će se konstruisati fundamentalni sistem rješenja homogene SLAE i njegovo opšte rješenje može se zapisati u obliku .

Za nehomogene sisteme linearnih algebarskih jednadžbi, opšte rešenje je predstavljeno u obliku , gde je opšte rešenje odgovarajućeg homogenog sistema, a partikularno rešenje originalnog nehomogenog SLAE, koje dobijamo davanjem slobodnim nepoznanicama vrednosti ​​0,0,…,0 i izračunavanje vrijednosti glavnih nepoznanica.

Pogledajmo primjere.

Primjer.

Pronađite osnovni sistem rješenja i opšte rješenje homogenog sistema linearnih algebarskih jednadžbi .

Rješenje.

Rang glavne matrice homogenih sistema linearnih jednačina je uvek jednak rangu proširene matrice. Pronađimo rang glavne matrice metodom graničnih minora. Kao nenulti minor prvog reda, uzimamo element a 1 1 = 9 glavne matrice sistema. Nađimo granični minor koji nije nula drugog reda:

Pronađen je minor drugog reda, različit od nule. Prođimo kroz minore trećeg reda koji se graniče s njim u potrazi za nenultom jedinicom:

Svi granični minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang glavne i proširene matrice jednak dva. Hajde da uzmemo. Radi jasnoće, zabilježimo elemente sistema koji ga čine:

Treća jednačina originalne SLAE ne sudjeluje u formiranju baznog minora, stoga se može isključiti:

Ostavljamo članove koji sadrže glavne nepoznanice na desnim stranama jednadžbe, a članove sa slobodnim nepoznanicama prenosimo na desne strane:

Konstruirajmo fundamentalni sistem rješenja originalnog homogenog sistema linearnih jednačina. Osnovni sistem rješenja ove SLAE sastoji se od dva rješenja, pošto originalna SLAE sadrži četiri nepoznate varijable, a red njenog baznog minora je jednak dva. Da bismo pronašli X (1), dajemo slobodnim nepoznatim varijablama vrijednosti x 2 = 1, x 4 = 0, zatim pronađemo glavne nepoznate iz sistema jednačina
.

§1. Sistemi linearnih jednačina.

Sistem pogleda

zove sistem m linearne jednačine sa n nepoznato.

Evo
- nepoznato, - koeficijenti za nepoznate,
- slobodni termini jednadžbi.

Ako su svi slobodni članovi jednadžbi jednaki nuli, sistem se zove homogena.Odlukom sistem se zove zbirka brojeva
, kada se zamijene u sistem umjesto nepoznatih, sve jednačine se pretvaraju u identitete. Sistem se zove joint, ako ima barem jedno rješenje. Kompatibilan sistem koji ima jedinstveno rješenje naziva se siguran. Dva sistema se nazivaju ekvivalentan, ako se skupovi njihovih rješenja poklapaju.

Sistem (1) se može predstaviti u matričnom obliku pomoću jednačine

(2)

.

§2. Kompatibilnost sistema linearnih jednačina.

Nazovimo proširenu matricu sistema (1) matricom

Kronecker-Capelli teorem. Sistem (1) je konzistentan ako i samo ako je rang sistemske matrice jednak rangu proširene matrice:

.

§3. Sistemsko rješenjen linearne jednačine san nepoznato.

Razmotrite nehomogen sistem n linearne jednačine sa n nepoznato:

(3)

Cramerova teorema.Ako je glavna determinanta sistema (3)
, tada sistem ima jedinstveno rješenje, određeno formulama:

one.
,

Gdje - determinanta dobijena iz determinante zamjena kolonu slobodnih članova.

Ako
, i barem jedan od ≠0, tada sistem nema rješenja.

Ako
, onda sistem ima beskonačno mnogo rješenja.

Sistem (3) se može riješiti korištenjem njegovog matričnog oblika (2). Ako je rang matrice A jednaki n, tj.
, zatim matrica A ima inverzno
. Množenje matrične jednačine
na matricu
na lijevoj strani dobijamo:

.

Posljednja jednakost izražava metodu rješavanja sistema linearnih jednačina korištenjem inverzne matrice.

Primjer. Riješite sistem jednačina koristeći inverznu matricu.

Rješenje. Matrix
nedegenerisan, pošto
, što znači da postoji inverzna matrica. Izračunajmo inverznu matricu:
.

,

Vježbajte. Riješite sistem koristeći Cramerovu metodu.

§4. Rješavanje proizvoljnih sistema linearnih jednačina.

Neka je dat nehomogen sistem linearnih jednačina oblika (1).

Pretpostavimo da je sistem konzistentan, tj. uslov Kronecker-Capellijeve teoreme je zadovoljen:
. Ako je rang matrice
(broj nepoznatih), onda sistem ima jedinstveno rješenje. Ako
, onda sistem ima beskonačno mnogo rješenja. Dopusti mi da objasnim.

Neka je rang matrice r(A)= r< n. Zbog
, onda postoji neki manji od nule reda r. Nazovimo ga osnovnim molom. Nepoznate čiji koeficijenti čine bazni minor nazvat ćemo osnovne varijable. Preostale nepoznanice nazivamo slobodnim varijablama. Preuredimo jednadžbe i prenumerirajmo varijable tako da se ovaj minor nalazi u gornjem lijevom uglu sistemske matrice:

.

Prvo r linije su linearno nezavisne, ostalo se izražava kroz njih. Stoga se ove linije (jednačine) mogu odbaciti. Dobijamo:

Dajmo slobodnim varijablama proizvoljne numeričke vrijednosti: . Ostavimo samo osnovne varijable na lijevoj strani, a slobodne pomjerimo na desnu stranu.

Imam sistem r linearne jednačine sa r nepoznato, čija je determinanta različita od 0. Ima jedinstveno rješenje.

Ovaj sistem se naziva opšte rešenje sistema linearnih jednačina (1). Inače: poziva se izraz osnovnih varijabli kroz slobodne opšta odluka sistemima. Iz njega možete dobiti beskonačan broj privatna rješenja, dajući slobodnim varijablama proizvoljne vrijednosti. Poziva se određeno rješenje dobiveno iz općeg za nulte vrijednosti slobodnih varijabli osnovno rešenje. Broj različitih osnovnih rješenja ne prelazi
. Osnovno rješenje s nenegativnim komponentama naziva se podržavajući sistemsko rešenje.

Primjer.

,r=2.

Varijable
- osnovni,
- besplatno.

Hajde da saberemo jednačine; izrazimo se
kroz
:

- zajednička odluka.

- privatno rješenje za
.

- osnovno rješenje, referenca.

§5. Gaussova metoda.

Gaussova metoda je univerzalna metoda za proučavanje i rješavanje proizvoljnih sistema linearnih jednačina. Sastoji se od svođenja sistema na dijagonalni (ili trouglasti) oblik uzastopnim eliminisanjem nepoznatih pomoću elementarnih transformacija koje ne narušavaju ekvivalenciju sistema. Varijabla se smatra isključenom ako je sadržana u samo jednoj jednadžbi sistema sa koeficijentom 1.

Elementarne transformacije sistemi su:

Množenje jednačine brojem koji nije nula;

Dodavanje jednačine pomnožene bilo kojim brojem sa drugom jednačinom;

Preuređenje jednadžbi;

Odbacivanje jednačine 0 = 0.

Elementarne transformacije se ne mogu izvesti na jednačinama, već na proširenim matricama rezultirajućih ekvivalentnih sistema.

Primjer.

Rješenje. Zapišimo proširenu matricu sistema:

.

Provodeći elementarne transformacije, lijevu stranu matrice ćemo svesti na jedinični oblik: kreirat ćemo jedinice na glavnoj dijagonali, a nule izvan nje.

Komentar. Ako se pri izvođenju elementarnih transformacija dobije jednačina oblika 0 = k(Gdje To0), onda je sistem nekonzistentan.

Rješenje sistema linearnih jednadžbi metodom sekvencijalne eliminacije nepoznatih može se zapisati u obliku stolovi.

Lijeva kolona tabele sadrži informacije o isključenim (osnovnim) varijablama. Preostale kolone sadrže koeficijente nepoznanica i slobodne članove jednačina.

Proširena matrica sistema se snima u izvornoj tabeli. Zatim počinjemo izvoditi Jordanove transformacije:

1. Odaberite varijablu , koji će postati osnova. Odgovarajuća kolona se zove ključna kolona. Odaberite jednačinu u kojoj će ova varijabla ostati, isključena iz drugih jednačina. Odgovarajući red tabele naziva se ključnim redom. Koeficijent , koji stoji na raskrsnici ključnog reda i ključnog stupca, naziva se ključ.

2. Elementi niza ključeva podijeljeni su na ključni element.

3. Ključna kolona je ispunjena nulama.

4. Preostali elementi se izračunavaju pomoću pravila pravokutnika. Napravite pravougaonik, na čijim suprotnim vrhovima se nalazi ključni element i ponovo izračunati element; od proizvoda elemenata koji se nalaze na dijagonali pravougaonika sa ključnim elementom oduzima se proizvod elemenata druge dijagonale, a rezultujuća razlika se deli sa ključnim elementom.

Primjer. Pronađite opšte rešenje i osnovno rešenje sistema jednačina:

Rješenje.

Opšte rješenje sistema:

Osnovno rješenje:
.

Jedna transformacija zamjene omogućava vam da pređete s jedne baze sistema na drugu: umjesto jedne od glavnih varijabli, jedna od slobodnih varijabli se uvodi u bazu. Da biste to učinili, odaberite ključni element u stupcu slobodne varijable i izvršite transformacije prema gore navedenom algoritmu.

§6. Pronalaženje rješenja za podršku

Referentno rješenje sistema linearnih jednačina je osnovno rješenje koje ne sadrži negativne komponente.

Referentna rješenja sistema se pronalaze Gaussovom metodom kada su ispunjeni sljedeći uvjeti.

1. U originalnom sistemu, svi slobodni termini moraju biti nenegativni:
.

2. Ključni element se bira između pozitivnih koeficijenata.

3. Ako varijabla uvedena u bazu ima nekoliko pozitivnih koeficijenata, tada je ključna linija ona u kojoj je omjer slobodnog člana i pozitivnog koeficijenta najmanji.

Napomena 1. Ako se u procesu eliminacije nepoznanica pojavi jednadžba u kojoj su svi koeficijenti nepozitivni i slobodni član
, tada sistem nema nenegativnih rješenja.

Napomena 2. Ako u kolonama koeficijenata za slobodne varijable nema niti jednog pozitivnog elementa, tada je nemoguć prijelaz na drugo referentno rješenje.

Primjer.

Međutim, u praksi su rasprostranjena još dva slučaja:

– Sistem je nekonzistentan (nema rješenja);
– Sistem je konzistentan i ima beskonačno mnogo rješenja.

Bilješka : Termin „dosljednost“ podrazumijeva da sistem ima barem neko rješenje. U nizu problema potrebno je prvo ispitati kompatibilnost sistema; kako to učiniti, pogledajte članak na rang matrica.

Za ove sisteme koristi se najuniverzalnija od svih metoda rješenja - Gaussova metoda. Zapravo, „školska“ metoda će također dovesti do odgovora, ali u višoj matematici uobičajeno je koristiti Gaussovu metodu sekvencijalnog eliminacije nepoznanica. Oni koji nisu upoznati sa algoritmom Gaussove metode, neka prvo prouče lekciju Gaussova metoda za lutke.

Same transformacije elementarne matrice su potpuno iste, razlika će biti u završetku rješenja. Prvo, pogledajmo nekoliko primjera kada sistem nema rješenja (nedosljedno).

Primjer 1

Šta vam odmah upada u oči kod ovog sistema? Broj jednačina je manji od broja varijabli. Ako je broj jednačina manji od broja varijabli, tada možemo odmah reći da je sistem ili nekonzistentan ili da ima beskonačno mnogo rješenja. I ostaje samo da se sazna.

Početak rješenja je potpuno običan - zapisujemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovodimo je u postupni oblik:

(1) Na gornjem lijevom koraku trebamo dobiti +1 ili –1. U prvoj koloni nema takvih brojeva, tako da preuređivanje redova neće dati ništa. Jedinica će se morati sama organizirati, a to se može učiniti na nekoliko načina. Uradio sam ovo: prvom redu dodamo treći red, pomnožen sa –1.

(2) Sada dobijamo dvije nule u prvoj koloni. U drugi red dodajemo prvi red pomnožen sa 3. U treći red dodajemo prvi red pomnožen sa 5.

(3) Nakon što je transformacija završena, uvijek je preporučljivo vidjeti da li je moguće pojednostaviti rezultirajuće nizove? Može. Drugi red dijelimo sa 2, istovremeno dobijajući traženo –1 na drugom koraku. Treći red podijelite sa –3.

(4) Dodajte drugi red u treći red.

Vjerovatno su svi primijetili lošu liniju koja je nastala kao rezultat elementarnih transformacija: . Jasno je da to ne može biti tako. Zaista, prepišimo rezultujuću matricu nazad na sistem linearnih jednačina:

Ako se kao rezultat elementarnih transformacija dobije niz oblika, gdje je broj različit od nule, onda je sistem nekonzistentan (nema rješenja).

Kako zapisati završetak zadatka? Nacrtajmo bijelom kredom: "kao rezultat elementarnih transformacija, dobije se niz oblika , gdje " i damo odgovor: sistem nema rješenja (nedosljedno).

Ako je prema uslovu potrebno ISTRAŽIVATI sistem radi kompatibilnosti, onda je potrebno formalizirati rješenje u solidnijem stilu koristeći koncept rang matrice i Kronecker-Capelli teorem.

Imajte na umu da ovdje nema preokreta Gaussovog algoritma - nema rješenja i jednostavno se nema šta pronaći.

Primjer 2

Riješiti sistem linearnih jednačina

Ovo je primjer za nezavisna odluka. Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Ponovo vas podsjećam da se vaše rješenje može razlikovati od mog rješenja; Gausov algoritam nema jaku “rigidnost”.

Još jedna tehnička karakteristika rješenja: elementarne transformacije se mogu zaustaviti Odjednom, čim red kao , gdje . Hajde da razmotrimo uslovni primjer: pretpostavimo da je nakon prve transformacije matrica dobijena . Matrica još nije svedena na ešalonski oblik, ali nema potrebe za daljim elementarnim transformacijama, jer se pojavila linija forme, gdje je . Odmah treba dati odgovor da je sistem nekompatibilan.

Kada sistem linearnih jednačina nema rješenja, to je gotovo dar, jer se dobije kratko rješenje, ponekad doslovno u 2-3 koraka.

Ali sve je na ovom svijetu izbalansirano, a problem u kojem sistem ima beskonačno mnogo rješenja samo je duži.

Primjer 3

Riješiti sistem linearnih jednačina

Postoje 4 jednačine i 4 nepoznanice, tako da sistem može imati jedno rješenje, ili nema rješenja, ili imati beskonačno mnogo rješenja. Kako god bilo, Gausova metoda će nas u svakom slučaju dovesti do odgovora. To je njegova svestranost.

Početak je opet standardan. Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:

To je sve, a ti si se uplašio.

(1) Imajte na umu da su svi brojevi u prvoj koloni djeljivi sa 2, tako da je 2 u redu na gornjem lijevom koraku. Drugom redu dodajemo prvi red, pomnožen sa –4. Trećem redu dodajemo prvi red, pomnožen sa –2. Četvrtom redu dodajemo prvi red, pomnožen sa –1.

Pažnja! Mnogi mogu biti u iskušenju četvrtim redom oduzimati prva linija. To se može učiniti, ali nije neophodno; iskustvo pokazuje da se vjerovatnoća greške u proračunima povećava nekoliko puta. Samo dodajte: U četvrti red dodajte prvi red pomnožen sa –1 – upravo!

(2) Zadnja tri reda su proporcionalna, dva se mogu brisati.

Ovdje opet moramo pokazati povećana pažnja, ali jesu li linije zaista proporcionalne? Da biste bili sigurni (posebno za čajnik), bilo bi dobro da drugi red pomnožite sa –1, a četvrti red podijelite sa 2, što rezultira tri identične linije. I tek nakon toga uklonite dva od njih.

Kao rezultat elementarnih transformacija, proširena matrica sistema se svodi na stepenasti oblik:

Prilikom pisanja zadatka u svesci, preporučljivo je da iste bilješke napravite olovkom radi preglednosti.

Prepišimo odgovarajući sistem jednačina:

Ovdje nema mirisa na „obično“ jedinstveno rješenje sistema. Ne postoji ni loša linija. To znači da je ovo treći preostali slučaj - sistem ima beskonačno mnogo rješenja. Ponekad je, prema uslovu, potrebno istražiti kompatibilnost sistema (tj. dokazati da rješenje uopće postoji), o tome možete pročitati u posljednjem pasusu članka Kako pronaći rang matrice? Ali za sada idemo na osnove:

Beskonačan skup rješenja sistema je ukratko zapisan u obliku tzv opšte rešenje sistema .

Opće rješenje sistema pronalazimo korištenjem inverzne Gausove metode.

Prvo moramo definirati koje varijable imamo osnovni i koje varijable besplatno. Ne morate se zamarati terminima linearne algebre, samo zapamtite da ih ima osnovne varijable I slobodne varijable.

Osnovne varijable uvijek "sjede" striktno na koracima matrice.
U ovom primjeru, osnovne varijable su i

Slobodne varijable su sve preostali varijable koje nisu primile korak. U našem slučaju postoje dvije: – slobodne varijable.

Sada ti treba Sve osnovne varijable express samo kroz slobodne varijable.

Obrnuto od Gaussovog algoritma tradicionalno radi odozdo prema gore.
Iz druge jednačine sistema izražavamo osnovnu varijablu:

Sada pogledajte prvu jednačinu: . Prvo u njega zamjenjujemo pronađeni izraz:

Ostaje da izrazimo osnovnu varijablu u terminima slobodnih varijabli:

Na kraju smo dobili ono što nam je trebalo - Sve osnovne varijable ( i ) su izražene samo kroz slobodne varijable:

Zapravo, opće rješenje je spremno:

Kako pravilno napisati opšte rješenje?
Slobodne varijable se upisuju u opšte rješenje „sama po sebi“ i striktno na svojim mjestima. IN u ovom slučaju slobodne varijable treba napisati na drugoj i četvrtoj poziciji:
.

Rezultirajući izrazi za osnovne varijable i očigledno treba da bude napisano na prvoj i trećoj poziciji:

Davanje besplatnih varijabli proizvoljne vrijednosti, možete pronaći beskonačno mnogo privatna rješenja. Najpopularnije vrijednosti su nule, jer je određeno rješenje najlakše dobiti. Zamenimo u opšte rešenje:

– privatno rješenje.

Još jedan slatki par je jedan, zamenimo ih u opšte rešenje:

– još jedno privatno rješenje.

Lako je vidjeti da sistem jednačina ima beskonačno mnogo rješenja(pošto možemo dati slobodne varijable bilo koji vrijednosti)

Svaki određeno rješenje mora zadovoljiti svakome jednačina sistema. Ovo je osnova za “brzu” provjeru ispravnosti rješenja. Uzmite, na primjer, određeno rješenje i zamijenite ga u lijevu stranu svake jednadžbe originalnog sistema:

Sve se mora spojiti. I sa bilo kojim posebnim rješenjem koje dobijete, sve bi se također trebalo slagati.

Ali, strogo govoreći, provjera određenog rješenja ponekad je varljiva, tj. neko posebno rješenje može zadovoljiti svaku jednačinu sistema, ali samo opšte rješenje je zapravo pogrešno pronađeno.

Stoga je provjera općeg rješenja temeljitija i pouzdanija. Kako provjeriti rezultirajuće opće rješenje ?

Nije teško, ali prilično zamorno. Moramo uzeti izraze osnovni varijable, u ovom slučaju i , i zamijenite ih u lijevu stranu svake jednadžbe sistema.

Na lijevoj strani prve jednadžbe sistema:

Na lijevoj strani druge jednačine sistema:


Dobije se desna strana originalne jednadžbe.

Primjer 4

Riješite sistem Gausovom metodom. Pronađite opće rješenje i dva posebna rješenja. Provjerite opće rješenje.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Ovdje je, inače, opet broj jednačina manji od broja nepoznatih, što znači da je odmah jasno da će sistem ili biti nekonzistentan ili će imati beskonačan broj rješenja. Šta je važno u samom procesu odlučivanja? Pažnja i opet pažnja. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

I još par primjera za učvršćivanje materijala

Primjer 5

Riješiti sistem linearnih jednačina. Ako sistem ima beskonačno mnogo rješenja, pronađite dva posebna rješenja i provjerite opće rješenje

Rješenje: Zapišemo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:

(1) Dodajte prvi red u drugi red. U treći red dodajemo prvi red pomnožen sa 2. U četvrti red dodajemo prvi red pomnožen sa 3.
(2) Trećem redu dodajemo drugi red, pomnožen sa –5. Četvrtom redu dodajemo drugi red, pomnožen sa –7.
(3) Treći i četvrti red su isti, jedan od njih brišemo.

Ovo je takva lepotica:

Osnovne varijable sjede na stepenicama, dakle - osnovne varijable.
Postoji samo jedna slobodna varijabla koja nije dobila korak:

Revers:
Izrazimo osnovne varijable kroz slobodnu varijablu:
Iz treće jednačine:

Razmotrimo drugu jednačinu i zamijenimo pronađeni izraz u nju:

Razmotrimo prvu jednačinu i zamijenimo pronađene izraze i u nju:

Da, kalkulator koji izračunava obične razlomke je i dalje zgodan.

Dakle, generalno rješenje je:

Još jednom, kako je ispalo? Slobodna varijabla je sama na svom pravom četvrtom mjestu. Rezultirajući izrazi za osnovne varijable također su zauzeli svoja redna mjesta.

Hajde da odmah proverimo opšte rešenje. Posao je za crnce, ali ja sam ga vec uradio, pa uhvati ga =)

Zamjenjujemo tri heroja , , u lijevu stranu svake jednadžbe sistema:

Dobivene su odgovarajuće desne strane jednadžbi, pa je opće rješenje pronađeno ispravno.

Sada iz pronađenog generalnog rješenja dobijamo dva konkretna rješenja. Jedina besplatna varijabla ovdje je kuhar. Nema potrebe da se razbijate.

Neka bude onda – privatno rješenje.
Neka bude onda – još jedno privatno rješenje.

Odgovori: Zajednička odluka: , privatna rješenja: , .

Nisam trebao da se setim crnaca... ...jer su mi u glavi dolazili razni sadistički motivi i setio sam se čuvenog fotošopa u kojem ljudi iz Kju Kluks klana u belim haljinama trče po terenu za crnim fudbalerom. Sjedim i tiho se smijem. Znate kako ometa...

Mnogo matematike je štetno, pa sličan završni primjer za samostalno rješavanje.

Primjer 6

Naći opće rješenje za sistem linearnih jednačina.

Već sam provjerio generalno rješenje, odgovoru se može vjerovati. Vaše rješenje se može razlikovati od mog rješenja, glavna stvar je da se opća rješenja poklapaju.

Mnogi ljudi su vjerovatno primijetili neugodan momenat u rješenjima: vrlo često, kada smo mijenjali Gaussovu metodu, morali smo petljati sa obične frakcije. U praksi je to zaista slučaj; slučajevi u kojima nema razlomaka su mnogo rjeđi. Budite spremni psihički i, što je najvažnije, tehnički.

Zadržat ću se na nekim karakteristikama rješenja koje nisu pronađene u riješenim primjerima.

Opće rješenje sistema ponekad može uključivati ​​konstantu (ili konstante), na primjer: . Ovdje je jedna od osnovnih varijabli jednaka konstantnom broju: . Nema ničeg egzotičnog u ovome, dešava se. Očigledno je da će u ovom slučaju svako određeno rješenje sadržavati peticu na prvoj poziciji.

Rijetko, ali postoje sistemi u kojima broj jednačina je veći od broja varijabli. Gaussova metoda radi u najtežim uvjetima, potrebno je smireno svesti proširenu matricu sistema u postupni oblik koristeći standardni algoritam. Takav sistem može biti nekonzistentan, može imati beskonačno mnogo rješenja i, što je čudno, može imati jedno rješenje.

Gaussova metoda, koja se naziva i metodom sekvencijalne eliminacije nepoznanica, je sljedeća. Koristeći elementarne transformacije, sistem linearnih jednadžbi se dovodi do takvog oblika da se njegova matrica koeficijenata ispostavi da je trapezoidni (isto kao trokutasti ili stepenasti) ili blizu trapezoidnog (direktan potez Gausove metode, u daljem tekstu jednostavno ravan potez). Primjer takvog sistema i njegovo rješenje je na gornjoj slici.

U takvom sistemu posljednja jednačina sadrži samo jednu varijablu i njena vrijednost se može nedvosmisleno pronaći. Vrijednost ove varijable se zatim zamjenjuje u prethodnu jednačinu ( inverzno od Gausove metode , zatim samo obrnuto), iz koje se pronalazi prethodna varijabla, i tako dalje.

U trapezoidnom (trouglastom) sistemu, kao što vidimo, treća jednačina više ne sadrži varijable y I x, a druga jednačina je varijabla x .

Nakon što matrica sistema poprimi trapezoidni oblik, više nije teško razumjeti pitanje kompatibilnosti sistema, odrediti broj rješenja i pronaći sama rješenja.

Prednosti metode:

1. pri rješavanju sistema linearnih jednačina sa više od tri jednačine i nepoznanica, Gaussova metoda nije tako glomazna kao Cramerova metoda, jer rješavanje Gaussovom metodom zahtijeva manje proračuna;
2. Gaussovom metodom se mogu rješavati neodređeni sistemi linearnih jednačina, odnosno imaju opće rješenje (a mi ćemo ih analizirati u ovoj lekciji), a korištenjem Cramerove metode možemo samo konstatovati da je sistem neodređen;
3. možete rješavati sisteme linearnih jednačina u kojima broj nepoznatih nije jednak broju jednačina (također ćemo ih analizirati u ovoj lekciji);
4. Metoda se zasniva na elementarnim (školskim) metodama - metodi zamjene nepoznanica i metodi sabiranja jednačina, kojih smo se dotakli u odgovarajućem članku.

Kako bi svi shvatili jednostavnost kojom se rješavaju trapezoidni (trouglasti, stepenasti) sistemi linearnih jednačina, predstavljamo rješenje takvog sistema korištenjem obrnutog kretanja. Brza odluka Ovaj sistem je prikazan na slici na početku lekcije.

Primjer 1. Riješite sistem linearnih jednačina koristeći inverzno:

Rješenje. U ovom trapezoidnom sistemu varijabla z može se jedinstveno naći iz treće jednačine. Njegovu vrijednost zamjenjujemo u drugu jednačinu i dobivamo vrijednost varijable y:

Sada znamo vrijednosti dvije varijable - z I y. Zamjenjujemo ih u prvu jednačinu i dobivamo vrijednost varijable x:

Iz prethodnih koraka ispisujemo rješenje sistema jednačina:

Za dobijanje ovakvog trapeznog sistema linearnih jednačina, koji smo rešili vrlo jednostavno, potrebno je koristiti potez unapred povezan sa elementarnim transformacijama sistema linearnih jednačina. Takođe nije mnogo teško.

Elementarne transformacije sistema linearnih jednačina

Ponavljajući školski metod algebarskog sabiranja jednačina sistema, saznali smo da jednoj od jednačina sistema možemo dodati još jednu jednačinu sistema, a svaka od jednačina se može pomnožiti sa nekim brojevima. Kao rezultat, dobijamo sistem linearnih jednačina koji je ekvivalentan ovom. U njoj je jedna jednadžba već sadržavala samo jednu varijablu, zamjenom čije vrijednosti u druge jednačine dolazimo do rješenja. Takvo sabiranje je jedan od tipova elementarne transformacije sistema. Kada koristimo Gaussovu metodu, možemo koristiti nekoliko vrsta transformacija.

Gornja animacija pokazuje kako se sistem jednačina postepeno pretvara u trapezoidni. Odnosno onu koju ste vidjeli u prvoj animaciji i uvjerili se da je iz nje lako pronaći vrijednosti svih nepoznanica. O tome kako izvesti takvu transformaciju i, naravno, o primjerima će se dalje raspravljati.

Prilikom rješavanja sistema linearnih jednadžbi sa bilo kojim brojem jednačina i nepoznanica u sistemu jednačina iu proširenoj matrici sistema Može:

1. preurediti redove (ovo je spomenuto na samom početku ovog članka);
2. ako druge transformacije rezultiraju jednakim ili proporcionalnim redovima, mogu se izbrisati, osim jednog;
3. ukloniti „nulte“ redove u kojima su svi koeficijenti jednaki nuli;
4. pomnožite ili podijelite bilo koji niz određenim brojem;
5. bilo kojoj liniji dodajte još jednu liniju, pomnoženu određenim brojem.

Kao rezultat transformacija, dobijamo sistem linearnih jednačina koji je ekvivalentan ovom.

Algoritam i primjeri rješavanja sistema linearnih jednadžbi s kvadratnom matricom sistema primjenom Gaussove metode

Razmotrimo prvo rješavanje sistema linearnih jednačina u kojima je broj nepoznatih jednak broju jednačina. Matrica takvog sistema je kvadratna, odnosno broj redova u njoj jednak je broju kolona.

Primjer 2. Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom

Prilikom rješavanja sistema linearnih jednačina školskim metodama množili smo jednu od jednačina pojam po član određenim brojem, tako da su koeficijenti prve varijable u dvije jednačine bili suprotni brojevi. Prilikom dodavanja jednačina ova varijabla se eliminira. Gaussova metoda djeluje slično.

Da pojednostavim izgled rješenja napravimo proširenu matricu sistema:

U ovoj matrici, koeficijenti nepoznatih se nalaze lijevo prije okomite linije, a slobodni članovi su smješteni desno nakon okomite linije.

Radi pogodnosti dijeljenja koeficijenata za varijable (da bi se dobilo dijeljenje jedinicom) Zamenimo prvi i drugi red sistemske matrice. Dobijamo sistem ekvivalentan ovom, pošto se u sistemu linearnih jednačina jednačine mogu zameniti:

Koristeći novu prvu jednačinu eliminisati varijablu x iz druge i svih narednih jednadžbi. Da bismo to učinili, drugom redu matrice dodajemo prvi red pomnožen sa (u našem slučaju sa ), u treći red - prvi red pomnožen sa (u našem slučaju sa ).

Ovo je moguće jer

Kada bi naš sistem jednačina imao više od tri, tada bi bilo potrebno svim narednim jednačinama dodati prvi red, pomnožen odnosom odgovarajućih koeficijenata, uzetih sa predznakom minus.

Kao rezultat, dobijamo matricu ekvivalentnu ovom sistemu novi sistem jednadžbe u kojima su sve jednačine, počevši od druge ne sadrže varijablu x :

Da biste pojednostavili drugi red rezultujućeg sistema, pomnožite ga sa i ponovo dobijete matricu sistema jednačina ekvivalentnog ovom sistemu:

Sada, zadržavajući prvu jednačinu rezultirajućeg sistema nepromijenjenom, pomoću druge jednačine eliminišemo varijablu y iz svih narednih jednačina. Da bismo to učinili, trećem redu sistemske matrice dodajemo drugi red, pomnožen sa (u našem slučaju sa ).

Kada bi u našem sistemu bilo više od tri jednačine, onda bismo morali dodati drugu liniju svim narednim jednačinama, pomnoženu omjerom odgovarajućih koeficijenata uzetih sa predznakom minus.

Kao rezultat, ponovo dobijamo matricu sistema koji je ekvivalentan ovom sistemu linearnih jednačina:

Dobili smo ekvivalentan trapezni sistem linearnih jednačina:

Ako je broj jednačina i varijabli veći nego u našem primjeru, tada se proces sekvencijalne eliminacije varijabli nastavlja sve dok matrica sistema ne postane trapezoidna, kao u našem demo primjeru.

Naći ćemo rješenje “s kraja” - obrnuti potez. Za ovo iz zadnje jednačine koju odredimo z:
.
Zamjenom ove vrijednosti u prethodnu jednačinu, naći ćemo y:

Iz prve jednadžbe naći ćemo x:

Odgovor: rješenje ovog sistema jednačina je .

: u ovom slučaju će se dati isti odgovor ako sistem ima jedinstveno rješenje. Ako sistem ima beskonačan broj rješenja, to će biti odgovor, a to je tema petog dijela ove lekcije.

Sami riješite sistem linearnih jednačina koristeći Gausovu metodu, a zatim pogledajte rješenje

Ovdje opet imamo primjer konzistentnog i određenog sistema linearnih jednačina, u kojem je broj jednačina jednak broju nepoznatih. Razlika u odnosu na naš demo primjer iz algoritma je u tome što već postoje četiri jednadžbe i četiri nepoznate.

Primjer 4. Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom:

Sada morate koristiti drugu jednačinu da eliminišete varijablu iz sljedećih jednačina. Hajde da izvedemo pripremni rad. Da bi bilo zgodnije s omjerom koeficijenata, morate dobiti jedan u drugom stupcu drugog reda. Da biste to učinili, oduzmite treći od drugog reda i pomnožite rezultirajući drugi red sa -1.

Hajde da sada izvršimo stvarnu eliminaciju varijable iz treće i četvrte jednačine. Da biste to učinili, dodajte drugi red, pomnožen sa , u treći red, a drugi, pomnožen sa , u četvrti red.

Sada, koristeći treću jednačinu, eliminiramo varijablu iz četvrte jednačine. Da biste to učinili, dodajte treći red četvrtom redu, pomnožen sa . Dobijamo proširenu trapezoidnu matricu.

Dobili smo sistem jednačina kojem je dati sistem ekvivalentan:

Posljedično, rezultirajući i dati sistemi su kompatibilni i određeni. Konačna odluka nalazimo „s kraja“. Iz četvrte jednačine možemo direktno izraziti vrijednost varijable “x-four”:

Tu vrijednost zamjenjujemo u treću jednačinu sistema i dobijamo

,

,

Konačno, zamjena vrijednosti

Prva jednadžba daje

,

gdje nalazimo "x prvi":

Odgovor: ovaj sistem jednačina ima jedinstveno rješenje .

Rješenje sistema možete provjeriti i na kalkulatoru koristeći Cramerovu metodu: u ovom slučaju će se dati isti odgovor ako sistem ima jedinstveno rješenje.

Rješavanje primijenjenih zadataka Gaussovom metodom na primjeru zadatka na legurama

Sistemi linearnih jednačina se koriste za modeliranje stvarnih objekata u fizičkom svijetu. Hajde da riješimo jedan od ovih problema - legure. Slični problemi - problemi na mješavinama, troškovima ili specifična gravitacija pojedinačni proizvodi u grupi proizvoda i slično.

Primjer 5. Tri komada legure imaju ukupnu masu od 150 kg. Prva legura sadrži 60% bakra, druga - 30%, treća - 10%. Štaviše, u drugoj i trećoj leguri zajedno ima 28,4 kg manje bakra nego u prvoj, a u trećoj leguri 6,2 kg manje bakra nego u drugoj. Pronađite masu svakog komada legure.

Rješenje. Sastavljamo sistem linearnih jednačina:

Pomnožimo drugu i treću jednačinu sa 10, dobićemo ekvivalentni sistem linearnih jednačina:

Kreiramo proširenu matricu sistema:

Pažnja, pravo. Sabiranjem (u našem slučaju oduzimanjem) jednog reda pomnoženog brojem (primjenjujemo ga dvaput), s proširenom matricom sistema dolazi do sljedećih transformacija:

Direktan potez je gotov. Dobili smo proširenu trapezoidnu matricu.

Primjenjujemo obrnuti potez. Pronalazimo rješenje s kraja. Vidimo to.

Iz druge jednačine nalazimo

Iz treće jednačine -

Rješenje sistema možete provjeriti i na kalkulatoru koristeći Cramerovu metodu: u ovom slučaju će se dati isti odgovor ako sistem ima jedinstveno rješenje.

O jednostavnosti Gaussove metode svjedoči i činjenica da je njemačkom matematičaru Carlu Friedrichu Gausu trebalo samo 15 minuta da je izmisli. Osim metode nazvane po njemu, iz Gaussovih radova poznata je izreka „Ne treba brkati ono što nam izgleda nevjerovatno i neprirodno sa apsolutno nemogućim“ - svojevrsni kratka uputstva da dođu do otkrića.

U mnogim primijenjenim problemima možda ne postoji treće ograničenje, odnosno treća jednačina, tada morate riješiti sistem od dvije jednačine sa tri nepoznanice koristeći Gaussovu metodu, ili, obrnuto, ima manje nepoznanica nego jednačina. Sada ćemo početi rješavati takve sisteme jednačina.

Koristeći Gaussovu metodu, možete odrediti da li je bilo koji sistem kompatibilan ili nekompatibilan n linearne jednačine sa n varijable.

Gaussova metoda i sistemi linearnih jednačina sa beskonačnim brojem rješenja

Sljedeći primjer je konzistentan, ali neodređen sistem linearnih jednačina, to jest, koji ima beskonačan broj rješenja.

Nakon izvođenja transformacija u proširenoj matrici sistema (preuređivanje redova, množenje i dijeljenje redova određenim brojem, dodavanje drugog u jedan red), mogli bi se pojaviti redovi oblika

Ako u svim jednadžbama imaju oblik

Slobodni članovi su jednaki nuli, to znači da je sistem neodređen, odnosno da ima beskonačan broj rješenja, a jednačine ovog tipa su „suvišne“ i izbacujemo ih iz sistema.

Primjer 6.

Rješenje. Kreirajmo proširenu matricu sistema. Zatim, koristeći prvu jednačinu, eliminiramo varijablu iz sljedećih jednačina. Da biste to učinili, dodajte drugom, trećem i četvrtom redu prvi, pomnožen sa:

Sada dodajmo drugi red trećem i četvrtom.

Kao rezultat, dolazimo do sistema

Posljednje dvije jednačine su se pretvorile u jednačine oblika. Ove jednadžbe su zadovoljene za bilo koju vrijednost nepoznanica i mogu se odbaciti.

Da bismo zadovoljili drugu jednadžbu, možemo odabrati proizvoljne vrijednosti za i , tada će vrijednost za biti određena jedinstveno: . Iz prve jednačine vrijednost za također se nalazi jedinstveno: .

I dati i posljednji sistem su konzistentni, ali nesigurni i formule

za proizvoljno i daju nam sva rješenja datog sistema.

Gausova metoda i sistemi linearnih jednačina bez rješenja

Sljedeći primjer je nekonzistentan sistem linearnih jednačina, odnosno onaj koji nema rješenja. Odgovor na takve probleme formuliran je na ovaj način: sistem nema rješenja.

Kao što je već spomenuto u vezi s prvim primjerom, nakon izvođenja transformacija, redovi forme mogu se pojaviti u proširenoj matrici sistema

što odgovara jednačini oblika

Ako među njima postoji bar jedna jednačina sa slobodnim članom različitom od nule (tj. ), onda je ovaj sistem jednačina nekonzistentan, odnosno nema rješenja i njegovo rješenje je potpuno.

Primjer 7. Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom:

Rješenje. Sastavljamo proširenu matricu sistema. Koristeći prvu jednačinu, isključujemo varijablu iz sljedećih jednačina. Da biste to učinili, dodajte prvi red pomnožen sa drugom redu, prvi red pomnožen sa trećim redom i prvi red pomnožen sa četvrtim redom.

Sada morate koristiti drugu jednačinu da eliminišete varijablu iz sljedećih jednačina. Da bismo dobili cjelobrojne omjere koeficijenata, zamijenimo drugi i treći red proširene matrice sistema.

Da biste isključili treću i četvrtu jednačinu, dodajte drugu pomnoženu sa , u treći red, a drugu pomnoženu sa , u četvrti red.

Sada, koristeći treću jednačinu, eliminiramo varijablu iz četvrte jednačine. Da biste to učinili, dodajte treći red četvrtom redu, pomnožen sa .

Dakle, dati sistem je ekvivalentan sledećem:

Rezultirajući sistem je nekonzistentan, jer njegovu posljednju jednačinu ne može zadovoljiti nijedna vrijednost nepoznanica. Dakle, ovaj sistem nema rješenja.

Sadržaj lekcije

Linearne jednadžbe u dvije varijable

Učenik ima 200 rubalja za ručak u školi. Kolač košta 25 rubalja, a šolja kafe 10 rubalja. Koliko kolača i šoljica kafe možete kupiti za 200 rubalja?

Označimo broj kolača sa x, i broj šoljica kafe y. Tada će se cijena kolača označiti izrazom 25 x, a cijena šoljica kafe u 10 y .

25x— Cijena x torte
10y — Cijena yšoljice kafe

Ukupan iznos bi trebao biti 200 rubalja. Tada dobijamo jednačinu sa dvije varijable x I y

25x+ 10y= 200

Koliko korijena ima ova jednadžba?

Sve zavisi od apetita učenika. Ako kupi 6 kolača i 5 šoljica kafe, tada će korijeni jednadžbe biti brojevi 6 i 5.

Za par vrijednosti 6 i 5 se kaže da su korijeni jednadžbe 25 x+ 10y= 200 . Zapisuje se kao (6; 5), pri čemu je prvi broj vrijednost varijable x, a drugi - vrijednost varijable y .

6 i 5 nisu jedini korijeni koji obrću jednačinu 25 x+ 10y= 200 na identitet. Po želji, za istih 200 rubalja student može kupiti 4 kolača i 10 šoljica kafe:

U ovom slučaju, korijeni jednačine 25 x+ 10y= 200 je par vrijednosti (4; 10).

Štaviše, školarac možda uopće ne kupuje kafu, već kupuje kolače za cijelih 200 rubalja. Tada su korijeni jednadžbe 25 x+ 10y= 200 će biti vrijednosti 8 i 0

Ili obrnuto, ne kupujte kolače, već kupujte kafu za cijelih 200 rubalja. Tada su korijeni jednadžbe 25 x+ 10y= 200 vrijednosti će biti 0 i 20

Pokušajmo nabrojati sve moguće korijene jednačine 25 x+ 10y= 200 . Složimo se da vrijednosti x I y pripadaju skupu cijelih brojeva. I neka ove vrijednosti budu veće ili jednake nuli:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Ovo će biti zgodno i za samog učenika. Pogodnije je kupiti cijele torte nego, na primjer, nekoliko cijelih kolača i pola torte. Takođe je zgodnije piti kafu u celim šoljicama nego, na primer, nekoliko celih šoljica i pola šoljice.

Imajte na umu da za neparne x nemoguće je postići jednakost ni pod kojim okolnostima y. Zatim vrijednosti x sljedeći brojevi će biti 0, 2, 4, 6, 8. I znajući x može se lako odrediti y

Tako smo dobili sljedeće parove vrijednosti (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Ovi parovi su rješenja ili korijeni jednadžbe 25 x+ 10y= 200. Oni pretvaraju ovu jednačinu u identitet.

Jednačina oblika ax + by = c pozvao linearna jednadžba sa dvije varijable. Rješenje ili korijeni ove jednadžbe su par vrijednosti ( x; y), što ga pretvara u identitet.

Imajte na umu da ako je linearna jednačina sa dvije varijable napisana u obliku ax + b y = c , onda kažu da je upisano kanonski(normalni) oblik.

Neke linearne jednadžbe u dvije varijable mogu se svesti na kanonski oblik.

Na primjer, jednadžba 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) može se sjetiti ax + by = c. Otvorimo zagrade na obje strane ove jednačine i dobijemo 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Grupiramo članove koji sadrže nepoznanice na lijevoj strani jednačine, a članove bez nepoznanica - na desnoj. Onda dobijamo 32x− 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Predstavljamo slične članove sa obe strane, dobijamo jednačinu 16 x+ 8y= 32. Ova jednačina se svodi na oblik ax + by = c i kanonski je.

Jednačina 25 o kojoj smo ranije govorili x+ 10y= 200 je takođe linearna jednačina sa dve varijable u kanonskom obliku. U ovoj jednačini parametri a , b I c jednake su vrijednostima 25, 10 i 200, redom.

Zapravo jednadžba ax + by = c ima bezbroj rješenja. Rješavanje jednačine 25x+ 10y= 200, tražili smo njegove korijene samo na skupu cijelih brojeva. Kao rezultat, dobili smo nekoliko parova vrijednosti koji su ovu jednačinu pretvorili u identitet. Ali na mnogima racionalni brojevi jednačina 25 x+ 10y= 200 će imati beskonačno mnogo rješenja.

Da biste dobili nove parove vrijednosti, trebate uzeti proizvoljnu vrijednost za x, zatim ekspresno y. Na primjer, uzmimo za varijablu x vrijednost 7. Tada dobijamo jednačinu sa jednom promjenljivom 25×7 + 10y= 200 u kojoj se može izraziti y

Neka x= 15. Zatim jednačina 25x+ 10y= 200 postaje 25 × 15 + 10y= 200. Odavde to nalazimo y = −17,5

Neka x= −3 . Zatim jednačina 25x+ 10y= 200 postaje 25 × (−3) + 10y= 200. Odavde to nalazimo y = −27,5

Sistem dvije linearne jednadžbe sa dvije varijable

Za jednačinu ax + by = c možete uzimati proizvoljne vrijednosti koliko god puta želite x i pronađite vrijednosti za y. Uzeto odvojeno, takva jednačina će imati bezbroj rješenja.

Ali takođe se dešava da varijable x I y povezane ne jednom, već dvije jednačine. U ovom slučaju formiraju tzv sistem linearnih jednačina u dvije varijable. Takav sistem jednadžbi može imati jedan par vrijednosti (ili drugim riječima: "jedno rješenje").

Može se desiti i da sistem uopšte nema rešenja. Sistem linearnih jednačina može imati bezbroj rješenja u rijetkim i izuzetnim slučajevima.

Dvije linearne jednadžbe čine sistem kada vrijednosti x I y unesite u svaku od ovih jednačina.

Vratimo se na prvu jednačinu 25 x+ 10y= 200 . Jedan od parova vrijednosti za ovu jednačinu bio je par (6; 5). Ovo je slučaj kada se za 200 rubalja moglo kupiti 6 kolača i 5 šoljica kafe.

Formulirajmo problem tako da par (6; 5) postane jedino rješenje za jednačinu 25 x+ 10y= 200 . Da bismo to učinili, napravimo još jednu jednačinu koja bi povezala isto x torte i yšoljice kafe.

Izložimo tekst problema na sljedeći način:

“Student je kupio nekoliko kolača i nekoliko šoljica kafe za 200 rubalja. Kolač košta 25 rubalja, a šolja kafe 10 rubalja. Koliko kolača i šoljica kafe je učenik kupio ako se zna da je broj kolača za jednu jedinicu veći od broja šoljica kafe?

Već imamo prvu jednačinu. Ovo je jednačina 25 x+ 10y= 200 . Sada napravimo jednačinu za uslov "Broj kolača je za jednu jedinicu veći od broja šoljica kafe" .

Broj kolača je x, a broj šoljica kafe je y. Ovu frazu možete napisati pomoću jednačine x−y= 1. Ova jednačina će značiti da je razlika između kolača i kafe 1.

x = y+ 1 . Ova jednačina znači da je broj kolača jedan veći od broja šoljica kafe. Stoga, da bi se postigla jednakost, broju šoljica kafe dodaje se jedna. To se može lako razumjeti ako koristimo model razmjera koji smo razmatrali prilikom proučavanja najjednostavnijih problema:

Imamo dvije jednačine: 25 x+ 10y= 200 i x = y+ 1. Budući da su vrijednosti x I y, naime 6 i 5 su uključeni u svaku od ovih jednačina, a zatim zajedno čine sistem. Hajde da zapišemo ovaj sistem. Ako jednačine čine sistem, onda su uokvirene predznakom sistema. Simbol sistema je vitičasta zagrada:

Hajde da odlučimo ovaj sistem. Ovo će nam omogućiti da vidimo kako dolazimo do vrijednosti 6 i 5. Postoji mnogo metoda za rješavanje takvih sistema. Pogledajmo najpopularnije od njih.

Metoda zamjene

Naziv ove metode govori sam za sebe. Njegova suština je da se jedna jednačina zameni drugom, nakon što je prethodno izražena jedna od varijabli.

U našem sistemu ništa ne treba da se izražava. U drugoj jednačini x = y+ 1 varijabla x već izraženo. Ova varijabla je jednaka izrazu y+ 1 . Zatim možete zamijeniti ovaj izraz u prvu jednačinu umjesto varijable x

Nakon zamjene izraza y+ 1 u prvu jednačinu umjesto toga x, dobijamo jednačinu 25(y+ 1) + 10y= 200 . Ovo je linearna jednadžba s jednom promjenljivom. Ovu jednačinu je prilično lako riješiti:

Pronašli smo vrijednost varijable y. Sada zamijenimo ovu vrijednost u jednu od jednačina i pronađemo vrijednost x. Za to je zgodno koristiti drugu jednačinu x = y+ 1 . Zamijenimo vrijednost u to y

To znači da je par (6; 5) rješenje sistema jednačina, kako smo i namjeravali. Provjeravamo i uvjeravamo se da par (6; 5) zadovoljava sistem:

Primjer 2

Zamijenimo prvu jednačinu x= 2 + y u drugu jednačinu 3 x− 2y= 9. U prvoj jednačini varijabla x jednako izrazu 2 + y. Zamijenimo ovaj izraz u drugu jednačinu umjesto u x

Sada pronađimo vrijednost x. Da bismo to učinili, zamijenimo vrijednost y u prvu jednačinu x= 2 + y

To znači da je rješenje za sistem vrijednost para (5; 3)

Primjer 3. Riješi zamjenom sledeći sistem jednadžbe:

Ovdje, za razliku od prethodnih primjera, jedna od varijabli nije eksplicitno izražena.

Da biste jednu jednačinu zamijenili drugom, prvo trebate .

Preporučljivo je izraziti varijablu koja ima koeficijent jedan. Varijabla ima koeficijent jedan x, koji je sadržan u prvoj jednačini x+ 2y= 11. Izrazimo ovu varijablu.

Nakon varijabilnog izraza x, naš sistem će imati sljedeći oblik:

Sada zamijenimo prvu jednačinu drugom i pronađemo vrijednost y

Zamenimo y x

To znači da je rješenje sistema par vrijednosti (3; 4)

Naravno, možete izraziti i varijablu y. Ovo neće promijeniti korijene. Ali ako izrazite y, Rezultat nije vrlo jednostavna jednačina, za čije će rješavanje trebati više vremena. To će izgledati ovako:

Vidimo da u ovom primjeru izražavamo x mnogo zgodnije od izražavanja y .

Primjer 4. Rešite sledeći sistem jednačina metodom zamene:

Izrazimo u prvoj jednačini x. Tada će sistem poprimiti oblik:

y

Zamenimo y u prvu jednačinu i pronađite x. Možete koristiti originalnu jednačinu 7 x+ 9y= 8, ili koristite jednačinu u kojoj je varijabla izražena x. Koristićemo ovu jednačinu jer je zgodna:

To znači da je rješenje sistema par vrijednosti (5; −3)

Metoda sabiranja

Metoda sabiranja sastoji se od sabiranja jednačina uključenih u sistem pojam po član. Ovaj dodatak rezultira novom jednadžbom s jednom varijablom. A rješavanje takve jednadžbe je prilično jednostavno.

Hajde da rešimo sledeći sistem jednačina:

Dodajmo lijevu stranu prve jednačine sa lijevom stranom druge jednačine. I desna strana prve jednačine sa desnom stranom druge jednačine. Dobijamo sljedeću jednakost:

Pogledajmo slične pojmove:

Kao rezultat, dobili smo najjednostavniju jednačinu 3 x= 27 čiji je korijen 9. Znajući vrijednost x možete pronaći vrijednost y. Zamenimo vrednost x u drugu jednačinu x−y= 3 . Dobijamo 9 − y= 3 . Odavde y= 6 .

To znači da je rješenje sistema par vrijednosti (9; 6)

Primjer 2

Dodajmo lijevu stranu prve jednačine sa lijevom stranom druge jednačine. I desna strana prve jednačine sa desnom stranom druge jednačine. U rezultirajućoj jednakosti predstavljamo slične pojmove:

Kao rezultat, dobili smo najjednostavniju jednačinu 5 x= 20, čiji je korijen 4. Znajući vrijednost x možete pronaći vrijednost y. Zamenimo vrednost x u prvu jednačinu 2 x+y= 11. Hajdemo 8+ y= 11. Odavde y= 3 .

To znači da je rješenje sistema par vrijednosti (4;3)

Proces dodavanja nije detaljno opisan. To se mora uraditi mentalno. Prilikom sabiranja, obje jednačine se moraju svesti na kanonski oblik. To je, usput ac + by = c .

Iz razmatranih primjera jasno je da je glavna svrha sabiranja jednačina da se riješi jedne od varijabli. Ali nije uvijek moguće odmah riješiti sistem jednačina koristeći metodu sabiranja. Najčešće se sistem prvo dovodi u formu u kojoj se mogu dodati jednačine uključene u ovaj sistem.

Na primjer, sistem može se odmah riješiti dodavanjem. Prilikom sabiranja obje jednačine, članovi y I −yće nestati jer je njihov zbir nula. Kao rezultat, formira se najjednostavnija jednačina 11 x= 22, čiji je korijen 2. Tada će biti moguće odrediti y jednako 5.

I sistem jednačina Metoda sabiranja ne može se odmah riješiti, jer to neće dovesti do nestanka jedne od varijabli. Sabiranje će rezultirati jednačinom 8 x+ y= 28, koji ima beskonačan broj rješenja.

Ako se obje strane jednačine pomnože ili podijele sa istim brojem, koji nije jednak nuli, dobićete jednačinu koja je ekvivalentna datoj. Ovo pravilo važi i za sistem linearnih jednačina sa dve varijable. Jedna od jednadžbi (ili obje jednačine) može se pomnožiti s bilo kojim brojem. Rezultat će biti ekvivalentan sistem čiji će se korijeni poklapati s prethodnim.

Vratimo se na prvi sistem koji opisuje koliko je kolača i šoljica kafe kupio školarac. Rješenje za ovaj sistem bio je par vrijednosti (6; 5).

Pomnožimo obje jednačine uključene u ovaj sistem nekim brojevima. Recimo da pomnožimo prvu jednačinu sa 2, a drugu sa 3

Kao rezultat, dobili smo sistem
Rješenje ovog sistema je još uvijek par vrijednosti (6; 5)

To znači da se jednačine uključene u sistem mogu svesti na oblik pogodan za primjenu metode sabiranja.

Vratimo se sistemu , koji nismo mogli riješiti metodom sabiranja.

Pomnožite prvu jednačinu sa 6, a drugu sa −2

Tada dobijamo sledeći sistem:

Hajde da saberemo jednačine uključene u ovaj sistem. Dodavanje komponenti 12 x i −12 x rezultirat će 0, dodavanjem 18 y i 4 y dati 22 y, a zbrajanjem 108 i −20 dobije se 88. Tada dobijamo jednačinu 22 y= 88, odavde y = 4 .

Ako vam je u početku teško sabirati jednačine u glavi, onda možete zapisati kako se sabira lijeva strana prve jednadžbe sa lijevom stranom druge jednačine, a desna strana prve jednadžbe sa desnom stranom druge jednačine:

Znajući da je vrijednost varijable y jednako 4, možete pronaći vrijednost x. Zamenimo y u jednu od jednadžbi, na primjer u prvu jednačinu 2 x+ 3y= 18. Tada dobijamo jednačinu sa jednom promenljivom 2 x+ 12 = 18. Pomerimo 12 na desnu stranu, menjajući znak, dobijamo 2 x= 6, odavde x = 3 .

Primjer 4. Metodom sabiranja riješite sljedeći sistem jednačina:

Pomnožimo drugu jednačinu sa −1. Tada će sistem poprimiti sljedeći oblik:

Dodajmo obje jednačine. Dodavanje komponenti x I −x rezultirat će 0, sabiranjem 5 y i 3 y dati 8 y, a zbrajanjem 7 i 1 dobije se 8. Rezultat je jednačina 8 y= 8 čiji je korijen 1. Znajući da je vrijednost y jednako 1, možete pronaći vrijednost x .

Zamenimo y u prvu jednačinu, dobijamo x+ 5 = 7, dakle x= 2

Primjer 5. Metodom sabiranja riješite sljedeći sistem jednačina:

Poželjno je da se termini koji sadrže iste varijable nalaze jedan ispod drugog. Dakle, u drugoj jednačini članovi 5 y i −2 x Zamenimo mesta. Kao rezultat, sistem će poprimiti oblik:

Pomnožimo drugu jednačinu sa 3. Tada će sistem poprimiti oblik:

Sada saberimo obje jednačine. Kao rezultat sabiranja dobijamo jednačinu 8 y= 16, čiji je korijen 2.

Zamenimo y u prvu jednačinu dobijamo 6 x− 14 = 40. Pomjerimo pojam −14 na desnu stranu, mijenjajući predznak, i dobijemo 6 x= 54 . Odavde x= 9.

Primjer 6. Metodom sabiranja riješite sljedeći sistem jednačina:

Oslobodimo se razlomaka. Pomnožite prvu jednačinu sa 36, ​​a drugu sa 12

U rezultirajućem sistemu prva jednačina se može pomnožiti sa −5, a druga sa 8

Hajde da saberemo jednačine u rezultujućem sistemu. Tada dobijamo najjednostavniju jednačinu −13 y= −156 . Odavde y= 12. Zamenimo y u prvu jednačinu i pronađite x

Primjer 7. Metodom sabiranja riješite sljedeći sistem jednačina:

Dovedemo obje jednačine u normalan oblik. Ovdje je zgodno primijeniti pravilo proporcije u obje jednačine. Ako je u prvoj jednadžbi desna strana predstavljena kao , a desna strana druge jednačine kao , tada će sistem poprimiti oblik:

Imamo proporciju. Pomnožimo njegove ekstremne i srednje pojmove. Tada će sistem poprimiti oblik:

Pomnožimo prvu jednačinu sa −3 i otvorimo zagrade u drugoj:

Sada saberimo obje jednačine. Kao rezultat zbrajanja ovih jednadžbi, dobijamo jednakost sa nulom na obje strane:

Ispostavilo se da sistem ima bezbroj rješenja.

Ali ne možemo samo uzeti proizvoljne vrijednosti s neba za x I y. Možemo odrediti jednu od vrijednosti, a druga će biti određena ovisno o vrijednosti koju navedemo. Na primjer, neka x= 2 . Zamijenimo ovu vrijednost u sistem:

Kao rezultat rješavanja jedne od jednadžbi, vrijednost za y, što će zadovoljiti obje jednačine:

Rezultirajući par vrijednosti (2; −2) će zadovoljiti sistem:

Nađimo drugi par vrijednosti. Neka x= 4. Zamenimo ovu vrednost u sistem:

Možete reći na oko da vrijednost y jednako nuli. Tada dobijamo par vrijednosti (4; 0) koji zadovoljava naš sistem:

Primjer 8. Metodom sabiranja riješite sljedeći sistem jednačina:

Pomnožite prvu jednačinu sa 6, a drugu sa 12

Hajde da prepišemo šta je ostalo:

Pomnožimo prvu jednačinu sa −1. Tada će sistem poprimiti oblik:

Sada saberimo obje jednačine. Kao rezultat sabiranja formira se jednačina 6 b= 48, čiji je korijen 8. Zamjena b u prvu jednačinu i pronađite a

Sistem linearnih jednadžbi sa tri varijable

Linearna jednadžba sa tri varijable uključuje tri varijable sa koeficijentima, kao i član odsječka. U kanonskom obliku može se napisati na sljedeći način:

ax + by + cz = d

Ova jednačina ima bezbroj rješenja. Dajući dvije varijable različite vrijednosti, može se pronaći treća vrijednost. Rješenje u ovom slučaju je trostruka vrijednost ( x; y; z) koji jednačinu pretvara u identitet.

Ako su varijable x, y, z su međusobno povezane sa tri jednačine, tada se formira sistem od tri linearne jednačine sa tri varijable. Da biste riješili takav sistem, možete koristiti iste metode koje se primjenjuju na linearne jednadžbe s dvije varijable: metodom zamjene i metodom sabiranja.

Primjer 1. Rešite sledeći sistem jednačina metodom zamene:

Izrazimo u trećoj jednačini x. Tada će sistem poprimiti oblik:

Sada izvršimo zamjenu. Varijabilna x jednak je izrazu 3 − 2y − 2z . Zamijenimo ovaj izraz u prvu i drugu jednačinu:

Otvorimo zagrade u obje jednačine i predstavimo slične pojmove:

Došli smo do sistema linearnih jednačina sa dvije varijable. U ovom slučaju, zgodno je koristiti metodu dodavanja. Kao rezultat, varijabla yće nestati i možemo pronaći vrijednost varijable z

Sada pronađimo vrijednost y. Da biste to učinili, zgodno je koristiti jednačinu − y+ z= 4. Zamijenite vrijednost u njega z

Sada pronađimo vrijednost x. Da biste to učinili, zgodno je koristiti jednadžbu x= 3 − 2y − 2z . Zamijenimo vrijednosti u njega y I z

Dakle, trojka vrijednosti (3; −2; 2) je rješenje za naš sistem. Provjerom osiguravamo da ove vrijednosti zadovoljavaju sistem:

Primjer 2. Rešite sistem metodom sabiranja

Dodajmo prvu jednačinu sa drugom, pomnoženu sa −2.

Ako se druga jednačina pomnoži sa −2, ona poprima oblik −6x+ 6y − 4z = −4 . Sada dodajmo to prvoj jednadžbi:

Vidimo da je kao rezultat elementarnih transformacija određena vrijednost varijable x. To je jednako jednom.

Vratimo se na glavni sistem. Dodajmo drugu jednačinu sa trećom, pomnoženu sa −1. Ako se treća jednačina pomnoži sa −1, ona poprima oblik −4x + 5y − 2z = −1 . Sada dodajmo to drugoj jednačini:

Dobili smo jednačinu x− 2y= −1 . Zamenimo vrednost u nju x koje smo ranije pronašli. Tada možemo odrediti vrijednost y

Sada znamo značenja x I y. Ovo vam omogućava da odredite vrijednost z. Koristimo jednu od jednačina uključenih u sistem:

Dakle, trojka vrijednosti (1; 1; 1) je rješenje za naš sistem. Provjerom osiguravamo da ove vrijednosti zadovoljavaju sistem:

Problemi sastavljanja sistema linearnih jednačina

Zadatak sastavljanja sistema jednačina rješava se unosom nekoliko varijabli. Zatim se sastavljaju jednačine na osnovu uslova problema. Iz sastavljenih jednačina formiraju sistem i rješavaju ga. Nakon što je sistem riješen, potrebno je provjeriti da li njegovo rješenje zadovoljava uslove problema.

Problem 1. Automobil Volga odvezao se iz grada na kolhozu. Vratila se nazad drugim putem, koji je bio 5 km kraći od prvog. Ukupno je automobil prešao 35 km povratno. Koliko kilometara je dužina svakog puta?

Rješenje

Neka x— dužina prvog puta, y- dužina sekunde. Ako je automobil prešao 35 km povratno, tada se prva jednačina može napisati kao x+ y= 35. Ova jednačina opisuje zbir dužina oba puta.

Navodi se da se automobil vratio putem koji je bio 5 km kraći od prvog. Tada se druga jednačina može napisati kao x− y= 5. Ova jednadžba pokazuje da je razlika između dužina puteva 5 km.

Ili se druga jednačina može napisati kao x= y+ 5. Koristićemo ovu jednačinu.

Jer varijable x I y u obje jednačine označavamo isti broj, onda od njih možemo formirati sistem:

Rešimo ovaj sistem koristeći neke od prethodno proučavanih metoda. U ovom slučaju, zgodno je koristiti metodu zamjene, budući da je u drugoj jednačini varijabla x već izraženo.

Zamijenite drugu jednačinu u prvu i pronađite y

Zamijenimo pronađenu vrijednost y u drugoj jednačini x= y+ 5 i naći ćemo x

Dužina prvog puta određena je kroz varijablu x. Sada smo pronašli njegovo značenje. Varijabilna x je jednako 20. To znači da je dužina prvog puta 20 km.

A dužina drugog puta je označena sa y. Vrijednost ove varijable je 15. To znači da je dužina drugog puta 15 km.

Hajde da proverimo. Prvo, uvjerimo se da je sistem ispravno riješen:

Sada provjerimo da li rješenje (20; 15) zadovoljava uslove zadatka.

Rečeno je da je automobil prešao ukupno 35 km povratno. Dodajemo dužine oba puta i uvjerimo se da rješenje (20; 15) zadovoljava ovo stanje: 20 km + 15 km = 35 km

Sljedeći uslov: auto se vratio nazad drugim putem, koji je bio 5 km kraći od prvog . Vidimo da rješenje (20; 15) također zadovoljava ovaj uvjet, jer je 15 km kraće od 20 km za 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Prilikom sastavljanja sistema važno je da varijable predstavljaju iste brojeve u svim jednačinama uključenim u ovaj sistem.

Dakle, naš sistem sadrži dvije jednačine. Ove jednadžbe zauzvrat sadrže varijable x I y, koji predstavljaju iste brojeve u obje jednačine, odnosno dužine puteva od 20 km i 15 km.

Problem 2. Na platformu su utovareni pragovi od hrastovine i bora, ukupno 300 pragova. Poznato je da su svi hrastovi pragovi težili 1 tonu manje od svih borovih pragova. Odredi koliko je hrastovih i borovih pragova bilo odvojeno, ako je svaki hrastov prag bio težak 46 kg, a svaki borov prag 28 kg.

Rješenje

Neka x hrast i y borovi pragovi su utovareni na platformu. Ako je bilo ukupno 300 pragova, onda se prva jednačina može napisati kao x+y = 300 .

Svi hrastovi pragovi su bili teški 46 x kg, a borovi su imali 28 y kg. Kako su hrastovi pragovi težili 1 tonu manje od borovih pragova, druga jednačina se može zapisati kao 28y − 46x= 1000 . Ova jednadžba pokazuje da je razlika u masi između hrastovih i borovih pragova 1000 kg.

Tone su pretvorene u kilograme jer se masa hrastovih i borovih pragova mjerila u kilogramima.

Kao rezultat, dobijamo dve jednačine koje formiraju sistem

Hajde da rešimo ovaj sistem. Izrazimo u prvoj jednačini x. Tada će sistem poprimiti oblik:

Zamijenite prvu jednačinu drugom i pronađite y

Zamenimo y u jednačinu x= 300 − y i saznajte šta je to x

To znači da je na platformu utovareno 100 hrastovih i 200 borovih pragova.

Provjerimo da li rješenje (100; 200) zadovoljava uslove zadatka. Prvo, uvjerimo se da je sistem ispravno riješen:

Rečeno je da je bilo ukupno 300 spavača. Zbrojimo broj hrastovih i borovih pragova i uvjerimo se da rješenje (100; 200) zadovoljava ovaj uvjet: 100 + 200 = 300.

Sljedeći uslov: svi hrastovi pragovi su težili 1 tonu manje od svih borovih pragova . Vidimo da rješenje (100; 200) također zadovoljava ovaj uvjet, budući da je 46 × 100 kg hrastovih pragova lakše od 28 × 200 kg borovih pragova: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Problem 3. Uzeli smo tri komada legure bakra i nikla u težinskim omjerima 2:1, 3:1 i 5:1. Od njih je stapljen komad težine 12 kg s omjerom bakra i nikla 4:1. Pronađite masu svakog originalnog komada ako je masa prvog dvostruko veća od mase drugog.