FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE
DRŽAVNA OBRAZOVNA USTANOVA
VISOKO STRUČNO OBRAZOVANJE
"DRŽAVNI PEDAGOŠKI UNIVERZITET VORONJEŽ"
ZAVOD ZA AGLEBRU I GEOMETRIJU
Kompleksni brojevi
(odabrani zadaci)
DIPLOMSKI KVALIFIKACIJSKI RAD
specijalnost 050201.65 matematika
(sa dodatnom specijalnošću 050202.65 informatika)
Završio: student 5. godine
fizičke i matematičke
fakultet
naučni savjetnik:
VORONJEŽ – 2008
1. Uvod……………………………………………………...…………..…
2. Kompleksni brojevi (odabrani problemi)
2.1. Kompleksni brojevi u algebarski oblik….……...……….….
2.2. Geometrijska interpretacija kompleksnih brojeva…………..…
2.3. Trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva
2.4. Primjena teorije kompleksnih brojeva na rješavanje jednačina 3. i 4. stepena……………..…………………………………………………………………………………
2.5. Kompleksni brojevi i parametri………………………………………………….
3. Zaključak…………………………………………………………………………………………….
4. Spisak referenci…………………………………………………………………………..
1. Uvod
U programu matematike školski kurs teorija brojeva uvodi se na primjerima skupova prirodnih brojeva, cijelih brojeva, racionalnih, iracionalnih, tj. na skupu realnih brojeva čije slike ispunjavaju čitavu brojevnu pravu. Ali već u 8. razredu nema dovoljno realnih brojeva, rješavanje kvadratnih jednadžbi sa negativnim diskriminantom. Stoga je bilo potrebno dopuniti zalihu realnih brojeva uz pomoć kompleksnih brojeva, za koje je kvadratni korijen od negativan broj ima značenje.
Odabrao sam temu “Kompleksni brojevi” kao diplomsku temu kvalifikacioni rad, je da koncept kompleksnog broja proširuje znanja učenika o brojevnim sistemima, o rješavanju široke klase zadataka kako algebarskog tako i geometrijskog sadržaja, o rješavanju algebarske jednačine bilo kog stepena i o rješavanju problema sa parametrima.
Ovaj rad ispituje rješenje 82 problema.
Prvi dio glavnog odjeljka “Kompleksni brojevi” sadrži rješenja problema sa kompleksni brojevi u algebarskom obliku definiraju se operacije sabiranja, oduzimanja, množenja, dijeljenja, operacije konjugacije za kompleksne brojeve u algebarskom obliku, snaga imaginarne jedinice, modul kompleksnog broja, a također je navedeno i pravilo ekstrakcije kvadratni korijen iz kompleksnog broja.
U drugom dijelu rješavaju se zadaci geometrijske interpretacije kompleksnih brojeva u obliku tačaka ili vektora kompleksne ravni.
Treći dio ispituje operacije nad kompleksnim brojevima u trigonometrijskom obliku. Formule koje se koriste su: Moivre i izdvajanje korijena kompleksnog broja.
Četvrti dio je posvećen rješavanju jednačina 3. i 4. stepena.
Prilikom rješavanja zadataka u posljednjem dijelu, „Kompleksni brojevi i parametri“, koriste se i objedinjuju informacije date u prethodnim dijelovima. Niz problema u poglavlju posvećen je određivanju familija pravih u kompleksnoj ravni definisanih jednačinama (nejednačinama) sa parametrom. U dijelu vježbi potrebno je riješiti jednadžbe sa parametrom (nad poljem C). Postoje zadaci u kojima kompleksna varijabla istovremeno zadovoljava niz uslova. Posebnost rješavanja problema u ovom dijelu je svođenje mnogih od njih na rješenje jednačina (nejednačina, sistema) drugog stepena, iracionalnih, trigonometrijskih sa parametrom.
Karakteristika prezentacije materijala u svakom dijelu je početni unos teorijske osnove, a potom i njihovu praktičnu primjenu u rješavanju problema.
Na kraju teza predstavljen je spisak korišćene literature. Većina njih dovoljno detaljno i pristupačno iznosi teorijski materijal, razmatra rješenja nekih problema i daju praktični zadaci Za nezavisna odluka. Posebna pažnjaŽelio bih da se pozovem na takve izvore kao što su:
1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Kompleksni brojevi i njihova primjena: Udžbenik. . Materijal nastavno pomagalo prezentovani u vidu predavanja i praktičnih vežbi.
2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Odabrani zadaci i teoreme elementarne matematike. Aritmetika i algebra. Knjiga sadrži 320 zadataka vezanih za algebru, aritmetiku i teoriju brojeva. Ovi zadaci se po prirodi značajno razlikuju od standardnih školskih zadataka.
2. Kompleksni brojevi (odabrani problemi)
2.1. Kompleksni brojevi u algebarskom obliku
Rješenje mnogih problema iz matematike i fizike svodi se na rješavanje algebarskih jednačina, tj. jednačine oblika
,gdje su a0, a1, …, an realni brojevi. Stoga je proučavanje algebarskih jednačina jedna od kritična pitanja u matematici. Na primjer, kvadratna jednadžba sa negativan diskriminant. Najjednostavnija takva jednadžba je jednačina
.Da bi ova jednadžba imala rješenje, potrebno je proširiti skup realnih brojeva dodavanjem korijena jednadžbe
.Označimo ovaj korijen sa
. Dakle, po definiciji, ili,dakle,
. nazvana imaginarna jedinica. Uz njegovu pomoć i uz pomoć para realnih brojeva sastavlja se izraz oblika.Rezultirajući izraz nazvan je kompleksnim brojevima jer je sadržavao i stvarne i imaginarne dijelove.
Dakle, kompleksni brojevi su izrazi oblika
, i realni su brojevi, te je određeni simbol koji zadovoljava uvjet . Broj se naziva realnim dijelom kompleksnog broja, a broj je njegov imaginarni dio. Za njihovo označavanje koriste se simboli .Kompleksni brojevi forme
su realni brojevi i, prema tome, skup kompleksnih brojeva sadrži skup realnih brojeva. Kompleksni brojevi forme
nazivaju se čisto imaginarnim. Za dva kompleksna broja oblika i kažemo da su jednaki ako su im realni i imaginarni dijelovi jednaki, tj. ako jednakosti , .Algebarska notacija kompleksnih brojeva dozvoljava operacije nad njima prema uobičajenim pravilima algebre.
Da biste riješili probleme s kompleksnim brojevima, morate razumjeti osnovne definicije. Glavni cilj ovog preglednog članka je objasniti šta su kompleksni brojevi i predstaviti metode za rješavanje osnovnih problema s kompleksnim brojevima. Dakle, kompleksni broj će se zvati broj oblika z = a + bi, Gdje a, b- realni brojevi, koji se nazivaju realni i imaginarni dijelovi kompleksnog broja, odnosno, i označavaju a = Re(z), b=Im(z).
i nazvana imaginarna jedinica. i 2 = -1. Konkretno, svaki realan broj se može smatrati kompleksnim: a = a + 0i, gdje je a realno. Ako a = 0 I b ≠ 0, tada se broj obično naziva čisto imaginarnim.
Sada da uvedemo operacije nad kompleksnim brojevima.
Razmotrimo dva kompleksna broja z 1 = a 1 + b 1 i I z 2 = a 2 + b 2 i.
Hajde da razmotrimo z = a + bi.
Skup kompleksnih brojeva proširuje skup realnih brojeva, koji zauzvrat proširuje skup racionalni brojevi itd. Ovaj lanac investicija može se vidjeti na slici: N – cijeli brojevi, Z - cijeli brojevi, Q - racionalni, R - realni, C - kompleksni. 
Predstavljanje kompleksnih brojeva
Algebarska notacija.
Razmotrimo kompleksan broj z = a + bi, ovaj oblik pisanja kompleksnog broja se zove algebarski. O ovom obliku snimanja smo već detaljno govorili u prethodnom dijelu. Sljedeći vizualni crtež se često koristi 
Trigonometrijski oblik.
Iz slike se vidi da je broj z = a + bi može se napisati drugačije. Očigledno je da a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, dakle z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
naziva se argument kompleksnog broja. Ova reprezentacija kompleksnog broja se zove trigonometrijski oblik. Trigonometrijski oblik zapisa ponekad je vrlo zgodan. Na primjer, zgodno ga je koristiti za podizanje kompleksnog broja na cijeli broj, naime, ako z = rcos(φ) + rsin(φ)i, To z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, ova formula se zove Moivreova formula.
Demonstrativna forma.
Hajde da razmotrimo z = rcos(φ) + rsin(φ)i- kompleksni broj u trigonometrijskom obliku, napišite ga u drugom obliku z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, posljednja jednakost proizlazi iz Eulerove formule, pa dobivamo nova uniforma zapis kompleksnog broja: z = reiφ, koji se zove indikativno. Ovaj oblik zapisa je također vrlo zgodan za podizanje kompleksnog broja na stepen: z n = r n e inφ, Evo n nije nužno cijeli broj, ali može biti proizvoljan realan broj. Ovaj oblik notacije se često koristi za rješavanje problema.
Osnovni teorem više algebre
Zamislimo da imamo kvadratnu jednačinu x 2 + x + 1 = 0. Očigledno, diskriminanta ove jednadžbe je negativna i nema realne korijene, ali ispada da ova jednadžba ima dva različita kompleksna korijena. Dakle, fundamentalna teorema više algebre kaže da svaki polinom stepena n ima barem jedan kompleksan korijen. Iz ovoga slijedi da svaki polinom stepena n ima tačno n kompleksnih korijena, uzimajući u obzir njihovu višestrukost. Ova teorema je vrlo važan rezultat u matematici i široko se koristi. Jednostavna posledica ove teoreme je da postoji tačno n različiti koreni stepen n jedinice.
Glavne vrste zadataka
Ovaj odjeljak će pokriti glavne tipove jednostavni zadaci na kompleksne brojeve. Uobičajeno, problemi koji uključuju kompleksne brojeve mogu se podijeliti u sljedeće kategorije.
- Izvođenje jednostavnih aritmetičkih operacija nad kompleksnim brojevima.
- Pronalaženje korijena polinoma u kompleksnim brojevima.
- Podizanje kompleksnih brojeva na stepene.
- Vađenje korijena iz kompleksnih brojeva.
- Korištenje kompleksnih brojeva za rješavanje drugih problema.
Sada razmotrimo opšte tehnike rješenja ovih problema.
Najjednostavnije aritmetičke operacije sa kompleksnim brojevima izvode se prema pravilima opisanim u prvom odjeljku, ali ako su kompleksni brojevi predstavljeni u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku, tada ih u ovom slučaju možete pretvoriti u algebarski oblik i izvoditi operacije prema poznatim pravilima.
Pronalaženje korijena polinoma obično se svodi na pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Pretpostavimo da imamo kvadratnu jednadžbu, ako je njen diskriminanta nenegativna, tada će njeni korijeni biti realni i mogu se naći prema dobro poznatoj formuli. Ako je diskriminant negativan, tj. D = -1∙a 2, Gdje a je određeni broj, onda se diskriminanta može predstaviti kao D = (ia) 2, dakle √D = i|a|, a zatim možete koristiti dobro poznata formula za korijene kvadratne jednadžbe.
Primjer. Vratimo se na ono što je gore pomenuto. kvadratna jednačina x 2 + x + 1 = 0 .
diskriminatorno - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Sada možemo lako pronaći korijene: 
Povećanje kompleksnih brojeva na stepene može se izvesti na nekoliko načina. Ako trebate podići kompleksan broj u algebarskom obliku na mali stepen (2 ili 3), onda to možete učiniti direktnim množenjem, ali ako je stepen veći (u problemima je često mnogo veći), onda morate napišite ovaj broj u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku i koristite već poznate metode.
Primjer. Uzmimo z = 1 + i i povisimo ga na deseti stepen.
Zapišimo z u eksponencijalnom obliku: z = √2 e iπ/4.
Onda z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Vratimo se algebarskom obliku: z 10 = -32i.
Izdvajanje korijena iz kompleksnih brojeva je inverzna operacija eksponencijacije i stoga se izvodi na sličan način. Za izdvajanje korijena često se koristi eksponencijalni oblik pisanja broja.
Primjer. Nađimo sve korijene stepena 3 jedinice. Da bismo to učinili, pronaći ćemo sve korijene jednadžbe z 3 = 1, potražit ćemo korijene u eksponencijalnom obliku.
Zamijenimo u jednačinu: r 3 e 3iφ = 1 ili r 3 e 3iφ = e 0 .
Dakle: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, dakle φ = 2πk/3.
Različiti korijeni se dobivaju pri φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Stoga su 1, e i2π/3, e i4π/3 korijeni.
Ili u algebarskom obliku: 
Posljednja vrsta problema uključuje ogromnu raznolikost problema i nema općih metoda za njihovo rješavanje. Navedimo jednostavan primjer takvog zadatka:
Pronađite iznos sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).
Iako formulacija ovog problema ne uključuje kompleksne brojeve, lako se može riješiti uz njihovu pomoć. Da bi se to riješilo, koriste se sljedeće reprezentacije: 
Ako sada ovu reprezentaciju zamijenimo zbirom, onda se problem svodi na zbrajanje uobičajene geometrijske progresije.
Zaključak
Kompleksni brojevi se široko koriste u matematici, ovaj pregledni članak ispitao je osnovne operacije nad kompleksnim brojevima, opisao nekoliko tipova standardnih problema i ukratko opisao opšte metode njihova rješenja, za detaljnije proučavanje mogućnosti kompleksnih brojeva, preporučuje se korištenje specijalizirane literature.
Književnost
Upotreba jednačina je široko rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim proračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Čovjek je koristio jednačine u drevnim vremenima, a od tada se njihova upotreba samo povećava. Radi jasnoće, riješimo sljedeći problem:
Izračunajte \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] ako je \
Prije svega, obratimo pažnju na činjenicu da je jedan broj predstavljen u algebarskom obliku, drugi u trigonometrijskom obliku. Potrebno ga je pojednostaviti i dovesti u sljedeći oblik
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
Izraz \ kaže da prije svega radimo množenje i dizanje na 10. stepen koristeći Moivreovu formulu. Ova formula je formulirana za trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Dobijamo:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
Slijedeći pravila za množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku, radimo sljedeće:
u našem slučaju:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
Ispravnim razlomak \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] dolazimo do zaključka da možemo "uvrnuti" 4 okreta \[(8\pi rad.): \]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]
Odgovor: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
Ova se jednadžba može riješiti na drugi način, koji se svodi na dovođenje 2. broja u algebarski oblik, zatim izvođenje množenja u algebarskom obliku, pretvaranje rezultata u trigonometrijski oblik i primjenu Moivreove formule:
Gde mogu da rešim sistem jednačina sa kompleksnim brojevima na mreži?
Sistem jednačina možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da riješite online jednadžbe bilo koje složenosti za nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako i dalje imate pitanja, možete ih postaviti u našoj VKontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, mi ćemo vam uvijek rado pomoći.
