Šta je logaritam?
Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Šta je logaritam? Kako riješiti logaritme? Ova pitanja zbunjuju mnoge diplomce. Tradicionalno, tema logaritama se smatra složenom, nerazumljivom i zastrašujućom. Posebno jednadžbe sa logaritmima.
Ovo apsolutno nije istina. Apsolutno! Ne vjerujete mi? U redu. Sada, za samo 10 - 20 minuta vi:
1. Razumjet ćete šta je logaritam.
2. Naučite riješiti cijelu klasu eksponencijalnih jednačina. Čak i ako niste ništa čuli o njima.
3. Naučite izračunati jednostavne logaritme.
Štaviše, za ovo ćete morati samo znati tablicu množenja i kako podići broj na stepen...
Osećam kao da sumnjaš... Pa, dobro, označi vreme! Idi!
Prvo, riješite ovu jednačinu u svojoj glavi:
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
U vezi sa
može se postaviti zadatak pronalaženja bilo kojeg od tri broja od druga dva data. Ako su dati a i zatim N, oni se nalaze eksponencijalnom. Ako su N i zatim a dati uzimanjem korijena stepena x (ili podizanjem na stepen). Sada razmotrite slučaj kada, za date a i N, trebamo pronaći x.
Neka je broj N pozitivan: broj a pozitivan i nije jednak jedinici: .
Definicija. Logaritam broja N prema bazi a je eksponent na koji se a mora podići da bi se dobio broj N; logaritam je označen sa
Dakle, u jednakosti (26.1) eksponent se nalazi kao logaritam od N prema bazi a. Postovi
imaju isto značenje. Jednakost (26.1) se ponekad naziva glavnim identitetom teorije logaritama; u stvarnosti izražava definiciju pojma logaritma. By ovu definiciju Osnova logaritma a je uvijek pozitivna i različita od jedinice; logaritamski broj N je pozitivan. Negativni brojevi i nula nemaju logaritme. Može se dokazati da bilo koji broj sa datom bazom ima dobro definiran logaritam. Stoga jednakost podrazumijeva . Imajte na umu da je uvjet ovdje bitan; inače, zaključak ne bi bio opravdan, jer je jednakost istinita za sve vrijednosti x i y.
Primjer 1. Pronađite
Rješenje. Da biste dobili broj, morate podići bazu 2 na stepen.
Prilikom rješavanja takvih primjera možete praviti bilješke u sljedećem obliku:
Primjer 2. Pronađite .
Rješenje. Imamo
U primjerima 1 i 2 lako smo pronašli željeni logaritam predstavljajući broj logaritma kao stepen baze s racionalnim eksponentom. IN opšti slučaj, na primjer, za, itd., to se ne može učiniti, jer logaritam ima iracionalnu vrijednost. Obratimo pažnju na jedno pitanje vezano za ovu izjavu. U paragrafu 12 dali smo koncept mogućnosti određivanja bilo koje realne snage datog pozitivnog broja. To je bilo neophodno za uvođenje logaritama, koji, generalno govoreći, mogu biti iracionalni brojevi.
Pogledajmo neka svojstva logaritama.
Svojstvo 1. Ako su broj i baza jednaki, onda je logaritam jednak jedinici, i obrnuto, ako je logaritam jednak jedinici, tada su broj i baza jednaki.
Dokaz. Neka Po definiciji logaritma imamo i odakle
Obrnuto, neka Onda po definiciji
Svojstvo 2. Logaritam od jedan prema bilo kojoj osnovi je jednak nuli.
Dokaz. Po definiciji logaritma (nulta snaga bilo koje pozitivne baze jednaka je jedan, vidi (10.1)). Odavde
Q.E.D.
Obrnuti iskaz je također istinit: ako je , tada je N = 1. Zaista, imamo .
Prije nego što formulišemo sljedeće svojstvo logaritama, dogovorimo se da dva broja a i b leže na istoj strani trećeg broja c ako su oba veća od c ili manja od c. Ako je jedan od ovih brojeva veći od c, a drugi manji od c, onda ćemo reći da leže na suprotnim stranama od c.
Svojstvo 3. Ako broj i baza leže na istoj strani jedinice, onda je logaritam pozitivan; Ako broj i baza leže na suprotnim stranama od jedan, tada je logaritam negativan.
Dokaz svojstva 3 zasniva se na činjenici da je stepen a veći od jedan ako je baza veća od jedan, a eksponent pozitivan ili je baza manja od jedan, a eksponent negativan. Potencija je manja od jedan ako je baza veća od jedan, a eksponent negativan ili je baza manja od jedan, a eksponent pozitivan.
Postoje četiri slučaja za razmatranje:
Ograničićemo se samo na analizu prvog od njih, a ostale će čitalac razmotriti sam.
Neka onda u jednakosti eksponent ne može biti ni negativan ni jednak nuli, dakle pozitivan je, tj. kako se traži da se dokaže.
Primjer 3. Saznajte koji su od logaritama u nastavku pozitivni, a koji negativni:
Rješenje, a) pošto se broj 15 i osnova 12 nalaze na istoj strani jedinice;
b) pošto se 1000 i 2 nalaze na jednoj strani jedinice; u ovom slučaju nije važno da je baza veća od logaritamskog broja;
c) pošto 3,1 i 0,8 leže na suprotnim stranama jedinice;
G) ; Zašto?
d) ; Zašto?
Sljedeća svojstva 4-6 se često nazivaju pravilima logaritmiranja: ona omogućavaju, znajući logaritme nekih brojeva, da se pronađu logaritmi njihovog proizvoda, količnika i stepena svakog od njih.
Svojstvo 4 (pravilo logaritma proizvoda). Logaritam proizvoda nekoliko pozitivnih brojeva po ovu osnovu jednak zbiru logaritme ovih brojeva na istu bazu.
Dokaz. Neka su dati brojevi pozitivni.
Za logaritam njihovog proizvoda zapisujemo jednakost (26.1) koja definira logaritam:
Odavde ćemo naći
Upoređujući eksponente prvog i posljednjeg izraza, dobijamo traženu jednakost:
Imajte na umu da je uslov bitan; logaritam proizvoda dva negativni brojevi ima smisla, ali u ovom slučaju dobijamo
Općenito, ako je proizvod nekoliko faktora pozitivan, tada je njegov logaritam jednak zbroju logaritama apsolutnih vrijednosti ovih faktora.
Svojstvo 5 (pravilo za uzimanje logaritama količnika). Logaritam količnika pozitivnih brojeva jednak je razlici između logaritama dividende i djelitelja, uzetih na istu bazu. Dokaz. Konstantno nalazimo
Q.E.D.
Svojstvo 6 (pravilo logaritma stepena). Logaritam stepena bilo kojeg pozitivnog broja jednak je logaritmu tog broja pomnoženom sa eksponentom.
Dokaz. Napišimo ponovo glavni identitet (26.1) za broj:
Q.E.D.
Posljedica. Logaritam korijena pozitivnog broja jednak je logaritmu radikala podijeljenom sa eksponentom korijena:
Valjanost ovog zaključka može se dokazati zamišljanjem kako i korištenjem svojstva 6.
Primjer 4. Uzmite logaritam za bazu a:
a) (pretpostavlja se da su sve vrijednosti b, c, d, e pozitivne);
b) (pretpostavlja se da ).
Rješenje, a) Zgodno je prijeći na razlomke u ovom izrazu:
Na osnovu jednakosti (26.5)-(26.7), sada možemo napisati:
Primjećujemo da se nad logaritmima brojeva izvode jednostavnije operacije nego nad samim brojevima: pri množenju brojeva se sabiraju njihovi logaritmi, pri dijeljenju oduzimaju itd.
Zbog toga se u računarskoj praksi koriste logaritmi (vidi paragraf 29).
Inverzno djelovanje logaritma naziva se potenciranje, naime: potenciranje je radnja kojom se sam broj nalazi iz datog logaritma broja. U suštini, potenciranje nije posebna akcija: svodi se na podizanje baze na stepen (jednak logaritmu broja). Termin "potenciranje" može se smatrati sinonimom za izraz "potenciranje".
Prilikom potenciranja morate koristiti pravila inverzna pravilima logaritma: zamijenite zbir logaritama logaritmom umnoška, razliku logaritama logaritmom količnika, itd. Posebno, ako je ispred faktora znaka logaritma, onda se tokom potenciranja mora preneti na stepene eksponenta pod znakom logaritma.
Primjer 5. Naći N ako je to poznato
Rješenje. U vezi sa upravo navedenim pravilom potenciranja, faktore 2/3 i 1/3 koji stoje ispred predznaka logaritama na desnoj strani ove jednakosti prenećemo u eksponente pod predznacima ovih logaritama; dobijamo
Sada zamjenjujemo razliku logaritama sa logaritmom količnika:
da bismo dobili posljednji razlomak u ovom lancu jednakosti, oslobodili smo prethodni razlomak od iracionalnosti u nazivniku (klauzula 25).
Svojstvo 7. Ako je baza veća od jedan, onda veći broj ima veći logaritam (a manji broj ima manji), ako je baza manja od jedan, onda veći broj ima manji logaritam (a manji broj ima veći).
Ovo svojstvo je također formulirano kao pravilo za uzimanje logaritama nejednačina, čije su obje strane pozitivne:
Kada se logaritam nejednakosti na osnovicu veću od jedan, čuva se znak nejednakosti, a kada se logaritam na osnovicu manju od jedan, predznak nejednakosti se mijenja u suprotan (vidi i paragraf 80).
Dokaz se zasniva na svojstvima 5 i 3. Razmotrimo slučaj kada Ako , tada i, uzimajući logaritme, dobijamo
(a i N/M leže na istoj strani jedinice). Odavde
Slučaj a slijedi, čitalac će to sam shvatiti.
Kako se društvo razvijalo i proizvodnja postajala složenija, razvijala se i matematika. Kretanje od jednostavnog ka složenom. Od običnog računovodstva metodom sabiranja i oduzimanja, uz njihovo višestruko ponavljanje, došli smo do pojma množenja i dijeljenja. Smanjenje ponovljene operacije množenja postalo je koncept eksponencijalnosti. Prve tabele zavisnosti brojeva od baze i broja eksponencijalnosti sastavio je još u 8. veku indijski matematičar Varasena. Od njih možete računati vrijeme pojavljivanja logaritama.
Istorijska skica
Preporod Evrope u 16. veku takođe je podstakao razvoj mehanike. T zahtevala veliku količinu proračuna vezano za množenje i dijeljenje višecifrenih brojeva. Drevni stolovi bili su od velike pomoći. Omogućili su zamjenu složenih operacija jednostavnijim - zbrajanjem i oduzimanjem. Veliki iskorak bio je rad matematičara Michaela Stiefela, objavljen 1544. godine, u kojem je realizovao ideju mnogih matematičara. To je omogućilo korištenje tablica ne samo za stepene u obliku prostih brojeva, već i za proizvoljne racionalne.
Godine 1614, Škot Džon Napier, razvijajući ove ideje, prvi je uveo novi termin „logaritam broja“. Novo složene tablice za izračunavanje logaritama sinusa i kosinusa, kao i tangenta. To je znatno smanjilo rad astronoma.
Počele su da se pojavljuju nove tablice koje su naučnici uspješno koristili tri stoljeća. Mnogo je vremena prošlo ranije nova operacija u algebri je dobio svoj potpuni oblik. Data je definicija logaritma i proučavana su njegova svojstva.
Tek u 20. veku, sa pojavom kalkulatora i kompjutera, čovečanstvo je napustilo drevne tablice koje su uspešno radile tokom 13. veka.
Danas logaritam od b na bazi a nazivamo brojem x koji je snaga a da bi se stvorilo b. Ovo je zapisano kao formula: x = log a(b).
Na primjer, log 3(9) bi bio jednak 2. Ovo je očigledno ako slijedite definiciju. Ako podignemo 3 na stepen 2, dobićemo 9.
Dakle, formulirana definicija postavlja samo jedno ograničenje: brojevi a i b moraju biti realni.
Vrste logaritama
Klasična definicija se zove realni logaritam i zapravo je rješenje jednadžbe a x = b. Opcija a = 1 je granična i nije od interesa. Pažnja: 1 na bilo koji stepen je jednako 1.
Realna vrijednost logaritma definiran samo kada su baza i argument veći od 0, a baza ne smije biti jednaka 1.
Posebno mjesto u oblasti matematike igrajte logaritme, koji će se imenovati ovisno o veličini njihove baze:
Pravila i ograničenja
Osnovno svojstvo logaritama je pravilo: logaritam proizvoda jednak je logaritamskom zbroju. log abp = log a(b) + log a(p).
Kao varijanta ove izjave biće: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), kvocijentna funkcija je jednaka razlici funkcija.
Iz prethodna dva pravila lako je vidjeti da je: log a(b p) = p * log a(b).
Ostala svojstva uključuju:
Komentar. Nema potrebe praviti uobičajenu grešku - logaritam zbira nije jednak zbiru logaritama.
Tokom mnogih stoljeća, operacija pronalaženja logaritma bila je prilično dugotrajan zadatak. Koristili su matematičari dobro poznata formula logaritamska teorija polinomske ekspanzije:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), gdje je n - prirodni broj veći od 1, što određuje tačnost proračuna.
Logaritmi s drugim bazama izračunati su korištenjem teoreme o prijelazu s jedne baze na drugu i svojstva logaritma proizvoda.
Budući da je ova metoda vrlo radno intenzivna i prilikom rješavanja praktičnih problema teška za implementaciju, koristili smo unaprijed sastavljene tabele logaritama, što je značajno ubrzalo sav rad.
U nekim slučajevima korišteni su posebno dizajnirani logaritamski grafovi koji su davali manju preciznost, ali znatno ubrzavali pretragu željenu vrijednost. Kriva funkcije y = log a(x), konstruisana preko nekoliko tačaka, omogućava vam da koristite regularni lenjir da pronađete vrednost funkcije u bilo kojoj drugoj tački. Inženjeri dugo vrijeme U te svrhe korišten je tzv.
U 17. veku pojavili su se prvi pomoćni analogni računarski uslovi, koji 19. vek dobio gotov izgled. Najuspješniji uređaj zvao se klizač. Unatoč jednostavnosti uređaja, njegov izgled značajno je ubrzao proces svih inženjerskih proračuna, a to je teško precijeniti. Trenutno je malo ljudi upoznato s ovim uređajem.
Pojava kalkulatora i kompjutera učinila je besmislenom upotrebu bilo kojih drugih uređaja.
Jednačine i nejednačine
Za rješavanje različitih jednadžbi i nejednačina pomoću logaritama koriste se sljedeće formule:
- Kretanje s jedne baze na drugu: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Kao posljedica prethodne opcije: log a(b) = 1 / log b(a).
Za rješavanje nejednakosti korisno je znati:
- Vrijednost logaritma će biti pozitivna samo ako su baza i argument veći ili manji od jedan; ako je barem jedan uvjet prekršen, vrijednost logaritma će biti negativna.
- Ako je funkcija logaritma primijenjena na desnu i lijevu stranu nejednakosti, a baza logaritma je veća od jedan, onda je znak nejednakosti sačuvan; inače se menja.
Problemi sa uzorcima
Razmotrimo nekoliko opcija za korištenje logaritama i njihovih svojstava. Primjeri sa rješavanjem jednadžbi:
Razmotrimo opciju stavljanja logaritma u stepen:
- Zadatak 3. Izračunajte 25^log 5(3). Rešenje: u uslovima problema, unos je sličan sledećem (5^2)^log5(3) ili 5^(2 * log 5(3)). Zapišimo to drugačije: 5^log 5(3*2), ili kvadrat broja kao argument funkcije može se napisati kao kvadrat same funkcije (5^log 5(3))^2. Koristeći svojstva logaritma, ovaj izraz je jednak 3^2. Odgovor: kao rezultat izračuna dobijamo 9.
Praktična upotreba
Budući da je čisto matematički alat, izgleda daleko od toga pravi zivot koji je logaritam iznenada stekao veliki značaj za opisivanje objekata iz stvarnog svijeta. Teško je naći nauku u kojoj se ne koristi. Ovo se u potpunosti odnosi ne samo na prirodna, već i na humanitarna polja znanja.
Logaritamske zavisnosti
Navedimo nekoliko primjera numeričke zavisnosti:
Mehanika i fizika
Istorijski gledano, mehanika i fizika su se uvijek razvijale korištenjem matematičke metode istraživanja i istovremeno je poslužio kao poticaj za razvoj matematike, uključujući i logaritme. Teorija većine zakona fizike napisana je jezikom matematike. Navedimo samo dva primjera opisa fizički zakoni koristeći logaritam.
Problem izračunavanja tako složene veličine kao što je brzina rakete može se riješiti korištenjem formule Tsiolkovsky, koja je postavila temelje za teoriju istraživanja svemira:
V = I * ln (M1/M2), gdje je
- V je konačna brzina aviona.
- I – specifični impuls motora.
- M 1 – početna masa rakete.
- M 2 – konačna masa.
Još jedan važan primjer- ovo se koristi u formuli drugog velikog naučnika Maxa Plancka, koja služi za procjenu stanja ravnoteže u termodinamici.
S = k * ln (Ω), gdje je
- S – termodinamičko svojstvo.
- k – Boltzmannova konstanta.
- Ω je statistička težina različitih stanja.
hemija
Manje očigledna je upotreba formula u hemiji koje sadrže omjer logaritama. Navedimo samo dva primjera:
- Nernstova jednadžba, stanje redoks potencijala medija u odnosu na aktivnost supstanci i konstantu ravnoteže.
- Proračun takvih konstanti kao što su indeks autolize i kiselost otopine također se ne može obaviti bez naše funkcije.
Psihologija i biologija
I uopće nije jasno kakve veze psihologija ima s tim. Pokazalo se da je jačina osjeta dobro opisana ovom funkcijom kao inverzni omjer vrijednosti intenziteta stimulusa prema nižoj vrijednosti intenziteta.
Nakon gore navedenih primjera, više ne čudi što se tema logaritma široko koristi u biologiji. O biološkim oblicima koji odgovaraju logaritamskim spiralama mogli bi se napisati čitavi tomovi.
Ostala područja
Čini se da je postojanje svijeta nemoguće bez veze s ovom funkcijom, a ona vlada svim zakonima. Pogotovo kada su u vezi sa zakonima prirode geometrijska progresija. Vrijedi se obratiti na web stranicu MatProfi, a takvih primjera ima mnogo u sljedećim područjima djelovanja:
Lista može biti beskonačna. Nakon što ste savladali osnovne principe ove funkcije, možete uroniti u svijet beskonačne mudrosti.
Danas ćemo razgovarati o logaritamske formule a mi ćemo dati indikativno primjeri rješenja.
Oni sami po sebi podrazumijevaju obrasce rješenja prema osnovnim svojstvima logaritama. Prije primjene logaritamskih formula za rješavanje, podsjetimo vas na sva svojstva:
Sada ćemo na osnovu ovih formula (osobina) pokazati primjeri rješavanja logaritma.
Primjeri rješavanja logaritama na osnovu formula.
Logaritam pozitivan broj b na bazi a (označen log a b) je eksponent na koji se a mora podići da bi se dobilo b, sa b > 0, a > 0 i 1.
Prema definiciji, log a b = x, što je ekvivalentno a x = b, dakle log a a x = x.
Logaritmi, primjeri:
log 2 8 = 3, jer 2 3 = 8
log 7 49 = 2, jer 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, jer 5 -1 = 1/5
Decimalni logaritam- ovo je običan logaritam čija je baza 10. Označava se kao lg.
log 10 100 = 2, jer 10 2 = 100
Prirodni logaritam- takođe običan logaritam, logaritam, ali sa osnovom e (e = 2,71828... - iracionalan broj). Označeno kao ln.
Preporučljivo je zapamtiti formule ili svojstva logaritama, jer će nam kasnije trebati pri rješavanju logaritama, logaritamskih jednadžbi i nejednačina. Proradimo ponovo kroz svaku formulu s primjerima.
- Osnovni logaritamski identitet
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logaritam proizvoda jednak je zbiru logaritama
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
- Logaritam količnika jednak je razlici logaritama
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Svojstva stepena logaritamskog broja i baze logaritma
Eksponent logaritma log brojevi a b m = mlog a b
Eksponent baze logaritma log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
ako je m = n, dobijamo log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Prelazak na novu osnovu
log a b = log c b/log c a,ako je c = b, dobijamo log b b = 1
tada je log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Kao što vidite, formule za logaritme nisu tako komplikovane kao što se čine. Sada, nakon što smo pogledali primjere rješavanja logaritama, možemo prijeći na logaritamske jednadžbe. Detaljnije ćemo pogledati primjere rješavanja logaritamskih jednadžbi u članku: "". Ne propustite!
Ako i dalje imate pitanja o rješenju, napišite ih u komentarima na članak.
Napomena: odlučili smo da dobijemo drugu klasu obrazovanja i studiramo u inostranstvu kao opciju.
Logaritam pozitivnog broja b prema bazi a (a>0, a nije jednako 1) je broj c takav da je a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Imajte na umu da je logaritam nepozitivnog broja nedefiniran. Osim toga, baza logaritma mora biti pozitivan broj koji nije jednak 1. Na primjer, ako kvadriramo -2, dobićemo broj 4, ali to ne znači da je logaritam na osnovu -2 od 4 je jednako 2.
Osnovni logaritamski identitet
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Važno je da je obim definicije desne i lijeve strane ove formule različit. Lijeva strana definisano samo za b>0, a>0 i a ≠ 1. Desni deo je definiran za bilo koje b, ali uopće ne ovisi o a. Dakle, primjena osnovnog logaritamskog “identiteta” pri rješavanju jednačina i nejednačina može dovesti do promjene OD-a.
Dvije očigledne posljedice definicije logaritma
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Zaista, kada broj a podignemo na prvi stepen, dobijamo isti broj, a kada ga podignemo na nulti stepen dobijamo jedan.
Logaritam proizvoda i logaritam količnika
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)
Želio bih upozoriti školarce da ne bezobzirno koriste ove formule prilikom rješavanja logaritamskih jednačina i nejednačina. Kada ih koristite “s lijeva na desno”, ODZ se sužava, a kada se prelazi sa zbira ili razlike logaritama na logaritam proizvoda ili količnika, ODZ se širi.
Zaista, izraz log a (f (x) g (x)) je definiran u dva slučaja: kada su obje funkcije striktno pozitivne ili kada su f(x) i g(x) oba manje od nule.
Transformirajući ovaj izraz u zbir log a f (x) + log a g (x), primorani smo da se ograničimo samo na slučaj kada je f(x)>0 i g(x)>0. Dolazi do sužavanja raspona prihvatljivih vrijednosti, a to je kategorički neprihvatljivo, jer može dovesti do gubitka rješenja. Sličan problem postoji i za formulu (6).
Stepen se može izvaditi iz predznaka logaritma
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)I opet bih želeo da pozovem na tačnost. Razmotrite sljedeći primjer:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Lijeva strana jednakosti je očito definirana za sve vrijednosti f(x) osim nule. Desna strana je samo za f(x)>0! Izuzimanjem stepena iz logaritma, ponovo sužavamo ODZ. Obrnuti postupak dovodi do proširenja raspona prihvatljivih vrijednosti. Sve ove primjedbe ne odnose se samo na snagu 2, već i na bilo koju ravnomjernu snagu.
Formula za prelazak na novu osnovu
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Taj rijedak slučaj kada se ODZ ne mijenja tokom transformacije. Ako ste mudro odabrali bazu c (pozitivna i nije jednaka 1), formula za prelazak na novu bazu je potpuno sigurna.
Ako odaberemo broj b kao novu bazu c, dobićemo važan poseban slučaj formule (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Nekoliko jednostavnih primjera s logaritmima
Primjer 1. Izračunajte: log2 + log50.
Rješenje. log2 + log50 = log100 = 2. Koristili smo zbir logaritama formule (5) i definiciju decimalnog logaritma.
Primjer 2. Izračunajte: lg125/lg5.
Rješenje. log125/log5 = log 5 125 = 3. Koristili smo formulu za prelazak na novu bazu (8).
Tabela formula vezanih za logaritme
| a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
| log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
| log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
| log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
| log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
| log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
