Oznaka: lokalni maksimum. Ekstremi, najveće i najmanje vrijednosti funkcija

Promjena funkcije u određenoj tački definirana je kao granica prirasta funkcije na prirast argumenta, koji teži nuli. Da biste ga pronašli, koristite tabelu izvedenica. Na primjer, derivacija funkcije y = x3 bit će jednaka y’ = x2.

Izjednačite ovu derivaciju sa nulom (in u ovom slučaju x2=0).

Pronađite vrijednost date varijable. To će biti vrijednosti na kojima će dati izvod biti jednak 0. Da biste to učinili, zamijenite proizvoljne brojeve u izraz umjesto x, pri čemu će cijeli izraz postati nula. na primjer:

2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

Dobijene vrijednosti ucrtajte na koordinatnu liniju i izračunajte predznak derivacije za svaku od dobijenih vrijednosti. Na koordinatnoj liniji su označene tačke koje se uzimaju kao ishodište. Da biste izračunali vrijednost u intervalima, zamijenite proizvoljne vrijednosti koje odgovaraju kriterijima. Na primjer, za prethodnu funkciju prije intervala -1, možete odabrati vrijednost -2. Za vrijednosti od -1 do 1 možete odabrati 0, a za vrijednosti veće od 1 odabrati 2. Zamijenite ove brojeve u izvod i saznajte predznak izvoda. U ovom slučaju, derivacija sa x = -2 će biti jednaka -0,24, tj. negativan i na ovom intervalu će biti znak minus. Ako je x=0, tada će vrijednost biti jednaka 2, a na ovom intervalu se stavlja znak. Ako je x=1, onda će izvod također biti jednak -0,24 i stavlja se minus.

Ako pri prolasku kroz tačku na koordinatnoj liniji derivacija promijeni svoj predznak s minusa na plus, onda je ovo minimalna točka, a ako je od plusa u minus, onda je ovo maksimalna točka.

Video na temu

Koristan savjet

Da biste pronašli derivat, postoje online servisi koji izračunavaju tražene vrijednosti i prikažite rezultat. Na takvim stranicama možete pronaći derivate do 5. reda.

Izvori:

• Jedan od servisa za obračun derivata
• maksimalna tačka funkcije

Maksimalne tačke funkcije, zajedno sa minimalnim tačkama, nazivaju se tačke ekstrema. U tim točkama funkcija mijenja svoje ponašanje. Ekstremi se određuju u ograničenim numeričkim intervalima i uvijek su lokalni.

Uputstva

Proces pronalaženja lokalnih ekstrema naziva se funkcija i izvodi se analizom prvog i drugog izvoda funkcije. Prije početka studije, provjerite da li navedeni raspon vrijednosti argumenata pripada važećim vrijednostima. Na primjer, za funkciju F=1/x argument x=0 nije valjan. Ili za funkciju Y=tg(x) argument ne može imati vrijednost x=90°.

Uvjerite se da je funkcija Y diferencibilna u cijelom danom intervalu. Nađite prvi izvod od Y." Očigledno, prije nego što dođe do tačke lokalnog maksimuma, funkcija raste, a pri prolasku kroz maksimum funkcija postaje opadajuća. Prvi izvod u njenom fizičko značenje karakterizira brzinu promjene funkcije. Dok se funkcija povećava, brzina ovog procesa je pozitivna. Prilikom prolaska kroz lokalni maksimum, funkcija počinje opadati, a brzina promjene funkcije postaje negativna. Prijelaz brzine promjene funkcije kroz nulu događa se u tački lokalnog maksimuma.

Za funkciju f(x) mnogih varijabli, tačka x je vektor, f'(x) je vektor prvih izvoda (gradijent) funkcije f(x), f ′ ′(x) je simetrična matrica drugog parcijalne derivacije (Hessian matrica - Hessian) funkcije f(x).
Za funkciju mnogih varijabli, uslovi optimalnosti su formulisani na sledeći način.
Neophodan uslov za lokalnu optimalnost. Neka je f(x) diferencijabilna u tački x * R n . Ako je x * tačka lokalnog ekstrema, tada je f’(x *) = 0.
Kao i ranije, tačke koje su rješenja sistema jednačina nazivaju se stacionarnim. Priroda stacionarne tačke x * povezana je sa definitivnim predznakom Hesove matrice f′ ′(x).
Predznak matrice A zavisi od predznaka kvadratnog oblika Q(α)=< α A, α >za sve α∈R n različite od nule.
Ovdje i dalje kroz označava skalarni proizvod vektora x i y. po definiciji,

Matrica A je pozitivna (nenegativna) određena ako je Q(α)>0 (Q(α)≥0) za sve α∈R n koje nisu nula; negativno (nepozitivno) određeno ako Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 za neke različite α∈R n i Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Dovoljan uslov za lokalnu optimalnost. Neka je f(x) dvaput diferencibilan u tački x * R n, a f’(x *)=0, tj. x * − stacionarna tačka. Zatim, ako je matrica f′′(x *) pozitivna (negativna) definitivna, tada je x * lokalna minimalna (maksimalna) tačka; ako je matrica f′′(x *) nedefinirana, tada je x * sedla.
Ako je matrica f′′(x *) nenegativno (ne-pozitivno) određena, tada je za određivanje prirode stacionarne tačke x * potrebno proučavanje derivata višeg reda.
Za provjeru predznaka matrice, u pravilu se koristi Sylvesterov kriterij. Prema ovom kriteriju, simetrična matrica A je pozitivno određena ako i samo ako su svi njeni ugaoni minori pozitivni. U ovom slučaju, ugaoni minor matrice A je determinanta matrice konstruisane od elemenata matrice A koji se nalaze na preseku redova i kolona sa istim (i prvim) brojevima. Da biste provjerili simetričnu matricu A za negativnu određenost, trebate provjeriti matricu (−A) za pozitivnu određenost.
Dakle, algoritam za određivanje lokalnih ekstremnih tačaka funkcije mnogih varijabli je sljedeći.
1. Pronađite f′(x).
2. Sistem se rješava

Kao rezultat, izračunavaju se stacionarne tačke x i.
3. Naći f′′(x), postaviti i=1.
4. Pronađite f′′(x i)
5. Izračunavaju se ugaoni minori matrice f′′(x i). Ako nisu svi ugaoni minori različiti od nule, tada određivanje prirode stacionarne tačke x i zahtijeva proučavanje derivata višeg reda. U tom slučaju se vrši prijelaz na korak 8.
U suprotnom, idite na korak 6.
6. Analiziraju se predznaci ugaonih minora f′′(x i). Ako je f′′(x i) pozitivno određen, tada je x i lokalna minimalna tačka. U tom slučaju se vrši prijelaz na korak 8.
U suprotnom, idite na korak 7.
7. Izračunavaju se ugaoni minori matrice -f′′(x i) i analiziraju se njihovi predznaci.
Ako je -f′′(x i) − pozitivno određen, tada je f′′(x i) negativno određen i x i je lokalna tačka maksimuma.
Inače f′′(x i) je nedefinisano, a x i je sedlo.
8. Provjerava se uvjet za određivanje prirode svih stacionarnih tačaka i=N.
Ako je zadovoljeno, onda je proračun završen.
Ako uvjet nije ispunjen, tada se pretpostavlja i=i+1 i vrši se prijelaz na korak 4.

Primjer br. 1. Odrediti tačke lokalnih ekstrema funkcije f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2









Pošto su svi ugaoni minori različiti od nule, karakter x 2 se određuje pomoću f′′(x).
Pošto je matrica f′′(x 2) pozitivno određena, x 2 je lokalna minimalna tačka.
Odgovor: funkcija f(x) = x 1 3 – 2x 1 x 2 + x 2 2 – 3x 1 – 2x 2 ima lokalni minimum u tački x = (5/3; 8/3).

MAKSIMALNI I MINIMALNI BODOVI

tačke u kojima uzima najveći ili najmanju vrijednost na domenu definicije; takve tačke se nazivaju takođe tačke apsolutnog maksimuma ili apsolutnog minimuma. Ako je f definiran na topološkom prostor X, zatim tačka x 0 pozvao tačka lokalnog maksimuma (lokalnog minimuma), ako takva tačka postoji x 0, da je za ograničenje razmatrane funkcije na ovu okolinu tačka x 0 je apsolutni maksimum (minimum) tačka. Postoje tačke striktnog i nestrogog maksimuma (minimuma) (apsolutne i lokalne). Na primjer, dot call tačka nestrogog (strogog) lokalnog maksimuma funkcije f, ako postoji takva okolina tačke x 0,što važi za sve (odnosno f(x) x 0). )/

Za funkcije definisane na konačno-dimenzionalnim domenima, u terminima diferencijalnog računa, postoje uslovi i predznaci da data tačka bude tačka lokalnog maksimuma (minimuma). Neka je funkcija f definirana u određenom susjedstvu tačke x 0 brojevne ose. Ako x 0 - tačka nestriktnog lokalnog maksimuma (minimuma) i u ovoj tački postoji f"( x 0), onda je jednako nuli.

Ako je data funkcija f diferencijabilna u susjedstvu tačke x 0 , osim, možda, same ove tačke, u kojoj je kontinuirana, i derivacije f" sa svake strane tačke x 0 u ovom susjedstvu zadržava stalni predznak, zatim kako bi x 0 bila tačka strogog lokalnog maksimuma (lokalnog minimuma), potrebno je i dovoljno da derivacija promeni predznak sa plusa na minus, odnosno za f" (x)>0 na x<.x 0 i f"(x)<0 при x>x 0(od minusa do plusa: f"(X) <0 na x<x 0 i f"(x)>0 at x>x 0). Međutim, ne za svaku funkciju diferencibilnu u susjedstvu tačke x 0 , u ovom trenutku možemo govoriti o promeni predznaka derivacije. . "

Ako funkcija f ima u tački x 0 t derivati, a zatim kako bi se x 0 bila tačka strogog lokalnog maksimuma, potrebno je i dovoljno da te bude paran i da je f (m) ( x 0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x 0)>0.

Neka funkcija f( x 1 ..., x n] je definisan u n-dimenzionalnoj okolini tačke i diferencibilan je u ovoj tački. Ako je x (0) tačka nestrogog lokalnog maksimuma (minimuma), tada je funkcija f u ovoj tački jednaka nuli. Ovaj uslov je ekvivalentan jednakosti nuli u ovoj tački svih parcijalnih izvoda 1. reda funkcije f. Ako funkcija ima 2. kontinuirane parcijalne izvode na x(0), svi njeni 1. izvodi na x(0) nestaju, a diferencijal 2. reda na x(0) je negativan (pozitivan) kvadratni oblik, tada je x (0) je tačka strogog lokalnog maksimuma (minimuma). Poznati su uvjeti za M. i M.T. diferencijabilne funkcije, kada su nametnuta određena ograničenja na promjene argumenata: jednačine veze su zadovoljene. Neophodni i dovoljni uslovi za maksimum (minimum) realne funkcije, koja ima složeniju strukturu, proučavaju se u posebnim granama matematike: npr. konveksna analiza, matematičko programiranje(vidi takođe Maksimizacija i minimiziranje funkcija). M. i m.t funkcije definisane na mnogostrukostima se proučavaju u račun varijacija općenito, a M. i m.t. za funkcije definirane na funkcijskim prostorima, tj. za funkcije u račun varijacija. Postoje također razne metode numeričko približno određivanje m.t.

Lit.: Il'in V. A., Poznya k E. G., Osnove matematička analiza, 3. izd., 1. dio, M., 1971; KudryavtsevL. L. D. Kudryavtsev.

Matematička enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija.

I. M. Vinogradov.

1977-1985. Pogledajte šta su "MAKSIMALNI I MINIMALNI BODOVI" u drugim rječnicima:

Pontrijaginov diskretni princip maksimuma za vremensko diskretne procese upravljanja. Za takav proces, operator konačne razlike možda neće vrijediti, iako za njegov kontinuirani analog, dobiven zamjenom operatora konačne razlike diferencijalnim... ... Pogledajte šta su "MAKSIMALNI I MINIMALNI BODOVI" u drugim rječnicima:

Mathematical Encyclopedia Pogledajte šta su "MAKSIMALNI I MINIMALNI BODOVI" u drugim rječnicima:

Teorema koja izražava jedno od glavnih svojstava analitičkog modula. funkcije. Neka je f(z) regularna analitička, ili holomorfna, funkcija kompleksnih varijabli u domenu D-kompleksnog brojevnog prostora različitog od konstante, M.m.p. Pogledajte šta su "MAKSIMALNI I MINIMALNI BODOVI" u drugim rječnicima:

Vrijednost kontinuirane funkcije koja je maksimum ili minimum (pogledajte Maksimalne i Minimalne tačke). Termin lE... Pogledajte šta su "MAKSIMALNI I MINIMALNI BODOVI" u drugim rječnicima:

Indikator- (Indikator) Indikator je informacioni sistem, supstanca, uređaj, uređaj koji prikazuje promjene u bilo kojem parametru indikatora na Forex tržištu valuta, šta su i gdje se mogu preuzeti? Opis MACD indikatora, ... ... Investor Encyclopedia

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Ekstrem (značenja). Ekstremum (lat. extremum extreme) u matematici je maksimalna ili minimalna vrijednost funkcije na datom skupu. Tačka u kojoj se dostiže ekstrem... ... Wikipedia

Diferencijalni račun je grana matematičke analize koja proučava koncepte derivacije i diferencijala i kako se oni primjenjuju na proučavanje funkcija. Sadržaj 1 Diferencijalni račun funkcija jedne varijable ... Wikipedia

Lemniskata i njeni fokusi Bernulijeva lemniskata je ravna algebarska kriva. Definiše se kao lokus tačaka, proizvod... Wikipedia

Divergencija- (Divergencija) Divergencija kao indikator Strategija trgovanja sa MACD divergencijom Sadržaj Sadržaj Odjeljak 1. on. Odjeljak 2. Divergencija kako. Divergencija je termin koji se koristi u ekonomiji za označavanje kretanja duž divergentnih ... ... Investor Encyclopedia

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Kažu da $f$ ima lokalni maksimum u tački $x_(0) \u E$, ako postoji okolina $U$ tačke $x_(0)$ takva da je za sve $x \u U$ nejednakost $f\left(x\right) ) \leqslant f je zadovoljen \left(x_(0)\right)$.

Poziva se lokalni maksimum strog , ako se okolina $U$ može odabrati tako da za sve $x \u U$ različite od $x_(0)$ postoji $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Definicija
Neka je $f$ realna funkcija na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Kažu da $f$ ima lokalni minimum u tački $x_(0) \u E$, ako postoji okolina $U$ tačke $x_(0)$ takva da je za sve $x \u U$ nejednakost $f\left(x\right) ) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Lokalni minimum se naziva strogim ako se okolina $U$ može odabrati tako da za sve $x \in U$ različite od $x_(0)$ postoji $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\desno)$.

Lokalni ekstremum kombinuje koncepte lokalnog minimuma i lokalnog maksimuma.

Teorema ( neophodno stanje ekstrem diferencijabilne funkcije)
Neka je $f$ realna funkcija na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Ako u tački $x_(0) \u E$ funkcija $f$ ima lokalni ekstrem i u ovom trenutku, onda je $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Jednakost diferencijala sa nulom je ekvivalentna činjenici da su svi jednaki nuli, tj. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

U jednodimenzionalnom slučaju to je – . Označimo $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, gdje je $h$ proizvoljan vektor. Funkcija $\phi$ je definirana za vrijednosti od $t$ koje su dovoljno male apsolutne vrijednosti. Osim toga, s obzirom na , može se razlikovati, a $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Neka $f$ ima lokalni maksimum u tački x $0$. To znači da funkcija $\phi$ na $t = 0$ ima lokalni maksimum i, prema Fermatovom teoremu, $(\phi)’ \left(0\right)=0$.
Dakle, dobili smo da je $df \left(x_(0)\right) = 0$, tj. funkcija $f$ u tački $x_(0)$ jednaka je nuli na bilo kojem vektoru $h$.

Definicija
Tačke u kojima je diferencijal nula, tj. oni u kojima su sve parcijalne derivacije jednake nuli nazivaju se stacionarnim. Kritične tačke funkcije $f$ su one tačke u kojima $f$ nije diferencibilna ili je jednaka nuli. Ako je tačka stacionarna, onda iz ovoga ne slijedi da funkcija u ovoj tački ima ekstrem.

Primjer 1.
Neka je $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Tada je $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2) )$, pa je $\left(0,0\right)$ stacionarna tačka, ali funkcija nema ekstrem u ovoj tački. Zaista, $f \left(0,0\right) = 0$, ali je lako vidjeti da u bilo kojoj okolini tačke $\left(0,0\right)$ funkcija ima i pozitivne i negativne vrijednosti.

Primjer 2.
Funkcija $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ima stacionarnu tačku u svom početku, ali je jasno da u ovoj tački nema ekstrema.

Teorema (dovoljan uslov za ekstrem).
Neka je funkcija $f$ dvaput kontinuirano diferencibilna na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Neka je $x_(0) \in E$ stacionarna tačka i $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Onda

1. ako je $Q_(x_(0))$ – , tada funkcija $f$ u tački $x_(0)$ ima lokalni ekstrem, odnosno minimum ako je oblik pozitivno određen, a maksimum ako je oblik negativan definitivan;
2. ako je kvadratni oblik $Q_(x_(0))$ nedefiniran, tada funkcija $f$ u tački $x_(0)$ nema ekstrem.

Koristimo proširenje prema Taylorovoj formuli (12.7 str. 292). Uzimajući u obzir da su parcijalne derivacije prvog reda u tački $x_(0)$ jednake nuli, dobijamo $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ desno) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\desno)h^(i)h^(j),$$ gdje je $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, i $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ za $h \rightarrow 0$, zatim desnu stranuće biti pozitivan za bilo koji vektor $h$ dovoljno male dužine.
Dakle, došli smo do zaključka da u nekom susjedstvu tačke $x_(0)$ vrijedi nejednakost $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$, ako samo $ x \neq x_ (0)$ (stavimo $x=x_(0)+h$\desno). To znači da u tački $x_(0)$ funkcija ima strogi lokalni minimum i time je prvi dio naše teoreme dokazan.
Pretpostavimo sada da je $Q_(x_(0))$ – neodređeni oblik. Tada postoje vektori $h_(1)$, $h_(2)$ takvi da je $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. Tada dobijamo $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Za dovoljno mali $t>0$, desna strana je pozitivna. To znači da u bilo kojoj okolini tačke $x_(0)$ funkcija $f$ uzima vrijednosti $f \left(x\right)$ veće od $f \left(x_(0)\right)$.
Slično, nalazimo da u bilo kojoj okolini tačke $x_(0)$ funkcija $f$ uzima vrijednosti manje od $f \left(x_(0)\right)$. Ovo, zajedno sa prethodnim, znači da u tački $x_(0)$ funkcija $f$ nema ekstrem.

Hajde da razmotrimo poseban slučaj ove teoreme za funkciju $f \left(x,y\right)$ dvije varijable definirane u određenom susjedstvu tačke $\left(x_(0),y_(0)\right)$ i imaju kontinuirani parcijalni derivati ​​prvog u ovom susjedstvu i drugog reda. Pretpostavimo da je $\left(x_(0),y_(0)\right)$ stacionarna tačka i označimo $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) ), y_(0)\desno), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ Tada prethodna teorema poprima sljedeći oblik.

Teorema
Neka je $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. onda:

1. ako je $\Delta>0$, onda funkcija $f$ ima lokalni ekstrem u tački $\left(x_(0),y_(0)\right)$, naime, minimum ako $a_(11)> 0$ , a maksimum ako je $a_(11)<0$;
2. ako je $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Primjeri rješavanja problema

Algoritam za pronalaženje ekstrema funkcije mnogih varijabli:

1. Pronalaženje stacionarnih tačaka;
2. Pronađite diferencijal 2. reda u svim stacionarnim tačkama
3. Koristeći dovoljan uslov za ekstremum funkcije mnogih varijabli, razmatramo diferencijal 2. reda u svakoj stacionarnoj tački

1. Istražite funkciju za ekstrem $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Rješenje

   Nađimo parcijalne derivate 1. reda: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x.$$ Hajde da sastavimo i riješimo sistem: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(slučajevi) \Rightarrow \begin(slučajevi)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(slučajevi) \Rightarrow \begin(slučajevi)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(slučajevi)$$ Iz 2. jednačine izražavamo $x=4 \cdot y^(2)$ - zamijenimo je u 1. jednačinu: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Kao rezultat, dobijaju se 2 stacionarne tačke:
   1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   Provjerimo da li je ispunjen dovoljan uslov za ekstrem:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Za tačku $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Za tačku $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, što znači da u tački $M_(2)$ postoji ekstrem, a pošto $A_(2)> 0$, onda je ovo minimum.
   Odgovor: Tačka $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ je minimalna tačka funkcije $f$.
   

2. Istražite funkciju za ekstrem $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Rješenje

   Nađimo stacionarne tačke: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Sastavimo i riješimo sistem: $$\displaystyle \begin(slučajevi)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(slučajevi ) \ Desno \begin(slučajevi)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(slučajevi) \Strelica desno \begin(slučajevi) y = 2\\y + x = 1\kraj (slučajevi) \Strelica desno x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ je stacionarna tačka.
   Provjerimo da li je ispunjen dovoljan uslov za ekstrem: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Odgovor: nema ekstrema.
   

Vremensko ograničenje: 0

Navigacija (samo brojevi poslova)

0 od 4 zadatka završeno

Informacije

Riješite ovaj kviz da provjerite svoje znanje o temi koju ste upravo pročitali: Lokalni ekstremi funkcija višestrukih varijabli.

Već ste ranije polagali test. Ne možete ponovo pokrenuti.

Učitavanje testa...

Morate se prijaviti ili registrirati da biste započeli test.

Morate završiti sljedeće testove da biste započeli ovaj:

Rezultati

Tačni odgovori: 0 od 4

Vaše vrijeme:

Vrijeme je isteklo

Osvojili ste 0 od 0 poena (0)

Vaš rezultat je zabilježen na tabeli

1. Sa odgovorom
2. Sa oznakom za gledanje

Zadatak 1 od 4

1 .

Broj bodova: 1

Istražite funkciju $f$ za ekstreme: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

U redu


Pogrešno


1. Zadatak 2 od 4

   2 .

   Broj bodova: 1

   Da li funkcija $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ ima ekstrem

$E \subset \mathbb(R)^(n)$. Kažu da $f$ ima lokalni maksimum u tački $x_(0) \u E$, ako postoji okolina $U$ tačke $x_(0)$ takva da je za sve $x \u U$ nejednakost $f\left(x\right) ) \leqslant f je zadovoljen \left(x_(0)\right)$.

Poziva se lokalni maksimum strog , ako se okolina $U$ može odabrati tako da za sve $x \u U$ različite od $x_(0)$ postoji $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Definicija
Neka je $f$ realna funkcija na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Kažu da $f$ ima lokalni minimum u tački $x_(0) \u E$, ako postoji okolina $U$ tačke $x_(0)$ takva da je za sve $x \u U$ nejednakost $f\left(x\right) ) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Lokalni minimum se naziva strogim ako se okolina $U$ može odabrati tako da za sve $x \in U$ različite od $x_(0)$ postoji $f\left(x\right) > f\left(x_ ( 0)\desno)$.

Lokalni ekstremum kombinuje koncepte lokalnog minimuma i lokalnog maksimuma.

Teorema (neophodan uslov za ekstremum diferencijabilne funkcije)
Neka je $f$ realna funkcija na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Ako u tački $x_(0) \u E$ funkcija $f$ ima lokalni ekstrem u ovoj tački, tada je $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0.$$ Diferencijal jednak nuli je ekvivalentan činjenici da su svi jednaki nuli, tj. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

U jednodimenzionalnom slučaju to je – . Označimo $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, gdje je $h$ proizvoljan vektor. Funkcija $\phi$ je definirana za vrijednosti od $t$ koje su dovoljno male apsolutne vrijednosti. Osim toga, s obzirom na , može se razlikovati, a $(\phi)’ \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Neka $f$ ima lokalni maksimum u tački x $0$. To znači da funkcija $\phi$ na $t = 0$ ima lokalni maksimum i, prema Fermatovom teoremu, $(\phi)’ \left(0\right)=0$.
Dakle, dobili smo da je $df \left(x_(0)\right) = 0$, tj. funkcija $f$ u tački $x_(0)$ jednaka je nuli na bilo kojem vektoru $h$.

Definicija
Tačke u kojima je diferencijal nula, tj. oni u kojima su sve parcijalne derivacije jednake nuli nazivaju se stacionarnim. Kritične tačke funkcije $f$ su one tačke u kojima $f$ nije diferencibilna ili je jednaka nuli. Ako je tačka stacionarna, onda iz ovoga ne slijedi da funkcija u ovoj tački ima ekstrem.

Primjer 1.
Neka je $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Tada je $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2) )$, pa je $\left(0,0\right)$ stacionarna tačka, ali funkcija nema ekstrem u ovoj tački. Zaista, $f \left(0,0\right) = 0$, ali je lako vidjeti da u bilo kojoj okolini tačke $\left(0,0\right)$ funkcija ima i pozitivne i negativne vrijednosti.

Primjer 2.
Funkcija $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ ima stacionarnu tačku u svom početku, ali je jasno da u ovoj tački nema ekstrema.

Teorema (dovoljan uslov za ekstrem).
Neka je funkcija $f$ dvaput kontinuirano diferencibilna na otvorenom skupu $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Neka je $x_(0) \in E$ stacionarna tačka i $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Onda

1. ako je $Q_(x_(0))$ – , tada funkcija $f$ u tački $x_(0)$ ima lokalni ekstrem, odnosno minimum ako je oblik pozitivno određen, a maksimum ako je oblik negativan definitivan;
2. ako je kvadratni oblik $Q_(x_(0))$ nedefiniran, tada funkcija $f$ u tački $x_(0)$ nema ekstrem.

Koristimo proširenje prema Taylorovoj formuli (12.7 str. 292). Uzimajući u obzir da su parcijalne derivacije prvog reda u tački $x_(0)$ jednake nuli, dobijamo $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0)\ desno) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \partial x_ (j)) \left(x_(0)+\theta h\desno)h^(i)h^(j),$$ gdje je $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$, i $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ za $h \rightarrow 0$, tada će desna strana biti pozitivna za bilo koji vektor $h$ dovoljno male dužine.
Dakle, došli smo do zaključka da u nekom susjedstvu tačke $x_(0)$ vrijedi nejednakost $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$, ako samo $ x \neq x_ (0)$ (stavimo $x=x_(0)+h$\desno). To znači da u tački $x_(0)$ funkcija ima strogi lokalni minimum i time je prvi dio naše teoreme dokazan.
Pretpostavimo sada da je $Q_(x_(0))$ neodređeni oblik. Tada postoje vektori $h_(1)$, $h_(2)$ takvi da je $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>$0. Tada dobijamo $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ left[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Za dovoljno mali $t>0$, desna strana je pozitivna. To znači da u bilo kojoj okolini tačke $x_(0)$ funkcija $f$ uzima vrijednosti $f \left(x\right)$ veće od $f \left(x_(0)\right)$.
Slično, nalazimo da u bilo kojoj okolini tačke $x_(0)$ funkcija $f$ uzima vrijednosti manje od $f \left(x_(0)\right)$. Ovo, zajedno sa prethodnim, znači da u tački $x_(0)$ funkcija $f$ nema ekstrem.

Razmotrimo poseban slučaj ove teoreme za funkciju $f \left(x,y\right)$ dvije varijable, definirane u nekom susjedstvu tačke $\left(x_(0),y_(0)\right) )$ i imaju kontinuirane parcijalne izvode prvog i drugog reda. Pretpostavimo da je $\left(x_(0),y_(0)\right)$ stacionarna tačka i označimo $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^ (2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) ), y_(0)\desno), a_(22)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(x_(0), y_(0)\right ) .$$ Tada prethodna teorema poprima sljedeći oblik.

Teorema
Neka je $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. onda:

1. ako je $\Delta>0$, onda funkcija $f$ ima lokalni ekstrem u tački $\left(x_(0),y_(0)\right)$, naime, minimum ako $a_(11)> 0$ , a maksimum ako je $a_(11)<0$;
2. ako je $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Primjeri rješavanja problema

Algoritam za pronalaženje ekstrema funkcije mnogih varijabli:

1. Pronalaženje stacionarnih tačaka;
2. Pronađite diferencijal 2. reda u svim stacionarnim tačkama
3. Koristeći dovoljan uslov za ekstremum funkcije mnogih varijabli, razmatramo diferencijal 2. reda u svakoj stacionarnoj tački

1. Istražite funkciju za ekstrem $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Rješenje

   Nađimo parcijalne derivate 1. reda: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) - 6 \cdot x.$$ Hajde da sastavimo i riješimo sistem: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(slučajevi) \Rightarrow \begin(slučajevi)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x = 0\end(slučajevi) \Rightarrow \begin(slučajevi)x^(2) — 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) — x = 0 \end(slučajevi)$$ Iz 2. jednačine izražavamo $x=4 \cdot y^(2)$ - zamijenimo je u 1. jednačinu: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2) \right )^(2)-2 \cdot y=0$$ $$16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $ $y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Kao rezultat, dobijaju se 2 stacionarne tačke:
   1) $y=0 \Rightarrow x = 0, M_(1) = \left(0, 0\right)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \left(\frac(1)(2), 1\right)$
   Provjerimo da li je ispunjen dovoljan uslov za ekstrem:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Za tačku $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(0,0\right)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) — C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Za tačku $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(1,\frac(1)(2)\right)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, što znači da u tački $M_(2)$ postoji ekstrem, a pošto $A_(2)> 0$, onda je ovo minimum.
   Odgovor: Tačka $\displaystyle M_(2)\left(1,\frac(1)(2)\right)$ je minimalna tačka funkcije $f$.
   

2. Istražite funkciju za ekstrem $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Rješenje

   Nađimo stacionarne tačke: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \ cdot y + 2 \cdot x — 2.$$
   Sastavimo i riješimo sistem: $$\displaystyle \begin(slučajevi)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(slučajevi ) \ Desno \begin(slučajevi)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(slučajevi) \Strelica desno \begin(slučajevi) y = 2\\y + x = 1\kraj (slučajevi) \Strelica desno x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ je stacionarna tačka.
   Provjerimo da li je ispunjen dovoljan uslov za ekstrem: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0 ; B=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(-1,2\right)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B — C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Odgovor: nema ekstrema.
   

Vremensko ograničenje: 0

Navigacija (samo brojevi poslova)

0 od 4 zadatka završeno

Informacije

Riješite ovaj kviz da provjerite svoje znanje o temi koju ste upravo pročitali: Lokalni ekstremi funkcija višestrukih varijabli.

Već ste ranije polagali test. Ne možete ponovo pokrenuti.

Učitavanje testa...

Morate se prijaviti ili registrirati da biste započeli test.

Morate završiti sljedeće testove da biste započeli ovaj:

Rezultati

Tačni odgovori: 0 od 4

Vaše vrijeme:

Vrijeme je isteklo

Osvojili ste 0 od 0 poena (0)

Vaš rezultat je zabilježen na tabeli

1. Sa odgovorom
2. Sa oznakom za gledanje

Zadatak 1 od 4

1 .

Broj bodova: 1

Istražite funkciju $f$ za ekstreme: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

U redu


Pogrešno


1. Zadatak 2 od 4

   2 .

   Broj bodova: 1

   Da li funkcija $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$ ima ekstrem