Dom Umnjaci Lagrangeova metoda za rješavanje ekstrema. Uslovna optimizacija

Umnjaci

Lagrangeova metoda za rješavanje ekstrema. Uslovna optimizacija

Lagrangeova metoda množenja je klasična metoda za rješavanje problema matematičkog programiranja (posebno, konveksno programiranje). Nažalost, praktična primjena metode može naići na značajne računske poteškoće koje sužavaju obim njegove upotrebe. Ovdje razmatramo Lagrangeovu metodu uglavnom zato što je to aparat koji se aktivno koristi za potkrepljivanje različitih modernih numeričkih metoda koje se široko koriste u praksi. Što se tiče Lagrangeove funkcije i Lagrangeovih množitelja, oni igraju nezavisno i isključivo važnu ulogu u teoriji i primjeni ne samo matematičkog programiranja.

Razmotrimo klasični problem optimizacije

max (min) z=f(x) (7.20)

Ovaj problem se izdvaja od problema (7.18), (7.19) po tome što među ograničenjima (7.21) nema nejednakosti, nema uslova da varijable budu nenegativne, njihova diskretnost, a funkcije f(x) su kontinuirani i imaju parcijalne derivate najmanje drugog reda.

Klasični pristup rješavanju problema (7.20), (7.21) daje sistem jednačina ( neophodni uslovi), koji mora biti zadovoljen od strane tačke x*, koja daje funkciji f(x) lokalni ekstrem na skupu tačaka koje zadovoljavaju ograničenja (7.21) (za problem konveksnog programiranja, pronađena tačka x*, u skladu sa Teorema 7.6 će istovremeno biti tačka globalnog ekstremuma).

Pretpostavimo da u tački x* funkcija (7.20) ima lokalni uslovni ekstrem i rang matrice je jednak . Tada će potrebni uslovi biti napisani u obliku:

(7.22)

postoji Lagrangeova funkcija; - Lagranžovi množitelji.

Postoje i dovoljni uslovi pod kojima rešenje sistema jednačina (7.22) određuje tačku ekstrema funkcije f(x). Ovo pitanje je riješeno na temelju proučavanja predznaka drugog diferencijala Lagrangeove funkcije. Međutim, dovoljni uslovi su uglavnom od teorijskog interesa.

Možete odrediti sljedeću proceduru za rješavanje problema (7.20), (7.21) koristeći metodu Lagrangeovog množitelja:

1) sastaviti Lagrangeovu funkciju (7.23);

2) naći parcijalne izvode Lagrangeove funkcije u odnosu na sve varijable i postavite ih jednakima nuli. Ovo će rezultirati sistemom (7.22) koji se sastoji od jednačina. Riješite rezultujući sistem (ako se to pokaže mogućim!) i tako pronađite sve stacionarne tačke Lagrangeove funkcije;

3) iz stacionarnih tačaka uzetih bez koordinata izabrati tačke u kojima funkcija f(x) ima uslovne lokalne ekstreme u prisustvu ograničenja (7.21). Ovaj izbor se vrši, na primjer, korištenjem dovoljne uslove lokalni ekstrem. Često se studija pojednostavljuje ako se koriste specifični uslovi problema.

Primjer 7.3. Pronađite optimalnu distribuciju ograničenog resursa u jedinicama. između n potrošača, ako se dobit dobijena od alokacije x j jedinica resursa j-tom potrošaču izračunava po formuli .

Rješenje. Matematički model problema ima sljedeći oblik:

Sastavljamo Lagrangeovu funkciju:

Nalazimo parcijalne izvode Lagrangeove funkcije i izjednačiti ih sa nulom:

Rešavanjem ovog sistema jednačina dobijamo:

Dakle, ako su j-tom potrošaču dodijeljene jedinice. resursa, tada će ukupna dobit dostići svoju maksimalnu vrijednost i iznositi den. jedinice

Ispitali smo Lagrangeovu metodu primijenjenu na klasični problem optimizacije. Ova metoda se može generalizirati na slučaj kada su varijable nenegativne i neka ograničenja su data u obliku nejednakosti. Međutim, ova generalizacija je prvenstveno teorijska i ne dovodi do specifičnih računskih algoritama.

U zaključku, damo Lagrangeovim multiplikatorima ekonomsku interpretaciju. Da bismo to učinili, okrenimo se najjednostavnijem klasičnom problemu optimizacije

max (min) z=f(x 1 , X 2); (7.24)

𝜑(x 1, x 2)=b. (7.25)

Pretpostavimo da je uslovni ekstremum postignut u tački . Odgovarajuća ekstremna vrijednost funkcije f(x)

Pretpostavimo da je u ograničenjima (7.25) veličina b se mogu promijeniti, tada koordinate tačke ekstrema, a samim tim i ekstremna vrijednost f* funkcije f(x) će postati količine u zavisnosti od b, tj. ,, i stoga derivacija funkcije (7.24)

Razmotrimo linearnu nehomogenu diferencijalnu jednačinu prvog reda:
(1) .
Postoje tri načina za rješavanje ove jednačine:

metoda varijacije konstante (Lagrange).

Razmotrimo rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda korištenjem Lagrangeove metode.

Metoda varijacije konstante (Lagrange)

U metodi varijacije konstante rješavamo jednačinu u dva koraka. U prvoj fazi pojednostavljujemo originalna jednadžba i riješimo homogenu jednačinu. U drugoj fazi zamjenjujemo konstantu integracije dobivenu u prvoj fazi rješenja funkcijom. Onda tražimo opšte rešenje originalna jednadžba.

Razmotrimo jednačinu:
(1)

Korak 1 Rješavanje homogene jednadžbe

Tražimo rješenje homogene jednačine:

Ovo je jednadžba koja se može odvojiti

Razdvajamo varijable - pomnožimo sa dx, podijelimo sa y:

Hajde da integrišemo:

Integral preko y - tabelarni:

Onda

Potencirajmo:

Zamenimo konstantu e C sa C i uklonimo znak modula koji se svodi na množenje konstantom ±1, koje ćemo uključiti u C:

Korak 2 Zamijenite konstantu C sa funkcijom

Sada zamijenimo konstantu C funkcijom od x:
C → u (x)
Odnosno, tražit ćemo rješenje izvorne jednačine (1) u obliku:
(2)
Pronalaženje derivata.

Prema pravilu diferencijacije složene funkcije:
.
Prema pravilu diferencijacije proizvoda:

.
Zamijenite u originalnu jednačinu (1) :
(1) ;

.
Dva člana su smanjena:
;
.
Hajde da integrišemo:
.
Zamjena u (2) :
.
Kao rezultat, dobivamo opće rješenje linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda:
.

Primjer rješavanja linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda Lagrangeovom metodom

Riješite jednačinu

Rješenje

Rešavamo homogenu jednačinu:

Odvajamo varijable:

Pomnoži sa:

Hajde da integrišemo:

Tablični integrali:

Potencirajmo:

Zamenimo konstantu e C sa C i uklonimo znakove modula:

odavde:

Zamijenimo konstantu C funkcijom od x:
C → u (x)

Pronalaženje derivata:
.
Zamijenite u originalnu jednačinu:
;
;
Ili:
;
.
Hajde da integrišemo:
;
Rješenje jednadžbe:
.

Naziv parametra	Značenje
Tema članka:	Lagrangeova metoda.
Rubrika (tematska kategorija)	Matematika

Pronalaženje polinoma znači određivanje vrijednosti njegovog koeficijenta . Da biste to učinili, koristeći interpolacijski uvjet, možete formirati sistem linearnih algebarske jednačine(SLAU).

Determinanta ove SLAE se obično naziva Vandermondeova determinanta. Vandermondeova determinanta nije jednaka nuli za za , odnosno u slučaju kada nema odgovarajućih čvorova u tabeli za pretraživanje. Međutim, može se tvrditi da SLAE ima rješenje i ovo rješenje je jedinstveno. Nakon što smo riješili SLAE i odredili nepoznate koeficijente možete konstruisati interpolacioni polinom.

Polinom koji zadovoljava uslove interpolacije, kada je interpoliran Lagrangeovom metodom, konstruiše se u obliku linearne kombinacije polinoma n-tog stepena:

Polinomi se obično nazivaju osnovni polinomi. Da bi Lagrangeov polinom zadovoljava interpolacijske uslove, izuzetno je važno da njegovi osnovni polinomi zadovoljavaju sledećim uslovima:

Za .

Ako su ovi uslovi ispunjeni, onda za bilo koji imamo:

Štaviše, ispunjenje specificiranih uslova za osnovne polinome znači da su i uslovi interpolacije zadovoljeni.

Odredimo vrstu baznih polinoma na osnovu ograničenja koja su im nametnuta.

1. uslov: u .

2. uslov: .

Konačno, za osnovni polinom možemo napisati:

Zatim, zamjenom rezultirajućeg izraza za osnovne polinome u originalni polinom, dobivamo konačni oblik Lagrangeovog polinoma:

Određeni oblik Lagrangeovog polinoma na obično se naziva linearna interpolacija formula:

Lagrangeov polinom uzet na obično se naziva kvadratnom interpolacijskom formulom:

Lagrangeova metoda. - koncept i vrste. Klasifikacija i karakteristike kategorije "Lagrangeova metoda". 2017, 2018.

- Lagrangeova metoda (metoda varijacije proizvoljne konstante).

Linearni daljinski upravljači.

Definicija. DU tip tj. linearno u odnosu na nepoznatu funkciju i njen izvod se naziva linearnim.

Za rješenje ovog tipa razmotrit ćemo dvije metode: metodu Lagrangea i Bernoullijevu jednačinu. Ova jednačina je sa odvojivim varijablama. - Linearni sistemi upravljanja, homogeni i heterogeni. Koncept opšte odluke. Lagrangeova metoda varijacije proizvodnih konstanti. Definicija. Kontrolni sistem se naziva homogenim ako se funkcija može predstaviti kao odnos između njegovih argumenata.

F-zovem se

homogena peta mjerenja ako Primjeri: 1) - 1. red homogenosti. 2) - 2. red homogenosti.

3) - nulti red homogenosti (jednostavno homogen... .

- Predavanje 8. Primjena parcijalnih izvoda: problemi ekstrema. Lagrangeova metoda.

Ekstremni problemi imaju

velika vrijednost

u ekonomskim proračunima. Ovo je obračun, na primjer, maksimalnog prihoda, dobiti, minimalnih troškova u zavisnosti od nekoliko varijabli: resursa, proizvodnih sredstava itd. Teorija pronalaženja ekstrema funkcija... . 1 - T.2.3. DE višeg reda. Jednadžba u totalnim diferencijalima. T.2.4. Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima. Lagrangeova metoda.. 3. 2. 1. DE sa odvojivim varijablama S.R. 3. U prirodnim naukama, tehnologiji i ekonomiji često se ima posla sa empirijskim formulama, tj. formule sastavljene na osnovu obrade statističkih podataka ili... LAGRANGE METODA

koristeći nedegenerisanu linearnu transformaciju varijabli. L. m. sastoji se od sljedećeg. Možemo pretpostaviti da nisu svi koeficijenti oblika (1) jednaki nuli.

Stoga su moguća dva slučaja. 1) Za neke g,

dijagonala Onda pri čemu oblik f 1 (x) ne sadrži varijablu x g . 2) Ako sve Ali

To pri čemu oblik f 2 (x) ne sadrži dvije varijable x g I x h .

Oblici pod predznacima kvadrata u (4) su linearno nezavisni. Primjenom transformacija oblika (3) i (4), oblik (1) se nakon konačnog broja koraka svodi na zbir kvadrata linearno nezavisnih linearnih oblika. Koristeći parcijalne izvode, formule (3) i (4) se mogu napisati u obliku Lit. : G a n t m a k h e r F. R., Teorija matrica, 2. izd., M., 1966; K u r o sh A. G., Kurs više algebre, 11. izd., M., 1975; Aleksandrov P. S., Predavanja iz analitičke geometrije..., M., 1968.

I. V. Proskuryakov. Matematička enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija