Izrazi 5a 2 x, 2a 3 (-3)x 2, b 2 x su proizvodi brojeva, varijabli i njihovih potencija. Takvi izrazi se nazivaju monomi. Brojevi, varijable i njihove moći se također smatraju monomima.

Na primjer, izrazi - 8, 35, y i y 2 - su monomi.

Standardni oblik monoma se naziva monom u obliku proizvoda numeričkog faktora na prvom mjestu i stepena različitih varijabli. Bilo koji monom se može svesti na standardni oblik množenjem svih varijabli i brojeva koji su u njemu uključeni. Evo primjera svođenja monoma na standardni oblik:

4x 2 y 4 (-5)yx 3 = 4(-5)x 2 x 3 y 4 y = -20x 5 y 5

Numerički faktor monoma napisanog u standardnom obliku naziva se koeficijentmonom. Na primjer, koeficijent monoma -12sx 6 y 5 je jednak -12. Koeficijenti monoma x 3 i -xy smatraju se jednakima 1 i -1, jer je x 7 = 1x 7 i -xy = -1xy

Po snazi ​​monoma nazovite zbir eksponenata svih varijabli uključenih u njega. Ako monom ne sadrži varijable, to jest, to je broj, onda se njegov stepen smatra jednakim nuli.

Na primjer, stepen monoma 8x 3 yz 2 je 6, stepen monoma 6x je 1, stepen monoma -10 je 0.

Polinom naziva se zbir monoma.

Monomi koji čine polinom nazivaju se članovima polinoma. Dakle, članovi polinoma 4x 2 y - 5xy + 3x -1 su 4x 2 y, -5xy, 3x i -1.

Ako se polinom sastoji od dva člana, onda se naziva binom, a ako se sastoji od tri, naziva se trinom. Monomom se smatra polinom koji se sastoji od jednog člana.

U polinomu 7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6, pojmovi 7x 3 y 2 i - 2y 2 x 3 su slični pojmovi jer imaju isti dio slova. Slični su i pojmovi -12 i 6 koji nemaju dio slova. Slični članovi polinoma nazivaju se sličnim članovima polinoma, a redukcija sličnih članova polinoma naziva se redukcija sličnih članova polinoma.

Navedimo kao primjer slične članove u polinomu 7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6 = 5x 3 y 2 + 4x 2 y -6.

Polinom se zove polinom standardnog oblika, ako je svaki njegov član monom standardnog oblika i ovaj polinom ne sadrži slične članove.

Svaki polinom se može svesti na standardni oblik. Da biste to učinili, potrebno je svakog od njegovih članova predstaviti u standardnom obliku i donijeti slične uslove.

Polinomski stepen standardni oblik je najveća od potencija monoma uključenih u njega.

Stepen proizvoljnog polinoma je stepen identično jednakog polinoma standardnog oblika.

Na primjer, pronađimo stepen polinoma 8x 4 y 2 - 12 + 4x 2 y - 3y 2 x 4 + 6 - 5y 2 x 4:

8x 4 y 2 - 12 + 4x 2 y - 3y 2 x 4 + 6 - 5y 2 x 4 = 4x 2 y -6.

Imajte na umu da originalni polinom uključuje monome šestog stepena, ali kada su slični članovi redukovani, svi su redukovani, a rezultat je bio polinom trećeg stepena, što znači da originalni polinom ima stepen 3!

Pitanja za bilješke

Dat je polinom P(x) = 2x 3 - 6x 2 - 5x + 4. Izračunajte P(1).

Odredi stepen polinoma: 3a 4 - 5a 3 - 2a 5

U 7. razredu učenici će se upoznati sa novim pojmovima i temama u okviru predmeta algebra. Otvaraju im se nova vrata u fascinantnom lavirintu zvanom matematika. Ovo uključuje proučavanje monoma i polinoma, kao i njihovu primjenu.

šta je to?

Prvo, hajde da razumemo koncepte. U matematici postoji mnogo specifičnih izraza, od kojih mnogi imaju svoja fiksna imena. Jedna od ovih riječi je monom. Ovo je matematički termin koji se sastoji od proizvoda brojeva, varijabli, od kojih se svaka u određenoj mjeri može pojaviti u proizvodu. polinom, prema definiciji, ovo je algebarski izraz, što je zbir monoma. Često postoji potreba za donošenjem monom svom standardnom obliku. Da biste to učinili, morate pomnožiti sve numeričke faktore prisutne u monomu i staviti rezultirajući broj na prvo mjesto. Zatim pomnožite sve potencije koje imaju istu slovnu osnovu. Polinom je također doveden u standardni oblik; to je proizvod sastavljen od brojčanog faktora i stepena različitih varijabli.

Zamke

Čini se da, na prvi pogled, nema ništa fatalno komplikovano, ali za moderne školarce postoji niz okolnosti koje mogu zamagliti sliku. Veliki broj artikala školski program, potpuni nedostatak sati učenja, humanitarni način razmišljanja kod mnoge djece, kao i osnovni umor mogu jako otežati učenje novog gradiva. Često se dešava da se dete, pošto nešto nije razumelo, stidi ili plaši da pita nastavnika, ali ne može samostalno da savlada temu i počinju poteškoće.

Rješavanje problema

Postoji nekoliko načina da izbjegnete ove zamke. Prvo, roditelji školaraca treba da obrate pažnju na to kako se njihovo dijete snalazi u programu općenito, a posebno na obrađenim temama. To ne bi trebalo da bude u obliku strogog nadzora ili kontrole nad djetetom, već cilj treba biti razvijanje odgovornog i ozbiljnog pristupa učenju. Ključ za ovo je odnos poverenja, ali ne i strah.

Prilično česta situacija u školi je kada dijete ne razumije u potpunosti novu temu, plaši se podsmijeha od strane kolega i neodobravanja nastavnika, te stoga radije šuti o svom oklevanju. Odnosi sa nastavnicima također su različiti, nažalost, ne uspijevaju svi nastavnici pronaći pristup djeci, što pokazuje praksa. I postoji nekoliko izlaznih opcija:

• posjetiti dodatna nastava u školi, ako postoji;
• časovi sa mentorom;
• obuku putem interneta uz korištenje posebnih obrazovnih resursa.

U prva dva slučaja postoje nedostaci koji leže u vremenu i finansijskim resursima, posebno kada je u pitanju podučavanje. Treća je zgodna jer je ova opcija treninga:

• besplatno;
• možete učiti u bilo koje vrijeme;
• nema psihičke nelagode kod učenika, straha od ismijavanja itd.
• Uvijek možete ponovo pogledati video lekciju ako nešto nije jasno prvi put.

Nesumnjivo pozitivni aspekti ima tu još, pa roditelji treba da imaju na umu da se njihovom djetetu može ponuditi upravo takva opcija za dodatne aktivnosti. Sasvim je moguće da student u početku neće prihvatiti ovaj prijedlog s entuzijazmom, ali nakon što ga isproba, on će cijeniti njegove prednosti. Iz godine u godinu raste opterećenje na predmetima u školi, u 7. razredu je već prilično ozbiljno.

Na našem internetskom resursu dijete može lako pronaći lekciju o temi koja mu može biti teška, na primjer, „Polinom. Svođenje na standardni obrazac." Pošto ga shvati, moći će mnogo jednostavnije i lakše razumjeti i savladati daljnji materijal.

- polinomi. U ovom članku ćemo izložiti sve početne i potrebne informacije o polinomima. To uključuje, prvo, definiciju polinoma sa pratećim definicijama pojmova polinoma, posebno slobodnog pojma i sličnih pojmova. Drugo, zadržimo se na polinomima standardnog oblika, damo odgovarajuću definiciju i dajemo primjere za njih. Na kraju ćemo uvesti definiciju stepena polinoma, smisliti kako ga pronaći i razgovarati o koeficijentima članova polinoma.

Navigacija po stranici.

Polinom i njegovi pojmovi - definicije i primjeri

U razredu 7, polinomi se proučavaju odmah nakon monoma, to je razumljivo, jer polinomska definicija je dato kroz monome. Hajde da damo ovu definiciju da objasnimo šta je polinom.

Definicija.

Polinom je zbir monoma; Monom se smatra posebnim slučajem polinoma.

Napisana definicija vam omogućava da date koliko god želite primjera polinoma. Bilo koji od monoma 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12, itd. je polinom. Također, po definiciji, 1+x, a 2 +b 2 i su polinomi.

Radi praktičnosti opisivanja polinoma, uvedena je definicija polinomskog pojma.

Definicija.

Polinomski pojmovi su sastavni monomi polinoma.

Na primjer, polinom 3 x 4 −2 x y+3−y 3 sastoji se od četiri člana: 3 x 4 , −2 x y , 3 i −y 3 . Monomom se smatra polinom koji se sastoji od jednog člana.

Definicija.

Polinomi koji se sastoje od dva i tri člana imaju posebne nazive - binom I trinom respektivno.

Dakle, x+y je binom, a 2 x 3 q−q x x x+7 b je trinom.

U školi najčešće moramo da sarađujemo linearni binom a x+b , gdje su a i b neki brojevi, a x je varijabla, kao i c kvadratni trinom a·x 2 +b·x+c, gdje su a, b i c neki brojevi, a x je varijabla. Evo primjera linearnih binoma: x+1, x 7,2−4, a evo i primjera kvadratni trinomi: x 2 +3 x−5 i .

Polinomi u svojoj notaciji mogu imati slične pojmove. Na primjer, u polinomu 1+5 x−3+y+2 x slični članovi su 1 i −3, kao i 5 x i 2 x. Oni imaju svoje posebno ime - slični termini polinoma.

Definicija.

Slični termini polinoma nazivaju se slični članovi polinoma.

U prethodnom primjeru, 1 i −3, kao i par 5 x i 2 x, su slični članovi polinoma. U polinomima koji imaju slične pojmove, možete izvršiti redukciju sličnih pojmova da biste pojednostavili njihov oblik.

Polinom standardnog oblika

Za polinome, kao i za monome, postoji tzv standardni pogled. Recimo odgovarajuću definiciju.

Na osnovu ovu definiciju, možemo dati primjere polinoma standardnog oblika. Dakle, polinomi 3 x 2 −x y+1 i napisano u standardnom obliku. A izrazi 5+3 x 2 −x 2 +2 x z i x+x y 3 x z 2 +3 z nisu polinomi standardnog oblika, jer prvi od njih sadrži slične članove 3 x 2 i −x 2 , a u drugi – monom x·y 3 ·x·z 2 , čiji se oblik razlikuje od standardnog.

Imajte na umu da, ako je potrebno, uvijek možete svesti polinom na standardni oblik.

Drugi koncept vezan za polinome standardnog oblika je koncept slobodnog člana polinoma.

Definicija.

Slobodni član polinoma je član polinoma standardnog oblika bez slovnog dijela.

Drugim riječima, ako polinom standardnog oblika sadrži broj, onda se naziva slobodnim članom. Na primjer, 5 je slobodni član polinoma x 2 z+5, ali polinom 7 a+4 a b+b 3 nema slobodan član.

Stepen polinoma - kako ga pronaći?

Još jedan važan prateća definicija je odrediti stepen polinoma. Prvo, definišemo stepen polinoma standardnog oblika; ova definicija se zasniva na stepenima monoma koji se nalaze u njegovom sastavu.

Definicija.

Stepen polinoma standardnog oblika je najveća od potencija monoma uključenih u njegovu notaciju.

Navedimo primjere. Stepen polinoma 5 x 3 −4 je jednak 3, pošto monomi 5 x 3 i −4 koji su u njemu uključeni imaju stepene 3 i 0, najveći od ovih brojeva je 3, što je stepen polinoma po definiciji. I stepen polinoma 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x jednak najvećem od brojeva 2+3=5, 4+1=5 i 1, odnosno 5.

Sada ćemo saznati kako pronaći stepen polinoma bilo kojeg oblika.

Definicija.

Stepen polinoma proizvoljnog oblika nazovite stepen odgovarajućeg polinoma standardnog oblika.

Dakle, ako polinom nije napisan u standardnom obliku, a trebate pronaći njegov stupanj, onda morate svesti originalni polinom na standardni oblik i pronaći stupanj rezultirajućeg polinoma - on će biti traženi. Pogledajmo primjer rješenja.

Primjer.

Pronađite stepen polinoma 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

Rješenje.

Prvo morate predstaviti polinom u standardnom obliku:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Rezultirajući polinom standardnog oblika uključuje dva monoma −2·a 2 ·b 2 ·c 2 i y 2 ·z 2 . Nađimo njihove moći: 2+2+2=6 i 2+2=4. Očigledno, najveća od ovih potencija je 6, što je po definiciji potencija polinoma standardnog oblika −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, a time i stepen originalnog polinoma., 3 x i 7 polinoma 2 x−0,5 x y+3 x+7 .

Reference.

• algebra: udžbenik za 7. razred opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edited by S. A. Telyakovsky. - 17. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A. G. Algebra. 7. razred. U 14 sati 1. dio. Udžbenik za studente obrazovne institucije/ A. G. Mordkovich. - 17. izd., dop. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Algebra i počeo matematička analiza. 10. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije: osnovne i profilne. nivoa / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin]; edited by A. B. Zhizhchenko. - 3. izd. - M.: Obrazovanje, 2010.- 368 str. : ill. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.

19. Uzmimo formulu

čitamo to ovako: "razlika između brojeva a i b." Broj a možemo zamijeniti nulom u ovoj formuli; onda će se ona okrenuti

0 – b ili samo u –b.

Oduzimanje b od nule znači, prema onome što znamo o oduzimanju relativnih brojeva, dodati broj b uzet sa suprotnim predznakom na nulu. Stoga izraz –b treba shvatiti kao broj sa suprotnim predznakom od broja b. Ako je, na primjer, b = +5, tada je –b = –5; ako je b = –4, onda –b = +4, itd. Ako zapišemo izraz +a, onda ga moramo shvatiti kao broj jednak broju a. Ako je a = +5, tada je +a = +5; ako je a = –4, onda je +a = 4, itd.

Stoga formula

možemo razumjeti bez razlike rezultata, ili u smislu

ili u smislu

Dakle, uvijek možemo zamijeniti oduzimanje sa sabiranjem i svaku razliku shvatiti kao zbir dva broja:
a – b je zbir brojeva a i (–b)
x – y je zbir brojeva x i (–y)
–a – b je zbir brojeva (–a) i (–b), itd.

One formule u kojima se, sa stanovišta aritmetike, odvija nekoliko sabiranja i oduzimanja, npr.

a – b + c + d – e – f,

sada, sa stanovišta algebre, možemo shvatiti samo kao zbir, naime:

a – b + c + d – e – f = (+a) + (–b) + (+c) + (+d) + (–e) + (–f).

Stoga je uobičajeno da se takvi izrazi nazivaju "algebarskim zbirom".

20. Uzmimo neki algebarski zbir

a – b – c ili –3bc² + 2ab – 4a²b, itd.

Uobičajeno je ove izraze nazivati ​​imenom polinom, a ova riječ zamjenjuje riječ “suma” ili naziv “algebarski zbir”. Znamo to

a – b – c = (+a) + (–b) + (–c)
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b), itd.

Zasebno, svaki pojam se naziva članom polinoma.

Prvi polinom

sastoji se od tri pojma: (+a), (–b) i (+c).

Drugi polinom

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b,

sastoji se od četiri člana: (–abc), (–3bc²), (+2ab) i (–4a²b).

Zbroji se mogu preurediti bilo kojim redoslijedom:

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) =
= (+2ab) + (–3bc²) + (–4a²b) + (–abc) = 2ab – 3bc² – 4a²b – abc.

Ovo svojstvo sume sada se može izraziti drugačije: članovi polinoma se mogu preurediti bilo kojim redom. Ovo je gore urađeno za polinom –abc – 3bc² + 2ab – 4a²b, štaviše, na način da je član (+2ab) sada ispred. Ovo je omogućilo da se izraz donekle pojednostavi: ne morate pisati znak + ispred. Naravno, takva preuređivanja se moraju izvršiti odmah, bez prethodnog stavljanja (kao gore) svakog pojma u zagrade.

Drugi primjer:

1 – 3a + 2a² – a³ + 3a 4 = 3a 4 – a³ + 2a² – 3a + 1.

Prvi član ovog polinoma je prvobitno bio (+1) - znak + je impliciran ispred jedinice; kada premjestimo ovaj član na mjesto koje nije prvo (iznad smo ga pomjerili na posljednje mjesto), onda se ovaj znak + ne može preskočiti.

Možemo primijetiti da smo u prethodnom primjeru, preuređivanjem članova polinoma, postigli određeni red: na prvom mjestu je član sa slovom a na 4. stepen, na sljedećem mjestu je član sa slovom a na 3. stepen, zatim dolazi pojam sa slovom a na 3. stepen 2. stepen, zatim - a na 1. stepen i, na kraju, pojam gde uopšte nema slova a.

Ovaj raspored pojmova polinoma izražen je riječima „polinom je raspoređen u opadajućem stepenu slova a“.

Evo i drugih primjera ovog aranžmana:

3x 5 – 2ax 3 + b (u opadajućem stepenu slova x)
a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4 (u opadajućem stepenu slova a)
3ab 5 – 4a 3 b 3 + 5a 4 b 2 – 2a 6 (u opadajućem stepenu slova b)
4x 4 – 3x 3 + 2x 3 (u opadajućem stepenu slova x).

Često se koristi obrnuti raspored „uzlaznih stepeni“, u kojem se stepen izabranog slova postepeno povećava, a u 1. pojmu ili ovog slova uopšte nema, ili ima najniži stepen u odnosu na druge pojmove. U drugom od prethodnih primjera, mogli bismo reći da je ovdje polinom raspoređen u rastućim potencijama slova b. Evo primjera:
3 – 2a + 3a 2 – 4a 3 (u rastućim stepenima slova a);
–x + x 2 – 3x 3 – 4x 4 (u rastućim stepenima slova x);
ax 2 – bx 3 + cx 5 – dx 6 (u rastućim stepenima slova x);
a 3 – 2ab + b 2 (u rastućim stepenima slova b ili u silama slova a);
3x 5 – 4yx 4 – 5y 3 x 2 – 6y 4 x (u opadajućem stepenu slova x ili u rastućim stepenima slova y).

21. Polinom sa dva člana se zove binom(na primjer, 3a + 2b), o tri člana - trinomu (na primjer, 2a² - 3ab + 4b²), itd. Moguće je govoriti o zbiru jednog člana (drugi član je nula), ili o polinom o jednom pojmu. Tada je, naravno, naziv "polinom" neprikladan i koristi se naziv "monom". Svaki član bilo kojeg polinoma, uzet zasebno, je monom. Evo primjera najjednostavnijih monoma:

2; –3a; a²; 4x³; –5x4; ab; ab²; –3abc; itd.

Gotovo svi gore napisani monomi proizvodi su dva ili više faktora, a većina njih ima i numerički i abecedni faktor. Na primjer, monom –3abc ima numerički faktor –3 i faktore slova a, b i c; u monomu 4x³ postoji numerički faktor +4 (podrazumeva se znak +) i literalni faktor x³, itd. Ako bismo pisali monom sa nekoliko brojčanih faktora (i takođe abecednih), kao što je sledeće

,

tada je zgodnije preurediti faktore tako da su brojčani faktori u blizini, tj.

,

pomnožite ove numeričke faktore i dobijete

–4a²bc² (tačke, znaci množenja se preskaču).

Takođe je uobičajeno, u velikoj većini slučajeva, da se ispred piše numerički faktor. pišu:

4a, a ne 4
–3a²b, a ne a²(–3)b

Numerički faktor monoma naziva se koeficijent.

Ako brojčani faktor nije zapisan u monomu, na primjer, ab, uvijek ga možete implicirati. Zaista

a = (+1) ∙ a; ab = (+1)ab;
–a = (–1) ∙ a; a³ = (–1) ∙ a³, itd.

Dakle, monomi a², ab, ab² svaki imaju koeficijent 1 (tačnije: +1). Ako zapišemo monome –ab, –a², –ab², itd., onda bi oni trebali imati koeficijent –1.

22. Složeniji primjeri polinoma i monoma.

(a + b)² + 3(a – b)² ... ova formula izražava zbir dva člana: prvi je kvadrat zbira brojeva a i b, a drugi je proizvod broja 3 kvadratom razlike istih brojeva. Stoga ovu formulu treba prepoznati kao binom: prvi član je (a + b)², a drugi 3(a – b)². Ako izraz (a + b)² uzmemo odvojeno, onda se na osnovu prethodnog mora smatrati monomom, a njegov koeficijent = +1.

a(b – 1) – b(a – 1) – (a – 1)(b – 1) ... mora se priznati kao trinom (zbir tri člana): prvi član je a(b – 1) ) i njegov koeficijent = +1 , drugi član –b(a – 1), njegov koeficijent = –1, treći član –(a – 1)(b – 1), njegov koeficijent = – 1.

Ponekad se broj članova polinoma umjetno smanjuje. Dakle, trinom

može se, na primjer, smatrati binomom, a a + b, na primjer, smatra se jednim članom (jedan član). Da ovo bude jasnije, koristite zagrade:

Tada termin (a + b) ima implicirani koeficijent od +1

[zaista (a + b) = (+1)(a + b)].

Koje zahtevaju faktorisanje polinoma, određuju zajednički faktor datog izraza. Da biste to učinili, prvo uklonite iz zagrada one varijable koje su uključene u sve članove izraza. Štaviše, ove varijable treba da imaju najniži indikator. Zatim izračunajte najveći zajednički djelitelj svakog od koeficijenata polinoma. Modul rezultirajućeg broja će biti koeficijent zajedničkog množitelja.

Primjer. Prostire se na 5m³–10m²n²+5m². Stavite m² izvan zagrada, jer varijabla m u svakom članu ovog izraza i njen najmanji eksponent je dva. Izračunajte zajednički faktor množitelja. Jednako je sa pet. Dakle, zajednički faktor ovog izraza je 5m². Dakle: 5m³–10m²n²+5m²=5m²(m–2n²+1).

Ako izraz nema zajednički faktor, pokušajte ga proširiti pomoću metode grupisanja. Da biste to učinili, spojite u grupe one članove koji imaju zajedničke faktore. Izvadite zajednički faktor svake grupe iz zagrada. Izbaciti iz zagrada zajednički faktor svih formiranih grupa.

Primjer. Faktori polinom a³–3a²+4a–12. Grupirajte kako slijedi: (a³–3a²)+(4a–12). Izvadite zajednički faktor a² u prvoj grupi i zajednički faktor 4 u drugoj grupi. Dakle: a²(a–3)+4(a–3). Izvadite polinom a–3 iz zagrada i dobijete: (a–3)(a²+4). Dakle, a³–3a²+4a–12=(a–3)(a²+4).

Neki polinomi faktoriziraju se korištenjem skraćenih formula za množenje. Da biste to učinili, dovedite polinom u željeni oblik grupisanjem ili uklanjanjem zajedničkog faktora iz zagrada. Zatim primijenite odgovarajuću skraćenu formulu za množenje.

Primjer. Faktori polinom 4x²–m²+2mn–n². Kombinirajte posljednja tri člana u zagradama, a iz zagrada izvadite –1. Dobijte: 4x²–(m²–2mn+n²). Izraz u zagradama može se predstaviti kao kvadrat razlike. Dakle: (2x)²–(m–n)². Ovo je razlika kvadrata, možemo je napisati: (2x–m+n)(2x+m+n). Dakle, 4x²–m²+2mn–n²=(2x–m+n)(2x+m+n).

Neki polinomi se mogu faktorizirati korištenjem metode neizvesni koeficijenti. Dakle, svaki polinom može biti predstavljen u obliku (y–t)(my²+ny+k), gdje su t, m, n, k numerički koeficijenti. Shodno tome, zadatak se svodi na određivanje vrijednosti ovih koeficijenata. Ovo se radi na osnovu ove jednakosti: (y–t)(my²+ny+k)=my³+(n–mt)y²+(k–nt)y–tk.

Primjer. Faktori polinom 2a³–a²–7a+2. Iz drugog dijela za polinom trećeg stepena sastaviti sljedeće jednakosti: m=2; n–mt=–1; k–nt=–7; –tk=2. Zapišite ih kao sistem. Reši to. Naći ćete vrijednosti t=2; n=3; k=–1. Zamijenite izračunate koeficijente u prvi dio formule, dobićete: 2a³–a²–7a+2=(a–2)(2a²+3a–1).

Izvori:

• Faktoring polinoma
• kako razložiti polinom na faktor

Mathematical Science proučava različite strukture, nizove brojeva, odnose među njima, sastavljanje jednadžbi i njihovo rješavanje. Ovo je formalni jezik koji može jasno opisati skoro idealna svojstva stvarnih objekata koji se proučavaju u drugim oblastima nauke. Jedna takva struktura je polinom.

Uputstva

Polinom ili (od grčkog "poly" - mnogo i latinskog "nomen" - ime) - elementarne funkcije klasična algebra i algebarska geometrija. Ovo je funkcija jedne varijable, koja ima oblik F(x) = c_0 + c_1*x + ... + c_n*x^n, gdje su c_i fiksni koeficijenti, x je varijabla.

Polinomi se koriste u mnogim oblastima, uključujući proučavanje nule, negativnih i kompleksnih brojeva, teoriju grupa, prstenova, čvorova, skupova itd. Korištenje polinomskih proračuna uvelike pojednostavljuje izražavanje svojstava različitih objekata.

Osnovne definicije:
Svaki član polinoma naziva se monom.
Polinom koji se sastoji od dva monoma naziva se binom ili binom.
Koeficijenti polinoma – realni ili kompleksni brojevi.
Ako je koeficijent jednak 1, onda se naziva unitarnim (reduciranim).
Stepeni varijable u svakom monomu su nenegativni cijeli brojevi, maksimalni stepen određuje stepen polinoma, a njegov puni stepen je cijeli broj, jednak zbiru sve diplome.
Monom koji odgovara stepenu nula naziva se slobodni član.
Polinom koji svi imaju isti ukupan stepen naziva se homogen.

Neki često korišćeni polinomi su nazvani po naučniku koji ih je definisao, kao i po funkcijama koje definišu. Na primjer, Newtonov binom je za dekomponovanje polinoma na pojedinačne članove za izračunavanje snaga. Ovo su oznake za kvadrate zbira i razlike poznate iz školskog programa (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^2 i razlika kvadrata (a^2 – b^2) = (a - b)*(a + b).

Ako dozvolimo negativne potencije u zapisu polinoma, dobićemo polinom ili Lorentov niz; Čebiševljev polinom se koristi u teoriji aproksimacije; Hermitov polinom - u teoriji vjerovatnoće; Lagrange - za numerička integracija i interpolacija; Taylor - kada se aproksimira funkcija, itd.

Imajte na umu

Newtonov binom se često spominje u knjigama (Majstor i Margarita) i filmovima (Stalker) kada likovi rješavaju matematičke probleme. Ovaj termin je dobro poznat i stoga se smatra najpoznatijim polinomom.

Savjet 3: Kako rastaviti 90 na dva koprosta faktora

Međusobno prosti činioci su brojevi koji nemaju zajedničke djelitelje osim jedan. Algoritam je prilično jednostavan, pokušajte ga razmotriti na primjeru: razdijelite broj 90 na dva međusobno prosta faktora.