Svrha usluge. Online kalkulator je dizajniran da pronađe netrivijalno i fundamentalno rješenje za SLAE. Rezultirajuće rješenje se pohranjuje u Word datoteku (pogledajte primjer rješenja).
Instrukcije. Odaberite dimenziju matrice:
Osobine sistema linearnih homogenih jednačina
Da bi sistem imao netrivijalna rješenja, potrebno je i dovoljno da rang njene matrice bude manji od broja nepoznatih.Teorema. Sistem u slučaju m=n ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je determinanta ovog sistema jednaka nuli.
Teorema. Svaka linearna kombinacija rješenja nekog sistema je također rješenje za taj sistem.
Definicija. Skup rješenja sistema linearnih homogenih jednačina naziva se fundamentalni sistem rješenja, ako se ovaj skup sastoji od linearno nezavisnih rješenja i svako rješenje sistema je linearna kombinacija ovih rješenja.
Teorema. Ako je rang r sistemske matrice manji od broja n nepoznatih, onda postoji fundamentalni sistem rješenja koji se sastoji od (n-r) rješenja.
Algoritam za rješavanje sistema linearnih homogenih jednačina
- Pronalaženje ranga matrice.
- Odabiremo osnovni mol. Razlikujemo zavisne (osnovne) i slobodne nepoznanice.
- Precrtavamo one jednačine sistema čiji koeficijenti nisu uključeni u bazni minor, jer su posljedice ostalih (prema teoremi o baznom minoru).
- Članove jednačina koje sadrže slobodne nepoznanice prenosimo na desna strana. Kao rezultat, dobijamo sistem od r jednačina sa r nepoznatih, ekvivalentan datoj, čija je determinanta različita od nule.
- Rezultirajući sistem rješavamo eliminacijom nepoznanica. Nalazimo odnose koji izražavaju zavisne varijable kroz slobodne.
- Ako rang matrice nije jednak broju varijabli, tada nalazimo osnovno rješenje sistema.
- U slučaju rang = n imamo trivijalno rješenje.
Primjer. Pronađite osnovu sistema vektora (a 1, a 2,...,a m), rangirajte i izrazite vektore na osnovu baze. Ako je a 1 =(0,0,1,-1), i 2 =(1,1,2,0), i 3 =(1,1,1,1), i 4 =(3,2,1 ,4), i 5 =(2,1,0,3).
Zapišimo glavnu matricu sistema:
Pomnožite 3. red sa (-3). Dodajmo 4. red u 3.:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Pomnožite 4. red sa (-2). Pomnožimo 5. red sa (3). Dodajmo 5. red u 4.:
Dodajmo 2. red na 1.:
Nađimo rang matrice.
Sistem sa koeficijentima ove matrice je ekvivalentan originalnom sistemu i ima oblik:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Koristeći metodu eliminacije nepoznanica, nalazimo netrivijalno rješenje:
Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 1 , x 2 , x 3 kroz slobodne x 4 , tj. zajednička odluka:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
Gausova metoda ima brojne nedostatke: nemoguće je znati da li je sistem konzistentan ili ne dok se ne izvrše sve transformacije potrebne u Gausovoj metodi; Gaussova metoda nije prikladna za sisteme sa slovnim koeficijentima.
Razmotrimo druge metode za rješavanje sistema linearnih jednačina. Ove metode koriste koncept ranga matrice i svode rješenje bilo kojeg konzistentnog sistema na rješenje sistema na koji se primjenjuje Cramerovo pravilo.
Primjer 1. Pronađite opšte rešenje sledeći sistem linearne jednadžbe koje koriste osnovni sistem rješenja redukovanog homogenog sistema i određeno rješenje nehomogenog sistema.
1. Izrada matrice A i proširena sistemska matrica (1)
2. Istražite sistem (1) za zajedništvo. Da bismo to učinili, nalazimo rangove matrica A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Ako se ispostavi da , onda sistem (1) nekompatibilno. Ako to dobijemo , onda je ovaj sistem konzistentan i mi ćemo ga riješiti. (Studija kompatibilnosti je zasnovana na Kronecker-Capelli teoremi).
a. Mi nalazimo rA.
Naći rA, razmatraćemo sekvencijalno nenulte minore prvog, drugog itd. reda matrice A i maloljetnici koji ih okružuju.
M1=1≠0 (uzimamo 1 iz gornjeg lijevog ugla matrice A).
Mi graničimo M1 drugi red i drugi stupac ove matrice. 
. Nastavljamo do granice M1 drugi red i treći stupac..gif" width="37" height="20 src=">. Sada graničimo ne-nulti mol M2′ drugi red.
Imamo: 
(pošto su prve dvije kolone iste)
(pošto su drugi i treći red proporcionalni).
Vidimo to rA=2, a je osnovni minor matrice A.
b. Mi nalazimo.
Sasvim osnovni mol M2′ matrice A granica sa kolonom slobodnih pojmova i svim redovima (imamo samo zadnji red).
. Iz toga slijedi M3′′ ostaje osnovni minor matrice https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)
Jer M2′- bazni minor matrice A sistemima (2) , onda je ovaj sistem ekvivalentan sistemu (3) , koji se sastoji od prve dvije jednačine sistema (2) (za M2′ nalazi se u prva dva reda matrice A).
(3)
Od osnovnog mola https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)
U ovom sistemu postoje dvije slobodne nepoznate ( x2 I x4 ). Zbog toga FSR sistemima (4) sastoji se od dva rješenja. Da bismo ih pronašli, dodjeljujemo slobodne nepoznate u (4) vrijednosti na prvom mjestu x2=1 , x4=0 , i onda - x2=0 , x4=1 .
At x2=1 , x4=0 dobijamo:
.
Ovaj sistem već ima jedina stvar rješenje (može se naći korištenjem Cramerovog pravila ili bilo koje druge metode). Oduzimanjem prve od druge jednačine dobijamo:
Njeno rešenje će biti x1= -1 , x3=0 . S obzirom na vrijednosti x2 I x4 , koji smo dodali, dobijamo prvo fundamentalno rješenje sistema (2) : .
Sada vjerujemo u (4) x2=0 , x4=1 . Dobijamo:
.
Ovaj sistem rješavamo korištenjem Cramerove teoreme:
.
Dobijamo drugo fundamentalno rješenje sistema (2) : .
Rješenja β1 , β2 i šminku FSR sistemima (2) . Tada će njegovo generalno rješenje biti
γ= C1 β1+S2β2=S1(‑1, 1, 0, 0)+S2(5, 0, 4, 1)=(‑S1+5S2, S1, 4S2, S2)
Evo C1 , C2 – proizvoljne konstante.
4. Hajde da nađemo jednog privatni rješenje heterogeni sistem(1) . Kao u paragrafu 3 , umjesto sistema (1) Hajde da razmotrimo ekvivalentni sistem (5) , koji se sastoji od prve dvije jednačine sistema (1) .
(5)
Pomerimo slobodne nepoznanice na desnu stranu x2 I x4.
(6)
Dajmo besplatne nepoznate x2 I x4 proizvoljne vrijednosti, npr. x2=2 , x4=1 i stavi ih unutra (6) . Idemo po sistem
Ovaj sistem ima jedinstveno rješenje (pošto je njegova determinanta M2′0). Rješavajući ga (pomoću Cramerove teoreme ili Gaussove metode), dobijamo x1=3 , x3=3 . S obzirom na vrijednosti slobodnih nepoznanica x2 I x4 , dobijamo posebno rješenje nehomogenog sistema(1)α1=(3,2,3,1).
5. Sada ostaje samo da to zapišete opšte rešenje α nehomogenog sistema(1) : jednako je zbiru privatno rešenje ovaj sistem i opšte rešenje njegovog redukovanog homogenog sistema (2) :
α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑S1+5S2, S1, 4S2, S2).
Ovo znači: 
(7)
6. Ispitivanje. Da provjerite da li ste ispravno riješili sistem (1) , potrebno nam je opšte rešenje (7) zamena u (1) . Ako se svaka jednadžba pretvori u identitet ( C1 I C2 mora biti uništeno), tada je rješenje pronađeno ispravno.
Zamenićemo (7) na primjer, samo posljednja jednačina sistema (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
Dobijamo: (3–S1+5S2)+(2+S1)+(3+4S2)–9(1+S2)=–1
(S1–S1)+(5S2+4S2–9S2)+(3+2+3–9)=–1
Gdje je –1=–1. Imamo identitet. To radimo sa svim ostalim jednačinama sistema (1) .
Komentar. Provjera je obično prilično glomazna. Može se preporučiti sljedeća “djelimična provjera”: u opštem rješenju sistema (1) dodijelite neke vrijednosti proizvoljnim konstantama i zamijenite rezultirajuće parcijalno rješenje samo u odbačene jednadžbe (tj. u one jednačine iz (1) , koji nisu bili uključeni u (5) ). Ako dobijete identitete, onda vjerovatnije, sistemsko rješenje (1) pronađeno ispravno (ali takva provjera ne daje potpunu garanciju ispravnosti!). Na primjer, ako je u (7) staviti C2=- 1 , C1=1, tada dobijamo: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Zamjenom u posljednju jednačinu sistema (1) imamo: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , tj. –1=–1. Imamo identitet.
Primjer 2. Pronađite opšte rješenje za sistem linearnih jednačina (1) , izražavajući osnovne nepoznanice u terminima slobodnih.
Rješenje. Kao u primjer 1, sastaviti matrice A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> ovih matrica. Sada ostavljamo samo one jednadžbe sistema (1) , čiji su koeficijenti uključeni u ovaj osnovni minor (tj. imamo prve dvije jednačine) i razmatramo sistem koji se sastoji od njih, ekvivalentan sistemu (1).
Prenesimo slobodne nepoznanice na desnu stranu ovih jednačina.
sistem (9) Rješavamo Gaussovom metodom, smatrajući desne strane slobodnim članovima.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">
Opcija 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">
Opcija 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">
Opcija 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">
Opcija 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">
Homogeni sistem linearnih jednačina nad poljem
DEFINICIJA. Osnovni sistem rješenja sistema jednačina (1) je neprazan linearno nezavisan sistem njegovih rješenja, čiji se linearni raspon poklapa sa skupom svih rješenja sistema (1).
Imajte na umu da homogeni sistem linearnih jednačina koji ima samo nulto rješenje nema fundamentalni sistem rješenja.
PREDLOG 3.11. Bilo koja dva osnovna sistema rješenja homogenog sistema linearnih jednačina sastoje se od istog broja rješenja.
Dokaz. U stvari, bilo koja dva fundamentalna sistema rješenja homogenog sistema jednačina (1) su ekvivalentna i linearno nezavisna. Dakle, prema prijedlogu 1.12, njihovi rangovi su jednaki. Prema tome, broj rješenja uključenih u jedan fundamentalni sistem jednak je broju rješenja uključenih u bilo koji drugi fundamentalni sistem rješenja.
Ako je glavna matrica A homogenog sistema jednačina (1) nula, tada je bilo koji vektor iz rješenje za sistem (1); u ovom slučaju, svaka kolekcija je linearna nezavisni vektori od je fundamentalni sistem rješenja. Ako je rang stupca matrice A jednak , tada sistem (1) ima samo jedno rješenje - nula; stoga u ovom slučaju sistem jednačina (1) nema fundamentalni sistem rješenja.
TEOREMA 3.12. Ako je rang glavne matrice homogenog sistema linearnih jednačina (1) manji od broja varijabli, onda sistem (1) ima osnovni sistem rješenja koji se sastoji od rješenja.
Dokaz. Ako je rang glavne matrice A homogenog sistema (1) jednak nuli ili , tada je gore pokazano da je teorema tačna. Stoga, ispod se pretpostavlja da je uz pretpostavku , pretpostavit ćemo da su prvi stupci matrice A linearno nezavisni. U ovom slučaju, matrica A je u nizu ekvivalentna redukovanoj postupnoj matrici, a sistem (1) je ekvivalentan sljedećem redukovanom postupnom sistemu jednačina:
Lako je provjeriti da li je bilo koji sistem slobodnih vrijednosti sistemske varijable(2) odgovara jednom i jedinom rješenju sistema (2) i, prema tome, sistema (1). Konkretno, samo nulto rješenje sistema (2) i sistema (1) odgovara sistemu nultih vrijednosti.
U sistemu (2) dodijelit ćemo jedan od slobodnih vrijednost varijabli, jednako 1, a preostale varijable imaju nulte vrijednosti. Kao rezultat dobijamo rješenja sistema jednadžbi (2) koje zapisujemo u obliku redova sljedeće matrice C:
Sistem redova ove matrice je linearno nezavisan. Zaista, za sve skalare iz jednakosti
slijedi jednakost
a samim tim i jednakost
Dokažimo da se linearni raspon sistema redova matrice C poklapa sa skupom svih rješenja sistema (1).
Proizvoljno rješenje sistema (1). Zatim vektor
je također rješenje za sistem (1), i
Neka M 0 – skup rješenja homogenog sistema (4) linearnih jednačina.
Definicija 6.12. Vektori With 1 ,With 2 , …, sa str, koji su rješenja homogenog sistema linearnih jednačina nazivaju se fundamentalni set rješenja(skraćeno FNR), ako
1) vektori With 1 ,With 2 , …, sa str linearno nezavisne (to jest, nijedna od njih se ne može izraziti u terminima drugih);
2) bilo koje drugo rješenje homogenog sistema linearnih jednačina može se izraziti kroz rješenja With 1 ,With 2 , …, sa str.
Imajte na umu da ako With 1 ,With 2 , …, sa str– bilo koji f.n.r., zatim izraz k 1× With 1 + k 2× With 2 + … + k p× sa str možete opisati cijeli set M 0 rješenja sistema (4), tako se zove opšti pogled na sistemsko rešenje (4).
Teorema 6.6. Svaki neodređeni homogeni sistem linearnih jednačina ima osnovni skup rješenja.
Način da se pronađe osnovni skup rješenja je sljedeći:
Naći opće rješenje za homogeni sistem linearnih jednačina;
Izgraditi ( n – r) parcijalna rješenja ovog sistema, dok vrijednosti slobodnih nepoznanica moraju činiti matricu identiteta;
Napisati opšti oblik rješenja uključena u M 0 .
Primjer 6.5. Pronađite osnovni skup rješenja za sljedeći sistem:
Rješenje. Hajde da pronađemo opšte rešenje za ovaj sistem.
~ 
~ 
~ ~ 
Þ 
Þ Þ 
U ovom sistemu postoji pet nepoznatih ( n= 5), od kojih postoje dvije glavne nepoznanice ( r= 2), postoje tri slobodne nepoznate ( n – r), odnosno osnovni skup rješenja sadrži tri vektora rješenja. Hajde da ih izgradimo. Imamo x 1 i x 3 – glavne nepoznanice, x 2 , x 4 , x 5 – slobodne nepoznanice
Vrijednosti slobodnih nepoznanica x 2 , x 4 , x 5 formiraju matricu identiteta E trećeg reda. Imam te vektore With 1 ,With 2 , With 3 obrazac f.n.r. ovog sistema. Tada će skup rješenja ovog homogenog sistema biti M 0 = {k 1× With 1 + k 2× With 2 + k 3× With 3 , k 1 , k 2 , k 3 O R).
Pronađimo sada uslove za postojanje nenultih rešenja homogenog sistema linearnih jednačina, drugim rečima, uslove za postojanje fundamentalnog skupa rešenja.
Homogeni sistem linearnih jednadžbi ima rješenja različita od nule, odnosno neizvjesno je da li
1) rang glavne matrice sistema je manji od broja nepoznatih;
2) u homogenom sistemu linearnih jednačina broj jednačina je manji od broja nepoznatih;
3) ako je u homogenom sistemu linearnih jednadžbi broj jednačina jednak broju nepoznanica, a determinanta glavne matrice jednaka nuli (tj. | A| = 0).
Primjer 6.6. Na kojoj vrijednosti parametra a homogeni sistem linearnih jednačina 
ima rješenja različita od nule?
Rješenje. Sastavimo glavnu matricu ovog sistema i pronađemo njenu determinantu: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Determinanta ove matrice je jednaka nuli u a = –4.
Odgovori: –4.
7. Aritmetika n-dimenzionalni vektorski prostor
Osnovni koncepti
U prethodnim poglavljima smo se već susreli s konceptom skupa realnih brojeva raspoređenih određenim redoslijedom. Ovo je matrica reda (ili matrica stupaca) i rješenje sistema linearnih jednačina sa n nepoznato. Ove informacije se mogu sažeti.
Definicija 7.1. n-dimenzionalni aritmetički vektor naziva se uređenim skupom n realni brojevi.
Sredstva A= (a 1 , a 2 , …, a n), gdje a i O R, i = 1, 2, …, n– opšti pogled na vektor. Broj n pozvao dimenzija vektori i brojevi a i zovu se njegovim koordinate.
Na primjer: A= (1, –8, 7, 4, ) – petodimenzionalni vektor.
Sve je spremno n-dimenzionalni vektori se obično označavaju kao Rn.
Definicija 7.2. Dva vektora A= (a 1 , a 2 , …, a n) I b= (b 1 , b 2 , …, b n) iste dimenzije jednaka ako i samo ako su njihove odgovarajuće koordinate jednake, tj. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.
Definicija 7.3.Iznos dva n-dimenzionalni vektori A= (a 1 , a 2 , …, a n) I b= (b 1 , b 2 , …, b n) naziva se vektor a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).
Definicija 7.4. Posao pravi broj k na vektor A= (a 1 , a 2 , …, a n) naziva se vektor k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a n)
Definicija 7.5. Vector O= (0, 0, …, 0) se poziva nula(ili nulti vektor).
Lako je provjeriti da akcije (operacije) sabiranja vektora i njihovog množenja realnim brojem imaju sljedeća svojstva: " a, b, c Î Rn, " k, l O R:
1) a + b = b + a;
2) a + (b+ c) = (a + b) + c;
3) a + O = a;
4) a+ (–a) = O;
5) 1× a = a, 1 O R;
6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;
7) (k + l)× a = k× a + l× a;
8) k×( a + b) = k× a + k× b.
Definicija 7.6. Gomila Rn sa operacijama sabiranja vektora i njihovog množenja realnim brojem datim na njemu se zove aritmetički n-dimenzionalni vektorski prostor.
