SISTEM HOMOGENIH LINEARNIH JEDNAČINA

Sistem homogenih linearne jednačine zove sistem forme

Jasno je da u ovom slučaju , jer svi elementi jednog od stupaca u ovim determinantama jednaki su nuli.

Pošto se nepoznanice nalaze prema formulama , tada u slučaju kada je Δ ≠ 0, sistem ima jedinstveno nulto rješenje x = y = z= 0. Međutim, u mnogim problemima zanimljivo je pitanje da li homogeni sistem ima rješenja različita od nule.

Teorema. Da bi linearni sistem homogene jednačine ima rješenje različito od nule, potrebno je i dovoljno da je Δ ≠ 0.

Dakle, ako je determinanta Δ ≠ 0, onda sistem ima jedinstveno rješenje. Ako je Δ ≠ 0, onda sistem linearnih homogenih jednadžbi ima beskonačan broj rješenja.

Primjeri.

Svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti matrice

Neka je data kvadratna matrica , X– neka matrica-kolona, ​​čija se visina poklapa sa redoslijedom matrice A. .

U mnogim problemima moramo uzeti u obzir jednačinu za X

gdje je λ određeni broj. Jasno je da za bilo koje λ ova jednadžba ima nulto rješenje.

Naziva se broj λ za koji ova jednadžba ima rješenja različita od nule eigenvalue matrice A, A X jer se takav λ zove svojstveni vektor matrice A.

Nađimo svojstveni vektor matrice A. Zbog E∙X = X, tada se matrična jednačina može prepisati kao ili . U proširenom obliku, ova jednačina se može prepisati kao sistem linearnih jednačina. Zaista .

I zbog toga

Dakle, dobili smo sistem homogenih linearnih jednadžbi za određivanje koordinata x 1, x 2, x 3 vektor X. Da bi sistem imao rješenja različita od nule potrebno je i dovoljno da determinanta sistema bude jednaka nuli, tj.

Ovo je jednačina 3. stepena za λ. To se zove karakteristična jednačina matrice A i služi za određivanje svojstvenih vrijednosti λ.

Svaka svojstvena vrijednost λ odgovara svojstvenom vektoru X, čije su koordinate određene iz sistema na odgovarajućoj vrijednosti λ.

Primjeri.

VECTOR ALGEBRA. KONCEPT VEKTORA

Kada se proučavaju različite grane fizike, postoje veličine koje se u potpunosti određuju specificiranjem njihovih numeričkih vrijednosti, na primjer, dužina, površina, masa, temperatura itd. Takve veličine se nazivaju skalarne. Međutim, pored njih postoje i veličine za koje je potrebno, osim numeričke vrijednosti, znati i njihov smjer u prostoru, na primjer, sila koja djeluje na tijelo, brzina i ubrzanje tijelo kada se kreće u prostoru, napetost magnetsko polje u datoj tački u prostoru itd. Takve veličine se nazivaju vektorske veličine.

Hajde da uvedemo strogu definiciju.

Usmjereni segment Nazovimo segment, u odnosu na čije krajeve se zna koji je od njih prvi, a koji drugi.

Vector naziva se usmjereni segment određene dužine, tj. Ovo je segment određene dužine, u kojem se jedna od tačaka koja ga ograničava uzima kao početak, a druga kao kraj. Ako A– početak vektora, B je njegov kraj, tada se vektor označava simbolom; osim toga, vektor se često označava jednim slovom. Na slici je vektor označen segmentom, a njegov smjer strelicom.

Modul ili dužina Vektorom se naziva dužina usmjerenog segmenta koji ga definira. Označeno sa || ili ||.

Kao vektore ćemo uključiti i takozvani nulti vektor, čiji se početak i kraj podudaraju. Određeno je. Nulti vektor nema specifičan pravac i njegov modul je nula ||=0.

Vektori se nazivaju kolinearno, ako se nalaze na istoj liniji ili na paralelnim linijama. Štoviše, ako su vektori i u istom smjeru, pisat ćemo , suprotno.

Vektori koji se nalaze na pravim linijama paralelnim sa istom ravninom nazivaju se komplanarno.

Dva vektora se nazivaju jednaka, ako su kolinearni, imaju isti smjer i jednake su po dužini. U ovom slučaju pišu.

Iz definicije jednakosti vektora slijedi da se vektor može transportovati paralelno sa samim sobom, postavljajući svoje ishodište u bilo koju tačku u prostoru.

Na primjer.

LINEARNE OPERACIJE NA VEKTORIMA

1. Množenje vektora brojem.

   Umnožak vektora i broja λ je novi vektor takav da:

   Proizvod vektora i broja λ označava se sa .

   

   Na primjer, postoji vektor usmjeren u istom smjeru kao i vektor i koji ima polovinu dužine vektora.

   Uvedena operacija ima sljedeće svojstva:

2. Vektorsko dodavanje.

   Neka su i dva proizvoljna vektora. Uzmimo proizvoljnu tačku O i konstruisati vektor. Nakon toga iz tačke A ostavimo po strani vektor. Vektor koji povezuje početak prvog vektora sa krajem drugog se zove iznos ovih vektora i označava se .

   

   Formulirana definicija vektorskog sabiranja naziva se pravilo paralelograma, budući da se isti zbir vektora može dobiti na sljedeći način. Hajde da odložimo sa tačke O vektori i . Konstruirajmo paralelogram na ovim vektorima OABC. Pošto su vektori, onda vektor, koji je dijagonala paralelograma povučena iz vrha O, očito će biti zbir vektora.

   

   Lako je provjeriti sljedeće svojstva vektorskog sabiranja.

3. Vektorska razlika.

   Vektor kolinearan datom vektoru, jednake dužine i suprotno usmjeren, naziva se suprotno vektor za vektor i označen je sa . Suprotni vektor se može smatrati rezultatom množenja vektora brojem λ = –1: .

Svojstvene vrijednosti (brojevi) i svojstveni vektori.
Primjeri rješenja

Budi svoj

Iz obje jednačine slijedi da .

Recimo onda: .

Kao rezultat: – drugi sopstveni vektor.

Hajde da ponovimo važne tačke rješenja:

– rezultirajući sistem svakako jeste zajednička odluka(jednadžbe su linearno zavisne);

– “y” biramo na način da bude cijeli broj, a prva “x” koordinata cjelobrojna, pozitivna i što manja.

– provjeravamo da li određeno rješenje zadovoljava svaku jednačinu sistema.

Odgovori .

srednji " kontrolne tačke“ bilo sasvim dovoljno, pa je provjera jednakosti u principu nepotrebna.

U različitim izvorima informacija, koordinate vlastitih vektora često se ne pišu u stupcima, već u redovima, na primjer: (i, da budem iskren, i sam sam navikao da ih zapisujem u redove). Ova opcija je prihvatljiva, ali u svjetlu teme linearne transformacije tehnički praktičniji za upotrebu vektori stupaca.

Možda vam je rješenje izgledalo jako dugo, ali to je samo zato što sam prvi primjer prokomentarisao vrlo detaljno.

Primjer 2

Matrice

Trenirajmo sami! Približan primjer završnog zadatka na kraju lekcije.

Ponekad je potrebno dodatni zadatak, naime:

napišite dekompoziciju kanonske matrice

Šta je to?

Ako su svojstveni vektori matrice osnovu, onda se može predstaviti kao:

Gdje je matrica sastavljena od koordinata vlastitih vektora, – dijagonala matrica s odgovarajućim svojstvenim vrijednostima.

Ova matrična dekompozicija se zove kanonski ili dijagonala.

Pogledajmo matricu prvog primjera. Njegovi sopstveni vektori linearno nezavisna(nekolinearne) i čine osnovu. Kreirajmo matricu njihovih koordinata:

On glavna dijagonala matrice odgovarajućim redosledom locirane su vlastite vrijednosti, a preostali elementi su jednaki nuli:
– Još jednom naglašavam važnost reda: “dva” odgovara 1. vektoru i stoga se nalazi u 1. koloni, “tri” – 2. vektoru.

By prema uobičajenom algoritmu nalaz inverzna matrica ili Gauss-Jordan metoda mi nalazimo . Ne, to nije greška u kucanju! - pred vama je rijedak događaj, poput pomračenja Sunca, kada se revers poklopio s originalnom matricom.

Ostaje da zapišemo kanonsku dekompoziciju matrice:

Sistem se može riješiti elementarnim transformacijama kojima ćemo pribjeći u sljedećim primjerima ovu metodu. Ali ovdje "školska" metoda radi mnogo brže. Iz 3. jednačine izražavamo: – zamjenu u drugu jednačinu:

Pošto je prva koordinata nula, dobijamo sistem, iz čije jednačine sledi da .

I opet obratite pažnju na obavezno prisustvo linearnog odnosa. Ako se dobije samo trivijalno rješenje , tada je ili svojstvena vrijednost pogrešno pronađena, ili je sistem kompajliran/riješen s greškom.

Kompaktne koordinate daju vrijednost

Vlastiti vektor:

I još jednom provjeravamo da li je rješenje pronađeno zadovoljava svaku jednačinu sistema. U narednim paragrafima i narednim zadacima preporučujem da ovu želju uzmete kao obavezno pravilo.

2) Za svojstvenu vrijednost, koristeći isti princip, dobijamo sledeći sistem:

Iz 2. jednačine sistema izražavamo: – zamjenu u treću jednačinu:

Pošto je koordinata "zeta" jednaka nuli, dobijamo sistem iz svake jednačine iz koje sledi linearna zavisnost.

Neka

Provjera da li je rješenje zadovoljava svaku jednačinu sistema.

Dakle, svojstveni vektor je: .

3) I konačno, sistem odgovara svojstvenoj vrijednosti:

Druga jednačina izgleda najjednostavnije, pa hajde da je izrazimo i zamenimo je u 1. i 3. jednadžbu:

Sve je u redu - pojavio se linearni odnos koji zamjenjujemo u izraz:

Kao rezultat, “x” i “y” su izraženi kroz “z”: . U praksi nije potrebno postići upravo takve odnose, u nekim slučajevima je zgodnije izraziti i kroz ili i kroz . Ili čak "vlak" - na primjer, "X" do "I", i "ja" do "Z"

Recimo onda:

Provjeravamo da li je pronađeno rješenje zadovoljava svaku jednačinu sistema i piše treći sopstveni vektor

Odgovori: sopstveni vektori:

Geometrijski, ovi vektori definiraju tri različita prostorna pravca ("Tamo i nazad"), prema kojoj linearna transformacija transformira vektore koji nisu nula (svojstvene vektore) u kolinearne vektore.

Ako je uvjet zahtijevao pronalaženje kanonske dekompozicije, onda je to ovdje moguće, jer različite vlastite vrijednosti odgovaraju različitim linearno nezavisnim svojstvenim vektorima. Pravljenje matrice iz njihovih koordinata, dijagonalna matrica od relevantan svojstvene vrijednosti i nađi inverzna matrica .

Ako, po uslovu, treba da napišete matrica linearne transformacije u bazi sopstvenih vektora, onda dajemo odgovor u obliku . Postoji razlika, a razlika je značajna! Zato što je ova matrica „de” matrica.

Problem sa više jednostavne proračune Za nezavisna odluka:

Primjer 5

Naći svojstvene vektore linearne transformacije zadane matricom

Kada pronalazite svoje brojeve, pokušajte da ne idete sve do polinoma 3. stepena. Osim toga, vaša sistemska rješenja mogu se razlikovati od mojih rješenja - tu nema sigurnosti; a vektori koje pronađete mogu se razlikovati od vektora uzorka do proporcionalnosti njihovih odgovarajućih koordinata. Na primjer, i. Estetski je odgovor predstaviti u formi, ali je u redu ako se zaustavite na drugoj opciji. Međutim, postoje razumna ograničenja za sve; verzija više ne izgleda baš dobro.

Okvirni konačni uzorak zadatka na kraju lekcije.

Kako riješiti problem u slučaju više vlastitih vrijednosti?

Opšti algoritam ostaje ista, ali ima svoje karakteristike, te je preporučljivo zadržati neke dijelove rješenja u strožijem akademskom stilu:

Primjer 6

Pronađite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore

Rješenje

Naravno, hajde da pišemo velikim slovom fantastičnu prvu kolonu:

I, nakon raspadanja kvadratni trinom po množiteljima:

Kao rezultat, dobivaju se vlastite vrijednosti, od kojih su dvije višekratne.

Nađimo sopstvene vektore:

1) Pozabavimo se usamljenim vojnikom prema "pojednostavljenoj" šemi:

Iz posljednje dvije jednačine jasno je vidljiva jednakost koju, očigledno, treba zamijeniti 1. jednačinom sistema:

Nećete naći bolju kombinaciju:
Vlastiti vektor:

2-3) Sada uklanjamo nekoliko stražara. IN u ovom slučaju moglo bi uspjeti ili dva ili jedan svojstveni vektor. Bez obzira na višestrukost korijena, vrijednost zamjenjujemo u determinantu što nam donosi sljedeće homogeni sistem linearnih jednačina:

Svojstveni vektori su upravo vektori
fundamentalni sistem rješenja

Zapravo, tokom čitave lekcije nismo radili ništa osim pronalaženja vektora fundamentalnog sistema. Samo što za sada ovaj termin nije bio posebno potreban. Usput, oni pametni studenti koji su promašili temu u maskirnim odijelima homogene jednačine, biće primoran da ga sada popuši.

Jedina akcija bila je uklanjanje dodatnih linija. Rezultat je matrica jedan po tri sa formalnim „korakom“ u sredini.
– osnovna varijabla, – slobodne varijable. Dakle, postoje dvije slobodne varijable postoje i dva vektora fundamentalnog sistema.

Izrazimo osnovnu varijablu u terminima slobodnih varijabli: . Multiplikator nule ispred "X" omogućava mu da preuzme apsolutno bilo koje vrijednosti (što je jasno vidljivo iz sistema jednadžbi).

U kontekstu ovog problema, prikladnije je opće rješenje napisati ne u redu, već u stupcu:

Par odgovara sopstvenom vektoru:
Par odgovara sopstvenom vektoru:

Bilješka : sofisticirani čitaoci mogu odabrati ove vektore usmeno - jednostavno analizirajući sistem , ali ovdje je potrebno određeno znanje: postoje tri varijable, rang sistemske matrice- jedan, što znači fundamentalni sistem odlučivanja sastoji se od 3 – 1 = 2 vektora. Međutim, pronađeni vektori su jasno vidljivi i bez ovog znanja, čisto na intuitivnom nivou. U ovom slučaju, treći vektor će biti napisan još „ljepše“: . Međutim, upozoravam vas da u drugom primjeru jednostavan odabir možda neće biti moguć, zbog čega je klauzula namijenjena iskusnim ljudima. Uz to, zašto ne uzeti, recimo, kao treći vektor? Na kraju krajeva, njegove koordinate također zadovoljavaju svaku jednačinu sistema i vektore linearno nezavisna. Ova opcija je, u principu, prikladna, ali "kriva", jer je "drugi" vektor linearna kombinacija vektora osnovnog sistema.

Odgovori: vlastite vrijednosti: , svojstveni vektori:

Sličan primjer za nezavisno rješenje:

Primjer 7

Pronađite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore

Približan uzorak konačnog dizajna na kraju lekcije.

Treba napomenuti da se i u 6. i u 7. primjeru dobija trojka linearno nezavisnih svojstvenih vektora, te je stoga originalna matrica reprezentabilna u kanonskoj dekompoziciji. Ali takve maline se ne dešavaju u svim slučajevima:

Primjer 8

Rješenje: Kreirajmo i riješimo karakterističnu jednačinu:

Proširimo determinantu u prvoj koloni:

Dalja pojednostavljenja vršimo prema razmatranoj metodi, izbjegavajući polinom trećeg stepena:

– vlastite vrijednosti.

Nađimo sopstvene vektore:

1) Nema poteškoća s root-om:

Nemojte se iznenaditi, osim kompleta, u upotrebi su i varijable - tu nema razlike.

Iz 3. jednačine to izražavamo i zamjenjujemo u 1. i 2. jednačinu:

Iz obje jednačine slijedi:

Neka onda:

2-3) Za više vrijednosti dobijamo sistem .

Zapišemo matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postepeni oblik:

www.site omogućava vam da pronađete. Stranica vrši proračun. Za nekoliko sekundi server će dati ispravno rješenje. Karakteristična jednačina za matricu bice algebarski izraz, pronađeno po pravilu za izračunavanje determinante matrice matrice, dok će duž glavne dijagonale postojati razlike u vrijednostima dijagonalnih elemenata i varijable. Prilikom izračunavanja karakteristična jednačina za matricu online, svaki element matriceće se pomnožiti sa odgovarajućim drugim elementima matrice. Pronađi u načinu rada online moguće samo za kvadrat matrice. Operacija pronalaženja karakteristična jednačina za matricu online svodi na izračunavanje algebarskog zbroja proizvoda elemenata matrice kao rezultat nalaženja determinante matrice, samo u svrhu utvrđivanja karakteristična jednačina za matricu online. Ova operacija zauzima posebno mesto u teoriji matrice, omogućava vam da pronađete svojstvene vrijednosti i vektore koristeći korijene. Zadatak pronalaženja karakteristična jednačina za matricu online sastoji se od množenja elemenata matrice nakon čega slijedi zbrajanje ovih proizvoda prema određenom pravilu. www.site nalazi karakteristična jednačina za matricu datu dimenziju u modu online. Kalkulacija karakteristična jednačina za matricu online s obzirom na njegovu dimenziju, ovo je pronalaženje polinoma sa numeričkim ili simboličkim koeficijentima, pronađenim prema pravilu za izračunavanje determinante matrice- kao zbir proizvoda odgovarajućih elemenata matrice, samo u svrhu utvrđivanja karakteristična jednačina za matricu online. Pronalaženje polinoma u odnosu na varijablu za kvadrat matrice, kao definicija karakteristična jednačina za matricu, uobičajeno u teoriji matrice. Značenje korijena polinoma karakteristična jednačina za matricu online koristi se za određivanje svojstvenih vektora i svojstvenih vrijednosti za matrice. Štaviše, ako je determinanta matrice tada će biti jednak nuli karakteristična jednačina matriceće i dalje postojati, za razliku od obrnutog matrice. Da bi izračunali karakteristična jednačina za matricu ili pronađite nekoliko odjednom matrice karakteristične jednadžbe, potrebno je uložiti puno vremena i truda, dok će naš server pronaći za nekoliko sekundi karakteristična jednačina za matricu online. U ovom slučaju, odgovor na pronalaženje karakteristična jednačina za matricu onlineće biti ispravan i sa dovoljnom tačnošću, čak i ako su brojevi prilikom pronalaženja karakteristična jednačina za matricu online biće iracionalno. Na sajtu www.site unosi znakova su dozvoljeni u elementima matrice, to je karakteristična jednačina za matricu online može se predstaviti u opštem simboličkom obliku prilikom izračunavanja karakteristična jednačina matrice online. Korisno je provjeriti dobijeni odgovor prilikom rješavanja zadatka nalaženja karakteristična jednačina za matricu online korištenjem stranice www.site. Prilikom izvođenja operacije izračunavanja polinoma - karakteristična jednačina matrice, morate biti oprezni i izuzetno fokusirani kada rješavate ovaj problem. Zauzvrat, naša stranica će vam pomoći da provjerite svoju odluku o ovoj temi karakteristična jednačina matrice online. Ako nemate vremena za duge provjere riješenih problema, onda www.siteće svakako biti zgodan alat za provjeru prilikom pronalaženja i izračunavanja karakteristična jednačina za matricu online.

Svojstveni vektor kvadratne matrice je onaj koji, kada se pomnoži sa datom matricom, rezultira kolinearnim vektorom. Jednostavnim riječima, pri množenju matrice sa sopstvenim vektorom, ovaj drugi ostaje isti, ali pomnožen sa određenim brojem.

Definicija

Svojstveni vektor je vektor V različit od nule, koji, kada se pomnoži kvadratnom matricom M, sam postaje uvećan za neki broj λ. U algebarskoj notaciji to izgleda ovako:

M × V = λ × V,

gdje je λ vlastita vrijednost matrice M.

Hajde da razmotrimo numerički primjer. Radi lakšeg snimanja, brojevi u matrici će biti odvojeni tačkom i zarezom. Hajde da imamo matricu:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Pomnožimo ga vektorom stupca:

• V = -2;

Kada pomnožimo matricu sa vektorom kolone, dobijamo i vektor kolone. Strogo matematički jezik formula za množenje matrice 2 × 2 vektorom stupca bi izgledala ovako:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 označava element matrice M koji se nalazi u prvom redu i prvoj koloni, a M22 označava element koji se nalazi u drugom redu i drugoj koloni. Za našu matricu ovi elementi su jednaki M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Za vektor stupac ove vrijednosti su jednake V11 = –2, V21 = 1. Prema ovoj formuli, dobijamo sledeći rezultat proizvoda kvadratne matrice vektorom:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Radi praktičnosti, zapišimo vektor kolone u red. Dakle, pomnožili smo kvadratnu matricu sa vektorom (-2; 1), što je rezultiralo vektorom (4; -2). Očigledno, ovo je isti vektor pomnožen sa λ = -2. Lambda u ovom slučaju označava svojstvenu vrijednost matrice.

Svojstveni vektor matrice je kolinearni vektor, odnosno objekt koji ne mijenja svoj položaj u prostoru kada se pomnoži sa matricom. Koncept kolinearnosti u vektorskoj algebri sličan je terminu paralelizma u geometriji. U geometrijskoj interpretaciji, kolinearni vektori su paralelno usmjereni segmenti različitih dužina. Još od Euklidovog vremena znamo da jedna linija ima beskonačan broj linija paralelnih sa njom, pa je logično pretpostaviti da svaka matrica ima beskonačan broj svojstvenih vektora.

Iz prethodnog primjera jasno je da svojstveni vektori mogu biti (-8; 4), i (16; -8) i (32, -16). Ovo su svi kolinearni vektori koji odgovaraju svojstvenoj vrijednosti λ = -2. Kada množimo originalnu matricu ovim vektorima, i dalje ćemo dobiti vektor koji se razlikuje od originala 2 puta. Zato je pri rješavanju zadataka nalaženja svojstvenog vektora potrebno pronaći samo linearno nezavisne vektorske objekte. Najčešće, za n × n matricu, postoji n broj svojstvenih vektora. Naš kalkulator je dizajniran za analizu kvadratnih matrica drugog reda, tako da će gotovo uvijek rezultat pronaći dva svojstvena vektora, osim u slučajevima kada se poklapaju.

U gornjem primjeru smo unaprijed znali svojstveni vektor originalne matrice i jasno odredili lambda broj. Međutim, u praksi se sve događa obrnuto: prvo se pronađu svojstvene vrijednosti pa tek onda svojstveni vektori.

Algoritam rješenja

Pogledajmo ponovo originalnu matricu M i pokušajmo pronaći oba njena svojstvena vektora. Dakle, matrica izgleda ovako:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Prvo moramo odrediti svojstvenu vrijednost λ, što zahtijeva izračunavanje determinante sljedeće matrice:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Ova matrica se dobija oduzimanjem nepoznatog λ od elemenata na glavnoj dijagonali. Determinanta se određuje pomoću standardne formule:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Pošto naš vektor mora biti različit od nule, prihvatamo rezultirajuću jednačinu kao linearno zavisnu i izjednačavamo našu determinantu detA sa nulom.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Otvorimo zagrade i dobijemo karakterističnu jednačinu matrice:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Ovo je standardno kvadratna jednačina, što treba riješiti preko diskriminanta.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Koren diskriminante je sqrt(D) = 14, dakle λ1 = -2, λ2 = 12. Sada za svaku lambda vrijednost trebamo pronaći svojstveni vektor. Izrazimo sistemske koeficijente za λ = -2.

• M − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

U ovoj formuli, E je matrica identiteta. Na osnovu rezultirajuće matrice kreiramo sistem linearnih jednadžbi:

2x + 4y = 6x + 12y,

gdje su x i y elementi svojstvenog vektora.

Skupimo sve X na lijevoj i sve Y na desnoj strani. Očigledno - 4x = 8y. Podijelite izraz sa -4 i dobijete x = –2y. Sada možemo odrediti prvi svojstveni vektor matrice, uzimajući bilo koje vrijednosti nepoznatih (sjetite se beskonačnosti linearno zavisnih svojstvenih vektora). Uzmimo y = 1, a zatim x = –2. Dakle, prvi sopstveni vektor izgleda kao V1 = (–2; 1). Vratite se na početak članka. Upravo smo ovim vektorskim objektom pomnožili matricu da bismo demonstrirali koncept svojstvenog vektora.

Sada pronađimo svojstveni vektor za λ = 12.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Napravimo isti sistem linearnih jednačina;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

Sada uzimamo x = 1, dakle y = 3. Dakle, drugi sopstveni vektor izgleda kao V2 = (1; 3). Kada se originalna matrica množi datim vektorom, rezultat će uvijek biti isti vektor pomnožen sa 12. Ovdje se završava algoritam rješenja. Sada znate kako ručno odrediti svojstveni vektor matrice.

• determinanta;
• trag, odnosno zbir elemenata na glavnoj dijagonali;
• rang, odnosno maksimalni broj linearno nezavisnih redova/kolona.

Program radi prema gore navedenom algoritmu, skraćujući proces rješavanja što je više moguće. Važno je istaći da je u programu lambda označena slovom “c”. Pogledajmo brojčani primjer.

Primjer kako program radi

Pokušajmo odrediti svojstvene vektore za sljedeću matricu:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Unesimo ove vrijednosti u ćelije kalkulatora i dobijemo odgovor u sljedećem obliku:

• Rang matrice: 2;
• Matrična determinanta: 18;
• Trag matrice: 19;
• Izračunavanje svojstvenog vektora: c 2 − 19.00c + 18.00 (karakteristična jednačina);
• Izračun sopstvenog vektora: 18 (prva lambda vrijednost);
• Izračun sopstvenog vektora: 1 (druga lambda vrijednost);
• Sistem jednačina za vektor 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Sistem jednačina za vektor 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Vlastiti vektor 1: (1; 1);
• Vlastiti vektor 2: (-3,25; 1).

Tako smo dobili dva linearno nezavisna svojstvena vektora.

Zaključak

Linearna algebra i analitička geometrija su standardni predmeti za svakog studenta brucoškog inženjerstva. Veliki broj vektora i matrica je zastrašujući i lako je pogriješiti u tako glomaznim proračunima. Naš program će omogućiti studentima da provjere svoje proračune ili automatski riješe problem pronalaženja svojstvenog vektora. U našem katalogu postoje i drugi kalkulatori za linearnu algebru; koristite ih u svom studiranju ili poslu.

Dijagonalne matrice imaju najjednostavniju strukturu. Postavlja se pitanje da li je moguće pronaći osnovu u kojoj bi matrica linearnog operatora imala dijagonalni oblik. Takva osnova postoji.
Neka nam je dat linearni prostor R n i linearni operator A koji djeluje u njemu; u ovom slučaju, operator A uzima R n u sebe, to jest, A:R n → R n .

Definicija. Vektor različit od nule naziva se sopstveni vektor operatora A ako se operator A prevodi u kolinearni vektor, tj. Broj λ se naziva svojstvena vrijednost ili svojstvena vrijednost operatora A, koja odgovara svojstvenom vektoru.
Napomenimo neka svojstva svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora.
1. Bilo koja linearna kombinacija vlastitih vektora operator A koji odgovara istoj svojstvenoj vrijednosti λ je svojstveni vektor sa istom svojstvenom vrijednošću.
2. Vlastiti vektori Operator A sa po parovima različitim sopstvenim vrednostima λ 1 , λ 2 , …, λ m su linearno nezavisni.
3. Ako su svojstvene vrijednosti λ 1 =λ 2 = λ m = λ, tada vlastita vrijednost λ odgovara ne više od m linearno nezavisnih svojstvenih vektora.

Dakle, ako postoji n linearno nezavisnih sopstvenih vektora , koje odgovaraju različitim svojstvenim vrijednostima λ 1, λ 2, ..., λ n, onda su linearno nezavisne, stoga se mogu uzeti kao osnova prostora R n. Nađimo oblik matrice linearnog operatora A u bazi njegovih vlastitih vektora, za koji ćemo djelovati s operatorom A na baznim vektorima: Onda .
Dakle, matrica linearnog operatora A u osnovi svojih svojstvenih vektora ima dijagonalni oblik, a svojstvene vrijednosti operatora A su duž dijagonale.
Postoji li još jedna osnova u kojoj matrica ima dijagonalni oblik? Odgovor na ovo pitanje daje sljedeća teorema.

Teorema. Matrica linearnog operatora A u bazi (i = 1..n) ima dijagonalni oblik ako i samo ako su svi vektori baze svojstveni vektori operatora A.

Pravilo za pronalaženje svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora

Neka je dat vektor , gdje su x 1, x 2, …, x n koordinate vektora u odnosu na bazu i je svojstveni vektor linearnog operatora A koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ, tj. Ovaj odnos se može napisati u matričnom obliku

. (*)

Jednačina (*) se može posmatrati kao jednačina za pronalaženje , i , odnosno, zanimaju nas netrivijalna rješenja, budući da svojstveni vektor ne može biti nula. Poznato je da netrivijalna rješenja homogenog sistema linearnih jednadžbi postoje ako i samo ako je det(A - λE) = 0. Dakle, da bi λ bila vlastita vrijednost operatora A neophodno je i dovoljno da det(A - λE ) = 0.
Ako se jednačina (*) detaljno napiše u koordinatnom obliku, dobijamo sistem linearnih homogenih jednačina:

(1)
Gdje - linearna operatorska matrica.

Sistem (1) ima rješenje različito od nule ako je njegova determinanta D jednaka nuli

Dobili smo jednačinu za pronalaženje vlastitih vrijednosti.
Ova jednačina se naziva karakteristična jednačina, i njena lijeva strana- karakteristični polinom matrice (operator) A. Ako karakteristični polinom nema realne korijene, onda matrica A nema svojstvene vektore i ne može se svesti na dijagonalni oblik.
Neka su λ 1, λ 2, …, λ n realni korijeni karakteristične jednadžbe, a među njima mogu biti višekratnici. Zamjenom ovih vrijednosti u sistem (1) nalazimo svojstvene vektore.

Primjer 12. Linearni operator A djeluje u R 3 prema zakonu, gdje su x 1, x 2, .., x n koordinate vektora u bazi , , . Pronađite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore ovog operatora.
Rješenje. Gradimo matricu ovog operatora:
.
Kreiramo sistem za određivanje koordinata sopstvenih vektora:

Sastavljamo karakterističnu jednačinu i rješavamo je:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Zamjenom λ = -1 u sistem imamo:
ili
Jer , tada postoje dvije zavisne varijable i jedna slobodna varijabla.
Neka je onda x 1 slobodna nepoznanica Ovaj sistem rješavamo na bilo koji način i pronalazimo generalno rješenje ovog sistema: Fundamentalni sistem rješenja se sastoji od jednog rješenja, jer je n - r = 3 - 2 = 1.
Skup svojstvenih vektora koji odgovaraju svojstvenoj vrijednosti λ = -1 ima oblik: , gdje je x 1 bilo koji broj osim nule. Odaberimo jedan vektor iz ovog skupa, na primjer, stavimo x 1 = 1: .
Slično razmišljajući, nalazimo svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = 3: .
U prostoru R 3 baza se sastoji od tri linearno nezavisna vektora, ali smo dobili samo dva linearno nezavisna svojstvena vektora od kojih se ne može sastaviti baza u R 3. Prema tome, ne možemo svesti matricu A linearnog operatora na dijagonalni oblik.

Primjer 13. Zadana matrica .
1. Dokazati da je vektor je svojstveni vektor matrice A. Nađite svojstvenu vrijednost koja odgovara ovom svojstvenom vektoru.
2. Naći bazu u kojoj matrica A ima dijagonalni oblik.
Rješenje.
1. Ako , Tada je svojstveni vektor

.
Vektor (1, 8, -1) je svojstveni vektor. Svojstvena vrijednost λ = -1.
Matrica ima dijagonalni oblik u bazi koja se sastoji od svojstvenih vektora. Jedan od njih je poznat. Hajde da nađemo ostalo.
Tražimo sopstvene vektore iz sistema:

Karakteristična jednačina: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Nađimo svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = -3:

Rang matrice ovog sistema je dva i jednak je broju nepoznatih, tako da ovaj sistem ima samo nulto rešenje x 1 = x 3 = 0. x 2 ovde može biti bilo šta osim nule, na primer, x 2 = 1. Dakle, vektor (0 ,1,0) je svojstveni vektor koji odgovara λ = -3. provjerimo:
.
Ako je λ = 1, onda dobijamo sistem
Rang matrice je dva. Precrtavamo posljednju jednačinu.
Neka je x 3 slobodna nepoznanica. Tada je x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Uz pretpostavku da je x 3 = 1, imamo (-3,-9,1) - svojstveni vektor koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ = 1. Provjerite:

.
Pošto su sopstvene vrijednosti realne i različite, vektori koji im odgovaraju su linearno nezavisni, pa se mogu uzeti kao osnova u R 3 . Dakle, u osnovi , , matrica A ima oblik:
.
Ne može se svaka matrica linearnog operatora A:R n → R n svesti na dijagonalni oblik, jer za neke linearni operatori Može biti manje od n linearno nezavisnih sopstvenih vektora. Međutim, ako je matrica simetrična, tada korijen karakteristične jednadžbe višestrukosti m odgovara točno m linearno neovisnih vektora.

Definicija. Simetrična matrica je kvadratna matrica u kojoj su elementi simetrični oko glavne dijagonale jednaki, odnosno u kojoj su .
Bilješke. 1. Sve vlastite vrijednosti simetrične matrice su realne.
2. Svojstveni vektori simetrične matrice koji odgovaraju parno različitim svojstvenim vrijednostima su ortogonalni.
Kao jednu od brojnih primjena proučavanog aparata razmatramo problem određivanja tipa krive drugog reda.