Očekivanje je distribucija vjerovatnoće slučajne varijable
Matematičko očekivanje, definicija, matematičko očekivanje diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli, uzorak, uslovno očekivanje, proračun, svojstva, problemi, procjena očekivanja, disperzija, funkcija distribucije, formule, primjeri proračuna
Proširite sadržaj
Sažmi sadržaj
Matematičko očekivanje je definicija
Jedan od najvažnijih koncepata u matematičke statistike i teorija vjerojatnosti, koja karakterizira distribuciju vrijednosti ili vjerovatnoće slučajne varijable. Obično se izražava kao ponderisani prosjek svih mogućih parametara slučajne varijable. Široko se koristi u tehničkoj analizi, proučavanju nizova brojeva i proučavanju kontinuiranih i dugotrajnih procesa. Ima bitan pri procjeni rizika, predviđanju indikatora cijena pri trgovanju na finansijskim tržištima, koristi se u razvoju strategija i metoda taktike igara na sreću u teoriji kockanja.
Matematičko očekivanje je prosječna vrijednost slučajne varijable, distribucija vjerovatnoće slučajne varijable se razmatra u teoriji vjerovatnoće.
Matematičko očekivanje je mjera prosječne vrijednosti slučajne varijable u teoriji vjerovatnoće. Očekivanje slučajne varijable x označeno sa M(x).
Matematičko očekivanje je
Matematičko očekivanje je u teoriji vjerovatnoće, ponderisani prosjek svih mogućih vrijednosti koje ovo može poprimiti slučajna vrijednost.
Matematičko očekivanje je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i vjerovatnoće tih vrijednosti.
Matematičko očekivanje je prosječnu korist od određene odluke, pod uslovom da se takva odluka može razmatrati u okviru teorije veliki brojevi i velike udaljenosti.
Matematičko očekivanje je u teoriji kockanja, iznos dobitka koji igrač može zaraditi ili izgubiti, u prosjeku, za svaku opkladu. U kockarskom jeziku, ovo se ponekad naziva "ivica igrača" (ako je pozitivna za igrača) ili "ivica kuće" (ako je negativna za igrača).
Matematičko očekivanje je procenat profita po pobedi pomnožen prosečnim profitom, minus verovatnoća gubitka pomnožena sa prosečnim gubitkom.
Matematičko očekivanje slučajne varijable u matematička teorija
Jedna od važnih numeričkih karakteristika slučajne varijable je njeno matematičko očekivanje. Hajde da uvedemo koncept sistema slučajnih varijabli. Razmotrimo skup slučajnih varijabli koje su rezultati istog slučajnog eksperimenta. Ako je jedna od mogućih vrijednosti sistema, onda događaj odgovara određenoj vjerovatnoći koja zadovoljava Kolmogorovljeve aksiome. Funkcija definirana za sve moguće vrijednosti slučajnih varijabli naziva se zajednički zakon distribucije. Ova funkcija vam omogućava da izračunate vjerovatnoće bilo kojeg događaja iz. Konkretno, zajednički zakon raspodjele slučajnih varijabli i, koji uzimaju vrijednosti iz skupa i, dat je vjerovatnoćama.
Termin "matematičko očekivanje" uveo je Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) i dolazi od koncepta "očekivana vrijednost dobitka", koji se prvi put pojavio u 17. stoljeću u teoriji kockanja u djelima Blaisea Pascal-a i Christiaana. Huygens. Međutim, prvo potpuno teorijsko razumijevanje i ocjenu ovog koncepta dao je Pafnuti Lvovič Čebišev (sredina 19. stoljeća).
Zakon distribucije slučajnih numeričkih varijabli (funkcija distribucije i red raspodjele ili gustina vjerovatnoće) u potpunosti opisuje ponašanje slučajne varijable. Ali u nizu problema dovoljno je znati neke numeričke karakteristike veličine koja se proučava (na primjer, njena prosječna vrijednost i moguće odstupanje od njega) da odgovori na postavljeno pitanje. Glavne numeričke karakteristike slučajnih varijabli su matematičko očekivanje, varijansa, mod i medijan.
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda njenih mogućih vrijednosti i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti. Ponekad se matematičko očekivanje naziva ponderisanim prosjekom, jer je približno jednako aritmetičkoj sredini promatranih vrijednosti slučajne varijable u velikom broju eksperimenata. Iz definicije matematičko očekivanje slijedi da njegova vrijednost nije manja od najmanje moguće vrijednosti slučajne varijable i nije veća od najveće. Matematičko očekivanje slučajne varijable je neslučajna (konstantna) varijabla.
Matematičko očekivanje ima jednostavno fizičko značenje: ako jediničnu masu postavite na pravu liniju, stavite određenu masu u neke tačke (npr. diskretna distribucija), ili ga "razmazati" određenom gustinom (za apsolutno kontinuiranu distribuciju), tada će tačka koja odgovara matematičkom očekivanju biti koordinata "centra gravitacije" linije.
Prosječna vrijednost slučajne varijable je određeni broj koji je, takoreći, njen „predstavnik“ i zamjenjuje ga u približno približnim proračunima. Kada kažemo: "prosječno vrijeme rada lampe je 100 sati" ili "prosječna tačka udara je pomjerena u odnosu na metu za 2 m udesno", ukazujemo na određenu numeričku karakteristiku slučajne varijable koja opisuje njenu lokaciju. na numeričkoj osi, tj. "karakteristike položaja".
Iz karakteristika položaja u teoriji vjerovatnoće vitalna uloga igra matematičko očekivanje slučajne varijable, koja se ponekad naziva jednostavno prosječna vrijednost slučajne varijable.
Uzmite u obzir slučajnu varijablu X, sa mogućim vrijednostima x1, x2, …, xn sa vjerovatnoćama p1, p2, …, pn. Moramo nekim brojem okarakterizirati položaj vrijednosti slučajne varijable na x-osi, uzimajući u obzir činjenicu da te vrijednosti imaju različite vjerovatnoće. U tu svrhu, prirodno je koristiti takozvani „ponderisani prosek“ vrednosti xi, a svaku vrijednost xi tokom usrednjavanja treba uzeti u obzir sa “težinom” proporcionalnom vjerovatnoći ove vrijednosti. Stoga ćemo izračunati prosjek slučajne varijable X, koje označavamo M |X|:
Ovaj ponderisani prosjek naziva se matematičko očekivanje slučajne varijable. Tako smo uveli u razmatranje jedan od najvažnijih koncepata teorije vjerovatnoće – koncept matematičkog očekivanja. Matematičko očekivanje slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i vjerovatnoća tih vrijednosti.
X je povezan osebujnom zavisnošću sa aritmetičkom sredinom posmatranih vrednosti slučajne varijable u velikom broju eksperimenata. Ova zavisnost je istog tipa kao i zavisnost između učestalosti i verovatnoće, naime: kod velikog broja eksperimenata, aritmetička sredina posmatranih vrednosti slučajne varijable približava se (konvergira u verovatnoći) njenom matematičkom očekivanju. Iz prisustva veze između frekvencije i vjerovatnoće može se zaključiti kao posljedica prisutnost slične veze između aritmetičke sredine i matematičkog očekivanja. Zaista, razmotrite slučajnu varijablu X, karakteriziran distribucijskim nizom:
Neka se proizvede N nezavisni eksperimenti, u svakom od kojih vrijednost X poprima određenu vrijednost. Pretpostavimo da je vrijednost x1 pojavio m1 vremena, vrijednost x2 pojavio m2 vremena, opšte značenje xi pojavio mi se puta. Izračunajmo aritmetičku sredinu uočenih vrijednosti vrijednosti X, koja je, za razliku od matematičkog očekivanja M|X| označavamo M*|X|:
Sa povećanjem broja eksperimenata N frekvencije piće se približiti (konvergirati u vjerovatnoći) odgovarajućim vjerovatnoćama. Posljedično, aritmetička sredina promatranih vrijednosti slučajne varijable M|X| sa povećanjem broja eksperimenata će se približiti (konvergirati u vjerovatnoći) svom matematičkom očekivanju. Gore formulisana veza između aritmetičke sredine i matematičkog očekivanja čini sadržaj jednog od oblika zakona velikih brojeva.
Već znamo da svi oblici zakona velikih brojeva navode činjenicu da su neki prosjeci stabilni u velikom broju eksperimenata. Ovdje govorimo o stabilnosti aritmetičke sredine iz serije opažanja iste veličine. Uz mali broj eksperimenata, aritmetička sredina njihovih rezultata je slučajna; s dovoljnim povećanjem broja eksperimenata, postaje "gotovo neslučajan" i, stabilizirajući se, približava se konstantnoj vrijednosti - matematičkom očekivanju.
Stabilnost prosjeka u velikom broju eksperimenata može se lako eksperimentalno provjeriti. Na primjer, kada vagamo tijelo u laboratoriju na preciznoj vagi, kao rezultat vaganja svaki put dobijamo novu vrijednost; Da bismo smanjili grešku u promatranju, tijelo izmjerimo nekoliko puta i koristimo aritmetičku sredinu dobivenih vrijednosti. Lako je uočiti da daljim povećanjem broja eksperimenata (vaganja) aritmetička sredina sve manje reaguje na to povećanje i, uz dovoljno veliki broj eksperimenata, praktično prestaje da se menja.
Treba napomenuti da najvažnija karakteristika pozicija slučajne varijable - matematičko očekivanje - ne postoji za sve slučajne varijable. Moguće je sastaviti primjere takvih slučajnih varijabli za koje matematičko očekivanje ne postoji, jer se odgovarajući zbir ili integral divergiraju. Međutim, takvi slučajevi nisu od značajnog interesa za praksu. Tipično, slučajne varijable s kojima se bavimo imaju ograničen raspon mogućih vrijednosti i, naravno, imaju matematička očekivanja.
Pored najvažnijih karakteristika položaja slučajne varijable - matematičkog očekivanja - u praksi se ponekad koriste i druge karakteristike pozicije, a posebno mod i medijan slučajne varijable.
Mod slučajne varijable je njena najvjerovatnija vrijednost. Izraz "najvjerovatnija vrijednost" striktno govoreći primjenjuje se samo na diskontinuirane količine; za kontinuiranu količinu, mod je vrijednost pri kojoj je gustina vjerovatnoće maksimalna. Slike pokazuju način rada za diskontinuirane i kontinuirane slučajne varijable, respektivno.
Ako poligon distribucije (kriva distribucije) ima više od jednog maksimuma, distribucija se naziva "multimodalna".
Ponekad postoje distribucije koje imaju minimum u sredini, a ne maksimum. Takve distribucije se nazivaju „antimodalne“.
IN opšti slučaj mod i matematičko očekivanje slučajne varijable se ne poklapaju. U konkretnom slučaju, kada je distribucija simetrična i modalna (tj. ima mod) i postoji matematičko očekivanje, onda se ono poklapa sa modom i centrom simetrije distribucije.
Često se koristi još jedna karakteristika pozicije - takozvani medijan slučajne varijable. Ova karakteristika se obično koristi samo za kontinuirane slučajne varijable, iako se formalno može definirati za diskontinuiranu varijablu. Geometrijski gledano, medijana je apscisa tačke u kojoj je područje zatvoreno krivom raspodjele podijeljeno na pola.
U slučaju simetrične modalne distribucije, medijana se poklapa sa matematičkim očekivanjem i modom.
Matematičko očekivanje je prosječna vrijednost slučajne varijable - numerička karakteristika distribucije vjerovatnoće slučajne varijable. Na najopštiji način, matematičko očekivanje slučajne varijable X(w) je definisan kao Lebesgueov integral u odnosu na mjeru vjerovatnoće R u izvornom prostoru vjerovatnoće:
Matematičko očekivanje se takođe može izračunati kao Lebesgueov integral od X po distribuciji vjerovatnoće px količine X:
Koncept slučajne varijable sa beskonačnim matematičkim očekivanjem može se definirati na prirodan način. Tipičan primjer su vremena povratka nekih nasumičnih šetnji.
Uz pomoć matematičkog očekivanja, mnogi brojčani i funkcionalne karakteristike distribucije (kao matematičko očekivanje odgovarajućih funkcija od slučajne varijable), na primjer, generirajuća funkcija, karakteristična funkcija, momenti bilo kojeg reda, posebno disperzija, kovarijansa.
Matematičko očekivanje je karakteristika lokacije vrijednosti slučajne varijable (prosječne vrijednosti njene distribucije). U tom svojstvu, matematičko očekivanje služi kao neki „tipični“ parametar distribucije i njegova uloga je slična ulozi statičkog momenta – koordinate težišta distribucije mase – u mehanici. Od ostalih karakteristika lokacije uz pomoć kojih se distribucija opisuje općenito - medijana, modova, matematičko očekivanje razlikuje se po većoj vrijednosti koju ono i odgovarajuća karakteristika raspršenja - disperzija - imaju u graničnim teoremama teorije vjerovatnoće. Značenje matematičkog očekivanja najpotpunije otkriva zakon velikih brojeva (Čebiševljeva nejednakost) i pojačani zakon velikih brojeva.
Očekivanje diskretne slučajne varijable
Neka postoji neka slučajna varijabla koja može uzeti jednu od nekoliko numeričkih vrijednosti (na primjer, broj bodova pri bacanju kocke može biti 1, 2, 3, 4, 5 ili 6). Često se u praksi, za takvu vrijednost, postavlja pitanje: koju vrijednost uzima "u prosjeku" s velikim brojem testova? Koliki će biti naš prosječni prihod (ili gubitak) od svake od rizičnih transakcija?
Recimo da postoji neka vrsta lutrije. Želimo da shvatimo da li je isplativo ili ne učestvovati u tome (ili čak učestvovati više puta, redovno). Recimo da je svaka četvrta karta pobjednička, nagrada će biti 300 rubalja, a cijena bilo koje karte će biti 100 rubalja. Uz beskonačno veliki broj učešća, evo šta se dešava. U tri četvrtine slučajeva ćemo izgubiti, svaka tri gubitka koštat će 300 rubalja. U svakom četvrtom slučaju dobit ćemo 200 rubalja. (nagrada minus trošak), to jest, za četiri učešća gubimo u prosjeku 100 rubalja, za jedno - u prosjeku 25 rubalja. Ukupno, prosječna cijena naše ruševine bit će 25 rubalja po karti.
Bacamo kockice. Ako nije varanje (bez pomeranja centra gravitacije, itd.), koliko ćemo onda u proseku imati poena u jednom trenutku? Pošto je svaka opcija jednako vjerovatna, jednostavno uzimamo aritmetičku sredinu i dobijemo 3,5. Pošto je ovo PROSEK, nema potrebe da se ljutite što ni jedno konkretno bacanje neće dati 3,5 poena - pa ova kocka nema lice sa takvim brojem!
Sada da sumiramo naše primjere:
Pogledajmo upravo datu sliku. Na lijevoj strani je tabela distribucije slučajne varijable. Vrijednost X može uzeti jednu od n mogućih vrijednosti (prikazano u gornjem redu). Ne može postojati nikakva druga značenja. Ispod svake moguće značenje njegova vjerovatnoća je napisana u nastavku. Desno je formula, gdje se M(X) naziva matematičko očekivanje. Značenje ove vrijednosti je da će s velikim brojem testova (sa velikim uzorkom) prosječna vrijednost težiti istom matematičkom očekivanju.
Vratimo se ponovo na istu kocku za igru. Matematičko očekivanje broja poena pri bacanju je 3,5 (izračunajte sami koristeći formulu ako mi ne vjerujete). Recimo da ste ga bacili nekoliko puta. Rezultati su bili 4 i 6. Prosek je bio 5, što je daleko od 3,5. Bacili su ga još jednom, dobili su 3, odnosno u prosjeku (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Nekako daleko od matematičkog očekivanja. Sada napravite ludi eksperiment - okrenite kocku 1000 puta! A čak i da prosek nije tačno 3,5, biće blizu toga.
Izračunajmo matematičko očekivanje za gore opisanu lutriju. Ploča će izgledati ovako:
Tada će matematičko očekivanje biti, kao što smo gore utvrdili:
Druga stvar je da bi bilo teško to učiniti "na prste" bez formule da postoji više opcija. Pa, recimo da bi bilo 75% izgubljenih tiketa, 20% dobitnih tiketa i 5% posebno dobitnih.
Sada neka svojstva matematičkog očekivanja.
Lako je dokazati:
Konstantni faktor se može uzeti kao znak matematičkog očekivanja, odnosno:
Ovo je poseban slučaj svojstva linearnosti matematičkog očekivanja.
Još jedna posljedica linearnosti matematičkog očekivanja:
odnosno matematičko očekivanje zbira slučajnih varijabli jednako je zbiru matematičkih očekivanja slučajnih varijabli.
Neka su X, Y nezavisne slučajne varijable, Zatim:
Ovo je takođe lako dokazati) Rad XY sama po sebi je slučajna varijabla, i ako bi početne vrijednosti mogle poprimiti n I m vrijednosti prema tome XY može uzeti nm vrijednosti. Verovatnoća svake vrednosti se izračunava na osnovu činjenice da se verovatnoće nezavisnih događaja množe. Kao rezultat, dobijamo ovo:
Očekivanje kontinuirane slučajne varijable
Kontinuirane slučajne varijable imaju takvu karakteristiku kao što je gustina distribucije (gustina vjerovatnoće). U suštini karakteriše situaciju da slučajna varijabla češće uzima neke vrijednosti iz skupa realnih brojeva, a neke rjeđe. Na primjer, razmotrite ovaj grafikon:
Evo X- stvarna slučajna varijabla, f(x)- gustina distribucije. Sudeći po ovom grafikonu, tokom eksperimenata vrijednost Xčesto će biti broj blizu nule. Šanse su premašene 3 ili biti manji -3 prilično čisto teorijski.
Neka, na primjer, postoji uniformna raspodjela:
Ovo je sasvim u skladu s intuitivnim razumijevanjem. Recimo, ako dobijemo mnogo slučajnih realnih brojeva sa uniformnom distribucijom, svaki segment |0; 1| , tada bi aritmetička sredina trebala biti oko 0,5.
Svojstva matematičkog očekivanja - linearnost, itd., primenljiva za diskretne slučajne varijable, takođe su primenljiva ovde.
Odnos između matematičkog očekivanja i drugih statističkih pokazatelja
U statističkoj analizi, uz matematičko očekivanje, postoji sistem međuzavisnih indikatora koji odražavaju homogenost pojava i stabilnost procesa. Indikatori varijacije često nemaju nezavisno značenje i koriste se za dalju analizu podataka. Izuzetak je koeficijent varijacije, koji karakteriše homogenost podataka, što je vrijedna statistička karakteristika.
Stepen varijabilnosti ili stabilnosti procesa u statističkoj nauci može se mjeriti korištenjem nekoliko indikatora.
Najvažniji indikator koji karakteriše varijabilnost slučajne varijable je Disperzija, što je najbliže i direktno povezano sa matematičkim očekivanjem. Ovaj parametar se aktivno koristi u drugim vrstama statističkih analiza (testiranje hipoteza, analiza uzročno-posljedičnih veza, itd.). Kao i prosječno linearno odstupanje, varijansa također odražava opseg širenja podataka oko srednje vrijednosti.
Korisno je prevesti jezik znakova u jezik riječi. Ispada da je disperzija prosječan kvadrat odstupanja. Odnosno, prvo se izračunava prosječna vrijednost, zatim se uzima razlika između svake izvorne i prosječne vrijednosti, kvadrira, dodaje, a zatim dijeli sa brojem vrijednosti u populaciji. Razlika između pojedinačne vrijednosti i prosjeka odražava mjeru odstupanja. Kvadira se tako da sva odstupanja postanu isključivo pozitivni brojevi i kako bi se izbjeglo međusobno uništavanje pozitivnih i negativnih odstupanja prilikom njihovog sabiranja. Zatim, s obzirom na kvadratna odstupanja, jednostavno izračunamo aritmetičku sredinu. Prosjek - kvadrat - odstupanja. Odstupanja se kvadriraju i izračunava se prosjek. Odgovor na magičnu reč "disperzija" leži u samo tri reči.
Međutim, u čista forma, kao što je aritmetička sredina ili indeks, varijansa se ne koristi. To je prije pomoćni i srednji indikator koji se koristi za druge vrste statističkih analiza. Čak nema ni normalnu mjernu jedinicu. Sudeći po formuli, ovo je kvadrat mjerne jedinice izvornih podataka.
Izmjerimo slučajnu varijablu N puta, na primjer, mjerimo brzinu vjetra deset puta i želimo pronaći prosječnu vrijednost. Kako je prosječna vrijednost povezana s funkcijom distribucije?
Ili ćemo baciti kockice veliki broj puta. Broj bodova koji će se pojaviti na kocki pri svakom bacanju je slučajna varijabla i može uzeti bilo koju prirodnu vrijednost od 1 do 6. Aritmetička sredina ispuštenih bodova izračunata za sva bacanja kocke je također slučajna varijabla, ali za velike N teži vrlo specifičnom broju - matematičkom očekivanju Mx. IN u ovom slučaju Mx = 3,5.
Kako ste dobili ovu vrijednost? Pusti unutra N testovi n1 kada dobijete 1 bod, n2 jednom - 2 boda i tako dalje. Zatim broj ishoda u koji je pao jedan bod:
Slično za ishode kada se bacaju 2, 3, 4, 5 i 6 poena.
Pretpostavimo sada da znamo zakon raspodjele slučajne varijable x, odnosno znamo da slučajna varijabla x može poprimiti vrijednosti x1, x2, ..., xk sa vjerovatnoćama p1, p2, ..., pk.
Matematičko očekivanje Mx slučajne varijable x jednako je:
Matematičko očekivanje nije uvijek razumna procjena neke slučajne varijable. Dakle, da procenimo prosek plate razumnije je koristiti koncept medijane, odnosno takve vrijednosti da se poklope broj ljudi koji primaju platu nižu od medijane i veću.
Vjerovatnoća p1 da će slučajna varijabla x biti manja od x1/2 i vjerovatnoća p2 da će slučajna varijabla x biti veća od x1/2, iste su i jednake su 1/2. Medijan nije određen jedinstveno za sve distribucije.
Standardna ili standardna devijacija u statistici se naziva stepen odstupanja opservacijskih podataka ili skupova od PROSJEČNE vrijednosti. Označava se slovima s ili s. Mala standardna devijacija ukazuje da se podaci grupišu oko srednje vrednosti, dok velika standardna devijacija ukazuje da se početni podaci nalaze daleko od nje. Standardna devijacija jednaki kvadratni korijen količina koja se naziva disperzija. To je prosjek zbira kvadrata razlika početnih podataka koji odstupaju od prosječne vrijednosti. Standardna devijacija slučajne varijable je kvadratni korijen varijanse:
Primjer. U uslovima testiranja kada pucate na metu, izračunajte disperziju i standardnu devijaciju slučajne varijable:
Varijacija- fluktuacija, promjenjivost vrijednosti neke karakteristike među jedinicama stanovništva. Pojedinačne numeričke vrijednosti neke karakteristike pronađene u populaciji koja se proučava nazivaju se varijantama vrijednosti. Nedovoljna prosječna vrijednost za pune karakteristike populacija nas prisiljava da prosječne vrijednosti dopunimo indikatorima koji nam omogućavaju da procijenimo tipičnost ovih prosjeka mjerenjem varijabilnosti (varijacije) karakteristike koja se proučava. Koeficijent varijacije se izračunava pomoću formule:
Raspon varijacija(R) predstavlja razliku između maksimalne i minimalne vrijednosti atributa u populaciji koja se proučava. Ovaj indikator daje najviše opšta ideja o varijabilnosti proučavane karakteristike, jer ona pokazuje razliku samo između graničnih vrijednosti opcija. Ovisnost o ekstremnim vrijednostima karakteristike daje opsegu varijacije nestabilan, slučajan karakter.
Prosječna linearna devijacija predstavlja aritmetičku sredinu apsolutnih (modulo) odstupanja svih vrijednosti analizirane populacije od njihove prosječne vrijednosti:
Matematička očekivanja u teoriji kockanja
Matematičko očekivanje je Prosječan iznos novca koji kockar može dobiti ili izgubiti na datu opkladu. Ovo je vrlo važan koncept za igrača jer je fundamentalan za procjenu većine situacija u igri. Matematičko očekivanje je također optimalno sredstvo za analizu osnovnih rasporeda kartica i situacija u igri.
Recimo da igrate igru novčića sa prijateljem, kladite se na 1 dolar svaki put, bez obzira šta se pojavi. Rep znači da pobjeđujete, glava znači da gubite. Šanse su jedan prema jedan da će se pojaviti, tako da se kladite $1 prema $1. Dakle, vaša matematička očekivanja su nula, jer Sa matematičke tačke gledišta, ne možete znati da li ćete voditi ili izgubiti nakon dva bacanja ili nakon 200.
Vaš dobitak po satu je nula. Dobici po satu su iznos novca koji očekujete da ćete osvojiti za sat vremena. Možete baciti novčić 500 puta za sat vremena, ali nećete pobijediti ili izgubiti jer... Vaše šanse nisu ni pozitivne ni negativne. Ako pogledate, iz ugla ozbiljnog igrača, ovaj sistem klađenja nije loš. Ali ovo je jednostavno gubljenje vremena.
Ali recimo da neko želi da se kladi $2 protiv vašeg $1 u istoj igri. Tada odmah imate pozitivno očekivanje od 50 centi od svake opklade. Zašto 50 centi? U prosjeku dobijete jednu opkladu i izgubite drugu. Kladite se na prvi dolar i izgubit ćete 1$, kladite se na drugi i dobit ćete 2$. Kladite se dva puta po $1 i imate prednost od $1. Dakle, svaka vaša opklada na jedan dolar dala vam je 50 centi.
Ako se novčić pojavi 500 puta u jednom satu, vaš dobitak po satu će već biti 250 dolara, jer... U prosjeku ste izgubili jedan dolar 250 puta i osvojili dva dolara 250 puta. 500$ minus 250$ je 250$, što je ukupan dobitak. Imajte na umu da je očekivana vrijednost, koja je prosječan iznos koji dobijete po opkladi, 50 centi. Osvojili ste 250 dolara kladeći se na dolar 500 puta, što je jednako 50 centi po opkladi.
Matematička očekivanja nemaju nikakve veze sa kratkoročnim rezultatima. Vaš protivnik, koji je odlučio da kladi 2$ protiv vas, mogao bi vas pobijediti na prvih deset bacanja zaredom, ali vi, ako imate prednost u klađenju od 2 prema 1, pod svim ostalim jednakim uvjetima, zaradit ćete 50 centi na svaki $1 opkladu u bilo kojoj okolnosti. Nije bitno hoćete li dobiti ili izgubiti jednu ili nekoliko opklada, sve dok imate dovoljno novca da udobno pokrijete troškove. Ako nastavite da se kladite na isti način, onda za dug period Vremenom će se vaš dobitak približiti zbroju očekivanih vrijednosti u pojedinačnim bacanjima.
Svaki put kada napravite najbolju opkladu (opkladu koja se može pokazati isplativom na duge staze), kada su kvote u vašu korist, obavezno ćete nešto osvojiti na tome, bez obzira da li to izgubite ili ne u data hand. Suprotno tome, ako napravite underdog opkladu (opkladu koja je neisplativa na duge staze) kada su šanse protiv vas, gubite nešto bez obzira na to da li dobijete ili izgubite ruku.
Stavljate opkladu sa najboljim ishodom ako su vaša očekivanja pozitivna, a pozitivna je ako su kvote na vašoj strani. Kada položite opkladu sa najgorim ishodom, imate negativna očekivanja, što se dešava kada su kvote protiv vas. Ozbiljni igrači se klade samo na najbolji ishod; ako se dogodi najgori, odustaju. Šta šanse znače u vašu korist? Možda ćete na kraju osvojiti više nego što donose stvarne kvote. Prave šanse za sletanje su 1 prema 1, ali dobijate 2 prema 1 zbog omjera izgleda. U ovom slučaju, šanse su u vašu korist. Definitivno ćete dobiti najbolji ishod uz pozitivno očekivanje od 50 centi po opkladi.
Evo složenijeg primjera matematičkog očekivanja. Prijatelj zapisuje brojeve od jedan do pet i kladi se $5 protiv vašeg $1 da nećete pogoditi broj. Treba li pristati na takvu opkladu? Šta se tu očekuje?
U prosjeku ćete pogriješiti četiri puta. Na osnovu toga, šanse protiv toga da pogodite broj su 4 prema 1. Šanse protiv toga da izgubite dolar u jednom pokušaju. Međutim, dobijate 5 prema 1, uz mogućnost gubitka 4 prema 1. Dakle, kvote su u vašu korist, možete uzeti opkladu i nadati se najboljem ishodu. Ako uložite ovu opkladu pet puta, u prosjeku ćete četiri puta izgubiti 1$ i jednom dobiti 5$. Na osnovu toga, za svih pet pokušaja ćete zaraditi 1 dolar uz pozitivno matematičko očekivanje od 20 centi po opkladi.
Igrač koji će dobiti više nego što se kladi, kao u gornjem primjeru, riskira. Naprotiv, on uništava svoje šanse kada očekuje da će dobiti manje nego što se kladi. Kladilac može imati pozitivna ili negativna očekivanja, što zavisi od toga da li dobija ili uništava kvote.
Ako se kladite na $50 da osvojite $10 sa šansom za pobjedu 4 prema 1, dobit ćete negativno očekivanje od $2 jer U prosjeku ćete četiri puta osvojiti 10 dolara i jednom izgubiti 50 dolara, što pokazuje da će gubitak po opkladi biti 10 dolara. Ali ako se kladite na 30 dolara da dobijete 10 dolara, sa istim izgledima za pobjedu 4 prema 1, tada u ovom slučaju imate pozitivno očekivanje od 2 dolara, jer ponovo osvajate $10 četiri puta i gubite $30 jednom, za profit od $10. Ovi primjeri pokazuju da je prva opklada loša, a druga dobra.
Matematičko očekivanje je centar svake situacije u igri. Kada kladionica ohrabruje ljubitelje fudbala da se klade na 11 dolara da dobiju 10 dolara, on ima pozitivno očekivanje od 50 centi na svakih 10 dolara. Ako kazino plaća čak i novac sa linije za prolaz u craps, tada će pozitivna očekivanja kazina biti otprilike 1,40 dolara na svakih 100 dolara, jer Ova igra je strukturirana tako da svako ko se kladi na ovu liniju gubi u prosjeku 50,7% i dobije 49,3% ukupnog vremena. Bez sumnje, upravo ovo naizgled minimalno pozitivno očekivanje donosi enormne profite vlasnicima kazina širom svijeta. Kao što je primetio vlasnik kazina Vegas World Bob Stupak, „hiljadita od jednog procenta negativna verovatnoća na dovoljno velikoj udaljenosti će uništiti najbogatiji čovek u svijetu".
Očekivanje kada igrate poker
Igra pokera je najilustrativniji i najilustrativniji primjer sa stanovišta korištenja teorije i svojstava matematičkog očekivanja.
Očekivana vrijednost u pokeru je prosječna korist od određene odluke, pod uslovom da se takva odluka može razmatrati u okviru teorije velikih brojeva i velike udaljenosti. Uspješna poker igra je uvijek prihvatiti poteze sa pozitivnom očekivanom vrijednošću.
Matematičko značenje matematičkog očekivanja prilikom igranja pokera je da se često susrećemo sa slučajnim varijablama prilikom donošenja odluka (ne znamo koje karte ima protivnik u rukama, koje će karte doći u narednim rundama klađenja). Svako od rješenja moramo razmotriti sa stanovišta teorije velikih brojeva, koja kaže da će s dovoljno velikim uzorkom prosječna vrijednost slučajne varijable težiti njenom matematičkom očekivanju.
Među posebnim formulama za izračunavanje matematičkog očekivanja, u pokeru je najprikladnije sljedeće:
Kada igrate poker, očekivana vrijednost se može izračunati i za opklade i za pozive. U prvom slučaju treba uzeti u obzir fold equity, a u drugom sopstvene šanse banke. Kada procjenjujete matematičko očekivanje određenog poteza, trebate imati na umu da fold uvijek ima nulto očekivanje. Stoga će odbacivanje karata uvijek biti isplativija odluka od bilo kojeg negativnog poteza.
Očekivanje vam govori šta možete očekivati (profit ili gubitak) za svaki dolar koji rizikujete. Kazina zarađuju jer matematičko očekivanje svih igara u njima ide u prilog kazinu. Uz dovoljno dugu seriju igara, možete očekivati da će klijent izgubiti novac, budući da su “šanse” u korist kazina. Međutim, profesionalni kazino igrači ograničavaju svoje igre na kratke vremenske periode, slažući na taj način kvote u svoju korist. Isto važi i za investiranje. Ako su vaša očekivanja pozitivna, možete zaraditi više novca tako što ćete napraviti mnogo trgovina u kratkom vremenskom periodu. Očekivanje je vaš procenat profita po pobjedi pomnožen vašim prosječnim profitom, minus vaša vjerovatnoća gubitka pomnožena vašim prosječnim gubitkom.
Poker se takođe može posmatrati sa stanovišta matematičkih očekivanja. Možete pretpostaviti da je određeni potez isplativ, ali u nekim slučajevima možda neće biti najbolji jer je drugi potez isplativiji. Recimo da ste pogodili punu kuću u pokeru sa pet karata. Vaš protivnik se kladi. Znate da ako podignete opkladu, on će odgovoriti. Stoga se čini da je podizanje najbolje taktika. Ali ako podignete opkladu, preostala dva igrača će definitivno odustati. Ali ako zovete, imate puno povjerenje da će druga dva igrača iza vas učiniti isto. Kada podignete svoju opkladu dobijate jednu jedinicu, a kada samo platite dobijate dve. Dakle, pozivanje vam daje veću pozitivnu očekivanu vrijednost i biće najbolja taktika.
Matematička očekivanja takođe mogu dati ideju o tome koje poker taktike su manje isplative, a koje isplativije. Na primjer, ako igrate određenu ruku i mislite da će vaš gubitak u prosjeku iznositi 75 centi uključujući ante, onda biste trebali odigrati tu ruku jer ovo je bolje nego odustati kada je ante $1.
Drugi važan razlog da biste razumjeli suštinu matematičkog očekivanja je da vam ono daje osjećaj mira bez obzira na to da li ste dobili opkladu ili ne: ako ste dobro uložili ili odustali na vrijeme, znat ćete da ste zaradili ili uštedjeli određeni iznos novca koji slabiji igrač nije uspio spasiti. Mnogo je teže odustati ako ste uznemireni jer je vaš protivnik izvukao jaču ruku. Uz sve ovo, novac koji uštedite tako što ne igrate umjesto klađenja dodaje se vašem dobitku za noć ili mjesec.
Samo zapamtite da da ste promijenili ruke, protivnik bi vas pozvao, a kao što ćete vidjeti u članku o Fundamentalnoj teoremi pokera, ovo je samo jedna od vaših prednosti. Trebao bi biti sretan kada se ovo desi. Možete čak naučiti da uživate u gubitku ruke jer znate da bi drugi igrači na vašoj poziciji izgubili mnogo više.
Kao što je objašnjeno u primjeru igre s novčićima na početku, omjer profita po satu povezan je s matematičkim očekivanjem, i ovaj koncept posebno važno za profesionalne igrače. Kada idete da igrate poker, trebali biste mentalno procijeniti koliko možete osvojiti za sat vremena igre. U većini slučajeva morat ćete se osloniti na svoju intuiciju i iskustvo, ali možete koristiti i matematiku. Na primjer, igrate draw lowball i vidite da tri igrača ulažu 10$, a zatim mijenjaju dvije karte, što je vrlo loša taktika, možete shvatiti da svaki put kada ulože 10$ gube oko 2$. Svaki od njih to radi osam puta na sat, što znači da sva trojica gube otprilike 48 dolara po satu. Vi ste jedan od preostala četiri igrača koji su približno jednaki, tako da ova četiri igrača (i vi među njima) moraju podijeliti 48 dolara, pri čemu svaki ostvaruje profit od 12 dolara po satu. Vaše kvote po satu u ovom slučaju su jednostavno jednake vašem udjelu u iznosu novca koji su izgubila tri loša igrača za sat vremena.
Tokom dugog vremenskog perioda, ukupni dobici igrača su zbir njegovih matematičkih očekivanja u pojedinačnim rukama. Što više ruku igrate sa pozitivnim očekivanjima, više dobijate, i obrnuto, što više ruku igrate sa negativnim očekivanjima, više gubite. Kao rezultat toga, trebali biste odabrati igru koja može maksimizirati vaše pozitivno iščekivanje ili negirati vaše negativno iščekivanje tako da možete maksimizirati svoje dobitke po satu.
Pozitivna matematička očekivanja u strategiji igranja
Ako znate brojati karte, možete imati prednost u odnosu na kasino, sve dok vas ne primjete i izbace vas. Kazina vole pijane igrače i ne tolerišu igrače koji broje karte. Prednost će vam omogućiti da pobijedite više puta nego što izgubite tokom vremena. Dobro upravljanje kapital kada koristite kalkulacije očekivane vrijednosti može vam pomoći da izvučete više profita iz vaše prednosti i smanjite svoje gubitke. Bez prednosti, bolje je dati novac u dobrotvorne svrhe. U igri na berzi prednost daje sistem igre koji stvara veći profit od gubitaka, razlika u ceni i provizija. Nikakvo upravljanje novcem ne može spasiti loš sistem igara.
Pozitivno očekivanje se definira kao vrijednost veća od nule. Što je ovaj broj veći, to je statističko očekivanje jače. Ako je vrijednost manja od nule, tada će i matematičko očekivanje biti negativno. Što je veći modul negativne vrijednosti, to je situacija gora. Ako je rezultat nula, onda je čekanje rentabilno. Možete pobijediti samo kada imate pozitivna matematička očekivanja i razuman sistem igre. Igranje po intuiciji vodi do katastrofe.
Matematička očekivanja i trgovanje dionicama
Matematičko očekivanje je prilično rasprostranjen i popularan statistički pokazatelj pri obavljanju berzanskog trgovanja na finansijskim tržištima. Prije svega, ovaj parametar se koristi za analizu uspješnosti trgovanja. Nije teško pretpostaviti da što je ova vrijednost veća, to je više razloga da se trgovina koja se proučava uspješnom smatra. Naravno, analiza rada trgovca ne može se izvršiti samo pomoću ovog parametra. Međutim, izračunata vrijednost, u kombinaciji s drugim metodama procjene kvaliteta rada, može značajno povećati tačnost analize.
Matematičko očekivanje se često izračunava u uslugama praćenja trgovačkih računa, što vam omogućava da brzo procijenite rad na depozitu. Izuzeci uključuju strategije koje koriste neprofitabilne trgovine koje se ne koriste. Trgovac može imati sreće neko vrijeme, pa stoga možda neće biti nikakvih gubitaka u njegovom radu. U ovom slučaju neće se moći voditi samo matematičkim očekivanjima, jer se rizici koji se koriste u radu neće uzeti u obzir.
U tržišnom trgovanju, matematičko očekivanje se najčešće koristi kada se predviđa profitabilnost bilo koje strategije trgovanja ili kada se predviđa prihod trgovca na osnovu statističkih podataka iz njegovog prethodnog trgovanja.
Što se tiče upravljanja novcem, vrlo je važno shvatiti da kada se sklapaju trgovine sa negativnim očekivanjima, ne postoji šema upravljanja novcem koja definitivno može donijeti visok profit. Ako nastavite da igrate na berzi pod ovim uslovima, onda bez obzira na to kako upravljate svojim novcem, izgubićete ceo svoj račun, bez obzira na to koliko je bio veliki u početku.
Ovaj aksiom je istinit ne samo za igre ili trgovine sa negativnim očekivanjima, već je istinit i za igre sa jednakim šansama. Stoga, jedini put kada imate šansu da zaradite na duge staze je ako izvršite trgovinu sa pozitivnom očekivanom vrijednošću.
Razlika između negativnih i pozitivnih očekivanja je razlika između života i smrti. Nije važno koliko su očekivanja pozitivna ili negativna; Bitno je samo da li je pozitivno ili negativno. Stoga, prije nego što razmislite o upravljanju novcem, trebali biste pronaći igru s pozitivnim očekivanjima.
Ako nemate tu igru, onda vas neće spasiti svo upravljanje novcem na svijetu. S druge strane, ako imate pozitivna očekivanja, možete ga, kroz pravilno upravljanje novcem, pretvoriti u funkciju eksponencijalnog rasta. Nije važno koliko su pozitivna očekivanja mala! Drugim riječima, nije važno koliko je profitabilan sistem trgovanja zasnovan na jednom ugovoru. Ako imate sistem koji osvaja 10 USD po ugovoru po trgovini (nakon provizija i klizanja), možete koristiti tehnike upravljanja novcem kako biste ga učinili profitabilnijim od sistema koji u prosjeku iznosi 1.000 USD po trgovini (nakon odbitka provizija i klizanja).
Ono što je bitno nije koliko je sistem bio profitabilan, već koliko se sigurno može reći da će sistem pokazati barem minimalnu dobit u budućnosti. Stoga je najvažnija priprema koju trgovac može napraviti je osigurati da će sistem pokazati pozitivnu očekivanu vrijednost u budućnosti.
Da biste imali pozitivnu očekivanu vrijednost u budućnosti, veoma je važno da ne ograničavate stepene slobode vašeg sistema. Ovo se postiže ne samo eliminacijom ili smanjenjem broja parametara koji se optimizuju, već i smanjenjem što većeg broja sistemskih pravila. Svaki parametar koji dodate, svako pravilo koje napravite, svaka mala promjena koju napravite u sistemu smanjuje broj stupnjeva slobode. U idealnom slučaju, morate izgraditi prilično primitivan i jednostavan sistem, koji će dosljedno generirati male profite na gotovo svakom tržištu. Opet, važno je da shvatite da nije važno koliko je sistem profitabilan, sve dok je profitabilan. Novac koji zaradite od trgovanja bit će zarađen kroz efektivno upravljanje novac.
Sistem trgovanja je jednostavno alat koji vam daje pozitivnu očekivanu vrijednost tako da možete koristiti upravljanje novcem. Sistemi koji rade (pokazuju barem minimalni profit) na samo jednom ili nekoliko tržišta, ili imaju različita pravila ili parametre za različita tržišta, najvjerovatnije neće dugo raditi u realnom vremenu. Problem kod većine tehnički orijentiranih trgovaca je što troše previše vremena i truda na optimizaciju drugačija pravila i vrijednosti parametara trgovinskog sistema. Ovo daje potpuno suprotne rezultate. Umjesto da trošite energiju i kompjutersko vrijeme na povećanje profita trgovačkog sistema, svoju energiju usmjerite na povećanje nivoa pouzdanosti ostvarivanja minimalnog profita.
Znajući da je upravljanje novcem samo igra brojeva koja zahtijeva korištenje pozitivnih očekivanja, trgovac može prestati tražiti "sveti gral" trgovanja dionicama. Umjesto toga, može početi testirati svoju metodu trgovanja, saznati koliko je ova metoda logična i daje li pozitivna očekivanja. Ispravne metode upravljanje novcem, primijenjeno na bilo koju, čak i vrlo osrednju metodu trgovanja, sam će obaviti ostatak posla.
Da bi svaki trgovac uspio u svom poslu, potrebno je riješiti tri najviše važnih zadataka: . Da bi se osiguralo da broj uspješnih transakcija premašuje neizbježne greške i pogrešne proračune; Postavite svoj sistem trgovanja tako da imate priliku da zarađujete novac što je češće moguće; Ostvarite stabilne pozitivne rezultate iz svog poslovanja.
I ovdje, nama zaposlenim trgovcima, matematičko očekivanje može biti od velike pomoći. Ovaj termin je jedan od ključnih u teoriji vjerovatnoće. Uz njegovu pomoć možete dati prosječnu procjenu neke slučajne vrijednosti. Matematičko očekivanje slučajne varijable slično je centru gravitacije, ako zamislite sve moguće vjerovatnoće kao tačke sa različitim masama.
U odnosu na strategiju trgovanja, matematičko očekivanje dobiti (ili gubitka) najčešće se koristi za procenu njene efikasnosti. Ovaj parametar se definiše kao zbir proizvoda datih nivoa dobiti i gubitka i verovatnoće njihovog nastanka. Na primjer, razvijena strategija trgovanja pretpostavlja da će 37% svih transakcija donijeti profit, a preostali dio - 63% - biti neprofitabilan. Istovremeno, prosječan prihod od uspješne transakcije će biti 7 dolara, a prosječan gubitak 1,4 dolara. Izračunajmo matematičko očekivanje trgovanja koristeći ovaj sistem:
Šta znači ovaj broj? Kaže da ćemo, slijedeći pravila ovog sistema, u prosjeku dobiti 1.708 dolara od svake zatvorene transakcije. Pošto je rezultujuća ocena efikasnosti veća od nule, takav sistem se može koristiti za pravi rad. Ako se, kao rezultat izračuna, matematičko očekivanje pokaže negativnim, onda to već ukazuje na prosječan gubitak i takvo trgovanje će dovesti do propasti.
Iznos dobiti po transakciji može se izraziti i kao relativna vrijednost u obliku %. Na primjer:
– procenat prihoda po 1 transakciji - 5%;
– procenat uspješnog trgovanja - 62%;
– procenat gubitka po 1 transakciji - 3%;
– procenat neuspješnih transakcija - 38%;
Odnosno, prosječna trgovina će donijeti 1,96%.
Moguće je razviti sistem koji će, uprkos prevlasti nerentabilnih trgovina, dati pozitivan rezultat, budući da je MO>0.
Međutim, samo čekanje nije dovoljno. Teško je zaraditi novac ako sistem daje vrlo malo trgovačkih signala. U ovom slučaju, njegova profitabilnost će biti uporediva sa bankarskim kamatama. Neka svaka operacija proizvodi u prosjeku samo 0,5 dolara, ali šta ako sistem uključuje 1000 operacija godišnje? To će biti veoma značajan iznos u relativno kratkom vremenu. Iz ovoga logično slijedi da je drugi žig dobar sistem trgovanja može se uzeti u obzir kratkoročno držeći položaje.
Izvori i linkovi
dic.academic.ru – akademski online rječnik
mathematics.ru – obrazovna web stranica iz matematike
nsu.ru – obrazovna web stranica Novosibirska državni univerzitet
webmath.ru – edukativni portal za studente, kandidate i školarce.
exponenta.ru obrazovna matematička web stranica
ru.tradimo.com – besplatna škola online trgovanja
crypto.hut2.ru – multidisciplinarno informacioni resurs
poker-wiki.ru – besplatna enciklopedija pokera
sernam.ru – Naučna biblioteka odabrane prirodnonaučne publikacije
reshim.su – web stranica MI ĆEMO RIJEŠITI probleme sa testom
unfx.ru – Forex na UNFX: obuka, trgovački signali, upravljanje povjerenjem
slovopedia.com – Velika enciklopedijski rječnik Slovopedia
pokermansion.3dn.ru – Vaš vodič u svijetu pokera
statanaliz.info – informativni blog “Statistička analiza podataka”
forex-trader.rf – Forex-Trader portal
megafx.ru – trenutna Forex analitika
fx-by.com – sve za trgovca
Distribucija slučajne varijable (distribucija stanovništva) obično se karakteriše nizom numeričkih karakteristika:
- za normalnu distribuciju N(a, σ) je matematičko očekivanje a i standardna devijacija σ;
- Za ujednačena distribucija R(a,b) su granice intervala u kojem se promatraju vrijednosti ove slučajne varijable.
Kada je rezultat određen jednim brojem, on se poziva tačka procene. Tačka procjena, kao funkcija uzorka, je slučajna varijabla i varira od uzorka do uzorka s ponovljenim eksperimentima.
Bodovane procjene imaju zahtjeve koje moraju zadovoljiti da bi bile „benigne“ u bilo kom smislu. Ovo undisplaced, efikasnost I bogatstvo.
Intervalne procjene određuju se pomoću dva broja - krajeva intervala koji pokriva procijenjeni parametar. Za razliku od tačkastih procjena, koje ne daju predstavu o tome koliko je procijenjeni parametar udaljen od njih, intervalne procjene nam omogućavaju da utvrdimo točnost i pouzdanost procjena.
Kao tačkaste procjene matematičkog očekivanja, disperzije i standardne devijacije, koriste se karakteristike uzorka, odnosno srednja vrijednost uzorka, disperzija uzorka i standardna devijacija uzorka.
Svojstvo nepristrasne procjene.
Poželjan uslov za ocjenu je odsustvo sistematske greške, tj. kada se umjesto parametra θ više puta koristi njegova procjena, prosječna vrijednost greške aproksimacije je nula - to je svojstvo nepristrasne procjene.
Definicija. Procjena se naziva nepristrasna ako je njeno matematičko očekivanje jednako pravoj vrijednosti procijenjenog parametra:
Aritmetička sredina uzorka je nepristrasna procjena matematičkog očekivanja i varijanse uzorka 
- pristrasna procjena opšte varijanse D. Nepristrasna procjena opće varijanse je procjena
Svojstvo konzistentnosti procjene.
Drugi zahtjev za procjenu – njena konzistentnost – znači da se procjena poboljšava sa povećanjem veličine uzorka.
Definicija. Ocjena 
naziva se dosljednim ako konvergira po vjerovatnoći procijenjenom parametru θ kao n→∞.
Konvergencija u vjerovatnoći znači da je sa velikom veličinom uzorka vjerovatnoća velikih odstupanja procjene od prave vrijednosti mala.
Efektivna procjena svojstva.
Treći zahtjev vam omogućava da odaberete najbolju procjenu od nekoliko procjena istog parametra.
Definicija. Nepristrasna procjena je učinkovita ako ima najmanju varijansu među svim nepristrasnim procjenama.
To znači da efektivna procjena ima minimalnu disperziju u odnosu na pravu vrijednost parametra. Imajte na umu da efektivna procjena ne postoji uvijek, ali od dvije procjene obično je moguće izabrati efektivniju, tj. sa manjom varijacijom. Na primjer, za nepoznati parametar a normalne populacije N(a,σ), i aritmetička sredina uzorka i medijana uzorka mogu se uzeti kao nepristrasna procjena. Ali varijansa medijane uzorka je približno 1,6 puta veća od varijanse aritmetičke sredine. Stoga je efikasnija procjena aritmetička sredina uzorka.
Primjer br. 1. Naći nepristrasnu procjenu varijanse mjerenja neke slučajne varijable koristeći jedan uređaj (bez sistematskih grešaka), čiji rezultati mjerenja (u mm): 13,15,17.
Rješenje. Tabela za izračunavanje indikatora.
| x | |x - x av | | (x - x prosječno) 2 |
| 13 | 2 | 4 |
| 15 | 0 | 0 |
| 17 | 2 | 4 |
| 45 | 4 | 8 |
Jednostavni aritmetički prosjek(nepristrasna procjena matematičkog očekivanja)
Disperzija- karakteriše mjeru disperzije oko njene prosječne vrijednosti (mjera disperzije, tj. odstupanja od prosjeka - pristrasna procjena).
Nepristrasna procjena varijanse- konzistentna procjena varijanse (ispravljena varijansa).
Primjer br. 2. Naći nepristrasnu procjenu matematičkog očekivanja mjerenja određene slučajne varijable jednim uređajem (bez sistematskih grešaka), čiji rezultati mjerenja (u mm): 4,5,8,9,11.
Rješenje. m = (4+5+8+9+11)/5 = 7,4
Primjer br. 3. Pronađite ispravljenu varijansu S2 za veličinu uzorka od n=10 ako je varijansa uzorka D = 180.
Rješenje. S 2 = n*D/(n-1) = 10*180/(10-1) = 200
Neka slučajni uzorak bude generisan posmatranom slučajnom varijablom ξ, matematičkim očekivanjem i varijansom 
koji su nepoznati. Predloženo je da se koristi prosjek uzorka kao procjene za ove karakteristike
i varijansu uzorka
. (3.14)
Razmotrimo neka svojstva procjena matematičkog očekivanja i disperzije.
1. Izračunajte matematičko očekivanje prosjeka uzorka:
Stoga je srednja vrijednost uzorka nepristrasna procjena za .
2. Podsjetimo da su rezultati 
zapažanja su nezavisne slučajne varijable, od kojih svaka ima isti zakon raspodjele kao i vrijednost, što znači 
, 
, . Pretpostavićemo da je varijansa konačna. Zatim, prema Čebiševovoj teoremi o zakonu velikih brojeva, za bilo koje ε > 0 vrijedi jednakost 
,
što se može napisati ovako: 
. (3.16) Upoređujući (3.16) sa definicijom svojstva konzistentnosti (3.11), vidimo da je procjena konzistentna procjena matematičkog očekivanja.
3. Pronađite varijansu srednje vrijednosti uzorka:
. (3.17)
Stoga se varijansa procjene matematičkog očekivanja smanjuje obrnuto proporcionalno veličini uzorka.
Može se dokazati da ako je slučajna varijabla ξ normalno raspoređena, onda je srednja vrijednost uzorka efektivna procjena matematičkog očekivanja, odnosno varijansa uzima najmanju vrijednost u poređenju sa bilo kojom drugom procjenom matematičkog očekivanja. Za druge zakone o distribuciji ξ to možda nije slučaj.
Varijanca uzorka je pristrasna procjena varijanse jer 
. (3.18)
Zaista, koristeći svojstva matematičkog očekivanja i formule (3.17), nalazimo
.
Da bi se dobila nepristrasna procjena varijanse, procjena (3.14) se mora ispraviti, odnosno pomnožiti sa . Tada dobijamo nepristrasnu varijansu uzorka
. (3.19)
Imajte na umu da se formule (3.14) i (3.19) razlikuju samo u nazivniku, a za velike vrijednosti uzorkovane i nepristrasne varijanse se malo razlikuju. Međutim, uz malu veličinu uzorka, treba koristiti relaciju (3.19).
Za procjenu standardne devijacije slučajne varijable koristi se takozvana “ispravljena” standardna devijacija, koja je jednaka kvadratnom korijenu nepristrasne varijanse: .
Intervalne procjene
U statistici postoje dva pristupa procjeni nepoznatih parametara distribucija: tačka i interval. U skladu sa procjenom tačaka, o kojoj je bilo riječi u prethodnom dijelu, naznačena je samo tačka oko koje se nalazi procijenjeni parametar. Poželjno je, međutim, znati koliko ovaj parametar zapravo može biti daleko od mogućih realizacija procjena u različitim serijama opservacija.
Odgovor na ovo pitanje – također približan – daje drugi metod procjene parametara – interval. U skladu s ovom metodom procjene, pronađen je interval koji, s vjerovatnoćom bliskom jedinici, pokriva nepoznatu numerička vrijednost parametar.
Koncept intervalne procjene
Tačka procjena 
je slučajna varijabla i za moguće implementacije uzoraka uzima vrijednosti samo približno jednake pravoj vrijednosti parametra. Što je razlika manja, to je tačnija procjena. Dakle, pozitivan broj za koji 
, karakterizira tačnost procjene i naziva se greška procjene (ili marginalna greška).
Vjerovatnoća povjerenja(ili pouzdanost) zove verovatnoća β
, sa kojim se ostvaruje nejednakost , tj.
. (3.20)
Zamjena nejednakosti ekvivalentna dvostruka nejednakost 
, ili 
, dobijamo
Interval 
, pokrivanje vjerovatnoćom β
, , nepoznati parametar, se poziva interval povjerenja
(ili intervalna procjena), odgovarajuća verovatnoća poverenja β
.
Slučajna varijabla nije samo procjena, već i greška: njena vrijednost zavisi od vjerovatnoće β i, po pravilu, iz uzorka. Stoga je interval pouzdanosti nasumičan i izraz (3.21) treba čitati na sljedeći način: „Interval će pokriti parametar s vjerovatnoćom β “, a ne ovako: “Parametar će pasti u interval s vjerovatnoćom β ”.
Značenje intervala pouzdanosti je da kada se volumen uzorka ponavlja mnogo puta u relativnom omjeru slučajeva jednakom β , interval povjerenja koji odgovara vjerovatnoći povjerenja β , pokriva pravu vrijednost procijenjenog parametra. dakle, verovatnoća poverenja β karakteriše pouzdanost procjena povjerenja: što više β , veća je vjerovatnoća da implementacija intervala povjerenja sadrži nepoznati parametar.
Da bi statističke procjene dale dobru aproksimaciju procijenjenih parametara, one moraju biti nepristrasne, efikasne i konzistentne.
Nepristrasan naziva se statistička procjena parametra 
, čije je matematičko očekivanje jednako procijenjenom parametru za bilo koju veličinu uzorka.
Displaced zove se statistička procjena 
parametar 
, čije matematičko očekivanje nije jednako procijenjenom parametru.
Efektivno zove se statistička procjena 
parametar 
, što za datu veličinu uzorka 
ima najmanju disperziju.
Bogati zove se statistička procjena 
parametar 
, koji u 
teži po vjerovatnoći procijenjenom parametru.
tj. za bilo koje 
.
Za uzorke različitih veličina dobijaju se različite vrijednosti aritmetičke sredine i statističke disperzije. Stoga su aritmetička sredina i statistička varijansa slučajne varijable za koje postoji matematičko očekivanje i varijansa.
Izračunajmo matematičko očekivanje aritmetičke sredine i varijanse. Označimo sa 
matematičko očekivanje slučajne varijable 
Ovdje se sljedeće smatraju slučajnim varijablama: 
– S.V., čije su vrijednosti jednake prvim vrijednostima dobijenim za različite zapreminske uzorke 
iz opšte populacije, 
–S.V., čije su vrijednosti jednake drugim vrijednostima dobijenim za različite zapreminske uzorke 
iz opšte populacije, ..., 
– S.V., čije su vrijednosti jednake 
-te vrijednosti dobijene za različite zapreminske uzorke 
iz opšte populacije. Sve ove slučajne varijable su raspoređene prema istom zakonu i imaju ista matematička očekivanja.
Iz formule (1) proizilazi da je aritmetička sredina nepristrasna procjena matematičkog očekivanja, budući da je matematičko očekivanje aritmetičke sredine jednako matematičkom očekivanju slučajne varijable. Ova procjena je također validna. Efikasnost ove procjene zavisi od vrste distribucije slučajne varijable 
. ako npr. 
je normalno raspoređena, procjena matematičkog očekivanja korištenjem aritmetičke sredine će biti efektivna.
Nađimo sada statističku procjenu disperzije.
Izraz za statističku varijansu može se transformirati na sljedeći način
(2)
Nađimo sada matematičko očekivanje statističke disperzije
.
(3)
S obzirom na to 
(4)
dobijamo iz (3) -
Iz formule (6) je jasno da se matematičko očekivanje statističke disperzije razlikuje za faktor od disperzije, tj. je pristrasna procjena varijanse populacije. To je zato što umjesto prave vrijednosti 
, što je nepoznato, za procjenu varijanse koristi se statistička sredina 
.
Stoga uvodimo ispravljenu statističku varijansu
(7)
Tada je matematičko očekivanje ispravljene statističke varijanse jednako
one. korigirana statistička varijansa je nepristrasna procjena varijanse populacije. Rezultirajuća procjena je također konzistentna.
Potreba za procjenom matematičkog očekivanja na osnovu rezultata testa javlja se u problemima kada se rezultat eksperimenta opisuje slučajnom varijablom, a matematičko očekivanje ove slučajne varijable uzima se kao pokazatelj kvaliteta objekta koji se proučava. Na primjer, kao pokazatelj pouzdanosti može se uzeti matematičko očekivanje vremena neometanog rada sistema, a kod procjene efikasnosti proizvodnje proizvoda matematičko očekivanje broja upotrebljivih proizvoda itd.
Problem procjene matematičkog očekivanja je formuliran na sljedeći način. Pretpostavimo da to odredimo nepoznata vrijednost slučajna varijabla X bi trebala biti napravljena n neovisnim mjerenjima i bez sistematskih grešaka X v X 2 ,..., X str. Morate odabrati najbolju procjenu matematičkog očekivanja.
Najbolja i najčešća procjena matematičkog očekivanja u praksi je aritmetička sredina rezultata testa
takođe pozvan statistički ili srednja vrijednost uzorka.
Pokažimo da je procjena t x zadovoljava sve zahtjeve za procjenu bilo kojeg parametra.
1. Iz izraza (5.10) slijedi da
tj. procjenu t" x- nepristrasna procjena.
2. Prema Čebiševovoj teoremi, aritmetička sredina rezultata testa konvergira po vjerovatnoći matematičkom očekivanju, tj.
Prema tome, procjena (5.10) je konzistentna procjena matematičkog očekivanja.
3. Varijanca procjene t x, jednaka
Kako se veličina uzorka povećava, n se neograničeno smanjuje. Dokazano je da ako slučajna varijabla X podliježe zakonu normalne distribucije, onda za bilo koju P disperzija (5.11) će biti minimalna, a procjena t x- efektivna procjena matematičkog očekivanja. Poznavanje varijanse procjene omogućava da se donese sud o tačnosti određivanja nepoznate vrijednosti matematičkog očekivanja koristeći ovu procjenu.
Aritmetička sredina se koristi kao procjena matematičkog očekivanja ako su rezultati mjerenja jednako tačni (varijanse D, i = 1, 2, ..., P isti u svakoj dimenziji). Međutim, u praksi se mora suočiti sa problemima kod kojih su rezultati merenja nejednaki (na primer, tokom testiranja merenja se vrše različitim instrumentima). U ovom slučaju, procjena za matematičko očekivanje ima oblik
Gdje 
- težina z-te dimenzije.
U formuli (5.12), rezultat svakog mjerenja je uključen s vlastitom težinom WITH.. Dakle, procjena rezultata mjerenja t x pozvao prosjećna težina.
Može se pokazati da je procjena (5.12) nepristrasna, konzistentna i efikasna procjena matematičkog očekivanja. Minimalna varijansa procjene je data sa
Prilikom provođenja eksperimenata s modelima na računalu, slični problemi nastaju kada se procjene pronađu iz rezultata nekoliko serija testova i broj testova u svakoj seriji je različit. Na primjer, obavljene su dvije serije testova sa zapreminom n 1 i p 2, na osnovu čijih rezultata su dobijene procjene T xi i t x_. Kako bi se povećala tačnost i pouzdanost određivanja matematičkog očekivanja, rezultati ovih serija testova se kombinuju. Da biste to učinili, koristite izraz (5.12)
Prilikom izračunavanja koeficijenata C, umjesto varijansi D, zamjenjuju se njihove procjene dobivene iz rezultata ispitivanja u svakoj seriji.
Sličan pristup se koristi kada se na osnovu rezultata serije testova utvrđuje vjerovatnoća pojave slučajnog događaja.
Za procjenu matematičkog očekivanja slučajne varijable X, pored prosjeka uzorka, mogu se koristiti i druge statistike. U te svrhe najčešće se koriste članovi. varijantne serije, odnosno redovna statistika, na osnovu koje se zasnivaju procjene,
zadovoljavanje osnovnih zahtjeva, odnosno dosljednost i nepristrasnost.
Pretpostavimo da varijacioni niz sadrži n = 2kčlanovi. Tada se bilo koji od prosjeka može uzeti kao procjena matematičkog očekivanja:
Gde k-e prosjek
nije ništa drugo do statistički medijan distribucije slučajne varijable X, pošto postoji očigledna jednakost
Prednost statističke medijane je u tome što je oslobođena uticaja anomalnih rezultata opservacije, što je neizbježno kada se koristi prvi prosjek, odnosno prosjek najmanjeg i najvećeg broja varijacionih serija.
Za čudnu veličinu uzorka P = 2k- 1 statistička medijana je njegov srednji element, tj. Točlan varijacione serije Me = x k.
Postoje distribucije za koje aritmetička sredina nije efektivna procjena matematičkog očekivanja, na primjer, Laplaceova raspodjela. Može se pokazati da je za Laplaceovu distribuciju efektivna procjena matematičkog očekivanja medijan uzorka.
Dokazano je da ako slučajna varijabla X ima normalnu distribuciju, onda je s dovoljno velikom veličinom uzorka zakon raspodjele statističke medijane blizak normalnom s numeričkim karakteristikama
Iz poređenja formula (5.11) i (5.14) proizilazi da je disperzija statističke medijane 1,57 puta veća od disperzije aritmetičke sredine. Prema tome, aritmetička sredina kao procjena matematičkog očekivanja je isto toliko puta efikasnija od statističke medijane. Međutim, zbog jednostavnosti proračuna i neosjetljivosti na anomalne rezultate mjerenja („kontaminacija“ uzorka), u praksi se statistički medijan ipak koristi kao procjena matematičkog očekivanja.
Treba napomenuti da su za kontinuirane simetrične distribucije matematičko očekivanje i medijan isti. Stoga statistička medijana može poslužiti kao dobra procjena matematičkog očekivanja samo ako je distribucija slučajne varijable simetrična.
Za asimetrične distribucije, statistički medijan Ja ima značajnu pristrasnost u odnosu na matematičko očekivanje, stoga je neprikladan za njegovu procjenu.
