Prvo, razmotrimo slučaj funkcije dvije varijable. Uslovni ekstrem funkcije $z=f(x,y)$ u tački $M_0(x_0;y_0)$ je ekstrem ove funkcije, postignut pod uslovom da su varijable $x$ i $y$ u okolina ove tačke zadovoljavaju jednadžbu veze $\ varphi (x,y)=0$.

Naziv “uslovni” ekstrem je zbog činjenice da je dodatni uslov $\varphi(x,y)=0$ na varijable. Ako se jedna varijabla može izraziti iz jednačine veze kroz drugu, onda se problem određivanja uvjetnog ekstrema svodi na problem određivanja uobičajenog ekstremuma funkcije jedne varijable. Na primjer, ako jednačina veze implicira $y=\psi(x)$, tada zamjenom $y=\psi(x)$ u $z=f(x,y)$, dobijamo funkciju jedne varijable $z =f\lijevo (x,\psi(x)\desno)$. IN opšti slučaj Međutim, ova metoda je malo korisna, pa je potrebno uvođenje novog algoritma.

Metoda Lagrangeovog množitelja za funkcije dvije varijable.

Metoda Lagrangeovog množitelja sastoji se od konstruiranja Lagrangeove funkcije za pronalaženje uslovnog ekstrema: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (parametar $\lambda$ se zove Lagrangeov množitelj). Potrebni uslovi za ekstrem su specificirani sistemom jednadžbi iz kojih su određene stacionarne tačke:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0. \end(poravnano) \desno.$$

Dovoljan uslov iz kojeg se može odrediti priroda ekstrema je znak $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy) ^("" )dy^2$. Ako je u stacionarnoj tački $d^2F > 0$, tada funkcija $z=f(x,y)$ ima uslovni minimum u ovoj tački, ali ako $d^2F< 0$, то условный максимум.

Postoji još jedan način da se odredi priroda ekstrema. Iz jednačine spajanja dobijamo: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, stoga u bilo kojoj stacionarnoj tački imamo:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \desno)$$

Drugi faktor (nalazi se u zagradama) može se predstaviti u ovom obliku:

Elementi determinante $\left| označeni su crvenom bojom. \begin(niz) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (niz)\right|$, što je Hessian Lagrangeove funkcije. Ako je $H > 0$, onda je $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0$, tj. imamo uslovni minimum funkcije $z=f(x,y)$.

Napomena u vezi sa notacijom determinante $H$. prikaži\sakrij

$$ H=-\left|\begin(niz) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ kraj(niz) \desno| $$

U ovoj situaciji, pravilo formulirano iznad će se promijeniti na sljedeći način: ako je $H > 0$, tada funkcija ima uslovni minimum, a ako je $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritam za proučavanje funkcije dvije varijable za uslovni ekstrem

1. Sastavite Lagrangeovu funkciju $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Riješite sistem $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x,y)=0. \end(poravnano) \desno.$
3. Odredite prirodu ekstremuma na svakoj stacionarnoj tački pronađenoj u prethodnom paragrafu. Da biste to učinili, koristite bilo koju od sljedećih metoda:
   • Sastavite determinantu $H$ i saznajte njen predznak
   • Uzimajući u obzir jednadžbu spajanja, izračunajte predznak $d^2F$

Lagrangeova metoda množenja za funkcije od n varijabli

Recimo da imamo funkciju od $n$ varijabli $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ i $m$ jednačina spajanja ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Označavajući Lagrangeove množitelje kao $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, sastavljamo Lagrangeovu funkciju:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Potrebni uslovi za postojanje uslovnog ekstremuma dati su sistemom jednadžbi iz kojih se nalaze koordinate stacionarnih tačaka i vrednosti Lagrangeovih množitelja:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

Možete saznati da li funkcija ima uslovni minimum ili uslovni maksimum u pronađenoj tački, kao i ranije, koristeći znak $d^2F$. Ako je u pronađenoj tački $d^2F > 0$, tada funkcija ima uslovni minimum, ali ako je $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Determinanta matrice $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F) )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F) )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( niz) \right|$, označen crvenom bojom u matrici $L$, je Hessian Lagrangeove funkcije. Koristimo sljedeće pravilo:

• Ako su predznaci ugaonih minora $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrice $L$ poklapaju se sa predznakom $(-1)^m$, tada je stacionarna tačka koja se proučava uslovna minimalna tačka funkcije $ z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
• Ako su predznaci ugaonih minora $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ naizmjenični, a znak minora $H_(2m+1)$ poklapa se sa predznakom broja $(-1)^(m+1 )$, tada je stacionarna tačka uslovna maksimalna tačka funkcije $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Primjer br. 1

Naći uslovni ekstrem funkcije $z(x,y)=x+3y$ pod uslovom $x^2+y^2=10$.

Geometrijska interpretacija ovog problema je sljedeća: potrebno je pronaći najveću i najmanju vrijednost aplikacije ravni $z=x+3y$ za tačke njenog preseka sa cilindrom $x^2+y ^2=10$.

Donekle je teško izraziti jednu varijablu kroz drugu iz jednačine spajanja i zamijeniti je u funkciju $z(x,y)=x+3y$, pa ćemo koristiti Lagrangeovu metodu.

Označavajući $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, sastavljamo Lagrangeovu funkciju:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\parcijalni x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Napišimo sistem jednadžbi za određivanje stacionarnih tačaka Lagrangeove funkcije:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (poravnano)\desno.$$

Ako pretpostavimo $\lambda=0$, tada prva jednačina postaje: $1=0$. Rezultirajuća kontradikcija ukazuje da je $\lambda\neq 0$. Pod uslovom $\lambda\neq 0$, iz prve i druge jednačine imamo: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Zamjenom dobijenih vrijednosti u treću jednačinu dobijamo:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(poravnano) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(poravnano) \desno.\\ \begin(poravnano) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(poravnano) $$

Dakle, sistem ima dva rješenja: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ i $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Hajde da saznamo prirodu ekstremuma u svakoj stacionarnoj tački: $M_1(1;3)$ i $M_2(-1;-3)$. Da bismo to učinili, izračunavamo determinantu $H$ u svakoj tački.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\lijevo| \begin(niz) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \levo| \begin(niz) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(niz) \right|= 8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(niz) \right| $$

U tački $M_1(1;3)$ dobijamo: $H=8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(niz) \right|= 8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(niz) \right|=40 > 0$, dakle na tačka Funkcija $M_1(1;3)$ $z(x,y)=x+3y$ ima uslovni maksimum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Slično, u tački $M_2(-1,-3)$ nalazimo: $H=8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(niz) \right|= 8\cdot\left| \begin(niz) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(niz) \right|=-40$. Od $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Napominjem da je umjesto izračunavanja vrijednosti determinante $H$ u svakoj tački, mnogo zgodnije proširiti je u opšti pogled. Kako ne bih pretrpao tekst detaljima, ovu metodu ću sakriti ispod napomene.

Pisanje determinante $H$ u opštem obliku. prikaži\sakrij

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\desno) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\desno). $$

U principu, već je očigledno koji znak ima $H$. Pošto se nijedna od tačaka $M_1$ ili $M_2$ ne poklapa sa ishodištem, onda je $y^2+x^2>0$. Dakle, predznak $H$ je suprotan predznaku $\lambda$. Možete završiti proračune:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\desno)=-40. \end(poravnano) $$

Pitanje o prirodi ekstremuma u stacionarnim tačkama $M_1(1;3)$ i $M_2(-1;-3)$ može se rešiti bez upotrebe determinante $H$. Nađimo znak $d^2F$ u svakoj stacionarnoj tački:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\desno) $$

Dozvolite mi da napomenem da oznaka $dx^2$ znači tačno $dx$ podignuto na drugi stepen, tj. $\levo(dx \desno)^2$. Otuda imamo: $dx^2+dy^2>0$, dakle, sa $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ dobijamo $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Odgovori: u tački $(-1;-3)$ funkcija ima uslovni minimum, $z_(\min)=-10$. U tački $(1;3)$ funkcija ima uslovni maksimum, $z_(\max)=10$

Primjer br. 2

Naći uslovni ekstrem funkcije $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ pod uslovom $x+y=0$.

Prva metoda (metoda množitelja Lagrangea)

Označavajući $\varphi(x,y)=x+y$, sastavljamo Lagrangeovu funkciju: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+ 4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0; \\ & x+y=0. \end(poravnano) \desno. $$

Nakon što smo riješili sistem, dobijamo: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ i $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)( 9)$ , $\lambda_2=-10$. Imamo dvije stacionarne tačke: $M_1(0;0)$ i $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Otkrijmo prirodu ekstrema u svakoj stacionarnoj tački koristeći determinantu $H$.

$$H=\levo| \begin(niz) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \levo| \begin(niz) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(niz) \right|=-10-18y $$

U tački $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, stoga u ovom trenutku funkcija ima uslovni maksimum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Istražujemo prirodu ekstremuma u svakoj tački koristeći različite metode, zasnovane na predznaku $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Iz jednačine veze $x+y=0$ imamo: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Pošto je $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, onda je $M_1(0;0)$ uslovna minimalna tačka funkcije $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Slično, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Drugi način

Iz jednačine veze $x+y=0$ dobijamo: $y=-x$. Zamjenom $y=-x$ u funkciju $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, dobijamo neku funkciju varijable $x$. Označimo ovu funkciju kao $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Tako smo problem nalaženja uslovnog ekstremuma funkcije dvije varijable sveli na problem određivanja ekstremuma funkcije jedne varijable.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\; y_2=-x_2=-\frac(10)(9). $$

Dobili smo tačke $M_1(0;0)$ i $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Dalja istraživanja poznata su iz kursa diferencijalnog računa funkcija jedne varijable. Ispitivanjem predznaka $u_(xx)^("")$ u svakoj stacionarnoj tački ili provjerom promjene predznaka $u_(x)^(")$ u pronađenim tačkama, dobijamo iste zaključke kao kada rješavanje prve metode. Na primjer, provjerit ćemo znak $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Pošto je $u_(xx)^("")(M_1)>0$, onda je $M_1$ minimalna tačka funkcije $u(x)$, a $u_(\min)=u(0)=0 $ . Od $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Vrijednosti funkcije $u(x)$ za dati uvjet veze poklapaju se sa vrijednostima funkcije $z(x,y)$, tj. pronađeni ekstremi funkcije $u(x)$ su traženi uslovni ekstremi funkcije $z(x,y)$.

Odgovori: u tački $(0;0)$ funkcija ima uslovni minimum, $z_(\min)=0$. U tački $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ funkcija ima uslovni maksimum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Razmotrimo još jedan primjer u kojem ćemo razjasniti prirodu ekstrema određivanjem predznaka $d^2F$.

Primjer br. 3

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije $z=5xy-4$ ako su varijable $x$ i $y$ pozitivne i zadovoljavaju jednadžbu sprege $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Sastavimo Lagrangeovu funkciju: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Nađimo stacionarne tačke Lagrangeove funkcije:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \;y > 0. \end(poravnano) \desno. $$

Sve dalje transformacije se izvode uzimajući u obzir $x > 0; \; y > 0$ (ovo je navedeno u izjavi problema). Iz druge jednačine izražavamo $\lambda=-\frac(5x)(y)$ i zamjenjujemo pronađenu vrijednost u prvu jednačinu: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4 )=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Zamjenom $x=2y$ u treću jednačinu dobijamo: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.

Pošto je $y=1$, onda je $x=2$, $\lambda=-10$. Određujemo prirodu ekstremuma u tački $(2;1)$ na osnovu predznaka $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Pošto je $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, onda:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

U principu, ovdje možete odmah zamijeniti koordinate stacionarne tačke $x=2$, $y=1$ i parametar $\lambda=-10$, dobivši:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \desno)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Međutim, u drugim problemima na uslovnom ekstremumu može postojati nekoliko stacionarnih tačaka. U takvim slučajevima, bolje je predstaviti $d^2F$ u općem obliku, a zatim zamijeniti koordinate svake od pronađenih stacionarnih tačaka u rezultirajući izraz:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Zamjenom $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, dobijamo:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Pošto je $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Odgovori: u tački $(2;1)$ funkcija ima uslovni maksimum, $z_(\max)=6$.

U narednom dijelu ćemo razmotriti primjenu Lagrangeove metode za funkcije većeg broja varijabli.

Ekstremi funkcija više varijabli. Neophodan uslov za ekstrem. Dovoljan uslov za ekstrem. Uslovni ekstrem. Lagrangeova metoda množenja. Pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti.

Predavanje 5.

Definicija 5.1. Dot M 0 (x 0, y 0) pozvao maksimalni poen funkcije z = f (x, y), Ako f (x o , y o) > f(x,y) za sve bodove (x, y) M 0.

Definicija 5.2. Dot M 0 (x 0, y 0) pozvao minimalna tačka funkcije z = f (x, y), Ako f (x o , y o) < f(x,y) za sve bodove (x, y) iz nekog komšiluka tačke M 0.

Napomena 1. Pozivaju se maksimalne i minimalne tačke ekstremne tačke funkcije nekoliko varijabli.

Napomena 2. Točka ekstrema za funkciju bilo kojeg broja varijabli određuje se na sličan način.

Teorema 5.1(neophodni uslovi za ekstrem). Ako M 0 (x 0, y 0)– tačka ekstrema funkcije z = f (x, y), tada su u ovom trenutku parcijalni izvodi prvog reda ove funkcije jednaki nuli ili ne postoje.

Dokaz.

Popravimo vrijednost varijable at, računajući y = y 0. Zatim funkcija f (x, y 0)će biti funkcija jedne varijable X, za koji x = x 0 je tačka ekstrema. Dakle, prema Fermatovoj teoremi, ili ne postoji. Ista izjava je dokazana slično za .

Definicija 5.3. Tačke koje pripadaju domeni funkcije nekoliko varijabli u kojima su parcijalni izvodi funkcije jednaki nuli ili ne postoje nazivaju se stacionarne tačke ovu funkciju.

Komentar. Dakle, ekstremum se može postići samo u stacionarnim tačkama, ali ne mora da se posmatra na svakoj od njih.

Teorema 5.2(dovoljni uslovi za ekstrem). Neka u nekom susjedstvu tačke M 0 (x 0, y 0), što je stacionarna tačka funkcije z = f (x, y), ova funkcija ima kontinuirane parcijalne izvode do zaključno 3. reda. Označimo Tada:

1) f(x,y) ima u tački M 0 maksimalno ako AC–B² > 0, A < 0;

2) f(x,y) ima u tački M 0 minimalno ako AC–B² > 0, A > 0;

3) nema ekstremuma u kritičnoj tački ako AC–B² < 0;

4) ako AC–B² = 0, potrebno je dalje istraživanje.

Dokaz.

Napišimo Taylorovu formulu drugog reda za funkciju f(x,y), imajući na umu da su u stacionarnoj tački parcijalne derivacije prvog reda jednake nuli:

Gdje Ako je ugao između segmenta M 0 M, Gdje M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ at), i O osi X označimo φ, zatim Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y =Δρsinφ. U ovom slučaju, Taylorova formula će imati oblik: . Neka Tada možemo podijeliti i pomnožiti izraz u zagradama sa A. Dobijamo:

Razmotrimo sada četiri mogući slučajevi:

1) AC-B² > 0, A < 0. Тогда , и pri dovoljno malom Δρ. Dakle, u nekom kraju M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0 , y 0), to je M 0– maksimalni poen.

2) Neka AC–B² > 0, A > 0. Onda , And M 0– minimalni bod.

3) Neka AC-B² < 0, A> 0. Razmotrimo prirast argumenata duž zraka φ = 0. Tada iz (5.1) slijedi da , odnosno kada se kreće duž ove zrake, funkcija se povećava. Ako se krećemo duž zraka tako da je tg φ 0 = -A/B, To , dakle, kada se kreće duž ove zrake, funkcija opada. Dakle, tačka M 0 nije tačka ekstrema.

3`) Kada AC–B² < 0, A < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

sličan prethodnom.

3``) Ako AC–B² < 0, A= 0, onda . Pri čemu . Tada za dovoljno mali φ izraz 2 B cosφ + C sinφ je blizu 2 IN, odnosno zadržava stalan predznak, ali sinφ mijenja predznak u blizini tačke M 0. To znači da povećanje funkcije mijenja predznak u blizini stacionarne tačke, koja stoga nije tačka ekstrema.

4) Ako AC–B² = 0, i , , odnosno predznak prirasta je određen predznakom 2α 0. Istovremeno, neophodna su dalja istraživanja kako bi se razjasnilo pitanje postojanja ekstremuma.

Primjer. Nađimo tačke ekstrema funkcije z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x. Da bismo pronašli stacionarne tačke, rešavamo sistem . Dakle, stacionarna tačka je (-2,-1). Gde A = 2, IN = -2, WITH= 4. Onda AC–B² = 4 > 0, dakle, u stacionarnoj tački dostiže se ekstrem, odnosno minimum (pošto A > 0).

Definicija 5.4. Ako argumenti funkcije f (x 1 , x 2 ,…, x n) povezan dodatni uslovi as m jednadžbe ( m< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

gdje funkcije φ i imaju kontinuirane parcijalne izvode, tada se pozivaju jednadžbe (5.2). jednačine veze.

Definicija 5.5. Ekstremum funkcije f (x 1 , x 2 ,…, x n) kada su ispunjeni uslovi (5.2), poziva se uslovni ekstrem.

Komentar. Možemo ponuditi sljedeću geometrijsku interpretaciju uslovnog ekstremuma funkcije dvije varijable: neka argumenti funkcije f(x,y) povezane jednačinom φ (x,y)= 0, definirajući neku krivu u O ravni xy. Rekonstrukcija okomita na ravan O iz svake tačke ove krive xy dok se ne ukrsti sa površinom z = f (x,y), dobijamo prostornu krivu koja leži na površini iznad krive φ (x,y)= 0. Zadatak je pronaći tačke ekstrema rezultirajuće krive, koje se, naravno, u opštem slučaju ne poklapaju sa bezuslovnim tačkama ekstrema funkcije f(x,y).

Odredimo neophodne uslove za uslovni ekstrem za funkciju dve varijable tako što ćemo prvo uvesti sledeću definiciju:

Definicija 5.6. Funkcija L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Gdje λi – neki su stalni, tzv Lagrangeova funkcija, i brojevi λi– neodređeni Lagrangeovi množitelji.

Teorema 5.3(neophodni uslovi za uslovni ekstrem). Uslovni ekstremum funkcije z = f (x, y) u prisustvu jednadžbe sprege φ ( x, y)= 0 može se postići samo u stacionarnim tačkama Lagrangeove funkcije L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Dokaz. Jednačina spajanja specificira implicitni odnos at od X, stoga ćemo pretpostaviti da at postoji funkcija iz X: y = y(x). Onda z Tu je složena funkcija od X, a njegove kritične tačke su određene uslovom: . (5.4) Iz jednačine spajanja slijedi da . (5.5)

Pomnožimo jednakost (5.5) nekim brojem λ i dodajmo je (5.4). Dobijamo:

, ili .

Posljednja jednakost mora biti zadovoljena u stacionarnim tačkama, iz čega slijedi:

(5.6)

Dobija se sistem od tri jednačine za tri nepoznate: x, y i λ, a prve dvije jednadžbe su uvjeti za stacionarnu tačku Lagrangeove funkcije. Isključivanjem pomoćne nepoznate λ iz sistema (5.6), nalazimo koordinate tačaka u kojima originalna funkcija može imati uslovni ekstrem.

Napomena 1. Prisustvo uslovnog ekstremuma u pronađenoj tački može se provjeriti proučavanjem parcijalnih izvoda Lagrangeove funkcije drugog reda po analogiji s teoremom 5.2.

Napomena 2. Tačke u kojima se može postići uvjetni ekstrem funkcije f (x 1 , x 2 ,…, x n) kada su ispunjeni uslovi (5.2), može se definisati kao rešenja sistema (5.7)

Primjer. Nađimo uslovni ekstrem funkcije z = xy s obzirom na to x + y= 1. Sastavimo Lagrangeovu funkciju L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Sistem (5.6) izgleda ovako:

gdje je -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0.5. Gde L(x,y) može se predstaviti u obliku L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, dakle u pronađenoj stacionarnoj tački L(x,y) ima maksimum, i z = xy – uslovni maksimum.

Definicija1: Kaže se da funkcija ima lokalni maksimum u tački ako postoji susjedstvo tačke takvo da za bilo koju tačku M sa koordinatama (x, y) vrijedi nejednakost: . U ovom slučaju, tj. povećanje funkcije< 0.

Definicija2: Kaže se da funkcija ima lokalni minimum u tački ako postoji susjedstvo tačke takvo da za bilo koju tačku M sa koordinatama (x, y) vrijedi nejednakost: . U ovom slučaju, tj. prirast funkcije > 0.

Definicija 3: Pozivaju se točke lokalnog minimuma i maksimuma ekstremne tačke.

Conditional Extremes

Prilikom traženja ekstrema funkcije mnogih varijabli često se javljaju problemi vezani za tzv uslovni ekstrem. Ovaj koncept se može objasniti na primjeru funkcije dvije varijable.

Neka su data funkcija i linija L na površini 0xy. Zadatak je doći na liniju L pronađite takvu tačku P(x, y), u kojoj je vrijednost funkcije najveća ili najmanja u usporedbi s vrijednostima ove funkcije u tačkama na pravoj L, koji se nalazi u blizini punkta P. Takve tačke P su pozvani uslovne ekstremne tačke funkcije na mreži L. Za razliku od uobičajene tačke ekstrema, vrijednost funkcije u tački uvjetnog ekstrema uspoređuje se s vrijednostima funkcije ne u svim tačkama njenog susjedstva, već samo u onima koje leže na pravoj L.

Apsolutno je jasno da je tačka uobičajenog ekstremuma (također kažu bezuslovni ekstrem) je također uslovna tačka ekstrema za svaku pravu koja prolazi kroz ovu tačku. Obrnuto, naravno, nije tačno: uslovna tačka ekstrema možda nije obična tačka ekstrema. Dozvolite mi da objasnim ono što sam rekao na jednostavnom primjeru. Grafikon funkcije je gornja hemisfera (Dodatak 3 (Sl. 3)).

Ova funkcija ima maksimum na početku; vrh mu odgovara M hemisfere. Ako je linija L postoji prava koja prolazi kroz tačke A I IN(njena jednačina x+y-1=0), onda je geometrijski jasno da za tačke ove prave najveća vrijednost funkcija se postiže u tački koja leži u sredini između tačaka A I IN. Ovo je tačka uslovnog ekstrema (maksimuma) funkcije na ovoj liniji; odgovara tački M 1 na hemisferi, a sa slike je jasno da ovdje ne može biti govora ni o kakvom običnom ekstremumu.

Imajte na umu da je u završnom dijelu zadatak pronalaženja najveće i najmanje vrijednosti funkcije u zatvorenom prostoru moramo pronaći ekstremne vrijednosti funkcije na granici ovog područja, tj. na nekoj liniji, i time riješiti problem uslovnog ekstrema.

Pređimo sada na praktičnu potragu za tačkama uslovnog ekstrema funkcije Z= f(x, y) pod uslovom da su varijable x i y povezane jednačinom (x, y) = 0. Ovu relaciju ćemo nazvati jednačina veze. Ako se iz jednačine spajanja y može eksplicitno izraziti u terminima x: y=(x), dobijamo funkciju jedne varijable Z= f(x, (x)) = F(x).

Nakon što smo pronašli vrijednost x na kojoj ova funkcija dostiže ekstrem, a zatim odredili iz jednačine veze odgovarajuće y vrijednosti, dobili smo željene točke uslovnog ekstrema.

Dakle, u gornjem primjeru, iz jednačine relacije x+y-1=0 imamo y=1-x. Odavde

Lako je provjeriti da z dostiže svoj maksimum na x = 0,5; ali onda iz jednačine veze y = 0.5, i dobijamo tačno tačku P, pronađenu iz geometrijskih razmatranja.

Problem uslovnog ekstremuma se vrlo lako rješava čak i kada se jednačina veze može predstaviti parametarske jednačine x=x(t), y=y(t). Zamjenom izraza za x i y u ovu funkciju, ponovo dolazimo do problema nalaženja ekstrema funkcije jedne varijable.

Ako jednačina spajanja ima više od složen izgled a mi nismo u mogućnosti da eksplicitno izrazimo jednu varijablu u terminima druge, ili da je zamijenimo parametarskim jednačinama, tada zadatak pronalaženja uslovnog ekstremuma postaje teži. Nastavićemo da pretpostavljamo da je u izrazu funkcije z= f(x, y) varijabla (x, y) = 0. Ukupna derivacija funkcije z= f(x, y) jednaka je:

Gdje se derivacija y` nalazi korištenjem pravila diferencijacije implicitne funkcije. U tačkama uslovnog ekstremuma, pronađeni ukupni derivat mora biti jednak nuli; ovo daje jednu jednačinu koja povezuje x i y. Budući da moraju zadovoljiti i jednačinu spajanja, dobijamo sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate

Hajde da transformišemo ovaj sistem u mnogo pogodniji tako što ćemo napisati prvu jednačinu u obliku proporcije i uvesti novu pomoćnu nepoznanicu:

(znak minus ispred je radi praktičnosti). Iz ovih jednakosti lako je preći na sljedeći sistem:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

koja zajedno sa jednadžbom veze (x, y) = 0 čini sistem od tri jednačine sa nepoznatim x, y i.

Ove jednadžbe (*) je najlakše zapamtiti korištenjem sljedećeg pravila: da bi se pronašle tačke koje mogu biti tačke uslovnog ekstremuma funkcije

Z= f(x, y) sa jednadžbom veze (x, y) = 0, potrebno je formirati pomoćnu funkciju

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Gdje je neka konstanta i kreirajte jednadžbe za pronalaženje ekstremnih tačaka ove funkcije.

Navedeni sistem jednačina obezbeđuje, po pravilu, samo neophodne uslove, tj. nije svaki par vrijednosti x i y koji zadovoljava ovaj sistem nužno uslovna tačka ekstrema. Neću dati dovoljne uslove za tačke uslovnog ekstremuma; vrlo često sam specifičan sadržaj problema sugeriše šta je pronađena tačka. Opisana tehnika rješavanja problema na uslovnom ekstremumu naziva se Lagrangeova metoda množenja.

Primjer

Naći ekstremum funkcije pod uslovom da X I at povezani su relacijom: . Geometrijski, problem znači sljedeće: na elipsi
avion
.

Ovaj problem se može riješiti na ovaj način: iz jednačine
mi nalazimo
X:

pod uslovom da
, sveden na problem nalaženja ekstrema funkcije jedne varijable na intervalu
.

Geometrijski, problem znači sljedeće: na elipsi , dobijeno ukrštanjem cilindra
avion
, morate pronaći maksimalnu ili minimalnu vrijednost aplikacije (Sl.9). Ovaj problem se može riješiti na ovaj način: iz jednačine
mi nalazimo
. Zamjenom pronađene vrijednosti y u jednačinu ravni, dobijamo funkciju jedne varijable X:

Dakle, problem nalaženja ekstrema funkcije
pod uslovom da
, sveden na problem pronalaženja ekstrema funkcije jedne varijable na intervalu.

dakle, problem pronalaženja uslovnog ekstremuma– ovo je problem nalaženja ekstrema ciljne funkcije
, pod uslovom da su varijable X I at podložno ograničenju
, zvao jednačina veze.

Recimo to dot
, zadovoljavajući jednadžbu spajanja, je tačka lokalnog uslovnog maksimuma (minimum), ako postoji komšiluk
tako da za bilo koje tačke
, čije koordinate zadovoljavaju jednačinu veze, nejednakost je zadovoljena.

Ako se iz jednačine spajanja može pronaći izraz za at, zatim zamjenom ovog izraza u originalnu funkciju, pretvaramo potonju u složenu funkciju jedne varijable X.

Opća metoda za rješavanje problema uslovnog ekstrema je Lagrangeova metoda množenja. Kreirajmo pomoćnu funkciju, gdje ─ neki broj. Ova funkcija se zove Lagrangeova funkcija, A ─ Lagrangeov množitelj. Dakle, zadatak pronalaženja uslovnog ekstremuma sveden je na pronalaženje lokalnih točaka ekstrema za Lagrangeovu funkciju. Da biste pronašli moguće tačke ekstrema, morate riješiti sistem od 3 jednačine sa tri nepoznate x, y I.

Tada biste trebali koristiti sljedeći dovoljan uvjet za ekstrem.

TEOREMA. Neka je tačka moguća tačka ekstrema za Lagrangeovu funkciju. Pretpostavimo da je u blizini tačke
postoje kontinuirani parcijalni derivati ​​drugog reda funkcija I . Označimo

Onda ako
, To
─ uslovna tačka ekstrema funkcije
sa jednacinom sprezanja
u ovom slučaju, ako
, To
─ uslovna minimalna tačka, ako
, To
─ uslovna maksimalna tačka.

§8. Gradijent i derivacija usmjerenja

Neka funkcija
definisano u nekom (otvorenom) regionu. Razmotrite bilo koju tačku
ovo područje i bilo koja usmjerena ravna linija (osa) , prolazeći kroz ovu tačku (slika 1). Neka
- neka druga tačka na ovoj osi,
– dužina segmenta između
I
, snimljeno sa znakom plus, ako je smjer
poklapa se sa smjerom ose , i sa znakom minus ako su im smjerovi suprotni.

Neka
prilazi na neodređeno vreme
. Limit

pozvao derivat funkcije
prema (ili duž ose ) i označava se kako slijedi:

.

Ovaj izvod karakterizira „brzinu promjene“ funkcije u tački
prema . Konkretno, obični parcijalni derivati ,također se može smatrati derivatima "u odnosu na smjer".

Pretpostavimo sada da je funkcija
ima kontinuirane parcijalne derivate u regionu koji se razmatra. Neka osovina formira uglove sa koordinatnim osa
I . Pod datim pretpostavkama, derivacija usmjerenja postoji i izražava se formulom

.

Ako je vektor
dat svojim koordinatama
, zatim derivacija funkcije
u pravcu vektora
može se izračunati pomoću formule:

.

Vektor sa koordinatama
pozvao vektor gradijenta funkcije
u tački
. Vektor gradijenta pokazuje smjer najbržeg povećanja funkcije u datoj tački.

Primjer

Zadana funkcija, tačka A(1, 1) i vektor
. Naći: 1)grad z u tački A; 2) izvod u tački A u pravcu vektora .

Parcijalni izvod date funkcije u tački
:

;
.

Tada je vektor gradijenta funkcije u ovoj tački:
. Vektor gradijenta se također može napisati korištenjem vektorske dekompozicije I :

. Derivat funkcije u pravcu vektora :

dakle,
,
.◄

Uslovni ekstrem.

Ekstremi funkcije nekoliko varijabli

Metoda najmanjeg kvadrata.

Lokalni ekstrem FNP

Neka je funkcija data I= f(P), RÎDÌR n i neka tačka P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) –interni tačka skupa D.

Definicija 9.4.

1) Poziva se tačka P 0 maksimalni poen funkcije I= f(P), ako postoji okolina ove tačke U(P 0) M D takva da je za bilo koju tačku P( X 1 , X 2 , ..., x n)O U(P 0) , R¹R 0 , uslov je zadovoljen f(P)£ f(P 0) . Značenje f(P 0) funkcija na maksimalnoj tački se poziva maksimum funkcije i određen je f(P0) = max f(P) .

2) Poziva se tačka P 0 minimalna tačka funkcije I= f(P), ako postoji okolina ove tačke U(P 0)Ì D takva da je za bilo koju tačku P( X 1 , X 2 , ..., x n)OU(P 0), R¹R 0 , uslov je zadovoljen f(P)³ f(P 0) . Značenje f(P 0) funkcija u minimalnoj tački se poziva minimalna funkcija i određen je f(P 0) = min f(P).

Pozivaju se minimalne i maksimalne točke funkcije ekstremne tačke, pozivaju se vrijednosti funkcije u tačkama ekstrema ekstremi funkcije.

Kao što slijedi iz definicije, nejednakosti f(P)£ f(P 0) , f(P)³ f(P 0) mora biti zadovoljena samo u određenom susjedstvu tačke P 0, a ne u cijeloj domeni definicije funkcije, što znači da funkcija može imati više ekstrema istog tipa (nekoliko minimuma, nekoliko maksimuma) . Stoga se nazivaju gore definirani ekstremi lokalni(lokalni) ekstremi.

Teorema 9.1.( neophodno stanje ekstrem FNP)

Ako je funkcija I= f(X 1 , X 2 , ..., x n) ima ekstrem u tački P 0 , tada su njegovi parcijalni derivati ​​prvog reda u ovoj tački ili jednaki nuli ili ne postoje.

Dokaz. Neka u tački P 0 ( A 1 , A 2 , ..., a p) funkcija I= f(P) ima ekstrem, na primjer, maksimum. Hajde da popravimo argumente X 2 , ..., x n, stavljanje X 2 =A 2 ,..., x n = a p. Onda I= f(P) = f 1 ((X 1 , A 2 , ..., a p) je funkcija jedne varijable X 1 . Pošto ova funkcija ima X 1 = A 1 ekstrem (maksimum), zatim f 1 ¢=0ili ne postoji kada X 1 =A 1 (neophodan uslov za postojanje ekstrema funkcije jedne varijable). Ali, to znači ili ne postoji u tački P 0 - tački ekstrema. Slično, možemo razmotriti parcijalne derivate u odnosu na druge varijable. CTD.

Tačke u domeni funkcije u kojima su parcijalni derivati ​​prvog reda jednaki nuli ili ne postoje nazivaju se kritične tačke ovu funkciju.

Kao što slijedi iz teoreme 9.1, tačke ekstrema FNP treba tražiti među kritičnim tačkama funkcije. Ali, što se tiče funkcije jedne varijable, nije svaka kritična tačka tačka ekstrema.

Teorema 9.2 (dovoljan uslov za ekstremum FNP)

Neka je P 0 kritična tačka funkcije I= f(P) i je diferencijal drugog reda ove funkcije. Onda

i ako d 2 u(P 0) > 0 na , tada je P 0 tačka minimum funkcije I= f(P);

b) ako d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maksimum funkcije I= f(P);

c) ako d 2 u(P 0) nije definisano znakom, onda P 0 nije tačka ekstrema;

Razmotrićemo ovu teoremu bez dokaza.

Imajte na umu da teorema ne razmatra slučaj kada d 2 u(P 0) = 0 ili ne postoji. To znači da pitanje prisustva ekstremuma u tački P 0 pod takvim uslovima ostaje otvoreno - treba nam dodatna istraživanja, na primjer, proučavanje prirasta funkcije u ovoj tački.

U detaljnijim predmetima matematike se to dokazuje, posebno za funkciju z = f(x,y) dvije varijable, čiji je diferencijal drugog reda zbir oblika

proučavanje prisustva ekstremuma u kritičnoj tački P 0 može se pojednostaviti.

Označimo , , . Hajde da sastavimo odrednicu

.

Ispada:

d 2 z> 0 u tački P 0, tj. P 0 – minimalna tačka, ako A(P 0) > 0 i D(P 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

ako je D(P 0)< 0, то d 2 z u blizini tačke P 0 menja predznak i nema ekstremuma u tački P 0;

ako je D(R 0) = 0, tada su potrebna i dodatna istraživanja funkcije u blizini kritične tačke R 0.

Dakle, za funkciju z = f(x,y) od dvije varijable imamo sljedeći algoritam (nazovimo ga “algoritam D”) za pronalaženje ekstrema:

1) Pronađite domen definicije D( f) funkcije.

2) Pronađite kritične tačke, tj. bodova iz D( f), za koje su i jednaki nuli ili ne postoje.

3) U svakoj kritičnoj tački P 0 provjerite dovoljne uslove za ekstrem. Da biste to učinili, pronađite , gdje , , i izračunajte D(P 0) i A(P 0). Zatim:

ako je D(P 0) >0, tada u tački P 0 postoji ekstrem, i ako A(P 0) > 0 – onda je ovo minimum, i ako A(P 0)< 0 – максимум;

ako je D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Ako je D(P 0) = 0, potrebno je dodatno istraživanje.

4) U pronađenim tačkama ekstrema izračunati vrijednost funkcije.

Primjer 1.

Naći ekstremu funkcije z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Rješenje. Područje definicije ove funkcije je cijela koordinatna ravan. Hajde da pronađemo kritične tačke.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Hajde da proverimo da li su ispunjeni dovoljni uslovi za ekstrem. Naći ćemo

6X, = -3, = 48at I = 288xy – 9.

Tada je D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(R 1) = 36-9>0 – u tački R 1 postoji ekstrem, a pošto A(P 1) = 3 >0, onda je ovaj ekstremum minimum. Dakle min z=z(P 1) = .

Primjer 2.

Naći ekstremu funkcije .

Rješenje: D( f) =R 2 . Kritične tačke: ; ne postoji kada at= 0, što znači da je P 0 (0,0) kritična tačka ove funkcije.

2, = 0, = , = , ali D(P 0) nije definisan, pa je proučavanje njegovog predznaka nemoguće.

Iz istog razloga, nemoguće je direktno primijeniti teoremu 9.2 - d 2 z ne postoji u ovom trenutku.

Razmotrimo prirast funkcije f(x, y) u tački P 0 . Ako je D f =f(P) – f(P 0)>0 "P, tada je P 0 minimalna tačka, ali ako je D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

U našem slučaju imamo

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

Kod D x= 0,1 i D y= -0,008 dobijamo D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 i D y= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, tj. u blizini tačke P 0 nijedan uslov D ​​nije zadovoljen f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) i stoga P 0 nije tačka maksimuma), niti uslov D f>0 (tj. f(x, y) > f(0, 0) i tada P 0 nije minimalna tačka). Dakle, po definiciji ekstremuma, ovu funkciju nema ekstrema.

Uslovni ekstrem.

Razmatrani ekstremum funkcije se poziva bezuslovno, budući da se argumentima funkcije ne nameću nikakva ograničenja (uslovi).

Definicija 9.2. Ekstremum funkcije I = f(X 1 , X 2 , ... , x n), pronađen pod uslovom da su njegovi argumenti X 1 , X 2 , ... , x n zadovoljiti jednačine j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, gdje je P ( X 1 , X 2 , ... , x n) O D( f), zove uslovni ekstrem .

Jednačine j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, su pozvani jednačine veze.

Pogledajmo funkcije z = f(x,y) dvije varijable. Ako je jednačina veze jedan, tj. , tada pronalaženje uslovnog ekstremuma znači da se ekstremum ne traži u cijeloj domeni definicije funkcije, već na nekoj krivulji koja leži u D( f) (tj. ne traže se najviše ili najniže tačke površine z = f(x,y), i najviše ili najniže tačke među tačkama preseka ove površine sa cilindrom, sl. 5).

Uslovni ekstremum funkcije z = f(x,y) od dvije varijable se mogu naći na sljedeći način ( metoda eliminacije). Iz jednačine izrazite jednu od varijabli kao funkciju druge (na primjer, write ) i, zamjenjujući ovu vrijednost varijable u funkciju, zapišite potonju kao funkciju jedne varijable (u razmatranom slučaju ). Odrediti ekstrem rezultujuće funkcije jedne varijable.