Kao konkretan primjer tijela koje rotira oko ose, razmotrite kretanje klatna.
Fizičko klatno se naziva solidan, koji ima horizontalnu os rotacije oko koje vrši oscilatorna kretanja pod uticajem svoje težine (Sl. 119).
Položaj klatna u potpunosti je određen kutom njegovog odstupanja od ravnotežnog položaja, pa je za određivanje zakona kretanja klatna dovoljno pronaći ovisnost ovog ugla o vremenu.
Jednadžba oblika:
naziva se jednačina (zakon) kretanja klatna. To zavisi od početnih uslova, odnosno od ugla i ugaone brzine.
Granični slučaj fizičkog klatna je matematičko klatno, koje predstavlja (kao što je ranije rečeno - Poglavlje 2, § 3) materijalnu tačku povezanu sa horizontalnom osom oko koje se rotira krutim bestežinskim štapom (Sl. 120). Udaljenost materijalne tačke od ose rotacije naziva se dužina matematičkog klatna.
Jednačine gibanja fizičkih i matematičkih klatna
Odaberimo sistem koordinatnih osa tako da ravan xy prolazi kroz težište tela C i poklapa se sa ravninom zamaha klatna, kao što je prikazano na crtežu (sl. 119). Usmjerimo os okomitu na ravan crtanja prema nama. Zatim, na osnovu rezultata iz prethodnog paragrafa, zapisujemo jednačinu gibanja fizičkog klatna u obliku:
gdje kroz označava moment inercije klatna u odnosu na njegovu os rotacije i
Stoga možete napisati:
Aktivna sila koja djeluje na klatno je njegova težina, čiji će moment u odnosu na os težine biti:
gdje je udaljenost od ose rotacije klatna do njegovog centra mase C.
Posljedično, dolazimo do sljedeće jednačine gibanja fizičkog klatna:
Kako je matematičko klatno poseban slučaj fizičkog, gore je napisano diferencijalna jednadžba Ovo važi i za matematičko klatno. Ako je dužina matematičkog klatna jednaka i njegovoj težini, tada je njegov moment inercije u odnosu na os rotacije jednak
Kako je udaljenost težišta matematičkog klatna od ose jednaka, konačna diferencijalna jednadžba gibanja matematičkog klatna može se napisati u obliku:
Smanjena dužina fizičkog klatna
Upoređujući jednačine (16.8) i (16.9), možemo zaključiti da ako su parametri fizičkog i matematičkog klatna povezani relacijom
tada su zakoni kretanja fizičkog i matematičkog klatna isti (pod istim početnim uslovima).
Posljednja relacija označava dužinu koju matematičko klatno mora imati da bi se kretalo na isti način kao i odgovarajuće fizičko klatno. Ova dužina se naziva redukovana dužina fizičkog klatna. Značenje ovog koncepta je da se proučavanje kretanja fizičkog klatna može zamijeniti proučavanjem kretanja matematičkog klatna, koje je jednostavno mehaničko kolo.
Prvi integral jednadžbe gibanja klatna
Jednadžbe gibanja fizičkog i matematičkog klatna imaju isti oblik, pa će jednačina njihovog gibanja biti
Budući da je jedina sila koja se uzima u obzir u ovoj jednačini sila gravitacije koja pripada potencijalnom polju sila, primjenjuje se zakon održanja mehaničke energije.
Ovo poslednje se može dobiti jednostavan trik, pomnožimo jednačinu (16.10) do tada
Integracijom ove jednačine dobijamo
Određivanjem konstante integracije Cu iz početnih uslova nalazimo
Rešavanjem poslednje jednačine za relativ dobijamo
Ova relacija predstavlja prvi integral diferencijalne jednadžbe (16.10).
Određivanje reakcija oslonca fizičkih i matematičkih klatna
Prvi integral jednadžbi kretanja nam omogućava da odredimo reakcije oslonca klatna. Kao što je navedeno u prethodnom paragrafu, reakcije potpore se određuju iz jednačina (16.5). U slučaju fizičkog klatna, komponente aktivne sile duž koordinatnih osa i njeni momenti u odnosu na osi će biti:
Koordinate centra mase određene su formulama:
Tada jednadžbe za određivanje reakcija potpore imaju oblik:
Centrifugalni momenti inercije tijela i razmaci između oslonaca moraju biti poznati prema uvjetima zadatka. Kutno ubrzanje u i ugaona brzina s se određuju iz jednačina (16.9) i (16.4) u obliku:
Dakle, jednačine (16.12) u potpunosti određuju komponente reakcija oslonca fizičkog klatna.
Jednačine (16.12) se dodatno pojednostavljuju ako uzmemo u obzir matematičko klatno. Zaista, pošto se materijalna tačka matematičkog klatna nalazi u ravni, onda Osim toga, pošto je jedna tačka fiksna, onda se jednačine (16.12) pretvaraju u jednačine oblika:
Iz jednadžbi (16.13) pomoću jednadžbe (16.9) slijedi da je reakcija potpore usmjerena duž navoja I (slika 120). Ovo posljednje je očigledan rezultat. Prema tome, projektujući komponente jednakosti (16.13) na pravac navoja, nalazimo jednačinu za određivanje reakcije nosača oblika (Sl. 120):
Zamjenjujući vrijednost ovdje i uzimajući u obzir da pišemo:
Posljednja relacija određuje dinamičku reakciju matematičkog klatna. Imajte na umu da će njegova statična reakcija biti
Kvalitativna studija prirode kretanja klatna
Prvi integral jednadžbe kretanja klatna omogućava nam da izvršimo kvalitativnu studiju prirode njegovog kretanja. Naime, ovaj integral (16.11) zapisujemo u obliku:
Tokom pokreta, radikalni izraz mora biti ili pozitivan ili nestati u nekim tačkama. Pretpostavimo da su početni uslovi takvi da
U ovom slučaju, radikalni izraz nigdje ne nestaje. Prema tome, kada se kreće, klatno će proći kroz sve vrijednosti ugla, a kutna brzina od klatna ima isti predznak, koji je određen smjerom početne kutne brzine, ili će kut ili povećati sve vrijeme ili smanjivati cijelo vrijeme, tj. klatno će se rotirati na jednu stranu.
Smjerovi kretanja će odgovarati jednom ili drugom znaku u izrazu (16.11). Neophodan uslov Realizacija takvog kretanja je prisustvo početne ugaone brzine, pošto je iz nejednakosti (16.14) jasno da ako je tada pod bilo kojim početnim uglom otklona nemoguće dobiti takvo kretanje klatna.
Neka sada početni uslovi budu takvi da
U ovom slučaju postoje dvije takve vrijednosti ugla pri kojima radikalni izraz postaje nula. Neka odgovaraju uglovima definisanim jednakošću
Štoviše, bit će negdje u rasponu od 0 do . Dalje, očigledno je da kada
radikalni izraz (16.11) će biti pozitivan, a za proizvoljno malo prekoračenje bit će negativan.
Prema tome, kada se klatno kreće, njegov ugao se mijenja u rasponu:
Kada ugaona brzina klatna padne na nulu i ugao počne da se smanjuje na vrednost . U tom slučaju promijenit će se predznak ugaone brzine ili predznak ispred radikala u izrazu (16.11). Kada ugaona brzina klatna ponovo dostigne nulu i ugao ponovo počne da raste do vrednosti
Tako će klatno vršiti oscilatorna kretanja
Amplituda oscilacija klatna
Kada klatno oscilira, maksimalna vrijednost njegovog odstupanja od vertikale naziva se amplituda oscilovanja. Jednaka je kojoj se određuje iz jednakosti
Kao što slijedi iz posljednje formule, amplituda oscilacije ovisi o početnim podacima o glavnim karakteristikama klatna ili njegovoj smanjenoj dužini.
U konkretnom slučaju, kada se klatno odmakne od ravnotežnog položaja i pusti bez početne brzine, tada će ono biti jednako , dakle, amplituda ne ovisi o smanjenoj dužini.
Jednačina kretanja klatna u konačnom obliku
Neka je početna brzina klatna nula, tada će prvi integral njegove jednadžbe gibanja biti:
Integracijom ove jednačine nalazimo
Vrijeme ćemo računati od položaja klatna, što odgovara tada
Transformirajmo integrand koristeći formulu:
Tada dobijamo:
Rezultirajući integral naziva se eliptički integral prve vrste. Ne može se izraziti korištenjem konačnog broja elementarnih funkcija.
Inverzija eliptičkog integrala (16.15) u odnosu na njegovu gornju granicu predstavlja jednačinu kretanja klatna:
Ovo će biti dobro proučena Jacobijeva eliptična funkcija.
Period oscilacije klatna
Vrijeme potrebno za jednu potpunu oscilaciju klatna naziva se njegov period oscilovanja. Označimo ga T. Budući da je vrijeme kretanja klatna iz pozicije u poziciju isto kao i vrijeme kretanja od tada će T biti određeno formulom:
Napravimo promjenu varijabli stavljanjem
Kada se mijenja od 0 do promijenit će se od 0 do . dalje,
i zbog toga
Posljednji integral se naziva potpuni eliptički integral prve vrste (njegove vrijednosti su date u posebnim tabelama).
Kada integrand teži jedinstvu i .
Približne formule za male oscilacije klatna
U slučaju kada oscilacije klatna imaju malu amplitudu (praktički ne bi trebalo da prelazi 20°), možete staviti
Tada diferencijalna jednadžba kretanja klatna ima oblik:
Matematičko klatno
Uvod
Period oscilacije
zaključci
Književnost
Uvod
Sada više nije moguće provjeriti legendu o tome kako je Galileo, stojeći u molitvi u katedrali, pažljivo promatrao ljuljanje bronzanih lustera. Posmatrao sam i određivao vrijeme koje je proveo luster u pomicanju naprijed-nazad. Ovo vrijeme je kasnije nazvano periodom oscilovanja. Galileo nije imao sat, a da bi uporedio period oscilovanja lustera okačenih na lancima različite dužine, koristio je frekvenciju svog pulsa.
Klatno se koriste za podešavanje brzine satova, jer svako klatno ima vrlo specifičan period oscilovanja. Klatno takođe pronalazi važna aplikacija u geološkim istraživanjima. Poznato je da su na različitim mjestima širom svijeta vrijednosti g su različiti. Oni su drugačiji jer Zemlja nije sasvim pravilna sfera. Osim toga, u područjima gdje se pojavljuju guste stijene, kao što su neke metalne rude, vrijednost g abnormalno visoka. Precizna mjerenja g uz pomoć matematičkog klatna ponekad je moguće otkriti takve naslage.
Jednačina kretanja matematičkog klatna
Matematičko klatno je teška materijalna tačka koja se kreće ili duž okomitog kruga (ravno matematičko klatno) ili duž sfere (sferno klatno). U prvoj aproksimaciji, matematičko klatno se može smatrati malim teretom okačenim na nerastavljivu fleksibilnu nit.
Razmotrimo kretanje ravnog matematičkog klatna duž kružnice poluprečnika l centriran u tački O(Sl. 1). Odredićemo poziciju tačke M(klatno) ugao odstupanja j radijus OM od vertikale. Usmjeravanje tangente M t prema pozitivnom kutu j, sastavit ćemo prirodnu jednačinu kretanja. Ova jednačina se formira iz jednačine kretanja
mW=F+N, (1)
Gdje F je aktivna sila koja djeluje na tačku, i N- komunikacijska reakcija.
Slika 1
Dobili smo jednačinu (1) prema drugom Newtonovom zakonu, koji je osnovni zakon dinamike i kaže da je vremenski izvod količine gibanja materijalne tačke jednak sili koja na nju djeluje, tj.
Uz pretpostavku da je masa konstantna, prethodnu jednačinu možemo predstaviti u obliku
Gdje W je ubrzanje tačke.
Dakle, jednadžba (1) u projekciji na osu t će nam dati jednu od prirodnih jednačina za kretanje tačke duž date fiksne glatke krivulje:
U našem slučaju dobijamo u projekciji na t osu
,
Gdje m postoji masa klatna.
Od ili , odavde nalazimo
.
Reducing by m i verujući
, (3)
konačno ćemo imati:
,
,
,
. (4)
Razmotrimo prvo slučaj malih oscilacija. Pusti unutra početni trenutak klatno je odmaknuto od vertikale za ugao j i spušten bez početne brzine. Tada će početni uslovi biti:
at t= 0, 
. (5)
Iz energetskog integrala:
, (6)
Gdje V- potencijalna energija, i h je integraciona konstanta, sledi da je pod ovim uslovima u svakom trenutku ugao jJj 0 . Konstantna vrijednost h utvrđeno iz početnih podataka. Pretpostavimo da je ugao j 0 mali (j 0 J1); tada će i ugao j biti mali i možemo približno postaviti sinj»j. U ovom slučaju, jednačina (4) će poprimiti oblik
. (7)
Jednačina (7) je diferencijalna jednačina jednostavne harmonijske oscilacije. Zajednička odluka ova jednačina ima oblik
, (8)
Gdje A I B ili a i e su konstante integracije.
Odavde odmah nalazimo period ( T) male oscilacije matematičkog klatna (period - vremenski period tokom kojeg se tačka vraća u prethodni položaj istom brzinom)
I 
,
jer sin ima period jednak 2p, tada w T=2p Yu
(9)
Da bismo pronašli zakon kretanja pod početnim uslovima (5), izračunavamo:
. (10)
Zamjenom vrijednosti (5) u jednačine (8) i (10) dobijamo:
j 0 = A, 0 = w B,
one. B=0. Prema tome, zakon kretanja za male oscilacije pod uslovima (5) će biti:
j = j 0 cos wt. (jedanaest)
Hajde sada da pronađemo tačno rešenje za problem ravnog matematičkog klatna. Odredimo prvo prvi integral jednadžbe kretanja (4). Jer
,
tada se (4) može predstaviti kao
.
Dakle, množenje obje strane jednačine sa d j i integrišući, dobijamo:
. (12)
Označimo ovdje j 0 ugao maksimalnog otklona klatna; tada ćemo za j = j 0 imati, odakle C= w 2 cosj 0 . Kao rezultat, integral (12) daje:
, (13)
gdje je w određeno jednakošću (3).
Ovaj integral je energetski integral i može se direktno dobiti iz jednačine
, (14)
gdje su radovi na selidbi M 0 M aktivna sila F, ako to uzmemo u obzir u našem slučaju v 0 =0, i (vidi sliku).
Iz jednačine (13) je jasno da kada se klatno pomera, ugao j će se promeniti između vrednosti +j 0 i -j 0 (|j|Jj 0, pošto), tj. klatno će izvršiti oscilatorno kretanje. Hajde da se dogovorimo da odbrojavamo vreme t od trenutka kada klatno prođe kroz vertikalu O.A. kada se pomeri udesno (vidi sliku). Tada ćemo imati početni uslov:
at t=0, j=0. (15)
Osim toga, kada se krećete iz tačke A volja ; koje proizlaze iz obje strane jednakosti (13) Kvadratni korijen, dobijamo:
.
Odvajajući varijable ovdje, imamo:
. (16)
, 
,
To
.
Zamjenom ovog rezultata u jednačinu (16) dobijamo.
Oscilatorno kretanje- periodično ili gotovo periodično kretanje tijela čije koordinate, brzina i ubrzanje u jednakim vremenskim intervalima poprimaju približno iste vrijednosti.
Mehaničke vibracije nastaju kada se, kada se tijelo ukloni iz ravnotežnog položaja, pojavi sila koja teži da vrati tijelo nazad.
Pomak x je odstupanje tijela od ravnotežnog položaja.
Amplituda A je modul maksimalnog pomaka tijela.
Period oscilacije T - vrijeme jedne oscilacije:
Frekvencija oscilovanja
Broj oscilacija koje izvrši tijelo u jedinici vremena: Tokom oscilacija, brzina i ubrzanje se periodično mijenjaju. U ravnotežnom položaju brzina je maksimalna, a ubrzanje je nula. U tačkama najvećeg pomaka, ubrzanje dostiže maksimum i brzina postaje nula.
RASPORED HARMONIČNIH VIBRACIJA
Harmonic Vibracije koje se javljaju prema zakonu sinusa ili kosinusa nazivaju se:
gdje je x(t) pomak sistema u trenutku t, A je amplituda, ω je ciklična frekvencija oscilacija.
Ako nacrtate odstupanje tijela od ravnotežnog položaja duž vertikalne ose, a vrijeme duž horizontalne ose, dobit ćete grafik oscilacije x = x(t) - ovisnost pomaka tijela o vremenu. Za slobodne harmonijske oscilacije to je sinusni ili kosinusni val. Na slici su prikazani grafovi zavisnosti pomaka x, projekcije brzine V x i ubrzanja a x od vremena.
Kao što se vidi iz grafikona, pri maksimalnom pomaku x, brzina V oscilirajućeg tijela je nula, ubrzanje a, a samim tim i sila koja djeluje na tijelo, je maksimalna i usmjerena suprotno od pomaka. U ravnotežnom položaju, pomak i ubrzanje postaju nula, a brzina je maksimalna. Projekcija ubrzanja uvijek ima suprotan predznak od pomaka.
ENERGIJA VIBRACIJSKOG KRETANJA
Ukupna mehanička energija oscilirajućeg tijela jednaka je zbroju njegove kinetičke i potencijalne energije i, u odsustvu trenja, ostaje konstantna:
U trenutku kada pomak dostigne maksimum x = A, brzina, a sa njom i kinetička energija, pada na nulu.
U ovom slučaju, ukupna energija je jednaka potencijalnoj energiji:
Ukupna mehanička energija oscilirajućeg tijela proporcionalna je kvadratu amplitude njegovih oscilacija.
Kada sistem prođe ravnotežni položaj, pomak i potencijalna energija su nula: x = 0, E p = 0. Dakle, ukupna energija je jednaka kinetičkoj energiji:
Ukupna mehanička energija oscilirajućeg tijela proporcionalna je kvadratu njegove brzine u ravnotežnom položaju. dakle:
MATEMATIČKO KLATNO
1. Matematičko klatno je materijalna tačka okačena na bestežinsku nerastegljivu nit.
U ravnotežnom položaju, sila gravitacije se kompenzira zatezanjem niti. Ako se klatno otkloni i otpusti, tada će sile prestati da kompenzuju jedna drugu i nastat će rezultantna sila usmjerena prema ravnotežnom položaju. Njutnov drugi zakon:
Za male oscilacije, kada je pomak x mnogo manji od l, materijalna tačka će se kretati gotovo uzduž horizontalna osa X. Tada iz trougla MAB dobijamo:
Jer sin a = x/l, tada je projekcija rezultujuće sile R na osu x jednaka
Znak minus pokazuje da je sila R uvijek usmjerena suprotno od pomaka x.
2. Dakle, pri oscilacijama matematičkog klatna, kao i pri oscilacijama opružnog klatna, povratna sila je proporcionalna pomaku i usmjerena je u suprotnom smjeru.
Uporedimo izraze za povratnu silu matematičkog i opružnog klatna:
Može se vidjeti da je mg/l analog k. Zamjena k sa mg/l u formuli za period opružnog klatna
dobijamo formulu za period matematičkog klatna:
Period malih oscilacija matematičkog klatna ne zavisi od amplitude.
Matematičko klatno se koristi za mjerenje vremena i određivanje ubrzanja gravitacije na određenoj lokaciji na površini zemlje.
Slobodne oscilacije matematičkog klatna pri malim uglovima otklona su harmonijske. Nastaju zbog rezultujuće sile gravitacije i sile zatezanja niti, kao i inercije opterećenja. Rezultanta ovih sila je obnavljajuća sila.
Primjer. Odredite ubrzanje zbog gravitacije na planeti na kojoj klatno dugo 6,25 m ima period slobodne oscilacije od 3,14 s.
Period oscilovanja matematičkog klatna zavisi od dužine niti i ubrzanja gravitacije:
Kvadiranjem obe strane jednakosti dobijamo:
odgovor: ubrzanje gravitacije je 25 m/s 2 .
Zadaci i testovi na temu "Tema 4. "Mehanika. Oscilacije i talasi."
- Poprečni i uzdužni talasi. Talasna dužina
Lekcije: 3 Zadaci: 9 Testovi: 1
- Zvučni talasi. Brzina zvuka - Mehaničke vibracije i talasi. Zvuk 9. razred
Šta je matematičko klatno?
Iz prethodnih lekcija već morate znati da klatno po pravilu označava tijelo koje oscilira pod utjecajem gravitacijske interakcije. Odnosno, možemo reći da se u fizici ovaj koncept općenito smatra čvrstim tijelom koje pod utjecajem gravitacije vrši oscilatorna kretanja koja se javljaju oko fiksne točke ili ose.
Princip rada matematičkog klatna
Pogledajmo sada princip rada matematičkog klatna i saznamo šta je to.
Princip rada matematičkog klatna je da kada materijalna tačka odstupi od ravnotežnog položaja za mali ugao a, odnosno za ugao pod kojim bi bio zadovoljen uslov sina=a, tada nastaje sila F = -mgsina = - mga će djelovati na tijelo.
Vi i ja vidimo da F ima silu negativan indikator, a iz ovoga slijedi da nam znak minus govori da je ova sila usmjerena u smjeru suprotnom od pomaka. A budući da je sila F proporcionalna pomaku S, slijedi da će pod utjecajem takve sile materijalna tačka vršiti harmonijske oscilacije.
Svojstva klatna
Ako uzmemo bilo koje drugo klatno, njegov period oscilovanja zavisi od mnogo faktora. Ovi faktori uključuju:
Prvo, veličina i oblik tijela;
Drugo, udaljenost koja postoji između tačke ovjesa i centra gravitacije;
Treće, takođe raspodela telesne težine u odnosu na datu tačku.
U vezi sa ovim različitim okolnostima klatna, određivanje perioda visećeg tela je prilično teško.
A ako uzmemo matematičko klatno, onda ono ima sva ona svojstva koja se mogu dokazati korištenjem poznatih fizički zakoni a njegov period se može lako izračunati pomoću formule.
Nakon što su izvršili mnoga različita zapažanja na takvim mehaničkim sistemima, fizičari su uspjeli odrediti takve obrasce kao što su:
Prvo, period klatna ne zavisi od mase tereta. Odnosno, ako s istom dužinom klatna iz njega objesimo tegove koji imaju različite mase, tada će period njihovih oscilacija i dalje biti isti, čak i ako njihove mase imaju prilično upadljive razlike.
Drugo, ako pri pokretanju sistema skrenemo klatno za male, ali različite uglove, tada će njegove oscilacije imati isti period, ali će amplitude biti različite. Sa malim odstupanjima od centra ravnoteže, vibracije u svom obliku imaće skoro harmoničan karakter. Odnosno, možemo reći da period takvog klatna ne zavisi od amplitude oscilacija. U prevodu sa grčkog, ovo svojstvo ovog mehaničkog sistema naziva se izohronizam, gde "isos" znači jednak, a "hronos" znači vreme.
Praktična upotreba oscilacija klatna
Matematičko klatno za razne studije koriste fizičari, astronomi, geodeti i drugi naučnici. Uz pomoć takvog klatna traže minerale. Promatrajući ubrzanje matematičkog klatna i brojeći broj njegovih oscilacija, mogu se pronaći nalazišta uglja i rude u utrobi naše Zemlje.
K. Flammarion, poznati francuski astronom i prirodnjak, tvrdio je da je uz pomoć matematičkog klatna uspio postići mnoge važna otkrića, uključujući pojavu meteorita Tunguska i otkriće nove planete.
Danas mnogi vidovnjaci i okultisti koriste takav mehanički sistem za traženje nestalih ljudi i proročanska predviđanja.
Definicija
Matematičko klatno- Ovo poseban slučaj fizičko klatno čija se masa nalazi u jednoj tački.
Tipično, matematičko klatno se smatra malom kuglom (materijalnom tačkom) velike mase, okačenom na dugačkoj nerastezljivoj niti (ovjes). Ovo je idealizovan sistem koji oscilira pod uticajem gravitacije. Samo za uglove reda 50-100, matematičko klatno je harmonijski oscilator, odnosno vrši harmonijske oscilacije.
Proučavajući ljuljanje lustera na dugačkom lancu, Galileo je proučavao svojstva matematičkog klatna. Shvatio je da period oscilovanja datog sistema ne zavisi od amplitude pri malim uglovima otklona.
Formula za period oscilovanja matematičkog klatna
Neka tačka vešanja klatna bude nepokretna. Opterećenje okačeno na niti klatna kreće se duž kružnog luka (slika 1(a)) s ubrzanjem, a na njega djeluje određena sila vraćanja ($\overline(F)$). Ova sila se mijenja kako se opterećenje kreće. Kao rezultat toga, proračun kretanja postaje složen. Hajde da uvedemo neka pojednostavljenja. Neka klatno ne oscilira u ravni, već opiše konus (slika 1 (b)). U ovom slučaju, teret se kreće u krug. Period oscilacija koji nas zanima poklopit će se s periodom konusnog kretanja tereta. Period okretanja konusnog klatna oko kružnice jednak je vremenu koje teret potroši na jednom okretu oko kružnice:
gdje je $L$ obim; $v$ je brzina kretanja tereta. Ako su uglovi odstupanja navoja od vertikale mali (male amplitude vibracija), tada se pretpostavlja da je povratna sila ($F_1$) usmjerena duž polumjera kružnice koju opisuje opterećenje. Tada je ova sila jednaka centripetalnoj sili:
Hajde da razmotrimo sličnih trouglova: AOB i DBC (slika 1(b)).
Izjednačavamo desne strane izraza (2) i (3) i izražavamo brzinu kretanja tereta:
\[\frac(mv^2)(R)=mg\frac(R)(l)\ \to v=R\sqrt(\frac(g)(l))\lijevo(4\desno).\]
Dobivenu brzinu zamjenjujemo u formulu (1), imamo:
\ \
Iz formule (5) vidimo da period matematičkog klatna zavisi samo od dužine njegovog ovjesa (udaljenost od tačke ovjesa do centra gravitacije tereta) i ubrzanja slobodnog pada. Formula (5) za period matematičkog klatna naziva se Hajgensova formula, ona je zadovoljena kada se tačka vešanja klatna ne pomera.
Koristeći zavisnost perioda oscilovanja matematičkog klatna o ubrzanju gravitacije, određuje se veličina ovog ubrzanja. Da biste to učinili, izmjerite dužinu klatna, s obzirom na veliki broj oscilacija, pronađite period $T$, a zatim izračunajte ubrzanje gravitacije.
Primjeri problema sa rješenjima
Primjer 1
Vježbajte. Kao što je poznato, veličina ubrzanja zbog gravitacije zavisi od geografske širine. Koliko je ubrzanje gravitacije na geografskoj širini Moskve ako je period oscilovanja matematičkog klatna dužine $l=2,485\cdot (10)^(-1)$m jednak T=1 s?\textit()
Rješenje. Kao osnovu za rješavanje problema uzimamo formulu za period matematičkog klatna:
Izrazimo iz (1.1) ubrzanje slobodnog pada:
Izračunajmo potrebno ubrzanje:
Odgovori.$g=9,81\frac(m)(s^2)$
Primjer 2
Vježbajte. Koliki će biti period oscilacije matematičkog klatna ako se tačka njegovog ovjesa pomjeri okomito naniže 1) sa konstantna brzina? 2) sa ubrzanjem $a$? Dužina niti ovog klatna je $l.$
Rješenje. Hajde da napravimo crtež.
1) Period matematičkog klatna čija se tačka ovjesa ravnomjerno kreće jednak je periodu klatna sa fiksnom tačkom vješanja:
2) Ubrzanje tačke ovjesa klatna se može smatrati pojavom dodatne sile jednake $F=ma$, koja je usmjerena protiv ubrzanja. Odnosno, ako je ubrzanje usmjereno prema gore, onda je dodatna sila usmjerena naniže, što znači da se dodaje sili gravitacije ($mg$). Ako se tačka ovjesa pomiče ubrzanjem naniže, tada se dodatna sila oduzima od sile gravitacije.
Pronalazimo period matematičkog klatna koje oscilira i čija se tačka suspenzije kreće ubrzanjem kao:
Odgovori. 1) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g))$; 2) $T_1=2\pi \sqrt(\frac(l)(g-a))$
