Dom Higijena Koncept numeričkih integracionih formula. Numerička integracija

Higijena

Koncept numeričkih integracionih formula. Numerička integracija

programiranje formula numeričke integracije

Uvod

1. Metode numeričke integracije

2. Kvadraturne formule

3. Automatski odabir koraka integracije

Zaključak

Bibliografija

Uvod

Svrha eseja je proučavanje i komparativna analiza metode numeričke integracije funkcija; implementacija ovih metoda u obliku mašinskih programa u jeziku visok nivo i praktično rješavanje problema numeričke integracije na računaru.

Prilikom rješavanja inženjerskih problema često postoji potreba za izračunavanjem vrijednosti određenog integrala oblika

. (1)

Ako je funkcija kontinuirana na intervalu [ a , b] i njegov antiderivat se može odrediti kroz poznatu funkciju, tada se takav integral izračunava pomoću Newton–Leibnizove formule:

U inženjerskim problemima rijetko je moguće dobiti vrijednost integrala u analitičkom obliku. Osim toga, funkcija f (x) može se specificirati, na primjer, pomoću tabele eksperimentalnih podataka. Stoga se u praksi koriste za izračunavanje određenog integrala posebne metode, koji se zasnivaju na interpolacionom aparatu.

Ideja takvih metoda je sljedeća. Umjesto izračunavanja integrala pomoću formule (1), prvo izračunajte vrijednosti funkcije f (x i) = y i u nekim čvorovima x i Î[ a , b]. Zatim se bira interpolacijski polinom P (x), prolazeći kroz dobijene tačke ( x i , y i), koji se koristi pri izračunavanju približne vrijednosti integrala (1):

Prilikom implementacije ovog pristupa, formule numeričke integracije imaju sljedeće opšti pogled:

, (2) - interpolacijski čvorovi, A i– neki koeficijenti, R– preostali termin koji karakteriše grešku formule. Imajte na umu da se formule oblika (2) nazivaju kvadraturne formule.

Geometrijsko značenje numeričke integracije je izračunavanje površine krivolinijskog trapeza ograničenog grafom funkcije f (X), x-osa i dvije ravne linije x = a I x = b. Približno izračunavanje površine dovodi do odbacivanja ostatka člana u kvadraturnim formulama R, koji karakterizira grešku metode, koja je dodatno nadograđena računskom greškom.

1. Metode numeričke integracije

IN primijenjeno istraživanjeČesto postoji potreba za izračunavanjem vrijednosti određenog integrala

Kao što znate iz kursa matematike, integral se ne može izračunati analitički u svim slučajevima. Pa čak i u slučaju kada je moguće pronaći analitički oblik ovog integrala, postupak proračuna daje približan rezultat, pa se javlja problem aproksimativne vrijednosti ovog integrala.

Suština približnog izračunavanja leži u dvije operacije: 1. odabir konačnog broja umjesto n; 2. u izboru tačke

u odgovarajućem segmentu.

U zavisnosti od izbora

dobijamo različite formule za izračunavanje integrala: Formule lijevog i desnog pravokutnika (5), (6)

(5)

(6)

Formula trapeza:

Simpsonova formula

b, a - krajevi segmenta koji se razmatra.

Da bismo uporedili rezultate proračuna sa gornjim numeričkim formulama integracije, izračunavamo sledeći integral na 3 načina, dele segment na 6 jednakih segmenata: h=

Prema formuli lijevog pravokutnika:

Prema trapezoidnoj formuli:

Prema Simpsonovoj formuli:

I rezultat dobijen analitički je jednak

Stoga možemo zaključiti da je metoda numeričke integracije prema Simpsonovoj formuli preciznija, ali se koristi u opšti slučaj kada se segment koji se odvaja na paran broj intervala.

2. Kvadraturne formule

Formule pravougaonika su najjednostavnije kvadratne formule. Podijelimo segment integracije [ a, b] uključeno n dužine jednakih delova

. Imajte na umu da vrijednost h nazvan korakom integracije. Na razdvojenim tačkama X 0 = a ,X 1 =a+h , ..., x n = b zabeležite ordinate y 0 ,y 1 ,…,y n krivo f (x), tj. izračunajmo y i = f (x i), x i = a+ ih = x i -1 + h (i =). Na svakom segmentu dužine h konstruisati pravougaonik sa stranicama h I y i, Gdje i =, tj. od vrijednosti ordinata izračunatih na lijevim krajevima segmenata. Tada se površina krivolinijskog trapeza, koja određuje vrijednost integrala (1), može približno predstaviti kao zbir površina pravokutnika (slika 1). Odavde dobijamo formulu za pravougaonike:
. (3)

Ako pri izračunavanju integralne sume uzmemo vrijednosti funkcije f (x) ne na lijevoj, već na desnim krajevima segmenata dužine h, što je prikazano na sl. 1 sa isprekidanom linijom, dobijamo drugu verziju formule pravokutnika:

. (4)

Treća verzija formule pravokutnika može se dobiti korištenjem vrijednosti funkcije f (x), izračunato na sredini svakog segmenta dužine h(slika 2):

. (5)

Formule (3), (4) i (4) se nazivaju formulama lijevog, desnog i središnjeg pravokutnika.

Simpsonova formula. Podijelimo interval integracije sa 2 n dužine jednakih delova

. Na svakom segmentu [ x i , x i+2] integrand funkcija f (X) će biti zamijenjen parabolom koja prolazi kroz tačke ( x i , y i), (x i +1 , y i +1), (x i +2 , y i+2). Tada je približna vrijednost integrala određena Simpsonovom formulom: . (7)

Kada računate na računaru, sljedeća formula je prikladnija:

Simpsonova metoda je jedna od najpoznatijih i najkorišćenijih metoda numeričke integracije tačne vrijednosti integral pri integraciji polinoma do trećeg reda uključujući.

Njutnova formula. Približna vrijednost integrala pomoću Newtonove formule izračunava se na sljedeći način:

gdje je broj particionih sekcija višekratnik od tri, tj. je 3 n. Prilikom razvoja kompjuterskih programa, pogodnije je koristiti ekvivalentnu formulu:

Newtonova metoda daje tačne vrijednosti integrala pri integraciji polinoma do četvrtog reda uključujući.

3. Automatski odabir koraka integracije

Kao rezultat proračuna po formulama (3) - (8), dobija se približna vrijednost integrala, koja se može razlikovati od tačne vrijednosti za određeni iznos, nazvana greška integracije. Greška je određena formulom ostatka R, različit za svaku metodu integracije. Ako je potrebno izračunati vrijednost integrala s greškom koja ne prelazi e, onda je potrebno odabrati takav korak integracije h, tako da vrijedi nejednakost R (h) £e. U praksi se koristi automatski odabir vrijednosti h, osiguravajući postizanje date greške. Prvo izračunajte vrijednost integrala I (n), dijeleći interval integracije na n sekcije, tada se broj sekcija udvostručuje i izračunava se integral I (2n). Proces izračunavanja se nastavlja sve dok uslov ne postane istinit.

programiranje formula numeričke integracije

Uvod

2. Kvadraturne formule

3. Automatski odabir koraka integracije

Zaključak

Bibliografija

Uvod

Svrha sažetka je proučavanje i komparativna analiza metoda za numeričku integraciju funkcija; implementacija ovih metoda u obliku mašinskih programa na jeziku visokog nivoa i praktično rešavanje problema numeričke integracije na računaru.

Prilikom rješavanja inženjerskih problema često postoji potreba za izračunavanjem vrijednosti određenog integrala oblika

Ako je funkcija kontinuirana na intervalu [ a, b] i njegov antiderivat se može odrediti kroz poznatu funkciju, tada se takav integral izračunava pomoću Newton–Leibnizove formule:

U inženjerskim problemima rijetko je moguće dobiti vrijednost integrala u analitičkom obliku. Osim toga, funkcija f(x) može se specificirati, na primjer, pomoću tabele eksperimentalnih podataka. Stoga se u praksi za izračunavanje određenog integrala koriste posebne metode koje se zasnivaju na interpolacijskom aparatu.

Ideja takvih metoda je sljedeća. Umjesto izračunavanja integrala pomoću formule (1), prvo izračunajte vrijednosti funkcije f(x i) = y i u nekim čvorovima x i Î[ a, b]. Zatim se bira interpolacijski polinom P(x), prolazeći kroz dobijene tačke ( x i, y i), koji se koristi pri izračunavanju približne vrijednosti integrala (1):

Prilikom implementacije ovog pristupa, formule numeričke integracije poprimaju sljedeći opći oblik:

, (2)

gdje su interpolacijski čvorovi, A i– neki koeficijenti, R– preostali termin koji karakteriše grešku formule. Imajte na umu da se formule oblika (2) nazivaju kvadraturne formule.

Geometrijsko značenje numeričke integracije je izračunavanje površine krivolinijskog trapeza ograničenog grafom funkcije f(X), x-osa i dvije ravne linije x = a I x = b. Približno izračunavanje površine dovodi do odbacivanja ostatka člana u kvadraturnim formulama R, koji karakterizira grešku metode, koja je dodatno nadograđena računskom greškom.

Metode numeričke integracije

U primijenjenim istraživanjima često postoji potreba za izračunavanjem vrijednosti određenog integrala

Suština približnog izračunavanja leži u dvije operacije: 1. odabir konačnog broja umjesto n; 2. u izboru tačke u odgovarajućem segmentu.

U zavisnosti od izbora dobijamo različite formule za izračunavanje integrala: Formule levog i desnog pravougaonika (5), (6)

(5)

(6)

Formula trapeza:

Simpsonova formula

b, a - krajevi segmenta koji se razmatra.

Da bismo uporedili rezultate proračuna sa gornjim numeričkim formulama integracije, izračunavamo sledeći integral na 3 načina, dele segment na 6 jednakih segmenata:

Prema formuli lijevog pravokutnika:

Prema trapezoidnoj formuli:

Prema Simpsonovoj formuli:

I rezultat dobijen analitički je jednak

Shodno tome, možemo zaključiti da je numerička metoda integracije prema Simpsonovoj formuli tačnija, ali se koristi u opštem slučaju kada se segment koji se odvaja na paran broj intervala koristi.

Kvadraturne formule

Formule pravougaonika su najjednostavnije kvadraturne formule. Podijelimo segment integracije [ a, b] uključeno n dužina jednakih delova. Imajte na umu da vrijednost h nazvan korakom integracije. Na razdvojenim tačkama X 0 = a,X 1 =a+h, ..., x n = b zabeležite ordinate y 0 ,y 1 ,…,y n krivo f(x), tj. izračunajmo y i = f(x i), x i = a+ ih = x i -1 + h(i =). Na svakom segmentu dužine h konstruisati pravougaonik sa stranicama h I y i, Gdje i =, tj. od vrijednosti ordinata izračunatih na lijevim krajevima segmenata. Tada se površina krivolinijskog trapeza, koja određuje vrijednost integrala (1), može približno predstaviti kao zbir površina pravokutnika (slika 1). Odavde dobijamo formulu za pravougaonike:

Ako pri izračunavanju integralne sume uzmemo vrijednosti funkcije f(x) ne na lijevoj, već na desnim krajevima segmenata dužine h, što je prikazano na sl. 1 sa isprekidanom linijom, dobijamo drugu verziju formule pravokutnika:

Treća verzija formule pravokutnika može se dobiti korištenjem vrijednosti funkcije f(x), izračunato na sredini svakog segmenta dužine h(slika 2):

. (5)

Formule (3), (4) i (4) se nazivaju formulama lijevog, desnog i središnjeg pravokutnika.

Rice. 2

Trapezna formula. Ovdje na svakom elementarnom intervalu [ x i -1 , x i] dužina h tačke sa koordinatama ( x i -1 , y i-1) i ( x i, y i) povezani su segmentom (slika 3). Tada se površina trapeza konstruiranog na ovom intervalu određuje proizvodom 0,5 h(y i -1 + y i). Zbrajanje površina elementarnih trapeza za i= dobijamo približnu vrijednost integrala.

Ograničeno x-osom, grafikom integrabilne funkcije i segmentima x=a\,\! I x=b\,\!, Gdje a\,\! I b\,\!- granice integracije (vidi sliku).

Potreba za korištenjem numeričke integracije najčešće može biti uzrokovana nedostatkom reprezentacije u a samim tim i nemogućnošću analitičkog izračunavanja vrijednosti određenog integrala nad . Također je moguće da je oblik antiderivata toliko složen da je brže izračunati vrijednost integrala pomoću numeričke metode.

Jednodimenzionalno kućište

Glavna ideja većine numeričkih metoda integracije je da se integrand zamijeni jednostavnijim, čiji se integral može lako analitički izračunati. U ovom slučaju, za procjenu vrijednosti integrala, dobijaju se formule oblika

I \približno \sum_(i=1)^(n) w_i\, f(x_i),

Gdje n\,\!- broj tačaka u kojima se izračunava vrijednost integrala. Poeni x_i\,\! nazivaju se metodski čvorovi, brojevi w_i\,\!- težine čvorova. Prilikom zamjene integrala polinomom od nule, prvog i drugog stupnja, dobiju se metode , i (Simpson). Često se formule za procjenu vrijednosti integrala nazivaju kvadraturne formule.

Metoda pravougaonika

Metoda pravougaonika se dobija zamjenom integrala konstantom. Kao konstantu, možete uzeti vrijednost funkcije u bilo kojoj tački na segmentu \lijevo\,\!. Najčešće korištene vrijednosti funkcije su u sredini segmenta i na njegovim krajevima. Odgovarajuće modifikacije se nazivaju metodama srednjih pravougaonika, lijevog pravougaonika I pravih pravougaonika. Formula za približno izračunavanje vrijednosti određenog integrala metodom pravokutnika ima oblik

I\približno f(x) (b-a),

Gdje x=\frac(\lijevo(a+b\desno))(2), a\,\! ili b\,\!, shodno tome.

Trapezoidna metoda

Ako povučemo pravu liniju kroz krajeve segmenta integracije, dobićemo trapezoidna metoda. Iz geometrijskih razmatranja to je lako dobiti

I \približno \frac(f(a)+f(b))(2) (b-a).

Metoda parabole

Koristeći tri tačke segmenta integracije, možete zamijeniti integrand parabolom. Obično se kao takve tačke koriste krajevi segmenta i njegova sredina. U ovom slučaju formula ima vrlo jednostavan oblik

I \približno \frac(b-a)(6)\left(f(a)+4f\left(\frac(a+b)(2)\desno)+f(b)\desno).

Povećana preciznost

Aproksimacija funkcije jednim polinomom u cijelom intervalu integracije, po pravilu, dovodi do velike greške u procjeni vrijednosti integrala.

Da bi se smanjila greška, segment integracije se dijeli na dijelove i numerička metoda se koristi za procjenu integrala na svakom od njih.

Kako broj particija teži beskonačnosti, procjena integrala teži njegovoj pravoj vrijednosti za bilo koju numeričku metodu.

Gore navedene metode omogućavaju jednostavnu proceduru prepolovljenja koraka, pri čemu svaki korak zahtijeva da se vrijednosti funkcije izračunaju samo na novododatim čvorovima. Za procjenu greške u proračunu, .

Gaussova metoda

Gore opisane metode koriste fiksne segmentne tačke (krajeve i sredine) i imaju nisku vrijednost (1, 1 i 3, respektivno). Ako možemo izabrati tačke u kojima izračunavamo vrednosti funkcije f(x)\,\!, onda je sa istim brojem izračunavanja integranda moguće dobiti metode koje su više high order tačnost. Dakle, za dva (kao u trapezoidnoj metodi) izračunavanja vrijednosti integrala, možete dobiti metodu ne 1., već 3. reda tačnosti:

I \približno \frac(b-a)(2)\left(f\left(\frac(a+b)(2) - \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \desno)+f\left( \frac(a+b)(2) + \frac(b-a)(2\sqrt(3)) \desno) \desno).

Općenito, korištenje n\,\! bodova, možete dobiti metodu s redoslijedom tačnosti 2n-1\,\!. Vrijednosti čvorova Gaussove metode prema n\,\! tačke su korijeni Legendreovog polinoma stepena n\,\!.

Vrijednosti čvorova Gaussove metode i njihove težine date su u imenicima posebnih funkcija. Najpoznatija je Gausova metoda pet tačaka.

Gauss-Kronrodova metoda

Nedostatak Gaussove metode je u tome što ona nema lak (sa računske tačke gledišta) način za procjenu greške rezultirajuće integralne vrijednosti. Korištenje Rungeovog pravila zahtijeva izračunavanje integrala u približno istom broju tačaka, bez praktičnog povećanja tačnosti, za razliku od jednostavne metode, gdje se preciznost značajno povećava sa svakom novom particijom. Kronrod je bio ponuđen sledeća metoda procjene vrijednosti integrala

I \približno \sum_(i=1)^(n) a_i\, f(x_i) + \sum_(i=1)^(n+1) b_i\, f(y_i),

Gdje x_i\,\!- čvorovi Gausove metode n\,\! bodova, i 3n+2\,\! parametri a_i\,\!, b_i\,\!, y_i\,\! odabran na takav način da je redoslijed tačnosti metode jednak 3n+1\,\!.

Zatim, da biste procijenili grešku, možete koristiti empirijsku formulu

\Delta = \levo(200 |I - I_G|\desno)^(1.5),

Gdje I_G\,\!- vrijednost integrala, procijenjena Gaussovom metodom prema n\,\! bodova. Biblioteke [

Ideja numeričke integracije je krajnje jednostavna i slijedi iz geometrijskog značenja određenog integrala - vrijednost određenog integrala je numerički jednaka površini krivolinijskog trapeza ograničenog grafikom funkcije y=f(x), x-osa i prave linije x=a, x=b.

Pronalaženjem približno površine zakrivljenog trapeza dobijamo vrijednost integrala. Formalno, postupak numeričke integracije je da se segment [a, b] podijeli na n parcijalnih segmenata, a zatim se na njemu funkcija integranda zamjenjuje lako integrabilnom funkcijom, koja prema određenoj zavisnosti interpolira vrijednosti funkcije integranda u tačkama particije. Razmotrimo sada najjednostavniji od metoda numeričke integracije. Dakle, funkcija y=f(x) je integrabilan na segmentu i moramo izračunati njegov integral. Hajde da sastavimo integralni zbir za f(x).

na segmentu. Da bismo to učinili, dijelimo segment na n jednakih dijelova pomoću tačaka: X x 1 , x 2 , … , x k , … , x n-1 Ako dužinu svakog dijela označimo sa, pa onda za svaku tačku x k

imat ćemo: (k=0, 1, 2, …, n). Označimo sada sa y=f(x) y k vrijednost integranda

odnosno da stavimo (k=0, 1, …, n). y=f(x) Zatim iznosi . bit će integralni za funkciju y=f(x) na segmentu

(Prilikom sastavljanja prve sume uzimamo u obzir vrijednosti funkcije

u tačkama koje su lijevi krajevi parcijalnih segmenata, a pri sastavljanju druge sume - u tačkama koje su desni krajevi ovih segmenata.) Po definiciji integrala imamo:

Stoga je prirodno uzeti integralni zbir kao približnu vrijednost (1)

, one. stavi: (1")

one

I Ove približne jednakosti se nazivaju formule pravokutnika. U slučaju kada f(x) 0, formule (1) i (1’) sa geometrijska tačka vid znači da je površina krivolinijskog trapeza aABb, ograničen lukom krive y=f(x), osovina Oh i ravno x=a I x=b, uzima se otprilike jednaka površina stepenasta figura formirana od n pravokutnika s osnovama i visinama: y 0 , y 1 , y 2 , …, y n-1– u slučaju formule (1) (slika 8) i

y 1 , y 2 , y 3 , …, y n – u slučaju formule (1") (slika 9)..

Svaki približni proračun ima određenu vrijednost samo kada je popraćen procjenom dozvoljene greške. Stoga će pravokutne formule biti praktično prikladne za približno izračunavanje integrala samo ako postoji pogodan način da se procijeni rezultirajuća greška (za dato n), što također omogućava da se pronađe broj dijelova n segmentne particije, što garantuje potreban stepen tačnosti približnog proračuna.

Pretpostavićemo da je funkcija y=f(x) ima ograničen izvod na segmentu, pa postoji takav broj M>0, da za sve vrijednosti x iz nejednakosti |f"(x)|M.

Kvalitativno značenje ove nejednakosti je da je brzina promjene vrijednosti funkcije ograničena. U stvarnim prirodnim sistemima ovaj zahtjev je gotovo uvijek ispunjen. Pod ovim uslovima, apsolutna vrijednost greške Rn, koju dopuštamo pri izračunavanju integrala pomoću formule pravokutnika, može se procijeniti pomoću formule:

|Rn | M(b-a) 2 /2n (2) Kako se n neograničeno povećava, izraz M(b-a) 2 /2n , i stoga apsolutna vrijednost greške Rn >0 težiće nuli, tj. Točnost aproksimacije će biti veća što je veći broj jednakih dijelova na segment podijeljen. Apsolutna greška rezultata očito će biti manja od navedenog broja

, ako uzmete .

n > M(b-a) 2 /2 Shodno tome, da bi se izračunao integral sa određenim stepenom tačnosti, dovoljno je segment podeliti na broj delova, veći brojevi . .

M(b-a) 2 /2

Metoda pravokutnika je najjednostavniji i ujedno najgrublji metod približne integracije. Druga metoda, trapezoidna metoda, daje primjetno manju grešku.

Očigledno, što je veći broj segmenata particije n, to će formulama (3a) i (3b) biti tačniji rezultat. Međutim, povećanje broja segmenata koji dijele interval integracije nije uvijek moguće. Stoga su formule koje daju preciznije rezultate sa istim brojem particionih tačaka od velikog interesa.

(4)

Najjednostavnija od takvih formula dobija se kao aritmetička sredina desnih strana formula (1) i (1"): Lako je to vidjeti geometrijsko značenje te stoga formula (4) predstavlja površinu figure koja se sastoji od takvih trapeza (slika 10). Iz geometrijskih razmatranja jasno je da će površina takve figure, općenito govoreći, tačnije izraziti površinu krivolinijskog trapeza od površine stepenaste figure koja se razmatra u metodi pravokutnika.

Dovodeći slične članove u formulu (4), konačno dobijamo

Formula (5) se zove trapezoidna formula.

Trapezna formula se često koristi za praktične proračune. Što se tiče procjene greške greške, koja nastaje zamjenom lijeve strane (5) desnom, dokazano je da njena apsolutna vrijednost zadovoljava nejednakost:

(6)

Gdje M 2– maksimum modula drugog izvoda funkcije integranda na intervalu, tj.

dakle, greške smanjuje barem jednako brzo kao .

Apsolutna greška greške bit će manji od unaprijed određenog broja > 0 , ako uzmete .

Značajno povećanje tačnosti približnih formula može se postići povećanjem reda interpolacije. Jedna takva približna metoda integracije je metoda parabole. Ideja metode temelji se na činjenici da je na parcijalnom intervalu luk određene parabole u općem slučaju bliže krivulji aABb od tetive koja povezuje krajeve luka ove krivulje, pa su stoga vrijednosti površina odgovarajućih elementarnih trapeza ograničenih "odozgo" lukovima parabola bliže vrijednostima površina odgovarajućih djelomični krivolinijski trapezi ograničeni odozgo lukom krive aABb nego površine odgovarajućih pravolinijskih trapeza. Suština metode je sljedeća. Segment je podijeljen na 2n

jednaki dijelovi. Neka su tačke podjele

Metode numeričke integracije

x 0 =a, x 1, x 2, …x 2n-2, x 2n-1, x 2n =b, a za formulu parabole - proporcionalno vrijednosti, tj.

Metoda parabole konvergira mnogo brže od trapezoidne metode, dok su sa stanovišta računske tehnologije obje metode iste.

OSNOVE NUMERIČKIH METODA

Predavanje-5

Komentar.

Operateri
koristite linearne_operatore

znači povezivanje biblioteka standardnih dfimsl rutina i

linearni_operatori, respektivno.

U biblioteci linear_operators moguće je koristiti standardnu rutinu za određivanje svojstvenih vrijednosti i vektora eig u obliku: lambda=eig(a,v=y),),

a – izvorna matrica (dvodimenzionalni niz n),

nxn lambda – vektor svojstvenih vrijednosti (jednodimenzionalni niz dužina y – matrica lambda=eig(a,v=y),).

sopstveni vektori

, raspoređenih u kolone (dvodimenzionalni niz Navedeni nizovi moraju biti deklarisani u programu. Neka je potrebno izračunati

Za mnoge funkcije, antiderivati su prilično složene kombinacije elementarne funkcije, ili se kroz njih uopšte ne izražavaju. U takvim slučajevima upotreba Newton-Leibniz formule u praksi nije moguća. U mnogim praktičnim slučajevima dovoljno je dobiti vrijednost integrala sa datom tačnošću. Za izračunavanje približne vrijednosti integrala postoje numeričke formule integracije. Suština konstruisanja numeričkih integracionih formula je sledeća.

Podijelimo segment na dijelove. Radi jednostavnosti prezentacije, stavimo ove dijelove iste dužine:

Označimo tačke razdvajanja kao što je prikazano na sl. 2.5.1. imamo:

Rice. 2.5.1. O pitanju numeričke integracije.

Originalni integral (2.5.1) može se predstaviti kao zbir integrala nad „malim“ segmentima dobijenim kao rezultat particioniranja:

. (2.5.2)

Integrali

izračunavaju se pomoću približnih formula.

Pozivaju se najjednostavnije formule za približno izračunavanje integrala nad segmentom kvadraturne formule . Pogledajmo neke od njih u nastavku i istražimo pitanja njihove tačnosti. Redoslijed tačnosti kvadraturne formule određen je stepenom polinoma (polinoma) za koji je ova kvadraturna formula tačna.

2.5.2. Formula pravougaonika (formula „proseka“).

Zamijenite sa i-ti dio integrabilne funkcije konstantan vrijednost, na primjer, jednaka njenoj vrijednosti na sredini (slika 2.5.2):

Rice. 2.5.2. O integraciji pomoću formule pravokutnika.

, Gdje . (2.5.4)

Tada se integral na segmentu zamjenjuje površinom pravokutnika, tj.

, (2.5.5)

a izračunavanje originalnog integrala se svodi na izračunavanje sume

. (2.5.6)

Osim toga, često se iz praktičnih razloga , ili uzima kao kvalitet u formuli (2.5.6). Kao rezultat dobijamo:

(2.5.7)

– formula kvadrature „lijevih“ pravougaonika;

(2.5.8)

– formula kvadrature „pravih“ pravougaonika.

Formule (2.5.7) i (2.5.8) su manje tačne od (2.5.6), ali su ponekad zgodnije, na primjer, kada se diferencijalne jednadžbe rješavaju numerički.

Preciznost proračuna . Kao što slijedi iz konstrukcije, kvadraturne formule pravokutnika daju tačan rezultat integracije za funkcije, trajno on i-th section (). Formula kvadrature za “prosječne” pravokutnike također daje tačan rezultat za linearno on i-ti segment funkcija. Dovoljno je provjeriti ovu izjavu za najjednostavniju linearna funkcija.

Sa tačnom integracijom dobijamo: