Recimo, Ahil trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči ovu udaljenost, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača puzi još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti do beskonačnosti, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.
Ovo razmišljanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni na ovaj ili onaj način smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ...rasprave se nastavljaju do danas, kako bi se došlo do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa naučnoj zajednici do sada to nije bilo moguće... bili smo uključeni u proučavanje problema matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi; nijedan od njih nije postao opšteprihvaćeno rešenje problema..."[Vikipedija, "Zenonova aporija". Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu se sastoji obmana.
Sa matematičke tačke gledišta, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa kvantiteta na . Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto stalnih. Koliko sam shvatio, matematički aparat za korištenje varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, zbog inercije mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročnu vrijednost. Sa fizičke tačke gledišta, ovo izgleda kao da se vrijeme usporava dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može pobjeći od kornjače.
Ako okrenemo svoju uobičajenu logiku, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči sa konstantna brzina. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept „beskonačnosti“, tada bi bilo ispravno reći „Ahilej će beskonačno brzo sustići kornjaču“.
Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne jedinice. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:
Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahil osam stotina koraka ispred kornjače.
Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali nije kompletno rješenje Problemi. Ajnštajnova izjava o neodoljivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji „Ahilej i kornjača“. Ostaje nam da proučimo, preispitamo i riješimo ovaj problem. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.
Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:
Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.
U ovoj aporiji logički paradoks je prevaziđen vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama u prostoru, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Da biste utvrdili da li se automobil kreće, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali ne možete odrediti udaljenost od njih. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih tačaka u prostoru u jednom trenutku, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, trigonometrija će vam pomoći ). Ono što želim da istaknem Posebna pažnja, je da su dvije tačke u vremenu i dvije tačke u prostoru različite stvari koje ne treba brkati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.
Srijeda, 04.07.2018
Razlike između skupa i multiseta su vrlo dobro opisane na Wikipediji. da vidimo.
Kao što vidite, "ne mogu postojati dva identična elementa u skupu", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće razumjeti takvu apsurdnu logiku. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, koji nemaju inteligenciju od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.
Nekada su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta dok su testirali most. Ako se most sruši, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.
Bez obzira na to koliko se matematičari kriju iza fraze „pamet, ja sam u kući“, odnosno „matematika proučava apstraktne pojmove“, postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primjenjivo matematička teorija setove samim matematičarima.
Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo na kasi i izdajemo plate. Dakle, matematičar dolazi kod nas po svoj novac. Odbrojavamo mu cijeli iznos i slažemo ga na našem stolu u različite hrpe, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim uzimamo po jedan račun sa svake gomile i dajemo matematičaru njegov „matematički skup plaće“. Objasnimo matematičaru da će preostale račune dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.
Prije svega, funkcionirat će logika poslanika: „Ovo se može primijeniti na druge, ali ne i na mene!“ Tada će nas početi uvjeravati da novčanice istog apoena imaju različite brojeve novčanica, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Dobro, računajmo plate u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će matematičar početi mahnito da se prisjeća fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma je jedinstven za svaki novčić...
I sada imam najzanimljivije pitanje: gdje je linija iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka ovdje nije ni blizu da leži.
Pogledati ovdje. Mi biramo fudbalski stadioni sa istom površinom polja. Površine polja su iste - što znači da imamo višestruki skup. Ali ako pogledamo imena tih istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup. Šta je tačno? I ovdje matematičar-šaman-oštrica izvlači keca aduta iz rukava i počinje nam pričati ili o setu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.
Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazaću vam, bez ikakvog "zamislivog kao nijedna celina" ili "nezamislivog kao jedinstvene celine".
Nedjelja, 18.03.2018
Zbir cifara broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na časovima matematike nas uče da pronađemo zbir cifara broja i da ga koristimo, ali zato su oni šamani, da svoje potomke uče svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.
Treba li vam dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj cifara broja." Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula koja se može koristiti za pronalaženje zbira cifara bilo kojeg broja. Na kraju krajeva, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a na jeziku matematike zadatak zvuči ovako: „Pronađi zbir grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj. Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu lako.
Hajde da shvatimo šta i kako radimo da bismo pronašli zbir cifara datog broja. I tako, neka nam je broj 12345. Šta treba uraditi da bi se našao zbir cifara ovog broja? Razmotrimo redom sve korake.
1. Zapišite broj na komad papira. Šta smo uradili? Broj smo pretvorili u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.
2. Jednu rezultirajuću sliku izrežemo na nekoliko slika koje sadrže pojedinačne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.
3. Pretvorite pojedinačne grafičke simbole u brojeve. Ovo nije matematička operacija.
4. Dodajte dobijene brojeve. Ovo je matematika.
Zbir cifara broja 12345 je 15. Ovo su „tečajevi krojenja i šivanja“ koje podučavaju šamani koje koriste matematičari. Ali to nije sve.
Sa matematičke tačke gledišta, nije bitno u kom sistemu brojeva zapisujemo broj. Dakle, unutra različiti sistemi U računanju, zbir cifara istog broja će biti različit. U matematici, sistem brojeva je označen kao indeks desno od broja. WITH veliki broj 12345 Ne želim zavaravati glavu, pogledajmo broj 26 iz članka o . Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sistemu. Nećemo svaki korak posmatrati pod mikroskopom; to smo već uradili. Pogledajmo rezultat.
Kao što vidite, u različitim brojevnim sistemima zbir cifara istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze sa matematikom. To je isto kao da odredite površinu pravokutnika u metrima i centimetrima, dobili biste potpuno drugačije rezultate.
Nula izgleda isto u svim brojevnim sistemima i nema zbir cifara. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da. Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava nešto što nije broj? Šta, za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Mogu to dozvoliti za šamane, ali ne i za naučnike. Realnost nije samo u brojevima.
Dobijeni rezultat treba smatrati dokazom da su sistemi brojeva mjerne jedinice za brojeve. Uostalom, ne možemo porediti brojeve sa različitim mernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različitih rezultata nakon poređenja, onda to nema nikakve veze s matematikom.
Šta je prava matematika? To je kada rezultat matematičke operacije ne ovisi o veličini broja, korištenoj mjernoj jedinici i o tome ko izvodi ovu radnju.
Oh! Nije li ovo ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorija za proučavanje nedefilske svetosti duša tokom njihovog uspona na nebo! Halo na vrhu i strelica gore. Koji drugi toalet?
Žensko... Oreol na vrhu i strelica dole su muški.
Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,
Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:
Lično se trudim da vidim minus četiri stepena kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stepeni). I ne mislim da je ova devojka budala koja ne zna fiziku. Ona samo ima jak stereotip o percepciji grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.
1A nije "minus četiri stepena" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset i šest" u heksadecimalnom zapisu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sistemu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.
U ovom videu ćemo analizirati čitav niz linearnih jednadžbi koje se rješavaju istim algoritmom - zato se nazivaju najjednostavnijim.
Prvo, hajde da definišemo: šta je linearna jednačina i koji se od njih naziva najjednostavnijim?
Linearna jednačina je ona u kojoj postoji samo jedna varijabla i to samo do prvog stepena.
Najjednostavnija jednadžba znači konstrukciju:
Sve ostale linearne jednadžbe se svode na najjednostavnije korištenjem algoritma:
- Proširite zagrade, ako ih ima;
- Premjestite termine koji sadrže varijablu na jednu stranu znaka jednakosti, a pojmove bez varijable na drugu;
- Navedite slične pojmove lijevo i desno od znaka jednakosti;
- Podijelite rezultirajuću jednačinu sa koeficijentom varijable $x$.
Naravno, ovaj algoritam ne pomaže uvijek. Činjenica je da se ponekad nakon svih ovih mahinacija koeficijent varijable $x$ pokaže jednakim nuli. U ovom slučaju su moguće dvije opcije:
- Jednačina uopće nema rješenja. Na primjer, kada ispadne nešto poput $0\cdot x=8$, tj. na lijevoj strani je nula, a na desnoj strani je broj koji nije nula. U videu ispod ćemo pogledati nekoliko razloga zašto je ova situacija moguća.
- Rješenje su svi brojevi. Jedini slučaj kada je to moguće je kada je jednačina svedena na konstrukciju $0\cdot x=0$. Sasvim je logično da bez obzira koji $x$ zamijenimo, ipak će se ispostaviti da je „nula jednaka nuli“, tj. ispravna brojčana jednakost.
Sada da vidimo kako sve ovo funkcionira na primjerima iz stvarnog života.
Primjeri rješavanja jednačina
Danas imamo posla sa linearnim jednadžbama, i to samo onim najjednostavnijim. Općenito, linearna jednačina označava svaku jednakost koja sadrži tačno jednu promjenljivu, a ide samo do prvog stepena.
Takve konstrukcije se rješavaju na približno isti način:
- Prije svega, trebate proširiti zagrade, ako ih ima (kao u našem posljednjem primjeru);
- Zatim kombinirajte slično
- Na kraju, izolujte varijablu, tj. premjestite sve što je povezano s promjenljivom – termine u kojima je sadržana – na jednu stranu, a sve što ostaje bez nje pomjerite na drugu stranu.
Zatim, po pravilu, trebate dati slične na svakoj strani rezultirajuće jednakosti, a nakon toga ostaje samo podijeliti sa koeficijentom “x” i dobićemo konačni odgovor.
U teoriji ovo izgleda lijepo i jednostavno, ali u praksi čak i iskusni srednjoškolci mogu napraviti uvredljive greške u prilično jednostavnim linearne jednačine. Obično se prave greške prilikom otvaranja zagrada ili prilikom izračunavanja „plusova“ i „minusa“.
Osim toga, dešava se da linearna jednadžba uopće nema rješenja, ili da je rješenje cijela brojevna prava, tj. bilo koji broj. Ove suptilnosti ćemo pogledati u današnjoj lekciji. Ali počet ćemo, kao što ste već shvatili, od samog jednostavni zadaci.
Šema za rješavanje jednostavnih linearnih jednadžbi
Prvo, dozvolite mi da još jednom napišem cijelu shemu za rješavanje najjednostavnijih linearnih jednadžbi:
- Proširite zagrade, ako ih ima.
- Izolujemo varijable, tj. Sve što sadrži "X" pomeramo na jednu stranu, a sve bez "X" na drugu.
- Predstavljamo slične termine.
- Sve dijelimo koeficijentom “x”.
Naravno, ova shema ne funkcionira uvijek, u njoj postoje određene suptilnosti i trikovi, a sada ćemo ih upoznati.
Rješavanje stvarnih primjera jednostavnih linearnih jednadžbi
Zadatak br. 1
Prvi korak zahtijeva da otvorimo zagrade. Ali oni nisu u ovom primjeru, pa preskačemo ovaj korak. U drugom koraku moramo izolirati varijable. Napomena: govorimo samo o pojedinačnim terminima. Hajde da to zapišemo:
Slične termine predstavljamo lijevo i desno, ali to je već urađeno ovdje. Stoga prelazimo na četvrti korak: podijelite sa koeficijentom:
\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]
Tako da smo dobili odgovor.
Zadatak br. 2
U ovom problemu možemo vidjeti zagrade, pa ih proširimo:
I lijevo i desno vidimo približno isti dizajn, ali postupimo po algoritmu, tj. razdvajanje varijabli:
Evo nekoliko sličnih:
Iz kojih korijena ovo funkcionira? Odgovor: za bilo koje. Stoga možemo napisati da je $x$ bilo koji broj.
Zadatak br. 3
Treća linearna jednačina je zanimljivija:
\[\lijevo(6-x \desno)+\lijevo(12+x \desno)-\lijevo(3-2x \desno)=15\]
Ovdje postoji nekoliko zagrada, ali se ne množe ničim, već im prethode različiti znakovi. Hajde da ih raščlanimo:
Izvodimo drugi nama već poznat korak:
\[-x+x+2x=15-6-12+3\]
Hajde da izračunamo:
Izvodimo posljednji korak - podijelimo sve sa koeficijentom “x”:
\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]
Stvari koje treba zapamtiti prilikom rješavanja linearnih jednačina
Ako zanemarimo prejednostavne zadatke, želio bih reći sljedeće:
- Kao što sam rekao gore, nema svaka linearna jednačina rješenje – ponekad jednostavno nema korijena;
- Čak i ako postoje korijeni, među njima može biti nula - u tome nema ništa loše.
Nula je isti broj kao i ostali; ne treba ga ni na koji način diskriminirati ili pretpostaviti da ako dobijete nulu, onda ste nešto pogriješili.
Druga karakteristika je vezana za otvaranje zagrada. Imajte na umu: kada je ispred njih "minus", uklanjamo ga, ali u zagradama mijenjamo znakove u suprotno. A onda ga možemo otvoriti pomoću standardnih algoritama: dobićemo ono što smo vidjeli u gornjim proračunima.
Razumijevanje ove jednostavne činjenice pomoći će vam da izbjegnete glupe i štetne greške u srednjoj školi, kada se takve stvari uzimaju zdravo za gotovo.
Rješavanje složenih linearnih jednadžbi
Pređimo na složenije jednadžbe. Sada će konstrukcije postati složenije i prilikom izvođenja različitih transformacija pojavit će se kvadratna funkcija. Međutim, toga se ne trebamo bojati, jer ako, prema autorovom planu, rješavamo linearnu jednadžbu, onda će se tijekom procesa transformacije sigurno poništiti svi monomi koji sadrže kvadratnu funkciju.
Primjer br. 1
Očigledno, prvi korak je otvaranje zagrada. Uradimo ovo veoma pažljivo:
Sada pogledajmo privatnost:
\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]
Evo nekoliko sličnih:
Očigledno, ova jednadžba nema rješenja, pa ćemo ovo napisati u odgovoru:
\[\varnothing\]
ili nema korijena.
Primjer br. 2
Izvodimo iste radnje. Prvi korak:
Pomerimo sve sa promenljivom ulevo, a bez nje - udesno:
Evo nekoliko sličnih:
Očigledno, ova linearna jednadžba nema rješenja, pa ćemo je napisati na sljedeći način:
\[\varnothing\],
ili nema korijena.
Nijanse rješenja
Obje jednačine su potpuno riješene. Koristeći ova dva izraza kao primjer, još jednom smo se uvjerili da čak ni u najjednostavnijim linearnim jednadžbama možda sve nije tako jednostavno: može postojati ili jedan, ili nijedan, ili beskonačno mnogo korijena. U našem slučaju, razmatrali smo dvije jednačine, obje jednostavno nemaju korijen.
Ali želim da vam skrenem pažnju na još jednu činjenicu: kako raditi sa zagradama i kako ih otvoriti ako je ispred njih znak minus. Razmotrite ovaj izraz:
Prije otvaranja, morate sve pomnožiti sa "X". Napomena: množe se svaki pojedinačni termin. Unutra se nalaze dva pojma - odnosno dva člana i pomnoženi.
I tek nakon što se ove naizgled elementarne, ali vrlo važne i opasne transformacije završe, možete otvoriti zagradu sa stanovišta činjenice da iza nje stoji znak minus. Da, da: tek sada, kada su transformacije završene, sjetimo se da ispred zagrada stoji znak minus, što znači da sve ispod jednostavno mijenja predznake. Istovremeno, sami zagrade nestaju i, što je najvažnije, nestaje i prednji "minus".
Isto radimo i sa drugom jednačinom:
Nije slučajno što obraćam pažnju na ove male, naizgled beznačajne činjenice. Jer rješavanje jednadžbi je uvijek niz elementarnih transformacija, gdje nemogućnost jasnog i kompetentnog izvođenja jednostavnih radnji dovodi do toga da mi dolaze srednjoškolci i opet uče rješavati tako jednostavne jednačine.
Naravno, doći će dan kada ćete ove vještine usavršiti do automatizma. Više nećete morati da izvodite toliko transformacija svaki put; sve ćete pisati u jednom redu. Ali dok tek učite, svaku radnju morate napisati posebno.
Rješavanje još složenijih linearnih jednačina
Ono što ćemo sada riješiti teško se može nazvati najjednostavnijim zadatkom, ali smisao ostaje isti.
Zadatak br. 1
\[\left(7x+1 \desno)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]
Pomnožimo sve elemente u prvom dijelu:
Učinimo malo privatnosti:
Evo nekoliko sličnih:
Završimo zadnji korak:
\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]
Evo našeg konačnog odgovora. I uprkos činjenici da smo u procesu rješavanja imali koeficijente s kvadratnom funkcijom, oni su se međusobno poništavali, što jednačinu čini linearnom, a ne kvadratnom.
Zadatak br. 2
\[\lijevo(1-4x \desno)\lijevo(1-3x \desno)=6x\lijevo(2x-1 \desno)\]
Pažljivo izvršimo prvi korak: pomnožimo svaki element iz prve zagrade sa svakim elementom iz druge. Nakon transformacije trebalo bi postojati ukupno četiri nova pojma:
Sada pažljivo izvršimo množenje u svakom članu:
Pomerimo termine sa "X" ulevo, a one bez - udesno:
\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]
Evo sličnih pojmova:
Još jednom smo dobili konačan odgovor.
Nijanse rješenja
Najvažnija napomena o ove dvije jednačine je sljedeća: čim počnemo množiti zagrade koje sadrže više od jednog člana, to se radi po sljedećem pravilu: uzimamo prvi član iz prve i množimo sa svakim elementom iz drugi; zatim uzimamo drugi element iz prvog i na sličan način množimo sa svakim elementom iz drugog. Kao rezultat toga, imaćemo četiri mandata.
O algebarskom zbiru
Ovim posljednjim primjerom želio bih podsjetiti studente šta je algebarski zbir. U klasičnoj matematici, pod $1-7$ mislimo na jednostavnu konstrukciju: oduzeti sedam od jednog. U algebri pod ovim podrazumijevamo sljedeće: broju “jedan” dodajemo još jedan broj, odnosno “minus sedam”. Po tome se algebarski zbir razlikuje od običnog aritmetičkog zbira.
Čim, prilikom izvođenja svih transformacija, svakog zbrajanja i množenja, počnete vidjeti konstrukcije slične gore opisanim, jednostavno nećete imati problema u algebri kada radite s polinomima i jednadžbama.
Na kraju, pogledajmo još nekoliko primjera koji će biti još složeniji od ovih koje smo upravo pogledali, a da bismo ih riješili morat ćemo malo proširiti naš standardni algoritam.
Rješavanje jednadžbi s razlomcima
Da bismo riješili takve zadatke, morat ćemo dodati još jedan korak našem algoritmu. Ali prvo, da vas podsjetim na naš algoritam:
- Otvorite zagrade.
- Odvojene varijable.
- Donesite slične.
- Podijelite omjerom.
Nažalost, ovaj divni algoritam, uz svu svoju efikasnost, ispada da nije sasvim prikladan kada imamo razlomke ispred sebe. I u onome što ćemo vidjeti u nastavku, imamo razlomak i na lijevoj i na desnoj strani u obje jednačine.
Kako raditi u ovom slučaju? Da, vrlo je jednostavno! Da biste to učinili, morate dodati još jedan korak u algoritam, koji se može učiniti i prije i nakon prve radnje, odnosno uklanjanje razlomaka. Dakle, algoritam će biti sljedeći:
- Riješite se razlomaka.
- Otvorite zagrade.
- Odvojene varijable.
- Donesite slične.
- Podijelite omjerom.
Šta znači "osloboditi se razlomaka"? I zašto se to može učiniti i nakon i prije prvog standardnog koraka? Zapravo, u našem slučaju svi razlomci su brojčani u nazivniku, tj. Svugdje je imenilac samo broj. Stoga, ako pomnožimo obje strane jednadžbe ovim brojem, riješit ćemo se razlomaka.
Primjer br. 1
\[\frac(\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]
Riješimo se razlomaka u ovoj jednadžbi:
\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]
Imajte na umu: sve se množi sa "četiri" jednom, tj. samo zato što imate dvije zagrade ne znači da morate svaku pomnožiti sa "četiri". Hajde da zapišemo:
\[\left(2x+1 \desno)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \desno)\cdot 4\]
Sada da proširimo:
Izdvajamo varijablu:
Vršimo redukciju sličnih pojmova:
\[-4x=-1\lijevo| :\lijevo(-4 \desno) \desno.\]
\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]
Imamo konačna odluka, prijeđimo na drugu jednačinu.
Primjer br. 2
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]
Ovdje izvodimo sve iste radnje:
\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]
\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]
Problem je riješen.
To je, zapravo, sve što sam vam danas htio reći.
Ključne točke
Ključni nalazi su:
- Znati algoritam za rješavanje linearnih jednačina.
- Mogućnost otvaranja zagrada.
- Ne brini ako vidiš kvadratne funkcije, najvjerovatnije će se u procesu daljih transformacija smanjiti.
- Postoje tri vrste korijena u linearnim jednadžbama, čak i one najjednostavnije: jedan korijen, cijela brojevna prava je korijen i nema korijena.
Nadam se da će vam ova lekcija pomoći da savladate jednostavnu, ali vrlo važnu temu za dalje razumijevanje sve matematike. Ako nešto nije jasno, idite na stranicu i riješite primjere prikazane tamo. Pratite nas, očekuje vas još mnogo zanimljivosti!
Taj dio jednačine je izraz u zagradi. Da otvorite zagrade, pogledajte znak ispred zagrada. Ako postoji znak plus, otvaranje zagrada u izrazu neće ništa promijeniti: samo uklonite zagrade. Ako postoji znak minus, prilikom otvaranja zagrada morate promijeniti sve znakove koji su prvobitno bili u zagradama u suprotne. Na primjer, -(2x-3)=-2x+3.
Množenje dvije zagrade.
Ako jednadžba sadrži proizvod dvije zagrade, otvaranje zagrada prema standardno pravilo. Svaki pojam u prvoj zagradi se množi sa svakim članom u drugoj zagradi. Rezultirajući brojevi se zbrajaju. U ovom slučaju, proizvod dva “plus” ili dva “minusa” daje izrazu znak “plus”, a ako faktori imaju različiti znakovi, zatim prima znak minus.
Hajde da razmotrimo.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.
Otvaranjem zagrada, ponekad podižući izraz na . Formule za kvadrat i kub moraju se znati napamet i zapamtiti.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Formule za konstruisanje izraza većeg od tri mogu se napraviti pomoću Pascalovog trougla.
Izvori:
- formula za proširenje zagrada
U zagradama matematičke operacije može sadržavati varijable i izraze različitim stepenima teškoće. Da biste umnožili takve izraze, morat ćete tražiti rješenje u njemu opšti pogled, otvarajući zagrade i pojednostavljujući rezultat. Ako zagrade sadrže operacije bez varijabli, samo sa numeričkim vrijednostima, onda otvaranje zagrada nije potrebno, jer ako imate računar, njegov korisnik ima pristup vrlo značajnim računskim resursima - lakše ih je koristiti nego pojednostaviti izraz.
Instrukcije
Pomnožite uzastopno svaku (ili minus sa ) sadržanu u jednoj zagradi sa sadržajem svih ostalih zagrada ako želite da dobijete rezultat u opštem obliku. Na primjer, neka se originalni izraz zapiše na sljedeći način: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Tada će sekvencijalno množenje (tj. otvaranje zagrada) dati sljedeći rezultat: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.
Pojednostavite rezultat skraćivanjem izraza. Na primer, izraz dobijen u prethodnom koraku može se pojednostaviti na sledeći način: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.
Koristite kalkulator ako trebate pomnožiti x jednako 4,75, odnosno (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). Da biste izračunali ovu vrijednost, idite na web stranicu tražilice Google ili Nigma i unesite izraz u polje za upit u originalnom obliku (5+4,75)*(6-4,75)*(4,75+2). Google će odmah prikazati 82.265625, bez klikanja na dugme, ali Nigma treba da pošalje podatke na server jednim pritiskom na dugme.
Glavna funkcija zagrada je promjena redoslijeda radnji prilikom izračunavanja vrijednosti. Na primjer, u numeričkom izrazu \(5·3+7\) prvo će se izračunati množenje, a zatim sabiranje: \(5·3+7 =15+7=22\). Ali u izrazu \(5·(3+7)\) prvo će se izračunati zbrajanje u zagradama, a tek onda množenje: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Primjer.
Proširite zagradu: \(-(4m+3)\).
Rješenje
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Primjer.
Otvorite zagradu i navedite slične pojmove \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Rješenje
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Primjer.
Proširite zagrade \(5(3-x)\).
Rješenje
: U zagradi imamo \(3\) i \(-x\), a ispred zagrade je petica. To znači da se svaki član zagrade množi sa \(5\) - podsjećam vas na to Znak množenja između broja i zagrade nije napisan u matematici kako bi se smanjila veličina unosa.
Primjer.
Proširite zagrade \(-2(-3x+5)\).
Rješenje
: Kao u prethodnom primjeru, \(-3x\) i \(5\) u zagradi se množe sa \(-2\).
Primjer.
Pojednostavite izraz: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Rješenje
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Ostaje razmotriti posljednju situaciju.
Kada se zagrada množi zagradicom, svaki član prve zagrade se množi sa svakim članom druge zagrade:
\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)
Primjer.
Proširite zagrade \((2-x)(3x-1)\).
Rješenje
: Imamo proizvod zagrada i može se odmah proširiti koristeći gornju formulu. Ali da ne bismo bili zbunjeni, uradimo sve korak po korak.
Korak 1. Uklonite prvu zagradu - pomnožite svaki njen član sa drugom zagradom:
Korak 2. Proširite proizvode zagrada i faktora kao što je gore opisano:
- Krenimo redom...
Onda drugi.
Korak 3. Sada množimo i predstavljamo slične pojmove:
Nije potrebno tako detaljno opisivati sve transformacije, možete ih odmah pomnožiti. Ali ako tek učite kako otvoriti zagrade, pisati detaljno, bit će manje šanse da pogriješite.
Napomena za cijeli odjeljak. U stvari, ne morate zapamtiti sva četiri pravila, samo trebate zapamtiti jedno, ovo: \(c(a-b)=ca-cb\) . Zašto? Jer ako zamijenite jedan umjesto c, dobićete pravilo \((a-b)=a-b\) . A ako zamijenimo minus jedan, dobićemo pravilo \(-(a-b)=-a+b\) . Pa, ako zamijenite drugu zagradu umjesto c, možete dobiti posljednje pravilo.
Zagrada unutar zagrade
Ponekad u praksi postoje problemi sa zagradama ugniježđenim unutar drugih zagrada. Evo primjera takvog zadatka: pojednostavite izraz \(7x+2(5-(3x+y))\).
Za uspješno rješavanje takvih zadataka potrebno vam je:
- pažljivo razumjeti ugniježđenje zagrada - u kojoj se nalazi;
- otvarajte zagrade uzastopno, počevši, na primjer, od one unutrašnje.
Važno je prilikom otvaranja jedne od zagrada ne dirajte ostatak izraza, samo prepisujem kako jeste.
Pogledajmo gore napisan zadatak kao primjer.
Primjer.
Otvorite zagrade i dajte slične pojmove \(7x+2(5-(3x+y))\).
Rješenje:
Primjer.
Otvorite zagrade i navedite slične pojmove \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Rješenje
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Ovdje postoji trostruko ugniježđenje zagrada. Počnimo s najdubljim (označenim zelenom bojom). Ispred nosača je plus, tako da se jednostavno skida. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Sada morate otvoriti drugu zagradu, srednju. Ali prije toga ćemo pojednostaviti izražavanje pojmova sličnih duhovima u ovoj drugoj zagradi. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Sada otvaramo drugu zagradu (označeno plavom bojom). Prije zagrada je faktor - tako da se svaki član u zagradi množi s njim. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
I otvori posljednju zagradu. Ispred zagrade je znak minus, tako da su svi znakovi obrnuti. |
||
Proširivanje zagrada je osnovna vještina u matematici. Bez ove vještine nemoguće je imati ocjenu iznad C u razredima 8 i 9. Stoga vam preporučujem da dobro shvatite ovu temu.
U ovom članku ćemo detaljno pogledati osnovna pravila tako važne teme u kursu matematike kao što je otvaranje zagrada. Morate znati pravila otvaranja zagrada kako biste pravilno riješili jednadžbe u kojima se koriste.
Kako pravilno otvoriti zagrade prilikom dodavanja
Proširite zagrade kojima prethodi znak “+”.
Ovo je najjednostavniji slučaj, jer ako se ispred zagrada nalazi znak za dodavanje, znaci unutar njih se ne mijenjaju kada se zagrade otvore. primjer:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Kako proširiti zagrade kojima prethodi znak "-".
IN u ovom slučaju morate prepisati sve pojmove bez zagrada, ali istovremeno promijeniti sve znakove unutar njih u suprotne. Znakovi se mijenjaju samo za pojmove iz onih zagrada kojima je prethodio znak “-”. primjer:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Kako otvoriti zagrade prilikom množenja
Ispred zagrada nalazi se broj množitelja
U ovom slučaju morate svaki pojam pomnožiti sa faktorom i otvoriti zagrade bez promjene predznaka. Ako množitelj ima znak "-", tada se tokom množenja predznaci pojmova obrću. primjer:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Kako otvoriti dvije zagrade sa znakom množenja između njih
U ovom slučaju, trebate pomnožiti svaki član iz prve zagrade sa svakim članom iz druge zagrade, a zatim dodati rezultate. primjer:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Kako otvoriti zagrade u kvadratu
Ako je zbir ili razlika dva člana kvadrirana, zagrade treba otvoriti prema sljedećoj formuli:
(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.
U slučaju minusa unutar zagrada, formula se ne mijenja. primjer:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Kako proširiti zagrade na drugi stepen
Ako se zbir ili razlika članova podigne, na primjer, na 3. ili 4. stepen, onda samo trebate razbiti stepen zagrade na "kvadrate". Moći identičnih faktora se sabiraju, a prilikom dijeljenja, potencija djelitelja se oduzima od moći dividende. primjer:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Kako otvoriti 3 zagrade
Postoje jednadžbe u kojima se 3 zagrade množe odjednom. U ovom slučaju, prvo morate pomnožiti članove prve dvije zagrade zajedno, a zatim pomnožiti zbir ovog množenja sa članovima treće zagrade. primjer:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Ova pravila za otvaranje zagrada podjednako se primjenjuju i na rješavanje linearnih i trigonometrijskih jednačina.
