Rice. 4.2. Raspored

Rice. 4.3. Raspored

Vertikalne asimptote funkcije treba tražiti ili u točkama diskontinuiteta druge vrste (barem jedna od jednostranih granica funkcije u nekoj tački je beskonačna ili ne postoji), ili na krajevima njene domene definicije
, Ako
– konačni brojevi.

Ako je funkcija
je definirana na cijeloj brojevnoj pravoj i postoji konačna granica
, ili
, zatim ravna linija zadana jednadžbom
, je desna horizontalna asimptota i prava linija
- lijevo-strana horizontalna asimptota.

Ako postoje konačne granice

X
,

onda je pravo
je nagnuta asimptota grafa funkcije. Kosa asimptota može biti i desnostrana (
) ili ljevoruki (
).

Funkcija
naziva se povećanjem na setu
, ako postoji
, takav da >, vrijedi nejednakost:
>
(smanjuje se ako:
<
). Mnogi
u ovom slučaju se naziva interval monotonosti funkcije.

Sljedeći dovoljan uvjet za monotonost funkcije vrijedi: ako je derivacija diferencijabilne funkcije unutar skupa
je pozitivna (negativna), tada funkcija raste (opada) na ovom skupu.

Primjer 4.5. Zadata funkcija
. Pronađite njegove intervale povećanja i smanjenja.

Rješenje. Nađimo njen derivat
. Očigledno je da >0 at >3 i <0 при<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) i povećava se za (3;
).

Dot zove tačka lokalni maksimum (minimum) funkcije
, ako je u nekom susjedstvu točke važi nejednakost
(
) . Vrijednost funkcije u točki pozvao maksimum (minimum). Maksimalne i minimalne funkcije objedinjene su zajedničkim imenom ekstrem funkcije.

Da bi funkcija
imao ekstremum u tački potrebno je da njegov izvod u ovoj tački bude jednak nuli (
) ili nije postojao.

Pozivaju se tačke u kojima je derivacija funkcije jednaka nuli stacionarni funkcionalne tačke. Ne mora postojati ekstremum funkcije u stacionarnoj tački. Za pronalaženje ekstrema potrebno je dodatno ispitati stacionarne tačke funkcije, na primjer, korištenjem dovoljnih uslova za ekstrem.

Prvi od njih je da ako, prilikom prolaska kroz stacionarnu tačku S lijeva na desno, derivacija diferencijabilne funkcije mijenja predznak iz plusa u minus, tada se u tački postiže lokalni maksimum. Ako se predznak promijeni iz minusa u plus, onda je to minimalna točka funkcije.

Ako se predznak derivacije ne promijeni pri prolasku kroz tačku koja se proučava, tada u ovoj tački nema ekstrema.

Drugi dovoljan uslov za ekstremum funkcije u stacionarnoj tački koristi drugi izvod funkcije: ako
<0, тоje maksimalna tačka, i ako
>0, onda - minimalni bod. At
=0 pitanje o vrsti ekstremuma ostaje otvoreno.

Funkcija
pozvao konveksno (konkavno) na setu
, ako za bilo koje dvije vrijednosti
vrijedi nejednakost:

.

Sl.4.4. Graf konveksne funkcije

Ako je drugi izvod dvostruko diferencibilne funkcije
pozitivno (negativno) unutar skupa
, tada je funkcija konkavna (konveksna) na skupu
.

Prevojna tačka grafa neprekidne funkcije
naziva se tačka koja razdvaja intervale u kojima je funkcija konveksna i konkavna.

Drugi derivat
dvostruko diferencibilna funkcija u točki pregiba je jednako nuli, tj
= 0.

Ako je drugi izvod pri prolasku kroz određenu tačku onda menja svoj predznak je prevojna tačka njegovog grafa.

Prilikom proučavanja funkcije i crtanja njenog grafa, preporučuje se korištenje sljedeće šeme:

23. Koncept diferencijalne funkcije. Svojstva. Primjena diferencijala u cca.y proračunima.

Pojam diferencijalne funkcije

Neka funkcija y=ƒ(x) ima derivaciju različitu od nule u tački x.

Tada, prema teoremi o povezanosti funkcije, njene granice i infinitezimalne funkcije, možemo napisati  u/h=ƒ"(x)+α, gdje je α→0 na ∆h→0, ili ∆u =ƒ"(x) ∆h+α ∆h.

Dakle, prirast funkcije ∆u je zbir dva člana ƒ"(x) ∆x i a ∆x, koji su beskonačno mali za ∆x→0. Štaviše, prvi član je infinitezimalna funkcija istog reda kao ∆x, pošto a drugi član je infinitezimalna funkcija višeg reda od ∆x:

Stoga se prvi član ƒ"(x) ∆x naziva glavni dio prirasta funkcije ∆u.

Funkcijski diferencijal y=ƒ(x) u tački x naziva se glavni dio njegovog prirasta, jednak proizvodu derivacije funkcije i priraštaja argumenta, i označava se du (ili dƒ(x)):

dy=ƒ"(x) ∆h. (1)

Du diferencijal se takođe naziva diferencijal prvog reda. Nađimo diferencijal nezavisne varijable x, tj. diferencijal funkcije y=x.

Pošto je y"=x"=1, onda prema formuli (1) imamo dy=dx=∆x, tj. diferencijal nezavisne varijable jednak je prirastu ove varijable: dx=∆x.

Stoga se formula (1) može napisati na sljedeći način:

dy=ƒ"(h)dh, (2)

drugim riječima, diferencijal funkcije jednak je proizvodu derivacije ove funkcije i diferencijala nezavisne varijable.

Iz formule (2) slijedi jednakost dy/dx=ƒ"(x). Sada notacija

derivacija dy/dx se može smatrati omjerom diferencijala dy i dx.

Diferencijalima sljedeća glavna svojstva.

1. d(With)=0.

2. d(u+w-v)= du+dw-dv.

3. d(uv)=du·v+u·dv.

d(Withu)=Withd(u).

4. .

5. y= f(z), , ,

Oblik diferencijala je invarijantan (nepromjenjiv): uvijek je jednak proizvodu derivacije funkcije i diferencijala argumenta, bez obzira da li je argument jednostavan ili složen.

Primjena diferencijala na približne proračune

Kao što je već poznato, prirast ∆u funkcije u=ƒ(h) u tački x može se predstaviti kao ∆u=ƒ"(x) ∆h+α ∆h, gdje je α→0 u ∆h→0, ili ∆u= dy+α ∆h Odbacivanjem infinitezimalnog α ∆h višeg reda od ∆h, dobijamo približnu jednakost.

∆u≈dy, (3)

Štaviše, ova jednakost je tačnija što je ∆h manji.

Ova jednakost nam omogućava da približno izračunamo prirast bilo koje diferencijabilne funkcije sa velikom preciznošću.

Diferencijal je obično mnogo jednostavnije pronaći nego inkrement funkcije, pa se formula (3) široko koristi u računarskoj praksi.

24. Antiderivativna funkcija i neodređenoth integral.

KONCEPT PRIMITIVNE FUNKCIJE I NEODŠTETNOG INTEGRALA

Funkcija F (X) se zove antiderivativna funkcija za ovu funkciju f (X) (ili, ukratko, antiderivativ ovu funkciju f (X)) na datom intervalu, ako je na ovom intervalu . Primjer. Funkcija je antiderivat funkcije na cijeloj brojevnoj osi, budući da je za bilo koju X. Imajte na umu da je, zajedno s funkcijom, antiderivat za bilo koja funkcija oblika , gdje WITH- proizvoljan konstantni broj (ovo proizilazi iz činjenice da je derivacija konstante jednaka nuli). Ovo svojstvo vrijedi iu općem slučaju.

Teorema 1. Ako i su dva antiderivata za funkciju f (X) u određenom intervalu, tada je razlika između njih u ovom intervalu jednaka konstantnom broju. Iz ove teoreme slijedi da ako je poznat bilo koji antiderivat F (X) ove funkcije f (X), zatim cijeli skup antiderivata za f (X) iscrpljuje se funkcijama F (X) + WITH. Izraz F (X) + WITH, Gdje F (X) - antiderivat funkcije f (X) I WITH- proizvoljna konstanta, tzv neodređeni integral od funkcije f (X) i označava se simbolom i f (X) se zove integrand funkcija ; - integrand , X - integracijska varijabla ; ∫ - znak neodređenog integrala . Dakle, po definiciji Ako . postavlja se pitanje: za svakoga funkcije f (X) postoji antiderivat, a samim tim i neodređeni integral? Teorema 2. Ako je funkcija f (X) kontinuirano na [ a ; b], zatim na ovom segmentu za funkciju f (X) postoji antideritiv . U nastavku ćemo govoriti o antiderivama samo za kontinuirane funkcije. Dakle, integrali koje razmatramo kasnije u ovom odeljku postoje.

25. Svojstva neodređenogXintegral. Integrals iz osnovnih elementarnih funkcija.

Svojstva neodređenog integrala

U formulama ispod f I g- varijabilne funkcije x, F- antiderivat funkcije f, a, k, C- konstantne vrijednosti.







Integrali elementarnih funkcija

Lista integrala racionalnih funkcija

(antiderivat nule je konstanta; unutar bilo koje granice integracije, integral nule je jednak nuli)

Lista integrala logaritamskih funkcija

Lista integrala eksponencijalnih funkcija

Lista integrala iracionalnih funkcija

("dugi logaritam")

lista integrala trigonometrijskih funkcija , lista integrala inverznih trigonometrijskih funkcija

26. Metoda zamjenes varijabla, metoda integracije po dijelovima u neodređenom integralu.

Metoda zamjene varijable (metoda zamjene)

Metoda integracije supstitucijom uključuje uvođenje nove integracione varijable (tj. supstitucije). U ovom slučaju, dati integral se svodi na novi integral, koji je tabelarni ili svodiv na njega. Ne postoje općenite metode za odabir zamjena. Sposobnost pravilnog određivanja zamjene stiče se vježbom.

Približni proračuni pomoću diferencijala

U ovoj lekciji ćemo se baviti uobičajenim problemom o približnom izračunavanju vrijednosti funkcije pomoću diferencijala. Ovdje i dalje ćemo govoriti o diferencijalima prvog reda, radi kratkoće, često ću jednostavno reći „diferencijal“. Problem približnih proračuna korištenjem diferencijala ima strogi algoritam rješenja, pa stoga ne bi trebalo nastati posebne poteškoće. Jedina stvar je da postoje male zamke koje će takođe biti očišćene. Zato slobodno zaronite u glavu.

Pored toga, stranica sadrži formule za pronalaženje apsolutne i relativne greške proračuna. Materijal je vrlo koristan, jer se greške moraju izračunati u drugim problemima. Fizičari, gdje je vaš aplauz? =)

Da biste uspješno savladali primjere, morate biti u stanju pronaći izvode funkcija barem na srednjem nivou, pa ako ste potpuno na gubitku s diferencijacijom, počnite s lekcijom Kako pronaći derivat? Također preporučujem čitanje članka Najjednostavniji problemi sa izvedenicama, odnosno paragrafi o pronalaženju derivacije u tački I pronalaženje diferencijala u tački. Od tehničkih sredstava trebat će vam mikrokalkulator s različitim matematičkim funkcijama. Možete koristiti Excel, ali u ovom slučaju je manje zgodan.

Radionica se sastoji iz dva dela:

– Približna izračunavanja koristeći diferencijal funkcije jedne varijable.

– Približna izračunavanja koristeći ukupni diferencijal funkcije dvije varijable.

Kome šta treba? U stvari, bilo je moguće podijeliti bogatstvo na dvije gomile, iz razloga što se druga tačka odnosi na primjenu funkcija nekoliko varijabli. Ali šta da radim, volim dugačke članke.

Približne kalkulacije
koristeći diferencijal funkcije jedne varijable

Zadatak o kojem je riječ i njegovo geometrijsko značenje već su obrađeni u lekciji Šta je derivacija? , a sada ćemo se ograničiti na formalno razmatranje primjera, što je sasvim dovoljno da naučimo kako ih rješavati.

U prvom paragrafu pravila je funkcija jedne varijable. Kao što svi znaju, označava se sa ili sa . Za ovaj zadatak mnogo je zgodnije koristiti drugu notaciju. Prijeđimo odmah na popularan primjer koji se često susreće u praksi:

Primjer 1

Rješenje: Kopirajte radnu formulu za približan izračun koristeći diferencijal u svoju bilježnicu:

Počnimo da shvatimo, ovdje je sve jednostavno!

Prvi korak je kreiranje funkcije. Prema uslovu, predlaže se izračunavanje kubnog korijena broja: , pa odgovarajuća funkcija ima oblik: . Moramo koristiti formulu da pronađemo približnu vrijednost.

Hajde da pogledamo lijevoj strani formule, pa mi padne na pamet misao da broj 67 mora biti predstavljen u obliku. Koji je najlakši način da to uradite? Preporučujem sljedeći algoritam: izračunajte ovu vrijednost na kalkulatoru:
– ispalo je 4 sa repom, ovo je važna smjernica za rješenje.

Kao kvalitet biramo "dobru" vrijednost, tako da se korijen potpuno ukloni. Naravno, ova vrijednost bi trebala biti što bliže do 67. U ovom slučaju: . Zaista: .

Napomena: Kada se i dalje pojave poteškoće s odabirom, jednostavno pogledajte izračunatu vrijednost (u ovom slučaju ), uzmite najbliži cijeli broj (u ovom slučaju 4) i podignite ga na traženi stepen (u ovom slučaju ). Kao rezultat, biće izvršena potrebna selekcija: .

Ako je , tada je inkrement argumenta: .

Dakle, broj 67 je predstavljen kao zbir

Prvo, izračunajmo vrijednost funkcije u tački. Zapravo, ovo je već urađeno ranije:

Diferencijal u tački se nalazi po formuli:
- Možete ga i kopirati u svoju bilježnicu.

Iz formule slijedi da trebate uzeti prvu izvodnicu:

I pronađite njegovu vrijednost u tački:

ovako:

Sve je spremno! prema formuli:

Pronađena približna vrijednost je prilično blizu vrijednosti , izračunato pomoću mikrokalkulatora.

odgovor:

Primjer 2

Izračunajte približno, zamjenjujući priraštaje funkcije njenim diferencijalom.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Približan uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije. Za početnike, prvo preporučujem da izračunaju točnu vrijednost na mikrokalkulatoru kako bi saznali koji se broj uzima kao , a koji kao . Treba napomenuti da će u ovom primjeru biti negativan.

Neki su se možda zapitali zašto je potreban ovaj zadatak ako se sve može mirnije i preciznije izračunati na kalkulatoru? Slažem se, zadatak je glup i naivan. Ali pokušaću da to malo opravdam. Prvo, zadatak ilustruje značenje diferencijalne funkcije. Drugo, u antičko doba, kalkulator je bio nešto poput ličnog helikoptera u modernim vremenima. I sam sam vidio kako je iz lokalnog politehničkog instituta izbačen kompjuter veličine sobe negdje 1985-86 (radio amateri su trčali iz cijelog grada sa šrafcigerima, a nakon par sati od aparata je ostalo samo kućište jedinica). Bilo je i antikviteta na našem odsjeku za fiziku i matematiku, iako su bili manji po veličini - otprilike veličine stola. Tako su se naši preci borili sa metodama približnih proračuna. Prevoz je i konjska zaprega.

Na ovaj ili onaj način, problem ostaje u standardnom kursu više matematike i moraće da se reši. Ovo je glavni odgovor na vaše pitanje =)

Primjer 3

u tački . Izračunajte precizniju vrijednost funkcije u nekoj tački pomoću mikrokalkulatora, procijenite apsolutnu i relativnu grešku izračunavanja.

Zapravo, isti zadatak, lako se može preformulisati na sljedeći način: „Izračunajte približnu vrijednost koristeći diferencijal"

Rješenje: Koristimo poznatu formulu:
U ovom slučaju, već je data gotova funkcija: . Još jednom želim da vam skrenem pažnju na činjenicu da je praktičniji za upotrebu.

Vrijednost mora biti prikazana u obliku . Pa, ovdje je lakše, vidimo da je broj 1,97 vrlo blizu "dvojci", pa se sam po sebi sugeriše. I stoga: .

Korištenje formule , izračunajmo diferencijal u istoj tački.

Nalazimo prvi izvod:

I njegova vrijednost u ovom trenutku:

Dakle, diferencijal u tački:

Kao rezultat, prema formuli:

Drugi dio zadatka je pronaći apsolutnu i relativnu grešku proračuna.

Apsolutna i relativna greška proračuna

Apsolutna greška u proračunu nalazi se po formuli:

Znak modula pokazuje da nas nije briga koja je vrijednost veća, a koja manja. važno, koliko daleko približni rezultat je odstupio od tačne vrijednosti u jednom ili drugom smjeru.

Relativna računska greška nalazi se po formuli:
, ili ista stvar:

Relativna greška se pokazuje u kom procentu približni rezultat je odstupio od tačne vrijednosti. Postoji verzija formule bez množenja sa 100%, ali u praksi skoro uvijek vidim gornju verziju sa procentima.

Nakon kratke reference, vratimo se na naš problem u kojem smo izračunali približnu vrijednost funkcije korišćenjem diferencijala.

Izračunajmo tačnu vrijednost funkcije pomoću mikrokalkulatora:
, striktno govoreći, vrijednost je još uvijek približna, ali ćemo je smatrati tačnom. Takvi problemi se dešavaju.

Izračunajmo apsolutnu grešku:

Izračunajmo relativnu grešku:
, dobijene su hiljaditi dio procenta, tako da je diferencijal dao samo odličnu aproksimaciju.

odgovor: , apsolutna greška proračuna, relativna greška proračuna

Sljedeći primjer za nezavisno rješenje:

Primjer 4

Izračunajte približno vrijednost funkcije koristeći diferencijal u tački . Izračunajte tačniju vrijednost funkcije u datoj tački, procijenite apsolutnu i relativnu grešku proračuna.

Približan uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije.

Mnogi ljudi su primijetili da se korijeni pojavljuju u svim razmatranim primjerima. Ovo nije slučajno u većini slučajeva, funkcije s korijenima su zapravo predložene u problemu koji se razmatra.

Ali za napaćene čitaoce, iskopao sam mali primjer sa arksinom:

Primjer 5

Izračunajte približno vrijednost funkcije koristeći diferencijal u tački

Ovaj kratak, ali informativan primjer je također za vas da sami riješite. I malo sam se odmorio kako bih s novom snagom mogao razmisliti o specijalnom zadatku:

Primjer 6

Izračunajte približno koristeći diferencijal, zaokružujući rezultat na dvije decimale.

Rješenje:Šta je novo u zadatku? Uslov zahtijeva zaokruživanje rezultata na dvije decimale. Ali to nije poenta, mislim da vam problem zaokruživanja škole nije težak. Činjenica je da nam je data tangenta sa argumentom koji se izražava u stepenima. Šta trebate učiniti kada se od vas traži da riješite trigonometrijsku funkciju sa stupnjevima? Na primjer, itd.

Algoritam rješenja je u osnovi isti, odnosno potrebno je, kao u prethodnim primjerima, primijeniti formulu

Napišimo očiglednu funkciju

Vrijednost mora biti prikazana u obliku . Pružiće ozbiljnu pomoć tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Inače, za one koji to nisu odštampali, preporučujem da to urade, jer ćete tamo morati da gledaju tokom čitavog studija više matematike.

Analizirajući tabelu, primjećujemo "dobru" vrijednost tangente, koja je blizu 47 stepeni:

ovako:

Nakon preliminarne analize stepeni moraju biti pretvoreni u radijane. Da, i samo ovako!

U ovom primjeru možete saznati direktno iz trigonometrijske tablice da je . Koristeći formulu za pretvaranje stupnjeva u radijane: (formule se mogu naći u istoj tabeli).

Ono što slijedi je formulativno:

ovako: (koristimo vrijednost za proračune). Rezultat, kako to zahtijeva uvjet, zaokružuje se na dvije decimale.

odgovor:

Primjer 7

Približno izračunajte pomoću diferencijala, zaokružite rezultat na tri decimale.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Kao što vidite, nema ništa komplicirano, pretvaramo stupnjeve u radijane i pridržavamo se uobičajenog algoritma rješenja.

Približne kalkulacije
koristeći potpuni diferencijal funkcije dvije varijable

Sve će biti vrlo, vrlo slično, pa ako ste došli na ovu stranicu posebno zbog ovog zadatka, onda prvo preporučujem da pogledate barem nekoliko primjera iz prethodnog paragrafa.

Da biste proučili pasus, morate biti u stanju pronaći parcijalni derivati ​​drugog reda, gdje bismo bili bez njih? U gornjoj lekciji označio sam funkciju dvije varijable pomoću slova . U odnosu na zadatak koji se razmatra, pogodnije je koristiti ekvivalentnu notaciju.

Kao iu slučaju funkcije jedne varijable, uvjet problema se može formulirati na različite načine, a ja ću pokušati razmotriti sve formulacije na koje se susrećemo.

Primjer 8

Rješenje: Bez obzira na to kako je uvjet napisan, u samom rješenju za označavanje funkcije, ponavljam, bolje je koristiti ne slovo "z", već .

A evo radne formule:

Ono što imamo pred sobom je zapravo starija sestra formule iz prethodnog paragrafa. Varijabla se samo povećala. Šta da kažem, sebe algoritam rješenja bit će u osnovi isti!

Prema uslovu, potrebno je pronaći približnu vrijednost funkcije u tački.

Predstavimo broj 3.04 kao . Sama lepinja traži da se pojede:
,

Predstavimo broj 3,95 kao . Došao je red na drugu polovinu Koloboka:
,

I ne gledajte sve lisičje trikove, postoji Kolobok - morate ga pojesti.

Izračunajmo vrijednost funkcije u tački:

Pronalazimo diferencijal funkcije u točki koristeći formulu:

Iz formule slijedi da moramo pronaći parcijalni derivati prvog reda i izračunajte njihove vrijednosti u tački .

Izračunajmo parcijalne izvode prvog reda u tački:

Ukupni diferencijal u tački:

Dakle, prema formuli, približna vrijednost funkcije u tački:

Izračunajmo tačnu vrijednost funkcije u tački:

Ova vrijednost je apsolutno tačna.

Greške se izračunavaju pomoću standardnih formula, o kojima je već bilo riječi u ovom članku.

Apsolutna greška:

Relativna greška:

odgovor:, apsolutna greška: , relativna greška:

Primjer 9

Izračunajte približnu vrijednost funkcije u tački koristeći ukupni diferencijal, procijenite apsolutnu i relativnu grešku.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Ko se detaljnije zadrži na ovom primjeru primijetit će da su se računske greške pokazale vrlo, vrlo uočljive. To se dogodilo iz sljedećeg razloga: u predloženom problemu priraštaji argumenata su prilično veliki: . Opšti obrazac je sljedeći: što su veći ovi priraštaji apsolutne vrijednosti, to je niža tačnost proračuna. Tako, na primjer, za sličnu tačku prirast će biti mali: , a tačnost približnih proračuna bit će vrlo visoka.

Ova karakteristika vrijedi i za slučaj funkcije jedne varijable (prvi dio lekcije).

Primjer 10

Rješenje: Izračunajmo ovaj izraz približno koristeći ukupni diferencijal funkcije dvije varijable:

Razlika od primjera 8-9 je u tome što prvo trebamo konstruirati funkciju dvije varijable: . Mislim da svi intuitivno razumiju kako je funkcija sastavljena.

Vrijednost 4,9973 je blizu "pet", dakle: , .
Vrijednost 0,9919 je blizu “jedan”, stoga pretpostavljamo: , .

Izračunajmo vrijednost funkcije u tački:

Pronalazimo diferencijal u tački koristeći formulu:

Da bismo to učinili, izračunavamo parcijalne izvode prvog reda u tački.

Izvodi ovdje nisu najjednostavniji i treba biti oprezan:

;

.

Ukupni diferencijal u tački:

Dakle, približna vrijednost ovog izraza je:

Izračunajmo precizniju vrijednost pomoću mikrokalkulatora: 2,998899527

Nađimo relativnu grešku u proračunu:

odgovor: ,

Samo ilustracija gore navedenog, u razmatranom problemu, inkrementi argumenata su vrlo mali, a greška se pokazala fantastično sićušnom.

Primjer 11

Koristeći potpuni diferencijal funkcije dvije varijable, izračunajte približno vrijednost ovog izraza. Izračunajte isti izraz pomoću mikrokalkulatora. Procijenite relativnu grešku proračuna kao postotak.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Približan uzorak konačnog dizajna na kraju lekcije.

Kao što je već napomenuto, najčešći gost u ovoj vrsti zadatka je neka vrsta korijena. Ali s vremena na vrijeme postoje i druge funkcije. I posljednji jednostavan primjer za opuštanje:

Primjer 12

Koristeći ukupni diferencijal funkcije dvije varijable, izračunajte približno vrijednost funkcije if

Rješenje je bliže dnu stranice. Još jednom, obratite pažnju na formulacije zadataka lekcije u različitim primjerima u praksi, formulacije mogu biti različite, ali to suštinski ne mijenja suštinu i algoritam rješenja.

Da budem iskren, bio sam malo umoran jer je materijal bio pomalo dosadan. Nije bilo pedagoški reći ovo na početku članka, ali sada je već moguće =) Zaista, problemi u računskoj matematici obično nisu baš složeni, nisu baš zanimljivi, najvažnije je, možda, ne pogriješiti u običnim proračunima.

Neka se ključevi vašeg kalkulatora ne izbrišu!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Rješenje: Koristimo formulu:
U ovom slučaju: , ,

ovako:
odgovor:

Primjer 4: Rješenje: Koristimo formulu:
u ovom slučaju: , ,

AliΔ y = Δ f(X 0) je prirast funkcije, i f (X 0) Δ x = df(X 0) – diferencijalna funkcija.

Stoga konačno dobijamo

Teorema 1. Neka je funkcija y = f(X) u tački x 0 ima konačan izvod f (X 0)≠0. Zatim za dovoljno male vrijednosti Δ x postoji približna jednakost (1), koja postaje proizvoljno tačna za Δ x→ 0.

Dakle, diferencijal funkcije u tački X 0 je približno jednako inkrementu funkcije u ovoj tački.

Jer onda iz jednakosti (1) dobijamo

at Δ x→ 0 (2)

at x→ X 0 (2  )

Budući da je jednadžba tangente na graf funkcije y= f(x) u tački X 0 izgleda

, To približne jednakosti (1)-(2) geometrijski znače da blizu tačke x=x 0 graf funkcije y=f(X) je približno zamijenjen tangentom na krivu y = f(X).

Za dovoljno male vrijednosti ukupni prirast funkcije i diferencijal se neznatno razlikuju, tj. . Ova okolnost se koristi za približne proračune.

Primjer 1. Izračunajte približno .

Rješenje. Razmotrite funkciju i stavi X 0 = 4, X= 3,98. Zatim Δ x =x –x 0 = – 0,02, f(x 0)= 2. Budući da , Onda f (X 0)=1/4=0,25. Stoga, koristeći formulu (2) konačno dobijamo: .

Primjer 2. Koristeći diferencijal funkcije odredite koliko će se približno promijeniti vrijednost funkcije y=f(X)=(3x 3 +5)∙tg4 x kada se vrijednost njegovog argumenta smanji X 0 = 0 sa 0,01.

Rješenje. Zbog (1), promjena funkcije y = f(X) u tački X 0 je približno jednako diferencijalu funkcije u ovoj tački za dovoljno male vrijednosti D x:

Izračunajmo diferencijal funkcije df(0). Imamo D x= –0,01. Jer f (X)= 9x 2 ∙tg4 x + ((3x 3 +5)/ cos 2 4 x)∙4, dakle f (0)=5∙4=20 i df(0)=f (0)∙Δ x= 20·(–0,01) = –0,2.

Stoga Δ f(0) ≈ –0,2, tj. pri smanjenju vrijednosti X 0 = 0 argument funkcije do 0,01 same vrijednosti funkcije y=f(X) će se približno smanjiti za 0,2.

Primjer 3. Neka funkcija potražnje za proizvodom ima oblik . Morate pronaći traženu količinu za proizvod po cijeni str 0 =3 novčane jedinice i ustanoviti za koliko će se približno povećati potražnja kada cijena proizvoda padne za 0,2 novčane jedinice.

Rješenje. Po cijeni str 0 =3 novčane jedinice obim potražnje Q 0 =D(str 0)=270/9=30 jedinica. robe. Promjena cijene Δ str= –0,2 den. jedinice Zbog (1) Δ Q (str 0) ≈ dQ (str 0). Izračunajmo razliku u obimu potražnje za proizvodom.

Od tada D (3) = –20 i

razlika u obimu potražnje dQ(3) = D  (3)∙Δ str= –20·(–0,2) = 4. Prema tome, Δ Q(3) ≈ 4, tj. kada se cijena proizvoda smanji str 0 =3 za 0,2 novčane jedinice Obim potražnje za proizvodom će se povećati za približno 4 jedinice proizvoda i postat će jednak približno 30 + 4 = 34 jedinice proizvoda.

Pitanja za samotestiranje

1. Što se zove diferencijal funkcije?

2. Koje je geometrijsko značenje diferencijala funkcije?

3. Navedite glavna svojstva diferencijalne funkcije.

3. Napišite formule koje vam omogućavaju da pronađete približnu vrijednost funkcije koristeći njen diferencijal.