U vezi sa
može se postaviti zadatak pronalaženja bilo kojeg od tri broja od druga dva data. Ako su dati a i N, oni se nalaze eksponencijalnom. Ako su N i zatim a dati uzimanjem korijena stepena x (ili podizanjem na stepen). Sada razmotrite slučaj kada, za date a i N, trebamo pronaći x.
Neka je broj N pozitivan: broj a pozitivan i nije jednak jedinici: .
Definicija. Logaritam broja N prema bazi a je eksponent na koji se a mora podići da bi se dobio broj N; logaritam je označen sa
Dakle, u jednakosti (26.1) eksponent se nalazi kao logaritam od N prema bazi a. Postovi
imaju isto značenje. Jednakost (26.1) se ponekad naziva glavnim identitetom teorije logaritama; u stvarnosti izražava definiciju pojma logaritma. By ovu definiciju Osnova logaritma a je uvijek pozitivna i različita od jedinice; logaritamski broj N je pozitivan. Negativni brojevi i nula nemaju logaritme. Može se dokazati da bilo koji broj sa datom bazom ima dobro definiran logaritam. Stoga jednakost podrazumijeva . Imajte na umu da je uvjet ovdje bitan, inače zaključak ne bi bio opravdan, jer je jednakost istinita za bilo koje vrijednosti x i y.
Primjer 1. Pronađite
Rješenje. Da biste dobili broj, morate podići bazu 2 na stepen.
Prilikom rješavanja takvih primjera možete praviti bilješke u sljedećem obliku:
Primjer 2. Pronađite .
Rješenje. Imamo
U primjerima 1 i 2 lako smo pronašli željeni logaritam predstavljajući broj logaritma kao stepen baze s racionalnim eksponentom. IN opšti slučaj, na primjer za, itd., to se ne može učiniti, jer logaritam ima iracionalnu vrijednost. Obratimo pažnju na jedno pitanje vezano za ovu izjavu. U paragrafu 12 dali smo koncept mogućnosti određivanja bilo koje realne snage datog pozitivnog broja. To je bilo neophodno za uvođenje logaritama, koji, generalno govoreći, mogu biti iracionalni brojevi.
Pogledajmo neka svojstva logaritama.
Svojstvo 1. Ako su broj i baza jednaki, onda je logaritam jednak jedinici, i obrnuto, ako je logaritam jednak jedinici, tada su broj i baza jednaki.
Dokaz. Neka Po definiciji logaritma imamo i odakle
Obrnuto, neka Onda po definiciji
Svojstvo 2. Logaritam od jedan prema bilo kojoj osnovi je jednak nuli.
Dokaz. Po definiciji logaritma (nulta snaga bilo koje pozitivne baze jednaka je jedan, vidi (10.1)). Odavde
Q.E.D.
Obrnuta izjava je također tačna: ako je , tada je N = 1. Zaista, imamo .
Prije nego što formulišemo sljedeće svojstvo logaritama, dogovorimo se da dva broja a i b leže na istoj strani trećeg broja c ako su oba veća od c ili manja od c. Ako je jedan od ovih brojeva veći od c, a drugi manji od c, onda ćemo reći da leže na suprotnim stranama od c.
Svojstvo 3. Ako broj i baza leže na istoj strani jedinice, onda je logaritam pozitivan; Ako broj i baza leže na suprotnim stranama od jedan, tada je logaritam negativan.
Dokaz svojstva 3 zasniva se na činjenici da je stepen a veći od jedan ako je baza veća od jedan, a eksponent pozitivan ili je baza manja od jedan, a eksponent negativan. Potencija je manja od jedan ako je baza veća od jedan, a eksponent negativan ili je baza manja od jedan, a eksponent pozitivan.
Postoje četiri slučaja za razmatranje:
Ograničićemo se samo na analizu prvog od njih, ostalo će čitalac razmotriti sam.
Neka onda u jednakosti eksponent ne može biti ni negativan ni jednak nuli, dakle pozitivan je, tj. kako se traži da se dokaže.
Primjer 3. Saznajte koji su od logaritama u nastavku pozitivni, a koji negativni:
Rješenje, a) pošto se broj 15 i osnova 12 nalaze na istoj strani jedne;
b) pošto se 1000 i 2 nalaze na jednoj strani jedinice; u ovom slučaju nije važno da je baza veća od logaritamskog broja;
c) pošto 3,1 i 0,8 leže na suprotnim stranama jedinice;
G) ; Zašto?
d) ; Zašto?
Sljedeća svojstva 4-6 često se nazivaju pravilima logaritmiranja: ona omogućavaju, znajući logaritme nekih brojeva, da se pronađu logaritmi njihovog proizvoda, količnika i stepena svakog od njih.
Svojstvo 4 (pravilo logaritma proizvoda). Logaritam proizvoda nekoliko pozitivnih brojeva po ovu osnovu jednak zbiru logaritme ovih brojeva na istu bazu.
Dokaz. Neka su dati brojevi pozitivni.
Za logaritam njihovog proizvoda zapisujemo jednakost (26.1) koja definira logaritam:
Odavde ćemo naći
Upoređujući eksponente prvog i posljednjeg izraza, dobijamo traženu jednakost:
Imajte na umu da je uslov bitan; logaritam proizvoda dva negativni brojevi ima smisla, ali u ovom slučaju dobijamo
Općenito, ako je proizvod nekoliko faktora pozitivan, tada je njegov logaritam jednak zbroju logaritama apsolutnih vrijednosti ovih faktora.
Svojstvo 5 (pravilo za uzimanje logaritama količnika). Logaritam količnika pozitivnih brojeva jednak je razlici između logaritama dividende i djelitelja, uzetih na istu bazu. Dokaz. Konstantno nalazimo
Q.E.D.
Svojstvo 6 (pravilo logaritma stepena). Logaritam stepena bilo kojeg pozitivnog broja jednak je logaritmu tog broja pomnoženom sa eksponentom.
Dokaz. Napišimo ponovo glavni identitet (26.1) za broj:
Q.E.D.
Posljedica. Logaritam korijena pozitivnog broja jednak je logaritmu radikala podijeljenom sa eksponentom korijena:
Valjanost ovog zaključka može se dokazati zamislim kako i korištenjem svojstva 6.
Primjer 4. Uzmite logaritam za bazu a:
a) (pretpostavlja se da su sve vrijednosti b, c, d, e pozitivne);
b) (pretpostavlja se da ).
Rješenje, a) Zgodno je prijeći na razlomke u ovom izrazu:
Na osnovu jednakosti (26.5)-(26.7), sada možemo napisati:
Primjećujemo da se nad logaritmima brojeva izvode jednostavnije operacije nego nad samim brojevima: pri množenju brojeva njihovi se logaritmi sabiraju, pri dijeljenju oduzimaju itd.
Zbog toga se u računarskoj praksi koriste logaritmi (vidi paragraf 29).
Inverzno djelovanje logaritma naziva se potenciranje, naime: potenciranje je radnja kojom se sam broj nalazi iz datog logaritma broja. U suštini, potenciranje nije posebna akcija: svodi se na podizanje baze na stepen (jednak logaritmu broja). Termin "potenciranje" može se smatrati sinonimom za termin "potenciranje".
Pri potenciranju se moraju koristiti pravila inverzna pravilima logaritma: zamijeniti zbir logaritama logaritmom umnoška, razliku logaritama logaritmom količnika, itd. Posebno, ako je ispred faktora znaka logaritma, onda se tokom potenciranja mora prenijeti na stepene eksponenta pod znakom logaritma.
Primjer 5. Naći N ako je to poznato
Rješenje. U vezi sa upravo navedenim pravilom potenciranja, faktore 2/3 i 1/3 koji stoje ispred predznaka logaritama na desnoj strani ove jednakosti prenećemo u eksponente pod predznacima ovih logaritama; dobijamo
Sada zamjenjujemo razliku logaritama logaritmom kvocijenta:
da bismo dobili posljednji razlomak u ovom lancu jednakosti, oslobodili smo prethodni razlomak od iracionalnosti u nazivniku (klauzula 25).
Svojstvo 7. Ako je baza veća od jedan, onda veći broj ima veći logaritam (a manji broj ima manji), ako je baza manja od jedan, onda veći broj ima manji logaritam (a manji broj ima veći).
Ovo svojstvo je također formulirano kao pravilo za uzimanje logaritama nejednačina, čije su obje strane pozitivne:
Kada se nejednakosti logaritiraju na osnovu veću od jedan, čuva se znak nejednakosti, a kada se logaritam na osnovicu manju od jedan, predznak nejednakosti se mijenja u suprotan (vidi i paragraf 80).
Dokaz se zasniva na svojstvima 5 i 3. Razmotrimo slučaj kada Ako , tada i, uzimajući logaritme, dobijamo
(a i N/M leže na istoj strani jedinice). Odavde
Slučaj a slijedi, čitalac će to sam shvatiti.
Kao što znate, kada se množe izrazi sa stepenom, njihovi eksponenti se uvijek sabiraju (a b *a c = a b+c). Ovaj matematički zakon je izveo Arhimed, a kasnije, u 8. veku, matematičar Virasen je napravio tabelu celobrojnih eksponenata. Upravo su oni poslužili za dalje otkrivanje logaritama. Primjeri korištenja ove funkcije mogu se naći gotovo svugdje gdje trebate pojednostaviti glomazno množenje jednostavnim sabiranjem. Ako odvojite 10 minuta čitajući ovaj članak, objasnit ćemo vam što su logaritmi i kako s njima raditi. Jednostavnim i pristupačnim jezikom.
Definicija u matematici
Logaritam je izraz sljedećeg oblika: log a b=c, to jest, logaritam bilo kojeg nenegativnog broja (tj. bilo kojeg pozitivnog) “b” na njegovu bazu “a” smatra se stepenom “c ” na koju se baza “a” mora podići da bi se na kraju dobila vrijednost “b”. Analizirajmo logaritam na primjerima, recimo da postoji izraz log 2 8. Kako pronaći odgovor? Vrlo je jednostavno, potrebno je pronaći takvu snagu da od 2 do tražene snage dobijete 8. Nakon nekih proračuna u glavi, dobijamo broj 3! I to je tačno, jer 2 na stepen od 3 daje odgovor kao 8.
Vrste logaritama
Za mnoge učenike i studente ova se tema čini komplikovanom i nerazumljivom, ali zapravo logaritmi nisu toliko strašni, najvažnije je razumjeti njihovo općenito značenje i zapamtiti njihova svojstva i neka pravila. Ima ih tri pojedinačne vrste logaritamski izrazi:
- Prirodni logaritam ln a, gdje je baza Ojlerov broj (e = 2,7).
- Decimala a, gdje je osnova 10.
- Logaritam bilo kojeg broja b na osnovu a>1.
Svaki od njih se rješava na standardni način, uključujući pojednostavljenje, redukciju i naknadno svođenje na jedan logaritam korištenjem logaritamskih teorema. Da biste dobili ispravne vrijednosti logaritama, trebali biste zapamtiti njihova svojstva i redoslijed radnji prilikom njihovog rješavanja.
Pravila i neka ograničenja
U matematici postoji nekoliko pravila-ograničenja koja su prihvaćena kao aksiom, odnosno nisu predmet rasprave i predstavljaju istinu. Na primjer, brojevi se ne mogu podijeliti sa nulom, a također je nemoguće izdvojiti korijen čak stepen od negativnih brojeva. Logaritmi također imaju svoja pravila, slijedeći koja možete lako naučiti raditi čak i sa dugim i prostranim logaritamskim izrazima:
- Osnova “a” uvijek mora biti veća od nule, a ne jednaka 1, inače će izraz izgubiti svoje značenje, jer su “1” i “0” u bilo kom stepenu uvijek jednaki njihovim vrijednostima;
- ako je a > 0, onda a b > 0, ispada da “c” takođe mora biti veće od nule.
Kako riješiti logaritme?
Na primjer, daje se zadatak pronaći odgovor na jednadžbu 10 x = 100. Ovo je vrlo lako, potrebno je odabrati stepen podizanjem broja deset na koji dobijamo 100. Ovo je, naravno, 10 2 = 100.
Sada predstavimo ovaj izraz u logaritamskom obliku. Dobijamo log 10 100 = 2. Prilikom rješavanja logaritma, sve radnje se praktično konvergiraju da bi se pronašla potencija na koju je potrebno unijeti bazu logaritma da bi se dobio dati broj.
Da biste precizno odredili vrijednost nepoznatog stepena, morate naučiti kako raditi s tablicom stupnjeva. izgleda ovako:
Kao što vidite, neki eksponenti se mogu pogoditi intuitivno ako imate tehnički um i poznavanje tablice množenja. Međutim, za veće vrijednosti trebat će vam stol za napajanje. Mogu ga koristiti čak i oni koji ne znaju ništa o složenim matematičkim temama. Lijeva kolona sadrži brojeve (osnova a), gornji red brojeva je vrijednost stepena c na koji je broj a podignut. Na raskrsnici ćelije sadrže brojčane vrijednosti koje su odgovor (a c =b). Uzmimo, na primjer, prvu ćeliju sa brojem 10 i kvadriramo je, dobićemo vrijednost 100, koja je naznačena na sjecištu naše dvije ćelije. Sve je tako jednostavno i lako da će i najistinskiji humanista razumjeti!
Jednačine i nejednačine
Ispada da je pod određenim uslovima eksponent logaritam. Stoga se bilo koji matematički numerički izrazi može zapisati kao logaritamska jednakost. Na primjer, 3 4 =81 se može napisati kao logaritam 81 na bazi 3 jednak četiri (log 3 81 = 4). Za negativne potencije pravila su ista: 2 -5 = 1/32 zapišemo to kao logaritam, dobijemo log 2 (1/32) = -5. Jedna od najfascinantnijih sekcija matematike je tema "logaritma". U nastavku ćemo pogledati primjere i rješenja jednadžbi, odmah nakon proučavanja njihovih svojstava. Pogledajmo sada kako izgledaju nejednakosti i kako ih razlikovati od jednačina.
Dat je sljedeći izraz: log 2 (x-1) > 3 - to je logaritamska nejednakost, jer je nepoznata vrijednost “x” ispod logaritamskog predznaka. I u izrazu se upoređuju dvije veličine: logaritam željenog broja prema bazi dva je veći od broja tri.
Najvažnija razlika između logaritamskih jednačina i nejednačina je ta što jednačine sa logaritmima (na primjer, logaritam 2 x = √9) podrazumijevaju jedan ili više konkretnih odgovora. numeričke vrijednosti, dok se pri rješavanju nejednakosti određuju i raspon dozvoljenih vrijednosti i granične tačke ove funkcije. Kao posljedica toga, odgovor nije jednostavan skup pojedinačnih brojeva, kao u odgovoru na jednadžbu, već prije kontinuirane serije ili skup brojeva.
Osnovne teoreme o logaritmima
Prilikom rješavanja primitivnih zadataka pronalaženja vrijednosti logaritma, njegova svojstva možda neće biti poznata. Međutim, kada su u pitanju logaritamske jednačine ili nejednačine, prije svega, potrebno je jasno razumjeti i primijeniti u praksi sva osnovna svojstva logaritama. Kasnije ćemo pogledati primjere jednadžbi;
- Glavni identitet izgleda ovako: a logaB =B. Primjenjuje se samo kada je a veće od 0, nije jednako jedan, a B je veće od nule.
- Logaritam proizvoda može se predstaviti u sljedećoj formuli: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. U ovom slučaju preduslov je: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Možete dati dokaz za ovu logaritamsku formulu, sa primjerima i rješenjem. Neka log a s 1 = f 1 i log a s 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dobijamo da je s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (osobine stepeni ), a zatim po definiciji: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, što je trebalo dokazati.
- Logaritam količnika izgleda ovako: log a (s 1/s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Teorema u obliku formule ima sljedeći oblik: log a q b n = n/q log a b.
Ova formula se naziva “svojstvo stepena logaritma”. Podsjeća na svojstva običnih stupnjeva, i nije iznenađujuće, jer se sva matematika zasniva na prirodnim postulatima. Pogledajmo dokaz.
Neka log a b = t, ispada da je a t = b. Ako oba dijela podignemo na stepen m: a tn = b n ;
ali pošto je a tn = (a q) nt/q = b n, dakle log a q b n = (n*t)/t, onda log a q b n = n/q log a b. Teorema je dokazana.
Primjeri problema i nejednakosti
Najčešći tipovi zadataka o logaritmima su primjeri jednačina i nejednačina. Nalaze se u gotovo svim knjigama zadataka, a također su obavezan dio ispita iz matematike. Da biste ušli na fakultet ili položili prijemne ispite iz matematike, morate znati kako pravilno riješiti takve zadatke.
Nažalost, ne postoji jedinstven plan ili shema za rješavanje i utvrđivanje nepoznata vrijednost Ne postoji takva stvar kao što je logaritam, ali određena pravila se mogu primijeniti na svaku matematičku nejednakost ili logaritamsku jednačinu. Prije svega, trebali biste saznati da li se izraz može pojednostaviti ili do njega dovesti opšti izgled. Duge logaritamske izraze možete pojednostaviti ako pravilno koristite njihova svojstva. Hajde da ih brzo upoznamo.
Prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi moramo odrediti koji tip logaritma imamo: primjer izraza može sadržavati prirodni logaritam ili decimalni.
Evo primjera ln100, ln1026. Njihovo rješenje se svodi na činjenicu da treba odrediti snagu kojoj će baza 10 biti jednaka 100 i 1026, respektivno. Za rješenja prirodni logaritmi morate primijeniti logaritamske identitete ili njihova svojstva. Pogledajmo primjere rješavanja logaritamskih problema različitih tipova.
Kako koristiti logaritamske formule: s primjerima i rješenjima
Dakle, pogledajmo primjere korištenja osnovnih teorema o logaritmima.
- Svojstvo logaritma proizvoda može se koristiti u zadacima gdje je potrebno proširiti veliki značaj brojeve b u jednostavnije činioce. Na primjer, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odgovor je 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kao što vidite, koristeći četvrto svojstvo stepena logaritma, uspjeli smo riješiti naizgled složen i nerješiv izraz. Vi samo trebate faktorisati bazu, a zatim izvući vrijednosti eksponenta iz predznaka logaritma.
Zadaci sa Jedinstvenog državnog ispita
Logaritmi se često nalaze na prijemnim ispitima, posebno mnogi logaritamski problemi na Jedinstvenom državnom ispitu (državni ispit za sve maturante). Obično su ovi zadaci prisutni ne samo u dijelu A (najlakši dio ispita), već i u dijelu C (najsloženiji i najobimniji zadaci). Ispit zahtijeva tačno i savršeno poznavanje teme „Prirodni logaritmi“.
Primjeri i rješenja problema preuzeti su od zvaničnika Opcije objedinjenog državnog ispita. Pogledajmo kako se takvi zadaci rješavaju.
Dat log 2 (2x-1) = 4. Rješenje:
prepišimo izraz, pojednostavljujući ga malo log 2 (2x-1) = 2 2, po definiciji logaritma dobijamo da je 2x-1 = 2 4, dakle 2x = 17; x = 8,5.
- Najbolje je sve logaritme svesti na istu bazu kako rješenje ne bi bilo glomazno i zbunjujuće.
- Svi izrazi pod predznakom logaritma su označeni kao pozitivni, stoga, kada se eksponent izraza koji je pod predznakom logaritma i kao njegova baza izvadi kao množitelj, izraz koji ostaje pod logaritmom mora biti pozitivan.
Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Također možemo koristiti lične podatke za interne svrhe kao što su revizija, analiza podataka i razne studije kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim licima
Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Također možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe javnog zdravlja. važnim slučajevima.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.
Kako se društvo razvijalo i proizvodnja postajala složenija, razvijala se i matematika. Kretanje od jednostavnog ka složenom. Od običnog računovodstva metodom sabiranja i oduzimanja, uz njihovo višestruko ponavljanje, došli smo do pojma množenja i dijeljenja. Smanjenje ponovljene operacije množenja postalo je koncept eksponencijalnosti. Prve tabele zavisnosti brojeva od baze i broja eksponencijalnosti sastavio je još u 8. veku indijski matematičar Varasena. Od njih možete računati vrijeme pojavljivanja logaritama.
Istorijska skica
Preporod Evrope u 16. veku takođe je podstakao razvoj mehanike. T zahtevala veliku količinu proračuna vezano za množenje i dijeljenje višecifrenih brojeva. Drevni stolovi bili su od velike pomoći. Omogućili su zamjenu složenih operacija jednostavnijim - zbrajanjem i oduzimanjem. Veliki iskorak bio je rad matematičara Michaela Stiefela, objavljen 1544. godine, u kojem je realizovao ideju mnogih matematičara. To je omogućilo korištenje tablica ne samo za stepene u obliku prostih brojeva, već i za proizvoljne racionalne.
Godine 1614, Škot Džon Napier, razvijajući ove ideje, prvi je uveo novi termin „logaritam broja“. Novo složene tablice za izračunavanje logaritama sinusa i kosinusa, kao i tangenta. To je znatno smanjilo rad astronoma.
Počele su da se pojavljuju nove tablice koje su naučnici uspješno koristili tri stoljeća. Mnogo je vremena prošlo ranije nova operacija u algebri je dobio svoj potpuni oblik. Data je definicija logaritma i proučavana su njegova svojstva.
Tek u 20. veku, sa pojavom kalkulatora i kompjutera, čovečanstvo je napustilo drevne tablice koje su uspešno radile tokom 13. veka.
Danas logaritam od b na bazi a nazivamo brojem x koji je snaga od a da napravi b. Ovo je zapisano kao formula: x = log a(b).
Na primjer, log 3(9) bi bio jednak 2. Ovo je očigledno ako slijedite definiciju. Ako podignemo 3 na stepen 2, dobićemo 9.
Dakle, formulirana definicija postavlja samo jedno ograničenje: brojevi a i b moraju biti realni.
Vrste logaritama
Klasična definicija se zove realni logaritam i zapravo je rješenje jednadžbe a x = b. Opcija a = 1 je granična i nije od interesa. Pažnja: 1 na bilo koji stepen je jednako 1.
Realna vrijednost logaritma definiran samo kada su baza i argument veći od 0, a baza ne smije biti jednaka 1.
Posebno mjesto u oblasti matematike igrajte logaritme, koji će se imenovati ovisno o veličini njihove baze:
Pravila i ograničenja
Osnovno svojstvo logaritama je pravilo: logaritam proizvoda jednak je logaritamskom zbroju. log abp = log a(b) + log a(p).
Kao varijanta ove izjave biće: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), kvocijentna funkcija je jednaka razlici funkcija.
Iz prethodna dva pravila lako je vidjeti da je: log a(b p) = p * log a(b).
Ostala svojstva uključuju:
Komentar. Nema potrebe praviti uobičajenu grešku - logaritam zbira nije jednak zbiru logaritama.
Tokom mnogih stoljeća, operacija pronalaženja logaritma bila je prilično dugotrajan zadatak. Koristili su matematičari dobro poznata formula logaritamska teorija polinomske ekspanzije:
ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), gdje je n - prirodni broj veći od 1, što određuje tačnost proračuna.
Logaritmi s drugim bazama izračunati su korištenjem teoreme o prijelazu s jedne baze na drugu i svojstva logaritma proizvoda.
Budući da je ova metoda vrlo radno intenzivna i prilikom rješavanja praktičnih problema teška za implementaciju, koristili smo unaprijed sastavljene tabele logaritama, što je značajno ubrzalo sav rad.
U nekim slučajevima korišteni su posebno dizajnirani logaritamski grafovi koji su davali manju preciznost, ali znatno ubrzavali pretragu željenu vrijednost. Kriva funkcije y = log a(x), konstruisana preko nekoliko tačaka, omogućava vam da koristite regularni lenjir da pronađete vrednost funkcije u bilo kojoj drugoj tački. Inženjeri dugo vrijeme U te svrhe korišten je tzv.
U 17. veku pojavili su se prvi pomoćni analogni računarski uslovi, koji 19. vek dobio gotov izgled. Najuspješniji uređaj zvao se klizač. Unatoč jednostavnosti uređaja, njegov izgled značajno je ubrzao proces svih inženjerskih proračuna, a to je teško precijeniti. Trenutno je malo ljudi upoznato s ovim uređajem.
Pojava kalkulatora i kompjutera učinila je besmislenom upotrebu bilo kojih drugih uređaja.
Jednačine i nejednačine
Za rješavanje različitih jednadžbi i nejednačina pomoću logaritama koriste se sljedeće formule:
- Prijelaz s jedne baze na drugu: log a(b) = log c(b) / log c(a);
- Kao posljedica prethodne opcije: log a(b) = 1 / log b(a).
Za rješavanje nejednakosti korisno je znati:
- Vrijednost logaritma će biti pozitivna samo ako su baza i argument veći ili manji od jedan; ako je barem jedan uvjet prekršen, vrijednost logaritma će biti negativna.
- Ako je funkcija logaritma primijenjena na desnu i lijevu stranu nejednakosti, a baza logaritma je veća od jedan, onda je predznak nejednakosti sačuvan; inače se menja.
Problemi sa uzorcima
Razmotrimo nekoliko opcija za korištenje logaritama i njihovih svojstava. Primjeri sa rješavanjem jednadžbi:
Razmotrimo opciju stavljanja logaritma u stepen:
- Zadatak 3. Izračunajte 25^log 5(3). Rešenje: u uslovima problema, unos je sličan sledećem (5^2)^log5(3) ili 5^(2 * log 5(3)). Zapišimo to drugačije: 5^log 5(3*2), ili kvadrat broja kao argument funkcije može se napisati kao kvadrat same funkcije (5^log 5(3))^2. Koristeći svojstva logaritama, ovaj izraz je jednak 3^2. Odgovor: kao rezultat izračuna dobijamo 9.
Praktična upotreba
Budući da je čisto matematički alat, čini se da je daleko od toga pravi zivot da je logaritam odjednom dobio veliku važnost za opisivanje objekata u stvarnom svijetu. Teško je naći nauku u kojoj se ne koristi. Ovo se u potpunosti odnosi ne samo na prirodna, već i na humanitarna polja znanja.
Logaritamske zavisnosti
Evo nekoliko primjera numeričkih ovisnosti:
Mehanika i fizika
Istorijski gledano, mehanika i fizika su se uvijek razvijale korištenjem matematičke metode istraživanja i istovremeno je poslužio kao poticaj za razvoj matematike, uključujući i logaritme. Teorija većine zakona fizike napisana je jezikom matematike. Navedimo samo dva primjera opisa fizički zakoni koristeći logaritam.
Problem izračunavanja tako složene veličine kao što je brzina rakete može se riješiti korištenjem formule Tsiolkovsky, koja je postavila temelje za teoriju istraživanja svemira:
V = I * ln (M1/M2), gdje je
- V je konačna brzina aviona.
- I – specifični impuls motora.
- M 1 – početna masa rakete.
- M 2 – konačna masa.
Još jedan važan primjer- ovo se koristi u formuli drugog velikog naučnika Maxa Plancka, koja služi za procjenu stanja ravnoteže u termodinamici.
S = k * ln (Ω), gdje je
- S – termodinamičko svojstvo.
- k – Boltzmannova konstanta.
- Ω je statistička težina različitih stanja.
hemija
Manje očigledna je upotreba formula u hemiji koje sadrže omjer logaritama. Navedimo samo dva primjera:
- Nernstova jednadžba, stanje redoks potencijala medija u odnosu na aktivnost supstanci i konstantu ravnoteže.
- Proračun takvih konstanti kao što su indeks autolize i kiselost otopine također se ne može obaviti bez naše funkcije.
Psihologija i biologija
I uopće nije jasno kakve veze psihologija ima s tim. Pokazalo se da je jačina osjeta dobro opisana ovom funkcijom kao inverzni omjer vrijednosti intenziteta stimulusa prema nižoj vrijednosti intenziteta.
Nakon navedenih primjera, više ne čudi što se tema logaritma široko koristi u biologiji. O biološkim oblicima koji odgovaraju logaritamskim spiralama mogli bi se napisati čitavi tomovi.
Ostala područja
Čini se da je postojanje svijeta nemoguće bez veze s ovom funkcijom, a ona vlada svim zakonima. Pogotovo kada su u vezi sa zakonima prirode geometrijska progresija. Vrijedi se obratiti na web stranicu MatProfi, a takvih primjera ima mnogo u sljedećim područjima djelovanja:
Lista može biti beskonačna. Nakon što ste savladali osnovne principe ove funkcije, možete uroniti u svijet beskonačne mudrosti.
Logaritmi se, kao i svi brojevi, mogu sabirati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali pošto logaritmi nisu baš obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju glavna svojstva.
Svakako morate znati ova pravila - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa počnimo.
Sabiranje i oduzimanje logaritama
Razmotrimo dva logaritma sa istim osnovama: log a x i log a y. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:
- log a x+ log a y=log a (x · y);
- log a x− log a y=log a (x : y).
Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je jednaka logaritmu količnika. Imajte na umu: ključna stvar je ovdje identične osnove. Ako su razlozi drugačiji, ova pravila ne funkcionišu!
Ove formule će vam pomoći da izračunate logaritamski izraz čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju “Šta je logaritam”). Pogledajte primjere i pogledajte:
Dnevnik 6 4 + log 6 9.
Pošto logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu sume:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 2 48 − log 2 3.
Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 3 135 − log 3 5.
Opet su baze iste, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od „loših“ logaritama, koji se ne računaju zasebno. Ali nakon transformacija dobijaju se sasvim normalni brojevi. Mnogi su izgrađeni na ovoj činjenici test papiri. Da, izrazi poput testa se nude sa punom ozbiljnošću (ponekad bez ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.
Izdvajanje eksponenta iz logaritma
Sada da malo zakomplikujemo zadatak. Šta ako je osnova ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:
Lako je to primijetiti poslednje pravilo prati prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu izračuna.
Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x> 0. I još nešto: naučite primjenjivati sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto, tj. Brojeve prije znaka logaritma možete unijeti u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 7 49 6 .
Oslobodimo se stepena u argumentu koristeći prvu formulu:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
[Natpis za sliku]
Imajte na umu da nazivnik sadrži logaritam, čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Imamo:
[Natpis za sliku] Mislim da posljednji primjer zahtijeva pojašnjenje. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem. Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili smo u obliku stepena i iznijeli eksponente - dobili smo razlomak od tri sprata.
Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac sadrže isti broj: log 2 7. Pošto je log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.
Prelazak na novu osnovu
Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su razlozi drugačiji? Šta ako nisu tačne snage istog broja?
Formule za prelazak na novu podlogu dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teoreme:
Neka je dat log logaritam a x. Zatim za bilo koji broj c takav da c> 0 i c≠ 1, jednakost je tačna:
[Natpis za sliku]
Konkretno, ako stavimo c = x, dobijamo:
[Natpis za sliku]
Iz druge formule proizilazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.
Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.
Međutim, postoje problemi koji se nikako ne mogu riješiti osim preseljenjem u novu osnovu. Pogledajmo par ovih:
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.
Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže tačne potencije. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Sada "obrnimo" drugi logaritam:
[Natpis za sliku]Kako se proizvod ne mijenja pri preraspodjelu faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.
Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.
Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:
[Natpis za sliku]Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:
[Natpis za sliku]Osnovni logaritamski identitet
Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:
U prvom slučaju broj n postaje indikator stepena statusa u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo šta, jer je to samo logaritamska vrijednost.
Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. To se zove: osnovni logaritamski identitet.
U stvari, šta će se dogoditi ako broj b podići na takav stepen da broj b ovoj potenciji daje broj a? Tako je: dobijate isti broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak ponovo - mnogi ljudi zaglave u njemu.
Kao i formule za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.
Zadatak. Pronađite značenje izraza:
[Natpis za sliku]
Imajte na umu da je log 25 64 = log 5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:
[Natpis za sliku]Ako neko ne zna, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita :)
Logaritamska jedinica i logaritamska nula
U zaključku ću dati dva identiteta koja se teško mogu nazvati svojstvima – radije, oni su posljedice definicije logaritma. Stalno se pojavljuju u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i „naprednim“ učenicima.
- log a a= 1 je logaritamska jedinica. Zapamtite jednom za svagda: logaritam na bilo koju bazu a iz same ove baze jednak je jedan.
- log a 1 = 0 je logaritamska nula. Baza a može biti bilo šta, ali ako argument sadrži jedan, logaritam je jednak nuli! Jer a 0 = 1 je direktna posljedica definicije.
To je sva imovina. Obavezno vježbajte u njihovoj primjeni! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.
