Nakon jednostavnih transformacija dobijamo
(3.54)
pravilo: prijenosna funkcija sistema sa negativan povratna sprega je jednaka razlomku, čiji je brojnik prijenosna funkcija prednjeg kanala, a nazivnik je zbir jedinice i proizvoda prijenosnih funkcija prednjeg i reverznog kanala sistema.
Kada pozitivno povratne informacije formula (3.54) poprima oblik
(3.55)
U praksi se obično susreću sistemi sa negativnom povratnom spregom, za koje se prenosna funkcija nalazi prema relaciji (3.54).
3.3.4. Pravilo prijenosa
U nekim slučajevima, da bi se dobila ukupna funkcija prijenosa sistema korištenjem strukturnih transformacija, bilo bi zgodnije pomjeriti tačku primjene signala kroz vezu bliže izlazu ili ulazu. Kod takve transformacije strukturnog dijagrama treba se pridržavati pravila: prijenosna funkcija sistema mora ostati nepromijenjena.
Razmotrimo situaciju kada se tačka primjene signala prenosi preko veze bliže izlazu. Početna struktura sistema prikazana je na sl. 3.31. Odredimo rezultujuću prijenosnu funkciju za to
Pomerimo tačku primene signala kroz vezu sa prenosnom funkcijom dodavanjem neke prenosne funkcije ovom kanalu. Dobijamo blok dijagram transformisanog sistema (Sl. 3 32).
 |
Rice. 3.32. Blok dijagram transformisanog sistema.
Za to, funkcija prijenosa ima oblik
Budući da se pri transformaciji strukture sistema njegova prijenosna funkcija ne smije mijenjati, izjednačavanjem desnih strana izraza (3.56) i (3.57) određujemo traženu prijenosnu funkciju
Dakle, pri pomicanju tačke primene signala bliže izlazu sistema, kanalu treba dodati funkciju prenosa veze preko koje se signal prenosi.
Slično pravilo može se formulisati da pomeri tačku primene signala bliže ulazu sistema: inverznu funkciju prenosa veze preko koje se signal prenosi treba dodati odgovarajućem kanalu.
Primjer 3.1
Odredite opću prijenosnu funkciju sistema, čiji je blok dijagram prikazan na sl. 3.33.
Prvo odredimo funkcije prijenosa tipičnih veza veze: prijenosna funkcija paralelnih veza veza
i prijenosnu funkciju serijski povezanih veza
 |
Rice. 3.33. Blok dijagram sistema
Uzimajući u obzir uvedene oznake, struktura sistema se može svesti na oblik prikazan na sl. 3.34.
Koristeći strukturne transformacije, zapisujemo opću prijenosnu funkciju sistema
Zamjenjujući njihove vrijednosti umjesto i, konačno dobijamo
Primjer 3.2
Odredite funkciju prijenosa automatskog sistema za praćenje cilja radarske stanice, čiji je blok dijagram prikazan na sl. 3.35.
Rice. 3.35. Blok dijagram automatskog sistema za praćenje cilja
Ovdje je funkcija prijenosa sistemskog prijemnika; - prijenosna funkcija faznog detektora; - prijenosna funkcija pojačala snage; - prijenosna funkcija motora; - prijenosna funkcija mjenjača; - prijenosna funkcija senzora brzine rotacije antene; - prijenosna funkcija uređaja za korekciju.
Koristeći pravila strukturnih transformacija, pišemo
prijenosna funkcija
Odredimo funkciju prijenosa unutrašnje petlje
i sistem direktnog kanala
Odredimo kompletnu funkciju prijenosa sistema
Zamjenom početnih vrijednosti umjesto međuprenosnih funkcija, konačno dobijamo
3.4. Blok dijagrami koji odgovaraju diferencijalnim jednadžbama
Druga metoda izrade blok dijagrama zasniva se na upotrebi diferencijalnih jednadžbi. Razmotrimo ga prvo za objekat čije je ponašanje opisano jednadžbama vektorske matrice (2.1), (2.2):
(3.59)
Integrirajmo jednadžbu stanja u (3.59) tokom vremena i definirajmo stanje i izlazne varijable u obliku
(3.60)
Jednačine (3.60) su osnovne za sastavljanje dijagrama.
 |
Rice. 3.36. Blok dijagram koji odgovara jednadžbi
stanje objekta
Pogodnije je prikazati blok dijagram koji odgovara jednadžbi (3.60), počevši od izlaznih varijabli y, a preporučljivo je postaviti ulazne i izlazne varijable objekta na istu horizontalnu liniju (slika 3.36).
Za jednokanalni objekat, strukturni dijagram se može nacrtati pomoću jednačine (2.3), rješavajući ga u odnosu na najveći izvod
Integrisani (3.61) n jednom, dobijamo
(3.62)
Sistem jednačina (3.62) odgovara blok dijagramu prikazanom na sl. 3.37.
Rice. 3.37. Blok dijagram koji odgovara jednačini (3.61)
Kao što vidimo, jednokanalni kontrolni objekat, čije je ponašanje opisano jednačinom (3.61), uvijek se može strukturno predstaviti kao lanac n serijski povezani integratori sa povratnom spregom.
Primjer 3.3
Nacrtajte blok dijagram objekta čiji je model zadan sledeći sistem diferencijalne jednadžbe:
Hajde da prvo integrišemo jednačine stanja
 |
Rice. 3.38. Ilustracija izrade blok dijagrama
po jednačinama stanja
U skladu sa integralnim jednačinama na sl. 3.38 prikazujemo blok dijagram sistema.
3.5. Prijelaz sa funkcije prijenosa na kanonski opis
Hajde da razgovaramo o najpoznatijim metodama konverzije matematički model objekt u obliku proizvoljne funkcije prijenosa na opis u varijablama stanja. U tu svrhu koristimo odgovarajuće strukturne dijagrame. Zapiši to ovaj zadatak je dvosmislen, budući da se varijable stanja za objekt mogu odabrati na različite načine (pogledajte odjeljak 2.2).
Razmotrimo dvije opcije za prijelaz na opis u varijablama stanja iz prijenosne funkcije objekta
(3.63)
gdje Najprije predstavimo (3.63) kao proizvod dvije funkcije prijenosa:
Svaki od ovih prikaza (3.63) odgovara svom vlastitom jednostavan model u varijablama stanja, što se zove kanonski oblik.
3.5.1. Prvi kanonski oblik
Razmotrimo transformaciju matematičkog modela sistema sa funkcijom prijenosa (3.64). Njegov blok dijagram se može predstaviti kao dvije veze povezane u seriju
(Sl. 3.39).
Rice. 3.39. Strukturni prikaz sistema (3.64)
Za svaku kariku sistema pišemo odgovarajuću operatorsku jednačinu
(3.66)
Odredimo iz prve jednačine (3.66) najviši izvod varijable z, što odgovara vrijednosti u obliku operatora
Rezultirajući izraz nam omogućava da prvu jednačinu (3.66) predstavimo kao lanac od n integratore sa povratnom spregom (videti odeljak 3.5) i izlaznu varijablu y formira se u skladu sa drugom jednačinom (3.66) kao zbir varijable z i ona m derivati (slika 3.40).
Rice. 3.40.Šema koja odgovara jednadžbi (3.66)
Koristeći strukturne transformacije, dobijamo blok dijagram sistema prikazanog na Sl. 3.41.
Rice. 3.41. Strukturni dijagram koji odgovara kanonskom obliku
Imajte na umu da se blok dijagram koji odgovara prijenosnoj funkciji (3.64) sastoji od lanca n integratori, gde n- poredak sistema. Štaviše, u povratnoj vezi su koeficijenti nazivnika izvorne funkcije prijenosa (koeficijenti karakterističnog polinoma), a u direktnoj vezi su koeficijenti polinoma njegovog brojila.
Iz rezultirajućeg blok dijagrama lako je preći na model sistema u varijablama stanja. U tu svrhu uzimamo izlaz svakog integratora kao varijablu stanja
što nam omogućava da zapišemo diferencijalne jednačine stanja i izlazne jednačine sistema (3.63) u obliku
(3.67)
Sistem jednačina (3.67) može se predstaviti u vektorsko-matričnom obliku (2.1) sa sljedećim matricama:
Pozvat će se model sistema u varijablama stanja (3.67). prvi kanonski oblik.
3.5.2. Drugi kanonski oblik
Razmotrimo drugi metod prijelaza sa funkcije prijenosa (3.63) na opis u varijablama stanja, za koji shematski predstavljamo strukturu sistema (3.65) na Sl. 3.42.
Rice. 3.42. Strukturni prikaz funkcije prijenosa (3.65)
Njegove operatorske jednačine imaju oblik
(3.68)
Slično kao u prethodnom slučaju, predstavimo prvu jednačinu (3.68) kao lanac od n integratori sa povratnom spregom i ulaznim uticajem z formiramo u skladu sa drugom jednačinom (3.68) u obliku kontrolne sume u I m njegove derivate (slika 3.43).
Kao rezultat strukturnih transformacija, dobijamo blok dijagram sistema prikazanog na Sl. 3.44. Kao što vidimo, u ovom slučaju, blok dijagram koji odgovara prijenosnoj funkciji (3.65) sastoji se od lanca n integratori. Povratna informacija sadrži i koeficijente karakterističnog polinoma, a direktna veza sadrži koeficijente polinoma njegovog brojioca.
Rice. 3.43.Šema koja odgovara jednadžbi (3.68)
Rice. 3.44. Blok dijagram koji odgovara prijenosnoj funkciji (3.65)
Ponovo biramo izlazne vrijednosti integratora kao varijable stanja i zapisujemo diferencijalne jednadžbe stanja i izlaznu jednadžbu za njih
(3.69)
Pomoću jednadžbi (3.69) određujemo matrice
Pozvat će se model sistema u varijablama stanja tipa (3.69). drugi kanonski oblik.
Imajte na umu da je matrica A je nepromijenjen za prvi ili drugi kanonski oblik i sadrži koeficijente nazivnika izvorne funkcije prijenosa (3.63). Koeficijenti brojioca funkcije prijenosa (3.63) sadrže matricu C(u slučaju prvog kanonskog oblika) ili matrice B(u slučaju drugog kanonskog oblika). Prema tome, jednadžbe stanja koje odgovaraju dvama kanonskim reprezentacijama sistema mogu se direktno napisati pomoću funkcije prijenosa (3.63) bez prelaska na blok dijagrame prikazane na Sl. 3.40 i 3.43.
Kao što vidimo, prijelaz sa funkcije prijenosa na opis u varijablama stanja je dvosmislen zadatak. Ispitivali smo opcije za prelazak na kanonski opis, koje se najčešće koriste u teoriji automatskog upravljanja.
Primjer 3.4
Dobijte dvije verzije kanonskog opisa i odgovarajuće blok dijagrame za sistem čiji model ima oblik
Koristimo prikaz funkcije prijenosa u obliku (3.64) i za nju zapisujemo operatorske jednadžbe
sa kojeg prelazimo na blok dijagram prikazan na sl. 3.45.
Rice. 3.45. Strukturni dijagram koji odgovara prvom kanonskom obliku
Na osnovu ovog blok dijagrama zapisujemo jednadžbe prvog kanonskog oblika u formu
Da bismo prešli na drugi kanonski oblik, predstavimo funkciju prijenosa sistema u obliku (3.65) i za nju napišemo sljedeće operatorske jednačine:
što odgovara blok dijagramu prikazanom na sl. 3.46.
Rice. 3.46. Strukturni dijagram koji odgovara drugom kanonskom obliku
Zapišimo sada model sistema u obliku drugog kanonskog oblika
3.6. Obim primjene konstruktivne metode
Strukturna metoda je pogodna za proračun linearnih automatskih sistema, ali ima svoja ograničenja. Metoda uključuje korištenje prijenosnih funkcija, pa se po pravilu može koristiti pod nultim početnim uvjetima.
Kada koristite strukturnu metodu, morate se pridržavati sljedećeg pravila: prilikom bilo koje transformacije sistema, njegov redoslijed ne bi trebao opadati, odnosno smanjenje identičnih faktora u brojniku i nazivniku prijenosne funkcije je neprihvatljivo. Smanjenjem identičnih faktora izbacujemo iz sistema stvarno postojeće veze. Ilustrujmo ovu izjavu jednim primjerom.
Primjer 3.5
Razmotrimo sistem koji se sastoji od integrirajućih i diferencirajućih veza, koje su povezane u seriju.
Prva opcija za povezivanje veza prikazana je na Sl. 3.47.
Koristeći strukturne transformacije, nalazimo opću prijenosnu funkciju
Iz ovoga proizilazi da je takvo povezivanje karika ekvivalentno vezi bez inercije, odnosno signal na izlazu sistema ponavlja signal na njegovom ulazu. To ćemo pokazati razmatranjem jednačina pojedinačnih karika. Izlazni signal integrirajuće veze određen je relacijom
gdje je početni uslov na integratoru. Signal na izlazu diferencirajuće veze, a time i cijelog sistema, ima oblik
što odgovara zaključku donesenom na osnovu analize ukupne prijenosne funkcije veza.
Druga opcija za povezivanje veza prikazana je na Sl. 3.48, tj. linkovi su zamijenjeni. Prijenosna funkcija sistema je ista kao u prvom slučaju,
Međutim, sada izlaz sistema ne prati ulazni signal. Ovo se može potvrditi razmatranjem jednačina veza. Signal na izlazu diferencirajućeg elementa odgovara jednačini
a na izlazu iz sistema je određena relacijom
Kao što vidimo, u drugom slučaju, izlazni signal se razlikuje od signala na izlazu prvog sistema za vrijednost početne vrijednosti, uprkos činjenici da oba sistema imaju istu prijenosnu funkciju.
Zaključak
Ovaj odjeljak razmatra dinamičke karakteristike tipičnih veza koje čine upravljačke sisteme proizvoljne konfiguracije. Razmatraju se karakteristike strukturnih dijagrama izgrađenih na osnovu prijenosnih funkcija i diferencijalnih jednadžbi. Date su dvije metode prijelaza sa funkcije prijenosa sistema preko strukturnih dijagrama na njegove modele u obliku varijabli stanja, koje odgovaraju različitim kanonskim oblicima.
Treba napomenuti da predstavljanje sistema u obliku strukturnog dijagrama omogućava u nekim slučajevima da se proceni njegova statika i dinamika i u suštini daje strukturni portret sistema.
3.1. Nacrtajte blok dijagram sistema, diferencijalna jednadžba koji ima oblik:
A) 
V) 
3.2. Nacrtajte blok dijagram sistema čiji je model predstavljen u varijablama stanja:
A) 
b) 
V) 
G) 
3.3. Odredite funkcije prijenosa sistema ako njihovi strukturni dijagrami imaju oblik prikazan na sl. 3.49.
Rice. 3.49. Blok dijagrami za zadatak 3.3
|
|
3.4. Blok dijagrami sistema su poznati (slika 3.50). Zabilježite njihove modele u varijablama stanja.
Rice. 3.50. Blok dijagrami za zadatak 3.4
3.5. Blok dijagram sistema je poznat (slika 3.51).
Rice. 3.51.
1. Odrediti prijenosnu funkciju pod pretpostavkom da
2. Odrediti prijenosnu funkciju pod pretpostavkom
3. Zapišite sistemski model u varijablama stanja.
 |
4. Ponovite pasuse. 1 i 2 za sistem, čiji je blok dijagram prikazan na sl. 3.52.
Rice. 3.52. Blok dijagram za problem 3.5
3.6 .
3.7. Nacrtajte blok dijagram koji odgovara prvom kanonskom obliku opisa sistema koji ima funkciju prijenosa
1. Zapišite prvi kanonski oblik.
2. Nacrtajte blok dijagram koji odgovara drugom kanonskom obliku opisa sistema.
3. Zapišite drugi kanonski oblik.
3.8. Nacrtajte blok dijagram koji odgovara prvom kanonskom obliku opisa sistema koji ima funkciju prijenosa
1. Zapišite prvi kanonski oblik.
2. Nacrtajte blok dijagram koji odgovara drugom kanonskom obliku opisa sistema.
3. Zapišite drugi kanonski oblik.
Književnost
1. Andreev Yu.N. Upravljanje linearnim objektima konačnih dimenzija. - M.: Nauka, 1978.
2. Besekersky V.A..,Popov E.P.. Teorija automatska regulacija. - M.: Nauka, 1974.
3. Erofeev A. A. Teorija automatskog upravljanja. - Sankt Peterburg: Politehnika, 1998.
4. Ivashchenko N.N. Automatska regulacija. - M.: Mašinostroenie, 1978.
5. Pervozvansky A.A. Kurs teorije automatskog upravljanja. - M.: Više. škola, 1986.
6. Popov E.P. Teorija linearni sistemi automatska regulacija i kontrola. - M.: Više. škola, 1989.
7. Konovalov G.F. Radio automatizacija. - M.: Više. škola, 1990.
8. Phillips H.,Harbour R. Sistemi kontrole povratnih informacija. - M.: Laboratorija za osnovna znanja, 2001.
LINEARNI SISTEMI
AUTOMATSKA KONTROLA
Izdavačka kuća Omsk State Technical University
Ministarstvo prosvjete i nauke Ruska Federacija
Država obrazovne ustanove
viši stručno obrazovanje
"Omski državni tehnički univerzitet"
LINEARNI SISTEMI
AUTOMATSKA KONTROLA
Smjernice za praktičan rad
Izdavačka kuća Omsk State Technical University
Sastavio E. V. Shendaleva, Ph.D. tech. nauke
Publikacija sadrži smjernice izvoditi praktičan rad na teoriji automatskog upravljanja.
Namijenjeno studentima specijalnosti 200503 „Standardizacija i sertifikacija“, koji izučavaju disciplinu „Osnove automatskog upravljanja“.
Objavljuje se odlukom uređivačko-izdavačkog vijeća
Državni tehnički univerzitet u Omsku
© GOU VPO "Država Omsk
Tehnički univerzitet", 2011
Potreba za korištenjem metodologije teorije upravljanja za stručnjake za standardizaciju i certifikaciju javlja se kada se utvrđuje:
1) kvantitativne i (ili) kvalitativne karakteristike svojstava ispitnog objekta kao rezultat utjecaja na njega tokom njegovog rada, prilikom modeliranja objekta i (ili) utjecaja, čiji zakon promjene mora biti osiguran pomoću automatskog sistem kontrole;
2) dinamičke osobine mernog i ispitnog objekta;
3) uticaj dinamičkih svojstava mernih instrumenata na rezultate merenja i ispitivanja objekta.
Metode proučavanja objekata razmatraju se u praktičnim radovima.
Praktični rad 1
Dinamičke funkcije
Vježbajte 1.1
Pronađite funkciju težine w(t) prema poznatoj prijelaznoj funkciji
h(t) = 2(1–e –0,2 t).
Rješenje
w(t)=h¢( t), dakle, prilikom razlikovanja izvornog izraza
w(t)=0,4e –0,2 t .
Vježbajte 1.2
Pomoću diferencijalne jednadžbe 4 pronađite prijenosnu funkciju sistema y¢¢( t) + 2y¢( t) + 10y(t) = 5x(t). Početni uslovi su nula.
Rješenje
Diferencijalna jednačina se pretvara u standardni oblik dijeljenjem sa koeficijentom člana y(t)
0,4y¢¢( t) + 0,2y¢( t) + y(t) = 0,5x(t).
Rezultirajuća jednačina se transformira prema Laplaceu
0,4s 2 y(s) + 0,2sy(s) + y(s) = 0,5x(s)
a zatim napisano kao prijenosna funkcija:
Gdje s= a + i w je Laplaceov operator.
Vježbajte 1.3
Pronađite prijenosnu funkciju W(s) sistemi koji koriste poznatu funkciju težine w(t)=5–t.
Rješenje
Laplaceova transformacija
. (1.1)
Korištenje odnosa između funkcije prijenosa i funkcije ponderiranja W(s) = w(s), dobijamo
.
Laplaceova transformacija se može dobiti proračunom (1.1), korištenjem tablica Laplaceove transformacije ili korištenjem paketa softver Matlab. Program u Matlabu je dat u nastavku.
syms s t
x=5-t% vremena funkcija
y=laplace(x)% Laplaceova transformirana funkcija.
Vježbajte 1.4
Koristeći prijenosnu funkciju sistema, pronađite njegov odgovor na radnju u jednom koraku (prijelazna funkcija)
.
Rješenje
Inverzna Laplaceova transformacija
, (1.2)
gdje je c apscisa konvergencije x(s).
Po principu superpozicije, važi za linearne sisteme
h(t)=h 1 (t)+h 2 (t),
Gdje h(t) – prelazna funkcija cijelog sistema;
h 1 (t) – funkcija prijelaza integrirajuće veze
;
h 2 (t) – prelazna funkcija sekcije pojačala
.
To je poznato h 1 (t)=k 1× t, h 2 (t)=k 2 ×δ( t), Zatim h(t)=k 1× t+k 2 ×δ( t).
Inverzna Laplaceova transformacija se može dobiti proračunom (1.2), korištenjem tablica Laplaceove transformacije ili korištenjem Matlab softverskog paketa. Program u Matlabu je dat u nastavku.
syms s k1 k2% simbolička oznaka varijable
y=k1/s+k2% Laplaceova transformirana funkcija
x=ilaplace(y)% vremena funkcija.
Vježbajte 1.5
Pronađite amplitudno-frekvencijsku i fazno-frekvencijsku karakteristiku koristeći poznatu prijenosnu funkciju sistema
.
Rješenje
Da bi se odredile amplitudno-frekventne (AFC) i fazno-frekventne karakteristike (PFC), potrebno je prijeći sa prijenosne funkcije na amplitudno-faznu karakteristiku W(i w), zašto mijenjati argument s → i w
.
Zatim predstavite AFC u obrascu W(i w)= P(w)+ iQ(w), gdje P(w) – pravi dio, Q(w) je imaginarni dio AFC-a. Da biste dobili stvarne i imaginarne dijelove AFC-a, potrebno je pomnožiti brojilac i nazivnik kompleksnim brojem koji je konjugiran s izrazom u nazivniku:
Frekvencijski i fazni odziv određuju se formulama
, 
;
, 
Amplitudno-fazna karakteristika W(j w) može se predstaviti u obliku
.
Vježbajte 1.6
Definirajte signal y(t) na izlazu sistema na osnovu poznatog ulaznog signala i prijenosne funkcije sistema
x(t)=2sin10 t; 
.
Poznato je da kada je izložen ulaznom signalu x(t)=B sinw t izlazni signal sistemu y(t) će također biti harmoničan, ali će se razlikovati od ulazne amplitude i faze
y(t) = B× A(w)grijeh
Gdje A(w) – frekvencijski odziv sistema; j(w) – fazni odziv sistema.
Koristeći prijenosnu funkciju određujemo frekvencijski i fazni odziv
j(w)=–arctg0.1w.
Na frekvenciji w = 10s –1 A(10) = 4/ = 2 i j(10) = –arctg1=–0,25p.
Onda y(t) = 2×2 sin(10 t–0,25p) = 4 sin(10 t-0,25p).
1. Definirajte koncept težinske funkcije.
2. Definirajte pojam prijelazne funkcije.
3. U koju svrhu se koristi Laplaceova transformacija pri opisivanju dinamičkih veza?
4. Koje se jednadžbe nazivaju linearnim diferencijalom?
5. U koju svrhu, kada se prelazi na jednadžbu u obliku operatora, originalna diferencijalna jednačina se transformiše u standardni oblik?
6. Kako se izraz sa imaginarnim brojem eliminira iz nazivnika amplitudno-fazne karakteristike?
7. Odredite direktnu naredbu Laplace transformacije u softverskom paketu Matlab.
8. Odredite komandu inverzne Laplaceove transformacije u softverskom paketu Matlab.
Praktični rad 2
Transfer funkcije
Vježbajte 2.1
Pronađite prijenosnu funkciju sistema na osnovu njegovog strukturnog dijagrama.
Rješenje
Glavni načini povezivanja veza u blok dijagramima su: paralelni, serijski i povezujući linkovi sa povratnom spregom (tipični dijelovi veza).
Prijenosna funkcija sistema paralelno povezanih veza jednaka je zbiru prijenosnih funkcija pojedinih veza (slika 2.1)
. (2.1)
Rice. 2.1. Paralelno povezivanje veza
Prijenosna funkcija sistema serijski povezanih veza jednaka je umnošku prijenosnih funkcija pojedinačnih karika (slika 2.2)
(2.2)
Rice. 2.2. Serijsko povezivanje karika
Povratna informacija je prijenos signala sa izlaza veze na njen ulaz, gdje se signal povratne sprege algebarski sabira sa eksternim signalom (slika 2.3).
Rice. 2.3 Veza sa povratnom spregom: a) pozitivna, b) negativna
Prijenosna funkcija veze s pozitivnom povratnom spregom
, (2.3)
prijenosna funkcija veze s negativnom povratnom spregom
. (2.4)
Definicija prijenosne funkcije složen sistem upravljanje se odvija u fazama. Da biste to učinili, identificiraju se sekcije koje sadrže serijske, paralelne veze i veze sa povratnom spregom (tipični dijelovi veza) (slika 2.4)
W 34 (s)=W 3 (s)+W 4 (s); 
.
Rice. 2.4. Blok dijagram sistema upravljanja
Zatim se odabrani tipični dio veza zamjenjuje jednom vezom sa izračunatom prijenosnom funkcijom i postupak proračuna se ponavlja (sl. 2.5 - 2.7).
Rice. 2.5. Zamjena paralelnih i zatvorenih veza sa jednom vezom
Rice. 2.6. Zamjena povratne veze jednom vezom
Rice. 2.7. Zamjena serijske veze jednom vezom
(2.5)
Vježbajte 2.2
Odredi prijenosnu funkciju ako su prijenosne funkcije njenih sastavnih dijelova:
Rješenje
Prilikom zamjene u (2.5) prijenosne funkcije karika
Transformacija blok dijagrama u odnosu na ulaznu kontrolnu akciju (sl. 2.7, 2.11) može se dobiti proračunom (2.5) ili korištenjem softverskog paketa Matlab. Program u Matlabu je dat u nastavku.
W1=tf(,)% Funkcija prijenosa W 1
W2=tf(,)% Funkcija prijenosa W 2
W3=tf(,)% Funkcija prijenosa W 3
W4=tf(,)% Funkcija prijenosa W 4
W5=tf(,)% Funkcija prijenosa W 5
W34=paralelno (W3,W4)% paralelne veze ( W 3 + W 4)
W25=povratna informacija (W2,W5)
W134=povratna informacija (W1,W34)% negativnih povratnih informacija
W12345=serija (W134,W25)% serijske veze ( W 134× W 25)
W=povratna informacija (W12345,1)
Vježbajte 2.3.
Naći prijenosnu funkciju sistema zatvorene petlje na osnovu smetnji
Rješenje
Da bi se odredila prijenosna funkcija složenog sistema od remećejućeg utjecaja, potrebno ju je pojednostaviti i razmotriti u odnosu na remeteći ulazni utjecaj (sl. 2.8 - 2.12).
Sl.2.8. Početni blok dijagram automatskog sistema
Rice. 2.9. Pojednostavljenje blok dijagrama
Rice. 2.10. Pojednostavljeni blok dijagram
Rice. 2.11. Blok dijagram u odnosu na radnju kontrole ulaza
Rice. 2.12. Blok dijagram sistema u odnosu na ometajući uticaj
Nakon dovođenja strukturnog dijagrama na jednokružno, prijenosna funkcija za remeteći utjecaj f(t)
(2.6)
Transformacija strukturnog dijagrama s obzirom na ometajući utjecaj (slika 2.12) može se dobiti proračunom (2.6) ili korištenjem softverskog paketa Matlab.
W1=tf(,)% Funkcija prijenosa W 1
W2=tf(,)% Funkcija prijenosa W 2
W3=tf(,)% Funkcija prijenosa W 3
W4=tf(,)% Funkcija prijenosa W 4
W5=tf(,)% Funkcija prijenosa W 5
W34=paralelno (W3,W4)% paralelna veza
W25=povratna informacija (W2,W5)% negativnih povratnih informacija
W134=povratna informacija (W1,W34)% negativnih povratnih informacija
Wf=povratna informacija (W25,W134)% negativnih povratnih informacija.
Vježbajte 2. 4
Odredite prijenosnu funkciju zatvorene petlje za grešku.
Rješenje
Blok dijagram za određivanje funkcije prijenosa sistema zatvorene petlje za upravljačku grešku prikazan je na Sl. 2.13.
Rice. 2.13. Blok dijagram sistema u vezi greške upravljanja
Funkcija prijenosa zatvorene petlje za grešku
(2.7)
Prilikom zamjene numeričke vrijednosti
Transformacija blok dijagrama u odnosu na signal kontrolne greške (slika 2.13) može se dobiti proračunom (2.7) ili korišćenjem softverskog paketa Matlab.
W1=tf(,)% Funkcija prijenosa W 1
W2=tf(,)% Funkcija prijenosa W 2
W3=tf(,)% Funkcija prijenosa W 3
W4=tf(,)% Funkcija prijenosa W 4
W5=tf(,)% Funkcija prijenosa W 5
W34=paralelno (W3,W4)% paralelne veze)
W25=povratna informacija (W2,W5)% negativnih povratnih informacija
W134=povratna informacija (W1,W34)% negativnih povratnih informacija
Mi=povratna informacija (1,W134*W25)% negativnih povratnih informacija
Kontrolna pitanja:
1. Navedite glavne načine povezivanja veza u blok dijagramima.
2. Odrediti prijenosnu funkciju sistema paralelno povezanih veza.
3. Odrediti prijenosnu funkciju sistema serijski povezanih karika.
4. Definirajte prijenosnu funkciju pozitivne povratne informacije.
5. Definirajte prijenosnu funkciju negativne povratne sprege.
6. Odredite prijenosnu funkciju komunikacijske linije.
7. Koja Matlab naredba se koristi za određivanje prijenosne funkcije dvije paralelno povezane veze?
8. Koja Matlab naredba se koristi za određivanje prijenosne funkcije dvije serijski spojene veze?
9. Koja Matlab komanda se koristi za određivanje funkcije prijenosa veze pokrivene povratnom spregom?
10. Nacrtajte blok dijagram sistema da odredite funkciju prijenosa za kontrolnu akciju.
11. Napišite prijenosnu funkciju za kontrolnu akciju.
12. Nacrtajte blok dijagram sistema da odredite funkciju prijenosa na osnovu parametra koji ometa.
13. Napišite prijenosnu funkciju za parametar koji ometa.
14. Nacrtati blok dijagram sistema za određivanje prijenosne funkcije za upravljačku grešku.
15. Napišite prijenosnu funkciju za kontrolnu grešku.
Praktični rad 3
Dekompozicija kompleksne funkcije prijenosa
Laplaceova transformacija DE omogućava uvođenje prikladnog koncepta prijenosne funkcije koja karakterizira dinamička svojstva sistema.
Na primjer, jednadžba operatora
3s 2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)
može se transformirati tako što se X(s) i Y(s) izvuku iz zagrada i dijele jedno s drugim:
Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)
Rezultirajući izraz naziva se prijenosna funkcija.
Transfer funkcija naziva se odnos slike izlaznog efekta Y(s) i slike ulaza X(s) pod nultim početnim uslovima.
(2.4)
Prijenosna funkcija je frakciona racionalna funkcija kompleksne varijable:
,
gdje je B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - brojevni polinom,
A(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + a n s n - polinom nazivnika.
Prijenosna funkcija ima red koji je određen redoslijedom polinoma nazivnika (n).
Iz (2.4) proizilazi da se slika izlaznog signala može naći kao
Y(s) = W(s)*X(s).
Budući da prijenosna funkcija sistema u potpunosti određuje njegova dinamička svojstva, početni zadatak izračunavanja ASR svodi se na određivanje njegove prijenosne funkcije.
Primjeri tipičnih veza
Veza u sistemu je element koji ima određena svojstva na dinamičan način. Linkovi upravljačkih sistema mogu imati različite fizičke prirode (električne, pneumatske, mehaničke, itd. veze), ali se opisuju istim daljinskim upravljačem, a odnos ulaznih i izlaznih signala u vezama se opisuje istim prenosnim funkcijama.
U TAU-u se razlikuje grupa najjednostavnijih jedinica, koje se obično nazivaju tipičnim. Statičke i dinamičke karakteristike tipičnih veza su u potpunosti proučene. Standardne veze se široko koriste u određivanju dinamičkih karakteristika kontrolnih objekata. Na primjer, znajući prijelazni odziv konstruiran pomoću uređaja za snimanje, često je moguće odrediti kojoj vrsti veza pripada kontrolni objekt, a samim tim i njegovu prijenosnu funkciju, diferencijalnu jednačinu itd., tj. objektni model. Tipične veze Svaka složena veza može se predstaviti kao veza jednostavnijih veza.
Najjednostavniji tipični linkovi uključuju:
· intenziviranje,
· inercijalni (aperiodični 1. reda),
integrisanje (stvarno i idealno),
razlikovanje (stvarno i idealno),
· aperiodični 2. red,
· oscilatorno,
· odloženo.
1) Ojačavajuća veza.
Veza pojačava ulazni signal za K puta. Jednačina veze y = K*x, prijenosna funkcija W(s) = K. Parametar K se naziva dobitak
.
Izlazni signal takve veze tačno ponavlja ulazni signal, pojačan za K puta (vidi sliku 1.18).
Sa stepenastim djelovanjem h(t) = K.
Primjeri takvih veza su: mehanički prijenosi, senzori, pojačala bez inercije, itd.
2) Integrisanje.
2.1) Idealna integracija.
Izlazna vrijednost idealne integrirajuće veze je proporcionalna integralu ulazne vrijednosti:
; W(s) =
Kada se na ulaz primijeni poveznica koraka x(t) = 1, izlazni signal se stalno povećava (vidi sliku 1.19):
Ovaj link je astatičan, tj. nema stabilno stanje.
Primjer takve veze je posuda napunjena tekućinom. Ulazni parametar je brzina protoka ulazne tečnosti, izlazni parametar je nivo. U početku je kontejner prazan i u nedostatku protoka nivo je nula, ali ako uključite dovod tekućine, nivo počinje ravnomjerno rasti.
2.2) Prava integracija.
Prijenosna funkcija ove veze ima oblik
Odziv tranzicije, za razliku od idealne veze, je kriva (vidi sliku 1.20):
h(t) = K . (t – T) + K . T. e - t / T .
Primjer integrirajuće veze je DC motor sa nezavisnom pobudom, ako se napon napajanja statora uzme kao ulazni efekat, a ugao rotacije rotora kao izlazni efekat. Ako se napon ne dovodi do motora, tada se rotor ne pomiče i njegov kut rotacije može se uzeti jednak nuli. Kada se primeni napon, rotor počinje da se okreće, a njegov ugao rotacije je najpre polagano zbog inercije, a zatim se povećava brže dok se ne postigne određena brzina rotacije.
3) Diferenciranje.
3.1) Idealan diferencijator.
Izlazna količina je proporcionalna vremenskom izvodu ulaza:
Sa postupnim ulaznim signalom, izlazni signal je impuls (d-funkcija): h(t) = K. d(t).
3.2) Pravo razlikovanje.
Idealne diferencirajuće veze nisu fizički ostvarive. Većina objekata koji predstavljaju diferencirajuće veze pripadaju stvarnim diferencirajućim vezama, čije prijenosne funkcije imaju oblik
Prijelazna karakteristika: .
Primjer veze: električni generator. Ulazni parametar je ugao rotacije rotora, izlazni parametar je napon. Ako se rotor zakrene pod određenim kutom, napon će se pojaviti na terminalima, ali ako se rotor ne rotira dalje, napon će pasti na nulu. Ne može naglo pasti zbog prisustva induktivnosti u namotu.
4) Aperiodični (inercijalni).
Ova veza odgovara DE i PF obrasca
; W(s) = .
Odredimo prirodu promjene izlazne vrijednosti ove veze kada se na ulaz primjenjuje postepeni utjecaj vrijednosti x 0.
Slika efekta koraka: X(s) = . Tada je slika izlazne količine:
Y(s) = W(s) X(s) = = K x 0 .
Podijelimo razlomak na proste:
= + = 
= - = -
Original prvog razlomka prema tabeli: L -1 ( ) = 1, drugog:
Onda konačno dobijamo
y(t) = K x 0 (1 - ).
Konstanta T se zove vremenska konstanta.
Većina termalnih objekata su aperiodične veze. Na primjer, kada se napon dovede na ulaz električne peći, njena temperatura će se promijeniti po sličnom zakonu (vidi sliku 1.22).
5) Linkovi drugog reda
Linkovi imaju daljinsko upravljanje i PF forme
,
W(s) = 
.
Kada se efekt koraka sa amplitudom x 0 primeni na ulaz, prelazna kriva će imati jedan od dva tipa: aperiodična (pri T 1 ³ 2T 2) ili oscilatorna (na T 1< 2Т 2).
U tom smislu razlikuju se veze drugog reda:
· aperiodični 2. reda (T 1 ³ 2T 2),
· inercijalni (T 1< 2Т 2),
· konzervativno (T 1 = 0).
6) Odloženo.
Ako, kada se određeni signal primijeni na ulaz objekta, on ne reagira na taj signal odmah, već nakon nekog vremena, onda se kaže da objekt ima kašnjenje.
Lag– ovo je vremenski interval od trenutka promjene ulaznog signala do početka promjene izlaznog signala.
Veza koja zaostaje je veza u kojoj izlazna vrijednost y tačno ponavlja ulaznu vrijednost x s određenim kašnjenjem t:
y(t) = x(t - t).
Funkcija prijenosa veze:
W(s) = e - t s .
Primjeri kašnjenja: kretanje tekućine duž cjevovoda (koliko je tekućine ispumpano na početku cjevovoda, toliko će je izaći na kraju, ali nakon nekog vremena dok se tečnost kreće kroz cijev), kretanje tereta duž transportera (kašnjenje je određeno dužinom transportera i brzinom trake) itd. .d.
Link veze
Budući da je predmet koji se proučava, radi pojednostavljenja analize njegovog funkcionisanja, podijeljen na veze, onda se nakon određivanja prijenosnih funkcija za svaku vezu postavlja zadatak njihovog kombinovanja u jednu prijenosnu funkciju objekta. Vrsta prijenosne funkcije objekta ovisi o redoslijedu povezivanja veza:
1) Serijska veza.
W obrt = W 1. W2. W 3...
Kada su veze povezane u seriju, njihov prijenos funkcionira umnožiti.
2) Paralelna veza.
W rev = W 1 + W 2 + W 3 + …
Kada su linkovi povezani paralelno, njihov prijenos funkcionira uspravljanje.
3) Povratne informacije
Prijenosna funkcija prema referenci (x):
“+” odgovara negativnom OS,
"-" - pozitivno.
Da bi se odredile funkcije prijenosa objekata sa složenijim vezama veza, koristi se ili sekvencijalno povećanje kruga ili se oni pretvaraju pomoću Mesonove formule.
Prijenosne funkcije ASR-a
Za istraživanje i proračun, strukturni dijagram ASR-a kroz ekvivalentne transformacije sveden je na najjednostavniji standardni pogled“objekat - regulator” (vidi sliku 1.27). Skoro sve inženjerske metode Za takvu standardnu strukturu primjenjuju se proračuni i određivanje postavki regulatora.
IN opšti slučaj bilo koji jednodimenzionalni ASR sa glavnom povratnom spregom može se dovesti u ovaj oblik postepenim povećanjem veza.
Ako se izlaz sistema y ne dovodi na njegov ulaz, tada se dobija upravljački sistem otvorene petlje, čija je prijenosna funkcija definirana kao proizvod:
W ¥ = W p . W y
(W p - PF regulatora, W y - PF kontrolnog objekta).
|
|
|
Ova funkcija prijenosa Fz(s) određuje ovisnost y od x i naziva se prijenosna funkcija sistema zatvorene petlje duž kanala referentnog djelovanja (po referenci).
Za ASR postoje i funkcije prijenosa putem drugih kanala:
F e (s) = = - greškom,
F u (s) = = - poremećajem,
gdje je W (s) – funkcija prijenosa kontrolnog objekta kroz kanal za prijenos smetnji.
Što se tiče uzimanja u obzir smetnji, moguće su dvije opcije:
Poremećaj ima aditivni efekat na kontrolno dejstvo (vidi sliku 1.29a);
Poremećaj utiče na merenja kontrolisanog parametra (vidi sliku 1.29b).
Primjer prve opcije mogao bi biti utjecaj fluktuacija napona u mreži na napon koji regulator dovodi do grijaćeg elementa objekta. Primjer druge opcije: greške u mjerenju kontroliranog parametra zbog promjene temperature okruženje. W u.v. – model uticaja okoline na merenja.
Slika 1.30
Parametri K0 = 1, K1 = 3, K2 = 1,5, K4 = 2, K5 = 0,5.
U blok dijagramu ASR-a, veze koje odgovaraju upravljačkom uređaju stoje ispred karika kontrolnog objekta i generiraju kontrolnu akciju na objektu u. Dijagram pokazuje da krug regulatora uključuje veze 1, 2 i 3, a krug objekta uključuje veze 4 i 5.
Uzimajući u obzir da su veze 1, 2 i 3 spojene paralelno, dobijamo prijenosnu funkciju kontrolera kao zbir prijenosnih funkcija veza:
Linkovi 4 i 5 su povezani serijski, pa je funkcija prijenosa kontrolnog objekta definirana kao proizvod prijenosnih funkcija veza:
Funkcija prijenosa otvorene petlje:
iz čega je jasno da je brojilac B(s) = 1.5. s 2 + 3 . s + 1, nazivnik (takođe karakteristični polinom sistema otvorene petlje) A(s) = 2. s 3 + 3 . s 2 + s. Tada je karakteristični polinom zatvorenog sistema jednak:
D(s) = A(s) + B(s) = 2 . s 3 + 3 . s 2 + s + 1.5. s 2 + 3 . s + 1 = 2. s 3 + 4.5. s 2 + 4 . s+1.
Funkcije prijenosa sistema zatvorene petlje:
na zadatku 
,
greškom 
.
Prilikom određivanja prijenosne funkcije iz poremećaja uzima se W a.v. = W ou. Onda
. ¨
Krajnji cilj ACS analize je da se reši (ako je moguće) ili prouči diferencijalna jednačina sistema kao celine. Obično su poznate jednačine pojedinačnih karika koje čine ACS i javlja se srednji zadatak dobijanja diferencijalne jednačine sistema iz poznatih DE njegovih karika. U klasičnom obliku predstavljanja DE, ovaj zadatak je pun značajnih poteškoća. Korištenje koncepta prijenosne funkcije uvelike ga pojednostavljuje.
Neka je neki sistem opisan diferencijalnom jednačinom oblika.
Uvođenjem oznake = p, gdje se p naziva operatorom, ili simbolom diferencijacije, i sada tretiranjem ovog simbola kao običnog algebarski broj, nakon što izvučemo x i x uđemo iz zagrada, dobijamo diferencijalnu jednačinu ovog sistema u obliku operatora:
(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x van = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x in. (3.38)
Polinom u p na izlaznoj vrijednosti je
D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3.39)
se naziva svojstveni operator, a polinom na ulaznoj vrijednosti naziva se operator utjecaja
K(p) = b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3.40)
Prijenosna funkcija je omjer operatora utjecaja prema sopstveni operater:
W(p) = K(p)/D(p) = x out / x in. (3.41)
U nastavku ćemo skoro svuda koristiti operatorski oblik pisanja diferencijalnih jednačina.
Vrste veza veza i algebra prijenosnih funkcija.
Dobijanje funkcije prijenosa automatskog upravljačkog sistema zahtijeva poznavanje pravila za pronalaženje prijenosnih funkcija grupa veza u kojima su veze međusobno povezane na određeni način. Postoje tri vrste veza.
1. Sekvencijalni, u kojem je izlaz prethodne veze ulaz za sljedeći (slika 3.12):
| x out |
Rice. 3.14. Back-to-back - paralelna veza.
U zavisnosti od toga da li se signal povratne sprege x dodaje ulaznom signalu xin ili se od njega oduzima, razlikuju se pozitivna i negativna povratna sprega.
Još uvijek na osnovu svojstva prijenosne funkcije možemo pisati
W 1 (p) =x out /(x in ±x); W 2 (p) = x/x izlaz; W c =x izlaz / x ulaz. (3.44)
Eliminirajući unutrašnju koordinatu x iz prve dvije jednadžbe, dobivamo prijenosnu funkciju za takvu vezu:
W c (p) = W 1 (p)/ . (3.45)
Treba imati na umu da u posljednjem izrazu odgovara znak plus negativan povratne informacije.
U slučaju kada veza ima više ulaza (kao što je, na primjer, kontrolni objekt), razmatra se nekoliko funkcija prijenosa ove veze, koje odgovaraju svakom od ulaza, na primjer, ako jednačina veze ima oblik
D(p)y = K x (p)x + K z (p)z (3.46)
gdje su K x (p) i K z (p) operatori utjecaja na ulaze x i z, redom, tada ova veza ima prijenosne funkcije na ulazima x i z:
W x (p) = K x (p)/D(p); W z (p) = K z (p)/D(p). (3.47)
U budućnosti, da bismo smanjili unose u izraze funkcija prijenosa i odgovarajućih operatora, izostavit ćemo argument “p”.
Iz zajedničkog razmatranja izraza (3.46) i (3.47) proizilazi da
y = W x x+W z z, (3.48)
to jest, u općem slučaju, izlazna vrijednost bilo koje veze s nekoliko ulaza jednaka je zbroju proizvoda ulaznih vrijednosti i prijenosnih funkcija za odgovarajuće ulaze.
Prijenosna funkcija ACS-a na osnovu smetnji.
Uobičajeni oblik ACS strukture, koji radi na devijaciji kontrolirane varijable, je sljedeći:
| W o z =K z /D objekt W o x =K x /D |
| W p y |
| z |
| y |
| -x |
Sl.3.15. Zatvoreni ATS.
Obratimo pažnju na činjenicu da se regulatorni uticaj primjenjuje na objekt sa promijenjenim predznakom. Veza između izlaza objekta i njegovog ulaza kroz regulator naziva se glavna povratna sprega (za razliku od moguće dodatne povratne sprege u samom regulatoru). Prema samom filozofskom značenju regulacije, usmjereno je djelovanje regulatora smanjenje odstupanja kontrolisana varijabla, a samim tim glavna povratna informacija je uvijek negativna. Na sl. 3.15:
W o z - prijenosna funkcija objekta po smetnji;
W o x - prijenosna funkcija objekta prema regulatornom utjecaju;
W p y - prijenosna funkcija regulatora prema devijaciji y.
Diferencijalne jednadžbe postrojenja i regulatora izgledaju ovako:
y=W o x x +W o z z
x = - W p y y. (3.49)
Zamijenivši x iz druge jednačine u prvu i izvršivši grupisanje, dobijamo ATS jednačinu:
(1+W o x W p y)y = W o z z . (3.50)
Otuda funkcija prijenosa ACS-a za smetnje
W c z = y/z =W o z /(1+W o x W p y) . (3.51)
Na sličan način možete dobiti funkciju prijenosa ACS-a za kontrolnu akciju:
W c u = W o x W p u /(1+W o x W p y) , (3.52)
gdje je W p u prijenosna funkcija regulatora prema kontrolnom djelovanju.
3.4 Prisilne oscilacije i frekvencijske karakteristike ACS-a.
U realnim radnim uslovima, ACS je često izložen periodičnim remetalnim silama, koje su praćene periodičnim promenama kontrolisanih veličina i regulatornim uticajima. To su, na primjer, vibracije broda pri plovidbi po uzburkanom moru, fluktuacije brzine rotacije propelera i druge veličine. U nekim slučajevima amplitude oscilacija izlaznih veličina sistema mogu dostići neprihvatljivo velike vrednosti, a to odgovara fenomenu rezonancije. Posljedice rezonancije su često katastrofalne za sistem koji je doživljava, na primjer, prevrnuće se brod, uništi motor. U sistemima upravljanja takve pojave su moguće kada se svojstva elemenata mijenjaju zbog habanja, zamjene, rekonfiguracije ili kvarova. Tada postoji potreba ili da se odredi bezbedni opseg radnih uslova ili da se pravilno konfiguriše ACS. Ova pitanja će se ovdje razmatrati jer se primjenjuju na linearne sisteme.
Neka neki sistem ima strukturu prikazanu ispod:
| x=A x sinωt |
| y=A y sin(ωt+φ) |
Sl.3.16. ACS u režimu prinudne oscilacije.
Ako je sistem podložan periodičnom uticaju x sa amplitudom A x i kružnom frekvencijom w, tada će nakon završetka procesa tranzicije oscilacije iste frekvencije sa amplitudom A y i pomerene u odnosu na ulazne oscilacije za fazni ugao j biti uspostavljen na izlazu. Parametri izlaznih oscilacija (amplituda i fazni pomak) zavise od frekvencije pokretačke sile. Zadatak je odrediti parametre izlaznih oscilacija iz poznatih parametara oscilacija na ulazu.
U skladu sa ACS prijenosnom funkcijom prikazanom na slici 3.14, njena diferencijalna jednadžba ima oblik
(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3.53)
Zamijenimo u (3.53) izraze za x i y prikazane na sl. 3.14:
(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=
=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3.54)
Ako uzmemo u obzir da je uzorak oscilacije pomaknut za četvrtinu perioda, tada će u jednadžbi (3.54) sinusne funkcije biti zamijenjene kosinusnim funkcijama:
(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=
=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3.55)
Pomnožimo jednačinu (3.54) sa i = i dodajmo rezultat sa (3.55):
(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =
= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3.56)
Koristeći Ojlerovu formulu
exp(±ibt)=cosbt±isinbt,
Svedujmo jednačinu (3.56) na oblik
(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=
= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3.57)
Izvršimo operaciju diferencijacije s obzirom na vrijeme koje daje operator p=d/dt:
A y exp=
A x exp(iwt). (3.58)
Nakon jednostavnih transformacija povezanih sa redukcijom za exp(iwt), dobijamo
Desni deo izraz (3.59) sličan je izrazu prijenosne funkcije ACS-a i može se dobiti iz njega zamjenom p=iw. Po analogiji, naziva se kompleksna funkcija prijenosa W(iw), ili amplitudno-fazna karakteristika (APC). Često se koristi i termin frekvencijski odziv. Jasno je da je ovaj razlomak funkcija kompleksnog argumenta i da se također može predstaviti u ovom obliku:
W(iw) = M(w) +iN(w), (3.60)
gdje su M(w) i N(w) stvarne i imaginarne frekvencijske karakteristike, respektivno.
Omjer A y / A x je AFC modul i funkcija je frekvencije:
A y / A x = R (w)
i naziva se amplitudno-frekvencijski odziv (AFC). Faza
pomak j =j (w) je također funkcija frekvencije i naziva se fazni frekvencijski odziv (PFC). Izračunavanjem R(w) i j(w) za opseg frekvencija (0…¥), moguće je konstruisati AFC graf na kompleksnoj ravni u koordinatama M(w) i iN(w) (slika 3.17).
| ω |
| R(ω) |
| ω k.č |
| ω res |
Sl.3.18. Amplitudno-frekventne karakteristike.
Frekvencijski odziv sistema 1 pokazuje rezonantni pik koji odgovara najvećoj amplitudi prisilnih oscilacija. Rad u području blizu rezonantne frekvencije može biti katastrofalan i često je potpuno neprihvatljiv po pravilima rada određenog reguliranog objekta. Frekvencijski odziv tipa 2 nema rezonantni vrh i poželjniji je za mehaničke sisteme. Također se može vidjeti da kako se frekvencija povećava, amplituda izlaznih oscilacija opada. Fizički, ovo je lako objasniti: svaki sistem, zbog svojih inherentnih inercijskih svojstava, lakše je podložan ljuljanju niskim nego visokim frekvencijama. Počevši od određene frekvencije, izlazna oscilacija postaje zanemarljiva i ova frekvencija se naziva granična frekvencija, a opseg frekvencija ispod granične frekvencije naziva se širina pojasa. U teoriji automatskog upravljanja, granična frekvencija se uzima kao ona na kojoj je vrijednost frekvencijskog odziva 10 puta manja nego kod nulte frekvencije. Svojstvo sistema da priguši visokofrekventne vibracije naziva se svojstvo niskopropusnog filtera.
Razmotrimo metodu izračunavanja frekvencijskog odziva na primjeru veze drugog reda, čija je diferencijalna jednadžba
(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1)y = kx. (3.62)
U problemima prisilnih oscilacija često se koristi vizualniji oblik jednačine
(p 2 +2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3.63)
gdje se naziva vlastita frekvencija oscilacija u odsustvu prigušenja, x =T 1 w 0 /2 je koeficijent prigušenja.
Funkcija prijenosa izgleda ovako:
Zamjenom p = iw dobijamo amplitudno-faznu karakteristiku
Koristeći pravilo dijeljenja kompleksni brojevi, dobijamo izraz za frekvencijski odziv:
Odredimo rezonantnu frekvenciju na kojoj frekvencijski odziv ima maksimum. Ovo odgovara minimalnom nazivniku izraza (3.66). Izjednačavajući derivaciju nazivnika u odnosu na frekvenciju w na nulu, imamo:
2(w 0 2 - w 2)(-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3.67)
odakle dobijamo vrijednost rezonantne frekvencije koja nije jednaka nuli:
w res = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3.68)
Analizirajmo ovaj izraz, za koji razmatramo pojedinačne slučajeve koji odgovaraju različitim vrijednostima koeficijenta prigušenja.
1. x = 0. Rezonantna frekvencija je jednaka prirodnoj frekvenciji, a veličina frekvencijskog odziva se pretvara u beskonačnost. Ovo je slučaj takozvane matematičke rezonancije.
2. . Budući da je frekvencija izražena kao pozitivan broj, a iz (68) za ovaj slučaj se dobija ili nula ili imaginarni broj, slijedi da pri takvim vrijednostima koeficijenta prigušenja frekvencijski odziv nema rezonantni vrh (kriva 2 na slici 3.18).
3. . Frekvencijski odziv ima rezonantni vrh, a sa smanjenjem koeficijenta slabljenja, rezonantna frekvencija se približava svojoj i rezonantni vrh postaje viši i oštriji.
1. Prijenosne funkcije i frekvencijske karakteristike
Električni krug bilo koje složenosti, koji ima dva para terminala za povezivanje na izvor i prijemnik električne energije, naziva se u komunikacijskoj tehnologiji quadripole. Pozivaju se terminali na koje je povezan izvor unos, a terminali na koje je priključen prijemnik (opterećenje) su izlazni terminali (polovi).
IN opšti pogledČetvoropol je prikazan kao što je prikazano na sl. 1.1. Izvor je spojen na ulaz 1-1" četveropola električna energija sa kompleksnom efektivnom vrijednošću napona i unutrašnjim otporom. Opterećenje sa otporom je priključeno na izlazne stezaljke 2–2". Napon sa kompleksnom efektivnom vrijednošću se primjenjuje na ulazne terminale, a kompleksna efektivna vrijednost se primjenjuje na izlazne terminale. Struja sa kompleksnom efektivnom vrijednošću teče kroz ulazne terminale, a kompleksna efektivna vrijednost teče kroz izlazne terminale. Imajte na umu da druge mreže sa četiri terminala mogu djelovati kao izvor i prijemnik električne energije.
Na sl. 1.1 koriste se simbolične oznake za napone i struje. To znači da se analiza električnog kola provodi za harmonijsku vibraciju određene frekvencije. Za datu harmonijsku oscilaciju, može se odrediti prijenosna funkcija opterećene mreže s četiri priključka, što će biti omjer kompleksne efektivne vrijednosti izlazne električne veličine i kompleksne efektivne vrijednosti ulazne električne veličine.
Ako se ulazni uticaj smatra naponom generatora sa kompleksnom efektivnom vrednošću, a odgovor mreže sa dva terminala na ovaj uticaj je napon kompleksne efektivne vrednosti ili struja sa kompleksnom efektivnom vrednošću, onda dobijamo složene prijenosne funkcije općeg oblika:
, (1.1)
. (1.2)
U posebnim slučajevima, kada su specificirani utjecaji napon na ulaznim stezaljkama mreže s četiri terminala ili struja koja teče kroz te terminale, dobijaju se sljedeće četiri vrste prijenosnih funkcija:
– složeni koeficijent prijenosa napona (za aktivne mreže sa četiri terminala, na primjer pojačala, naziva se naponsko pojačanje);
– kompleksni koeficijent prijenosa struje (za aktivna kola – strujni dobitak);
– složeni prijenosni otpor;
– složena prijenosna provodljivost.
Često se koristi u teoriji kola normalizirana ili radna prijenosna funkcijačetveropol:
, (1.3)
koji se dobija normalizacijom (1.1) faktorom .
Kao i svaka složena količina N može se predstaviti u demonstrativnom obliku:
, (1.4)
gdje je modul kompleksne funkcije prijenosa, a j je njen argument.
Razmotrite složenu funkciju prijenosa napona
Zamjena u (1.5) zapis kompleksnih efektivnih vrijednosti
.
Iz poređenja ovog izraza sa (1.4) jasno je da
,
tj. modul kompleksne funkcije prijenosa napona (ili kompleksnog pojačanja napona) pokazuje koliko se puta mijenja efektivna vrijednost (amplituda) harmonijske oscilacije napona na izlazu kola u odnosu na istu vrijednost na ulazu kola, a argument ove funkcije određuje fazni pomak između harmonijskih oscilacija napona na ulazu i izlazu.
Na isti način možete pronaći:
.
Sve što je gore rečeno o koeficijentu prijenosa napona vrijedi i za koeficijent prijenosa struje.
Ako promijenimo frekvenciju harmonijske oscilacije, onda izraz (1.4) treba napisati u obliku:
. (1.6)
Poziva se funkcija frekvencije amplitudno-frekvencijski odziv kola(AFC). Pokazuje kakve promjene krug čini u amplitudama harmonijskih oscilacija na svakoj frekvenciji.
Poziva se funkcija frekvencije fazno-frekventna karakteristika kola(FCHH). U skladu s tim, ova karakteristika pokazuje kakav fazni pomak dobiva harmonska oscilacija svake frekvencije dok se širi kroz kolo.
Kompleksna prijenosna funkcija se također može predstaviti u algebarskom obliku:
gdje Re i Im označavaju stvarne i imaginarne dijelove kompleksne veličine.
Iz teorije kompleksnih veličina je poznato da
Primjer 1.1
Odredite koeficijent prijenosa napona, frekvencijski odziv i fazni odziv kola prikazanog na sl. 1.2, A.
Prema (1.5) pišemo
Naći ćemo složena funkcija na izlazu kola:
Zamjenom u formulu za , dobivamo složenu prijenosnu funkciju:
;
Promjenom frekvencije w od 0 do Ґ, možemo prikazati grafikone frekvencijskog odziva i faznog odziva kola (slika 1.2, b I V).
Frekvencijski odziv i fazni odziv kola mogu se prikazati jednim grafikonom ako nacrtamo zavisnost kompleksne funkcije prijenosa o frekvenciji w na kompleksnoj ravni. U ovom slučaju, kraj vektora će opisati određenu krivu, koja se zove hodograph kompleksna prijenosna funkcija (slika 1.3).
Stručnjaci često koriste ovaj koncept logaritamska amplitudno-frekvencijska karakteristika(LAH):
.
Vrijednosti TO mjere se u decibelima (dB). U aktivnim krugovima koji sadrže pojačala, vrijednost TO takođe pozvan logaritamski dobitak. Za pasivna kola, umjesto faktora pojačanja, uvodi se koncept otpuštanje lanca:
, (1.7)
koji se takođe meri u decibelima.
Primjer 1.2
Poznato je da modul koeficijenta prijenosa napona kruga ima sljedeće vrijednosti:
f= 0 kHz N(f) = 1
f= 1 kHz N(f) = 0,3
f= 2 kHz N(f) = 0,01
f= 4 kHz N(f) = 0,001
f= 8 kHz N(f) = 0,0001
Nacrtajte grafikon slabljenja strujnog kola.
Vrijednosti slabljenja lanca izračunate prema (1.7) date su u tabeli:
|
f, kHz |
|||||
|
A(f), dB |
Raspored A(f) prikazan je na sl. 1.4.
Ako se umjesto kompleksnih otpora kapacitivnosti i induktivnosti bavimo operatorskim otporima kapacitivnosti i induktivnosti pL, onda u izrazu trebate ga zamijeniti R.
Funkcija prijenosa operatora lanca može se u općenitom obliku zapisati kao razlomka-racionalna funkcija sa realnim koeficijentima:
ili u formi
Gdje 
– nule; 
– polovi prijenosne funkcije; .
Zamjena operatora u (1.8) R on jw, opet dobivamo kompleksnu prijenosnu funkciju kola
,
gdje je frekvencijski odziv kola
Uzimajući u obzir šta je iracionalna funkcija, obično kada analiziramo i sintetiziramo kola bavimo se kvadratom frekvencijskog odziva:
gde se koeficijenti dobijaju kombinovanjem koeficijenata na istim stepenima varijable w.
Primjer 1.3
Pronađite koeficijent prijenosa napona i kvadrat frekvencijskog odziva kola prikazanog na sl. 1.5, A.
Koeficijent prijenosa napona ovog kola je jednak
Gdje N = 1, 
, .
Korijeni brojioca ovog racionalnog razlomka, tj. nule prijenosne funkcije,
.
Korijeni nazivnika, ili polovi prijenosne funkcije,
.
Na sl. 1.5, b pokazuje lokaciju nula i polova funkcije na 
.
Po Vietinoj teoremi
.
Amplitudno-frekvencijski odziv se određuje zamjenom R i izračunavanje modula rezultujuće funkcije
.
Kvadrat frekvencijskog odziva će biti zapisan u obliku
Gdje 
; 
;
.
Frekvencijski odziv kola je prikazan na sl. 1.5, V.
Nabrojimo glavna svojstva funkcija prijenosa operatora i kvadratnog frekvencijskog odziva pasivnih kola:
1. Prijenosna funkcija je frakciono-racionalna funkcija sa realnim koeficijentima. Materijalnost koeficijenata objašnjava se činjenicom da su oni određeni elementima kola.
2. Polovi prijenosne funkcije nalaze se u lijevoj poluravni kompleksne varijable R. Nema ograničenja za lokaciju nula. Dokažimo ovo svojstvo koristeći funkciju prijenosa kao primjer. Odaberemo radnju unosa ili u obliku operatora. Slika izlaznog napona u ovom slučaju je numerički jednaka, tj.
gdje je polinom brojnika prijenosne funkcije; 
– koeficijenti proširenja razlomačno-racionalne funkcije u zbir prostih razlomaka.
Idemo sa slike na original:
gde je u opštem slučaju.
Kod pasivnih i stabilnih aktivnih četveropola, oscilacije na izlazu četveropola nakon prestanka utjecaja trebale bi imati prigušeni karakter. To znači da u (1.13) realni dijelovi polova moraju biti negativni, tj. polovi moraju biti u lijevoj poluravni varijable R.
3. Stepeni polinoma brojilaca funkcije prijenosa i kvadrata frekvencijskog odziva ne prelaze stupnjeve polinoma nazivnika, tj. n F m. Ako ovo svojstvo nije ispunjeno, tada bi na beskonačno visokim frekvencijama frekvencijski odziv trajao beskonačno veliki značaj(pošto bi brojilac rastao sa rastućom frekvencijom brže od nazivnika), tj. kolo bi imalo beskonačno pojačanje, što je u suprotnosti sa fizičkim značenjem.
4. Frekvencijski odziv na kvadrat je čak i racionalna funkcija varijable w sa realnim koeficijentima. Ovo svojstvo jasno proizilazi iz metode dobivanja kvadratnog frekvencijskog odziva iz prijenosne funkcije.
5. Frekvencijski odziv na kvadrat ne može poprimiti negativne i beskonačno velike vrijednosti za w > 0. Nenegativnost proizlazi iz svojstava kvadrata modula kompleksne veličine. Konačnost vrijednosti frekvencijskog odziva na stvarnim frekvencijama objašnjena je na isti način kao u svojstvu 3.
Većina zavisnih izvornih kola ima najmanje dva puta signala: naprijed (od ulaza do izlaza) i obrnuto (od izlaza do ulaza). Obrnuti put signala se implementira pomoću posebnog kola povratne informacije(OS). Može postojati nekoliko takvih puteva, a samim tim i OS kola. Prisustvo OS u kolima sa zavisnim izvorima daje im nove vrijedne kvalitete koje kola bez OS ne posjeduju. Na primjer, uz pomoć OS kola moguće je postići temperaturnu stabilizaciju režima rada kola, smanjiti nelinearna izobličenja koja se javljaju u krugovima sa nelinearnim elementima itd.
Bilo koje kolo sa povratnom spregom može se predstaviti kao sastavljeno od dvije mreže sa četiri terminala (slika 1.6).
Aktivna linearna dvoportna mreža s funkcijom prijenosa napona je pojačalo. Ponekad se naziva glavnim elementom kola i kaže se da formira direktni kanal za pojačavanje.
Pasivna mreža s četiri terminala s funkcijom prijenosa napona naziva se povratno kolo. Na ulazu kola ulazni napon i napon povratne sprege se zbrajaju.
Izvedemo formulu za prijenosnu funkciju za napon kola prikazanog na sl. 1.6. Neka se napon dovede na ulaz. Slika njegovog fotoaparata. Na izlazu kola se pojavljuje napon. Prema sl. 1.6 slika njegove kamere
Slika operatera se može napisati kroz prijenosnu funkciju povratnog kola
Tada se izraz (1.14) može prepisati kao
Funkcija prijenosa operatora za napon kola sa OS (vidi sliku 1.6).
. (1.16)
Primjer 1.4
Na sl. Slika 1.7 prikazuje kolo operativnog pojačala (OPA) dizajnirano za skaliranje napona. Pronađite prijenosnu funkciju ovog kola.
Dobijmo prijenosnu funkciju ovog kola kao povratnog kola koristeći formulu (1.16).
Krug povratne sprege na dijagramu na sl. 1.7 služi kao djelitelj napona u obliku slova L, sastavljen od otpornika i. Izlazni napon pojačala se dovodi na ulaz OS kola; OS napon se uklanja sa otpornika. Prijenosna funkcija za napon OS kola
Koristimo formulu (1.16) i uzmimo u obzir da se ulazni napon i napon povratne sprege ne zbrajaju, već oduzimaju. Tada dobijamo funkciju prijenosa skale pojačivača:
.
S obzirom da je u stvarnim op-pojačalima vrijednost >> 1, konačno imamo:
Primjer 1.5
Veza na op-pojačalu s povratnom spregom ovisnom o frekvenciji prikazana je na Sl. 1.8. Pronađite prijenosnu funkciju ove veze.
Za analizu direktne putanje signala i putanje signala OS, potrebno je koristiti metodu superpozicije. Da biste to učinili, trebali biste naizmjenično eliminirati izvore ulaznog napona i povratnog napona, zamjenjujući ih unutarnjim otporom. U slučaju idealnih izvora napona, njihov unutrašnji otpor je nula. Napon primijenjen na vezu je oslabljen ulaznim krugom, koji je djelitelj napona u obliku slova L sa otporima u ramenima. Funkcija prijenosa napona takvog razdjelnika je jednaka
Kolo povratne sprege je također mreža s četiri priključka u obliku slova L sa funkcijom prijenosa.
Pojačanje op-amp.
U skladu sa formulom (1.16), dobijamo funkciju prenosa veze:
Uzimajući u obzir >> 1, dobijamo:
.
Ova veza može obavljati različite funkcije ovisno o vrsti otpora i. At i veza se pretvara u invertujuće skalo pojačalo; kod i – integratoru; na i – u diferencijator.
Primjer 1.6
Veza drugog reda sa podesivim pojačanjem prikazana je na Sl. 1.9, A. Pronađite prijenosnu funkciju ove veze.
Analiza prolaska ulaznog signala i signala u OS kolo pokazuje da veza ima ulazno kolo prikazano na Sl. 1.9, b i OS kolo prikazano na sl. 1.9, V. Prijenosne funkcije ovih kola se mogu dobiti matrična metoda, na primjer, smatrajući svaki krug kao kaskadnu vezu odgovarajućih četveropola u obliku slova L.
Za ulazno kolo
Za kolo OS
. (1.18)
Uzimajući u obzir (1.16), dobijamo funkciju prijenosa veze
. (1.19)
Pojačanje pojačala. Zatim, zamjenom (1.17) i (1.18) u (1.19), nakon transformacije imamo
.
Prijelaz na (1.16) od operatora R operatoru, dobijamo kompleksnu funkciju prijenosa
. (1.20)
Proizvod je složena prijenosna funkcija pojačala i povratnog kola, pod uvjetom da je povratna sprega prekinuta (slika 1.10). Funkcija se zove funkcija prijenosa OS petlje ili pojačanje petlje. Hajde da uvedemo koncepte pozitivne i negativne povratne informacije. Ovi koncepti igraju istaknutu ulogu u teoriji povratnih kola.
Pretpostavimo prvo da prijenosne funkcije , , ne ovise o frekvenciji i da su realni brojevi. Ova situacija je moguća kada ih nema L.C.-elementi. Ovo može biti i pozitivno i negativan broj. U prvom slučaju, fazni pomak između ulaznog i izlaznog napona ili, drugim riječima, fazni pomak duž petlje povratne sprege je nula ili . k= 0, 1, 2, ... U drugom slučaju, kada , fazni pomak duž ove petlje je jednak ili .
Ako je u kolu sa povratnom spregom fazni pomak duž petlje jednak nuli, tada se poziva povratna sprega pozitivno, ako je fazni pomak jednak , tada se takva povratna sprega naziva negativan.
Prijenosna funkcija se može predstaviti kao vektori i prikazati na kompleksnoj ravni. Sa pozitivnom povratnom spregom, vektor je na pozitivnoj realnoj poluosi, a sa negativnom povratnom spregom na negativnoj realnoj poluosi.
Kriva koju kraj vektora opisuje kako se frekvencija w mijenja (slika 1.11) se, kao što je poznato, zove hodograf.
Reprezentacija u obliku hodografa omogućava da se odredi tip povratne sprege u slučaju povratne sprege zavisne od frekvencije.
Hajde da uvedemo koncepte stabilnih i nestabilnih lanaca. Lanac se zove održivo, ako slobodne oscilacije tokom vremena teže nuli. Inače se poziva lanac nestabilno. Iz teorije prolaznih procesa slijedi da je lanac stabilan ako korijeni karakteristične jednadžbe leže u lijevoj poluravni kompleksne varijable p. Ako korijeni takve jednadžbe leže u desnoj poluravni, onda je strujni krug nestabilan, odnosno nalazi se u režimu samopobude. Dakle, da bi se odredili uslovi stabilnosti lanca, dovoljno je pronaći karakteristična jednačina i njegove korene. Kao što vidimo, uslovi stabilnosti se mogu odrediti bez uvođenja koncepta povratne sprege. Međutim, ovdje se javlja niz problema. Činjenica je da je izvođenje karakteristične jednadžbe i određivanje njenih korijena težak postupak, posebno za kola high order. Uvođenje koncepta povratne sprege olakšava dobijanje karakteristične jednačine ili čak omogućava da se bez nje. Također je izuzetno važno da koncept povratne sprege bude adekvatan fizičkim procesima koji se odvijaju u kolu, tako da oni postaju vizualniji. Duboko razumijevanje fizičkih procesa olakšava rad na stvaranju autooscilatora, pojačala itd.
Razmotrimo kolo (vidi sliku 1.6) i izvedemo njegovu karakterističnu jednačinu. Neka i, prema tome, . Tada iz (1.15) slijedi:
. (1.22)
Ako prijenosnu funkciju glavnog kola zapišemo u obliku 
, a OS kola su , tada će jednačina (1.22) biti prepisana na sljedeći način:
Ova jednakost vrijedi kada
Izraz na lijevoj strani ove jednakosti je polinom, pa se (1.23) može zapisati u općenitom obliku:
Ovo je karakteristična jednadžba kola.
Korijeni jednačine (1.24) u opštem slučaju su kompleksne veličine
Gdje 
. Poznavajući korijene karakteristične jednadžbe, možemo napisati izlazni napon:
Tako da se napetost ne povećava bezgranično, svi korijeni 
Karakteristična jednadžba mora imati negativne realne dijelove, odnosno korijeni moraju biti smješteni u lijevoj poluravni kompleksne varijable. Kolo sa operativnim sistemom koji ima takva svojstva naziva se apsolutno stabilnim.
Prilikom proučavanja kola zatvorene petlje mogu se pojaviti dva problema. Ako projektovano kolo mora biti stabilno, onda je potrebno imati kriterijum koji bi, na osnovu vrste funkcija, omogućio da se proceni odsustvo korena karakteristične jednadžbe u desnoj poluravni R. Ako se povratna sprega koristi za stvaranje nestabilnog autooscilirajućeg kruga, tada bi trebali biti sigurni da su korijeni jednadžbe (1.24) smješteni, naprotiv, u desnoj poluravni. U ovom slučaju potrebno je imati takav raspored korijena u kojem bi došlo do samopobude na traženoj frekvenciji.
Razmotrimo kriterijum stabilnosti kola, nazvan Nyquistov kriterijum, koji nam omogućava da procenimo stabilnost kola sa povratnom spregom na osnovu svojstava otvorenog kola (slika 1.10).
Prijenosna funkcija otvorenog kruga, ili pojačanje petlje, uključena je u karakterističnu jednačinu (1.22):
, (1.26)
Ako postoji frekvencija w za koju kraj vektora pada u tačku s koordinatama (1, j 0), to će značiti da je uslov (1.26) zadovoljen, tj. samopobuda će se pojaviti u kolu na ovoj frekvenciji. To znači da se hodograf može koristiti za određivanje da li je lanac stabilan ili ne. U tu svrhu koristi se Nyquistov kriterij koji je formuliran na sljedeći način: ako hodograf prijenosne funkcije otvorenog kruga ne pokriva tačku s koordinatama(1, j 0), tada je sa zatvorenim povratnim krugom kolo stabilno. U slučaju kada hodograf pokriva tačku (1, j X 1 se može napisati u obliku dva uslova: u stacionarnom režimu. TO= 2, kriva 1) i nestabilna ( TO= 3, kriva 2; TO= 4, kriva 3) lanca.
Pitanja i zadaci za samotestiranje
1. Što je složena prijenosna funkcija? Koje vrste složenih prijenosnih funkcija četveropolne mreže su poznate?
2. Odredite koeficijent prenosa napona, frekvencijski odziv i fazni odziv kola prikazanog na sl. 1.2, A, ako je izlazni napon napon na otporniku R. Izraditi grafove frekvencijskog odziva i faznog odziva.
Odgovori: 
; 
; 90° – arktan w R.C..
3. Odredite koeficijent prijenosa napona u praznom hodu i koeficijent prijenosa struje tijekom kratkog spoja za mrežu sa četiri terminala u obliku slova U u kojoj je induktivnost uključena u uzdužnu granu L, au poprečnim granama - kapacitet WITH.
Odgovori: 
.
4. Odredite slabljenje koje unosi kolo Sl. 1.2, A, at R= 31,8 kOhm i = 10 kOhm.
Odgovori: 12 dB.
5. Šta je funkcija prijenosa operatera? Kako je to povezano sa kompleksnom prijenosnom funkcijom? Kako odrediti nule i polove funkcije prijenosa operatora?
6. Odredite operatorsku prijenosnu funkciju, kompleksni koeficijent prijenosa napona, frekvencijski odziv i kvadrat frekvencijskog odziva serijskog oscilatornog kola prikazanog na sl. 1.5, A, ako je izlazni napon napon na kondenzatoru WITH. Nacrtajte grafikon frekvencijskog odziva kola.
Odgovori: 
;
.
7. Navedite glavna svojstva operatorskih prijenosnih funkcija pasivnih kola.
8. Kako se izračunava prijenosna funkcija sklopa zatvorene petlje?
9. Dokazati da je funkcija prijenosa operatora diferencijatora na operacionom pojačalu jednaka (– pRC). Konstruirajte graf frekvencijskog odziva takvog diferencijatora.
11. Odredite prijenosnu funkciju filtera prikazanog na sl. 1.13.
Odgovori:
.
12. Šta je hodograf pojačanja u petlji? Kako odrediti vrstu povratne informacije pomoću hodografa?
13. Kako je formuliran Nyquistov kriterij stabilnosti? Za koja kola se koristi?
14. Odredite kompleksnu prijenosnu funkciju otvorenog kola prikazanog na sl. 1.13. Istražite zavisnost stabilnosti kola od vrednosti pojačanja TO.
