Rješavanje bikvadratnih jednadžbi. Jednačine sa dvije varijable

Ciljevi:

1. Sistematizovati i generalizovati znanja i vještine na temu: Rješenja jednačina trećeg i četvrtog stepena.
2. Produbite svoje znanje ispunjavanjem niza zadataka, od kojih su neki nepoznati ni po vrsti ni po načinu rješavanja.
3. Formiranje interesovanja za matematiku kroz izučavanje novih poglavlja matematike, negovanje grafičke kulture kroz izradu grafova jednačina.

Vrsta lekcije: kombinovani.

Oprema: grafički projektor.

Vidljivost: tabela "Vieteova teorema".

Napredak lekcije

1. Usmeno brojanje

a) Koliki je ostatak kada se polinom p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 podijeli binomom x-a?

b) Koliko korijena može imati kubna jednačina?

c) Kako rješavamo jednačine trećeg i četvrtog stepena?

d) Ako je b paran broj u kvadratnoj jednačini, kolika je vrijednost D i x 1;

2. Samostalan rad(u grupama)

Napišite jednačinu ako su korijeni poznati (odgovori na zadatke su kodirani) koristi se "Vietina teorema"

1 grupa

Korijeni: x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6

Napravite jednačinu:

B=1 -2-3+6=2; b=-2

c=-2-3+6+6-12-18= -23; c= -23

d=6-12+36-18=12; d= -12

e=1(-2)(-3)6=36

x 4 -2 x 3 - 23 x 2 - 12 x + 36 = 0(ovu jednačinu tada rješava grupa 2 na ploči)

Rješenje . Tražimo cijele korijene među djeliteljima broja 36.

r = ±1;±2;±3;±4;±6…

p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 Broj 1 zadovoljava jednačinu, stoga je =1 korijen jednačine. Prema Hornerovoj šemi

p 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36

p 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2

p 2 (x) = x 2 -3x -18=0

x 3 =-3, x 4 =6

Odgovor: 1;-2;-3;6 zbir korijena 2 (P)

2. grupa

Korijeni: x 1 = -1; x 2 = x 3 =2; x 4 =5

Napravite jednačinu:

B=-1+2+2+5-8; b= -8

c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15

D=-4-10+20-10= -4; d=4

e=2(-1)2*5=-20;e=-20

8+15+4x-20=0 (grupa 3 rješava ovu jednačinu na ploči)

r = ±1;±2;±4;±5;±10;±20.

p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8

r 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

p 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20

p 3 (2) = 8 -36+48 -20=0

p 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 = 2; x 2 =5

Odgovor: -1;2;2;5 zbir korijena 8(P)

3 grupa

Korijeni: x 1 = -1; x 2 =1; x 3 = -2; x 4 =3

Napravite jednačinu:

V=-1+1-2+3=1;V=-1

s=-1+2-3-2+3-6=-7;s=-7

D=2+6-3-6=-1; d=1

e=-1*1*(-2)*3=6

x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(grupa 4 rješava ovu jednačinu kasnije na ploči)

Rješenje. Tražimo cijele korijene među djeliteljima broja 6.

r = ±1;±2;±3;±6

p 4 (1)=1-1-7+1+6=0

p 3 (x) = x 3 - 7x -6

r 3 (-1) = -1+7-6=0

p 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 =3

Odgovor: -1;1;-2;3 Zbir korijena 1(O)

4 grupa

Korijeni: x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3

Napravite jednačinu:

B=-2-2-3+3=-4; b=4

c=4+6-6+6-6-9=-5; s=-5

D=-12+12+18+18=36; d=-36

e=-2*(-2)*(-3)*3=-36;e=-36

x 4 +4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(ovu jednačinu tada rješava grupa 5 na ploči)

Rješenje. Tražimo cijele korijene među djeliteljima broja -36

r = ±1;±2;±3…

p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

p 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

p 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0

p 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0

p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3

Odgovor: -2; -2; -3; 3 Zbir korijena-4 (F)

5 grupa

Korijeni: x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4

Napišite jednačinu

x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(ovu jednačinu tada rješava grupa 6 na ploči)

Rješenje . Tražimo cijele korijene među djeliteljima broja 24.

r = ±1;±2;±3

p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

p 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0

p 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O

p 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0

Odgovor: -1;-2;-3;-4 zbroj-10 (I)

6 grupa

Korijeni: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8

Napišite jednačinu

B=1+1-3+8=7;b=-7

c=1 -3+8-3+8-24= -13

D=-3-24+8-24= -43; d=43

x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (ovu jednačinu tada rješava grupa 1 na ploči)

Rješenje . Tražimo cijele korijene među djeliteljima broja -24.

p 4 (1)=1-7-13+43-24=0

p 3 (1)=1-6-19+24=0

p 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0

x 3 =-3, x 4 =8

Odgovor: 1;1;-3;8 zbir 7 (L)

3. Rješavanje jednadžbi s parametrom

1. Riješite jednačinu x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; ako je jedan od korijena jednak (-1)

Odgovor napišite rastućim redoslijedom

R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0

x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0

Po uslovu x 1 = - 1; D=1+15=16

P 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0

x 2 = -1-4 = -5;

x 3 = -1 + 4 = 3;

Odgovor: - 1; 3

Uzlazno: -5;-1;3. (b N S)

2. Naći sve korijene polinoma x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6, ako su ostaci od njegove podjele na binome x-1 i x +2 jednaki.

Rješenje: R=P 3 (1) = P 3 (-2)

P 3 (1) = 1-3 + a- 2a + 6 = 4-a

P 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a

x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(x-3)(x 2 -6) = 0

3) a=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x 2 =0; x 4 =0

a=0; x=0; x=1

a>0; x=1; x=a ± √a

2. Napišite jednačinu

1 grupa. Korijeni: -4; -2; 1; 7;

2. grupa. Korijeni: -3; -2; 1; 2;

3 grupa. Korijeni: -1; 2; 6; 10;

4 grupa. Korijeni: -3; 2; 2; 5;

5 grupa. Korijeni: -5; -2; 2; 4;

6 grupa. Korijeni: -8; -2; 6; 7.

U ovom članku ćemo naučiti rješavati bikvadratne jednadžbe.

Dakle, koji se tip jednačina naziva bikvadratičnim?
Sve jednačine oblika ah 4+ bx 2 + c = 0 , Gdje a ≠ 0, koji su kvadratni u odnosu na x 2, i nazivaju se bikvadratičnim jednačine. Kao što vidite, ovaj unos je vrlo sličan unosu kvadratna jednačina, dakle, rješavat ćemo bikvadratne jednadžbe koristeći formule koje smo koristili za rješavanje kvadratne jednadžbe.

Samo ćemo morati uvesti novu varijablu, odnosno označavamo x 2 drugu varijablu, na primjer at ili t (ili bilo koje drugo slovo latinice).

na primjer, hajde da rešimo jednačinu x 4 + 4x 2 ‒ 5 = 0.

Označimo x 2 kroz at (x 2 = y ) i dobijamo jednačinu y 2 + 4y – 5 = 0.
Kao što vidite, već znate kako riješiti takve jednačine.

Rezultujuću jednačinu rešavamo:

D = 4 2 – 4 (‒ 5) = 16 + 20 = 36, √D = √36 = 6.

y 1 = (‒ 4 – 6)/2= ‒ 10 /2 = ‒ 5,

y 2 = (‒ 4 + 6)/2= 2 /2 = 1.

Vratimo se na našu varijablu x.

Otkrili smo da je x 2 = ‒ 5 i x 2 = 1.

Napominjemo da prva jednačina nema rješenja, a druga daje dva rješenja: x 1 = 1 i x 2 = ‒1. Pazite da ne izgubite negativni korijen (najčešće dobiju odgovor x = 1, ali to nije tačno).

odgovor:- 1 i 1.

Da bismo bolje razumjeli temu, pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 1. Riješite jednačinu 2x 4 ‒ 5 x 2 + 3 = 0.

Neka je x 2 = y, tada je 2y 2 ‒ 5y + 3 = 0.

D = (‒ 5) 2 – 4 2 3 = 25 ‒ 24 = 1, √D = √1 = 1.

y 1 = (5 – 1)/(2 2) = 4 /4 =1, y 2 = (5 + 1)/(2 2) = 6 /4 =1,5.

Tada je x 2 = 1 i x 2 = 1,5.

Dobijamo x 1 = ‒1, x 2 = 1, x 3 = ‒ √1.5, x 4 = √1.5.

odgovor: ‒1; 1; ‒ √1,5; √1,5.

Primjer 2. Riješite jednačinu 2x 4 + 5 x 2 + 2 = 0.

2y 2 + 5y + 2 =0.

D = 5 2 – 4 2 2 = 25 ‒ 16 = 9, √D = √9 = 3.

y 1 = (‒ 5 – 3)/(2 2) = ‒ 8 /4 = ‒2, y 2 = (‒5 + 3)/(2 2) = ‒ 2 /4 = ‒ 0,5.

Tada je x 2 = - 2 i x 2 = - 0,5. Imajte na umu da nijedna od ovih jednačina nema rješenje.

odgovor: nema rješenja.

Nepotpune bikvadratne jednadžbe- Ovo je kada b = 0 (ax 4 + c = 0) ili c = 0

(ax 4 + bx 2 = 0) se rješavaju kao nepotpune kvadratne jednadžbe.

Primjer 3. Riješite jednačinu x 4 ‒ 25x 2 = 0

Rastavimo na faktore, stavimo x 2 iz zagrada i onda x 2 (x 2 ‒ 25) = 0.

Dobijamo x 2 = 0 ili x 2 ‒ 25 = 0, x 2 = 25.

Tada imamo korijene 0; 5 i – 5.

odgovor: 0; 5; – 5.

Primjer 4. Riješite jednačinu 5x 4 ‒ 45 = 0.

x 2 = ‒ √9 (nema rješenja)

x 2 = √9, x 1 = ‒ 3, x 2 = 3.

Kao što vidite, ako možete riješiti kvadratne jednadžbe, možete riješiti i bikvadratne jednadžbe.

Ako i dalje imate pitanja, prijavite se na moje lekcije. Tutor Valentina Galinevskaya.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Pojam jednačina sa dvije varijable se prvi put formira u predmetu matematike 7. razreda. Razmatraju se specifični problemi čiji proces rješavanja dovodi do ove vrste jednačina.

Međutim, oni se proučavaju prilično površno. Program se fokusira na sisteme jednačina sa dvije nepoznate.

To je postao razlog da se problemi u kojima se nameću određena ograničenja na koeficijente jednačine praktično ne razmatraju. Nedovoljna pažnja se poklanja metodama za rješavanje zadataka poput “Rješavanje jednadžbe prirodnim ili cijelim brojevima”. To je poznato Materijali za Jedinstveni državni ispit a radovi za prijemni ispit često sadrže takve vježbe.

Koje su jednadžbe definirane kao jednačine s dvije varijable?

xy = 8, 7x + 3y = 13 ili x 2 + y = 7 su primjeri jednadžbi sa dvije varijable.

Razmotrimo jednačinu x – 4y = 16. Ako je x = 4 i y = -3, to će biti tačna jednakost. To znači da je ovaj par vrijednosti rješenje ove jednadžbe.

Rješenje bilo koje jednačine s dvije varijable je skup parova brojeva (x; y) koji zadovoljavaju ovu jednačinu (pretvaraju je u pravu jednakost).

Često se jednačina transformiše tako da se može koristiti za dobijanje sistema za pronalaženje nepoznanica.

Primjeri

Riješite jednačinu: xy – 4 = 4x – y.

U ovom primjeru možete koristiti metodu faktorizacije. Da biste to učinili, morate grupirati pojmove i izvaditi zajednički faktor iz zagrada:

xy – 4 = 4x – y;

xy – 4 – 4x + y = 0;

(xy + y) – (4x + 4) = 0;

y(x + 1) – 4(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 4) = 0.

Odgovor: Svi parovi (x; 4), gdje je x bilo koji racionalni broj i (-1; y), gdje je y bilo koji racionalni broj.

Riješite jednačinu: 4x 2 + y 2 + 2 = 2(2x - y).

Prvi korak je grupisanje.

4x 2 + y 2 + 2 = 4x – 2y;

4x 2 + y 2 + 1 - 4x + 2y + 1 = 0;

(4x 2 – 4x +1) + (y 2 + 2y + 1) = 0.

Primjenom formule kvadratne razlike dobivamo:

(2x - 1) 2 + (y + 1) 2 = 0.

Kada se zbroje dva nenegativna izraza, nula će rezultirati samo ako je 2x – 1 = 0 i y + 1 = 0. Slijedi: x = ½ i y = -1.

Odgovor: (1/2; -1).

Riješite jednačinu (x 2 – 6x + 10)(y 2 + 10y + 29) = 4.

Racionalno je primijeniti metod evaluacije, isticanje savršeni kvadrati u zagradama.

((x - 3) 2 + 1)((y + 5) 2 + 4) = 4.

Štaviše, (x - 3) 2 + 1 ≥ 1, i (y + 5) 2 + 4 ≥ 4. Tada lijevoj strani jednadžbe su uvijek najmanje 4. Jednakost je moguća u slučaju

(x - 3) 2 + 1 = 1 i (y + 5) 2 + 4 = 4. Dakle, x = 3, y = -5.

Odgovor: (3; -5).

Riješite jednačinu cijelim brojevima: x 2 + 10y 2 = 15x + 3.

Ova jednačina se može napisati na sljedeći način:

x 2 = -10y 2 + 15x + 3. Ako desnu stranu jednakosti podijeljene sa 5, tada je 3 ostatak. Iz ovoga slijedi da x 2 nije djeljiv sa 5. Poznato je da kvadrat broja koji nije djeljiv sa 5 mora ostaviti ostatak ili 1 ili 4. To znači da jednačina nema korijena.

Odgovor: Ne postoje rješenja.

Nemojte da vas obeshrabruje poteškoće u pronalaženju pravog rješenja za jednadžbu s dvije varijable. Upornost i praksa će svakako uroditi plodom.

Nudimo Vam povoljno besplatno online kalkulator za rješavanje kvadratnih jednačina. Možete brzo dobiti i razumjeti kako se rješavaju koristeći jasne primjere.
Za proizvodnju riješite kvadratnu jednačinu online, prvo smanjite jednadžbu na opšti izgled:
ax 2 + bx + c = 0
U skladu sa tim popunite polja obrasca:

Kako riješiti kvadratnu jednačinu

Kako riješiti kvadratnu jednačinu:	Vrste korijena:
1. Kvadratnu jednadžbu svesti na njen opći oblik: Opšti izgled Ax 2 +Bx+C=0 Primjer: 3x - 2x 2 +1=-1 Smanjite na -2x 2 +3x+2=0 2. Pronađite diskriminanta D. D=B 2 -4*A*C . Za naš primjer, D= 9-(4*(-2)*2)=9+16=25. 3. Pronalaženje korijena jednadžbe. x1=(-B+D 1/2)/2A. Za naš slučaj x1=(-3+5)/(-4)=-0,5 x2=(-B-D 1/2)/2A. Za naš primjer x2=(-3-5)/(-4)=2 Ako je B paran broj, tada je prikladnije izračunati diskriminanta i korijene koristeći formule: D=K 2 -ac x1=(-K+D 1/2)/A x2=(-K-D 1/2)/A, Gdje je K=B/2	1. Pravi koreni. Štaviše. x1 nije jednako x2 Situacija se dešava kada D>0 i A nije jednako 0. 2. Pravi korijeni su isti. x1 je jednako x2 Situacija se javlja kada je D=0. Međutim, ni A, ni B, ni C ne bi trebali biti jednaki 0. 3. Dva kompleksna korijena. x1=d+ei, x2=d-ei, gdje je i=-(1) 1/2 Situacija se dešava kada D 4. Jednačina ima jedno rješenje. A=0, B i C nisu jednaki nuli. Jednačina postaje linearna. 5. Jednačina ima bezbroj rješenja. A=0, B=0, C=0. 6. Jednačina nema rješenja. A=0, B=0, C nije jednako 0.

Da biste konsolidirali algoritam, evo još nekoliko ilustrativni primjeri rješenja kvadratnih jednadžbi.

Primjer 1. Rješavanje obične kvadratne jednadžbe s različitim realnim korijenima.
x 2 + 3x -10 = 0
U ovoj jednačini
A=1, B=3, C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
kvadratni korijen Označićemo ga brojem 1/2!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5

Za provjeru, zamijenimo:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10

Primjer 2. Rješavanje kvadratne jednadžbe sa odgovarajućim realnim korijenima.
x 2 – 8x + 16 = 0
A=1, B = -8, C=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4

Hajde da zamenimo
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16

Primjer 3. Rješavanje kvadratne jednadžbe s kompleksnim korijenima.
13x 2 – 4x + 1 = 0
A=1, B = -4, C=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
Diskriminant je negativan – korijeni su složeni.

X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, gdje je I kvadratni korijen od -1

To je sve mogući slučajevi rješavanje kvadratnih jednačina.
Nadamo se da će naše online kalkulatorće vam biti od velike koristi.
Ako je materijal bio koristan, možete