Sa istim brojem jednačina kao i broj nepoznanica sa glavnom determinantom matrice, koja nije jednaka nuli, koeficijenti sistema (za takve jednačine postoji rješenje i postoji samo jedno).
Cramerova teorema.
Kada je determinanta matrice kvadratnog sistema različita od nule, to znači da je sistem konzistentan i da ima jedno rešenje i da se može naći kao Cramerove formule:
gdje je Δ - determinanta sistemske matrice,
Δ i je determinanta matrice sistema, u kojoj umjesto i th kolona sadrži kolonu sa desne strane.
Kada je determinanta sistema nula, to znači da sistem može postati kooperativan ili nekompatibilan.
Ova metoda se obično koristi za mali sistemi sa volumetrijskim proračunima i ako je potrebno odrediti jednu od nepoznanica. Složenost metode je u tome što je potrebno izračunati mnoge determinante.
Opis Cramerove metode.
Postoji sistem jednačina:
Sistem od 3 jednačine može se riješiti korištenjem Cramerove metode, o kojoj je gore bilo riječi za sistem od 2 jednačine.
Od koeficijenata nepoznatih sastavljamo determinantu:
Biće sistemska determinanta. Kada D≠0, što znači da je sistem konzistentan. Sada kreirajmo 3 dodatne determinante:
,
,
Sistem rješavamo po Cramerove formule:
Primjeri rješavanja sistema jednačina primjenom Cramerove metode.
Primjer 1.
Dati sistem:
Rešimo ga Cramerovom metodom.
Prvo morate izračunati determinantu sistemske matrice:
Jer Δ≠0, što znači da je iz Cramerove teoreme sistem konzistentan i da ima jedno rješenje. Izračunavamo dodatne determinante. Determinanta Δ 1 se dobija iz determinante Δ zamjenom njenog prvog stupca stupcem slobodnih koeficijenata. dobijamo:
Na isti način dobijamo determinantu Δ 2 iz determinante sistemske matrice zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih koeficijenata:
2. Rješavanje sistema jednačina matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).
3. Gaussova metoda za rješavanje sistema jednačina.
Cramerova metoda.
Cramerova metoda se koristi za rješavanje linearnih sistema algebarske jednačine (SLAU).
Formule na primjeru sistema od dvije jednačine sa dvije varijable.
Dato: Riješite sistem koristeći Cramerovu metodu
Što se tiče varijabli X I at.
Rješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sistema. Izračunavanje determinanti. : 
Primijenimo Cramerove formule i pronađemo vrijednosti varijabli: 
I 
.
Primjer 1:
Riješite sistem jednačina:
u vezi sa varijablama X I at.
Rješenje:
Zamenimo prvu kolonu u ovoj determinanti kolonom koeficijenata sa desne strane sistema i pronađemo njenu vrednost: 
Hajde da to uradimo sličnu akciju, zamjenjujući drugi stupac u prvoj odrednici: 
Primjenjivo Cramerove formule i pronađite vrijednosti varijabli:
i .
odgovor: 
komentar: Ova metoda može riješiti sisteme većih dimenzija.
komentar: Ako se ispostavi da je , ali se ne može podijeliti sa nulom, onda kažu da sistem nema jedinstveno rješenje. U ovom slučaju, sistem ili ima beskonačno mnogo rješenja ili uopće nema rješenja.
Primjer 2(beskonačan broj rješenja):
Riješite sistem jednačina:
u vezi sa varijablama X I at.
Rješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sistema: 
Rješavanje sistema metodom zamjene. 
Prva jednačina sistema je jednakost koja je tačna za sve vrijednosti varijabli (jer je 4 uvijek jednako 4). To znači da je ostala samo jedna jednačina. Ovo je jednadžba za odnos između varijabli.
Otkrili smo da je rješenje sistema bilo koji par vrijednosti varijabli povezanih jedna s drugom jednakošću.
Opšte rješenje biće napisano ovako: 
Konkretna rješenja se mogu odrediti odabirom proizvoljne vrijednosti y i izračunavanjem x iz ove konektivne jednakosti. 
itd.
Takvih rješenja ima beskonačno mnogo.
odgovor: opšte rešenje
Privatna rješenja:
Primjer 3(nema rješenja, sistem je nekompatibilan):
Riješite sistem jednačina:
Rješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sistema: 
Cramerove formule se ne mogu koristiti. Rešimo ovaj sistem metodom zamene 
Druga jednadžba sistema je jednakost koja nije tačna ni za jednu vrijednost varijabli (naravno, pošto -15 nije jednako 2). Ako jedna od jednadžbi sistema nije tačna ni za jednu vrijednost varijabli, onda cijeli sistem nema rješenja.
odgovor: nema rješenja
Metode Kramer I Gauss- jedna od najpopularnijih metoda rješenja SLAU. Osim toga, u nekim slučajevima je preporučljivo koristiti posebne metode. Sesija je blizu, a sada je vrijeme da ih ponovite ili savladate od nule. Danas ćemo pogledati rješenje korištenjem Cramerove metode. Na kraju krajeva, rješenje za sistem linearne jednačine Cramerova metoda je vrlo korisna vještina.
Sistemi linearnih algebarskih jednadžbi
Sistem linearnih algebarskih jednadžbi je sistem jednadžbi oblika:
Vrijednost postavljena x , u kojem se jednadžbe sistema pretvaraju u identitete, naziva se rješenjem sistema, a I b su realni koeficijenti. Jednostavan sistem koji se sastoji od dvije jednačine sa dvije nepoznate može se riješiti u vašoj glavi ili izražavanjem jedne varijable u terminima druge. Ali u SLAE može biti mnogo više od dvije varijable (xes), a ovdje jednostavne školske manipulacije nisu dovoljne. sta da radim? Na primjer, riješite SLAE koristeći Cramerovu metodu!
Dakle, neka se sistem sastoji od n jednačine sa n nepoznato.
Takav sistem se može prepisati u matričnom obliku
Evo A – glavna matrica sistema, X I B , odnosno matrice kolona nepoznatih varijabli i slobodnih termina.
Rješavanje SLAE-a korištenjem Cramerove metode
Ako determinanta glavne matrice nije jednaka nuli (matrica nije singularna), sistem se može riješiti Cramerovom metodom.
Prema Cramerovoj metodi, rješenje se nalazi pomoću formula:
Evo delta je determinanta glavne matrice, i delta x n-ti – determinanta dobijena iz determinante glavne matrice zamjenom n-te kolone kolonom slobodnih članova.
Ovo je cela suština Cramerove metode. Zamjena vrijednosti pronađenih korištenjem gornjih formula x u željeni sistem, uvjereni smo u ispravnost (ili obrnuto) našeg rješenja. Kako bismo vam pomogli da brzo shvatite suštinu, u nastavku dajemo primjer detaljnog rješenja SLAE korištenjem Cramerove metode:
Čak i ako ne uspijete prvi put, nemojte se obeshrabriti! Uz malo vježbe, počet ćete lomiti SLAU kao orahe. Štaviše, sada apsolutno nije potrebno da se bavite notebookom, rešavajući glomazne proračune i zapisujući jezgro. Možete jednostavno riješiti SLAE koristeći Cramerovu metodu na mreži, samo zamjenom gotova forma koeficijenti. Probaj online kalkulator Rješenja korištenjem Cramerove metode mogu se naći, na primjer, na ovoj web stranici.
A ako se pokaže da je sistem tvrdoglav i ne odustaje, uvijek se možete obratiti našim autorima za pomoć, na primjer, da. Ako u sistemu ima najmanje 100 nepoznatih, mi ćemo to sigurno riješiti ispravno i na vrijeme!
U prvom dijelu razmatrali smo teorijski materijal, metodu zamjene, kao i metodu sabiranja sistemskih jednačina po članu. Preporučujem svima koji su pristupili stranici preko ove stranice da pročitaju prvi dio. Možda će nekim posjetiteljima materijal biti prejednostavan, ali u procesu rješavanja sistema linearnih jednačina iznio sam niz vrlo važnih komentara i zaključaka u vezi sa rješavanjem matematičkih problema općenito.
Sada ćemo analizirati Cramerovo pravilo, kao i rješavanje sistema linearnih jednačina korištenjem inverzna matrica(matrična metoda). Svi materijali su predstavljeni jednostavno, detaljno i jasno skoro svi čitaoci će moći da nauče kako da rešavaju sisteme koristeći gore navedene metode.
Prvo ćemo pobliže pogledati Cramerovo pravilo za sistem od dvije linearne jednačine u dvije nepoznate. Za šta? - Uostalom najjednostavniji sistem može se riješiti školska metoda, metodom sabiranja pojam!
Činjenica je da se, iako ponekad, pojavljuje takav zadatak - riješiti sistem od dvije linearne jednadžbe s dvije nepoznanice koristeći Cramerove formule. Drugo, jednostavniji primjer će vam pomoći da shvatite kako da više koristite Cramerovo pravilo složen slučaj– sistemi od tri jednačine sa tri nepoznate.
Osim toga, postoje sistemi linearnih jednadžbi sa dvije varijable, koje je preporučljivo riješiti korištenjem Cramerovog pravila!
Razmotrimo sistem jednačina
U prvom koraku izračunavamo determinantu, ona se zove glavna odrednica sistema.
Ako je , onda sistem ima jedinstveno rješenje, a da bismo pronašli korijene moramo izračunati još dvije determinante:
I
U praksi se gore navedeni kvalifikatori također mogu označiti latinično pismo.
Korijene jednadžbe pronalazimo pomoću formula:
,
Primjer 7
Riješiti sistem linearnih jednačina 
Rješenje: Vidimo da su koeficijenti jednačine prilično veliki, na desnoj strani su decimale sa zarezom. Zarez je prilično rijedak gost praktični zadaci u matematici, ovaj sistem sam preuzeo iz ekonometrijskog problema.
Kako riješiti takav sistem? Možete pokušati izraziti jednu varijablu u terminima druge, ali u ovom slučaju ćete vjerovatno završiti sa strašnim fensi razlomcima s kojima je izuzetno nezgodno raditi, a dizajn rješenja će izgledati jednostavno užasno. Možete pomnožiti drugu jednačinu sa 6 i oduzeti član po član, ali isti razlomci će se pojaviti i ovdje.
sta da radim? U takvim slučajevima u pomoć priskaču Cramerove formule.
;
;
Odgovori: ,
Oba korijena imaju beskonačne repove i nalaze se približno, što je sasvim prihvatljivo (pa čak i uobičajeno) za probleme ekonometrije.
Komentari ovdje nisu potrebni, jer se zadatak rješava pomoću gotovih formula, međutim, postoji jedno upozorenje. Kada koristiti ovu metodu, obavezno Fragment dizajna zadatka je sljedeći fragment: “To znači da sistem ima jedinstveno rješenje”. U suprotnom, recenzent vas može kazniti zbog nepoštovanja Cramerove teoreme.
Ne bi bilo suvišno provjeriti, što je zgodno izvesti na kalkulatoru: približne vrijednosti zamjenjujemo u lijevoj strani svaka jednačina sistema. Kao rezultat toga, uz malu grešku, trebali biste dobiti brojeve koji su na desnoj strani.
Primjer 8
Odgovor predstaviti u običnim nepravilnim razlomcima. Proveri.
Ovo je primjer za nezavisna odluka(primjer završetka i odgovor na kraju lekcije).
Hajdemo dalje da razmotrimo Cramerovo pravilo za sistem od tri jednačine sa tri nepoznanice: 
Pronalazimo glavnu determinantu sistema: 
Ako je , onda sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan (nema rješenja). U ovom slučaju, Cramerovo pravilo neće pomoći, morate ga koristiti Gausova metoda.
Ako je , tada sistem ima jedinstveno rješenje i da bismo pronašli korijene moramo izračunati još tri determinante: 
, 
, 
I na kraju, odgovor se izračunava pomoću formula: 
Kao što vidite, slučaj „tri po tri“ se u osnovi ne razlikuje od slučaja „dva po dva“ kolona slobodnih pojmova uzastopno „šeta“ s lijeva na desno duž stupaca glavne determinante.
Primjer 9
Riješite sistem koristeći Cramerove formule. 
Rješenje: Rešimo sistem koristeći Cramerove formule. 
, što znači da sistem ima jedinstveno rješenje.
Odgovori: 
.
Zapravo, ovdje se opet nema šta posebno komentirati, s obzirom na to da rješenje slijedi gotove formule. Ali ima par komentara.
Dešava se da se kao rezultat proračuna dobiju "loši" nesvodljivi razlomci, na primjer: .
Preporučujem sljedeći algoritam "liječenja". Ako nemate računar pri ruci, uradite ovo:
1) Možda postoji greška u proračunima. Čim naiđete na "loš" razlomak, odmah morate provjeriti Da li je uslov ispravno napisan?. Ako je uslov prepisan bez grešaka, onda morate ponovo izračunati determinante koristeći proširenje u drugom redu (koloni).
2) Ako se kao rezultat provere ne identifikuju greške, onda je najverovatnije došlo do greške u kucanju u uslovima zadatka. U ovom slučaju, mirno i PAŽLJIVO odradite zadatak do kraja, a zatim obavezno provjeri a mi to sastavljamo na čist list nakon odluke. Naravno, provjera razlomaka odgovora je neugodan zadatak, ali će to biti razoružavajući argument za nastavnika, koji zaista voli dati minus za svako sranje poput . Kako postupati s razlomcima detaljno je opisano u odgovoru na primjer 8.
Ako imate računar pri ruci, koristite automatizirani program za provjeru, koji možete besplatno preuzeti na samom početku lekcije. Inače, najisplativije je koristiti program odmah (čak i prije pokretanja rješenja odmah ćete vidjeti međukorak u kojem ste pogriješili); Isti kalkulator automatski izračunava rješenje sistema matrična metoda.
Druga primjedba. S vremena na vrijeme postoje sistemi u čijim jednačinama nedostaju neke varijable, na primjer: 
Ovdje u prvoj jednačini nema varijable, u drugoj nema varijable. U takvim slučajevima veoma je važno pravilno i PAŽLJIVO zapisati glavnu odrednicu: 
– nule se stavljaju na mjesto varijabli koje nedostaju.
Inače, racionalno je otvarati determinante sa nulama prema redu (koloni) u kojem se nula nalazi, jer je primjetno manje proračuna.
Primjer 10
Riješite sistem koristeći Cramerove formule. 
Ovo je primjer za samostalno rješenje (uzorak konačnog dizajna i odgovor na kraju lekcije).
Za slučaj sistema od 4 jednačine sa 4 nepoznate, Cramerove formule se pišu po sličnim principima. Možete vidjeti primjer uživo u lekciji. Svojstva determinante. Redukcija determinante– pet determinanti 4. reda je sasvim rješivo. Iako zadatak već jako podsjeća na profesorsku cipelu na grudima srećnog studenta.
Rješavanje sistema korištenjem inverzne matrice
Metoda inverzne matrice je u suštini poseban slučaj matrična jednačina (Vidi primjer br. 3 navedene lekcije).
Da biste proučili ovaj dio, morate biti u stanju proširiti determinante, pronaći inverznu vrijednost matrice i izvršiti množenje matrice. Relevantne veze će biti dostupne kako objašnjenja budu napredovala.
Primjer 11
Riješite sistem matričnim metodom 
Rješenje: Zapišimo sistem u matričnom obliku:
, Gdje 
Molimo pogledajte sistem jednačina i matrica. Mislim da svi razumiju princip po kojem upisujemo elemente u matrice. Jedini komentar: ako neke varijable nedostaju u jednadžbi, onda bi nule morale biti postavljene na odgovarajuća mjesta u matrici.
Inverznu matricu pronalazimo pomoću formule:
, gdje je transponirana matrica algebarski dodaci odgovarajućim matričnim elementima.
Prvo, pogledajmo determinantu:
Ovdje je determinanta proširena na prvi red.
Pažnja! Ako je , tada inverzna matrica ne postoji i nemoguće je riješiti sistem matričnim metodom. U ovom slučaju sistem je riješen metoda eliminacije nepoznatih (Gaussova metoda).
Sada trebamo izračunati 9 minora i upisati ih u matricu minora 
referenca: Korisno je znati značenje dvostrukih indeksa u linearnoj algebri. Prva cifra je broj reda u kojem se element nalazi. Druga znamenka je broj kolone u kojoj se element nalazi: 
To jest, dvostruki indeks označava da se element nalazi u prvom redu, trećem stupcu i, na primjer, element je u 3 reda, 2 stupca
