Rješavanje matričnih sistema Gaussovom metodom. Gausova metoda ili zašto djeca ne razumiju matematiku

Gaussova metoda savršen za rješavanje linearnih sistema algebarske jednačine(SLAU). Ima niz prednosti u odnosu na druge metode:

• prvo, nema potrebe da se prvo ispita konzistentnost sistema jednačina;
• drugo, Gaussova metoda može riješiti ne samo SLAE u kojima se broj jednačina poklapa sa brojem nepoznatih varijabli i glavna matrica sistema nije singularna, već i sisteme jednačina u kojima se broj jednačina ne poklapa sa broj nepoznatih varijabli ili determinanta glavne matrice jednak je nuli;
• treće, Gausova metoda dovodi do rezultata sa relativno malim brojem računskih operacija.

Kratak pregled članka.

Prvo dajemo potrebne definicije i uvodimo oznake.

Zatim ćemo opisati algoritam Gaussove metode za najjednostavniji slučaj, odnosno za sisteme linearnih algebarskih jednadžbi, broj jednačina u kojima se poklapa sa brojem nepoznatih varijabli i determinanta glavne matrice sistema je nije jednako nuli. Prilikom rješavanja ovakvih sistema jednačina najjasnije je vidljiva suština Gaussove metode, a to je sekvencijalna eliminacija nepoznatih varijabli. Stoga se Gaussova metoda naziva i metodom sekvencijalne eliminacije nepoznanica. Prikazat ćemo detaljna rješenja nekoliko primjera.

U zaključku ćemo razmotriti rješenje Gaussovom metodom sistema linearnih algebarskih jednadžbi čija je glavna matrica pravokutna ili singularna. Rješenje takvih sistema ima neke karakteristike, koje ćemo detaljno ispitati na primjerima.

Navigacija po stranici.

Osnovne definicije i oznake.

Razmotrimo sistem p linearne jednačine sa n nepoznatih (p može biti jednako n):

Gdje su nepoznate varijable, su brojevi (stvarni ili kompleksni) i slobodni termini.

Ako , tada se sistem linearnih algebarskih jednačina naziva homogena, inače - heterogena.

Poziva se skup vrijednosti nepoznatih varijabli za koje sve jednadžbe sistema postaju identiteti odluka SLAU.

Ako postoji barem jedno rješenje za sistem linearnih algebarskih jednadžbi, onda se ono zove joint, inače - non-joint.

Ako SLAE ima jedinstveno rješenje, onda se ono zove siguran. Ako postoji više od jednog rješenja, onda se sistem poziva neizvjesno.

Kažu da je sistem upisan koordinatni oblik, ako ima oblik
.

Ovaj sistem u matrični oblik evidencija ima oblik , gdje - glavna matrica SLAE, - matrica kolone nepoznatih varijabli, - matrica slobodnih termina.

Ako matrici A dodamo matricu-stupac slobodnih pojmova kao (n+1)-ti stupac, dobijamo tzv. proširena matrica sistemi linearnih jednačina. Obično se proširena matrica označava slovom T, a stupac slobodnih pojmova odvojen je okomitom linijom od preostalih stupaca, tj.

Kvadratna matrica A se naziva degenerisati, ako je njegova determinanta nula. Ako je , tada se poziva matrica A nedegenerisan.

Treba napomenuti sljedeću tačku.

Ako radimo sa sistemom linearnih algebarskih jednadžbi sledeće radnje

• zamijenite dvije jednadžbe,
• pomnožite obje strane bilo koje jednadžbe proizvoljnim realnim (ili kompleksnim) brojem k, različitom od nule,
• na obje strane bilo koje jednadžbe dodajte odgovarajuće dijelove druge jednačine, pomnožene proizvoljnim brojem k,

onda dobijete ekvivalentni sistem koji ima ista rješenja (ili, baš kao i originalni, nema rješenja).

Za proširenu matricu sistema linearnih algebarskih jednadžbi, ove akcije će značiti izvođenje elementarnih transformacija sa redovima:

• zamena dva reda,
• množenjem svih elemenata bilo kojeg reda matrice T brojem k koji nije nula,
• dodajući elementima bilo kojeg reda matrice odgovarajuće elemente drugog reda, pomnožene proizvoljnim brojem k.

Sada možemo preći na opis Gaussove metode.

Rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi, u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih, a glavna matrica sistema nije singularna, korištenjem Gaussove metode.

Šta bismo radili u školi kada bismo dobili zadatak da pronađemo rješenje sistema jednačina? .

Neki bi to uradili.

Imajte na umu da dodavanje na lijevu stranu druge jednačine lijeva strana prvo, a na desnoj strani - desnoj, možete se riješiti nepoznatih varijabli x 2 i x 3 i odmah pronaći x 1:

Pronađenu vrijednost x 1 =1 zamjenjujemo u prvu i treću jednačinu sistema:

Ako pomnožimo obje strane treće jednačine sistema sa -1 i dodamo ih odgovarajućim dijelovima prve jednačine, riješit ćemo se nepoznate varijable x 3 i možemo pronaći x 2:

Dobivenu vrijednost x 2 = 2 zamjenjujemo u treću jednačinu i nalazimo preostalu nepoznatu varijablu x 3:

Drugi bi postupili drugačije.

Razriješimo prvu jednačinu sistema u odnosu na nepoznatu varijablu x 1 i zamijenimo rezultirajući izraz u drugu i treću jednačinu sistema kako bismo ovu varijablu isključili iz njih:

Sada riješimo drugu jednačinu sistema za x 2 i zamijenimo rezultirajući rezultat u treću jednačinu da iz nje eliminišemo nepoznatu varijablu x 2:

Iz treće jednačine sistema jasno je da je x 3 =3. Iz druge jednačine nalazimo , a iz prve jednadžbe dobijamo .

Poznata rješenja, zar ne?

Ovdje je najzanimljivije da je druga metoda rješenja u suštini metoda sekvencijalne eliminacije nepoznanica, odnosno Gaussova metoda. Kada smo izrazili nepoznate varijable (prva x 1, u sledećoj fazi x 2) i zamenili ih u preostale jednačine sistema, time smo ih isključili. Vršili smo eliminaciju sve dok u posljednjoj jednačini nije ostala samo jedna nepoznata varijabla. Proces uzastopnog eliminisanja nepoznatih naziva se direktna Gausova metoda. Nakon završetka udar naprijed sada imamo priliku da izračunamo nepoznatu varijablu u posljednjoj jednačini. Uz njegovu pomoć nalazimo sljedeću nepoznatu varijablu iz pretposljednje jednadžbe i tako dalje. Proces sekvencijalnog pronalaženja nepoznatih varijabli dok se kreće od posljednje jednadžbe do prve se naziva obrnuto Gaussova metoda.

Treba napomenuti da kada izrazimo x 1 u terminima x 2 i x 3 u prvoj jednačini, a zatim zamenimo rezultirajući izraz u drugu i treću jednačinu, sljedeće akcije dovode do istog rezultata:

Zaista, takav postupak također omogućava eliminaciju nepoznate varijable x 1 iz druge i treće jednačine sistema:

Nijanse sa eliminacijom nepoznatih varijabli primenom Gausove metode nastaju kada jednačine sistema ne sadrže neke varijable.

Na primjer, u SLAU u prvoj jednačini nema nepoznate varijable x 1 (drugim riječima, koeficijent ispred nje je nula). Dakle, ne možemo riješiti prvu jednačinu sistema za x 1 kako bismo eliminirali ovu nepoznatu varijablu iz preostalih jednačina. Izlaz iz ove situacije je zamjena jednačina sistema. Budući da razmatramo sisteme linearnih jednačina čije su determinante glavnih matrica različite od nule, uvijek postoji jednačina u kojoj je prisutna varijabla koja nam je potrebna, a ovu jednačinu možemo preurediti na poziciju koja nam je potrebna. Za naš primjer, dovoljno je zamijeniti prvu i drugu jednačinu sistema , tada možete riješiti prvu jednačinu za x 1 i isključiti je iz preostalih jednačina sistema (iako x 1 više nije prisutan u drugoj jednačini).

Nadamo se da ste shvatili suštinu.

Hajde da opišemo Algoritam Gausove metode.

Pretpostavimo da trebamo riješiti sistem od n linearnih algebarskih jednačina sa n nepoznatih varijable oblika , i neka je determinanta njegove glavne matrice različita od nule.

Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednačina sistema. Hajde da eliminišemo nepoznatu promenljivu x 1 iz svih jednačina sistema, počevši od druge. Da bismo to učinili, drugoj jednačini sistema dodajemo prvu, pomnoženu sa , trećoj jednačini dodajemo prvu, pomnoženu sa , i tako dalje, na n-tu jednačinu dodajemo prvu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje i .

Do istog rezultata bismo došli da smo izrazili x 1 u terminima drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednačini sistema i zamenili rezultujući izraz u sve ostale jednačine. Dakle, varijabla x 1 je isključena iz svih jednačina, počevši od druge.

Zatim nastavljamo na sličan način, ali samo s dijelom rezultirajućeg sistema koji je označen na slici

Da bismo to učinili, trećoj jednačini sistema dodajemo drugu, pomnoženu sa , četvrtoj jednačini dodamo drugu, pomnoženu sa , i tako dalje, na n-tu jednačinu dodamo drugu, pomnoženu sa . Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje i . Dakle, varijabla x 2 je isključena iz svih jednačina, počevši od treće.

Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznatog x 3, dok slično postupamo sa dijelom sistema označenim na slici

Tako nastavljamo direktnu progresiju Gausove metode sve dok sistem ne poprimi oblik

Od ovog trenutka počinjemo obrnuto od Gaussove metode: izračunavamo x n iz posljednje jednačine kao , koristeći dobivenu vrijednost x n nalazimo x n-1 iz pretposljednje jednačine, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednačine .

Pogledajmo algoritam koristeći primjer.

Primjer.

Gaussova metoda.

Rješenje.

Koeficijent a 11 je različit od nule, pa idemo na direktnu progresiju Gausove metode, odnosno na isključenje nepoznate varijable x 1 iz svih jednačina sistema osim prve. Da biste to učinili, na lijevu i desnu stranu druge, treće i četvrte jednačine dodajte lijevu i desnu stranu prve jednačine, pomnožene sa , respektivno. i :

Nepoznata varijabla x 1 je eliminirana, idemo dalje na eliminaciju x 2 . Na lijevu i desnu stranu treće i četvrte jednačine sistema dodajemo lijevu i desnu stranu druge jednačine, pomnožene sa I :

Da bismo završili napredovanje Gausove metode, moramo eliminisati nepoznatu promenljivu x 3 iz poslednje jednačine sistema. Dodajmo lijevoj i desnoj strani četvrte jednačine, redom, lijevu i desna strana treća jednačina pomnožena sa :

Možete započeti obrnuto od Gaussove metode.

Iz posljednje jednačine imamo ,
iz treće jednačine dobijamo,
od drugog,
od prvog.

Da biste provjerili, možete zamijeniti dobivene vrijednosti nepoznatih varijabli u originalni sistem jednadžbi. Sve jednadžbe se pretvaraju u identitete, što ukazuje da je rješenje Gaussovom metodom pronađeno ispravno.

odgovor:

Sada dajmo rješenje za isti primjer koristeći Gaussovu metodu u matričnom zapisu.

Primjer.

Pronađite rješenje sistema jednačina Gaussova metoda.

Rješenje.

Proširena matrica sistema ima oblik . Na vrhu svake kolone nalaze se nepoznate varijable koje odgovaraju elementima matrice.

Direktan pristup Gaussove metode ovdje uključuje svođenje proširene matrice sistema na trapezoidni oblik koristeći elementarne transformacije. Ovaj proces je sličan eliminaciji nepoznatih varijabli koju smo radili sa sistemom u koordinatnom obliku. Sad ćeš vidjeti ovo.

Transformirajmo matricu tako da svi elementi u prvom stupcu, počevši od drugog, postanu nula. Da bismo to učinili, elementima drugog, trećeg i četvrtog reda dodajemo odgovarajuće elemente prvog reda pomnožene sa , i shodno tome:

Zatim transformiramo rezultirajuću matricu tako da u drugom stupcu svi elementi, počevši od treće, postanu nula. Ovo bi odgovaralo eliminaciji nepoznate varijable x 2 . Da bismo to učinili, elementima trećeg i četvrtog reda dodajemo odgovarajuće elemente prvog reda matrice, pomnožene sa I :

Ostaje da se isključi nepoznata varijabla x 3 iz posljednje jednačine sistema. Da bismo to učinili, elementima posljednjeg reda rezultirajuće matrice dodajemo odgovarajuće elemente pretposljednjeg reda, pomnožene sa :

Treba napomenuti da ova matrica odgovara sistemu linearnih jednačina

koji je dobijen ranije nakon poteza naprijed.

Vrijeme je da se vratimo. U zapisu matrice, inverzna Gaussova metoda uključuje transformaciju rezultirajuće matrice tako da matrica označena na slici

postala dijagonalna, odnosno poprimila oblik

gdje su neki brojevi.

Ove transformacije su slične transformacijama naprijed Gaussove metode, ali se ne izvode od prvog reda do posljednjeg, već od posljednjeg do prvog.

Dodajte elementima trećeg, drugog i prvog reda odgovarajuće elemente posljednjeg reda, pomnožene sa , bez prestanka odnosno:

Sada dodajte elementima drugog i prvog reda odgovarajuće elemente trećeg reda, pomnožene sa i sa, respektivno:

U posljednjem koraku obrnute Gaussove metode, elementima prvog reda dodajemo odgovarajuće elemente drugog reda, pomnožene sa:

Rezultirajuća matrica odgovara sistemu jednačina , odakle nalazimo nepoznate varijable.

odgovor:

BILJEŠKA.

Prilikom korištenja Gaussove metode za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi treba izbjegavati približne proračune, jer to može dovesti do potpuno netačnih rezultata. Preporučujemo da ne zaokružujete decimale. Bolje od decimale prijeđite na obične razlomke.

Primjer.

Riješite sistem od tri jednačine pomoću Gaussove metode .

Rješenje.

Imajte na umu da u ovom primjeru nepoznate varijable imaju drugačiju oznaku (ne x 1, x 2, x 3, već x, y, z). Pređimo na obične razlomke:

Isključimo nepoznati x iz druge i treće jednačine sistema:

U rezultirajućem sistemu, nepoznata varijabla y je odsutna u drugoj jednačini, ali je y prisutna u trećoj jednačini, stoga zamijenimo drugu i treću jednačinu:

Ovo završava direktnu progresiju Gaussove metode (nema potrebe da se y isključi iz treće jednačine, pošto ova nepoznata varijabla više ne postoji).

Počnimo obrnutim potezom.

Iz posljednje jednačine nalazimo ,
od pretposljednjeg


iz prve jednačine koju imamo

odgovor:

X = 10, y = 5, z = -20.

Rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina u kojima se broj jednačina ne poklapa sa brojem nepoznatih ili glavnom matricom sistema je singularno, primenom Gaussove metode.

Sistemi jednačina, čija je glavna matrica pravougaona ili kvadratna singularna, mogu imati bez rješenja, mogu imati jedno rješenje ili mogu imati beskonačan broj rješenja.

Sada ćemo shvatiti kako nam Gaussova metoda omogućava da utvrdimo kompatibilnost ili nekonzistentnost sistema linearnih jednačina, iu slučaju njegove kompatibilnosti, odredimo sva rješenja (ili jedno jedino rješenje).

U principu, proces eliminacije nepoznatih varijabli u slučaju takvih SLAE ostaje isti. Međutim, vrijedno je ići u detalje o nekim situacijama koje se mogu pojaviti.

Pređimo na najvažniju fazu.

Dakle, pretpostavimo da sistem linearnih algebarskih jednadžbi, nakon završetka napredovanja Gaussove metode, poprima oblik i nijedna jednačina nije svedena na (u ovom slučaju bismo zaključili da je sistem nekompatibilan). Postavlja se logično pitanje: "Šta dalje"?

Zapišimo nepoznate varijable koje se nalaze na prvom mjestu u svim jednadžbama rezultirajućeg sistema:

U našem primjeru to su x 1, x 4 i x 5. Na lijevoj strani jednadžbi sistema ostavljamo samo one članove koji sadrže napisane nepoznate varijable x 1, x 4 i x 5, a ostali članovi se prenose na desnu stranu jednadžbe sa suprotnim predznakom:

Zadajmo nepoznate varijable koje se nalaze na desnoj strani jednadžbe proizvoljne vrijednosti, gdje je - proizvoljni brojevi:

Nakon toga, desna strana svih jednadžbi naše SLAE sadrži brojeve i možemo preći na obrnuto od Gaussove metode.

Iz zadnje jednačine sistema imamo, iz pretposljednje jednačine nalazimo, iz prve jednačine dobijamo

Rješenje sistema jednačina je skup vrijednosti nepoznatih varijabli

Davanje brojeva različite vrijednosti, dobićemo različita rješenja sistema jednačina. To jest, naš sistem jednačina ima beskonačno mnogo rješenja.

odgovor:

Gdje - proizvoljni brojevi.

Da bismo konsolidirali materijal, detaljno ćemo analizirati rješenja još nekoliko primjera.

Primjer.

Odluči se homogeni sistem linearne algebarske jednadžbe Gaussova metoda.

Rješenje.

Isključimo nepoznatu varijablu x iz druge i treće jednačine sistema. Da bismo to učinili, na lijevu i desnu stranu druge jednačine dodajemo, redom, lijevu i desnu stranu prve jednadžbe, pomnoženu sa , a lijevoj i desnoj strani treće jednadžbe dodajemo lijevu i desnu stranu prve jednadžbe desne strane prve jednadžbe, pomnožene sa:

Sada isključimo y iz treće jednačine rezultirajućeg sistema jednačina:

Rezultirajući SLAE je ekvivalentan sistemu .

Na lijevoj strani sistemskih jednačina ostavljamo samo članove koji sadrže nepoznate varijable x i y, a članove s nepoznatom varijablom z pomjeramo na desnu stranu:

Neka je zadan sistem linearnih algebarskih jednadžbi koje treba riješiti (naći takve vrijednosti nepoznanica xi koje pretvaraju svaku jednačinu sistema u jednakost).

Znamo da sistem linearnih algebarskih jednadžbi može:

1) Nemati rješenja (biti non-joint).
2) Imati beskonačno mnogo rješenja.
3) Imati jedno rješenje.

Kao što se sjećamo, Cramerovo pravilo i matrična metoda su neprikladni u slučajevima kada sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. Gaussova metoda – najmoćniji i najsvestraniji alat za pronalaženje rješenja za bilo koji sistem linearnih jednačina, koji u svakom slučajuće nas dovesti do odgovora! Algoritam same metode u svemu tri slučaja radi isto. Ako Cramer i matrične metode zahtijevaju poznavanje determinanti, onda za primjenu Gaussove metode potrebno je samo znanje aritmetičke operacije, što ga čini dostupnim čak i učenicima osnovnih škola.

Proširene matrične transformacije ( ovo je matrica sistema - matrica sastavljena samo od koeficijenata nepoznatih, plus kolona slobodnih termina) sistemi linearnih algebarskih jednadžbi u Gaussovom metodu:

1) With troki matrice Može preurediti na nekim mjestima.

2) ako su se proporcionalne pojavile (ili postoje) u matrici (kao poseban slučaj– identične) linije, onda slijedi izbrisati Svi ovi redovi su iz matrice osim jednog.

3) ako se nulti red pojavi u matrici tokom transformacije, onda bi i trebao biti izbrisati.

4) red matrice može biti pomnožiti (podijeliti) na bilo koji broj osim nule.

5) na red matrice možete dodajte još jedan niz pomnožen brojem, različito od nule.

U Gauss metodi, elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sistema jednačina.

Gaussova metoda se sastoji od dvije faze:

1. “Direktan potez” - koristeći elementarne transformacije, dovedite proširenu matricu sistema linearnih algebarskih jednadžbi u oblik “trouglastog” koraka: elementi proširene matrice koji se nalaze ispod glavne dijagonale jednaki su nuli (pomak odozgo prema dolje). Na primjer, na ovu vrstu:

Da biste to učinili, izvršite sljedeće korake:

1) Razmotrimo prvu jednačinu sistema linearnih algebarskih jednačina i koeficijent za x 1 je jednak K. Druga, treća itd. transformiramo jednadžbe na sljedeći način: svaku jednačinu (koeficijente nepoznatih, uključujući slobodne članove) podijelimo s koeficijentom nepoznatog x 1, koji se nalazi u svakoj jednadžbi, i pomnožimo sa K. Nakon toga, prvu oduzmemo od druga jednačina (koeficijenti nepoznatih i slobodnih članova). Za x 1 u drugoj jednačini dobijamo koeficijent 0. Od treće transformisane jednačine oduzimamo prvu jednačinu sve dok sve jednačine osim prve, za nepoznato x 1, ne budu imale koeficijent 0.

2) Pređimo na sljedeću jednačinu. Neka je ovo druga jednačina i koeficijent za x 2 jednak M. Nastavljamo sa svim „nižim“ jednadžbama kako je gore opisano. Dakle, "ispod" nepoznatog x 2 će biti nule u svim jednačinama.

3) Prijeđite na sljedeću jednačinu i tako dalje dok ne ostane posljednja nepoznanica i transformirani slobodni član.

1. „Obrnuti potez” Gaussove metode je da se dobije rešenje sistema linearnih algebarskih jednačina (pomeranje „odozdo prema gore”). Iz posljednje “niže” jednačine dobijamo jedno prvo rješenje - nepoznato x n. Da bismo to uradili, rešavamo elementarnu jednačinu A * x n = B. U gore datom primeru, x 3 = 4. Pronađenu vrednost zamenjujemo u „gornju“ sledeću jednačinu i rešavamo je u odnosu na sledeću nepoznanicu. Na primjer, x 2 – 4 = 1, tj. x 2 = 5. I tako sve dok ne nađemo sve nepoznate.

Primjer.

Rešimo sistem linearnih jednačina Gaussovom metodom, kako savetuju neki autori:

Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:

Gledamo gornji levi „stupak“. Trebalo bi da imamo jednu tamo. Problem je što u prvoj koloni uopće nema jedinica, tako da preuređivanje redova neće ništa riješiti. U takvim slučajevima, jedinica mora biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina. Uradimo ovo:
1 korak . Prvom redu dodajemo drugi red, pomnožen sa –1. Odnosno, mentalno smo pomnožili drugi red sa –1 i dodali prvi i drugi red, dok se drugi red nije promijenio.

Sada u gornjem levom uglu stoji „minus jedan“, što nam sasvim odgovara. Svako ko želi dobiti +1 može izvršiti dodatnu radnju: pomnožiti prvi red sa –1 (promijeniti njegov predznak).

Korak 2 . Prvi red, pomnožen sa 5, dodat je drugom redu, a prvi red, pomnožen sa 3, dodat je trećem redu.

Korak 3 . Prvi red je pomnožen sa –1, u principu, ovo je za lepotu. Promijenjen je i predznak trećeg reda i pomjeren je na drugo mjesto, tako da smo na drugom “korak” imali potrebnu jedinicu.

Korak 4 . Treći red je dodat drugom redu, pomnožen sa 2.

Korak 5 . Treći red je podijeljen sa 3.

Znak koji ukazuje na grešku u proračunima (rjeđe, grešku u kucanju) je „loš“ krajnji rezultat. Odnosno, ako imamo nešto poput (0 0 11 |23) ispod, i, shodno tome, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, onda sa velikim stepenom verovatnoće možemo reći da je greška napravljena tokom osnovnog transformacije.

Učinimo obrnuto; u dizajnu primjera, sam sistem se često ne prepisuje, već se jednačine „preuzimaju direktno iz date matrice“. Obrnuti potez, podsjećam, radi odozdo prema gore. U ovom primjeru, rezultat je bio poklon:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, dakle x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Odgovori:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Rešimo isti sistem koristeći predloženi algoritam. Dobijamo

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Drugu jednačinu podijelimo sa 5, a treću sa 3. Dobijamo:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Pomnoživši drugu i treću jednačinu sa 4, dobijamo:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Oduzmimo prvu jednačinu od druge i treće jednačine, imamo:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Podijelite treću jednačinu sa 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Pomnožite treću jednačinu sa 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Oduzimanjem druge od treće jednačine dobijamo „stepenastu“ proširenu matricu:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Dakle, pošto se greška nakupila tokom izračunavanja, dobijamo x 3 = 0,96 ili približno 1.

x 2 = 3 i x 1 = –1.

Ovakvim rješavanjem nikada se nećete zbuniti u proračunima i, uprkos greškama u proračunu, dobit ćete rezultat.

Ova metoda rješavanja sistema linearnih algebarskih jednadžbi je laka za programiranje i ne uzima u obzir specifične karakteristike koeficijenti za nepoznate, jer se u praksi (u ekonomskim i tehničkim proračunima) mora nositi sa necjelobrojnim koeficijentima.

Želim ti uspjeh! Vidimo se na času! Učitelj.

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.

Neka je sistem zadan, ∆≠0. (1)
Gaussova metoda je metoda sekvencijalnog eliminisanja nepoznatih.

Suština Gaussove metode je transformacija (1) u sistem sa trouglastom matricom, iz koje se zatim sekvencijalno (obrnuto) dobijaju vrijednosti svih nepoznatih. Razmotrimo jednu od računskih shema. Ovo kolo se zove jednostruko kolo. Pogledajmo ovaj dijagram. Neka 11 ≠0 (vodeći element) podijeli prvu jednačinu sa 11. Dobijamo
(2)
Koristeći jednačinu (2), lako je eliminisati nepoznanice x 1 iz preostalih jednačina sistema (da biste to učinili, dovoljno je oduzeti jednačinu (2) od svake jednačine, prethodno pomnoženu odgovarajućim koeficijentom za x 1) , odnosno u prvom koraku dobijamo
.
Drugim riječima, u koraku 1, svaki element sljedećih redova, počevši od drugog, jednak je razlici između originalnog elementa i proizvoda njegove “projekcije” na prvi stupac i prvi (transformirani) red.
Nakon toga, ostavljajući prvu jednačinu na miru, vršimo sličnu transformaciju nad preostalim jednadžbama sistema dobijenim u prvom koraku: između njih biramo jednačinu s vodećim elementom i uz nju isključujemo x 2 iz preostalih jednačine (korak 2).
Nakon n koraka, umjesto (1), dobijamo ekvivalentni sistem
(3)
Dakle, u prvoj fazi dobijamo trouglasti sistem (3). Ova faza se zove napred.
U drugoj fazi (obrnuto), nalazimo sekvencijalno iz (3) vrijednosti x n, x n -1, ..., x 1.
Označimo rezultirajuće rješenje sa x 0 . Tada je razlika ε=b-A x 0 naziva rezidualnim.
Ako je ε=0, tada je pronađeno rješenje x 0 tačno.

Proračuni pomoću Gaussove metode se izvode u dvije faze:

1. Prva faza se zove metoda naprijed. U prvoj fazi, originalni sistem se pretvara u trouglasti oblik.
2. Druga faza se zove obrnuti hod. U drugoj fazi rješava se trouglasti sistem koji je ekvivalentan originalnom.

Koeficijenti a 11, a 22, ... nazivaju se vodeći elementi.
U svakom koraku pretpostavljalo se da je vodeći element različit od nule. Ako to nije slučaj, onda se bilo koji drugi element može koristiti kao vodeći element, kao da preuređuje jednačine sistema.

Svrha Gaussove metode

Gaussova metoda je dizajnirana za rješavanje sistema linearnih jednačina. Odnosi se na metode direktnog rješenja.

Vrste Gausove metode

1. Klasična Gausova metoda;
2. Modifikacije Gaussove metode. Jedna od modifikacija Gausove metode je šema sa izborom glavnog elementa. Karakteristika Gaussove metode sa izborom glavnog elementa je takvo preuređenje jednadžbi tako da se u k-tom koraku vodeći element ispostavi kao najveći element u k-tom stupcu.
3. Jordano-Gaussova metoda;

Razlika između Jordano-Gaussove metode i klasične Gaussova metoda sastoji se u primjeni pravila pravokutnika, kada se smjer traženja rješenja javlja duž glavne dijagonale (transformacija u matricu identiteta). Kod Gaussove metode, smjer traženja rješenja odvija se duž kolona (transformacija u sistem sa trouglastom matricom).
Hajde da ilustrujemo razliku Jordano-Gaussova metoda iz Gausove metode sa primjerima.

Primjer rješenja korištenjem Gausove metode
Rešimo sistem:

Radi lakšeg izračunavanja, zamijenimo redove:

Pomnožimo 2. red sa (2). Dodajte 3. red u 2.

Pomnožite 2. red sa (-1). Dodajte 2. red u prvi

Iz 1. reda izražavamo x 3:
Iz 2. reda izražavamo x 2:
Iz trećeg reda izražavamo x 1:

Primjer rješenja korištenjem Jordano-Gaussove metode
Rešimo isti SLAE koristeći Jordano-Gaussov metod.

Selektovaćemo sekvencijalno razlučujući element RE, koji leži na glavnoj dijagonali matrice.
Element rezolucije je jednak (1).



NE = SE - (A*B)/RE
RE - razlučujući element (1), A i B - matrični elementi koji formiraju pravougaonik sa elementima STE i RE.
Predstavimo proračun svakog elementa u obliku tabele:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Element razlučivanja je jednak (3).
Umjesto elementa za rješavanje dobijamo 1, au samom stupcu upisujemo nule.
Svi ostali elementi matrice, uključujući elemente kolone B, određeni su pravilom pravokutnika.
Da bismo to učinili, biramo četiri broja koji se nalaze na vrhovima pravokutnika i uvijek uključuju razrješavajući element RE.

x 1	x 2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Element rezolucije je (-4).
Umjesto elementa za rješavanje dobijamo 1, au samom stupcu upisujemo nule.
Svi ostali elementi matrice, uključujući elemente kolone B, određeni su pravilom pravokutnika.
Da bismo to učinili, biramo četiri broja koji se nalaze na vrhovima pravokutnika i uvijek uključuju razrješavajući element RE.
Predstavimo proračun svakog elementa u obliku tabele:

x 1	x 2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Odgovori: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Implementacija Gausove metode

Gausova metoda je implementirana u mnogim programskim jezicima, posebno: Pascal, C++, php, Delphi, a postoji i online implementacija Gausove metode.

Korištenje Gaussove metode

Primjena Gaussove metode u teoriji igara

U teoriji igara, pri pronalaženju maksimalne optimalne strategije igrača, sastavlja se sistem jednačina koji se rješava Gaussovom metodom.

Primjena Gaussove metode u rješavanju diferencijalnih jednadžbi

Da biste pronašli određeno rješenje diferencijalne jednadžbe, prvo pronađite izvode odgovarajućeg stepena za napisano parcijalno rješenje (y=f(A,B,C,D)), koji se zamjenjuju u originalna jednadžba. Sljedeći pronaći varijable A,B,C,D sistem jednačina se sastavlja i rješava Gausovom metodom.

Primjena Jordano-Gaussove metode u linearnom programiranju

IN linearno programiranje, posebno u simpleks metodi, pravilo pravokutnika, koje koristi Jordano-Gaussov metod, koristi se za transformaciju simpleks tablice na svakoj iteraciji.

Carl Friedrich Gauss, najveći matematičar dugo vremena oklevao, birajući između filozofije i matematike. Možda mu je upravo taj način razmišljanja omogućio da napravi tako uočljivo "naslijeđe" u svjetskoj nauci. Konkretno, stvaranjem "Gaussove metode" ...

Gotovo 4 godine, članci na ovom sajtu su se bavili školskim obrazovanjem, uglavnom sa stanovišta filozofije, principima (ne)razumijevanja koji se uvode u svijest djece. Dolazi vrijeme konkretnijih, primjera i metoda... Vjerujem da je upravo to pristup poznatom, zbunjujućem i bitan oblasti života daje bolje rezultate.

Mi smo ljudi dizajnirani tako da ma koliko pričali apstraktno razmišljanje, Ali razumijevanje Uvijek dešava se kroz primjere. Ako nema primjera, onda je nemoguće shvatiti principe... Kao što je nemoguće doći do vrha planine osim hodanjem cijelom strminom od podnožja.

Isto i sa školom: za sada žive priče Nije dovoljno što ga instinktivno nastavljamo smatrati mjestom gdje se djeca uče da razumiju.

Na primjer, podučavanje Gaussove metode...

Gaussova metoda u 5. razredu škole

Odmah da rezervišem: Gausova metoda ima mnogo više široka primena, na primjer, prilikom rješavanja sistemi linearnih jednačina. Ono o čemu ćemo pričati dešava se u 5. razredu. Ovo počeo, shvativši koje, mnogo je lakše razumjeti "naprednije opcije". U ovom članku govorimo o Gaussova metoda (metoda) za pronalaženje zbira niza

Evo primjera koji sam donio iz škole mlađi sin, pohađa 5. razred moskovske gimnazije.

Školska demonstracija Gaussove metode

Nastavnik matematike koristi interaktivna tabla (savremenim metodama trening) deci je pokazao prezentaciju istorije „stvaranja metode“ od strane malog Gausa.

Učiteljica je bičevala malog Karla (zastarjela metoda, koja se ovih dana ne koristi u školama) jer je on

umjesto uzastopnog sabiranja brojeva od 1 do 100, pronađite njihov zbir primijetio da parovi brojeva koji su jednako razmaknuti od rubova aritmetičke progresije sabiraju isti broj. na primjer, 100 i 1, 99 i 2. Prebrojavši broj takvih parova, mali Gauss je gotovo trenutno riješio problem koji je predložio učitelj. Zbog čega je pogubljen pred zapanjenom javnošću. Kako bi drugi bili obeshrabreni u razmišljanju.

Šta je uradio mali Gauss? razvijen smisao broja? Primećeno neke karakteristike brojevni niz sa konstantnim korakom (aritmetička progresija). I upravo ovo kasnije ga je učinio velikim naučnikom, oni koji znaju da primete, imajući osećaj, instinkt razumevanja.

Zato je matematika vrijedna, razvija se sposobnost da se vidi generalno posebno - apstraktno razmišljanje . Dakle, većina roditelja i poslodavaca instinktivno smatraju matematiku važnom disciplinom ...

„Onda treba da naučite matematiku, jer to dovodi u red vaš um.
M.V.Lomonosov“.

Međutim, sljedbenici onih koji su buduće genije bičevali štapovima pretvorili su Metodu u nešto suprotno. Kao što je moj prijatelj rekao prije 35 godina naučni savetnik: "Naučili su pitanje." Ili kao što je moj najmlađi sin juče rekao o Gaussovoj metodi: „Možda nije vredno praviti veliku nauku od ovoga, ha?“

Posledice kreativnosti „naučnika” vidljive su u nivou aktuelne školske matematike, nivou njene nastave i shvatanju „Kraljice nauka” kod većine.

Ipak, nastavimo...

Metode objašnjenja Gaussove metode u 5. razredu škole

Nastavnik matematike u moskovskoj gimnaziji, objašnjavajući Gaussovu metodu prema Vilenkinu, zakomplikovao je zadatak.

Šta ako razlika (korak) aritmetičke progresije nije jedan, već drugi broj? Na primjer, 20.

Problem koji je zadao učenicima petog razreda:

20+40+60+80+ ... +460+480+500

Prije nego što se upoznamo sa gimnazijskom metodom, pogledajmo internet: kako to rade školski nastavnici i profesori matematike?..

Gausova metoda: objašnjenje br. 1

Poznati tutor na svom YOUTUBE kanalu daje sljedeće obrazloženje:

„Zapišimo brojeve od 1 do 100 na sljedeći način:

prvo niz brojeva od 1 do 50, a striktno ispod njega još jedan niz brojeva od 50 do 100, ali obrnutim redoslijedom"

1, 2, 3, ... 48, 49, 50

100, 99, 98 ... 53, 52, 51

"Imajte na umu: zbir svakog para brojeva iz gornjeg i donjeg reda je isti i jednak je 101! Izbrojimo broj parova, on je 50 i pomnožimo zbir jednog para sa brojem parova! Voila: odgovor je spreman!"

„Ako nisi mogao da razumeš, nemoj se nervirati!”, ponovio je učitelj tri puta tokom objašnjenja. "Ovu metodu ćete uzeti u 9. razredu!"

Gausova metoda: objašnjenje br. 2

Drugi tutor, manje poznat (sudeći po broju pregleda), koristi naučniji pristup, nudeći algoritam rješenja od 5 tačaka koji se moraju popuniti uzastopno.

Za neupućene, 5 je jedan od Fibonačijevih brojeva koji se tradicionalno smatraju magičnim. Metoda od 5 koraka je uvijek naučnija od metode od 6 koraka, na primjer. ...I teško da je ovo slučajno, najverovatnije, Autor je skriveni pristalica Fibonačijeve teorije

Dana aritmetička progresija: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .

Algoritam za pronalaženje zbira brojeva u nizu pomoću Gaussove metode:

Korak 1: prepišite dati niz brojeva u obrnutom smjeru, upravo ispod prvog.

4, 10, 16 ... 244, 250, 256

256, 250, 244 ... 16, 10, 4

Korak 2: izračunajte zbir parova brojeva koji se nalaze u vertikalnim redovima: 260.

Korak 3: prebrojite koliko je takvih parova u nizu brojeva. Da biste to učinili, oduzmite minimum od maksimalnog broja niza brojeva i podijelite s veličinom koraka: (256 - 4) / 6 = 42.

Istovremeno, morate zapamtiti plus jedno pravilo : moramo dodati jedan rezultujućem količniku: inače ćemo dobiti rezultat koji je za jedan manji od pravog broja parova: 42 + 1 = 43.

Korak 4: Pomnožite zbir jednog para brojeva sa brojem parova: 260 x 43 = 11.180

Korak 5: pošto smo izračunali iznos parovi brojeva, tada bi dobiveni iznos trebao podijeliti sa dva: 11,180 / 2 = 5590.

Ovo je potreban zbir aritmetičke progresije od 4 do 256 sa razlikom od 6!

Gaussova metoda: objašnjenje u 5. razredu moskovske gimnazije

Evo kako riješiti problem pronalaženja zbira niza:

20+40+60+ ... +460+480+500

u 5. razredu moskovske gimnazije, Vilenkinov udžbenik (prema mom sinu).

Nakon prikaza prezentacije, nastavnik matematike je pokazao nekoliko primjera koristeći Gaussovu metodu i dao razredu zadatak da pronađe zbir brojeva u nizu u koracima od 20.

Za to je bilo potrebno sljedeće:

Korak 1: obavezno zapišite sve brojeve u nizu u svoju bilježnicu od 20 do 500 (u koracima od 20).

2. korak: zapišite sekvencijalne pojmove - parove brojeva: prvi sa zadnjim, drugi sa pretposljednjim itd. i izračunati njihove iznose.

Korak 3: izračunajte "zbir suma" i pronađite zbir cijelog niza.

Kao što vidite, ovo je kompaktnije i efektivna tehnika: broj 3 je takođe član Fibonačijevog niza

Moji komentari o školskoj verziji Gaussove metode

Veliki matematičar bi definitivno odabrao filozofiju da je predvidio u šta će njegov "metod" pretvoriti njegovi sljedbenici Nastavnica njemačkog, koji je bičevao Karla štapovima. Video bi simboliku, dijalektičku spiralu i beskonačnu glupost "učitelja", pokušavajući da izmeri harmoniju žive matematičke misli sa algebrom nesporazuma ....

Usput: da li ste znali. da je naš obrazovni sistem ukorijenjen u njemačkoj školi 18. i 19. vijeka?

Ali Gauss je izabrao matematiku.

Šta je suština njegove metode?

IN pojednostavljenje. IN posmatranje i hvatanje jednostavni obrasci brojeva. IN pretvaranje suve školske aritmetike u zanimljiva i uzbudljiva aktivnost , aktivirajući u mozgu želju za nastavkom, umjesto da blokiraju skupu mentalnu aktivnost.

Da li je moguće koristiti jednu od datih "modifikacija Gaussove metode" za izračunavanje sume brojeva aritmetičke progresije skoro odmah? Prema „algoritmima“, mali Karl bi garantovano izbegao batinanje, razvio averziju prema matematici i potisnuo svoje kreativne impulse u korenu.

Zašto je učiteljica tako uporno savjetovala petake „da se ne boje pogrešnog razumijevanja“ metode, uvjeravajući ih da će „takve“ probleme rješavati već u 9. razredu? Psihološki nepismena akcija. Bio je to dobar potez za napomenuti: "Vidimo se već u 5. razredu možeš riješite probleme koje ćete riješiti tek za 4 godine! Kakav si ti sjajan momak!”

Za korištenje Gaussove metode dovoljan je nivo klase 3, kada normalna djeca već znaju da zbrajaju, množe i dijele 2-3 cifre. Problemi nastaju zbog nesposobnosti odraslih nastavnika koji su „van kontakta“ da normalnim ljudskim jezikom objasne najjednostavnije stvari, a da ne govorimo o matematici... Oni nisu u stanju da zainteresuju ljude za matematiku i potpuno obeshrabre čak i one koji „ sposoban.”

Ili, kako je moj sin prokomentarisao: „napraviti veliku nauku od toga“.

Kako unutra opšti slučaj) saznati koji broj treba koristiti za „proširivanje“ zapisa brojeva u metodi br. 1?

Šta učiniti ako se pokaže da je broj članova serije jednak odd?

Zašto pretvoriti u “Pravilo plus 1” nešto što bi dijete jednostavno moglo naučitičak i u prvom razredu, da sam razvio „čulo za brojeve“, i nisam se setio"broj do deset"?

I na kraju: gdje je nestala NULA, briljantan izum star više od 2.000 godina i koji savremeni nastavnici matematike izbjegavaju koristiti?!

Gaussova metoda, moja objašnjenja

Supruga i ja smo objasnili svom detetu ovu "metodu", izgleda, još pre škole...

Jednostavnost umjesto složenosti ili igra pitanja i odgovora

"Vidi, evo brojeva od 1 do 100. Šta vidiš?"

Poenta nije u tome šta dete tačno vidi. Trik je u tome da ga nateramo da pogleda.

"Kako ih možete spojiti?" Sin je shvatio da se takva pitanja ne postavljaju "tek tako" i da na to pitanje treba gledati "nekako drugačije, drugačije nego što on obično radi"

Nije bitno da li dete odmah vidi rešenje, malo je verovatno. Važno je da on prestao da se plaši da gledam, ili kako ja kažem: "pomerio zadatak". Ovo je početak puta ka razumijevanju

„Šta je lakše: sabiranje, na primjer, 5 i 6 ili 5 i 95?“ Sugestivno pitanje... Ali svaka obuka se svodi na to da osobu „vodi“ do „odgovora“ – na bilo koji njemu prihvatljiv način.

U ovoj fazi već se mogu pojaviti nagađanja o tome kako "uštedjeti" na proračunima.

Sve što smo uradili je nagovještaj: “frontalni, linearni” način brojanja nije jedini mogući. Ako dijete to shvati, kasnije će smisliti još mnogo takvih metoda, jer je zanimljivo!!! I definitivno će izbjeći "nerazumijevanje" matematike i neće se osjećati gađenjem prema njoj. Dobio je pobjedu!

Ako dete otkriveno da je onda sabiranje parova brojeva koji sabiraju do stotinu "aritmetička progresija s razlikom 1"- prilično turobna i nezanimljiva stvar za dijete - odjednom našao život za njega . Red je nastao iz haosa, a to uvijek izaziva entuzijazam: tako smo stvoreni!

Pitanje na koje treba odgovoriti: zašto ga nakon uvida koje dijete dobije, opet tjerati u okvire suhih algoritama, koji su u ovom slučaju i funkcionalno beskorisni?!

Zašto forsirati glupo prepisivanje? redni brojevi u svesci: tako da ni sposobni nemaju ni jednu šansu da razumeju? Statistički, naravno, ali masovno obrazovanje je usmjereno na "statistiku"...

Gdje je nestala nula?

Pa ipak, sabiranje brojeva koji zbrajaju do 100 mnogo je prihvatljivije za um od onih koji zbrajaju 101...

"Metoda Gaussove škole" zahteva upravo ovo: bezumno fold parovi brojeva jednako udaljeni od centra progresije, Uprkos svemu.

Šta ako pogledaš?

Ipak, nula je najveći izum čovječanstva, star više od 2.000 godina. A profesori matematike ga i dalje ignorišu.

Mnogo je lakše transformisati niz brojeva koji počinje sa 1 u niz koji počinje sa 0. Zbir se neće promeniti, zar ne? Morate prestati "razmišljati u udžbenicima" i početi tražiti... I vidite da se parovi sa zbrojem 101 mogu u potpunosti zamijeniti parovima sa zbrojem od 100!

0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51

Kako ukinuti "pravilo plus 1"?

Da budem iskren, prvi put sam čuo za takvo pravilo od onog YouTube tutora...

Šta još da radim kada trebam odrediti broj članova serije?

Gledam redosled:

1, 2, 3, .. 8, 9, 10

a kada ste potpuno umorni, pređite na jednostavniji red:

1, 2, 3, 4, 5

i pretpostavljam: ako oduzmete jedan od 5, dobićete 4, ali apsolutno sam jasan vidim 5 brojeva! Stoga, morate dodati jedan! Razvio se smisao za brojeve osnovna škola, sugerira: čak i ako postoji cijeli Gugl članova serije (10 na stotu potenciju), obrazac će ostati isti.

Koja su pravila?..

Pa da za par-tri godine popuniš sav prostor između čela i potiljka i prestaneš da razmišljaš? Kako zaraditi svoj kruh i puter? Na kraju krajeva, ravnomjerno se krećemo u eru digitalne ekonomije!

Više o Gaussovoj školskoj metodi: „Zašto praviti nauku od ovoga?..“

Nije uzalud objavio snimak ekrana iz sveske mog sina...

"Šta se dogodilo na času?"

"Pa, ja sam odmah prebrojao, podigao ruku, ali ona nije pitala. Zato sam, dok su ostali brojali, počeo da radim domaći na ruskom da ne gubim vreme. Onda, kada su ostali završili pisanje (? ??), pozvala me je na tablu. Rekao sam odgovor."

"Tako je, pokaži mi kako si to riješio", rekao je učitelj. Pokazao sam to. Rekla je: „Pogrešno, treba da brojiš kao što sam pokazala!“

"Dobro je da nije dala lošu ocjenu. I natjerala me da na njihov način zapišem u njihovu svesku "tok rješenja". Zašto od ovoga praviti veliku nauku?.."

Glavni zločin nastavnika matematike

Jedva posle taj incident Carl Gauss je iskusio veliko poštovanje prema svom školskom nastavniku matematike. Ali kad bi znao kako sledbenici tog učitelja će iskriviti samu suštinu metode...urlao bi od ogorčenja i kroz Svjetsku organizaciju intelektualno vlasništvo WIPO je postigao zabranu upotrebe svog poštenog imena u školskim udžbenicima!..

U čemu glavna greškaškolski pristup? Ili, kako sam rekao, zločin školskih nastavnika matematike nad djecom?

Algoritam nesporazuma

Šta rade školski metodičari, od kojih velika većina ne zna razmišljati?

Oni kreiraju metode i algoritme (vidi). Ovo odbrambena reakcija koja štiti nastavnike od kritike (“Sve se radi po...”), a djecu od razumijevanja. I tako – iz želje da se kritikuju nastavnici!(Drugi derivat birokratske „mudrosti“, naučni pristup problemu). Osoba koja ne shvaća značenje radije će kriviti svoje nerazumijevanje, a ne glupost školskog sistema.

Evo šta se dešava: roditelji krive svoju decu, a učitelji... čine isto za decu koja "ne razumeju matematiku!"

Jesi li pametan?

Šta je uradio mali Karl?

Potpuno nekonvencionalan pristup formulisanom zadatku. Ovo je suština Njegovog pristupa. Ovo glavna stvar koju treba naučiti u školi je razmišljati ne udžbenicima, već svojom glavom. Naravno, postoji i instrumentalna komponenta koja se može koristiti... u potrazi jednostavnije i efikasne metode račune.

Gaussova metoda prema Vilenkinu

U školi uče da je Gaussova metoda da

u parovima pronaći zbir brojeva jednako udaljenih od rubova niza brojeva, svakako počevši od ivica!

pronaći broj takvih parova itd.

Šta, ako je broj elemenata serije neparan, kao u problemu koji je dodeljen mom sinu?..

"Kvaka" je u tome u ovom slučaju trebalo bi da nađete "dodatni" broj u seriji i dodajte je zbiru parova. U našem primjeru ovaj broj je 260.

Kako otkriti? Kopiranje svih parova brojeva u svesku!(Zato je učitelj natjerao djecu da rade ovaj glupi posao pokušavajući da podučavaju "kreativnost" koristeći Gaussovu metodu... I zato je takva "metoda" praktično neprimjenjiva na velike serije podataka, I zato je ne Gausovom metodom.)

Malo kreativnosti u skolskoj rutini...

Sin je postupio drugačije.

Prvo je primijetio da je lakše pomnožiti broj 500, a ne 520

(20 + 500, 40 + 480 ...).

Zatim je izračunao: broj koraka se pokazao neparnim: 500 / 20 = 25.

Zatim je na početak serije dodao NULU (iako je bilo moguće odbaciti zadnji član serije, što bi također osiguralo paritet) i dodao brojeve dajući ukupno 500

0+500, 20+480, 40+460 ...

26 koraka je 13 parova "petsto": 13 x 500 = 6500..

Ako odbacimo posljednji član serije, tada će parova biti 12, ali ne treba zaboraviti dodati "odbačenih" pet stotina na rezultat izračuna. Zatim: (12 x 500) + 500 = 6500!

Nije teško, zar ne?

Ali u praksi to postaje još lakše, što vam omogućava da odvojite 2-3 minute za daljinsko ispitivanje na ruskom, dok se ostali "broje". Osim toga, zadržava broj koraka metode: 5, što ne dozvoljava da se pristup kritikuje kao nenaučan.

Očigledno je da je ovaj pristup jednostavniji, brži i univerzalniji, u stilu Metode. Ali... učiteljica ne samo da nije pohvalila, već me je i natjerala da to prepišem “na pravi način” (vidi screenshot). Odnosno, učinila je očajnički pokušaj da uguši kreativni impuls i sposobnost razumijevanja matematike u korijenu! Navodno, da bi kasnije bila angažovana kao tutor... Napala je pogrešnu osobu...

Sve što sam tako dugo i zamorno opisao može se objasniti normalnom djetetu za pola sata maksimalno. Uz primjere.

I to na način da to nikada neće zaboraviti.

I biće korak ka razumevanju...ne samo matematičari.

Priznajte: koliko ste puta u životu dodavali koristeći Gaussovu metodu? I nikad nisam!

Ali instinkt razumevanja, koji se razvija (ili se gasi) u procesu učenja matematičke metode u školi... Oh!.. Ovo je zaista nezamjenjiva stvar!

Pogotovo u doba univerzalne digitalizacije u koje smo tiho ušli pod strogim rukovodstvom Partije i Vlade.

Par reči u odbranu nastavnika...

Nepravedno je i pogrešno svu odgovornost za ovakav način poučavanja svaljivati ​​isključivo na školske nastavnike. Sistem je na snazi.

Neki nastavnici shvataju apsurdnost onoga što se dešava, ali šta da se radi? Zakon o obrazovanju, Federalni državni obrazovni standardi, metode, tehnološke karte lekcije... Sve se mora raditi “u skladu sa i na osnovu” i sve mora biti dokumentovano. Odmaknite se - stajali u redu za otpuštanje. Ne budimo licemeri: plate moskovskih nastavnika su veoma dobre... Ako vas otpuste, gde da idete?..

Stoga ova stranica ne o obrazovanju. On je oko individualno obrazovanje, samo mogući način izađi iz gomile generacija Z ...

U ovom članku metoda se razmatra kao metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina (SLAE). Metoda je analitička, odnosno omogućava vam da upišete algoritam rješenja opšti pogled, a zatim tamo zamijenite vrijednosti iz konkretnih primjera. Za razliku od matrične metode ili Cramerovih formula, pri rješavanju sistema linearnih jednadžbi pomoću Gaussove metode možete raditi i sa onima koje imaju beskonačan broj rješenja. Ili ga uopšte nemaju.

Šta znači riješiti Gaussovom metodom?

Prvo, treba da zapišemo naš sistem jednačina u To izgleda ovako. Uzmi sistem:

Koeficijenti su upisani u obliku tabele, a slobodni pojmovi su upisani u posebnu kolonu sa desne strane. Kolona sa slobodnim terminima je odvojena radi pogodnosti.Matrica koja uključuje ovu kolonu naziva se proširena.

Zatim se glavna matrica sa koeficijentima mora svesti na gornji trouglasti oblik. Ovo je glavna poenta rješavanja sistema korištenjem Gausove metode. Jednostavno rečeno, nakon određenih manipulacija, matrica bi trebala izgledati tako da njen donji lijevi dio sadrži samo nule:

Zatim, ako novu matricu ponovo napišete kao sistem jednačina, primijetit ćete da posljednji red već sadrži vrijednost jednog od korijena, koji se zatim zamjenjuje u gornju jednačinu, pronalazi se drugi korijen i tako dalje.

Ovo je opis rješenja Gaussovom metodom u većini generalni nacrt. Šta se dešava ako sistem odjednom nema rešenje? Ili ih ima beskonačno mnogo? Da bismo odgovorili na ova i mnoga druga pitanja, potrebno je posebno razmotriti sve elemente koji se koriste u rješavanju Gausove metode.

Matrice, njihova svojstva

Nema skriveno značenje nije u matrici. Ovo je jednostavno zgodan način za snimanje podataka za naredne operacije s njim. Čak ih se i školarci ne moraju bojati.

Matrica je uvijek pravokutna, jer je pogodnija. Čak iu Gausovoj metodi, gdje se sve svodi na konstruiranje matrice trouglastog izgleda, unos sadrži pravougaonik, samo sa nulama na mestu gde nema brojeva. Nule možda nisu napisane, ali se podrazumijevaju.

Matrica ima veličinu. Njegova "širina" je broj redova (m), "dužina" je broj kolona (n). Zatim veličina matrice A (za njihovo označavanje obično se koriste velika slova) pisma) će biti označeno kao A m×n. Ako je m=n, onda je ova matrica kvadratna, a m=n je njen red. U skladu s tim, bilo koji element matrice A može se označiti njegovim brojevima reda i stupaca: a xy ; x - broj reda, promjene, y - broj kolone, promjene.

B nije glavna tačka odluke. U principu, sve operacije se mogu izvoditi direktno sa samim jednadžbama, ali će notacija biti mnogo glomaznija i bit će mnogo lakše zabuniti se u njoj.

Odrednica

Matrica takođe ima determinantu. Ovo je veoma važna karakteristika. Nema potrebe da sada saznate njegovo značenje; možete jednostavno pokazati kako se izračunava, a zatim reći koja svojstva matrice određuje. Najlakši način za pronalaženje determinante je dijagonala. Imaginarne dijagonale su nacrtane u matrici; elementi koji se nalaze na svakom od njih se množe, a zatim se dodaju rezultirajući proizvodi: dijagonale s nagibom udesno - sa znakom plus, s nagibom ulijevo - sa znakom minus.

Izuzetno je važno napomenuti da se determinanta može izračunati samo za kvadratnu matricu. Za pravougaonu matricu možete učiniti sljedeće: odabrati najmanji od broja redova i broja stupaca (neka bude k), a zatim nasumično označiti k kolona i k redova u matrici. Elementi na sjecištu odabranih stupaca i redova formirat će novu kvadratnu matricu. Ako je determinanta takve matrice broj različit od nule, naziva se bazni minor originalne pravokutne matrice.

Prije nego počnete rješavati sistem jednadžbi Gaussovom metodom, ne škodi izračunavanje determinante. Ako se pokaže da je nula, onda možemo odmah reći da matrica ima ili beskonačan broj rješenja ili nijedno. U ovako tužnom slučaju, morate ići dalje i saznati o rangu matrice.

Klasifikacija sistema

Postoji takva stvar kao što je rang matrice. Ovo maksimalni red njegova determinanta, različita od nule (ako se sjetimo baznog minora, možemo reći da je rang matrice red baznog minora).

Na osnovu situacije sa rangom, SLAE se može podijeliti na:

• Joint. U U zajedničkim sistemima, rang glavne matrice (koja se sastoji samo od koeficijenata) poklapa se sa rangom proširene matrice (sa kolonom slobodnih članova). Takvi sistemi imaju rješenje, ali ne nužno jedno, pa se dodatno spojni sistemi dijele na:
• - siguran- imati jedinstveno rješenje. U određenim sistemima, rang matrice i broj nepoznatih (ili broj kolona, ​​što je ista stvar) su jednaki;
• - nedefinirano - sa beskonačnim brojem rješenja. Rang matrica u takvim sistemima je manji od broja nepoznatih.
• Nekompatibilno. U U takvim sistemima, rangovi glavne i proširene matrice se ne poklapaju. Nekompatibilni sistemi nemaju rješenja.

Gaussova metoda je dobra jer tokom rješavanja omogućava da se dobije ili nedvosmislen dokaz nekonzistentnosti sistema (bez izračunavanja determinanti velikih matrica), ili rješenje u opštem obliku za sistem sa beskonačnim brojem rješenja.

Elementarne transformacije

Prije nego što pređete direktno na rješavanje sistema, možete ga učiniti manje glomaznim i pogodnijim za proračune. To se postiže elementarnim transformacijama - tako da njihova implementacija ni na koji način ne mijenja konačni odgovor. Treba napomenuti da neke od datih elementarnih transformacija vrijede samo za matrice čiji je izvor bio SLAE. Evo liste ovih transformacija:

1. Preuređivanje linija. Očigledno, ako promijenite redoslijed jednačina u zapisu sistema, to ni na koji način neće utjecati na rješenje. Shodno tome, redovi u matrici ovog sistema takođe se mogu zameniti, ne zaboravljajući, naravno, kolonu slobodnih termina.
2. Množenje svih elemenata niza određenim koeficijentom. Vrlo korisno! Može se koristiti za skraćivanje veliki brojevi u matrici ili ukloniti nule. Mnoge odluke se, kao i obično, neće promijeniti, ali dalje operacije postaće zgodnije. Glavna stvar je da koeficijent nije jednak nuli.
3. Uklanjanje redova s ​​proporcionalnim faktorima. Ovo djelimično proizilazi iz prethodnog stava. Ako dva ili više reda u matrici imaju proporcionalne koeficijente, onda kada se jedan od redova pomnoži/podijeli s koeficijentom proporcionalnosti, dobiju se dva (ili, opet, više) apsolutno identična reda, a dodatni se mogu ukloniti, ostavljajući samo jedan.
4. Uklanjanje nulte linije. Ako se tokom transformacije negdje dobije red u kojem su svi elementi, uključujući i slobodni član, nula, onda se takav red može nazvati nulom i izbaciti iz matrice.
5. Dodavanje elementima jednog reda elemenata drugog (u odgovarajućim kolonama), pomnoženo određenim koeficijentom. Najneočiglednija i najvažnija transformacija od svih. Vrijedi se detaljnije zadržati na tome.

Dodavanje niza pomnoženog faktorom

Radi lakšeg razumijevanja, vrijedno je rastaviti ovaj proces korak po korak. Dva reda su uzeta iz matrice:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Recimo da morate prvo dodati drugom, pomnoženo sa koeficijentom "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Zatim se drugi red u matrici zamjenjuje novim, a prvi ostaje nepromijenjen.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Treba napomenuti da se koeficijent množenja može odabrati na način da, kao rezultat sabiranja dva reda, jedan od elemenata novog reda bude jednak nuli. Stoga je moguće dobiti jednačinu u sistemu u kojem će biti jedna nepoznata manje. A ako dobijete dvije takve jednadžbe, onda se operacija može ponoviti i dobiti jednačinu koja će sadržavati dvije nepoznate manje. A ako svaki put okrenete jedan koeficijent svih redova koji su ispod originalne jedinice na nulu, onda se možete, poput stepenica, spustiti do samog dna matrice i dobiti jednadžbu s jednom nepoznatom. Ovo se zove rješavanje sistema korištenjem Gausove metode.

Uglavnom

Neka postoji sistem. Ima m jednačina i n nepoznatih korijena. Možete to napisati na sljedeći način:

Glavna matrica je sastavljena od sistemskih koeficijenata. Stupac slobodnih termina se dodaje proširenoj matrici i, radi praktičnosti, razdvaja linijom.

• prvi red matrice se množi sa koeficijentom k = (-a 21 /a 11);
• prvi modificirani red i drugi red matrice se dodaju;
• umjesto drugog reda u matricu se ubacuje rezultat dodavanja iz prethodnog stava;
• sada prvi koeficijent u nova sekunda linija je 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Sada se izvodi ista serija transformacija, samo prvi i treći red su uključeni. Shodno tome, u svakom koraku algoritma, element a 21 se zamjenjuje sa 31. Zatim se sve ponavlja za 41, ... a m1. Rezultat je matrica u kojoj je prvi element u redovima nula. Sada morate zaboraviti na red broj jedan i izvesti isti algoritam, počevši od reda dva:

• koeficijent k = (-a 32 /a 22);
• drugi modifikovani red se dodaje u „trenutni“ red;
• rezultat sabiranja se zamjenjuje u treći, četvrti i tako dalje red, dok prvi i drugi ostaju nepromijenjeni;
• u redovima matrice prva dva elementa su već jednaka nuli.

Algoritam se mora ponavljati dok se ne pojavi koeficijent k = (-a m,m-1 /a mm). To znači da u zadnji put algoritam je izveden samo za nižu jednačinu. Sada matrica izgleda kao trokut ili ima stepenasti oblik. U donjem redu nalazi se jednakost a mn × x n = b m. Koeficijent i slobodni član su poznati, a korijen se izražava kroz njih: x n = b m /a mn. Dobijeni korijen se zamjenjuje u gornji red kako bi se pronašlo x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. I tako dalje po analogiji: u svakom sljedećem redu nalazi se novi korijen, a kada ste dosegnuli "vrh" sistema, možete pronaći mnoga rješenja. To će biti jedini.

Kad nema rješenja

Ako su u jednom od redova matrice svi elementi osim slobodnog člana jednaki nuli, tada jednačina koja odgovara ovom redu izgleda kao 0 = b. Nema rješenja. A pošto je takva jednačina uključena u sistem, onda je skup rješenja cijelog sistema prazan, odnosno degeneriran.

Kada postoji beskonačan broj rješenja

Može se desiti da u datoj trokutastoj matrici nema redova sa jednim elementom koeficijenta jednačine i jednim slobodnim članom. Postoje samo linije koje bi, kada se ponovo napišu, izgledale kao jednadžba sa dvije ili više varijabli. To znači da sistem ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju, odgovor se može dati u obliku generalnog rješenja. Kako uraditi?

Sve varijable u matrici su podijeljene na osnovne i slobodne. Osnovni su oni koji stoje “na rubu” redova u matrici koraka. Ostalo je besplatno. U opštem rješenju osnovne varijable se zapisuju kroz slobodne.

Radi praktičnosti, matrica se prvo prepisuje nazad u sistem jednačina. Zatim u posljednjoj od njih, gdje je ostala samo jedna osnovna varijabla, ona ostaje na jednoj strani, a sve ostalo se prenosi na drugu. Ovo se radi za svaku jednačinu sa jednom osnovnom promenljivom. Zatim se u preostalim jednačinama, gdje je to moguće, umjesto osnovne varijable zamjenjuje dobijeni izraz. Ako je rezultat opet izraz koji sadrži samo jednu osnovnu varijablu, ponovo se izražava odatle, i tako dalje, sve dok se svaka osnovna varijabla ne napiše kao izraz sa slobodnim varijablama. To je ono što je zajednička odluka SLAU.

Možete pronaći i osnovno rješenje sistema - dajte slobodnim varijablama bilo koje vrijednosti, a zatim za ovaj konkretan slučaj izračunajte vrijednosti osnovnih varijabli. Postoji beskonačan broj konkretnih rješenja koja se mogu dati.

Rješenje sa konkretnim primjerima

Ovdje je sistem jednačina.

Radi praktičnosti, bolje je odmah kreirati njegovu matricu

Poznato je da kada se riješi Gaussovom metodom, jednačina koja odgovara prvom redu ostaje nepromijenjena na kraju transformacija. Stoga će biti isplativije ako je gornji lijevi element matrice najmanji - tada će se prvi elementi preostalih redova nakon operacija okrenuti na nulu. To znači da će u kompajliranoj matrici biti korisno staviti drugi red na mjesto prvog.

drugi red: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

treći red: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Sada, da se ne biste zbunili, morate zapisati matricu sa međurezultatima transformacija.

Očigledno je da se takva matrica može učiniti pogodnijom za percepciju korištenjem određenih operacija. Na primjer, možete ukloniti sve "minuse" iz drugog reda množenjem svakog elementa sa "-1".

Također je vrijedno napomenuti da su u trećem redu svi elementi višestruki od tri. Zatim možete skratiti niz za ovaj broj, množeći svaki element sa "-1/3" (minus - u isto vrijeme, da uklonite negativne vrijednosti).

Izgleda mnogo lepše. Sada moramo ostaviti prvu liniju na miru i raditi s drugom i trećom. Zadatak je da se treći red doda drugi red, pomnožen sa takvim koeficijentom da element a 32 postane jednak nuli.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (ako se tokom neke transformacije odgovor ne pokaže kao ceo broj, preporučuje se da se zadrži tačnost proračuna da se ostavi to je „kao što jeste“, u obliku običan razlomak, pa tek onda, kada dobijete odgovore, odlučite da li ćete zaokružiti i pretvoriti u drugi oblik snimanja)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Matrica se ponovo upisuje s novim vrijednostima.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Kao što vidite, rezultirajuća matrica već ima stepenasti oblik. Stoga nisu potrebne daljnje transformacije sistema primjenom Gausove metode. Ono što se ovdje može učiniti je ukloniti iz trećeg reda ukupni koeficijent "-1/7".

Sada je sve prelepo. Sve što je preostalo je ponovo napisati matricu u obliku sistema jednačina i izračunati korijene

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritam pomoću kojeg će se sada pronaći korijeni naziva se obrnuti potez u Gaussovom metodu. Jednačina (3) sadrži z vrijednost:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

I prva jednadžba nam omogućava da pronađemo x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Imamo pravo da takav sistem nazivamo zajedničkim, pa čak i definitivnim, odnosno da ima jedinstveno rješenje. Odgovor je napisan u sljedećem obliku:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Primjer nesigurnog sistema

Analizirana je varijanta rješavanja određenog sistema Gaussovom metodom, sada je potrebno razmotriti slučaj da je sistem neizvjestan, odnosno da se za njega može naći beskonačno mnogo rješenja.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Sam izgled sistema je već alarmantan, jer je broj nepoznanica n = 5, a rang sistemske matrice je već tačno manji od ovog broja, jer je broj redova m = 4, tj. najveći red determinante-kvadrata je 4. To znači da postoji beskonačan broj rješenja i potrebno je tražiti njegov opći izgled. Gaussova metoda za linearne jednačine vam to omogućava.

Prvo, kao i obično, sastavlja se proširena matrica.

Drugi red: koeficijent k = (-a 21 /a 11) = -3. U trećem redu, prvi element je prije transformacija, tako da ne morate ništa dirati, morate ga ostaviti kako jeste. Četvrti red: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Množenjem elemenata prvog reda sa svakim od njihovih koeficijenata redom i dodavanjem traženim redovima, dobijamo matricu sljedećeg oblika:

Kao što vidite, drugi, treći i četvrti red se sastoje od elemenata proporcionalnih jedan drugom. Drugi i četvrti su uglavnom identični, tako da se jedan od njih može odmah ukloniti, a preostali se može pomnožiti sa koeficijentom “-1” i dobiti red broj 3. I opet, od dva identična reda, ostaviti jedan.

Rezultat je ovakva matrica. Dok sistem još nije zapisan, ovdje je potrebno odrediti osnovne varijable - one koje stoje na koeficijentima a 11 = 1 i a 22 = 1, te slobodne - sve ostale.

U drugoj jednačini postoji samo jedna osnovna varijabla - x 2. To znači da se odatle može izraziti pisanjem kroz varijable x 3 , x 4 , x 5 , koje su slobodne.

Dobijeni izraz zamjenjujemo u prvu jednačinu.

Rezultat je jednačina u kojoj je jedina osnovna varijabla x 1 . Uradimo s njim isto kao i sa x 2.

Sve osnovne varijable, kojih ima dvije, izražene su u terminima tri slobodne varijable, sada možemo napisati odgovor u opštem obliku.

Također možete odrediti jedno od posebnih rješenja sistema. U takvim slučajevima, nule se obično biraju kao vrijednosti za slobodne varijable. Tada će odgovor biti:

16, 23, 0, 0, 0.

Primjer nekooperativnog sistema

Najbrže je rješavanje nekompatibilnih sistema jednačina Gaussovom metodom. Završava se odmah čim se u jednoj od faza dobije jednačina koja nema rješenja. Odnosno, faza izračunavanja korijena, koja je prilično duga i zamorna, je eliminirana. Razmatra se sledeći sistem:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Kao i obično, matrica se sastavlja:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

I svodi se na postupni oblik:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Nakon prve transformacije, treći red sadrži jednačinu oblika

bez rješenja. Shodno tome, sistem je nekonzistentan, a odgovor će biti prazan skup.

Prednosti i nedostaci metode

Ako odaberete metodu za rješavanje SLAE-ova na papiru olovkom, onda metoda o kojoj se govori u ovom članku izgleda najatraktivnije. Mnogo je teže zbuniti se u elementarnim transformacijama nego ako morate ručno tražiti determinantu ili neku lukavu inverznu matricu. Međutim, ako koristite programe za rad s ovom vrstom podataka, npr. tabele, onda se ispostavlja da takvi programi već sadrže algoritme za izračunavanje glavnih parametara matrica - determinante, minore, inverzne itd. A ako ste sigurni da će mašina sama izračunati ove vrijednosti i da neće pogriješiti, preporučljivije je koristiti matričnu metodu ili Cramerove formule, jer njihova upotreba počinje i završava se računanjem determinanti i inverzne matrice.

Aplikacija

Budući da je Gaussovo rješenje algoritam, a matrica je zapravo dvodimenzionalni niz, može se koristiti u programiranju. Ali budući da se članak pozicionira kao vodič „za lutke“, treba reći da je najlakše mjesto za postavljanje metode proračunske tablice, na primjer, Excel. Opet, bilo koji SLAE unesen u tabelu u obliku matrice Excel će smatrati dvodimenzionalnim nizom. A za operacije s njima postoji mnogo lijepih naredbi: zbrajanje (možete dodati samo matrice iste veličine!), množenje brojem, množenje matrica (također uz određena ograničenja), pronalaženje inverzne i transponovane matrice i, što je najvažnije , izračunavanje determinante. Ako se ovaj dugotrajni zadatak zamijeni jednom naredbom, moguće je mnogo brže odrediti rang matrice i samim tim utvrditi njenu kompatibilnost ili nekompatibilnost.