Slough crammer rješenje. Cramerova metoda: rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi (slau)

2. Rješavanje sistema jednačina matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).
3. Gaussova metoda za rješavanje sistema jednačina.

Cramerova metoda.

Cramerova metoda se koristi za rješavanje linearnih sistema algebarske jednačine (SLAU).

Formule na primjeru sistema od dvije jednačine sa dvije varijable.
Dato: Riješite sistem koristeći Cramerovu metodu

Što se tiče varijabli X I at.
Rješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sistema. Izračunavanje determinanti. :

Primijenimo Cramerove formule i pronađemo vrijednosti varijabli:
I .
Primjer 1:
Riješite sistem jednačina:

u vezi sa varijablama X I at.
Rješenje:


Zamenimo prvu kolonu u ovoj determinanti kolonom koeficijenata sa desne strane sistema i pronađemo njenu vrednost:

Hajde da to uradimo sličnu akciju, zamjenjujući drugi stupac u prvoj odrednici:

Primjenjivo Cramerove formule i pronađite vrijednosti varijabli:
i .
odgovor:
komentar: Ova metoda može riješiti sisteme većih dimenzija.

komentar: Ako se ispostavi da je , ali se ne može podijeliti sa nulom, onda kažu da sistem nema jedinstveno rješenje. U ovom slučaju, sistem ili ima beskonačno mnogo rješenja ili uopće nema rješenja.

Primjer 2(beskonačan broj rješenja):

Riješite sistem jednačina:

u vezi sa varijablama X I at.
Rješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sistema:

Rješavanje sistema metodom zamjene.

Prva jednačina sistema je jednakost koja je tačna za sve vrijednosti varijabli (jer je 4 uvijek jednako 4). To znači da je ostala samo jedna jednačina. Ovo je jednadžba za odnos između varijabli.
Otkrili smo da je rješenje sistema bilo koji par vrijednosti varijabli povezanih jedna s drugom jednakošću.
Opšte rješenje će biti napisano na sljedeći način:
Konkretna rješenja mogu se odrediti odabirom proizvoljne vrijednosti y i izračunavanjem x iz ove konektivne jednakosti.

itd.
Takvih rješenja ima beskonačno mnogo.
odgovor: zajednička odluka
Privatna rješenja:

Primjer 3(nema rješenja, sistem je nekompatibilan):

Riješite sistem jednačina:

Rješenje:
Nađimo determinantu matrice, sastavljenu od koeficijenata sistema:

Cramerove formule se ne mogu koristiti. Rešimo ovaj sistem metodom zamene

Druga jednadžba sistema je jednakost koja nije tačna ni za jednu vrijednost varijabli (naravno, pošto -15 nije jednako 2). Ako jedna od jednadžbi sistema nije tačna ni za jednu vrijednost varijabli, onda cijeli sistem nema rješenja.
odgovor: nema rješenja

Metode Kramer I Gauss- jedna od najpopularnijih metoda rješenja SLAU. Osim toga, u nekim slučajevima je preporučljivo koristiti posebne metode. Sesija je blizu, a sada je vrijeme da ih ponovite ili savladate od nule. Danas ćemo pogledati rješenje korištenjem Cramerove metode. Na kraju krajeva, rješenje za sistem linearne jednačine Cramerova metoda je vrlo korisna vještina.

Sistemi linearnih algebarskih jednadžbi

Sistem linearnih algebarskih jednadžbi je sistem jednadžbi oblika:

Vrijednost postavljena x , u kojem se jednadžbe sistema pretvaraju u identitete, naziva se rješenjem sistema, a I b su realni koeficijenti. Jednostavan sistem koji se sastoji od dvije jednačine sa dvije nepoznate može se riješiti u vašoj glavi ili izražavanjem jedne varijable u terminima druge. Ali u SLAE može biti mnogo više od dvije varijable (xes), a ovdje jednostavne školske manipulacije nisu dovoljne. sta da radim? Na primjer, riješite SLAE koristeći Cramerovu metodu!

Dakle, neka se sistem sastoji od n jednačine sa n nepoznato.

Takav sistem se može prepisati u matričnom obliku

Evo A – glavna matrica sistema, X I B , odnosno matrice kolona nepoznatih varijabli i slobodnih termina.

Rješavanje SLAE-a korištenjem Cramerove metode

Ako determinanta glavne matrice nije jednaka nuli (matrica nije singularna), sistem se može riješiti Cramerovom metodom.

Prema Cramerovoj metodi, rješenje se nalazi pomoću formula:

Evo delta je determinanta glavne matrice, i delta x n-ti – determinanta dobijena iz determinante glavne matrice zamjenom n-te kolone kolonom slobodnih članova.

Ovo je cela suština Cramerove metode. Zamjena vrijednosti pronađenih korištenjem gornjih formula x u željeni sistem, uvjereni smo u ispravnost (ili obrnuto) našeg rješenja. Kako bismo vam pomogli da brzo shvatite suštinu, u nastavku dajemo primjer detaljnog rješenja SLAE korištenjem Cramerove metode:

Čak i ako ne uspijete prvi put, nemojte se obeshrabriti! Uz malo vježbe, počet ćete lomiti SLAU kao orahe. Štaviše, sada apsolutno nije neophodno da se bavite notebookom, rešavajući glomazne proračune i zapisujući jezgro. Možete jednostavno riješiti SLAE koristeći Cramerovu metodu na mreži, samo zamjenom gotova forma koeficijenti. Probaj online kalkulator Rješenja korištenjem Cramerove metode mogu se naći, na primjer, na ovoj web stranici.

A ako se sistem pokaže tvrdoglavim i ne odustaje, uvijek se možete obratiti našim autorima za pomoć, na primjer. Ako u sistemu ima bar 100 nepoznatih, mi ćemo to sigurno riješiti ispravno i na vrijeme!

Razmotrimo sistem od 3 jednačine sa tri nepoznate

Koristeći determinante 3. reda, rješenje takvog sistema se može napisati u istom obliku kao za sistem od dvije jednačine, tj.

(2.4)

ako je 0. Evo

Tamo je Cramerovo pravilo rješavanje sistema od tri linearne jednadžbe u tri nepoznate.

Primjer 2.3. Riješite sistem linearnih jednačina koristeći Cramerovo pravilo:

Rješenje . Pronalaženje determinante glavne matrice sistema

Pošto je 0, da bismo pronašli rješenje za sistem možemo primijeniti Cramerovo pravilo, ali prvo izračunamo još tri determinante:

pregled:

Dakle, rješenje je pronađeno ispravno. 

Cramerova pravila izvedena za linearni sistemi 2. i 3. reda, sugeriraju da se ista pravila mogu formulirati za linearne sisteme bilo kojeg reda. Stvarno se dešava

Cramerova teorema. Kvadratni sistem linearnih jednadžbi sa nenultom determinantom glavne matrice sistema (0) ima jedno i samo jedno rješenje i to rješenje se izračunava pomoću formula

(2.5)

Gdje  – determinanta glavne matrice,  i – matrična determinanta, dobijen od glavnog, zamjenaikolona slobodnih članova.

Imajte na umu da ako je =0, onda se Cramerovo pravilo ne primjenjuje. To znači da sistem ili nema rješenja uopće ili ima beskonačno mnogo rješenja.

Nakon formulisanja Cramerove teoreme, prirodno se postavlja pitanje izračunavanja determinanti višeg reda.

2.4. Determinante n-tog reda

Dodatni minor M ij element a ij je determinanta dobijena iz datog brisanjem i th linija i j th column. Algebarski komplement A ij element a ij poziva se minor ovog elementa uzet sa predznakom (–1). i + j, tj. A ij = (–1) i + j M ij .

Na primjer, pronađimo maloljetnike i algebarski dodaci elementi a 23 i a 31 kvalifikacija

Dobijamo



Koristeći koncept algebarskog komplementa možemo formulisati teorema ekspanzije determinanten-ti red po redu ili koloni.

Teorema 2.1. Matrična determinantaAjednak je zbroju proizvoda svih elemenata određenog reda (ili stupca) njihovim algebarskim komplementama:

(2.6)

Ova teorema leži u osnovi jedne od glavnih metoda za izračunavanje determinanti, tzv. metoda smanjenja narudžbe. Kao rezultat proširenja determinante n redom preko bilo kojeg reda ili stupca, dobijamo n determinanti ( n–1)-ti red. Da biste imali manje takvih determinanti, preporučljivo je odabrati red ili stupac koji ima najviše nula. U praksi, formula ekspanzije za determinantu se obično piše kao:

one. algebarski dodaci su napisani eksplicitno u terminima minora.

Primjeri 2.4. Izračunajte determinante tako što ćete ih prvo sortirati u neki red ili kolonu. Obično u takvim slučajevima odaberite kolonu ili red koji ima najviše nula. Odabrani red ili kolona će biti označeni strelicom.



2.5. Osnovna svojstva determinanti

Proširujući determinantu na bilo koji red ili kolonu, dobijamo n determinanti ( n–1)-ti red. Tada svaka od ovih determinanti ( n–1)-ti red se također može proširiti na zbir determinanti ( n–2)-ti red. Nastavljajući ovaj proces, dolazi se do determinanti 1. reda, tj. na elemente matrice čija se determinanta izračunava. Dakle, da biste izračunali determinante 2. reda, moraćete da izračunate zbir dva člana, za determinante 3. reda - zbir 6 članova, za determinante 4. reda - 24 člana. Broj pojmova će se naglo povećati kako se red determinante povećava. To znači da izračunavanje determinanti vrlo visokih redova postaje prilično radno intenzivan zadatak, izvan mogućnosti čak i kompjutera. Međutim, determinante se mogu izračunati i na drugi način, koristeći svojstva determinanti.

Nekretnina 1 . Odrednica se neće promijeniti ako se redovi i kolone u njoj zamjene, tj. prilikom transponovanja matrice:

.

Ovo svojstvo ukazuje na jednakost redova i stupaca determinante. Drugim riječima, bilo koja izjava o stupcima determinante je tačna i za njene redove i obrnuto.

Nekretnina 2 . Odrednica mijenja predznak kada se zamijene dva reda (kolone).

Posljedica . Ako determinanta ima dva identična reda (kolone), onda je jednaka nuli.

Nekretnina 3 . Zajednički faktor svih elemenata u bilo kojem redu (koloni) može se izvaditi iz predznaka determinante.

Na primjer,

Posljedica . Ako su svi elementi određenog reda (stupca) determinante jednaki nuli, tada je i sama determinanta jednaka nuli.

Nekretnina 4 . Odrednica se neće promijeniti ako se elementi jednog reda (kolone) dodaju elementima drugog reda (kolone), pomnožene bilo kojim brojem.

Na primjer,

Svojstvo 5 . Determinanta proizvoda matrica jednaka je umnošku determinanti matrica:

Sa istim brojem jednačina kao i broj nepoznanica sa glavnom determinantom matrice, koja nije jednaka nuli, koeficijenti sistema (za takve jednačine postoji rješenje i postoji samo jedno).

Cramerova teorema.

Kada je determinanta matrice kvadratnog sistema različita od nule, to znači da je sistem konzistentan i da ima jedno rešenje i da se može naći kao Cramerove formule:

gdje je Δ - determinanta sistemske matrice,

Δ i je determinanta matrice sistema, u kojoj umjesto i th kolona sadrži kolonu sa desne strane.

Kada je determinanta sistema nula, to znači da sistem može postati kooperativan ili nekompatibilan.

Ova metoda se obično koristi za mali sistemi sa volumetrijskim proračunima i ako je potrebno odrediti jednu od nepoznanica. Složenost metode je u tome što je potrebno izračunati mnoge determinante.

Opis Cramerove metode.

Postoji sistem jednačina:

Sistem od 3 jednačine može se riješiti korištenjem Cramerove metode, o kojoj je gore bilo riječi za sistem od 2 jednačine.

Od koeficijenata nepoznatih sastavljamo determinantu:

Biti će sistemska determinanta. Kada D≠0, što znači da je sistem konzistentan. Sada kreirajmo 3 dodatne determinante:

,,

Sistem rješavamo po Cramerove formule:

Primjeri rješavanja sistema jednačina primjenom Cramerove metode.

Primjer 1.

Dati sistem:

Rešimo ga Cramerovom metodom.

Prvo morate izračunati determinantu sistemske matrice:

Jer Δ≠0, što znači da je iz Cramerove teoreme sistem konzistentan i da ima jedno rješenje. Izračunavamo dodatne determinante. Determinanta Δ 1 se dobija iz determinante Δ zamjenom njenog prvog stupca stupcem slobodnih koeficijenata. Dobijamo:

Na isti način dobijamo determinantu Δ 2 iz determinante sistemske matrice zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih koeficijenata:

Neka sistem linearnih jednačina sadrži onoliko jednačina koliko je nezavisnih varijabli, tj. izgleda kao

Takvi sistemi linearnih jednačina nazivaju se kvadratnim. Determinanta sastavljena od koeficijenata za nezavisne sistemske varijable(1.5) naziva se glavna determinanta sistema. Označit ćemo ga grčkim slovom D. Dakle,

. (1.6)

Ako glavna determinanta sadrži proizvoljan ( j th) kolonu, zamijenite kolonom slobodnih termina sistema (1.5), onda možete dobiti n pomoćne kvalifikacije:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Cramerovo pravilo rješavanje kvadratnog sistema linearnih jednačina je kako slijedi. Ako je glavna determinanta D sistema (1.5) različita od nule, onda sistem ima jedinstveno rešenje, koje se može naći pomoću formula:

(1.8)

Primjer 1.5. Rešite sistem jednačina koristeći Cramerovu metodu

.

Izračunajmo glavnu determinantu sistema:

Od D¹0 sistem ima jedinstveno rješenje, koje se može pronaći pomoću formula (1.8):

dakle,

Akcije na matrice

1. Množenje matrice brojem. Operacija množenja matrice brojem definirana je na sljedeći način.

2. Da biste matricu pomnožili brojem, potrebno je da pomnožite sve njene elemente ovim brojem. To je

. (1.9)

Primjer 1.6. .

Sabiranje matrice.

Ova operacija je uvedena samo za matrice istog reda.

Da biste dodali dvije matrice, potrebno je elementima jedne matrice dodati odgovarajuće elemente druge matrice:

(1.10)
Operacija sabiranja matrice ima svojstva asocijativnosti i komutativnosti.

Primjer 1.7. .

Množenje matrice.

Ako je broj kolona matrice A poklapa se sa brojem redova matrice IN, tada se za takve matrice uvodi operacija množenja:

2

Dakle, prilikom množenja matrice A dimenzije m´ n na matricu IN dimenzije n´ k dobijamo matricu WITH dimenzije m´ k. U ovom slučaju, elementi matrice WITH izračunavaju se pomoću sljedećih formula:

Problem 1.8. Pronađite, ako je moguće, proizvod matrica AB I B.A.:

Rješenje. 1) Da biste pronašli posao AB, potrebni su vam redovi matrice A pomnožiti matričnim stupcima B:

2) Rad B.A. ne postoji, jer je broj stupaca matrice B ne odgovara broju redova matrice A.

Inverzna matrica. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi matričnom metodom

Matrix A- 1 se naziva inverznom kvadratnom matricom A, ako je jednakost zadovoljena:

gde kroz I označava matricu identiteta istog reda kao i matrica A:

.

Da bi kvadratna matrica imala inverznu, potrebno je i dovoljno da njena determinanta bude različita od nule. Inverzna matrica se nalazi pomoću formule:

, (1.13)

Gdje A ij- algebarski dodaci elementima a ij matrice A(imajte na umu da algebarski dodaci redovima matrice A nalaze se u inverznoj matrici u obliku odgovarajućih kolona).

Primjer 1.9. Pronađite inverznu matricu A- 1 na matricu

.

Inverznu matricu pronalazimo pomoću formule (1.13), koja je za slučaj n= 3 ima oblik:

.

Hajde da nađemo det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Pošto je determinanta originalne matrice različita od nule, inverzna matrica postoji.

1) Pronađite algebarske komplemente A ij:

Radi lakšeg lociranja inverzna matrica, stavili smo algebarske dodatke redovima originalne matrice u odgovarajuće kolone.

Od dobijenih algebarskih sabiraka sastavljamo novu matricu i dijelimo je determinantom det A. Tako dobijamo inverznu matricu:

Kvadratni sistemi linearnih jednadžbi sa glavnom determinantom različitom od nule mogu se riješiti korištenjem inverzne matrice. Da bi se to uradilo, sistem (1.5) je napisan u matričnom obliku:

Gdje

Množenje obje strane jednakosti (1.14) s lijeve strane sa A- 1, dobijamo rešenje sistema:

, gdje

Dakle, da biste pronašli rješenje za kvadratni sistem, morate pronaći inverznu matricu glavne matrice sistema i pomnožiti je s desne strane matricom stupaca slobodnih članova.

Problem 1.10. Riješiti sistem linearnih jednačina

koristeći inverznu matricu.

Rješenje. Zapišimo sistem u matričnom obliku: ,

Gdje - glavna matrica sistema, - kolona nepoznatih i - kolona slobodnih termina. Pošto je glavna determinanta sistema , zatim glavna matrica sistema A ima inverznu matricu A-1 . Da pronađemo inverznu matricu A-1, izračunavamo algebarske komplemente svim elementima matrice A:

Od dobijenih brojeva sastavit ćemo matricu (i algebarske dodatke redovima matrice A upišite ga u odgovarajuće kolone) i podijelite ga determinantom D. Tako smo pronašli inverznu matricu:

Rješenje sistema pronalazimo pomoću formule (1.15):

dakle,

Rješavanje sistema linearnih jednadžbi uobičajenom Jordanovom metodom eliminacije

Neka je dat proizvoljan (ne nužno kvadratni) sistem linearnih jednačina:

(1.16)

Potrebno je pronaći rješenje sistema, tj. takav skup varijabli koji zadovoljava sve jednakosti sistema (1.16). IN opšti slučaj sistem (1.16) može imati ne samo jedno rješenje, već i bezbroj rješenja. Takođe možda nema nikakvih rješenja.

Prilikom rješavanja ovakvih problema, dobro poznatih školski kurs metoda eliminacije nepoznanica, koja se naziva i metoda obične Jordanove eliminacije. Suština ovu metodu leži u činjenici da je u jednoj od jednačina sistema (1.16) jedna od varijabli izražena preko drugih varijabli. Ova varijabla se zatim zamjenjuje drugim jednadžbama u sistemu. Rezultat je sistem koji sadrži jednu jednačinu i jednu varijablu manje od originalnog sistema. Pamti se jednačina iz koje je varijabla izražena.

Ovaj proces se ponavlja sve dok još jedna posljednja jednačina ne ostane u sistemu. Kroz proces eliminacije nepoznanica, neke jednačine mogu postati pravi identiteti, npr. Takve jednadžbe su isključene iz sistema, jer su zadovoljene za bilo koje vrijednosti varijabli i stoga ne utiču na rješenje sistema. Ako u procesu eliminacije nepoznanica barem jedna jednadžba postane jednakost koja se ne može zadovoljiti ni za jednu vrijednost varijabli (na primjer), onda zaključujemo da sistem nema rješenja.

Ako se tokom rješavanja ne pojave kontradiktorne jednačine, tada se jedna od preostalih varijabli u njemu nalazi iz posljednje jednačine. Ako je u posljednjoj jednačini ostala samo jedna varijabla, onda se ona izražava brojem. Ako druge varijable ostanu u posljednjoj jednadžbi, one se smatraju parametrima, a varijabla izražena kroz njih bit će funkcija ovih parametara. Zatim tzv. obrnuti hod" Pronađena varijabla se zamjenjuje u posljednju zapamćenu jednačinu i pronalazi se druga varijabla. Zatim se dvije pronađene varijable zamjenjuju u pretposljednju memorisanu jednačinu i pronalazi se treća varijabla, i tako dalje, do prve memorisane jednačine.

Kao rezultat dobijamo rešenje sistema. Ovo rješenje će biti jedinstveno ako su pronađene varijable brojevi. Ako prva pronađena varijabla, a zatim i sve ostale, zavise od parametara, tada će sistem imati beskonačan broj rješenja (svaki skup parametara odgovara novom rješenju). Formule koje vam omogućavaju da pronađete rješenje za sistem ovisno o određenom skupu parametara nazivaju se općim rješenjem sistema.

Primjer 1.11.

x

Nakon pamćenja prve jednačine i donoseći slične članove u drugoj i trećoj jednačini dolazimo do sistema:

Hajde da se izrazimo y iz druge jednadžbe i zamijenite je u prvu jednačinu:

Prisjetimo se druge jednačine, a iz prve nalazimo z:

Radeći unazad, stalno nalazimo y I z. Da bismo to učinili, prvo zamjenjujemo posljednju zapamćenu jednačinu, odakle nalazimo y:

.

Zatim ćemo ga zamijeniti u prvu zapamćenu jednačinu gde ga možemo naći x:

Problem 1.12. Riješite sistem linearnih jednačina eliminacijom nepoznanica:

. (1.17)

Rješenje. Izrazimo varijablu iz prve jednačine x i zamijeni ga u drugu i treću jednačinu:

.

Prisjetimo se prve jednadžbe

U ovom sistemu, prva i druga jednačina su kontradiktorne jedna drugoj. Zaista, izražavanje y , dobijamo da je 14 = 17. Ova jednakost ne vrijedi ni za jednu vrijednost varijabli x, y, And z. Shodno tome, sistem (1.17) je nekonzistentan, tj. nema rješenja.

Pozivamo čitaoce da sami provjere da li je glavna determinanta originalnog sistema (1.17) jednaka nuli.

Razmotrimo sistem koji se od sistema (1.17) razlikuje samo po jednom slobodnom članu.

Problem 1.13. Riješite sistem linearnih jednačina eliminacijom nepoznanica:

. (1.18)

Rješenje. Kao i ranije, izražavamo varijablu iz prve jednačine x i zamijeni ga u drugu i treću jednačinu:

.

Prisjetimo se prve jednadžbe i predstavljaju slične članove u drugoj i trećoj jednačini. Dolazimo do sistema:

Izražavanje y iz prve jednačine i zamjenjujući je u drugu jednačinu , dobijamo identitet 14 = 14, koji ne utiče na rešenje sistema, pa se stoga može isključiti iz sistema.

U posljednjoj zapamćenoj jednakosti, varijabla z smatraćemo to parametrom. Mi vjerujemo. Onda

Zamenimo y I z u prvu zapamćenu jednakost i pronalazak x:

.

Dakle, sistem (1.18) ima beskonačan broj rješenja, a bilo koje rješenje se može pronaći pomoću formule (1.19), odabirom proizvoljne vrijednosti parametra t:

(1.19)
Dakle, rješenja sistema, na primjer, su sljedeći skupovi varijabli (1; 2; 0), (2; 26; 14) itd. Formule (1.19) izražavaju općenito (bilo koje) rješenje sistema (1.18 ).

U slučaju kada originalni sistem (1.16) ima dovoljno veliki broj jednačina i nepoznanica, naznačena metoda obične Jordanove eliminacije izgleda glomazna. Međutim, nije. Dovoljno je izvesti algoritam za ponovno izračunavanje koeficijenata sistema u jednom koraku u opšti pogled i formulirati rješenje problema u obliku posebnih Jordanovih tabela.

Neka je zadan sistem linearnih oblika (jednačina):

, (1.20)
Gdje x j- nezavisne (tražene) varijable, a ij- konstantne kvote
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Desni delovi sistema y i (i = 1, 2,…, m) mogu biti ili varijable (zavisne) ili konstante. Potrebno je pronaći rješenja za ovaj sistem uklanjanjem nepoznanica.

Razmotrimo sljedeću operaciju, od sada nazvanu “jedan korak običnih Jordanovih eliminacija”. Od proizvoljnog ( r th) jednakost izražavamo proizvoljnu varijablu ( xs) i zamijeniti sve ostale jednakosti. Naravno, to je moguće samo ako a rs¹ 0. Koeficijent a rs naziva se razlučujući (ponekad vodeći ili glavni) element.

Dobićemo sledeći sistem:

. (1.21)

Od s- jednakost sistema (1.21), zatim nalazimo varijablu xs(nakon što se pronađu preostale varijable). S-ti red se pamti i potom isključuje iz sistema. Preostali sistem će sadržavati jednu jednačinu i jednu nezavisnu varijablu manje od originalnog sistema.

Izračunajmo koeficijente rezultujućeg sistema (1.21) kroz koeficijente originalnog sistema (1.20). Počnimo sa r ta jednačina, koja nakon izražavanja varijable xs kroz preostale varijable to će izgledati ovako:

Dakle, novi koeficijenti r jednadžbe se izračunavaju korištenjem sljedećih formula:

(1.23)
Izračunajmo sada nove koeficijente b ij(i¹ r) proizvoljna jednačina. Da bismo to učinili, zamijenimo varijablu izraženu u (1.22) xs V i jednačina sistema (1.20):

Nakon donošenja sličnih uslova, dobijamo:

(1.24)
Iz jednakosti (1.24) dobijamo formule po kojima se izračunavaju preostali koeficijenti sistema (1.21) (s izuzetkom r ta jednačina):

(1.25)
Transformacija sistema linearnih jednačina metodom obične Jordanove eliminacije prikazana je u obliku tabela (matrica). Ove tabele se nazivaju „jordanski stolovi“.

Dakle, problem (1.20) je povezan sa sljedećom Jordanovom tablicom:

Tabela 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	xs	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		a ij		a je		a in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		arn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		a mj		a ms		a mn

Jordanova tabela 1.1 sadrži lijevu kolonu zaglavlja u kojoj su upisani desni dijelovi sistema (1.20) i gornji red zaglavlja u koji su upisane nezavisne varijable.

Preostali elementi tabele čine glavnu matricu koeficijenata sistema (1.20). Ako pomnožite matricu A na matricu koja se sastoji od elemenata gornjeg reda naslova, dobijate matricu koja se sastoji od elemenata lijevog stupca naslova. To jest, u suštini, Jordanova tabela je matrični oblik pisanja sistema linearnih jednačina: . Sistem (1.21) odgovara sljedećoj Jordanovoj tabeli:

Tabela 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b je		b in
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		brn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		bms		b mn

Permisivni element a rs Istaknut ćemo ih podebljanim slovima. Podsjetimo da za implementaciju jednog koraka Jordanove eliminacije, element razrješenja mora biti različit od nule. Red tabele koji sadrži omogućavajući element naziva se red za omogućavanje. Stupac koji sadrži element omogućavanja naziva se stupac omogućavanja. Prilikom prelaska sa date na sljedeću tablicu, jedna varijabla ( xs) iz gornjeg reda zaglavlja tabele se pomera u lijevu kolonu zaglavlja i, obrnuto, jedan od slobodnih članova sistema ( y r) se pomiče iz lijevog glavnog stupca tabele u gornji glavni red.

Opišimo algoritam za ponovno izračunavanje koeficijenata pri prelasku iz Jordanove tabele (1.1) u tabelu (1.2), što sledi iz formula (1.23) i (1.25).

1. Razlučujući element je zamijenjen inverznim brojem:

2. Preostali elementi niza za razrješenje dijele se na razrješavajući element i mijenjaju predznak u suprotan:

3. Preostali elementi stupca rezolucije podijeljeni su na element rezolucije:

4. Elementi koji nisu uključeni u redak i stupac koji dozvoljavaju se ponovo izračunavaju pomoću formula:

Posljednju formulu je lako zapamtiti ako primijetite da su elementi koji čine razlomak , nalaze se na raskrsnici i-oh i r th linije i j th and s th kolone (razrješavajući red, razrješavajući stupac i red i kolona na čijem se presjeku nalazi ponovo izračunati element). Tačnije, prilikom pamćenja formule možete koristiti sljedeći dijagram:

-21 -26 -13 -37

Prilikom izvođenja prvog koraka Jordanovih izuzetaka, možete odabrati bilo koji element iz Tabele 1.3 koji se nalazi u stupcima kao element za rješavanje x 1 ,…, x 5 (svi navedeni elementi nisu nula). Samo nemojte odabrati element za omogućavanje u posljednjoj koloni, jer morate pronaći nezavisne varijable x 1 ,…, x 5 . Na primjer, biramo koeficijent 1 sa promenljivom x 3 u trećem redu tabele 1.3 (element za omogućavanje je podebljan). Prilikom prelaska na tabelu 1.4, varijabla x 3 iz gornjeg reda zaglavlja zamjenjuje se konstantom 0 lijevog stupca zaglavlja (treći red). U ovom slučaju, varijabla x 3 se izražava kroz preostale varijable.

String x 3 (Tabela 1.4) može se, nakon pamćenja unaprijed, isključiti iz Tabele 1.4. Treća kolona sa nulom u gornjem redu naslova takođe je isključena iz tabele 1.4. Poenta je da bez obzira na koeficijente date kolone b i 3 svi odgovarajući članovi svake jednačine 0 b i 3 sistema će biti jednaka nuli. Stoga ove koeficijente nije potrebno izračunavati. Eliminacija jedne varijable x 3 i sećajući se jedne od jednačina, dolazimo do sistema koji odgovara tabeli 1.4 (sa precrtanom linijom x 3). Odabir u tabeli 1.4 kao element za razrješenje b 14 = -5, idite na tabelu 1.5. U tabeli 1.5 zapamtite prvi red i isključite ga iz tabele zajedno sa četvrtom kolonom (sa nulom na vrhu).

Tabela 1.5 Tabela 1.6

Iz zadnje tabele 1.7 nalazimo: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Dosljedno zamjenjujući već pronađene varijable u zapamćene redove, nalazimo preostale varijable:

Dakle, sistem ima beskonačno mnogo rješenja. Varijabilna x 5, mogu se dodijeliti proizvoljne vrijednosti. Ova varijabla djeluje kao parametar x 5 = t. Dokazali smo kompatibilnost sistema i pronašli njegovo generalno rješenje:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Parametar davanja t različitih vrijednosti, dobićemo beskonačan broj rješenja originalnog sistema. Tako, na primjer, rješenje sistema je sljedeći skup varijabli (- 3; - 1; - 2; 4; 0).