Upotreba kalkulatora u osnovnoj nastavi matematike
Ovaj članak govori o tome treba li ili ne treba koristiti kalkulator u nastavi matematike u osnovnim razredima i kako ga pametno koristiti.
"Bitka" oko upotrebe kalkulatora
Neki ljudi kažu da kalkulator omogućava djeci da se koncentrišu na razumijevanje i matematičke koncepte umjesto da troše vrijeme na zamorna izračunavanja. Kažu da kalkulator pomaže u razvoju čula za brojeve i čini učenike sigurnijim u svoje matematičke sposobnosti.
Drugi su protiv upotrebe kalkulatora u nastavi matematike nižeg nivoa, govoreći da to tjera djecu da ne uče svoje osnovne činjenice, sprječava učenike da otkriju i razumiju osnovne matematičke koncepte i umjesto toga ih ohrabruje da nasumično pokušavaju različite operacije bez razumijevanja šta rade.
Kažu da kalkulatori sprečavaju učenike da imaju koristi od jednog od najvažnijih razloga za učenje matematike: da treniraju i disciplinuju um i da promovišu logičko rasuđivanje.
Postoji balans
Po mom mišljenju, kalkulator se može koristiti u nastavi na dobar ili loš način - sve zavisi od nastavnikovog pristupa u današnjem društvu, tako da učenici treba da nauče da ga koriste do završetka škole.
U isto vrijeme, djeca TREBA da nauče svoje osnovne činjenice, da budu sposobna da vrše mentalne proračune i savladaju dugačko dijeljenje i druge osnovne algoritme papir-olovka. Matematika je oblast proučavanja koja se zasniva na prethodno utvrđenim činjenicama. Dijete koje ne poznaje osnovne činjenice množenja (i dijeljenja) teško će naučiti faktoring, proste brojeve, uprošćavanje razlomaka i druge operacije razlomaka, distributivno svojstvo itd. itd. Osnovni aritmetički algoritmi su neophodna osnova za razumevanje odgovarajućih operacija sa polinomima u algebri. Ovladavanje dugom prethodi podjelama i razumijevanjem kako razlomci odgovaraju ponavljajućim (nezavršnim) decimalima, što zatim otvara put razumijevanju iracionalnih i realnih brojeva. Sve se to povezuje!
Iz tog razloga, preporučljivo je ograničiti upotrebu kalkulatora u nižim razredima, sve dok djeca ne znaju svoje osnovne činjenice i ne mogu sabirati, oduzimati, množiti i dijeliti čak i velike brojeve olovkom i papirom. OVO, po mom mišljenju, gradi smisao za brojeve, kao i mentalne kalkulacije.
To ne znači da ne možete povremeno koristiti kalkulator u osnovnim razredima za posebne projekte, kada podučavate određene pojmove, ili za neku zabavu igre brojeva ili provjeravanje domaćeg zadatka za neke ideje.
Diskusija ovdje se ne odnosi na grafičke kalkulatore u srednjoj školi. Snažno se zalažem za korištenje grafičkih kalkulatora ili grafičkog softvera prilikom proučavanja grafika i računanja. Čak i tamo, svakako treba naučiti osnovnu ideju o tome kako se crtanje grafikona radi na papiru.
Stvari koje treba imati na umu kada koristite kalkulator
Kada se kalkulator koristi slobodnije, treba obratiti pažnju na sledeće tačke:
- Kalkulator je a alat da uradi kalkulacije. Kao i ljudski um, papir i olovka. Djecu treba učiti kada koristiti kalkulator i kada je mentalno računanje (ili čak papir i olovka) efikasnije ili prikladnije. Odabir pravog "alata" dio je efikasnog procesa rješavanja problema.
- Veoma je važno da studenti naučite kako procijeniti rezultat prije izračunavanja. TAKO je lako pogriješiti kada ukucavate brojeve u kalkulator. Učenik ne smije naučiti da se oslanja na kalkulator bez provjere da li je odgovor razuman.
- Kalkulator ne treba koristiti za nasumično isprobavanje svih mogućih operacija i provjeru koja daje tačan odgovor. Od presudne je važnosti da učenici nauče i razumiju različite matematičke operacije kako bi znali KADA koristiti koju – i to je tačno bilo da se stvarni proračun radi mentalno, na papiru ili pomoću kalkulatora.
Ideje za korištenje kalkulatora u osnovnoj matematici
Ako koristite ove ideje, pobrinite se da djeca ne shvate da kalkulator oduzima potrebu za učenjem mentalne matematike. Može poslužiti kao alat koji će djeci omogućiti da istražuju i posmatraju, ali nakon toga nastavnik treba objasniti koncepte, opravdati pravila matematike, i sve to spojiti.
- Učenici vrtića i prvaci mogu istraživati brojeve dodajući 1 više puta(što se može uraditi tako što prvo pritisnete 1 + 1 =, a zatim više puta pritisnete dugme =) ili oduzmete 1 više puta. Promatrajte njihova lica kada pogode negativne brojeve! Ili neka istraže šta se dešava sa brojem kada mu dodate nulu.
- Kalkulator zagonetke uzoraka: Ovo je proširenje ideje iznad, gdje djeca od prvog do trećeg razreda više puta dodaju ili oduzimaju isti broj koristeći kalkulator. Djeca će uočiti obrasce koji se pojavljuju kada više puta dodate, recimo, 2, 5, 10 ili 100. Na primjer, mogu početi sa 17 i više puta dodavati 10 ili početi sa 149 i oduzimati 10. Druga ideja je da se djeci omogući da prave svoje "zagonetke sa uzorcima", koje su nizovi brojeva sa uzorkom u kojem su neki brojevi izostavljeni, na primjer 7, 14, __, __, 35, __, 49. Aktivnost se može povezati s idejom. množenja vrlo lako.
- Aktivnost postavljanja vrijednosti pomoću kalkulatora : Učenici grade brojeve pomoću kalkulatora, na primjer:
Napravite trocifreni broj sa 6 na mjestu desetica; ILI Napravite četvorocifreni broj veći od 3500 sa četvorkom na mestu jedinica; ILI Napravite četvorocifreni broj sa 3 na deseticama i 9 na stotinama mesta; itd.
Nakon toga nastavnik navodi nekoliko brojeva na tabli i raspravlja o tome šta su brojevi koje su učenici napravili zajedničko, kao što su: svi brojevi su šezdeset i nešto. - Napišite broj jedan milion na ploču. Zamolite učenike da odaberu broj koji će više puta dodavati pomoću kalkulatora kako bi dosegli milion u razumnom vremenu nastave. Ako izaberu male brojeve, kao što su 68 ili 125, neće ih dostići. Ovo može naučiti djecu koliko je ogroman broj jedan!
- Prilikom predstavljanja pi, neka učenici izmjere obim i prečnik nekoliko kružnih objekata i izračunaju njihov omjer pomoću kalkulatora (koji štedi vrijeme i može pomoći da se zadrži fokus na konceptu).
Upotreba kalkulatora je u srcu dobrog podučavanja - članak Susan Ray; više nije na mreži
Komentari
Predajem u vrlo maloj školi i trenutno predajem algebru 1, 8. razred prirodne nauke, a zatim fiziku za maturante i imam malu grupu koja je završila račune u srednjoj školi i mi radimo linearnu algebru. magistar fizike.Prije nego što sam pročitao neke od ovih postova, osjećao sam da sam prilično bijesan antikalkulator, ali sada mislim da sam više na sredini puta.
Komentari o pravljenju kvadratnih korijena na papiru su dobri. Ne, više ne moramo znati kako se to radi sa dobrom preciznošću. Međutim, zaista bih volio da svi moji učenici mogu da vam kažu između kojih se dva broja nalazi. Primjer: 8
Prošle godine sam otkrio kako da unesem podatke u TI-83 i nateram ga da ispljune srednju vrednost i standardnu devijaciju. U kontekstu časa fizike, ne želim trošiti puno vremena na stvari koje bi trebali naučiti na času statistike. Ali ako kalkulator to radi lako, onda mogu lagano uvesti koncept i nadam se da će početno izloženost ih je pripremila za ono što trebaju naučiti u statistici.U Algebri 1, međutim, uopće ne dozvoljavam učenicima da koriste kalkulatore. I, u mojoj školi, smatram da većina djece dolazi na moj kurs bez kalkulatora ili sklonosti da ga koriste. Smatram da je osnovni pregled na matematika u Algebri 1 treba da bude: 80% brojeva treba da koristi osnovne informacije iz tablice množenja 12x12 koje bi deca trebalo da upamte, a 15% brojeva treba da pređe te granice. A zadnjih 5% bi trebalo da budu stvari za koje im treba kalkulator.
Po mom mišljenju, naučite stvari o brojevima kada ih morate raditi u svojoj glavi. Ako želite da uradite osnovne faktore od 357, možete početi sa idejom da je to manje od 400, tako da morate da proverite samo do 20. Takođe znate da je to čudno, tako da ne morate provjerite 2 ili bilo koji od događaja. Tada možete shvatiti da ne morate provjeriti nijedan od neprostih brojeva između 1 i 20. Dakle, morate provjeriti samo 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Ovo pomaže učenicima da počnu razvijati neke fundamentalne koncepte vezane za skupove. Postoje grupe brojeva koji dijele zajednička svojstva, kao što su parni i kvotni brojevi i prosti brojevi. Ovo je dubok koncept koji možda nećete dobiti ako ne morate sami sebi da pojednostavite proces.
Ali, isto tako, veoma je važno pojednostaviti proces za sebe. Pretpostavimo da ste glavni mehaničar na Sprint Cup NASCAR automobilu. Oni se stalno lome. Šta trebate učiniti da ih popravite? Šta je strano problemu? Koji je najmanji broj stvari koje trebate testirati/popraviti i kojim redoslijedom ih isprobati? To je dugačak nastavak razvoja algoritamske misli na času matematike u srednjoj školi. Ali ja bih rekao da je teže doći do toga ako vas je mašina cijeli život hranila odgovorima.
Znam da ovo traje dugo. Još dva poena... Nikada ne bih koristio grafički kalkulator da pravim grafikone. Imam softver od 100 dolara na svom laptopu koji izbacuje bilo koji ručni grafički kalkulator iz vode.
Konačno, pažnju mi je privukao komentar o prodavačima i kalkulatorima. Svijetu su svakako potrebni ljudi koji bi vodili kase u robnim kućama. Ali nekako osjećam da je cilj dobrog obrazovanja da kasnije izabereš karijeru koja te zanima. Blagajnici koji su strastveni u maloprodaji su rijetki. Nadam se da će moji učenici imati širi izbor kada završe školu.
David Iverson
Mislim da treba koristiti oba. Slažem se da treba da naučimo osnove u osnovnoj školi, sabiranje, oduzimanje itd.) Međutim, kada idete u Macy's, Olive Garden ili Mc Donald's, blagajnik ne koristi papir i olovku se koriste kompjuteri (kalkulatori). Živimo u kompjuterskom dobu. Nismo više u industrijskoj revoluciji, pa uđimo u 21. vek.
Zdravo, ja sam Kelly. Ja sam brucoš na koledžu u St. Charles Community College u Missouriju. Vaša stranica je divna. Tražio sam to zbog svoje mlađe sestre. Nešto što bih zaista želio reći svima i svima koji planiraju ići na fakultet je da odmah prestanu koristiti kalkulator. Koristite ga samo za crtanje dnevnika i sličnih potrebnih stvari. Završio sam srednju školu na času matematike koristeći kalkulator čak i za najjednostavnije zadatke množenja i dijeljenja, a kada sam stigao na fakultet morao sam sve ispočetka krenuti u POČETNU ALGEBRU jer nisam znao kako da množim i dijelim bez kalkulatora. Zato, molim vas, učinite svima uslugu i zamolite ih ili im recite da prestanu koristiti kalkulator. Oni će mi se kasnije zahvaliti.
Zdravo, moje ime je Rafeek i ja sam brucoš na koledžima Hobart i William Smith u Ženevi, NY. Radim rad o tehnologiji i njenim efektima, pa sam odlučio da odaberem kalkulator. Naišao sam na ovu stranicu u svom istraživanju. Želim da naglasim ono što je Kelly rekla. I meni se desilo isto, bio sam odličan u srednjoj matematici, praktički položio sve ispite iz matematike, onda sam došao ovdje radi orijentacije i rekli su mi da moram polagati ispit iz matematike BEZ računa. Nisam znao da ne mogu da uradim mnogo jednostavnih problema jer sam ga uvek uključivao u svoj kalc i dobijao odgovor. Ovo postaje nešto ozbiljno, već sam uzeo kalc mlađeg brata i sestre. i rekao im dok ne budu na fakultetu da neće koristiti proračun (barem ne ispred mene). Sada uzimam pre-calc. a moj cilj je da ne koristim kalc. NEMOJTE ZAVISI O VAŠEM KALKULATORU!!!
Kada smo na Univerzitetu pohađali kurseve matematike za moj BMath, nisu nam bili dozvoljeni kalkulatori za mnoge ispite (da bismo spriječili ljude da švercuju džepne računarske uređaje, rekao bih da je sposobnost izračunavanja suma na papiru od suštinske važnosti). .Emily Bell
Nikada nisam bio dobar u matematici, pa kada sam se dočepao svog kalkulatora i koliko je ohrabrujući u srednjoj školi, zaljubio sam se u njega. Sve dok nisam polagao ispit za koledž. Bio sam užasan. Nisam mogao čak se setite kako da mentalno uradite jednostavan zadatak dijeljenja. Problem današnjih škola je što se previše brinu i ohrabruju oko kalkulatora. Učenici bi trebali imati dobru osnovu mentalne matematike prije nego što nauče koristiti kalkulator, a ako me pitate, ocjena K-3 nije dovoljna.
Nedavno sam diplomirao. Moj smjer je bio elektrotehnika. Kako je moj kurs studiranja uključivao dosta matematike, osjećam se obaveznim da govorim o ovom važnom pitanju. Po mom mišljenju, kalkulatori se nikada ne bi trebali koristiti ni na jednom času matematike, čak ni na nivou fakulteta. Korištenje kalkulatora za bilo koji predmet će uzrokovati da korisnik postane mentalno lijen i nesposoban za osnovne matematičke vještine. Nikada ne biste trebali koristiti kalkulator kada učite kako množiti, raditi dugo dijeljenje ili čak crtati funkciju."Neki ljudi kažu da kalkulator omogućava djeci da se koncentrišu na razumijevanje i proučavanje matematičkih koncepata umjesto da troše vrijeme na zamorna izračunavanja. Kažu da kalkulator pomaže u razvoju čula za brojeve i čini učenike sigurnijim u svoje matematičke sposobnosti."
Gornja izjava je totalna glupost. Jedini način da se razvije čulo za brojeve i razumiju matematički koncepti je da se izlije satima zamornih proračuna. Jedini način da razvijete samopouzdanje u svoje matematičke sposobnosti je da koristite olovku i papir kad god se suočite s problemom matematike, treba ga odmah otpustiti za pristajanje na takve pogubne ideale.
Jedino vrijeme kada kalkulatori treba da se koriste u školi je u laboratoriji kada radite proračune na brojevima sa više od 4 značajne cifre. U suprotnom, učenik bi se trebao osloniti na papir, olovku i svoj mozak.
Kalkulator nema mjesta; NO PLACE; u učionici osnovne škole. Period. Ja sam profesor matematike u srednjoj školi i većina mojih učenika nema smisla za brojeve. Koriste kalkulatore za rješavanje jednocifrenih zadataka za množenje koje su s pravom trebali zapamtiti u trećem razredu. Bez njih su bespomoćni. 100% krivim korištenje kalkulatora u ranim razredima.
Moja djeca imaju 4 i 2 godine. Moja ćerka iduće godine ide u vrtić i svake godine ću upućivati njene vaspitače, a periodično tokom cijele godine, ZABRANJENO joj je da koristi kalkulator za BILO KOJI posao dok ne završi srednja škola NEMA NIŠTA u nastavnom planu i programu osnovne ili srednje škole što zahtijeva korištenje kalkulatora.
Što se tiče ove izjave, "Nacionalno vijeće nastavnika matematike (1989) preporučilo je da se dugim podjelama i "vježbanju zamornih računanja olovkom i papirom" posveti smanjena pažnja u školama i da kalkulatori budu dostupni svim učenicima u svakom trenutku." Koliko sam shvatio, ovo je bila reakcija na istraživanje vremena provedenog na matematičke teme u učionici i da je skoro trećina četvrtog i petog razreda provela učeći dijeljenje sa decimalnim i dvocifrenim djeliteljima (tj. 340/.15 ili 500/15) Da, nastavnici su potrošili više od dva mjeseca svakog od ovih! Ovo jednostavno nije odražavalo situaciju matematike u sadašnjem svijetu.
Lično, vidio sam mnogo sjajnih upotreba kalkulatora. Omogućuju ponavljanje bez grešaka kako bih mogao otkriti obrasce. Mnogi od konverzija i brzih trikova koje mogu da uradim su bili zato što sam imao samo osnovni kalkulator sve do predračuna. BTW, NCMT je također ažurirao svoje standarde kako bi uključio tečno poznavanje matematičkih činjenica u drugom i četvrtom razredu. Kao nastavnik matematike, stalno sam slušao od roditelja da djeca ne provode vrijeme u školi učeći napamet osnovne činjenice.
Vjerovatno bi mi se svidjelo da mi nije bilo dopušteno da koristim kalkulator barem do srednje škole (Znate one Nintendo DS Brainage igre). matematiku mogu, samo mi treba mnogo više vremena.
Kao profesor matematike, predalgebre i algebre I u nižim i srednjim školama, nalazim se u ovoj borbi svake godine. Iako da, kalkulatori nude brz način za pronalaženje odgovora, ne znam ni za jedan problem ni u jednom od tri udžbenika koje trenutno koristim, a koji bi zahtijevao od učenika da riješi probleme sa dugim dijeljenjem na deseto mjesto iza decimale (što je zajednički argument).
Međutim, očekujem da će moji učenici moći da rade osnovne matematičke funkcije bez upotrebe kalkulatora. Dok ulaze u algebru, provode previše vremena pokušavajući da shvate kako da rade stvari na kalkulatoru koje nisu moguće s kalkulatorima koje imaju, također očekujem da pokažu svoj rad na testovima i kvizovima (kao i novi državni testovi za parcijalne bodove) tako da ZNAM da oni znaju proces "koristio sam kalkulator" ne pokazuje mi da znaju proces i pravila ili "zašto" to radi. i "ah-ha" matematike.
Često podsjećam studente da su kalkulatori izmišljeni mnogo nakon što su matematička pravila počela; stoga se sva matematika može obaviti bez upotrebe kalkulatora. Veliki umovi, nemojte postati veliki tako što ćete izaći na lak način.
Što se tiče maloprodajnih radnika, dok bi mnogi kupci koji stoje u redu bili nestrpljivi da prodavac sve ručno izračunava, kao učiteljica kada odem u restoran, a taj moj nesretni učenik je konobar/konobarica/itd. Očekujem da će mi vratiti kusur. Pazim na to kada radim ove "provjere" i većina menadžera (znate one koji mogu računati bez kalkulatora) obično cijeni što njihovi zaposlenici znaju kako da izbroje novčane iznose.
Morao sam se malo nasmijati komentaru o "blagajnicama u Macy's-u, Olive Gardenu, McDonaldsu...koristite kalkulatore, kompjutere." Istina, ali to nije argument za njihovu upotrebu. Jeste li ikada bili na nekom od ovih radnje kada "računari ne rade?" naši mladi ljudi bi prošli u pravoj katastrofi/hitnoj situaciji kada možda nema struje, mobilnih telefona, kompjutera, internet mogućnosti, itd. Kao roditelj koji školujem kod kuće, jedan od mojih ciljeva je da moje dijete ima dobre osnovne vještine kako bi ono može dobro funkcionirati u bilo kojoj temi bez elektronske pomoći.
Imam dječaka koji ide u treći razred i kupila sam mu izuzetno jednostavan kalkulator (samo +,-,*,/). On je prilično dobar u rješavanju problema, zna svoje tablice množenja, može raditi sabiranje i oduzimanje sa 12 cifara na papiru, uči kako raditi množenje na papiru itd... i zapravo sam tražio neke smislene probleme za rješavanje sa kalkulatorom kada sam pronašao ovu emotivnu debatu.
E sad, potpuno se slažem da kalkulator ne bi trebao biti zamjena za učenje izvođenja mentalnih operacija, i za učenje kako se to radi na papiru. Trebali biste biti u mogućnosti da sami radite ove stvari, čak i ako je to nespretno.Ali poenta je da društvo napreduje. Tamo gdje je bilo korisno raditi pravilno i brzo zbrojeve od 20 brojeva na maloj bilješki, a ljudi su vam čak platili za tu vještinu prije 40 godina, to više nije slučaj lukom i strijelom - dok je to bila neophodna vještina za naše pretke koji su živjeli u pećinama.
Kada pogledam komentare ovdje, čini mi se da su jedini problemi s kojima su se ljudi suočavali kada nisu mogli računati bez kalkulatora bili u vještačkom okruženju gdje je to bila izričito provjerena kompetencija. Lov na zečeve strijelom i lukom također bi predstavljao problem da se ovo ne podučava i eksplicitno testira za jedan ili drugi ispit. Mislim da je u "stvarnom životu" sada važno biti pri ruci sa kalkulatorom - iako se naravno bez njega može, ali možda ne i *uvežbano* da se to radi efikasno, ispravno i brzo bez njega.
BTW, ko još zna kako uzeti kvadratni korijen na papiru? Nije li ovo važna vještina, a ko zna kako se efikasno koristi logaritamska tablica za množenje? više pripada folkloru, ne kažem da je to znati napraviti dodatak na papiru, nego treba znati kako se to radi, ali se pitam koji je razlog da se to može učiniti brzo i efikasno. provesti sate trenirajući za to). Zar se to vrijeme ne može iskoristiti za više korisnih stvari?
Rekao bih, ono što je još uvijek praktična vještina je *mentalno* izračunavanje, precizno mentalno izračunavanje i približno izračunavanje kako biste dobili ideju o redu veličine. Korisna vještina za treniranje, sumnjam - iako, opet, treba znati kako se to radi.
Stvari koje postaju zanimljive s kalkulatorima su konstrukcije poput Pascalovog trougla, ili Fibonačijevog niza, ili faktorijele, kombinacije i slične stvari, a koje su previše zamorne da bi se radile ručno.
Patrick Van Esch
pitanje: Koji su glavni razlozi za nekorištenje kalkulatora u prvom do trećem razredu srednjih škola?Nisam baš siguran koji su oblici jedan do tri, ali pretpostavljam da govorite o srednjoj školi.
Ja lično ne bih osporio upotrebu kalkulatora srednjoškolcima. Deca treba da nauče da koriste kalkulator, i da ga mudro koriste - što znači da treba da uče KADA ga je dobro koristiti, a kada ne. Možda bi neko uskratio upotrebu kalkulatora u srednjoj školi da ga učenik stalno zloupotrebljava, u drugima riječi koje ga koriste za 6 x 7 itd., u kom slučaju će takav učenik možda morati pregledati niže razrede iz matematike.
Trenutno sam učenik šestog razreda, znam da većina djece mojih godina ne voli da koristi kalkulator za provjeru rada, već da veliki dio matematike rade s kalkulatorima. Kalkulator treba koristiti samo za provjeru rada, nedavno je moj profesor matematike praktički nas tjeraju da koristimo TI30 xa kalkulatore, kao što znate, škola ima kalkulator koji može sabirati, oduzimati, množiti i dijeliti, a čini mi se da je to dovoljno da se u posljednje vrijeme hvatam kako se oslanjam na kalkulatore za sve svoje , ali danas na času matematike sam odlučio da više ne koristim kalkulator, jedan problem koji sam morao riješiti je 3,8892 podijeljeno sa 3 i nisam se mogao sjetiti kako da to uradim. A neki dan mi je mama zadala jednostavan matematički zadatak dok sam dobijao benzin i trebalo mi je 5 minuta da uradim ovaj osnovni zadatak sa sabiranjem. Moji roditelji nisu koristili kalkulatore dok su bili u školi, a ako im nisu bili potrebni onda ih ne trebamo ni nama. Ali kada svi naši sadašnji srednjoškolci postanu odrasli, naš školski sistem će vidjeti da će odrasli biti zaostajem u matematici dok se oslanjam na kompjutere i kalkulatore da urade sva dela. Ja sam zvanično Anti kalkulator!
Imao sam sreću da naučim osnovne matematičke činjenice (množenje, deljenje, razlomke, procenu, itd.) pre nego što sam dobio kalkulator u 8. razredu, ali sam postao stvarno ovisan o svom TI 83 uslužnom programu za grafiku za moje srednjoškolske časove algebre/predračuna. Ja bih grafički prikazao funkciju da pronađem nule umjesto da koristim kvadratnu formulu i slične stvari.Moj prvi razred matematike nije dopuštao kalkulatore, a to je bilo nakon što sam dobro prošao predračun u srednjoj školi (i dalje sam morao da se borim za B/C). kada sam imao lake petice u srednjoj školi) i na kraju sam ponovio teži čas matematike mnogo spremniji. Moji časovi iz serijala o životu/društvenim naukama dozvoljavali su 4-funkcije, ali ne i grafičke alate. Takođe, na koledžu sam morao da pokažem svoj rad. da dobijem bilo kakvu zaslugu, čak i ako je odgovor bio tačan, mislim da je jedan problem što sam se previše zaglavio u pronalaženju odgovora, a ne u učenju procesa.
S druge strane, moja sestra ima kalkulator od trećeg razreda i bukvalno ne može da pomnoži 6*7 bez kalkulatora ili da radi problem sa rečima, iako dobija petke iz matematike u srednjoj školi.
Kao stariji smjer za rano djetinjstvo/osnovno obrazovanje, razumijem važnost posjedovanja znanja o korištenju kalkulatora, jer da, živimo u dobu u kojem se tehnologija široko koristi. Međutim, kao i mnogi od vas, kada sam prvi put došao na fakultet i morao sam da polažem ispite bez upotrebe kalkulatora, bio sam u velikoj nevolji! I dalje sam dobro prošao, ali mi je trebalo dosta vremena da ponovo naučim sve osnovne funkcije matematike. Iz mog ličnog iskustva na terenu i kroz sopstvene kurseve, preporučujem dosledan balans između dve metode!!
Predajem matematiku na fakultetu gdje je kalkulator zabranjen. Nažalost, mnogi studenti su uništeni korištenjem kalkulatora. Imaju problema s izvođenjem čak i najjednostavnije algebre. Ovo je uzrokovalo povećanje popravne matematike na fakultetima svuda do 95%. Postoji knjiga pod nazivom "Namjerno zaglupljivanje Amerike" koju je napisao bivši zviždač iz Odjela za obrazovanje (također poznat kao DOE, što bi trebalo biti skraćenica za Dopes Of Education)
Izbornik za lekcije matematike
|
|
|
Kataloške informacije
Naslov
Elementarna linearna algebra.
(Kredit sati: Sati predavanja: Lab sati)
Ponuđeno
Preduvjet
Minimalni ishodi učenja
Po završetku ovog kursa, uspješan student će moći:
- Koristite Gaussovu eliminaciju da uradite sve od sledećeg: rešite linearni sistem sa redukovanim oblikom ešalona reda, rešite linearni sistem sa oblikom ešalona reda i zamenom unazad, pronađite inverz date matrice i pronađite determinantu date matrice.
- Pokazati stručnost u matričnoj algebri. Za matrično množenje demonstrirati razumijevanje asocijativnog zakona, zakona obrnutog reda za inverze i transponacije, te neuspjeh komutativnog zakona i zakona poništavanja.
- Koristite Cramerovo pravilo da riješite linearni sistem.
- Koristite kofaktore da biste pronašli inverz date matrice i determinantu date matrice.
- Odredite da li je skup sa datim pojmom sabiranja i skalarnog množenja vektorski prostor. Ovdje, iu relevantnim brojevima ispod, budite upoznati s primjerima konačnih i beskonačnih dimenzija.
- Odredite da li je dati podskup vektorskog prostora podprostor.
- Odredite da li je dati skup vektora linearno nezavisan, obuhvata ili je baza.
- Odredite dimenziju datog vektorskog prostora ili datog podprostora.
- Pronađite baze za nulti prostor, prostor redova i prostor kolona date matrice i odredite njen rang.
- Demonstrirati razumijevanje teoreme o rangu ništavosti i njene primjene.
- Dati opis linearne transformacije, pronađite njenu matričnu reprezentaciju u odnosu na date baze.
- Pokažite razumijevanje odnosa između sličnosti i promjene osnove.
- Pronađite normu vektora i ugao između dva vektora u unutrašnjem prostoru proizvoda.
- Koristite unutrašnji proizvod da izrazite vektor u prostoru unutrašnjeg proizvoda kao linearnu kombinaciju ortogonalnog skupa vektora.
- Pronađite ortogonalni komplement datog podprostora.
- Demonstrirati razumijevanje odnosa između prostora redova, prostora stupaca i nul-prostora matrice (i njenog transponiranja) putem ortogonalnih komplementa.
- Pokažite razumijevanje Cauchy-Schwartzove nejednakosti i njene primjene.
- Odredite da li je vektorski prostor sa (seskvilinearnim) oblikom unutrašnji prostor proizvoda.
- Koristite Gram-Schmidt proces da pronađete ortonormalnu osnovu unutrašnjeg prostora proizvoda. Budite sposobni da ovo uradite u oba R n i u funkcijskim prostorima koji su unutrašnji prostori proizvoda.
- Koristite najmanje kvadrate da stane u liniju ( y = ax + b) u tabelu podataka, nacrtajte liniju i tačke podataka i objasnite značenje najmanjih kvadrata u smislu ortogonalne projekcije.
- Koristite ideju najmanjih kvadrata za pronalaženje ortogonalnih projekcija na podprostore i za uklapanje polinomskih krivulja.
- Pronađite (realne i kompleksne) svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore matrica 2 × 2 ili 3 × 3.
- Odredite da li se data matrica može dijagonalizirati. Ako je tako, pronađite matricu koja je dijagonalizira preko sličnosti.
- Demonstrirati razumijevanje odnosa između vlastitih vrijednosti kvadratne matrice i njene determinante, njenog traga i njene invertibilnosti/singularnosti.
- Identificirati simetrične matrice i ortogonalne matrice.
- Pronađite matricu koja ortogonalno dijagonalizira datu simetričnu matricu.
- Znati i biti sposoban primijeniti teoremu spektra za simetrične matrice.
- Znati i biti sposoban primijeniti dekompoziciju singularnih vrijednosti.
- Ispravno definirajte pojmove i navedite primjere koji se odnose na gore navedene pojmove.
- Dokažite osnovne teoreme o gornjim konceptima.
- Dokazati ili opovrgnuti izjave koje se odnose na gore navedene koncepte.
- Biti vješt u ručnom računanju za redukciju redova, inverziju matrice i slične probleme; također, koristite MATLAB ili sličan program za probleme linearne algebre.
U problemu trgovačkog putnika, da biste formirali optimalnu rutu oko n gradova, trebate odabrati najbolji od (n-1)! opcije zasnovane na vremenu, cijeni ili dužini rute. Ovaj problem uključuje određivanje Hamiltonovog ciklusa minimalne dužine. U takvim slučajevima, skup svih mogućih rješenja treba prikazati u obliku stabla - povezanog grafa koji ne sadrži cikluse ili petlje. Korijen stabla objedinjuje cijeli skup opcija, a vrhovi stabla su podskupovi djelomično uređenih opcija rješenja.
Svrha usluge. Koristeći uslugu, možete provjeriti svoje rješenje ili dobiti novo rješenje za problem trgovačkog putnika koristeći dvije metode: grana i vezana metoda i mađarska metoda.
Matematički model problema trgovačkog putnika
Formulirani problem je cjelobrojni problem. Neka je x ij =1 ako se putnik kreće iz i-tog grada u j-ti i x ij =0 ako to nije slučaj.Formalno, uvodimo (n+1) grad koji se nalazi na istom mjestu kao i prvi grad, tj. udaljenosti od (n+1) gradova do bilo kojeg drugog grada osim prvog jednake su udaljenostima od prvog grada. Štaviše, ako možete napustiti samo prvi grad, onda možete doći samo u (n+1) grad.
Hajde da uvedemo dodatne cjelobrojne varijable jednake broju posjeta ovom gradu na putu. u 1 =0, u n +1 =n. Kako bismo izbjegli zatvorene staze, napustimo prvi grad i vratimo se na (n+1), uvodimo dodatna ograničenja koja povezuju varijable x ij i varijable u i (u i su nenegativni cijeli brojevi).
U i -u j +nx ij ≤ n-1, j=2..n+1, i=1..n, i≠j, sa i=1 j≠n+1
0≤u i ≤n, x in+1 =x i1 , i=2..n
Metode rješavanja problema trgovačkog putnika
- metoda grananja i veza (Littleov algoritam ili eliminacija podciklusa). Primjer grananja i vezanog rješenja;
- mađarska metoda. Primjer rješenja po mađarskoj metodi.
Littleov algoritam ili eliminacija podciklusa
- Operacija redukcije duž redova: u svakom redu matrice, minimalni element d min se nalazi i oduzima od svih elemenata odgovarajućeg reda. Donja granica: H=∑d min.
- Operacija redukcije po stupcima: u svakoj koloni matrice odaberite minimalni element d min i oduzmite ga od svih elemenata odgovarajuće kolone. Donja granica: H=H+∑d min.
- Konstanta redukcije H je donja granica skupa svih dopuštenih Hamiltonovih kontura.
- Pronalaženje potencija nula za matricu datu redovima i stupcima. Da biste to učinili, privremeno zamijenite nule u matrici znakom “∞” i pronađite zbir minimalnih elemenata reda i stupca koji odgovaraju ovoj nuli.
- Odaberite luk (i,j) za koji stepen nultog elementa dostiže maksimalnu vrijednost.
- Skup svih Hamiltonovih kontura je podijeljen na dva podskupa: podskup Hamiltonovih kontura koji sadrži luk (i,j) i one koji ga ne sadrže (i*,j*). Da biste dobili matricu kontura uključujući luk (i,j), precrtajte red i i stupac j u matrici. Da biste spriječili formiranje ne-Hamiltonove konture, zamijenite simetrični element (j,i) znakom “∞”. Eliminacija luka se postiže zamjenom elementa u matrici sa ∞.
- Matrica Hamiltonovih kontura se redukuje traženjem redukcionih konstanti H(i,j) i H(i*,j*) .
- Uspoređuju se donje granice podskupa Hamiltonovih kontura H(i,j) i H(i*,j*). Ako je H(i,j)
- Ako se kao rezultat grananja dobije (2x2) matrica, tada se određuju Hamiltonova kontura dobivena grananjem i njena dužina.
- Duljina Hamiltonove konture uspoređuje se s donjim granicama visećih grana. Ako dužina konture ne prelazi njihove donje granice, onda je problem riješen. Inače, grane podskupova sa donjom granicom manjom od rezultirajuće konture se razvijaju dok se ne dobije ruta kraće dužine.
Primjer. Riješite problem trgovačkog putnika s matricom koristeći Littleov algoritam
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 | - | 5 | 8 | 7 |
| 2 | 5 | - | 6 | 15 |
| 3 | 8 | 6 | - | 10 |
| 4 | 7 | 15 | 10 | - |
Rješenje. Uzmimo kao proizvoljan put: X 0 = (1,2);(2,3);(3,4);(4,5);(5,1). Tada je F(X 0) = 20 + 14 + 6 + 12 + 5 = 57
Za određivanje donje granice skupa koristimo se operacija redukcije ili smanjivanje matrice red po red, za šta je potrebno pronaći minimalni element u svakom redu matrice D: d i = min(j) d ij
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 20 | 18 | 12 | 8 | 8 |
| 2 | 5 | M | 14 | 7 | 11 | 5 |
| 3 | 12 | 18 | M | 6 | 11 | 6 |
| 4 | 11 | 17 | 11 | M | 12 | 11 |
| 5 | 5 | 5 | 5 | 5 | M | 5 |
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
d j = min(i) d ij
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
| dj | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | M |
Elementi matrice d ij odgovaraju udaljenosti od tačke i do tačke j.
Pošto u matrici ima n gradova, onda je D matrica nxn sa nenegativnim elementima d ij ≥ 0
Svaka važeća ruta predstavlja ciklus u kojem trgovački putnik posjećuje grad samo jednom i vraća se u izvorni grad.
Dužina rute je određena izrazom: F(M k) = ∑d ij
Štaviše, svaki red i kolona su uključeni u rutu samo jednom sa elementom d ij .
Korak #1.
Određivanje ruba grananja
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | M | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 6 | 0(0) | M | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | 0(0) | M | 0 |
| dj | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Najveći zbir redukcijskih konstanti je (0 + 6) = 6 za ivicu (5,2), stoga je skup podijeljen na dva podskupa (5,2) i (5*,2*).
Isključivanje ivice(5.2) se izvodi zamjenom elementa d 52 = 0 sa M, nakon čega vršimo sljedeću redukciju matrice udaljenosti za rezultujući podskup (5*,2*), kao rezultat dobijamo redukovanu matricu.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 | 0 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M | 0 |
| dj | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Omogućavanje ivice(5.2) izvodi se eliminacijom svih elemenata 5. reda i 2. kolone, u kojima je element d 25 zamijenjen sa M kako bi se eliminisalo formiranje ne-Hamiltonovog ciklusa.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | 0 | M | 1 | 0 |
| dj | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Donja granica podskupa (5,2) je jednaka: H(5,2) = 35 + 0 = 35 ≤ 41
Pošto je donja granica ovog podskupa (5,2) manja od podskupa (5*,2*), u rutu uključujemo ivicu (5,2) sa novom granicom H = 35
Korak #2.
Određivanje ruba grananja i podijeliti cijeli skup ruta u odnosu na ovu ivicu na dva podskupa (i,j) i (i*,j*).
U tu svrhu, za sve ćelije matrice sa nultim elementima, nule jednu po jednu zamjenjujemo sa M (beskonačnost) i za njih određujemo zbir rezultirajućih redukcijskih konstanti koje su date u zagradama.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | 9 | 2 | M | 2 |
| 3 | 6 | M | 0(7) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(9) | M | 1 | 0 |
| dj | 0 | 9 | 2 | 1 | 0 |
Najveći zbir redukcijskih konstanti je (0 + 9) = 9 za ivicu (4,3), stoga je skup podijeljen na dva podskupa (4,3) i (4*,3*).
Isključivanje ivice(4.3) se izvodi zamjenom elementa d 43 = 0 sa M, nakon čega vršimo sljedeću redukciju matrice udaljenosti za rezultujući podskup (4*,3*), kao rezultat dobijamo redukovanu matricu.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | M | M | 1 | 0 |
| dj | 0 | 9 | 0 | 0 | 9 |
Omogućavanje ivice(4.3) se izvodi eliminacijom svih elemenata 4. reda i 3. kolone, u kojima je element d 34 zamijenjen sa M kako bi se eliminisalo formiranje ne-Hamiltonovog ciklusa.
Nakon operacije redukcije, smanjena matrica će izgledati ovako:
| i j | 1 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 2 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 5 | 5 |
| dj | 0 | 2 | 0 | 7 |
Donja granica podskupa (4,3) je jednaka: H(4,3) = 35 + 7 = 42 ≤ 44
Pošto je 42 > 41, isključujemo podskup (5,2) za dalje grananje.
Vraćamo se na prethodni plan X 1.
Plan X 1.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 12 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 12 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 6 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M |
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0 | 5 |
| 4 | 0 | 0 | 0 | M | 1 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M |
Određivanje ruba grananja i podijeliti cijeli skup ruta u odnosu na ovu ivicu na dva podskupa (i,j) i (i*,j*).
U tu svrhu, za sve ćelije matrice sa nultim elementima, nule jednu po jednu zamjenjujemo sa M (beskonačnost) i za njih određujemo zbir rezultirajućih redukcijskih konstanti koje su date u zagradama.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0(5) | 4 |
| 2 | 0(2) | M | 9 | 2 | 6 | 2 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 4 | 0(0) | 0(6) | 0(0) | M | 1 | 0 |
| 5 | 0(0) | M | 0(0) | 0(0) | M | 0 |
| dj | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Najveći zbir redukcijskih konstanti je (0 + 6) = 6 za ivicu (4,2), stoga je skup podijeljen na dva podskupa (4,2) i (4*,2*).
Isključivanje ivice(4.2) se izvodi zamjenom elementa d 42 = 0 sa M, nakon čega vršimo sljedeću redukciju matrice udaljenosti za rezultujući podskup (4*,2*), kao rezultat dobijamo redukovanu matricu.
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 6 | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | M | 9 | 2 | 6 | 0 |
| 3 | 6 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 4 | 0 | M | 0 | M | 1 | 0 |
| 5 | 0 | M | 0 | 0 | M | 0 |
| dj | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 |
Omogućavanje ivice(4.2) izvodi se eliminacijom svih elemenata iz 4. reda i 2. kolone, u kojima je element d 24 zamijenjen sa M kako bi se eliminisalo formiranje ne-Hamiltonovog ciklusa.
Rezultat je još jedna redukovana matrica (4 x 4), koja je predmet operacije redukcije.
Nakon operacije redukcije, smanjena matrica će izgledati ovako:
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0 | 0 |
| 2 | 0 | 9 | M | 6 | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | M | 0 |
| dj | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Donja granica podskupa (4,2) je jednaka: H(4,2) = 41 + 0 = 41 ≤ 47
Pošto je donja granica ovog podskupa (4,2) manja od podskupa (4*,2*), u rutu uključujemo ivicu (4,2) sa novom granicom H = 41
Korak #2.
Određivanje ruba grananja i podijeliti cijeli skup ruta u odnosu na ovu ivicu na dva podskupa (i,j) i (i*,j*).
U tu svrhu, za sve ćelije matrice sa nultim elementima, nule jednu po jednu zamjenjujemo sa M (beskonačnost) i za njih određujemo zbir rezultirajućih redukcijskih konstanti koje su date u zagradama.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | 0(9) | 4 |
| 2 | 0(6) | 9 | M | 6 | 6 |
| 3 | 6 | M | 0(5) | 5 | 5 |
| 5 | 0(0) | 0(9) | 0(0) | M | 0 |
| dj | 0 | 9 | 0 | 5 | 0 |
Najveći zbir redukcijskih konstanti je (4 + 5) = 9 za ivicu (1,5), stoga je skup podijeljen na dva podskupa (1,5) i (1*,5*).
Isključivanje ivice(1.5) se izvodi zamjenom elementa d 15 = 0 sa M, nakon čega vršimo sljedeću redukciju matrice udaljenosti za rezultujući podskup (1*,5*), kao rezultat dobijamo redukovanu matricu.
| i j | 1 | 3 | 4 | 5 | d i |
| 1 | M | 10 | 4 | M | 4 |
| 2 | 0 | 9 | M | 6 | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 5 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 | M | 0 |
| dj | 0 | 0 | 0 | 5 | 9 |
Omogućavanje ivice(1.5) se izvodi eliminacijom svih elemenata iz 1. reda i 5. kolone, u kojima je element d 51 zamijenjen sa M kako bi se eliminisalo formiranje ne-Hamiltonovog ciklusa.
Kao rezultat, dobijamo još jednu redukovanu matricu (3 x 3), koja je predmet operacije redukcije.
Nakon operacije redukcije, smanjena matrica će izgledati ovako:
| i j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | 0 | 9 | M | 0 |
| 3 | 6 | M | 0 | 0 |
| 5 | M | 0 | 0 | 0 |
| dj | 0 | 0 | 0 | 0 |
Donja granica podskupa (1,5) je jednaka: H(1,5) = 41 + 0 = 41 ≤ 50
Pošto je donja granica ovog podskupa (1,5) manja od podskupa (1*,5*), u rutu uključujemo ivicu (1,5) sa novom granicom H = 41
Korak #3.
Određivanje ruba grananja i podijeliti cijeli skup ruta u odnosu na ovu ivicu na dva podskupa (i,j) i (i*,j*).
U tu svrhu, za sve ćelije matrice sa nultim elementima, nule jednu po jednu zamjenjujemo sa M (beskonačnost) i za njih određujemo zbir rezultirajućih redukcijskih konstanti koje su date u zagradama.
| i j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | 0(15) | 9 | M | 9 |
| 3 | 6 | M | 0(6) | 6 |
| 5 | M | 0(9) | 0(0) | 0 |
| dj | 6 | 9 | 0 | 0 |
Najveći zbir redukcijskih konstanti je (9 + 6) = 15 za rub (2,1), stoga je skup podijeljen na dva podskupa (2,1) i (2*,1*).
Isključivanje ivice(2.1) se izvodi zamjenom elementa d 21 = 0 sa M, nakon čega vršimo sljedeću redukciju matrice udaljenosti za rezultujući podskup (2*,1*), kao rezultat dobijamo redukovanu matricu.
| i j | 1 | 3 | 4 | d i |
| 2 | M | 9 | M | 9 |
| 3 | 6 | M | 0 | 0 |
| 5 | M | 0 | 0 | 0 |
| dj | 6 | 0 | 0 | 15 |
Omogućavanje ivice(2.1) se izvodi eliminacijom svih elemenata iz 2. reda i 1. kolone, u kojima je element d 12 zamijenjen sa M kako bi se eliminisalo formiranje ne-Hamiltonovog ciklusa.
Kao rezultat, dobijamo još jednu redukovanu matricu (2 x 2), koja je predmet operacije redukcije.
Nakon operacije redukcije, smanjena matrica će izgledati ovako:
| i j | 3 | 4 | d i |
| 3 | M | 0 | 0 |
| 5 | 0 | 0 | 0 |
| dj | 0 | 0 | 0 |
∑d i + ∑d j = 0
Donja granica podskupa (2,1) je jednaka: H(2,1) = 41 + 0 = 41 ≤ 56
Budući da je donja granica ovog podskupa (2,1) manja od podskupa (2*,1*), uključujemo ivicu (2,1) u rutu sa novom granicom H = 41.
U skladu sa ovom matricom, u Hamiltonovu rutu uključujemo ivice (3,4) i (5,3).
Kao rezultat, duž stabla grananja Hamiltonovog ciklusa, ivice se formiraju:
(4,2), (2,1), (1,5), (5,3), (3,4). Dužina rute je F(Mk) = 41
Stablo odluka.
| 1 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5*,2*), H=41 | (5,2) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (4*,2*), H=47 | (4,2) | (4*,3*), H=44 | (4,3) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (1*,5*), H=50 | (1,5) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (2*,1*), H=56 | (2,1) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (3,4) | (3*,4*), H=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| (5,3) | (5*,3*), H=41 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Sa ovim kalkulatorom se također koriste sljedeće:
Grafička metoda rješavanja ZLP
Simpleksna metoda za rješavanje ZLP
Rješavanje matrične igre
Koristeći online uslugu, možete odrediti cijenu matrične igre (donje i gornje granice), provjeriti prisutnost sedla, pronaći rješenje za mješovitu strategiju koristeći sljedeće metode: minimaks, simpleks metod, grafički (geometrijski ) metoda, Brownova metoda.
Ekstremum funkcije dvije varijable
Problemi sa dinamičkim programiranjem
Prva faza rješavanja transportnog problema je odrediti njen tip (otvoren ili zatvoren, ili na drugi način uravnotežen ili neuravnotežen). Približne metode ( metode za pronalaženje referentnog plana) dozvoliti druga faza rješenja u malom broju koraka dobiti prihvatljivo, ali ne uvijek optimalno rješenje problema. Ova grupa metoda uključuje sljedeće metode:
- brisanje (metoda dvostruke preferencije);
- sjeverozapadni ugao;
- minimalni element;
- Vogelove aproksimacije.
Referentno rješenje transportnog problema
Referentno rješenje transportnog problema je bilo koje izvodljivo rješenje za koje su vektori uvjeta koji odgovaraju pozitivnim koordinatama linearno nezavisni. Za provjeru linearne nezavisnosti vektora uslova koji odgovaraju koordinatama dopuštenog rješenja koriste se ciklusi.Ciklus Poziva se niz ćelija u tablici transportnih zadataka u kojem se dvije i jedine susjedne ćelije nalaze u istom redu ili stupcu, a prva i posljednja su također u istom redu ili stupcu. Sistem vektora uslova transportnog problema je linearno nezavisan ako i samo ako se iz odgovarajućih ćelija tabele ne može formirati ciklus. Dakle, dopušteno rješenje transportnog problema, i=1,2,...,m; j=1,2,...,n je referenca samo ako se ne može formirati ciklus iz ćelija tabele koje zauzima.
Približne metode rješavanja transportnog problema.
Metoda precrtavanja (metoda dvostruke preferencije). Ako postoji jedna zauzeta ćelija u redu ili koloni tabele, ona se ne može uključiti ni u jedan ciklus, jer ciklus ima dvije i samo dvije ćelije u svakoj koloni. Stoga možete precrtati sve redove tabele koji sadrže jednu zauzetu ćeliju, zatim precrtati sve stupce koji sadrže jednu zauzetu ćeliju, zatim se vratiti na redove i nastaviti sa precrtavanjem redova i kolona. Ako su kao rezultat brisanja svi redovi i stupci precrtani, to znači da je iz zauzetih ćelija tabele nemoguće odabrati dio koji čini ciklus, a sistem odgovarajućih vektora uslova je linearno nezavisan, a rješenje je referentno. Ako nakon brisanja neke ćelije ostanu, onda te ćelije formiraju ciklus, sistem odgovarajućih vektora stanja je linearno zavisan, a rješenje nije referentno.
Metoda sjeverozapadnog ugla sastoji se od uzastopnog prolaska kroz redove i stupce transportne tablice, počevši od lijevog stupca i gornjeg retka, i ispisivanja maksimalno mogućih pošiljki u odgovarajuće ćelije tabele tako da su mogućnosti dobavljača ili potrebe potrošača navedene u zadatak nije prekoračen. U ovoj metodi se ne obraća pažnja na cijene isporuke, jer se pretpostavlja dalja optimizacija pošiljaka.
Metoda minimalnih elemenata. Odlikuje se jednostavnošću ovu metodu još efikasniji od, na primjer, metode sjeverozapadnog ugla. Štaviše, metoda minimalnog elementa je jasna i logična. Njegova suština je da se u transportnoj tabeli prvo popunjavaju ćelije sa najnižim tarifama, a zatim ćelije sa visokim tarifama. Odnosno, biramo transport sa minimalnim troškovima dostave tereta. Ovo je očigledan i logičan potez. Istina, to ne vodi uvijek do optimalnog plana.
Vogelova metoda aproksimacije. Kod Vogelove aproksimacijske metode, na svakoj iteraciji, nalazi se razlika između dvije minimalne tarife zapisane u njima za sve stupce i sve redove. Ove razlike se evidentiraju u posebno označenom redu i koloni u tabeli problematičnih uslova. Među naznačenim razlikama bira se minimum. U redu (ili koloni) kojem odgovara ova razlika utvrđuje se minimalna tarifa. Ćelija u kojoj je upisano se popunjava u ovoj iteraciji.
Primjer br. 1. Tarifna matrica (ovdje je broj dobavljača 4, broj trgovina je 6):
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Rezerve | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 10 | 1 | 100 | 60 |
| Potrebe | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
∑a = 80 + 60 + 30 + 60 = 230
∑b = 10 + 30 + 40 + 50 + 70 + 30 = 230
Uslov ravnoteže je ispunjen. Isporučuje jednake potrebe. Dakle, model transportnog problema je zatvoren. Kada bi model bio otvoren, bilo bi potrebno uvesti dodatne dobavljače ili potrošače.
On druga faza Referentni plan se pretražuje gore navedenim metodama (najčešći je metod najmanje troškova).
Da bismo demonstrirali algoritam, predstavljamo samo nekoliko iteracija.
Iteracija br. 1. Minimalni element matrice je nula. Za ovaj element zalihe su 60, a zahtjevi 30. Od njih biramo minimalni broj 30 i oduzimamo ga (vidi tabelu). Istovremeno precrtavamo šestu kolonu iz tabele (njegove potrebe su jednake 0).
| 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | x | 80 |
| 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 - 30 = 30 |
| 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | x | 30 |
| 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | x | 60 |
| 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 - 30 = 0 | 0 |
Iteracija br. 2. Opet tražimo minimum (0). Iz para (60;50) biramo minimalni broj 50. Precrtajte peti stupac.
| 3 | 20 | 8 | x | 4 | x | 80 |
| 4 | 4 | 18 | x | 3 | 0 | 30 |
| 10 | 4 | 18 | x | 6 | x | 30 |
| 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | x | 60 - 50 = 10 |
| 10 | 30 | 40 | 50 - 50 = 0 | 70 | 0 | 0 |
Iteracija br. 3. Nastavljamo proces dok ne odaberemo sve potrebe i zalihe.
Iteracija br. N. Element koji tražite je 8. Za ovaj element, zalihe su jednake zahtjevima (40).
| 3 | x | 8 | x | 4 | x | 40 - 40 = 0 |
| x | x | x | x | 3 | 0 | 0 |
| x | 4 | x | x | x | x | 0 |
| x | x | x | 0 | 1 | x | 0 |
| 0 | 0 | 40 - 40 = 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Rezerve | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | 100 | 60 |
| Potrebe | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
Izbrojimo broj zauzetih ćelija u tabeli, ima ih 8, ali bi trebalo da bude m + n - 1 = 9. Dakle, plan podrške je degenerisan. Pravimo novi plan. Ponekad morate napraviti nekoliko referentnih planova prije nego što pronađete nedegenerirani.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Rezerve | |
| 1 | 3 | 20 | 8 | 13 | 4 | 100 | 80 |
| 2 | 4 | 4 | 18 | 14 | 3 | 0 | 60 |
| 3 | 10 | 4 | 18 | 8 | 6 | 0 | 30 |
| 4 | 7 | 19 | 17 | 0 | 1 | 100 | 60 |
| Potrebe | 10 | 30 | 40 | 50 | 70 | 30 |
Kao rezultat, dobija se prvi plan podrške, koji je validan, jer je broj zauzetih ćelija u tabeli 9 i odgovara formuli m + n - 1 = 6 + 4 - 1 = 9, tj. referentni plan je nedegenerisan.
Treća faza sastoji se u poboljšanju pronađenog referentnog plana. Ovdje koriste potencijalnu metodu ili metodu distribucije. U ovoj fazi, ispravnost rješenja može se pratiti kroz funkciju troškova F(x) . Ako se smanji (podložno minimiziranju troškova), onda je rješenje ispravno.
Primjer br. 2. Metodom minimalne tarife predstaviti početni plan za rješavanje transportnog problema. Provjerite optimalnost koristeći potencijalnu metodu.
| 30 | 50 | 70 | 10 | 30 | 10 | |
| 40 | 2 | 4 | 6 | 1 | 1 | 2 |
| 80 | 3 | 4 | 5 | 9 | 9 | 6 |
| 60 | 4 | 3 | 2 | 7 | 8 | 7 |
| 20 | 5 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
Primjer br. 3. Četiri fabrike konditorskih proizvoda mogu proizvoditi tri vrste konditorskih proizvoda. Troškovi proizvodnje jednog kvintala (kvintala) konditorskih proizvoda po svakoj fabrici, proizvodni kapacitet fabrika (kvintala mesečno) i dnevne potrebe za konditorskim proizvodima (kvintala mesečno) prikazani su u tabeli. Izraditi plan proizvodnje konditorskih proizvoda koji minimizira ukupne troškove proizvodnje.
Napomena. Ovdje možete prvo transponirati tablicu troškova, jer su za klasičnu formulaciju transportnog problema na prvom mjestu kapaciteti (proizvodnja), a zatim potrošači.
Primjer br. 4. Za izgradnju objekata cigla se isporučuje iz tri (I, II, III) fabrike. Fabrike imaju 50, 100 i 50 hiljada jedinica u skladištima. cigle Za objekte je potrebno 50, 70, 40 i 40 hiljada komada. cigle Tarife (den. jedinica/hiljadu jedinica) su date u tabeli. Napravite plan transporta koji minimizira ukupne troškove transporta.
će biti zatvoreno ako:A) a=40, b=45
B) a=45, b=40
B) a=11, b=12
Uslov zatvorenog transportnog problema: ∑a = ∑b
Nalazimo, ∑a = 35+20+b = 55+b; ∑b = 60+a
Dobijamo: 55+b = 60+a
Jednakost će se poštovati samo kada je a=40, b=45
