Matrična metoda SLAU rješenja primjenjuje se na rješavanje sistema jednačina u kojima broj jednačina odgovara broju nepoznatih. Metoda se najbolje koristi za rješavanje sistema nižeg reda. Matrična metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina zasniva se na primjeni svojstava množenja matrice.
Drugim riječima, ovaj metod metoda inverzne matrice, tako se zove jer se rješenje svodi na običnu matričnu jednadžbu, za rješavanje koje je potrebno pronaći inverznu matricu.
Metoda matričnog rješenja SLAE sa determinantom koja je veća ili manja od nule je kako slijedi:
Pretpostavimo da postoji SLE (sistem linearnih jednačina) sa n nepoznato (preko proizvoljnog polja):
To znači da se može lako pretvoriti u matrični oblik:
AX=B, Gdje A— glavna matrica sistema, B I X— kolone slobodnih pojmova i rješenja sistema, redom:
Pomnožimo ovu matričnu jednačinu slijeva sa A−1— inverzna matrica prema matrici A: A −1 (AX)=A −1 B.
Jer A −1 A=E, znači, X=A −1 B. Desna strana jednačina daje rješenja stupac početni sistem. Uslov za primenljivost matrične metode je nedegeneracija matrice A. Neophodan i dovoljno stanje to znači da determinanta matrice nije jednaka nuli A:
detA≠0.
Za homogeni sistem linearnih jednačina, tj. ako vektor B=0, važi suprotno pravilo: sistem AX=0 postoji netrivijalno (tj. nije jednako nuli) rješenje samo kada detA=0. Ova veza između rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih jednačina naziva se Fredholm alternativa.
Dakle, rješenje SLAE matrična metoda proizveden po formuli 
. Ili, rješenje za SLAE se nalazi korištenjem inverzna matrica A−1.
Poznato je da za kvadratnu matricu A red n on n Postoji inverzna matrica A−1 samo ako je njegova determinanta različita od nule. Dakle, sistem n linearno algebarske jednačine With n Nepoznate rješavamo matričnim metodom samo ako determinanta glavne matrice sistema nije jednaka nuli.
Unatoč činjenici da postoje ograničenja u mogućnosti korištenja ove metode i da postoje poteškoće u proračunu za velike vrijednosti koeficijenata i sistema high order, metoda se lako može implementirati na računaru.
Primjer rješavanja nehomogenog SLAE.
Prvo, provjerimo da li determinanta matrice koeficijenata nepoznatih SLAE nije jednaka nuli.
Sada pronalazimo sindikalna matrica, transponirajte ga i zamijenite u formulu da odredite inverznu matricu.
Zamijenite varijable u formulu:
Sada nalazimo nepoznanice množenjem inverzne matrice i stupca slobodnih članova.
dakle, x=2; y=1; z=4.
Kada prelazite sa uobičajenog oblika SLAE na matrični oblik, budite pažljivi sa redosledom nepoznatih varijabli u jednačinama sistema. Na primjer:
NE MOŽE se napisati kao:
Potrebno je, prvo, poredati nepoznate varijable u svakoj jednadžbi sistema i tek nakon toga preći na matričnu notaciju:
Osim toga, umjesto toga, morate biti oprezni s označavanjem nepoznatih varijabli x 1, x 2 , …, x n mogu postojati i druga slova. Na primjer:
u matričnom obliku to pišemo ovako:
Sisteme je bolje rješavati matričnim metodom linearne jednačine, u kojem se broj jednačina poklapa sa brojem nepoznatih varijabli i determinanta glavne matrice sistema nije jednaka nuli. Kada postoji više od 3 jednačine u sistemu, pronalaženje inverzne matrice će zahtijevati više računskog napora, stoga je u ovom slučaju preporučljivo koristiti Gaussovu metodu za rješavanje.
Svrha usluge. Koristeći ovaj onlajn kalkulator, nepoznanice (x 1, x 2, ..., x n) se izračunavaju u sistemu jednačina. Odluka je sprovedena metoda inverzne matrice. u ovom slučaju:- izračunava se determinanta matrice A;
- kroz algebarski dodaci pronađena je inverzna matrica A -1;
- kreira se predložak rješenja u Excelu;
Uputstva. Da biste dobili rješenje korištenjem metode inverzne matrice, potrebno je odrediti dimenziju matrice. Zatim, u novom dijaloškom okviru, popunite matricu A i vektor rezultata B.
Vidi također Rješavanje matričnih jednačina.Algoritam rješenja
- Izračunava se determinanta matrice A. Ako je determinanta nula, onda je rješenje gotovo. Sistem ima beskonačan broj rješenja.
- Kada je determinanta različita od nule, inverzna matrica A -1 se nalazi algebarskim sabiranjem.
- Vektor rješenja X =(x 1, x 2, ..., x n) dobija se množenjem inverzne matrice sa vektorom rezultata B.
Algebarski dodaci.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1,3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3,1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
pregled:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Upotreba jednačina je široko rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim proračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Čovjek je koristio jednačine u drevnim vremenima, a od tada se njihova upotreba samo povećava. Matrična metoda vam omogućava da pronađete rješenja za SLAE (sisteme linearnih algebarskih jednačina) bilo koje složenosti. Cijeli proces rješavanja SLAE svodi se na dvije glavne radnje:
Određivanje inverzne matrice na osnovu glavne matrice:
Množenje rezultirajuće inverzne matrice sa vektorom stupaca rješenja.
Pretpostavimo da nam je dat SLAE sljedećeg oblika:
\[\left\(\begin(matrica) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrica)\desno.\]
Počnimo rješavati ovu jednačinu ispisivanjem sistemske matrice:
Matrica sa desne strane:
Definirajmo inverznu matricu. Matricu 2. reda možete pronaći na sljedeći način: 1 - sama matrica mora biti nesingularna; 2 - zamjenjuju se njegovi elementi koji se nalaze na glavnoj dijagonali, a za elemente sekundarne dijagonale mijenjamo predznak u suprotan, nakon čega rezultujuće elemente dijelimo determinantom matrice. dobijamo:
\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ početak(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]
2 matrice se smatraju jednakim ako su im odgovarajući elementi jednaki. Kao rezultat, imamo sljedeći odgovor za SLAE rješenje:
Gdje mogu riješiti sistem jednačina koristeći matričnu metodu na mreži?
Sistem jednačina možete riješiti na našoj web stranici. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da riješite online jednadžbe bilo koje složenosti za nekoliko sekundi. Sve što trebate učiniti je jednostavno unijeti svoje podatke u rješavač. Također možete saznati kako riješiti jednačinu na našoj web stranici. A ako i dalje imate pitanja, možete ih postaviti u našoj grupi VKontakte.
Hajde da razmotrimo sistem linearnih algebarskih jednadžbi(SLAU) relativno n nepoznato x 1 , x 2 , ..., x n :
Ovaj sistem u "srušenom" obliku može se napisati na sljedeći način:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
U skladu sa pravilom množenja matrice, razmatrani sistem linearnih jednačina se može zapisati matrični oblik Ax=b, Gdje
,
,.
Matrix A, čiji su stupci koeficijenti za odgovarajuće nepoznate, a redovi koeficijenti za nepoznate u odgovarajućoj jednadžbi naziva se matrica sistema. Matrica kolone b, čiji su elementi desna strana jednadžbi sistema, naziva se matrica desne strane ili jednostavno desnu stranu sistema. Matrica kolone x , čiji su elementi nepoznate nepoznanice, naziva se sistemsko rešenje.
Sistem linearnih algebarskih jednadžbi napisan u obliku Ax=b, je matrična jednačina.
Ako je sistemska matrica nedegenerisan, tada ima inverznu matricu i tada je rješenje sistema Ax=b je dato formulom:
x=A -1 b.
Primjer Riješite sistem 
matrična metoda.
Rješenje hajde da nađemo inverznu matricu za matricu koeficijenata sistema
Izračunajmo determinantu proširenjem duž prvog reda:
Jer Δ ≠ 0 , To A -1 postoji.
Inverzna matrica je pronađena ispravno.
Hajde da nađemo rešenje za sistem 
dakle, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
pregled: 
7. Kronecker-Capelli teorema o kompatibilnosti sistema linearnih algebarskih jednadžbi.
Sistem linearnih jednačina ima oblik:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Ovdje su dati a i j i b i (i = ; j = ), a x j su nepoznati realni brojevi. Koristeći koncept proizvoda matrica, možemo prepisati sistem (5.1) u obliku:
gdje je A = (a i j) matrica koja se sastoji od koeficijenata za nepoznanice sistema (5.1), koja se naziva matrica sistema, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T su vektori stupaca sastavljeni od nepoznatih x j i slobodnih termina b i .
Naručena kolekcija n realni brojevi (c 1, c 2,..., c n) se zove sistemsko rešenje(5.1), ako se kao rezultat zamjene ovih brojeva umjesto odgovarajućih varijabli x 1, x 2,..., x n, svaka jednačina sistema pretvara u aritmetički identitet; drugim riječima, ako postoji vektor C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T takav da je AC B.
Sistem (5.1) se poziva zglob, ili rješivo, ako ima barem jedno rješenje. Sistem se zove nespojivo, ili nerešivo, ako nema rješenja.
,
formiran dodjeljivanjem stupca slobodnih pojmova desno od matrice A se zove proširena matrica sistema.
Pitanje kompatibilnosti sistema (5.1) rješava se sljedećom teoremom.
Kronecker-Capelli teorem . Sistem linearnih jednačina je konzistentan ako i samo ako se rangovi matrica A i A poklapaju, tj. r(A) = r(A) = r.
Za skup M rješenja sistema (5.1) postoje tri mogućnosti:
1) M = (u ovom slučaju sistem je nekonzistentan);
2) M se sastoji od jednog elementa, tj. sistem ima jedinstveno rješenje (u ovom slučaju sistem se zove siguran);
3) M se sastoji od više od jednog elementa (tada se sistem zove neizvjesno). U trećem slučaju sistem (5.1) ima beskonačan broj rješenja.
Sistem ima jedinstveno rješenje samo ako je r(A) = n. U ovom slučaju, broj jednačina nije manji od broja nepoznatih (mn); ako je m>n, onda m-n jednačine su posledice drugih. Ako je 0 Da biste riješili proizvoljni sistem linearnih jednačina, morate znati rješavati sisteme u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih - tzv. Sistemi tipa Cramer: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Sistemi (5.3) se rešavaju na jedan od sledećih načina: 1) Gausovom metodom, odnosno metodom eliminisanja nepoznatih; 2) prema Cramerovim formulama; 3) matrična metoda. Primjer 2.12. Istražite sistem jednačina i riješite ga ako je konzistentan: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Rješenje. Zapisujemo proširenu matricu sistema:
Izračunajmo rang glavne matrice sistema. Očigledno je da je, na primjer, minor drugog reda u gornjem lijevom uglu = 7 0; minori trećeg reda koji ga sadrže jednaki su nuli: Prema tome, rang glavne matrice sistema je 2, tj. r(A) = 2. Za izračunavanje ranga proširene matrice A, razmotrite granični minor to znači da je rang proširene matrice r(A) = 3. Pošto je r(A) r(A), sistem je nekonzistentan. Jednačine uopšte, linearne algebarske jednačine i njihovi sistemi, kao i metode za njihovo rešavanje, zauzimaju posebno mesto u matematici, teorijskoj i primenjenoj. To je zbog činjenice da se velika većina fizičkih, ekonomskih, tehničkih, pa čak i pedagoških problema može opisati i riješiti korištenjem raznih jednačina i njihovih sistema. U posljednje vrijeme matematičko modeliranje je steklo posebnu popularnost među istraživačima, naučnicima i praktičarima u gotovo svim predmetnim oblastima, što se objašnjava njegovim očiglednim prednostima u odnosu na druge dobro poznate i dokazane metode za proučavanje objekata različite prirode, posebno tzv. sistemima. Postoji veliki izbor različitih definicija matematičkog modela koje su naučnici davali u različito vrijeme, ali po našem mišljenju, najuspješnija je sljedeća izjava. Matematički model je ideja izražena jednadžbom. Dakle, sposobnost sastavljanja i rješavanja jednačina i njihovih sistema je sastavna karakteristika savremenog specijaliste. Za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi najčešće korištene metode su Cramer, Jordan-Gauss i matrična metoda. Metoda matričnog rješenja je metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina sa determinantom različitom od nule korištenjem inverzne matrice. Ako zapišemo koeficijente za nepoznate veličine xi u matricu A, prikupimo nepoznate količine u vektorskom stupcu X, a slobodne članove u vektorskom stupcu B, tada se sistem linearnih algebarskih jednadžbi može zapisati u obliku slijedeći matričnu jednačinu A · X = B, koja ima jedinstveno rješenje samo kada determinanta matrice A nije jednaka nuli. U ovom slučaju rješenje sistema jednačina može se naći na sljedeći način X = A-1 · B, Gdje A-1 je inverzna matrica. Metoda rješenja matrice je sljedeća. Neka nam bude dat sistem linearnih jednačina sa n nepoznato: Može se prepisati u matričnom obliku: AX =
B, Gdje A- glavna matrica sistema, B I X- kolone slobodnih pojmova i rješenja sistema, odnosno: Pomnožimo ovu matričnu jednačinu slijeva sa A-1 - matrica inverzna matrici A: A -1 (AX) = A -1 B Jer A -1 A = E, dobijamo X= A -1 B. Desna strana ove jednačine će dati kolonu rješenja originalnog sistema. Uslov za primenljivost ove metode (kao i postojanje rešenja uopšte) nije homogeni sistem linearne jednadžbe sa brojem jednačina jednakim broju nepoznatih) je nedegeneracija matrice A. Neophodan i dovoljan uslov za to je da determinanta matrice nije jednaka nuli A:det A≠ 0. Za homogeni sistem linearnih jednačina, odnosno kada je vektor B = 0
, zapravo suprotno pravilo: sistem AX =
0 ima netrivijalno (tj. različito od nule) rješenje samo ako det A= 0. Takva veza između rješenja homogenih i nehomogenih sistema linearnih jednačina naziva se Fredholmova alternativa. Primjer rješenja nehomogenog sistema linearnih algebarskih jednačina. Uvjerimo se da determinanta matrice, sastavljena od koeficijenata nepoznatih sistema linearnih algebarskih jednačina, nije jednaka nuli. Sljedeći korak je izračunavanje algebarskih komplemenata za elemente matrice koje se sastoje od koeficijenata nepoznatih. Oni će biti potrebni za pronalaženje inverzne matrice.
.
