Intenzitet toka usluge:
1. Intenzitet opterećenja.
ρ = λ t obs = 120 1/60 = 2
Intenzitet opterećenja ρ=2 pokazuje stepen konzistentnosti ulaznih i izlaznih tokova zahteva servisnog kanala i određuje stabilnost sistema queuing.
3. Vjerovatnoća da je kanal slobodan(udio zastoja kanala).
Posljedično, 12% kanala će biti neaktivno u roku od sat vremena, vrijeme mirovanja je jednako t pr = 7,1 min.
Vjerovatnoća da će usluga:
1 kanal zauzet:
p 1 = ρ 1 /1! p 0 = 2 1 /1! 0,12 = 0,24
2 kanala su zauzeta:
p 2 = ρ 2 /2! p 0 = 2 2 /2! 0,12 = 0,24
3 kanala su zauzeta:
p 3 = ρ 3 /3! p 0 = 2 3 /3! 0,12 = 0,16
4. Udio odbijenih zahtjeva.
To znači da 3% primljenih prijava nije prihvaćeno za servis.
5. Vjerovatnoća servisiranja pristiglih zahtjeva.
U sistemima sa kvarovima, događaji kvara i održavanja predstavljaju kompletnu grupu događaja, stoga:
p open + p obs = 1
Relativna propusnost: Q = p ops.
p obs = 1 - p otvoren = 1 - 0,0311 = 0,97
Shodno tome, 97% pristiglih aplikacija će biti servisirano. Prihvatljivi nivo usluge trebao bi biti iznad 90%.
6. Prosječan broj kanala zauzetih servisom.
n z = ρ p obs = 2 0,97 = 1,9 kanala
Prosječan broj neaktivnih kanala.
n pr = n - n z = 3 - 1,9 = 1,1 kanala
7. Stopa popunjenosti kanala za uslugu.
Shodno tome, sistem je 60% zauzet održavanjem.
8. Apsolutna propusnost.
A = p obs λ = 0,97 120 = 116,3 zahtjeva/sat.
.
t pr = p otvoren t obs = 0,0311 0,0166 = 0 sati.
10. Prosječan broj aplikacija u redu čekanja.
jedinice
(prosječno vrijeme čekanja da aplikacija bude servirana u redu čekanja). 
sat.
12. Prosječan broj dostavljenih aplikacija.
L obs = ρ Q = 2 0,97 = 1,94 jedinica.
13. Prosječan broj aplikacija u sistemu.
L CMO = L och + L ops = 0,51 + 1,94 = 2,45 jedinica.
13. Prosječno vrijeme boravka aplikacije u CMO-u.
sat.
Broj odbijenih aplikacija u roku od jednog sata: λ p 1 = 4 prijave na sat.
Nominalna produktivnost QS-a: 3 / 0,0166 = 181 aplikacija na sat.
Stvarni učinak SMO: 116,3 / 181 = 64% nominalnog kapaciteta.
Dalje ćemo koristiti sljedeću notaciju za prosječno vrijeme čekanja u redu zahtjeva iz klase prioriteta str - Wp, a prosječno vrijeme provedeno u sistemu za zahtjeve ove klase - Tp:
Fokusiraćemo se na sisteme sa relativnim prioritetom. Razmotrimo proces od trenutka kada određeni zahtjev stigne iz klase prioriteta str. Ovaj zahtjev ćemo dalje zvati označenim. Prva komponenta kašnjenja za označeni zahtjev povezana je sa zahtjevom koji slijeće na server. Ova komponenta je jednaka preostalom vremenu usluge drugog zahtjeva. Označimo sada i nastavimo koristiti ovu notaciju, prosječno kašnjenje označenog zahtjeva povezano s prisustvom drugog zahtjeva u službi W 0. Poznavanje vremenske distribucije između susjednih dolazaka ulazni zahtevi za svaku klasu prioriteta, uvijek možete izračunati ovu vrijednost. Pod našom pretpostavkom Poissonovog zakona za tok aplikacija svake klase, možemo pisati
.
Druga komponenta vremena čekanja za označeni zahtjev određena je činjenicom da se prije označenog zahtjeva servisiraju drugi zahtjevi da je označeni zahtjev u redu. Označimo dalje broj zahtjeva iz klase i, koji je uhvatio označeni zahtjev u redu čekanja (iz klase str) i koji se služe prije njega Nip. Prosjek ovog broja će odrediti vrijednost prosjeka ove komponente kašnjenja
Treća komponenta kašnjenja je povezana sa zahtjevima koji su pristigli nakon što je stigao označeni zahtjev, ali je primljena usluga prije njega. Označimo broj takvih zahtjeva M ip. Prosječna vrijednost ove komponente kašnjenja nalazi se na sličan način i iznosi
Zbrajanjem sve tri komponente nalazimo da je prosječno vrijeme čekanja u redu čekanja za označeni zahtjev određeno formulom
Očigledno je da, bez obzira na uslužnu disciplinu, broj zahtjeva Nip I M ip u sistemu ne može biti proizvoljno, tako da postoji određeni skup relacija koji međusobno povezuju kašnjenja za svaku klasu prioriteta. Važnost ovih odnosa za QS nam omogućava da ih nazovemo ZAKONI OČUVANJA. Osnova zakona o očuvanju kašnjenja je činjenica da nedovršeni rad u bilo kojem QS-u tokom bilo kojeg zauzetog vremenskog intervala ne ovisi o redoslijedu usluge ako je sistem konzervativan (zahtjevi ne nestaju unutar sistema i server ne miruje kada red nije prazan).
Raspodjela vremena čekanja značajno ovisi o redoslijedu usluge, ali ako uslužna disciplina odabire zahtjeve bez obzira na njihovo vrijeme usluge (ili bilo koju mjeru koja ovisi o vremenu usluge), tada se raspodjela broja zahtjeva i vremena čekanja u sistem je invarijantan u odnosu na redosled servisa.
Za QS tipa M/G/1, može se pokazati da za bilo koju uslužnu disciplinu mora biti zadovoljena sljedeća važna jednakost:
Ova jednakost znači da se ponderisani zbir vremena čekanja nikada ne mijenja, bez obzira na to koliko je uslužna disciplina složena ili pametna. Ako se latencija može smanjiti za neke zahtjeve, ona će se odmah povećati za druge.
Za više zajednički sistem sa proizvoljnom raspodjelom vremena dolaska zahtjeva G/G/1, zakon održanja se može zapisati u obliku
.
Opšte značenje ovog odnosa je da ponderisani zbir vremena kašnjenja ostaje konstantan. Samo što je na desnoj strani razlika između prosječnog posla u toku i preostalog servisnog vremena. Ako pretpostavimo Poissonovu prirodu ulaznog toka, onda se izraz za rad u toku može zapisati kao
Zamjenjujući ga u prethodni izraz, odmah dobijamo prethodno dati zakon održanja za QS tipa M/G/1.
Razmotrimo sada izračunavanje prosječnog vremena čekanja za QS sa uslugom po redoslijedu prioriteta koji je specificiran funkcijom prioriteta
Slika 1 prikazuje dijagram funkcionisanja QS-a sa takvom disciplinom usluge: dolazni zahtjev je u redu čekanja lijevo od zahtjeva sa jednakim ili većim prioritetom.
Rice. 1 CMO sa prioritetnom uslugom.
Koristimo formulu za Wp. Na osnovu mehanizma funkcionisanja, možemo odmah pisati
Svi zahtjevi veći od označenog prioriteta bit će servisirani ranije. Iz Littleove formule, broj zahtjeva klase i u redu će biti jednako:
Zahtjevi klasa višeg prioriteta koji ulaze u sistem nakon označenog zahtjeva dok je u redu također će biti servisirani prije njega. Budući da će označeni zahtjev u prosjeku biti u redu čekanja Wp sekundi, tada će broj takvih zahtjeva biti jednak
Direktno iz formule (*) dobijamo:
Ovaj sistem jednačina može se rekurzivno rješavati počevši od W 1, W 2 itd.
Rezultirajuća formula vam omogućava da izračunate karakteristike kvalitete usluge za sve klase prioriteta. Na slici 7.2. pokazuje kako se normalizirano vrijeme čekanja u redu mijenja za QS sa pet klasa prioriteta s jednakim protokom zahtjeva za svaku klasu prioriteta i jednakim prosječnim vremenom usluge za zahtjeve svake klase (donja slika detaljno prikazuje krivulje za niske vrijednosti opterećenja ).
Slika 2.Usluga po redu prioriteta u slučaju relativnih prioriteta (P=5, l P = l/5, ).
Poseban zadatak je utvrđivanje zakona raspodjele vremena čekanja.
Razmotrimo sada sistem sa apsolutnim prioritetima i uslugu po prioritetu sa dodatnom uslugom. Upotrijebimo pristup potpuno sličan onom o kojem smo ranije govorili. Prosječno kašnjenje u sistemu označenog zahtjeva također se sastoji od tri komponente: prva komponenta je prosječno vrijeme usluge, druga je kašnjenje zbog servisiranja onih zahtjeva jednakog ili većeg prioriteta od kojih je označeni zahtjev pronašao u sistemu. Treća komponenta prosječne latencije označenog zahtjeva je kašnjenje zbog zahtjeva koji uđu u sistem prije nego što označeni zahtjev napusti i imaju striktno viši prioritet. Opisujući sve ove tri komponente ukupnog vremena provedenog u sistemu, dobijamo
.
Vrlo zanimljiv zadatak je odabir prioriteta za prijave. razne klase. Pošto zakon održanja vrijedi, optimizacija ima smisla samo kada se razmatraju neki dodatni atributi svake klase zahtjeva. Pretpostavimo da se svaka sekunda kašnjenja aplikacije klase prioriteta p može procijeniti uz određenu cijenu C str. Tada se prosječna cijena sekunde kašnjenja za sistem može izraziti u smislu prosječnog broja zahtjeva svake klase prisutnih u sistemu
Hajde da riješimo problem pronalaženja servisne discipline sa relativnim prioritetima za M/G/1 sistem koji minimizira prosječni trošak kašnjenja C. Neka bude P prioritetne klase zahtjeva sa datom stopom dolaska i prosječnim vremenom usluge. Idemo na lijevoj strani konstantan zbir i izraz desnu stranu preko poznatih parametara
Zadatak je minimizirati zbir na desnoj strani ove jednakosti odabirom odgovarajuće uslužne discipline, tj. odabir sekvence indeksa str.
Označimo
U ovoj notaciji, problem izgleda ovako: moramo minimizirati zbir proizvoda koji podliježu
Uslov za nezavisnost zbira funkcija g str izbor službene discipline određen je zakonom očuvanja. Drugim riječima, problem je minimizirati površinu ispod krive proizvoda dvije funkcije, pod uslovom da je površina ispod krive jedne od njih konstantna.
Rješenje je u prvom redoslijedu niza vrijednosti f str: 
.
I onda biramo za svaku f str njegovo značenje g str, kako bi se minimizirao zbir njihovih proizvoda. To je intuitivno jasno optimalna strategija izbor se sastoji od selekcije najniža vrijednost g str za najveće f str, onda za preostale vrijednosti treba postupiti na isti način. Pošto g str=W p r p, tada se minimizacija svodi na minimiziranje prosječnih vrijednosti kašnjenja. Dakle, rješenje problema optimizacije koji se razmatra je da od svih mogućih uslužnih disciplina sa relativnim prioritetom, minimalni prosječni trošak obezbjeđuje disciplina sa uređenim prioritetima u skladu sa nejednačinama
.
Sistem čekanja se zove sistem čekanja ako zahtjev koji utvrdi da su svi kanali zauzeti uđe u red čekanja i čeka dok se neki kanal ne oslobodi.
Ako je vrijeme čekanja za aplikaciju u redu čekanja neograničeno, tada se sistem naziva “čisti sistem čekanja”. Ako je ograničen određenim uslovima, onda se sistem naziva „sistem mešovitog tipa“. Ovo je srednji slučaj između čistog sistema sa kvarovima i čistog sistema sa čekanjem.
Za praksu su sistemi mješovitog tipa od najvećeg interesa.
Ograničenja stavljena na čekanje mogu biti razne vrste. Često se dešava da se nameće ograničenje na vreme čekanja za aplikaciju u redu čekanja; vjeruje se da je ograničen odozgo nekim periodom, koji može biti ili striktno definiran ili nasumičan. U ovom slučaju je ograničen samo period čekanja u redu, a započeta usluga je završena, bez obzira koliko je čekanje trajalo (npr. klijent u frizerskom salonu, nakon što je sjeo u stolicu, obično ne ostaviti do kraja službe). U drugim problemima, prirodnije je nametnuti ograničenje ne na vrijeme čekanja u redu, već na ukupno vrijeme dok zahtjev ostaje u sistemu (na primjer, vazdušni cilj može ostati u zoni gađanja samo ograničeno vrijeme i napušta ga bez obzira da li je granatiranje završilo ili ne). Konačno, možemo razmotriti takav mješoviti sistem (najbliži je tipu trgovačkih preduzeća koja prodaju nebitne artikle), kada aplikacija dolazi u red samo ako dužina reda nije predugačka. Ovdje je nametnuto ograničenje na broj aplikacija u redu čekanja.
U sistemima čekanja značajnu ulogu igra takozvana „disciplina čekanja“. Prijave na čekanju mogu biti pozvane na servis ili po principu „prvi dođe, prvi uslužen“ (rano dolasci se prvi uruče) ili na nasumičan, neorganiziran način. Postoje sistemi čekanja „sa prednostima“, gde se neki zahtevi služe preferencijalno u odnosu na druge („generali i pukovnici van reda“).
Svaki tip sistema čekanja ima svoje karakteristike i matematička teorija. Mnogi od njih su opisani, na primjer, u knjizi V.V. Gnedenka "Predavanja o teoriji čekanja".
Ovdje ćemo se fokusirati samo na najjednostavniji slučaj mješovitog sistema, koji je prirodna generalizacija Erlangovog problema za sistem sa kvarovima. Za ovaj slučaj ćemo izvesti diferencijalne jednadžbe slične Erlangovim jednadžbama i formule za vjerovatnoće stanja u stacionarnom stanju slične Erlangovim formulama.
Razmotrimo mješoviti sistem čekanja sa kanalima na sledećim uslovima. Sistemski ulaz prima jednostavan tok zahtjeva sa gustinom . Vrijeme usluge za jedan zahtjev je indikativno, sa parametrom. Zahtjev koji utvrdi da su svi kanali zauzeti nalazi se u redu čekanja i čeka uslugu; vrijeme čekanja je ograničeno na određeni period; Ako se prijava ne prihvati za uručenje prije isteka ovog roka, ona napušta red čekanja i ostaje neuslužena. Period čekanja će se smatrati slučajnim i raspoređivati prema eksponencijalnom zakonu
gdje je parametar inverzan od prosječnog vremena čekanja:
; 
.
Parametar je potpuno sličan parametrima toka zahtjeva i "toka oslobađanja". Može se tumačiti kao gustina „toka odlazaka“ aplikacije koja stoji u redu čekanja. Zaista, zamislimo aplikaciju koja ne radi ništa osim što se pridružuje redu čekanja i čeka u njemu dok se period čekanja ne završi, nakon čega napušta i odmah se ponovo uključuje u red. Tada će "tok odlazaka" takve aplikacije iz reda imati gustinu od .
Očigledno, kada se sistem mešovitog tipa pretvori u čisti sistem sa kvarovima; kada se pretvori u čisti sistem sa čekanjem.
Imajte na umu da sa eksponencijalnim zakonom raspodjele za vrijeme čekanja, kapacitet sistema ne ovisi o tome da li se aplikacije poslužuju u redu ili slučajnim redoslijedom: za svaku aplikaciju, zakon distribucije za preostalo vrijeme čekanja ne ovisi o tome koliko dugo aplikacija je već bila u redu čekanja.
Zahvaljujući pretpostavci o Poissonovoj prirodi svih tokova događaja koji dovode do promena stanja sistema, proces koji se u njemu odvija biće markovski. Napišimo jednačine za vjerovatnoće stanja sistema. Da bismo to učinili, prije svega navodimo ova stanja. Nećemo ih numerisati po broju zauzetih kanala, već po broju aplikacija povezanih sa sistemom. Zahtjev ćemo nazvati "povezanim sa sistemom" ako je ili u stanju održavanja ili čeka u redu. Moguća stanja sistema će biti:
Nijedan kanal nije zauzet (nema čekanja),
Tačno jedan kanal je zauzet (bez čekanja),
Tačno kanali su zauzeti (bez čekanja),
Svi kanali su zauzeti (bez redova),
Svi kanali su zauzeti, jedna aplikacija je u redu,
Svi kanali su zauzeti, aplikacije su u redu,
Broj prijava u redu u našim uslovima može biti po želji. Dakle, sistem ima beskonačan (iako prebrojiv) skup stanja. Shodno tome, broj onih koji to opisuju diferencijalne jednadžbe takođe će biti beskonačan.
Očigledno, prve diferencijalne jednadžbe se ni na koji način neće razlikovati od odgovarajućih Erlangovih jednadžbi:
Razlika između novih jednačina i Erlangovih jednačina će početi u . Zaista, sistem sa kvarovima može samo preći u stanje iz stanja ; Što se tiče sistema čekanja, on može ići u stanje ne samo od , već i od (svi kanali su zauzeti, jedan zahtjev je u redu).
Kreirajmo diferencijalnu jednačinu za . Popravimo trenutak i pronađemo vjerovatnoću da će sistem biti u trenutnom stanju. To se može uraditi na tri načina:
1) u ovom trenutku sistem je već bio u stanju, ali za to vreme nije izašao iz njega (nije stigao nijedan zahtev i nijedan kanal nije postao slobodan);
2) u trenutku kada je sistem bio u stanju, a vremenom je prešao u stanje (stigao je jedan zahtev);
3) u trenutku kada je sistem bio u stanju (svi kanali su zauzeti, jedan zahtjev je u redu), i tokom vremena do kojeg je otišao (ili je jedan kanal postao slobodan i zahtjev koji je stajao u redu ga je zauzeo, ili zahtjev koji stoji u redu koji je ostao zbog kraja perioda) .
Izračunajmo sada za bilo koje - vjerovatnoću da će u ovom trenutku svi kanali biti zauzeti i tačan broj aplikacija će biti u redu čekanja. Ovaj događaj se opet može dogoditi na tri načina:
1) u ovom trenutku sistem je već bio u stanju, a za to vrijeme se ovo stanje nije promijenilo (to znači da nije stigla nijedna aplikacija, nijedna kap nije puštena i nijedna aplikacija nije stajala u redu čekanja lijevo);
2) u trenutku kada je sistem bio u stanju, a vremenom je prešao u stanje (tj. stigao je jedan zahtjev);
3) u trenutku kada je sistem bio u stanju, i tokom vremena kada je prešao u stanje (za to ili jedan od kanala mora postati slobodan, a onda će ga preuzeti jedna od aplikacija koja stoji u redu, ili jedna aplikacija koje stoje u redu moraju napustiti zbog kraja perioda).
dakle:
Tako smo dobili sistem za vjerovatnoće stanja beskonačan broj diferencijalne jednadžbe:
(19.10.1)
Jednačine (19.10.1) su prirodna generalizacija Erlangovih jednačina na slučaj sistema mješovitog tipa sa ograničenim vremenom čekanja. Parametri u ovim jednačinama mogu biti ili konstantni ili promjenjivi. Prilikom integracije sistema (19.10.1) potrebno je uzeti u obzir da iako je teoretski broj mogućih stanja sistema beskonačan, u praksi vjerovatnoće postaju zanemarljive kako rastu, a odgovarajuće jednačine se mogu odbaciti.
Hajde da izvedemo formule slične Erlangovim formulama za vjerovatnoće stanja sistema u stabilnom režimu rada (na ). Iz jednačina (19.10.1), uz pretpostavku da su sve konstante i sve derivacije jednake nuli, dobijamo sistem algebarske jednačine:
(19.10.2)
Morate im dodati uslov:
Nađimo rješenje za sistem (19.10.2).
Da bismo to uradili, primenićemo istu tehniku koju smo koristili u slučaju sistema sa kvarovima: rešimo prvu jednačinu u odnosu na zamenu u drugu, itd. Za bilo koji , kao u slučaju sistema sa kvarovima , dobijamo:
Pređimo na jednadžbe za 
. Na isti način dobijamo:
,
,
i općenito za bilo koje
. (19.10.5)
Obje formule (19.10.4) i (19.10.5) uključuju vjerovatnoću kao faktor. Odredimo ga iz uslova (19.10.3). Zamjenom izraza (19.10.4) i (19.10.5) za i u njega, dobijemo:
,
. (19.10.6)
Transformirajmo izraze (19.10.4), (19.10.5) i (19.10.6), uvodeći u njih "smanjene" gustine umjesto gustina:
(19.10.7)
Parametri i izražavaju, respektivno, prosječan broj aplikacija i prosječan broj odlazaka aplikacije koja stoji u redu po prosječnom vremenu usluge jedne aplikacije.
U novoj notaciji, formule (19.10.4), (19.10.5) i (19.10.6) će imati oblik:
; (19.10.9)
. (19.10.10)
Zamjenom (19.10.10) u (19.10.8) i (19.10.9) dobijamo konačne izraze za vjerovatnoće stanja sistema:
; (19.10.11)
. (19.10.12)
Poznavajući vjerovatnoće svih stanja sistema, lako možemo odrediti druge karakteristike koje nas zanimaju, a posebno vjerovatnoću da će zahtjev ostaviti sistem neuslužen. Odredimo to iz sljedećih razmatranja: u stabilnom stanju, vjerovatnoća da će aplikacija ostaviti sistem neuslužen nije ništa drugo do omjer prosječnog broja aplikacija koje napuštaju red u jedinici vremena i prosječnog broja aplikacija koje pristižu po jedinici vremena. Pronađimo prosječan broj aplikacija koje napuštaju red po jedinici vremena. Da bismo to učinili, prvo izračunamo matematičko očekivanje broja aplikacija u redu čekanja:
. (19.10.13)
Da biste dobili , morate pomnožiti sa prosječnom „gustinom odlazaka“ jedne aplikacije i podijeliti s prosječnom gustinom prijava, tj. pomnožiti sa koeficijentom
Proučimo rad n-kanalnog (n > 1) QS-a sa čekanjem, čiji ulaz prima najjednostavniji tok zahtjeva P unos sa intenzitetom. Pretpostavlja se da je tok usluge svakog kanala najjednostavniji sa intenzitetom µ. Ne postoje ograničenja u pogledu dužine reda, ali vrijeme čekanja za svaku aplikaciju u redu je ograničeno nasumičnim periodom T cool sa prosječnom vrijednošću, nakon čega zahtjev ostavlja sistem neuslužen. Vremenski interval T cool je kontinuirana slučajna varijabla koja može uzeti bilo koju pozitivnu vrijednost i matematičko očekivanje koji.
Ako je ovaj tok Poisson, tada će proces koji se odvija u QS-u biti markovski.
Ovakvi sistemi se često susreću u praksi. Ovi se ponekad nazivaju sistemi "željnih" ponuda.
Numerirajmo stanja QS-a prema broju aplikacija u sistemu, kako u servisu tako iu redu: S k (k = 0,1,…n) - k aplikacije u servisu (k kanali su zauzeti, nema čekanja), S n+r (r = 1,2,…) - n aplikacije u servisu (sve n kanali su zauzeti) i r aplikacije u redu čekanja.
Dakle, QS može biti u jednom od beskonačnog broja stanja.
Označeni grafikon stanja prikazan je na Sl. 1.
Rice. 1.
QS se kreće iz stanja u stanje s lijeva na desno pod utjecajem istog dolaznog toka aplikacija P unos sa intenzitetom. Posljedično, gustoće vjerovatnoće ovih prijelaza
k-1,k = , k = 1,2,… (1)
Prijelaz QS-a iz stanja bez čekanja S k , k = 1,…,n, na državu susjednu lijevo S k-1 , (k = 1,…,n)(u kojoj takođe neće biti reda) nastaje pod uticajem ukupnog toka koji se sastoji od k tokova usluga zauzetih kanala, čiji je intenzitet, koji je zbir intenziteta zbrojenih tokova usluga, jednak kµ. Stoga, ispod strelica lijevo iz stanja s n u stanje s 0, naznačene su gustoće vjerovatnoće prijelaza
k,k-1 =kµ, k = 1,…,n (2)
Na sistemu u stanju sa redom čekanja S n+r , r = 1,2,…, ukupan tok je na snazi - rezultat superpozicije n tokova usluga i r tokovi brige. Dakle, intenzitet ukupnog protoka je jednak zbiru intenziteta komponentnih tokova nµ+rš. Ovaj ukupni tok generiše tranziciju QS-a s desna na lijevo iz stanja S n+r ,(r = 1,2,…) do prosjeka S n+r-1 ,(r = 1,2,…) i tako
k,k-1 =nµ+(k-n)š, k =n+1,n+2,… (3)
Dakle, gustine vjerovatnoće prijelaza sistema s desna na lijevo, uzimajući u obzir (2) i (3), mogu se zapisati u kombinovanom obliku
Struktura grafikona sugerira da je proces koji se odvija u QS proces smrti i reprodukcije.
Zamenimo (1) i (4) za k=1,…,n+m u formulu
Uvedemo u razmatranje vrijednost koja se može nazvati smanjenim intenzitetom toka polazaka, a koja pokazuje prosječan broj odlazaka iz reda neusluženih prijava za prosječno vrijeme servisiranja jedne aplikacije. Zamjenom u (5) dobijamo:
Pošto u QS-u koji se razmatra ne postoje ograničenja u pogledu dužine čekanja, aplikacija primljena u dolaznom toku će biti prihvaćena; u sistem, tj. Sistem ne odbija aplikaciju. Dakle, za QS sa “nestrpljivim” aplikacijama, vjerovatnoća da će biti primljena u sistem je str sist =1, i vjerovatnoća odbijanja prihvatanja u sistem str otvoren =0 . Koncept “neprihvatanja u sistem” ne treba miješati sa konceptom “uskraćivanja usluge”, jer zbog “nestrpljenja” neće biti servisirana svaka prijava primljena (prihvaćena) u sistem. Stoga, ima smisla govoriti o vjerovatnoći da aplikacija napusti red čekanja str xy i vjerovatnoća da će aplikacija biti uručena, str o. Istovremeno, vjerovatnoća str o predstavlja relativnu propusnost Q I str xy =1- str o .
Izračunajmo prosječan broj aplikacija u redu čekanja. Da biste to učinili, razmotrite diskretnu slučajnu varijablu N vrlo dobro koji predstavlja broj aplikacija u redu čekanja. Slučajna varijabla N vrlo dobro može poprimiti bilo koju nenegativnu cjelobrojnu vrijednost, a njegov zakon raspodjele ima oblik
|
N vrlo dobro |
||||||
|
str n+1 |
str n+2 |
str n+r |
Gdje p= p 0 +p 1 +…+ str n. dakle,
ili zamenivši (7) ovde, dobijamo
Svaki zahtjev u redu je podložan toku "odlazaka" Pooh sa intenzitetom Prosječni red čekanja, koji se sastoji od aplikacija, bit će podložan ukupnom toku koji se sastoji od tokova „odlazaka“ i ima intenzitet. To znači da će od prosječnog broja prijava u redu čekanja, u prosjeku, aplikacije po jedinici vremena otići bez čekanja na servis, a preostale prijave će biti uslužene. Shodno tome, prosječan broj usluženih aplikacija u jedinici vremena, tj. apsolutni kapacitet QS-a
Zatim, po definiciji relativnog kapaciteta,
Q = A/ = (-)/ = 1 - (w/),
gdje u/ = pokazuje prosječan broj odlazaka iz reda neusluženih aplikacija za prosječno vrijeme između dolazaka dvije susjedne aplikacije u dolazni tok P unos .
Prosječan broj zauzetih kanala (prosječan broj zahtjeva u usluzi) može se dobiti kao omjer apsolutnog kapaciteta A i performansi jednog kanala µ. Koristeći jednakost (11), imat ćemo:
Prosječan broj zauzetih kanala može se izračunati nezavisno od prosječnog broja zahtjeva u redu, odnosno kao matematičko očekivanje diskretnog slučajna varijabla DO, koji predstavlja broj zauzetih kanala čiji zakon distribucije ima oblik
|
str 0 |
str 1 |
str 2 |
str n-1 |
Gdje p = p n +p n+1 +…+ str n+1+…. Ali pošto je događaj da su svih n kanala zauzeti suprotan događaju da nisu svih n kanala zauzeti, i vjerovatnoća posljednji događaj jednako
str 0 +p 1 +p 2 +…+ str n-1, To p = 1 - (str 0 +p 1 +p 2 +…+ str n-1) .
Ali tada iz (11) dobijamo:
Koristeći formule (11) i (13), dobijamo formulu za prosečan broj aplikacija u sistemu:
Izvedemo formulu za prosječno vrijeme čekanja za aplikaciju u redu čekanja. To će zavisiti od datog prosječnog vremena koje ograničava trajanje boravka aplikacije u redu čekanja, za koji ili
ili će ih biti prirodni broj i > 2 tako da
Množenjem nejednakosti (14) i (15) dobijamo, respektivno, nejednakosti
Razmotrimo slučaj (14) i nedosljedne hipoteze koje se sastoje u činjenici da je sistem u stanju. Vjerovatnoće ovih hipoteza
Ako CMO primi zahtjev pod hipotetom.e. kada je sistem u jednom od stanja u svakom od kojih nisu svi kanali zauzeti, tada zahtjev neće morati čekati u redu - odmah će potpasti pod uslugu slobodnog kanala. Stoga je uslovno matematičko očekivanje slučajne vrijednosti vremena čekanja za aplikaciju u redu pod hipotezom, što je prosječno vrijeme čekanja za aplikaciju u redu čekanja pod hipotezom, jednako nuli:
Ako aplikacija uđe u sistem pod hipotetom.e. kada je QS u jednom od stanja u kojem je sve n k-p aplikacije (ako To= n nema aplikacija u redu čekanja), zatim prosječno vrijeme za otpuštanje jedne od njih n zauzetih kanala je jednako, a prosječno vrijeme usluge k-p aplikacije koje stoje u redu prije nego što je aplikacija primljena u sistem je jednaka Dakle, prosječno vrijeme potrebno da bi red opsluživao dolaznu aplikaciju je jednako s obzirom da je, zbog desne nejednakosti (14).
Dakle, prosječno vrijeme potrebno da aplikacija primljena u sistem bude prihvaćena za servis je veće od vremena koje ograničava boravak aplikacije u redu čekanja. Stoga će primljena aplikacija biti odložena u redu čekanja na prosječno vrijeme i ostavit će sistem neuslužen. Posljedično, uvjetno matematičko očekivanje vrijednosti pod hipotezom
Sada razmotrite iste hipoteze u slučaju (15). U ovom slučaju vrijede i jednakosti (16).
Ako aplikacija uđe u sistem pod jednom od hipoteza, tj. kada je QS u jednom od stanja u kojem svi n kanali su zauzeti i već postoje redovi ispred primljene aplikacije k-p aplikacije (ako To- n nema zahtjeva u redu), tada je, baš kao iu slučaju (14), prosječno vrijeme potrebno da se ovaj zahtjev vrati na uslugu jednako ograničenju zadržavanja zahtjeva. Tako nekako, zbog lijeve nejednakosti (15),
Dakle, prosječno vrijeme potrebno da bi aplikacija koja ulazi u sistem bila prihvaćena za servis nije više od prosječnog vremena koje ograničava boravak aplikacije u redu čekanja. Dakle, primljena aplikacija neće napustiti red čekanja i čekat će da bude prihvaćena za uslugu, trošeći prosječno vrijeme čekanja u redu. Prema tome, uslovno matematičko očekivanje slučajne varijable T och pod hipotezom
Neka sada aplikacija uđe u sistem pod jednom od hipoteza N yu k = n+i- tj. kada je QS bio u jednom od stanja..., u kojem je sve n kanali su zauzeti i već su u redu k-p aplikacije. Pošto je ovo iz nejednakosti (15):
i stoga će dolazna aplikacija biti odgođena u redu za prosječno vrijeme. Prema tome, uslovno matematičko očekivanje slučajne varijable T och pod hipotezom
Koristeći formulu za ukupno matematičko očekivanje, dobijamo:
U slučaju (15), primljena prijava će biti prihvaćena na servis ako je samo u trenutku prijema QS u jednom od stanja, tada je vjerovatnoća da će aplikacija biti servisirana
Kada je / = 1, formula (25) se pretvara u (24), pa za vjerovatnoću usluge možemo napisati jednu formulu:
Znajući vjerovatnoću usluge, možete izračunati vjerovatnoću da će zahtjev ostaviti neusluženi red:
Prosječno vrijeme boravka aplikacije u sistemu može se izračunati pomoću formule
gdje je prosječno vrijeme usluge za jednu aplikaciju, koje se odnosi na sve aplikacije, kako uslužene, tako i one koje su napustile red čekanja, koje se može izračunati pomoću formule
6. Konstrukcija i analiza modela sistema čekanja
Razmotrimo praktičan problem upotrebe QS-a bez ograničenja na dužinu reda, ali sa ograničenjem na vrijeme čekanja u redu.
Kako bi se povećao domet neprekidnih letova, avioni se pune gorivom u zraku. Dva aviona za dopunu goriva stalno dežuraju u zoni točenja. Dopunjavanje goriva u jednom avionu traje u prosjeku oko 10 minuta. Ako su oba aviona za dopunjavanje goriva zauzeta, onda avion kojem je potrebno dopuniti gorivo može "čekati" (letjeti u krugu u području punjenja) neko vrijeme. Prosječno vrijeme čekanja je 20 minuta. Avion, koji nije mogao čekati da napuni gorivo, prinudno je sletio na alternativni aerodrom. Intenzitet letova je toliki da u prosjeku svakih 1 sat 12 aviona stigne u zonu punjenja. definirati:
Verovatnoća da će avion biti dopunjen gorivom.
Prosječan broj zaposlenih benzinaca.
Prosječan broj aviona u redu.
Prosječan broj aviona u službi.
Neophodno je izračunati glavne karakteristike efikasnosti ovog QS-a, pod uslovom da su navedeni sledeći ulazni parametri:
- · broj servisnih kanala;
- · intenzitet dolaznog toka aplikacija;
- · intenzitet protoka usluga;
- · prosječno vrijeme koje ograničava boravak aplikacija u redu čekanja.
QS je u pitanju višekanalni sistem red čekanja bez ograničenja dužine reda, ali sa ograničenjem vremena čekanja. Naveden je broj kanala, intenzitet dolaznog toka zahtjeva, intenzitet toka usluge i broj mjesta u redu čekanja.
U ovom QS-u, svaki kanal služi jedan zahtjev u svakom trenutku. Ako je u trenutku prijema novog zahtjeva barem jedan kanal slobodan, tada se dolazni zahtjev prima na servis ako nema zahtjeva, onda je sistem neaktivan.
Hajde da odredimo šta se dešava kada, do trenutka kada stigne zahtev, svi kanali budu zauzeti - dođe u red čekanja i čeka da se jedan od kanala oslobodi. Ako su u trenutku prijema aplikacije sva mjesta u redu čekanja zauzeta, onda ova aplikacija napušta sistem.
Kriterijumi za efektivnost funkcionisanja QS-a:
- · Verovatnoća zastoja sistema;
- · Verovatnoća kvara sistema;
- · Relativna propusnost.
- · Prosječno vrijeme koje aplikacija provede u redu čekanja.
Ovaj sistem je modeliran kao višekanalni QS sa “nestrpljivim” zahtjevima.
Sistemski parametri:
broj servisnih kanala n=2;
intenzitet dolaznog toka aplikacija = 12 (aviona na sat);
intenzitet protoka usluge µ = 6(aviona na sat);
prosječno vrijeme ograničavanja zadržavanja aplikacije u redu, dakle, intenzitet toka odlazaka = 1/= 3 (avioni) na sat.
Proračuni su napravljeni pomoću programa razvijenog u Turbo Pascalu. Turbo-Pascal jezik je jedan od najčešćih kompjuterskih programskih jezika. Važne prednosti Turbo-Pascal jezika uključuju malu veličinu kompajlera, velike brzine prevođenje programa, kompilacija i asembler. Osim toga, praktičnost i visoke kvalitete dizajn dijaloške ljuske, čine programe za pisanje i otklanjanje grešaka praktičnijim u poređenju sa alternativnim jezicima nove generacije.
Za analizu rada QS-a potrebno je proučiti ponašanje ovog sistema za različite ulazne parametre.
U prvoj verziji, l=12, µ=6, n=3, broj kanala n=2.
U drugoj opciji, l=12, µ=6, n=3, broj kanala n=3.
U trećoj opciji, l=12, µ=6, n=4, broj kanala n=2.
Svi rezultati proračuna dati su u Dodatku 2.
Kao rezultat analize dobijenih podataka (Prilog 2), doneseni su sljedeći zaključci.
Kako se broj kanala povećava, vjerovatnoća zastoja sistema i vjerovatnoća dopunjavanja goriva se povećavaju za 50%.
Promjenom samo vremena koje je zahtjev proveo u redu čekanja, bez povećanja broja kanala, promijenio se intenzitet protoka odlazaka, kao rezultat toga, smanjio se broj usluženih aviona i broj aviona u redu.
Po mom mišljenju, potrebno je dodatno regrutirati i obučiti servisno osoblje, kako bi se povećao intenzitet protoka polazaka, tada će se manje vremena trošiti na zastoje punjača i neće biti potrebe za dodatnim kanalom.
Iako je pri izboru najoptimalnijih parametara pod kojima će rad zdravstvene službe biti najefikasniji, potrebno je uzeti u obzir i tehničko-ekonomske faktore, budući da je nabavka dodatnog kanala usluge ili promjena intenziteta. toka zbrinjavanja zahtijeva određene materijalne troškove i troškove obuke osoblja.
1. Jednokanalni QS sa čekanjem i ograničenjem dužine reda čekanja. U praksi, jednokanalni pružaoci medicinskih usluga sa redom su prilično česti (liječnik koji opslužuje pacijente; blagajnik koji izdaje plate). U teoriji čekanja jednokanalni QS sa redom takođe zauzima posebno mesto: većina do sada dobijenih analitičkih formula za ne-Markovljeve sisteme pripada takvim QS.
Razmotrimo jednokanalni QS, čiji ulaz prima najjednostavniji tok zahtjeva sa intenzitetom λ . Pretpostavimo da je i tok usluge najjednostavniji sa intenzitetom μ . To znači da kanal koji je kontinuirano zauzet u prosjeku služi μ aplikacija u jedinici vremena. Zahtjev koji QS primi u vrijeme kada je kanal zauzet, za razliku od QS-a sa kvarovima, ne napušta sistem, već se stavlja u red čekanja i čeka servis.
Zatim pretpostavljamo da u ovom sistemu postoji ograničenje dužine reda, što znači maksimalan broj mjesta u redu, odnosno pretpostavljamo da može biti maksimalno m≥1 aplikacija. Dakle, aplikacija koja stiže na ulaz QS-a, u trenutku kada već ima ljudi u redu m zahtjeva, se odbija i ostavlja sistem neuslužen.
Dakle, QS koji se razmatra pripada sistemima mešovitog tipa sa ograničenjem dužine reda čekanja.
Numerimo stanja QS-a prema broju aplikacija u sistemu, tj. u servisu iu redu:
S 0 – kanal je slobodan (dakle, nema čekanja);
S 1 – kanal je zauzet i nema čekanja, tj. postoji jedna aplikacija (u servisu) u CMO;
S 2 – kanal je zauzet i postoji jedan zahtjev u redu čekanja;
……………………………………………………..
S m +1 – kanal je zauzet i u redu čekanja m aplikacije.
Grafikon stanja ovog QS-a prikazan je na Sl. 6 i poklapa se sa grafikom koji opisuje proces smrti i reprodukcije, s tom razlikom da ako postoji samo jedan servisni kanal, svi intenziteti toka usluga su jednaki μ .
Rice. 6. Dijagram stanja u jednokanalnom sistemu sa redom
Da biste opisali ograničavajući način rada QS-a, možete koristiti navedena pravila i formule. Zapišimo odmah izraze koji određuju granične vjerovatnoće stanja:
Gdje ρ = λ/μ
– intenzitet opterećenja kanala.
Ako λ = μ , onda dobijamo .
Pusti to sada 
. Izraz za str 0
moguće u u ovom slučaju Lakše je pisati, koristeći činjenicu da nazivnik sadrži zbir m+ 2
članovi geometrijska progresija sa nazivnikom ρ
:
.
Imajte na umu da kada m= 0 Prelazimo na već razmatrani jednokanalni QS sa kvarovima. U ovom slučaju.
Odredimo glavne karakteristike jednokanalnog QS-a sa čekanjem: relativnu i apsolutnu propusnost, vjerovatnoću kvara, kao i prosječnu dužinu reda i prosječno vrijeme čekanja za aplikaciju u redu čekanja.
Aplikacija primljena na ulaz QS-a se odbija ako i samo ako je kanal zauzet i čeka u redu čekanja. m aplikacije, tj. kada je sistem u stanju S m +1 . Stoga je vjerovatnoća kvara određena vjerovatnoćom da će se stanje dogoditi S m +1 :
Relativna propusnost, odnosno udio servisiranih zahtjeva koji pristižu u jedinici vremena, određuje se izrazom:
Imajte na umu da je relativna propusnost Q poklapa se sa prosječnim udjelom primljenih (tj. neodbačenih) aplikacija u sistem među svim pristiglim, budući da će aplikacija koja dođe u red sigurno biti servisirana.
Apsolutna propusnost sistema
.
Prosječan broj prijava L vrlo dobro red čekanja za uslugu definira se kao matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable k– broj prijava u redu:
.
Slučajna varijabla k uzima vrijednosti 0, 1, 2, …, m, čije su vjerovatnoće određene vjerovatnoćama stanja sistema str k . Dakle, zakon distribucije diskretne slučajne varijable k ima sljedeći oblik:
Stoga, definiranjem matematičkog očekivanja diskretne slučajne varijable (uzimajući u obzir formule za vjerovatnoće stanja), dobijamo:
(16)
Pretpostavimo to ρ ≠ 1 . Očigledno imamo:
Ali iznos 
je zbir prvog mčlanovi geometrijske progresije
.
(17)
Zamjenom izraza (17) u (16) nalazimo:
ili, koristeći jednakost 
(dobijeno sa ρ ≠
1
), imamo
Ako ρ =
1
, zatim iz jednakosti (16) 
i s obzirom na to u ovom slučaju 
I 
(zbir m termini aritmetičke progresije), konačno dobijamo
.
Zatim prosječan broj aplikacija u redu čekanja
(18)
Važna karakteristika QS-a sa čekanjem je prosječno vrijeme čekanja za aplikaciju u redu čekanja 
. Neka T vrlo dobro
– kontinuirana slučajna varijabla koja predstavlja vrijeme čekanja za aplikaciju u redu čekanja. Izračunavamo prosječno vrijeme čekanja za aplikaciju u redu kao matematičko očekivanje ove slučajne varijable:
.
Za izračunavanje matematičkog očekivanja koristimo formulu za ukupno matematičko očekivanje: ako možemo učiniti o uvjetima eksperimenta n(u parovima) nekonzistentne hipoteze 
zatim ukupno matematičko očekivanje slučajne varijable X može se izračunati pomoću formule
Gdje M (X | H k ) – uslovno matematičko očekivanje vrijednosti X pod hipotezom H k .
Hajde da razmotrimo m+ 2 nedosledne hipoteze H k , k= 0,1,..., m+ 1 , koji se sastoji u činjenici da se QS nalazi u državama S k , k= 0,1,..., m+ 1 . Vjerovatnoće ovih hipoteza str (H k ) = str k , k= 0,1,..., m+1 .
Ako aplikacija stigne u QS pod hipotezom H 0
S 0
, u kojem je kanal slobodan, tada zahtjev neće morati stajati u redu i, prema tome, uslovno matematičko očekivanje M
(
|
H 0
)
slučajna varijabla 
pod hipotezom H 0
, što se poklapa sa prosječnim vremenom čekanja za aplikaciju u redu čekanja prema hipotezi H 0
, jednako nuli.
Za prijavu koju je QS primio pod hipotezom H 1
, tj. kada je QS u stanju S 1
, u kojem je kanal zauzet, ali nema reda, uslovno matematičko očekivanje M
(
| H 1
)
slučajna varijabla 
pod hipotezom H 1
, što se poklapa sa prosječnim vremenom čekanja za aplikaciju u redu čekanja prema hipotezi H 1
, biće jednako prosječnom vremenu servisiranja jednog zahtjeva 
.
Uslovno matematičko očekivanje M
(
| H 2
)
slučajna varijabla 
pod hipotezom H 2
, tj. pod uslovom da je prijavu primio CMO u državi S 2
, u kojem je kanal zauzet i jedan zahtjev već čeka u redu, jednak je 2/
μ
(udvostručite prosječno vrijeme servisa, pošto je potrebno uslužiti dva zahtjeva: onaj koji je u servisnom kanalu i onaj koji čeka u redu). I tako dalje.
Ako aplikacija uđe u sistem pod hipotezom H m, tj. kada je kanal zauzet i čekaju u redu m−
1
aplikacije, dakle M
(
| H m).
Konačno, aplikacija koja je došla u QS pod hipotezom H m +1
, tj. kada je kanal zauzet, m aplikacije su u redu, i nema više slobodnih mjesta u redu, biva odbijen i napušta sistem. Stoga u ovom slučaju M
(
| H m +1
)
= 0.
Prema tome, prema formuli za ukupno matematičko očekivanje, prosječno vrijeme čekanja za aplikaciju u redu je
Zamjenjujući ovdje izraze za vjerovatnoće str k
(k=1,2,...,m), dobijamo: 
(19)
Ako je intenzitet opterećenja kanala ρ ≠ 1 , zatim iz jednakosti (19) uzimajući u obzir formule (17), (18), kao i izraz za str 0 nalazimo:
Ako ρ =
1
, zatim, zamjenjujući u jednakost (19) izraz str 0
= 1/(m+2), vrijednost iznosa 
, koristeći formulu (18) sa ρ
=
1
i s obzirom na to u ovom slučaju μ
= λ
, imaćemo 
Dakle, za bilo koji ρ dobijamo formulu za prosječno vrijeme dok aplikacija ostaje u redu, što se zove Littleova formula: 
one. prosječno vrijeme čekanja za aplikaciju u redu čekanja
jednako prosječnom broju aplikacija u redu čekanja L vrlo dobro, podijeljeno sa intenzitetom
λ dolazni tok zahtjeva .
Primjer. Na benzinskoj pumpi (benzinskoj pumpi) postoji jedna pumpa. Područje na stanici u kojem automobili čekaju na punjenje ne može primiti više od tri automobila istovremeno; U prosjeku, automobili dolaze na stanicu svake 2 minute. Proces punjenja jednog automobila traje u prosjeku 2,5 minuta. Odredite glavne karakteristike sistema.
Rješenje. Matematički model ove benzinske pumpe je jednokanalni QS sa čekanjem i ograničenjem dužine reda čekanja ( m= 3). Pretpostavlja se da su protok automobila koji se približavaju benzinskoj stanici radi točenja goriva i tok usluga jednostavni.
Budući da automobili u prosjeku pristižu svake 2 minute, intenzitet dolaznog toka je jednak λ
=1/2 = 0,5 (mašina u minuti). Prosječno servisno vrijeme po mašini 
= 2,5 min, dakle, intenzitet protoka usluge μ
=1/2,5 = 0,4 (automobila u minuti).
Određujemo intenzitet opterećenja kanala: ρ = λ/ μ = 0,5/0,4 = 1,25.
Izračunavanje vjerovatnoće kvara 
odakle dolazi relativna propusnost?
i apsolutnu propusnost A= λ
Q≈ 0,5⋅0,703
≈ 0,352.
Prosječan broj automobila koji čekaju u redu za dopunu goriva
Prosječno vrijeme čekanja za automobil u redu pronalazimo koristeći Littleovu formulu 
= L vrlo dobro/λ ≈1,559/0,5 = 3,118.
Dakle, iz analize rada QS-a proizilazi da je od svakih 100 automobila koji se približavaju 30 odbijeno ( P otvoren≈ 29,7%), tj. 2/3 aplikacija je servisirano. Stoga je potrebno ili smanjiti vrijeme servisiranja jedne mašine (povećati intenzitet servisnog toka), ili povećati broj pumpi, ili povećati područje čekanja.
