PREDMET: Procjene bodova matematičko očekivanje. Tačkaste procjene varijanse. Tačkasta procjena vjerovatnoće događaja. Tačkasta procjena parametara uniformne distribucije.
klauzula 1.Tačkaste procjene matematičkog očekivanja.
Pretpostavimo da funkcija distribucije slučajne varijable ξ zavisi od nepoznatog parametra θ : P (ξ θ;).
Ako x 1 , x 2 …., x n- uzorak iz opšte populacije slučajna varijablaξ, zatim procjenom parametra θ je proizvoljna funkcija vrijednosti uzorka
Vrijednost procjene se mijenja od uzorka do uzorka i stoga je slučajna varijabla. U većini eksperimenata, vrijednost ove slučajne varijable je blizu vrijednosti procijenjenog parametra; ako je za bilo koju vrijednost n matematičko očekivanje vrijednosti jednako pravoj vrijednosti parametra, tada se procjene koje zadovoljavaju uvjet nazivaju nepristrasan. Nepristrasna procjena znači da procjena ne podliježe sistematskoj grešci.
Procjena se naziva procjenom konzistentnog parametra θ , ako je za bilo koje ξ>0 tačno
Dakle, kako se veličina uzorka povećava, točnost rezultata se povećava.
Neka x 1
,
x 2
…
x n
– uzorak iz opšte populacije koji odgovara slučajnoj varijabli ξ sa nepoznatim matematičkim očekivanjem i poznatom varijansom Dξ=σ 2 . Konstruirajmo nekoliko procjena nepoznatog parametra. Ako onda 
, tj. dotični procjenitelj je nepristrasan procjenitelj. Ali, budući da vrijednost uopće ne ovisi o veličini uzorka n, procjena nije važeća.
Efektivna procjena matematičkog očekivanja normalno distribuirane slučajne varijable je procjena
Od sada ćemo za procjenu nepoznatog matematičkog očekivanja slučajne varijable koristiti prosjek uzorka, tj.
Postoje standardne (redovne) metode za dobijanje procjena nepoznatih parametara distribucije. Najpoznatije od njih: metoda momenata, metoda maksimalne vjerovatnoće I metoda najmanjeg kvadrata.
str.2 Tačkaste procjene varijanse.
Za varijansu σ 2 slučajne varijable ξ Može se predložiti sljedeća procjena:
gdje je srednja vrijednost uzorka.
Dokazano je da je ova procjena validna, ali raseljeni.
Kao dosljednu nepristrasnu procjenu varijanse, koristite vrijednost
Upravo je to nepristrasnost procjene s 2 objašnjava joj više česta upotreba kao procena magnitude Dξ.
Imajte na umu da Mathcad kao procjenu varijanse nudi vrijednost , nije s 2: funkcija var(x) izračunava vrijednost
Gdje znači (x) -srednja vrijednost uzorka.
ZADATAK 6.5
Μξ i varijansu Dξ slučajna varijabla ξ na osnovu vrijednosti uzorka datih u zadatku.
Procedura za izvršenje zadatka
Pročitajte datoteku koja sadrži uzorke vrijednosti s diska ili unesite određeni uzorak s tastature.
Izračunajte procjenu bodova Μξ I Dξ.
Primjer izvršenja zadatka
Pronađite konzistentne nepristrasne procjene matematičkog očekivanja Μξ i varijansu Dξ slučajna varijabla ξ prema vrijednostima uzorka datim u sljedećoj tabeli.
Za uzorak definiran tablicom ovog tipa (data je vrijednost uzorka i broj koji pokazuje koliko se puta ova vrijednost pojavljuje u uzorku), formule za dosljedne nepristrasne procjene očekivanja i varijanse su:
,
,
Gdje k - broj vrijednosti u tabeli; n i - broj vrijednosti x i u uzorku; n- veličina uzorka.
Ispod je dat fragment Mathcadovog radnog papira sa proračunima procjena bodova.
Iz gornjih proračuna je jasno da pristrasna procjena daje potcjenjivanje procjene varijanse.
klauzula 3. Tačkasta procjena vjerovatnoće događaja
Pretpostavimo da je u nekom eksperimentu događaj A(povoljan ishod testa) se javlja sa vjerovatnoćom str i ne dešava se sa vjerovatnoćom q = 1 - R. Zadatak je dobiti procjenu nepoznatog parametra raspodjele str na osnovu rezultata serije n nasumične eksperimente. Za dati broj testova n broj povoljnih ishoda m u nizu testova - slučajna varijabla koja ima Bernoullijevu distribuciju. Označimo ga slovom μ.
Ako je događaj A u nizu n izvršeni nezavisni testovi
m puta, zatim procjenu vrijednosti str predlaže se izračunavanje pomoću formule
Hajde da saznamo svojstva predložene procjene. Pošto je slučajna varijabla μ onda ima Bernulijevu distribuciju Μμ= n.p. IM = M = str, tj. postoji nepristrasna procjena.
Za Bernulijeve testove važi Bernulijeva teorema prema kojoj 
, tj. razred str
bogati.
Dokazano je da je ova procjena efikasna jer, pod istim uvjetima, ima minimalnu varijaciju.
U Mathcadu, za simulaciju uzorka vrijednosti slučajne varijable s Bernoullijevom distribucijom, namijenjena je funkcija rbinom(fc,η,ρ) koja generiše vektor iz To nasumični brojevi, κα ι od kojih je svaki jednak broju uspeha u seriji η nezavisnih pokušaja sa verovatnoćom uspeha ρ u svakom.
ZADATAK 6.6
Simulirajte nekoliko uzoraka vrijednosti slučajne varijable koja ima Bernoullijevu distribuciju sa datom vrijednošću parametra R. Izračunajte za svaki uzorak procjenu parametara str i uporedi sa navedenom vrijednošću. Rezultate proračuna predstavite grafički.
Procedura za izvršenje zadatka
1. Koristeći funkciju rbinom(1, n, str), opisuju i generiraju niz vrijednosti slučajne varijable koja ima Bernoullijevu distribuciju sa datom str I n Za n = 10, 20, ..., Ν, kao funkcija veličine uzorka P.
2. Izračunajte za svaku vrijednost n procjene vjerovatnoće tačaka R.
Primjer izvršenja zadatka
Primjer dobivanja tačaka procjena za zapreminske uzorke n= 10, 20,..., 200 vrijednosti slučajne varijable μ koja ima Bernoullijevu distribuciju sa parametrom str= 0,3, dato u nastavku.
Bilješka. Budući da je vrijednost funkcije vektor, broj uspeha u nizu n nezavisna ispitivanja sa verovatnoćom uspeha str u svakom pokusu sadržan je u prvoj komponenti vektora rbinom(1, n, str), tj. broj uspjeha je rbinom(1, n, str). U gornjem isječku k- I vektorska komponenta Ρ sadrži broj uspjeha u seriji 10 k nezavisni testovi za k = 1,2,..., 200.
tačka 4. Tačkasta procjena parametara ujednačene raspodjele
Pogledajmo još jedan poučan primjer. Neka je uzorak iz opće populacije koji odgovara slučajnoj varijabli ξ koja ima uniformnu distribuciju na segmentu s nepoznatim parametrom θ . Naš zadatak je da procijenimo ovaj nepoznati parametar.
Hajde da razmotrimo jedan od mogući načini izrada potrebne procjene. Ako ξ je slučajna varijabla koja ima uniformnu distribuciju na segmentu, dakle Μ ξ = . Od procjene magnitude Mξ poznato Μξ =, zatim za procjenu parametara θ možete napraviti procjenu
Nepristranost procjene je očigledna:
Nakon što smo izračunali disperziju i granicu D kao n →∞, provjeravamo valjanost procjene:
Za dobivanje drugačije procjene parametara θ Pogledajmo ostale statistike. Neka = max). Nađimo distribuciju slučajne varijable:
Zatim matematičko očekivanje i varijansa slučajne varijable
sa distribucijom 
jednaki su redom:
;
one. Procjena je validna, ali pristrasna. Međutim, ako umjesto = max) smatramo = max), onda 
, te je stoga procjena konzistentna i nepristrasna.
Istovremeno, pošto
znatno efikasnije od procene
Na primjer, sa n = 97, širenje procjene θ^ je 33 ral manje od širenja procjene
Posljednji primjer još jednom pokazuje da je odabir statističke procjene za nepoznati parametar distribucije važan i netrivijalan zadatak.
U Mathcadu, za simulaciju uzorka vrijednosti slučajne varijable koja ima ujednačenu distribuciju na intervalu [a, b], namijenjena je funkcija runif(fc,o,b), koja generiše vektor iz To slučajni brojevi, od kojih je svaki vrijednost slučajne varijable ravnomjerno raspoređene na intervalu [a, 6].
Neka postoji slučajna varijabla X sa matematičkim očekivanjima m i varijansu D, dok su oba ova parametra nepoznata. Iznad vrijednosti X proizvedeno N nezavisni eksperimenti, kao rezultat kojih je skup N numeričke rezultate x 1 , x 2 , …, x N. Kao procenu matematičkog očekivanja, prirodno je predložiti aritmetičku sredinu posmatranih vrednosti
| (1) |
Ovdje kao x i uzimaju se u obzir specifične vrijednosti (brojevi) dobiveni kao rezultat N eksperimenti. Ako uzmemo druge (nezavisno od prethodnih) N eksperimentima, onda ćemo očito dobiti drugačiju vrijednost. Ako uzmete više N eksperimentima, onda ćemo dobiti još jednu novu vrijednost. Označimo sa X i slučajna varijabla koja proizlazi iz i eksperiment, zatim implementacije X iće biti brojevi dobijeni iz ovih eksperimenata. Očigledno, slučajna varijabla X i imaće istu funkciju gustoće vjerovatnoće kao originalna slučajna varijabla X. Također vjerujemo da su slučajne varijable X i I X j su nezavisni kada i, nije jednako j(razni eksperimenti neovisni jedan o drugom). Stoga, prepisujemo formulu (1) u drugačijem (statističkom) obliku:
| (2) |
Pokažimo da je procjena nepristrasna:
Dakle, matematičko očekivanje srednje vrijednosti uzorka jednako je pravom matematičkom očekivanju slučajne varijable m. Ovo je prilično predvidljiva i razumljiva činjenica. Prema tome, srednja vrijednost uzorka (2) može se uzeti kao procjena matematičkog očekivanja slučajne varijable. Sada se postavlja pitanje: šta se dešava sa varijansom procjene matematičkog očekivanja kako se broj eksperimenata povećava? Analitičke kalkulacije to pokazuju
gdje je varijansa procjene matematičkog očekivanja (2), i D- istinita varijansa slučajne varijable X.
Iz navedenog proizilazi da sa povećanjem N(broj eksperimenata) varijansa procjene se smanjuje, tj. Što više sumiramo nezavisne realizacije, to ćemo bliže matematičkom očekivanju dobiti procjenu.
Procjene matematičke varijanse
Na prvi pogled, čini se da je najprirodnija procjena
| (3) |
gdje se izračunava pomoću formule (2). Provjerimo da li je procjena nepristrasna. Formula (3) se može napisati na sljedeći način:
Zamijenimo izraz (2) u ovu formulu:
Nađimo matematičko očekivanje procjene varijanse:
| (4) |
Budući da varijansa slučajne varijable ne zavisi od toga koliko je matematičko očekivanje slučajne varijable, uzmimo matematičko očekivanje jednako 0, tj. m = 0.
| (5) | |
| u . | (6) |
Najvažnije numeričke karakteristike slučajne varijable X su ona matematičko očekivanje m x =M i disperzijaσ 2 x = D[x] = M[(X – m x) 2 ] = M –. Broj m x je prosječna vrijednost slučajne varijable oko koje su vrijednosti veličina raspršene X, mjera ovog širenja je disperzija D[x] I standardna devijacija:
s x =(1.11)
Dalje ćemo razmotriti važan problem za proučavanje uočljive slučajne varijable. Neka postoji neki uzorak (označit ćemo ga S) slučajna varijabla X. Potrebno je izvršiti procjenu na osnovu raspoloživog uzorka nepoznate vrijednosti m x i .
Teorija procjena različitih parametara zauzima matematičke statistike značajno mesto. Stoga, razmotrimo prvo zajednički zadatak. Neka je potrebno procijeniti neki parametar a po uzorku S. Svaka takva procjena a* je neka funkcija a*=a*(S) iz vrijednosti uzorka. Vrijednosti uzorka su nasumične, dakle i sama procjena a* je slučajna varijabla. Moguće je izgraditi mnoge različite procjene(tj. funkcije) a*, ali je istovremeno poželjno imati „dobru“ ili čak „najbolju“, u neku ruku, ocjenu. Sljedeća tri prirodna zahtjeva obično se nameću ocjenjivanjima.
1. Undisplaced. Matematičko očekivanje ocjenjivanja a* mora biti jednaka tačnoj vrijednosti parametra: M = a. Drugim riječima, procjena a* ne bi trebalo imati sistematsku grešku.
2. Bogatstvo. Uz beskonačno povećanje veličine uzorka, procjena a* treba konvergirati na tačnu vrijednost, to jest, kako se broj opservacija povećava, greška procjene teži nuli.
3. Efikasnost. Ocjena a* se kaže da je efikasan ako je nepristrasan i ima najmanju moguću varijansu greške. U ovom slučaju, širenje procjena je minimalno a* u odnosu na tačnu vrijednost i procjena je u određenom smislu „najtačnija“.
Nažalost, nije uvijek moguće napraviti procjenu koja istovremeno zadovoljava sva tri zahtjeva.
Za procjenu matematičkog očekivanja najčešće se koristi procjena.
= , (1.12)
odnosno aritmetička sredina uzorka. Ako je slučajna varijabla X ima konačan m x I s x, tada procjena (1.12) nije pristrasna i konzistentna. Ova procjena je efektivna, na primjer, ako X ima normalnu distribuciju (Slika 1.4, Dodatak 1). Za druge distribucije možda neće biti efektivno. Na primjer, u slučaju uniformne distribucije (Slika 1.1, Dodatak 1), nepristrasna, dosljedna procjena će biti
(1.13)
Istovremeno, procjena (1.13) za normalnu distribuciju neće biti ni konzistentna ni efikasna, a čak će se i pogoršavati s povećanjem veličine uzorka.
Dakle, za svaki tip distribucije slučajne varijable X trebali biste koristiti svoju procjenu matematičkog očekivanja. Međutim, u našoj situaciji, vrsta distribucije može biti poznata samo okvirno. Stoga ćemo koristiti procjenu (1.12), koja je prilično jednostavna i ima najviše važna svojstva nepristrasnost i doslednost.
Za procjenu matematičkog očekivanja za grupirani uzorak koristi se sljedeća formula:
= , (1.14)
koji se može dobiti iz prethodnog, ako sve uzmemo u obzir m i vrijednosti uzorka uključene u i-ti interval jednak reprezentativnom z i ovaj interval. Ova procjena je prirodno grublja, ali zahtijeva znatno manje izračunavanja, posebno sa velikom veličinom uzorka.
Najčešće korištena procjena za procjenu varijanse je:
= 
, (1.15)
Ova procjena nije pristrasna i vrijedi za bilo koju slučajnu varijablu X, sa konačnim momentima do četvrtog reda uključujući.
U slučaju grupiranog uzorka, korištena procjena je:
= 
(1.16)
Procjene (1.14) i (1.16), po pravilu, su pristrane i neodržive, jer se njihova matematička očekivanja i granice do kojih konvergiraju razlikuju od m x i zbog zamjene svih vrijednosti uzoraka uključenih u i-th interval, po reprezentativnom intervalu z i.
Imajte na umu da za velike n, koeficijent n/(n – 1) u izrazima (1.15) i (1.16) je blizu jedinice, pa se može izostaviti.
Intervalne procjene.
Neka tačna vrijednost neki parametar je jednak a i pronađena je njegova procjena a*(S) po uzorku S. Evaluacija a* odgovara tački na numeričkoj osi (slika 1.5), pa se ova procjena naziva tačka. Sve procjene o kojima je bilo riječi u prethodnom paragrafu su bodovne procjene. Gotovo uvijek, slučajno
a* ¹ a, i možemo se samo nadati da je poenta a* je negdje u blizini a. Ali koliko blizu? Svaka druga procjena bodova će imati isti nedostatak - nedostatak mjere za pouzdanost rezultata.
Sl.1.5. Procjena parametra tačke.
Konkretnije u ovom pogledu su intervalne procjene. Rezultat intervala predstavlja interval I b = (a , b), u kojem se sa datom vjerovatnoćom nalazi tačna vrijednost procijenjenog parametra b. Interval I b pozvao interval povjerenja, i vjerovatnoća b pozvao verovatnoća poverenja i može se smatrati kao pouzdanost procjene.
Interval pouzdanosti je zasnovan na dostupnom uzorku S, slučajan je u smislu da su njegove granice nasumične a(S) I b(S), koje ćemo izračunati iz (slučajnog) uzorka. Zbog toga b postoji mogućnost da slučajni interval I bće pokriti neslučajnu tačku a. Na sl. 1.6. interval I b pokrio poentu a, A Ib*- Ne. Stoga nije sasvim ispravno to reći a " pada" u interval.
Ako je vjerovatnoća povjerenja b veliki (npr. b = 0,999), tada gotovo uvijek tačna vrijednost a je unutar konstruisanog intervala.
 |
Sl.1.6. Intervali pouzdanosti parametra a za različite uzorke.
Razmotrimo način izgradnje interval povjerenja za matematičko očekivanje slučajne varijable X, na osnovu centralna granična teorema.
Neka je slučajna varijabla X ima nepoznato matematičko očekivanje m x I poznata varijansa. Zatim, na osnovu središnje granične teoreme, aritmetička sredina je:
= , (1.17)
rezultate n nezavisni testovi količine X je slučajna varijabla čija je distribucija u velikoj mjeri n, blizu normalna distribucija sa prosjekom m x i standardnu devijaciju. Stoga slučajna varijabla
(1.18)
ima distribuciju vjerovatnoće koja se može uzeti u obzir standardno normalno sa gustinom distribucije j(t), čiji je grafikon prikazan na slici 1.7 (kao i na slici 1.4, Dodatak 1).
 |
Sl.1.7. Distribucija gustoće vjerovatnoće slučajne varijable t.
Neka je data pouzdana vjerovatnoća b I t b - broj koji zadovoljava jednačinu
b = F 0 (t b) – F 0 (-t b) = 2 F 0 (t b),(1.19)
Gdje 
- Laplaceova funkcija. Zatim vjerovatnoća pada u interval (-t b , t b) biće jednaka osenčenom na slici 1.7. površina, i, na osnovu izraza (1.19), jednaka je b. Dakle
b = P(-t b< < t b) = P( – tb< m x < + t b ) =
= P( – tb< m x < + t b) .(1.20)
Dakle, kao interval pouzdanosti možemo uzeti interval
I b = ( – t b ; + tb ) , (1.21)
budući da izraz (1.20) znači da je nepoznata tačna vrijednost m x je u I b sa datom verovatnoćom poverenja b. Za gradnju I b potrebno kako je navedeno b naći t b iz jednačine (1.19). Hajde da damo nekoliko vrednosti t b potrebno u budućnosti :
t 0,9 = 1,645; t 0,95 = 1,96; t 0,99 = 2,58; t 0,999 = 3,3.
Prilikom izvođenja izraza (1.21) pretpostavljalo se da je poznata tačna vrijednost standardne devijacije s x. Međutim, to nije uvijek poznato. Koristimo stoga njegovu procjenu (1.15) i dobijemo:
I b = ( – t b ; +tb). (1.22)
U skladu s tim, procjene i dobivene iz grupisanog uzorka daju sljedeću formulu za interval pouzdanosti:
I b = ( – t b ; +tb). (1.23)
CILJ PREDAVANJA: uvesti koncept procjene nepoznatog parametra raspodjele i dati klasifikaciju takvih procjena; dobiti tačke i intervalne procjene matematičkog očekivanja i disperzije.
U praksi, u većini slučajeva, zakon distribucije slučajne varijable je nepoznat, a prema rezultatima posmatranja 
potrebno je procijeniti numeričke karakteristike (na primjer, matematičko očekivanje, disperziju ili drugi momenti) ili nepoznati parametar 
, koji određuje zakon distribucije (gustina distribucije) 
slučajna varijabla koja se proučava. Dakle, za eksponencijalnu ili Poissonovu distribuciju dovoljno je procijeniti jedan parametar, ali za normalnu distribuciju moraju se procijeniti dva parametra – matematičko očekivanje i varijansa.
Vrste ocjenjivanja
Slučajna vrijednost 
ima gustinu vjerovatnoće 
, Gdje 
– nepoznat parametar distribucije. Kao rezultat eksperimenta, dobijene su vrijednosti ove slučajne varijable: 
. Izrada procjene u suštini znači da vrijednosti uzorka slučajne varijable moraju biti povezane s određenom vrijednošću parametra 
, tj. kreirati neku funkciju rezultata posmatranja 
, čija se vrijednost uzima kao procjena 
parametar 
. Indeks 
označava broj izvedenih eksperimenata.
Poziva se svaka funkcija koja ovisi o rezultatima promatranja statistika. Pošto su rezultati posmatranja slučajne varijable, statistika će takođe biti slučajna varijabla. Dakle, procjena 
nepoznati parametar 
treba posmatrati kao slučajnu varijablu, a njenu vrijednost izračunati iz eksperimentalnih podataka u zapremini 
, – kao jedna od mogućih vrijednosti ove slučajne varijable.
Procjene parametara distribucije (numeričke karakteristike slučajne varijable) dijele se na tačke i intervale. Tačka procjena parametar 
određena jednim brojem 
, a njegovu tačnost karakterizira varijansa procjene. Intervalna procjena zove se rezultat koji je određen sa dva broja, 
I 
– krajevi intervala koji pokrivaju procijenjeni parametar 
sa datom verovatnoćom poverenja.
Klasifikacija bodovnih procjena
Za tačku procjene nepoznatog parametra 
najbolje u smislu tačnosti, mora biti dosljedan, nepristrasan i efikasan.
Bogati zove procjena 
parametar 
, ako konvergira po vjerovatnoći procijenjenom parametru, tj.
. (8.8)
Na osnovu Čebiševe nejednakosti, može se pokazati da dovoljno stanje ispunjenje relacije (8.8) je jednakost
.
Konzistentnost je asimptotska karakteristika procjene at 
.
Nepristrasan zove procjena 
(procjena bez sistematske greške), čije je matematičko očekivanje jednako procijenjenom parametru, tj.
. (8.9)
Ako jednakost (8.9) nije zadovoljena, onda se procjena naziva pristrasna. Razlika 
naziva se pristrasnost ili sistematska greška u procjeni. Ako je jednakost (8.9) zadovoljena samo za 
, tada se odgovarajuća procjena naziva asimptotski nepristrasna.
Treba napomenuti da ako je konzistentnost gotovo obavezan uslov za sve procjene koje se koriste u praksi (nekonzistentne procjene se koriste izuzetno rijetko), onda je svojstvo nepristrasnosti samo poželjno. Mnoge često korištene procjene nemaju svojstvo nepristrasnosti.
IN opšti slučaj tačnost procjene nekog parametra 
, dobijeno na osnovu eksperimentalnih podataka 
, karakteriziran srednjom kvadratnom greškom
,
koji se može svesti na formu
,
gdje je varijansa, 
– pristrasnost procjene na kvadrat.
Ako je procjena nepristrasna, onda
Na konačno 
procjene se mogu razlikovati po srednjoj kvadratnoj grešci 
. Naravno, što je manja ova greška, to su vrijednosti procjene bliže grupisane oko procijenjenog parametra. Stoga je uvijek poželjno da greška procjene bude što manja, tj. da je uvjet zadovoljen
. (8.10)
Evaluacija 
, zadovoljavajući uvjet (8.10), naziva se procjena sa minimalnom greškom na kvadrat.
Efektivno zove procjena 
, za koje srednja kvadratna greška nije veća od srednje kvadratne greške bilo koje druge procjene, tj.
Gdje 
– bilo koja druga procjena parametara 
.
Poznato je da je varijansa bilo koje nepristrasne procjene jednog parametra 
zadovoljava Cramer–Rao nejednakost
,
Gdje 
– distribucija gustine uslovne vjerovatnoće dobijenih vrijednosti slučajne varijable na istinitoj vrijednosti parametra 
.
Dakle, nepristrasna procjena 
, za koji Cramer–Rao nejednakost postaje jednakost, bit će efikasna, tj. takva procjena ima minimalnu varijansu.
Tačkaste procjene očekivanja i varijanse
Ako se uzme u obzir slučajna varijabla 
, koji ima matematičko očekivanje 
i varijansu 
, tada se oba ova parametra smatraju nepoznatim. Dakle, preko slučajne varijable 
proizvedeno 
nezavisni eksperimenti koji daju rezultate: 
. Potrebno je pronaći konzistentne i nepristrasne procjene nepoznatih parametara 
I 
.
Prema procjenama 
I 
Obično se biraju statistička (uzorkova) sredina i statistička (uzorkova) varijansa:
; (8.11)
. (8.12)
Procjena matematičkog očekivanja (8.11) je konzistentna prema zakonu velikih brojeva (Čebiševljev teorem):
.
Očekivanje slučajne varijable 
.
Dakle, procjena 
je nepristrasan.
Disperzija procjene matematičkog očekivanja:
Ako je slučajna varijabla 
distribuira se prema normalnom zakonu, zatim procjeni 
je takođe efikasan.
Očekivanje procjene varijanse 
U isto vrijeme
.
Jer 
, A 
, onda dobijamo
. (8.13)
dakle, 
– pristrasna procjena, iako je dosljedna i efikasna.
Iz formule (8.13) slijedi da se dobije nepristrasna procjena 
varijansu uzorka (8.12) treba modificirati na sljedeći način:
što se smatra „boljim“ u poređenju sa procjenom (8.12), iako u cjelini 
ove procjene su skoro jednake jedna drugoj.
Metode za dobijanje procjena parametara distribucije
Često u praksi, na osnovu analize fizičkog mehanizma koji generiše slučajnu varijablu 
, možemo izvesti zaključak o zakonu raspodjele ove slučajne varijable. Međutim, parametri ove distribucije su nepoznati i moraju se procijeniti iz eksperimentalnih rezultata, obično predstavljenih u obliku konačnog uzorka 
. Za rješavanje ovog problema najčešće se koriste dvije metode: metoda momenata i metoda maksimalne vjerovatnoće.
Metoda momenata. Metoda se sastoji u izjednačavanju teorijskih momenata sa odgovarajućim empirijskim momentima istog reda.
Empirijska polazišta 
-ti red se određuju formulama:
,
i odgovarajućih teorijskih početnih momenata 
-ti red - formule:
za diskretne slučajne varijable,
za kontinuirane slučajne varijable,
Gdje 
– procijenjeni parametar distribucije.
Dobiti procjene parametara distribucije koja sadrži dva nepoznata parametra 
I 
, sastavlja se sistem od dvije jednačine
Gdje 
I 
– teorijski i empirijski centralni momenti drugog reda.
Rješenje sistema jednačina su procjene 
I 
nepoznati parametri distribucije 
I 
.
Izjednačavajući teorijske i empirijske početne momente prvog reda, dobijamo da procjenom matematičkog očekivanja slučajne varijable 
, koji ima proizvoljnu distribuciju, bit će srednja vrijednost uzorka, tj. 
. Zatim, izjednačavajući teorijske i empirijske centralne momente drugog reda, dobijamo da je procjena varijanse slučajne varijable 
, koji ima proizvoljnu distribuciju, određuje se formulom
.
Na sličan način se mogu pronaći procjene teorijskih momenata bilo kojeg reda.
Metoda momenata je jednostavna i ne zahtijeva složene proračune, ali procjene dobivene ovom metodom često su neučinkovite.
Metoda maksimalne vjerovatnoće. Metoda maksimalne vjerovatnoće tačkaste procjene nepoznatih parametara distribucije svodi se na pronalaženje maksimuma funkcije jednog ili više procijenjenih parametara.
Neka 
je kontinuirana slučajna varijabla, koja kao rezultat 
testovi su uzimali vrijednosti 
. Za dobivanje procjene nepoznatog parametra 
potrebno je pronaći takvu vrijednost 
, pri čemu bi vjerovatnoća implementacije rezultujućeg uzorka bila maksimalna. Jer 
predstavljaju međusobno nezavisne veličine sa istom gustinom verovatnoće 
, To funkcija vjerovatnoće pozvati funkciju argumenta 
:
Procjenom maksimalne vjerovatnoće parametra 
ova vrijednost se zove 
, na kojoj funkcija vjerovatnoće dostiže maksimum, tj. rješenje je jednadžbe
,
što jasno zavisi od rezultata testa 
.
Pošto funkcije 
I 
dostići maksimum pri istim vrijednostima 
, zatim da bi pojednostavili proračune često koriste logaritamsku funkciju vjerovatnoće i traže korijen odgovarajuće jednadžbe
,
koji se zove jednadžba vjerovatnoće.
Ako trebate procijeniti nekoliko parametara 
distribucija 
, tada će funkcija vjerovatnoće ovisiti o ovim parametrima. Da biste pronašli procjene 
distributivnih parametara potrebno je riješiti sistem 
jednačine vjerovatnoće
.
Metoda maksimalne vjerovatnoće daje konzistentne i asimptotski efikasne procjene. Međutim, procjene dobivene metodom maksimalne vjerovatnoće su pristrasne, a osim toga, da bi se pronašle procjene, često je potrebno riješiti prilično složene sisteme jednačina.
Intervalne procjene parametara
Tačnost bodovnih procjena karakterizira njihova varijansa. Međutim, nema informacija o tome koliko su dobijene procjene bliske pravim vrijednostima parametara. U brojnim zadacima, ne morate samo pronaći parametar 
odgovarajuću numeričku vrijednost, ali i za procjenu njegove tačnosti i pouzdanosti. Morate saznati do kojih grešaka može dovesti zamjena parametra 
svoju tačku procenu 
i sa kojim stepenom pouzdanosti treba očekivati da ove greške neće preći poznate granice.
Takvi zadaci su posebno relevantni kada postoji mali broj eksperimenata. 
, kada je tačka procjene 
uglavnom slučajna i približna zamjena 
on 
može dovesti do značajnih grešaka.
Kompletniji i pouzdan način procena parametara distribucija se sastoji u određivanju ne jedne vrednosti tačke, već intervala koji, sa datom verovatnoćom, pokriva pravu vrednost procenjenog parametra.
Neka prema rezultatima 
eksperimentima, dobijena je nepristrasna procjena 
parametar 
. Potrebno je procijeniti moguću grešku. Odabrana je neka dovoljno velika vjerovatnoća 
(na primjer), takav da se događaj sa ovom vjerovatnoćom može smatrati praktički sigurnim događajem i takva vrijednost je pronađena 
, za koji
. (8.15)
U ovom slučaju, raspon praktički mogućih vrijednosti greške koja se javlja prilikom zamjene 
on 
, će 
, i one velike apsolutna vrijednost greške će se pojaviti samo sa malom vjerovatnoćom 
.
Izraz (8.15) znači da sa vjerovatnoćom 
nepoznata vrijednost parametra 
pada u interval
. (8.16)
Vjerovatnoća 
pozvao verovatnoća poverenja, i interval 
, pokrivanje vjerovatnoćom 
poziva se prava vrijednost parametra interval povjerenja. Imajte na umu da je netačno reći da vrijednost parametra leži unutar intervala povjerenja s vjerovatnoćom 
. Korištena formulacija (pokriva) znači da iako je parametar koji se procjenjuje nepoznat, on ima konstantnu vrijednost i stoga nema širenje jer nije slučajna varijabla.
Očekivanje je distribucija vjerovatnoće slučajne varijable
Matematičko očekivanje, definicija, matematičko očekivanje diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli, uzorak, uslovno očekivanje, proračun, svojstva, problemi, procjena očekivanja, disperzija, funkcija distribucije, formule, primjeri proračuna
Proširite sadržaj
Sažmi sadržaj
Matematičko očekivanje je definicija
Jedan od najvažnijih koncepata u matematičkoj statistici i teoriji vjerojatnosti, koji karakterizira distribuciju vrijednosti ili vjerovatnoće slučajne varijable. Obično se izražava kao ponderisani prosjek svih mogućih parametara slučajne varijable. Široko se koristi u tehničkoj analizi, proučavanju nizova brojeva i proučavanju kontinuiranih i dugotrajnih procesa. Ima bitan pri procjeni rizika, predviđanju indikatora cijena pri trgovanju na finansijskim tržištima, koristi se u razvoju strategija i metoda taktike igara na sreću u teoriji kockanja.
Matematičko očekivanje je prosječna vrijednost slučajne varijable, distribucija vjerovatnoće slučajne varijable se razmatra u teoriji vjerovatnoće.
Matematičko očekivanje je mjera prosječne vrijednosti slučajne varijable u teoriji vjerovatnoće. Očekivanje slučajne varijable x označeno sa M(x).
Matematičko očekivanje je
Matematičko očekivanje je u teoriji vjerovatnoće, ponderisani prosjek svih mogućih vrijednosti koje slučajna varijabla može uzeti.
Matematičko očekivanje je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i vjerovatnoće tih vrijednosti.
Matematičko očekivanje je prosječna korist od određene odluke, pod uslovom da se takva odluka može razmatrati u okviru teorije velikih brojeva i velike udaljenosti.
Matematičko očekivanje je u teoriji kockanja, iznos dobitka koji igrač može zaraditi ili izgubiti, u prosjeku, za svaku opkladu. U kockarskom jeziku, ovo se ponekad naziva "ivica igrača" (ako je pozitivna za igrača) ili "ivica kuće" (ako je negativna za igrača).
Matematičko očekivanje je procenat profita po pobedi pomnožen prosečnim profitom, minus verovatnoća gubitka pomnožena sa prosečnim gubitkom.
Matematičko očekivanje slučajne varijable u matematička teorija
Jedna od važnih numeričkih karakteristika slučajne varijable je njeno matematičko očekivanje. Hajde da uvedemo koncept sistema slučajnih varijabli. Razmotrimo skup slučajnih varijabli koje su rezultati istog slučajnog eksperimenta. Ako je jedna od mogućih vrijednosti sistema, onda događaj odgovara određenoj vjerovatnoći koja zadovoljava Kolmogorovljeve aksiome. Funkcija definirana za sve moguće vrijednosti slučajnih varijabli naziva se zajednički zakon distribucije. Ova funkcija vam omogućava da izračunate vjerovatnoće bilo kojeg događaja iz. Konkretno, zajednički zakon raspodjele slučajnih varijabli i, koji uzimaju vrijednosti iz skupa i, dat je vjerovatnoćama.
Termin "matematičko očekivanje" uveo je Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) i dolazi od koncepta "očekivana vrijednost dobitka", koji se prvi put pojavio u 17. stoljeću u teoriji kockanja u djelima Blaisea Pascal-a i Christiaana. Huygens. Međutim, prvo potpuno teorijsko razumijevanje i ocjenu ovog koncepta dao je Pafnuti Lvovič Čebišev (sredina 19. stoljeća).
Zakon distribucije slučajnih numeričkih varijabli (funkcija distribucije i red raspodjele ili gustina vjerovatnoće) u potpunosti opisuje ponašanje slučajne varijable. Ali u nizu problema dovoljno je znati neke numeričke karakteristike veličine koja se proučava (na primjer, njena prosječna vrijednost i moguće odstupanje od njega) da odgovori na postavljeno pitanje. Glavne numeričke karakteristike slučajnih varijabli su matematičko očekivanje, varijansa, mod i medijan.
Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda njenih mogućih vrijednosti i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti. Ponekad se matematičko očekivanje naziva ponderisanim prosjekom, jer je približno jednako aritmetičkoj sredini promatranih vrijednosti slučajne varijable u velikom broju eksperimenata. Iz definicije matematičkog očekivanja proizilazi da njegova vrijednost nije manja od najmanje moguće vrijednosti slučajne varijable i ne veća od najveće. Matematičko očekivanje slučajne varijable je neslučajna (konstantna) varijabla.
Matematičko očekivanje je jednostavno fizičko značenje: ako postavite jediničnu masu na pravu liniju, stavljajući neku masu u neke tačke (za diskretna distribucija), ili ga "razmazati" određenom gustinom (za apsolutno kontinuiranu distribuciju), tada će tačka koja odgovara matematičkom očekivanju biti koordinata "centra gravitacije" linije.
Prosječna vrijednost slučajne varijable je određeni broj koji je, takoreći, njen „predstavnik“ i zamjenjuje ga u približno približnim proračunima. Kada kažemo: "prosječno vrijeme rada lampe je 100 sati" ili "prosječna tačka udara je pomjerena u odnosu na metu za 2 m udesno", ukazujemo na određenu numeričku karakteristiku slučajne varijable koja opisuje njenu lokaciju. na numeričkoj osi, tj. "karakteristike položaja".
Iz karakteristika položaja u teoriji vjerovatnoće vitalna uloga igra matematičko očekivanje slučajne varijable, koja se ponekad naziva jednostavno prosječna vrijednost slučajne varijable.
Uzmite u obzir slučajnu varijablu X, sa mogućim vrijednostima x1, x2, …, xn sa vjerovatnoćama p1, p2, …, pn. Moramo nekim brojem okarakterizirati položaj vrijednosti slučajne varijable na x-osi, uzimajući u obzir činjenicu da te vrijednosti imaju različite vjerovatnoće. U tu svrhu, prirodno je koristiti takozvani „ponderisani prosek“ vrednosti xi, a svaku vrijednost xi tokom usrednjavanja treba uzeti u obzir sa “težinom” proporcionalnom vjerovatnoći ove vrijednosti. Stoga ćemo izračunati prosjek slučajne varijable X, koje označavamo M |X|:
Ovaj ponderisani prosjek naziva se matematičko očekivanje slučajne varijable. Tako smo uveli u razmatranje jedan od najvažnijih koncepata teorije vjerovatnoće – koncept matematičkog očekivanja. Matematičko očekivanje slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti slučajne varijable i vjerovatnoća tih vrijednosti.
X je povezan osebujnom zavisnošću sa aritmetičkom sredinom posmatranih vrednosti slučajne varijable u velikom broju eksperimenata. Ova zavisnost je istog tipa kao i zavisnost između učestalosti i verovatnoće, naime: kod velikog broja eksperimenata, aritmetička sredina posmatranih vrednosti slučajne varijable približava se (konvergira u verovatnoći) njenom matematičkom očekivanju. Iz prisustva veze između frekvencije i vjerovatnoće može se zaključiti kao posljedica prisutnost slične veze između aritmetičke sredine i matematičkog očekivanja. Zaista, razmotrite slučajnu varijablu X, karakteriziran distribucijskim nizom:
Neka se proizvede N nezavisni eksperimenti, u svakom od kojih vrijednost X poprima određenu vrijednost. Pretpostavimo da je vrijednost x1 pojavio m1 vremena, vrijednost x2 pojavio m2 vremena, opšte značenje xi pojavio mi se puta. Izračunajmo aritmetičku sredinu uočenih vrijednosti vrijednosti X, koja je, za razliku od matematičkog očekivanja M|X| označavamo M*|X|:
Sa povećanjem broja eksperimenata N frekvencije piće se približiti (konvergirati u vjerovatnoći) odgovarajućim vjerovatnoćama. Posljedično, aritmetička sredina promatranih vrijednosti slučajne varijable M|X| sa povećanjem broja eksperimenata će se približiti (konvergirati u vjerovatnoći) svom matematičkom očekivanju. Gore formulisana veza između aritmetičke sredine i matematičkog očekivanja čini sadržaj jednog od oblika zakona velikih brojeva.
Već znamo da svi oblici zakona velikih brojeva navode činjenicu da su neki prosjeci stabilni u velikom broju eksperimenata. Ovdje govorimo o stabilnosti aritmetičke sredine iz serije opažanja iste veličine. Uz mali broj eksperimenata, aritmetička sredina njihovih rezultata je slučajna; s dovoljnim povećanjem broja eksperimenata, postaje "gotovo neslučajan" i, stabilizirajući se, približava se konstantnoj vrijednosti - matematičkom očekivanju.
Stabilnost prosjeka u velikom broju eksperimenata može se lako eksperimentalno provjeriti. Na primjer, kada vagamo tijelo u laboratoriju na preciznoj vagi, kao rezultat vaganja svaki put dobijamo novu vrijednost; Da bismo smanjili grešku u promatranju, tijelo izmjerimo nekoliko puta i koristimo aritmetičku sredinu dobivenih vrijednosti. Lako je uočiti da daljim povećanjem broja eksperimenata (vaganja) aritmetička sredina sve manje reaguje na to povećanje i, uz dovoljno veliki broj eksperimenata, praktično prestaje da se menja.
Treba napomenuti da najvažnija karakteristika pozicija slučajne varijable - matematičko očekivanje - ne postoji za sve slučajne varijable. Moguće je sastaviti primjere takvih slučajnih varijabli za koje matematičko očekivanje ne postoji, jer se odgovarajući zbir ili integral divergiraju. Međutim, takvi slučajevi nisu od značajnog interesa za praksu. Tipično, slučajne varijable s kojima se bavimo imaju ograničen raspon mogućih vrijednosti i, naravno, imaju matematička očekivanja.
Pored najvažnijih karakteristika položaja slučajne varijable - matematičkog očekivanja - u praksi se ponekad koriste i druge karakteristike pozicije, a posebno mod i medijan slučajne varijable.
Mod slučajne varijable je njena najvjerovatnija vrijednost. Izraz "najvjerovatnija vrijednost" striktno govoreći primjenjuje se samo na diskontinuirane količine; Za kontinuirana vrijednost Mod je vrijednost pri kojoj je gustina vjerovatnoće maksimalna. Slike pokazuju način rada za diskontinuirane i kontinuirane slučajne varijable, respektivno.
Ako poligon distribucije (kriva distribucije) ima više od jednog maksimuma, distribucija se naziva "multimodalna".
Ponekad postoje distribucije koje imaju minimum u sredini, a ne maksimum. Takve distribucije se nazivaju „antimodalne“.
U opštem slučaju, mod i matematičko očekivanje slučajne varijable se ne poklapaju. U konkretnom slučaju, kada je distribucija simetrična i modalna (tj. ima mod) i postoji matematičko očekivanje, onda se ono poklapa sa modom i centrom simetrije distribucije.
Često se koristi još jedna karakteristika pozicije - takozvani medijan slučajne varijable. Ova karakteristika se obično koristi samo za kontinuirane slučajne varijable, iako se formalno može definirati za diskontinuiranu varijablu. Geometrijski gledano, medijana je apscisa tačke u kojoj je područje zatvoreno krivom raspodjele podijeljeno na pola.
U slučaju simetrične modalne distribucije, medijana se poklapa sa matematičkim očekivanjem i modom.
Matematičko očekivanje je prosječna vrijednost slučajne varijable - numerička karakteristika distribucije vjerovatnoće slučajne varijable. Na najopštiji način, matematičko očekivanje slučajne varijable X(w) je definisan kao Lebesgueov integral u odnosu na mjeru vjerovatnoće R u izvornom prostoru vjerovatnoće:
Matematičko očekivanje se takođe može izračunati kao Lebesgueov integral od X distribucijom vjerovatnoće px količine X:
Koncept slučajne varijable sa beskonačnim matematičkim očekivanjem može se definirati na prirodan način. Tipičan primjer služe kao vremena povratka u nekim nasumičnim šetnjama.
Uz pomoć matematičkog očekivanja, mnogi brojčani i funkcionalne karakteristike distribucije (kao matematičko očekivanje odgovarajućih funkcija od slučajne varijable), na primjer, generirajuća funkcija, karakteristična funkcija, momenti bilo kojeg reda, posebno disperzija, kovarijansa.
Matematičko očekivanje je karakteristika lokacije vrijednosti slučajne varijable (prosječne vrijednosti njene distribucije). U tom svojstvu, matematičko očekivanje služi kao neki „tipični“ parametar distribucije i njegova uloga je slična ulozi statičkog momenta – koordinate težišta distribucije mase – u mehanici. Od ostalih karakteristika lokacije uz pomoć kojih se distribucija opisuje općenito - medijana, modova, matematičko očekivanje se razlikuje po većoj vrijednosti koju ono i odgovarajuća karakteristika raspršenja - disperzija - imaju u graničnim teoremama teorije vjerovatnoće. Značenje matematičkog očekivanja najpotpunije otkriva zakon velikih brojeva (Čebiševljeva nejednakost) i pojačani zakon velikih brojeva.
Očekivanje diskretne slučajne varijable
Neka postoji neka slučajna varijabla koja može uzeti jednu od nekoliko numeričkih vrijednosti (na primjer, broj bodova pri bacanju kocke može biti 1, 2, 3, 4, 5 ili 6). Često se u praksi, za takvu vrijednost, postavlja pitanje: koju vrijednost uzima "u prosjeku" s velikim brojem testova? Koliki će biti naš prosječni prihod (ili gubitak) od svake od rizičnih transakcija?
Recimo da postoji neka vrsta lutrije. Želimo da shvatimo da li je isplativo ili ne učestvovati u tome (ili čak učestvovati više puta, redovno). Recimo da je svaka četvrta karta pobjednička, nagrada će biti 300 rubalja, a cijena bilo koje karte će biti 100 rubalja. Uz beskonačno veliki broj učešća, evo šta se dešava. U tri četvrtine slučajeva ćemo izgubiti, svaka tri gubitka koštat će 300 rubalja. U svakom četvrtom slučaju dobit ćemo 200 rubalja. (nagrada minus trošak), to jest, za četiri učešća gubimo u prosjeku 100 rubalja, za jedno - u prosjeku 25 rubalja. Ukupno, prosječna cijena naše ruševine bit će 25 rubalja po karti.
Bacamo kockice. Ako nije varanje (bez pomeranja centra gravitacije, itd.), koliko ćemo onda u proseku imati poena u jednom trenutku? Pošto je svaka opcija jednako vjerovatna, jednostavno uzimamo aritmetičku sredinu i dobijemo 3,5. Pošto je ovo PROSEK, nema potrebe da se ljutite što ni jedno konkretno bacanje neće dati 3,5 poena - pa ova kocka nema lice sa takvim brojem!
Sada da sumiramo naše primjere:
Pogledajmo upravo datu sliku. Na lijevoj strani je tabela distribucije slučajne varijable. Vrijednost X može uzeti jednu od n mogućih vrijednosti (prikazano u gornjem redu). Ne može postojati nikakva druga značenja. Ispod svake moguće značenje njegova vjerovatnoća je napisana u nastavku. Desno je formula, gdje se M(X) naziva matematičko očekivanje. Značenje ove vrijednosti je da će s velikim brojem testova (sa velikim uzorkom) prosječna vrijednost težiti istom matematičkom očekivanju.
Vratimo se ponovo na istu kocku za igru. Matematičko očekivanje broja poena pri bacanju je 3,5 (izračunajte sami koristeći formulu ako mi ne vjerujete). Recimo da ste ga bacili nekoliko puta. Rezultati su bili 4 i 6. Prosek je bio 5, što je daleko od 3,5. Bacili su ga još jednom, dobili su 3, odnosno u prosjeku (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Nekako daleko od matematičkog očekivanja. Sada napravite ludi eksperiment - okrenite kocku 1000 puta! A čak i da prosek nije tačno 3,5, biće blizu toga.
Izračunajmo matematičko očekivanje za gore opisanu lutriju. Ploča će izgledati ovako:
Tada će matematičko očekivanje biti, kao što smo gore utvrdili:
Druga stvar je da bi to bilo „na prste“, bez formule, bilo teško da postoji više opcija. Pa, recimo da bi bilo 75% izgubljenih tiketa, 20% dobitnih tiketa i 5% posebno dobitnih.
Sada neka svojstva matematičkog očekivanja.
Lako je dokazati:
Konstantni faktor se može uzeti kao znak matematičkog očekivanja, odnosno:
Ovo je poseban slučaj svojstva linearnosti matematičkog očekivanja.
Još jedna posljedica linearnosti matematičkog očekivanja:
odnosno matematičko očekivanje zbira slučajnih varijabli jednako je zbiru matematičkih očekivanja slučajnih varijabli.
Neka su X, Y nezavisne slučajne varijable, Zatim:
Ovo je takođe lako dokazati) Rad XY sama po sebi je slučajna varijabla, i ako bi početne vrijednosti mogle poprimiti n I m vrijednosti prema tome XY može uzeti nm vrijednosti. Verovatnoća svake vrednosti se izračunava na osnovu činjenice da se verovatnoće nezavisnih događaja množe. Kao rezultat, dobijamo ovo:
Očekivanje kontinuirane slučajne varijable
Kontinuirane slučajne varijable imaju takvu karakteristiku kao što je gustina distribucije (gustina vjerovatnoće). U suštini karakteriše situaciju da slučajna varijabla češće uzima neke vrijednosti iz skupa realnih brojeva, a neke rjeđe. Na primjer, razmotrite ovaj grafikon:
Evo X- stvarna slučajna varijabla, f(x)- gustina distribucije. Sudeći po ovom grafikonu, tokom eksperimenata vrijednost Xčesto će biti broj blizu nule. Šanse su premašene 3 ili biti manji -3 prilično čisto teorijski.
Neka, na primjer, postoji uniformna raspodjela:
Ovo je sasvim u skladu s intuitivnim razumijevanjem. Recimo ako stignemo ujednačena distribucija mnogo nasumičnih realnih brojeva, svaki iz segmenta |0; 1| , tada bi aritmetička sredina trebala biti oko 0,5.
Svojstva matematičkog očekivanja - linearnost, itd., primenljiva za diskretne slučajne varijable, takođe su primenljiva ovde.
Odnos između matematičkog očekivanja i drugih statističkih pokazatelja
U statističkoj analizi, uz matematičko očekivanje, postoji sistem međuzavisnih indikatora koji odražavaju homogenost pojava i stabilnost procesa. Indikatori varijacije često nemaju nezavisno značenje i koriste se za dalju analizu podataka. Izuzetak je koeficijent varijacije, koji karakteriše homogenost podataka, što je vrijedna statistička karakteristika.
Stepen varijabilnosti ili stabilnosti procesa u statističkoj nauci može se mjeriti korištenjem nekoliko indikatora.
Većina važan indikator, karakterizira varijabilnost slučajne varijable, je Disperzija, što je najbliže i direktno povezano sa matematičkim očekivanjem. Ovaj parametar se aktivno koristi u drugim vrstama statističkih analiza (testiranje hipoteza, analiza uzročno-posljedičnih veza, itd.). Kao i prosječno linearno odstupanje, varijansa također odražava opseg širenja podataka oko srednje vrijednosti.
Korisno je prevesti jezik znakova u jezik riječi. Ispada da je disperzija prosječan kvadrat odstupanja. Odnosno, prvo se izračunava prosječna vrijednost, zatim se uzima razlika između svake izvorne i prosječne vrijednosti, kvadrira, dodaje, a zatim dijeli sa brojem vrijednosti u populaciji. Razlika između pojedinačne vrijednosti i prosjeka odražava mjeru odstupanja. Kvadira se tako da sva odstupanja postanu isključivo pozitivni brojevi i kako bi se izbjeglo međusobno uništavanje pozitivnih i negativnih devijacija prilikom njihovog sabiranja. Zatim, s obzirom na kvadratna odstupanja, jednostavno izračunamo aritmetičku sredinu. Prosjek - kvadrat - odstupanja. Odstupanja se kvadriraju i izračunava se prosjek. Odgovor na magičnu reč "disperzija" leži u samo tri reči.
Međutim, u čista forma, kao što je aritmetička sredina ili indeks, varijansa se ne koristi. To je prije pomoćni i srednji indikator koji se koristi za druge vrste statističkih analiza. Čak nema ni normalnu mjernu jedinicu. Sudeći po formuli, ovo je kvadrat mjerne jedinice izvornih podataka.
Izmjerimo slučajnu varijablu N puta, na primjer, mjerimo brzinu vjetra deset puta i želimo pronaći prosječnu vrijednost. Kako je prosječna vrijednost povezana s funkcijom distribucije?
Ili ćemo baciti kockice veliki broj puta. Broj bodova koji će se pojaviti na kocki sa svakim bacanjem je slučajna varijabla i može uzeti bilo koju prirodnu vrijednost od 1 do 6. Aritmetička sredina ispuštenih bodova izračunata za sva bacanja je također slučajna varijabla, ali za velike N teži vrlo specifičnom broju - matematičkom očekivanju Mx. IN u ovom slučaju Mx = 3,5.
Kako ste dobili ovu vrijednost? Pusti unutra N testovi n1 kada dobijete 1 bod, n2 jednom - 2 boda i tako dalje. Zatim broj ishoda u koji je pao jedan bod:
Slično za ishode kada se bacaju 2, 3, 4, 5 i 6 poena.
Pretpostavimo sada da znamo zakon raspodjele slučajne varijable x, odnosno znamo da slučajna varijabla x može poprimiti vrijednosti x1, x2, ..., xk sa vjerovatnoćama p1, p2, ..., pk.
Matematičko očekivanje Mx slučajne varijable x jednako je:
Matematičko očekivanje nije uvijek razumna procjena neke slučajne varijable. Dakle, da procenimo prosek plate razumnije je koristiti koncept medijane, odnosno takve vrijednosti da se poklope broj ljudi koji primaju platu nižu od medijane i veću.
Vjerovatnoća p1 da će slučajna varijabla x biti manja od x1/2 i vjerovatnoća p2 da će slučajna varijabla x biti veća od x1/2, iste su i jednake su 1/2. Medijan nije određen jedinstveno za sve distribucije.
Standardna ili standardna devijacija u statistici se naziva stepen odstupanja opservacijskih podataka ili skupova od PROSJEČNE vrijednosti. Označava se slovima s ili s. Mala standardna devijacija ukazuje da se podaci grupišu oko srednje vrednosti, dok velika standardna devijacija ukazuje da se početni podaci nalaze daleko od nje. Standardna devijacija jednaki kvadratni korijen količina koja se naziva disperzija. To je prosjek zbira kvadrata razlika početnih podataka koji odstupaju od prosječne vrijednosti. Standardna devijacija slučajne varijable je kvadratni korijen varijanse:
Primjer. U uslovima testiranja kada pucate na metu, izračunajte disperziju i standardnu devijaciju slučajne varijable:
Varijacija- fluktuacija, promjenjivost vrijednosti neke karakteristike među jedinicama stanovništva. Odvojeno numeričke vrijednosti karakteristike koje se nalaze u populaciji koja se proučava nazivaju se varijantama značenja. Nedovoljna prosječna vrijednost za pune karakteristike populacija nas prisiljava da prosječne vrijednosti dopunimo indikatorima koji nam omogućavaju da procijenimo tipičnost ovih prosjeka mjerenjem varijabilnosti (varijacije) karakteristike koja se proučava. Koeficijent varijacije se izračunava pomoću formule:
Raspon varijacija(R) predstavlja razliku između maksimalne i minimalne vrijednosti atributa u populaciji koja se proučava. Ovaj indikator daje najviše opšta ideja o varijabilnosti proučavane karakteristike, jer ona pokazuje razliku samo između graničnih vrijednosti opcija. Ovisnost o ekstremnim vrijednostima karakteristike daje opsegu varijacije nestabilan, slučajan karakter.
Prosječna linearna devijacija predstavlja aritmetičku sredinu apsolutnih (modulo) odstupanja svih vrijednosti analizirane populacije od njihove prosječne vrijednosti:
Matematička očekivanja u teoriji kockanja
Matematičko očekivanje je Prosječan iznos novca koji kockar može dobiti ili izgubiti na datu opkladu. Ovo je vrlo važan koncept za igrača jer je fundamentalan za procjenu većine situacija u igri. Matematičko očekivanje je također optimalno sredstvo za analizu osnovnih rasporeda kartica i situacija u igri.
Recimo da igrate igru novčića sa prijateljem, kladite se na 1 dolar svaki put, bez obzira šta se pojavi. Rep znači da pobjeđujete, glava znači da gubite. Šanse su jedan prema jedan da će se pojaviti, tako da se kladite $1 prema $1. Dakle, vaša matematička očekivanja su nula, jer Sa matematičke tačke gledišta, ne možete znati da li ćete voditi ili izgubiti nakon dva bacanja ili nakon 200.
Vaš dobitak po satu je nula. Dobici po satu su iznos novca koji očekujete da ćete osvojiti za sat vremena. Možete baciti novčić 500 puta za sat vremena, ali nećete pobijediti ili izgubiti jer... Vaše šanse nisu ni pozitivne ni negativne. Ako pogledate, iz ugla ozbiljnog igrača, ovaj sistem klađenja nije loš. Ali ovo je jednostavno gubljenje vremena.
Ali recimo da neko želi da se kladi $2 protiv vašeg $1 u istoj igri. Tada odmah imate pozitivno očekivanje od 50 centi od svake opklade. Zašto 50 centi? U prosjeku dobijete jednu opkladu i izgubite drugu. Kladite se na prvi dolar i izgubit ćete 1$, kladite se na drugi i dobit ćete 2$. Kladite se dva puta po $1 i imate prednost od $1. Dakle, svaka vaša opklada na jedan dolar dala vam je 50 centi.
Ako se novčić pojavi 500 puta u jednom satu, vaš dobitak po satu će već biti 250 dolara, jer... U prosjeku ste izgubili jedan dolar 250 puta i osvojili dva dolara 250 puta. 500$ minus 250$ je 250$, što je ukupan dobitak. Imajte na umu da je očekivana vrijednost, koja je prosječan iznos koji dobijete po opkladi, 50 centi. Osvojili ste 250 dolara kladeći se na dolar 500 puta, što je jednako 50 centi po opkladi.
Matematička očekivanja nemaju nikakve veze sa kratkoročnim rezultatima. Vaš protivnik, koji je odlučio da kladi 2$ protiv vas, mogao bi vas pobijediti na prvih deset bacanja zaredom, ali vi, ako imate prednost u klađenju od 2 prema 1, pod svim ostalim jednakim uvjetima, zaradit ćete 50 centi na svaki $1 opkladu u bilo kojoj okolnosti. Nije bitno hoćete li dobiti ili izgubiti jednu ili nekoliko opklada, sve dok imate dovoljno novca da udobno pokrijete troškove. Ako nastavite da se kladite na isti način, onda za dug period Vremenom će se vaš dobitak približiti zbroju očekivanih vrijednosti u pojedinačnim bacanjima.
Svaki put kada napravite najbolju opkladu (opkladu koja se može pokazati isplativom na duge staze), kada su kvote u vašu korist, obavezno ćete nešto osvojiti na tome, bez obzira da li to izgubite ili ne u data hand. Suprotno tome, ako napravite underdog opkladu (opkladu koja je neisplativa na duge staze) kada su šanse protiv vas, gubite nešto bez obzira na to da li dobijete ili izgubite ruku.
Stavljate opkladu sa najboljim ishodom ako su vaša očekivanja pozitivna, a pozitivna je ako su kvote na vašoj strani. Kada položite opkladu sa najgorim ishodom, imate negativna očekivanja, što se dešava kada su kvote protiv vas. Ozbiljni igrači se klade samo na najbolji ishod; ako se dogodi najgori, odustaju. Šta šanse znače u vašu korist? Možda ćete na kraju osvojiti više nego što donose stvarne kvote. Prave šanse za sletanje su 1 prema 1, ali dobijate 2 prema 1 zbog omjera izgleda. U ovom slučaju, šanse su u vašu korist. Definitivno ćete dobiti najbolji ishod uz pozitivno očekivanje od 50 centi po opkladi.
Evo složenijeg primjera matematičkog očekivanja. Prijatelj zapisuje brojeve od jedan do pet i kladi se $5 protiv vašeg $1 da nećete pogoditi broj. Treba li pristati na takvu opkladu? Šta se tu očekuje?
U prosjeku ćete pogriješiti četiri puta. Na osnovu toga, šanse protiv toga da pogodite broj su 4 prema 1. Šanse protiv toga da izgubite dolar u jednom pokušaju. Međutim, dobijate 5 prema 1, uz mogućnost gubitka 4 prema 1. Dakle, kvote su u vašu korist, možete uzeti opkladu i nadati se najboljem ishodu. Ako uložite ovu opkladu pet puta, u prosjeku ćete četiri puta izgubiti 1$ i jednom dobiti 5$. Na osnovu toga, za svih pet pokušaja ćete zaraditi 1 dolar uz pozitivno matematičko očekivanje od 20 centi po opkladi.
Igrač koji će dobiti više nego što se kladi, kao u gornjem primjeru, riskira. Naprotiv, on uništava svoje šanse kada očekuje da će dobiti manje nego što se kladi. Kladilac može imati pozitivna ili negativna očekivanja, što zavisi od toga da li dobija ili uništava kvote.
Ako se kladite na $50 da osvojite $10 sa šansom za pobjedu 4 prema 1, dobit ćete negativno očekivanje od $2 jer U prosjeku ćete četiri puta osvojiti 10 dolara i jednom izgubiti 50 dolara, što pokazuje da će gubitak po opkladi biti 10 dolara. Ali ako se kladite na 30 dolara da dobijete 10 dolara, sa istim izgledima za pobjedu 4 prema 1, tada u ovom slučaju imate pozitivno očekivanje od 2 dolara, jer ponovo osvajate $10 četiri puta i gubite $30 jednom, za profit od $10. Ovi primjeri pokazuju da je prva opklada loša, a druga dobra.
Matematičko očekivanje je centar svake situacije u igri. Kada kladionica ohrabruje ljubitelje fudbala da se klade na 11 dolara da dobiju 10 dolara, on ima pozitivno očekivanje od 50 centi na svakih 10 dolara. Ako kazino plaća čak i novac sa linije za prolaz u craps, tada će pozitivna očekivanja kazina biti otprilike 1,40 dolara na svakih 100 dolara, jer Ova igra je strukturirana tako da svako ko se kladi na ovu liniju gubi u prosjeku 50,7% i dobije 49,3% ukupnog vremena. Bez sumnje, upravo ovo naizgled minimalno pozitivno očekivanje donosi enormne profite vlasnicima kazina širom svijeta. Kao što je primetio vlasnik kazina Vegas World Bob Stupak, „hiljadita od jednog procenta negativna verovatnoća na dovoljno velikoj udaljenosti će uništiti najbogatiji čovek u svijetu".
Očekivanje kada igrate poker
Igra pokera je najilustrativniji i najilustrativniji primjer sa stanovišta korištenja teorije i svojstava matematičkog očekivanja.
Očekivana vrijednost u pokeru je prosječna korist od određene odluke, pod uslovom da se takva odluka može razmatrati u okviru teorije velikih brojeva i velike udaljenosti. Uspješna poker igra je uvijek prihvatiti poteze sa pozitivnom očekivanom vrijednošću.
Matematičko značenje matematičkog očekivanja prilikom igranja pokera je da se često susrećemo sa slučajnim varijablama prilikom donošenja odluka (ne znamo koje karte ima protivnik u rukama, koje će karte doći u narednim rundama klađenja). Svako od rješenja moramo razmotriti sa stanovišta teorije velikih brojeva, koja kaže da će s dovoljno velikim uzorkom prosječna vrijednost slučajne varijable težiti njenom matematičkom očekivanju.
Među posebnim formulama za izračunavanje matematičkog očekivanja, u pokeru je najprikladnije sljedeće:
Kada igrate poker, očekivana vrijednost se može izračunati i za opklade i za pozive. U prvom slučaju treba uzeti u obzir fold equity, a u drugom sopstvene šanse banke. Kada procjenjujete matematičko očekivanje određenog poteza, trebate imati na umu da fold uvijek ima nulto očekivanje. Stoga će odbacivanje karata uvijek biti isplativija odluka od bilo kojeg negativnog poteza.
Očekivanje vam govori šta možete očekivati (profit ili gubitak) za svaki dolar koji rizikujete. Kazina zarađuju jer matematičko očekivanje svih igara u njima ide u prilog kazinu. Uz dovoljno dugu seriju igara, možete očekivati da će klijent izgubiti novac, budući da su “šanse” u korist kazina. Međutim, profesionalni kazino igrači ograničavaju svoje igre na kratke vremenske periode, slažući na taj način kvote u svoju korist. Isto važi i za investiranje. Ako su vaša očekivanja pozitivna, možete zaraditi više novca tako što ćete napraviti mnogo trgovina u kratkom vremenskom periodu. Očekivanje je vaš procenat profita po pobjedi pomnožen vašim prosječnim profitom, minus vaša vjerovatnoća gubitka pomnožena vašim prosječnim gubitkom.
Poker se takođe može posmatrati sa stanovišta matematičkih očekivanja. Možete pretpostaviti da je određeni potez isplativ, ali u nekim slučajevima možda neće biti najbolji jer je drugi potez isplativiji. Recimo da ste pogodili punu kuću u pokeru sa pet karata. Vaš protivnik se kladi. Znate da ako podignete opkladu, on će odgovoriti. Stoga se čini da je podizanje najbolje taktika. Ali ako podignete opkladu, preostala dva igrača će definitivno odustati. Ali ako zovete, imate puno povjerenje da će druga dva igrača iza vas učiniti isto. Kada podignete svoju opkladu dobijate jednu jedinicu, a kada samo platite dobijate dve. Dakle, pozivanje vam daje veću pozitivnu očekivanu vrijednost i biće najbolja taktika.
Matematička očekivanja takođe mogu dati ideju o tome koje poker taktike su manje isplative, a koje isplativije. Na primjer, ako igrate određenu ruku i mislite da će vaš gubitak u prosjeku iznositi 75 centi uključujući ante, onda biste trebali odigrati tu ruku jer ovo je bolje nego odustati kada je ante $1.
Drugi važan razlog da biste razumjeli suštinu matematičkog očekivanja je da vam ono daje osjećaj mira bez obzira na to da li ste dobili opkladu ili ne: ako ste dobro uložili ili odustali na vrijeme, znat ćete da ste zaradili ili uštedjeli određeni iznos novca koji slabiji igrač nije uspio spasiti. Mnogo je teže odustati ako ste uznemireni jer je vaš protivnik izvukao jaču ruku. Uz sve ovo, novac koji uštedite tako što ne igrate umjesto klađenja dodaje se vašem dobitku za noć ili mjesec.
Samo zapamtite da da ste promijenili ruke, protivnik bi vas pozvao, a kao što ćete vidjeti u članku o Fundamentalnoj teoremi pokera, ovo je samo jedna od vaših prednosti. Trebao bi biti sretan kada se ovo desi. Možete čak naučiti da uživate u gubitku ruke jer znate da bi drugi igrači na vašoj poziciji izgubili mnogo više.
Kao što je objašnjeno u primjeru igre s novčićima na početku, omjer profita po satu povezan je s matematičkim očekivanjem, i ovaj koncept posebno važno za profesionalne igrače. Kada idete da igrate poker, trebali biste mentalno procijeniti koliko možete osvojiti za sat vremena igre. U većini slučajeva morat ćete se osloniti na svoju intuiciju i iskustvo, ali možete koristiti i matematiku. Na primjer, igrate draw lowball i vidite da tri igrača ulažu 10$, a zatim mijenjaju dvije karte, što je vrlo loša taktika, možete shvatiti da svaki put kada ulože 10$ gube oko 2$. Svaki od njih to radi osam puta na sat, što znači da sva trojica gube otprilike 48 dolara po satu. Vi ste jedan od preostala četiri igrača koji su približno jednaki, tako da ova četiri igrača (i vi među njima) moraju podijeliti 48 dolara, pri čemu svaki ostvaruje profit od 12 dolara po satu. Vaše kvote po satu u ovom slučaju su jednostavno jednake vašem udjelu u iznosu novca koji su izgubila tri loša igrača za sat vremena.
Tokom dugog vremenskog perioda, ukupni dobici igrača su zbir njegovih matematičkih očekivanja u pojedinačnim rukama. Što više ruku igrate sa pozitivnim očekivanjima, više dobijate, i obrnuto, što više ruku igrate sa negativnim očekivanjima, više gubite. Kao rezultat toga, trebali biste odabrati igru koja može maksimizirati vaše pozitivno iščekivanje ili negirati vaše negativno iščekivanje tako da možete maksimizirati svoje dobitke po satu.
Pozitivna matematička očekivanja u strategiji igranja
Ako znate brojati karte, možete imati prednost u odnosu na kasino, sve dok vas ne primjete i izbace vas. Kazina vole pijane igrače i ne tolerišu igrače koji broje karte. Prednost će vam omogućiti da s vremenom pobijedite. veći broj puta nego izgubiti. Dobro upravljanje kapital kada koristite kalkulacije očekivane vrijednosti može vam pomoći da izvučete više profita iz vaše prednosti i smanjite svoje gubitke. Bez prednosti, bolje je dati novac u dobrotvorne svrhe. U igri na berzi prednost daje sistem igre koji stvara veći profit od gubitaka, razlika u ceni i provizija. Nikakvo upravljanje novcem ne može spasiti loš sistem igara.
Pozitivno očekivanje se definira kao vrijednost veća od nule. Što je ovaj broj veći, to je statističko očekivanje jače. Ako je vrijednost manja od nule, tada će i matematičko očekivanje biti negativno. Što je veći modul negativne vrijednosti, to je situacija gora. Ako je rezultat nula, onda je čekanje rentabilno. Možete pobijediti samo kada imate pozitivna matematička očekivanja i razuman sistem igre. Igranje po intuiciji vodi do katastrofe.
Matematička očekivanja i trgovanje dionicama
Matematičko očekivanje je prilično rasprostranjen i popularan statistički pokazatelj pri obavljanju berzanskog trgovanja na finansijskim tržištima. Prije svega, ovaj parametar se koristi za analizu uspješnosti trgovanja. Nije teško pretpostaviti da što je ova vrijednost veća, to je više razloga da se trgovina koja se proučava uspješnom smatra. Naravno, analiza rada trgovca ne može se izvršiti samo pomoću ovog parametra. Međutim, izračunata vrijednost, u kombinaciji s drugim metodama procjene kvaliteta rada, može značajno povećati tačnost analize.
Matematičko očekivanje se često izračunava u uslugama praćenja trgovačkih računa, što vam omogućava da brzo procijenite rad na depozitu. Izuzeci uključuju strategije koje koriste neprofitabilne trgovine koje se ne koriste. Trgovac može imati sreće neko vrijeme, pa stoga možda neće biti nikakvih gubitaka u njegovom radu. U ovom slučaju neće se moći voditi samo matematičkim očekivanjima, jer se rizici koji se koriste u radu neće uzeti u obzir.
U tržišnom trgovanju, matematičko očekivanje se najčešće koristi kada se predviđa profitabilnost bilo koje strategije trgovanja ili kada se predviđa prihod trgovca na osnovu statističkih podataka iz njegovog prethodnog trgovanja.
Što se tiče upravljanja novcem, vrlo je važno shvatiti da kada se sklapaju trgovine sa negativnim očekivanjima, ne postoji šema upravljanja novcem koja definitivno može donijeti visok profit. Ako nastavite da igrate na berzi pod ovim uslovima, onda bez obzira na to kako upravljate svojim novcem, izgubićete ceo svoj račun, bez obzira na to koliko je bio veliki u početku.
Ovaj aksiom je istinit ne samo za igre ili trgovine sa negativnim očekivanjima, već je istinit i za igre sa jednakim šansama. Stoga, jedini put kada imate šansu da zaradite na duge staze je ako izvršite trgovinu sa pozitivnom očekivanom vrijednošću.
Razlika između negativnih i pozitivnih očekivanja je razlika između života i smrti. Nije važno koliko su očekivanja pozitivna ili negativna; Bitno je samo da li je pozitivno ili negativno. Stoga, prije nego što razmislite o upravljanju novcem, trebali biste pronaći igru s pozitivnim očekivanjima.
Ako nemate tu igru, onda vas neće spasiti svo upravljanje novcem na svijetu. S druge strane, ako imate pozitivna očekivanja, možete ga, kroz pravilno upravljanje novcem, pretvoriti u funkciju eksponencijalnog rasta. Nije važno koliko su pozitivna očekivanja mala! Drugim riječima, nije važno koliko je profitabilan sistem trgovanja zasnovan na jednom ugovoru. Ako imate sistem koji osvaja 10 USD po ugovoru po trgovini (nakon provizija i klizanja), možete koristiti tehnike upravljanja novcem kako biste ga učinili profitabilnijim od sistema koji u prosjeku iznosi 1000 USD po trgovini (nakon odbitka provizija i klizanja).
Ono što je bitno nije koliko je sistem bio profitabilan, već koliko se sigurno može reći da će sistem pokazati barem minimalnu dobit u budućnosti. Stoga je najvažnija priprema koju trgovac može napraviti je osigurati da će sistem pokazati pozitivnu očekivanu vrijednost u budućnosti.
Da biste imali pozitivnu očekivanu vrijednost u budućnosti, veoma je važno da ne ograničavate stepene slobode vašeg sistema. Ovo se postiže ne samo eliminacijom ili smanjenjem broja parametara koji se optimizuju, već i smanjenjem što većeg broja sistemskih pravila. Svaki parametar koji dodate, svako pravilo koje napravite, svaka mala promjena koju napravite u sistemu smanjuje broj stupnjeva slobode. U idealnom slučaju, morate izgraditi prilično primitivan i jednostavan sistem, koji će dosljedno generirati male profite na gotovo svakom tržištu. Opet, važno je da shvatite da nije važno koliko je sistem profitabilan, sve dok je profitabilan. Novac koji zaradite od trgovanja bit će zarađen kroz efektivno upravljanje novac.
Sistem trgovanja je jednostavno alat koji vam daje pozitivnu očekivanu vrijednost tako da možete koristiti upravljanje novcem. Sistemi koji rade (pokazuju barem minimalne profite) na samo jednom ili nekoliko tržišta, ili imaju različita pravila ili parametre za različita tržišta, najvjerovatnije neće raditi u realnom vremenu dovoljno dugo. Problem kod većine tehnički orijentiranih trgovaca je što troše previše vremena i truda na optimizaciju drugačija pravila i vrijednosti parametara trgovinskog sistema. Ovo daje potpuno suprotne rezultate. Umjesto da trošite energiju i kompjutersko vrijeme na povećanje profita trgovačkog sistema, svoju energiju usmjerite na povećanje nivoa pouzdanosti ostvarivanja minimalnog profita.
Znajući da je upravljanje novcem samo igra brojeva koja zahtijeva korištenje pozitivnih očekivanja, trgovac može prestati tražiti "sveti gral" trgovanja dionicama. Umjesto toga, može početi testirati svoju metodu trgovanja, saznati koliko je ova metoda logična i daje li pozitivna očekivanja. Ispravne metode upravljanje novcem, primijenjeno na bilo koju, čak i vrlo osrednju metodu trgovanja, sam će obaviti ostatak posla.
Da bi svaki trgovac uspio u svom poslu, potrebno je riješiti tri najviše važnih zadataka: . Da bi se osiguralo da broj uspješnih transakcija premašuje neizbježne greške i pogrešne proračune; Postavite svoj sistem trgovanja tako da imate priliku da zarađujete novac što je češće moguće; Ostvarite stabilne pozitivne rezultate iz svog poslovanja.
I ovdje, nama zaposlenim trgovcima, matematičko očekivanje može biti od velike pomoći. Ovaj termin je jedan od ključnih u teoriji vjerovatnoće. Uz njegovu pomoć možete dati prosječnu procjenu neke slučajne vrijednosti. Matematičko očekivanje slučajne varijable slično je centru gravitacije, ako zamislite sve moguće vjerovatnoće kao tačke sa različitim masama.
U odnosu na strategiju trgovanja, matematičko očekivanje dobiti (ili gubitka) najčešće se koristi za procenu njene efikasnosti. Ovaj parametar se definiše kao zbir proizvoda datih nivoa dobiti i gubitka i verovatnoće njihovog nastanka. Na primjer, razvijena strategija trgovanja pretpostavlja da će 37% svih transakcija donijeti profit, a preostali dio - 63% - biti neprofitabilan. Istovremeno, prosječan prihod od uspješne transakcije će biti 7 dolara, a prosječan gubitak 1,4 dolara. Izračunajmo matematičko očekivanje trgovanja koristeći ovaj sistem:
Šta znači ovaj broj? Kaže da ćemo, slijedeći pravila ovog sistema, u prosjeku dobiti 1.708 dolara od svake zatvorene transakcije. Pošto je rezultujuća ocena efikasnosti veća od nule, takav sistem se može koristiti za pravi rad. Ako se, kao rezultat izračuna, matematičko očekivanje pokaže negativnim, onda to već ukazuje na prosječan gubitak i takvo trgovanje će dovesti do propasti.
Iznos dobiti po transakciji može se izraziti i kao relativna vrijednost u obliku %. Na primjer:
– procenat prihoda po 1 transakciji - 5%;
– procenat uspješnog trgovanja - 62%;
– procenat gubitka po 1 transakciji - 3%;
– procenat neuspješnih transakcija - 38%;
Odnosno, prosječna trgovina će donijeti 1,96%.
Moguće je razviti sistem koji će, uprkos prevlasti nerentabilnih trgovina, dati pozitivan rezultat, budući da je MO>0.
Međutim, samo čekanje nije dovoljno. Teško je zaraditi novac ako sistem daje vrlo malo trgovačkih signala. U ovom slučaju, njegova profitabilnost će biti uporediva sa bankarskim kamatama. Neka svaka operacija proizvodi u prosjeku samo 0,5 dolara, ali šta ako sistem uključuje 1000 operacija godišnje? To će biti veoma značajan iznos u relativno kratkom vremenu. Iz ovoga logično slijedi da se može razmotriti još jedna karakteristična karakteristika dobrog trgovačkog sistema kratkoročno držeći položaje.
Izvori i linkovi
dic.academic.ru – akademski online rječnik
mathematics.ru – obrazovna web stranica iz matematike
nsu.ru – obrazovna web stranica Novosibirska državni univerzitet
webmath.ru – edukativni portal za studente, kandidate i školarce.
exponenta.ru obrazovna matematička web stranica
ru.tradimo.com – besplatna škola online trgovanja
crypto.hut2.ru – multidisciplinarno informacioni resurs
poker-wiki.ru – besplatna enciklopedija pokera
sernam.ru – Naučna biblioteka odabrane prirodnonaučne publikacije
reshim.su – web stranica MI ĆEMO RIJEŠITI probleme sa testom
unfx.ru – Forex na UNFX: obuka, trgovački signali, upravljanje povjerenjem
slovopedia.com – Velika enciklopedijski rječnik Slovopedia
pokermansion.3dn.ru – Vaš vodič u svijetu pokera
statanaliz.info – informativni blog “Statistička analiza podataka”
forex-trader.rf – Forex-Trader portal
megafx.ru – trenutna Forex analitika
fx-by.com – sve za trgovca
