Trigonometrijske formule za dvostruke uglove. Kupite diplomu visokog obrazovanja jeftino

Formule za sabiranje vam omogućavaju da izrazite sin(2*a), cos(2*a) i tan(a) kroz trigonometrijske funkcije ugla a.

1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

2. sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b).

3. tg(a+b) = (tg(a) +tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

Stavimo a = b u ove formule. Kao rezultat, dobijamo sljedeće identitete:

1. sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a).

2. cos(2*a) = (cos(a)) 2 - (sin(a)) 2 .

3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a)) 2).

Ovi identiteti se nazivaju formule dvostrukog ugla. Pogledajmo nekoliko primjera korištenja formula dvostrukog ugla.

Primjer 1. Pronađite vrijednost sin(2*a), znajući da je cos(a) = -0,8 i a je treći četvrtinski ugao. Rješenje:

Prvo izračunajmo sin(a). Pošto je ugao a treća četvrtina, sinus u trećoj četvrtini će biti negativan:

sin(a) = -v(1-(cos(a)) 2) = -v(1-0,64) = -v0,36 = -0,6.

Koristeći formulu sinusa dvostrukog ugla imamo:

sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0,6)*(-0,8) = 0,96 .

Odgovor: sin(2*a) = 0,96.

Primjer 2. Pojednostavite izraz sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a). Rješenje:

Uzmimo sin(a)*cos(a) iz zagrada. dobijamo:

sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = sin(a)*cos(a)*(cos(a)) 2 - (sin(a)) 2).

Sada upotrijebimo formule dvostrukog ugla:

= (1/2)*(2*sin(a)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*sin(2*a)*sin(2*a) = (1 /4)*sin(4*a).

Odgovor: sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = (1/4)*sin(4*a).

Koristeći formule dvostrukog ugla možete dobiti sljedeće izraze

1 - cos(2*a) = 2*(sin(a)) 2 ,

1 + cos(2*a) = 2*(cos(a)) 2 .

Ponekad je prilikom rješavanja primjera vrlo zgodno koristiti ove formule. Razmotrite sljedeći primjer:

Primjer 3. Pojednostavite izraz (1-cos(a))/(1+cos(a)). Rješenje:

Primijenimo gore napisane formule za izraze (1-cos(a)) i (1+cos(a)). Da bismo to učinili, prvo predstavimo ugao a u obliku sljedećeg proizvoda 2*(a/2).

Kao rezultat transformacija dobijamo:

(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2),

Koristeći definiciju tangente imamo:

(2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2)= (tg(a/2)) 2 .

Odgovor: (1-cos(a))/(1+cos(a))= (tg(a/2)) 2 .

Najčešća pitanja

Da li je moguće napraviti pečat na dokumentu prema datom uzorku? Odgovori Da, moguće je. Pošaljite skeniranu kopiju ili fotografiju na našu email adresu dobar kvalitet, a mi ćemo napraviti potreban duplikat.

Koje vrste plaćanja prihvatate? Odgovori Dokument možete platiti po prijemu od strane kurira, nakon provjere ispravnosti popune i kvaliteta izrade diplome. To se može učiniti i u kancelarijama poštanskih kompanija koje nude usluge pouzeća.
Svi uslovi isporuke i plaćanja dokumenata opisani su u odjeljku „Plaćanje i dostava“. Spremni smo da saslušamo i Vaše sugestije u vezi sa uslovima isporuke i plaćanja dokumenta.

Mogu li biti siguran da nakon narudžbe nećete nestati s mojim novcem? Odgovori Imamo dosta dugo iskustvo u oblasti izrade diploma. Imamo nekoliko web stranica koje se stalno ažuriraju. Naši stručnjaci rade u različitim dijelovima zemlje, izrađujući preko 10 dokumenata dnevno. Tokom godina, naši dokumenti su pomogli mnogim ljudima da riješe probleme zapošljavanja ili pređu na više visoko plaćen posao. Stekli smo povjerenje i priznanje među klijentima, tako da nema apsolutno nikakvog razloga da to radimo. Štoviše, to je jednostavno nemoguće učiniti fizički: narudžbu plaćate u trenutku kada je dobijete u ruke, nema plaćanja unaprijed.

Mogu li naručiti diplomu sa bilo kojeg univerziteta? Odgovori Generalno, da. U ovoj oblasti radimo skoro 12 godina. Za to vrijeme formirana je gotovo potpuna baza dokumenata izdatih sa gotovo svih univerziteta u zemlji i šire. različite godine izdavanje. Sve što trebate je odabrati fakultet, specijalnost, dokument i popuniti obrazac za narudžbu.

Šta učiniti ako nađete greške u kucanju i greške u dokumentu? Odgovori Prilikom primanja dokumenta od naše kurirske ili poštanske kompanije, preporučujemo da pažljivo provjerite sve detalje. Ako se pronađe greška u kucanju, greška ili netačnost, imate pravo da ne podignete diplomu, ali morate lično navesti uočene nedostatke kuriru ili pismeno slanjem pisma na adresu email.
IN što je pre moguće Ispravićemo dokument i ponovo ga poslati na navedenu adresu. Naravno, dostavu će platiti naša kompanija.
Kako bismo izbjegli ovakve nesporazume, prije popunjavanja originalnog obrasca, e-mailom šaljemo kupcu maketu budućeg dokumenta na provjeru i odobrenje konačne verzije. Prije slanja dokumenta kurirskom službom ili poštom, snimamo i dodatne fotografije i video zapise (uključujući ultraljubičasto svjetlo) kako biste imali jasnu predstavu šta ćete na kraju dobiti.

Šta da uradim da naručim diplomu od vaše kompanije? Odgovori Da biste naručili dokument (sertifikat, diplomu, akademsko uvjerenje, itd.), morate popuniti online formular za narudžbu na našoj web stranici ili navesti svoj e-mail kako bismo vam mogli poslati obrazac za prijavu, koji morate popuniti i poslati nazad nama.
Ako ne znate šta da naznačite u bilo kojem polju narudžbenice/upitnika, ostavite ih praznim. Sve informacije koje nedostaju Stoga ćemo to razjasniti telefonom.

Najnovije recenzije

Torywild:

Odlučio sam da kupim diplomu vaše firme kada sam se preselio u drugi grad i nisam mogao da nađem svoju diplomu među svojim stvarima. Bez njega me ne bi zaposlili za dobar, dobro plaćen posao. Vaš konsultant me je u to uverio ove informacije se ne otkriva i niko neće razlikovati dokument od originala. Nije bilo sumnje, ali morao sam da rizikujem. Svidjelo mi se što nije potrebno plaćanje unaprijed. Generalno, diplomu sam dobio na vrijeme i nisam se prevario. Hvala vam!

Oksana Ivanovna:

Kada su mi ukrali diplomu, bio sam užasno uznemiren. Na kraju krajeva, upravo sam tada dobio otkaz, ali sada ih mogu naći dobar posao bez diplome visoko obrazovanje gotovo nemoguće. Srećom, komšija je predložila da kontaktirate vašu organizaciju. U početku sam bio skeptičan, ali sam odlučio da rizikujem. Pozvao sam direktora kompanije i objasnio mi svoju situaciju. I ja imam sreće! Sve su uradili brzo, a što je najvažnije, obećali su da neće odati moju tajnu. Brinuo sam se da činjenica da sam kupio diplomu neće izaći kasnije.

Maša Kutenkova:

Hvala na radu! Naručio sam diplomu iz 1991. godine. Kada su počeli da podižu dokumente, pokazalo se da ima malo iskustva, a potreban im je i papir koji potvrđuje školovanje. Nisam ga imao, a šefica je to znala, a i sama je preporučila vašu kompaniju (izgleda, nisam ništa kao zaposlenik). Na dokumentu mi je istakla detalje - tipa, u kojim godinama koriste mastilo ili mastilo, debljinu potpisa itd. Hvala na pedantnosti i kvalitetu!

LenOK:

Nakon što sam pročitao priče o sramnim otpuštanjima zaposlenih čije su diplome štampane na štampaču u boji, otišao sam da se prijavim na fakultet. Avaj, nema budžeta, nema novca za učenje i novca za plaćanje sesija, pa sam morao da rizikujem. Iako mi je jako drago što sam upoznao vaše društvo. Iako nisam primljen sa vašom diplomom zbog neuspjeha na praktičnom bloku, niste vi krivi. Čim nađem novo mjesto, doći ću pravo k vama, bez odlaganja!

Jerry Terry:

Gledajući s kakvom sramotom je moj kolega izbačen s posla zbog lažne diplome, bilo je strašno slijediti njegov primjer. Da nije bilo kume koja je naručila od vas, ne bih rizikovao. Uvjerila je da je ovdje sve glatko i da će moje ime biti svuda gdje je potrebno. Imao sam 4 dana da sve uradim. Hvala vam na brzini - završili smo to za 3, a uspjeli smo i pomno proučiti metode falsifikovanja dokumenata, ali vaš obrazac se ne kvalifikuje kao lažan, što znači da će proći za original.

Andrej:

Nikada ne bih pomislio da ću morati da kupim diplomu. Nakon škole, moja ćerka je otišla u Poljsku da radi, kada se vratila nakon 5 godina, želela je da se zaposli kao dizajner odeće u lokalnoj modnoj kući. Bez diplome niko nije hteo da je zaposli. Shvatio je da će, ako ne dobije ovaj posao, ponovo otići. Veče sam proveo surfajući internetom, a ujutro sam već bio u kancelariji sa dokumentima moje ćerke. Nedelju dana kasnije sa njom je odneo i diplomu, a ona je konačno ostala da radi u svom gradu na željenoj poziciji. Nemate pojma koliko sam vam zahvalan!

Najčešća pitanja

Da li je moguće napraviti pečat na dokumentu prema datom uzorku? Odgovori Da, moguće je. Pošaljite skeniranu kopiju ili kvalitetnu fotografiju na našu email adresu, a mi ćemo napraviti potreban duplikat.

Koje vrste plaćanja prihvatate? Odgovori Dokument možete platiti po prijemu od strane kurira, nakon provjere ispravnosti popune i kvaliteta izrade diplome. To se može učiniti i u kancelarijama poštanskih kompanija koje nude usluge pouzeća.
Svi uslovi isporuke i plaćanja dokumenata opisani su u odjeljku „Plaćanje i dostava“. Spremni smo da saslušamo i Vaše sugestije u vezi sa uslovima isporuke i plaćanja dokumenta.

Mogu li biti siguran da nakon narudžbe nećete nestati s mojim novcem? Odgovori Imamo dosta dugo iskustvo u oblasti izrade diploma. Imamo nekoliko web stranica koje se stalno ažuriraju. Naši stručnjaci rade u različitim dijelovima zemlje, izrađujući preko 10 dokumenata dnevno. Tokom godina, naši dokumenti su pomogli mnogim ljudima da riješe probleme sa zapošljavanjem ili pređu na bolje plaćene poslove. Stekli smo povjerenje i priznanje među klijentima, tako da nema apsolutno nikakvog razloga da to radimo. Štoviše, to je jednostavno nemoguće učiniti fizički: narudžbu plaćate čim je dobijete u ruke, nema plaćanja unaprijed.

Mogu li naručiti diplomu sa bilo kojeg univerziteta? Odgovori Generalno, da. U ovoj oblasti radimo skoro 12 godina. Za to vrijeme formirana je gotovo potpuna baza dokumenata izdatih sa gotovo svih univerziteta u zemlji i za različite godine izdavanja. Sve što trebate je odabrati fakultet, specijalnost, dokument i popuniti obrazac za narudžbu.

Šta učiniti ako nađete greške u kucanju i greške u dokumentu? Odgovori Prilikom primanja dokumenta od naše kurirske ili poštanske kompanije, preporučujemo da pažljivo provjerite sve detalje. Ako se otkrije greška u kucanju, greška ili netačnost, imate pravo da ne preuzmete diplomu, ali uočene nedostatke morate navesti lično kuriru ili pisanim putem slanjem e-maila.
Ispravićemo dokument u najkraćem mogućem roku i ponovo ga poslati na navedenu adresu. Naravno, dostavu će platiti naša kompanija.
Kako bismo izbjegli ovakve nesporazume, prije popunjavanja originalnog obrasca, e-mailom šaljemo kupcu maketu budućeg dokumenta na provjeru i odobrenje konačne verzije. Prije slanja dokumenta kurirskom službom ili poštom, snimamo i dodatne fotografije i video zapise (uključujući ultraljubičasto svjetlo) kako biste imali jasnu predstavu šta ćete na kraju dobiti.

Šta da uradim da naručim diplomu od vaše kompanije? Odgovori Da biste naručili dokument (sertifikat, diplomu, akademsko uvjerenje, itd.), morate popuniti online formular za narudžbu na našoj web stranici ili navesti svoj e-mail kako bismo vam mogli poslati obrazac za prijavu, koji morate popuniti i poslati nazad nama.
Ako ne znate šta da naznačite u bilo kojem polju narudžbenice/upitnika, ostavite ih praznim. Stoga ćemo sve informacije koje nedostaju razjasniti telefonom.

Najnovije recenzije

Torywild:

Odlučio sam da kupim diplomu vaše firme kada sam se preselio u drugi grad i nisam mogao da nađem svoju diplomu među svojim stvarima. Bez njega me ne bi zaposlili za dobar, dobro plaćen posao. Vaš konsultant me je uvjerio da ove informacije nisu otkrivene i da niko neće razlikovati dokument od originala. Nije bilo sumnje, ali morao sam da rizikujem. Svidjelo mi se što nije potrebno plaćanje unaprijed. Generalno, diplomu sam dobio na vrijeme i nisam se prevario. Hvala vam!

Oksana Ivanovna:

Kada su mi ukrali diplomu, bio sam užasno uznemiren. Uostalom, upravo sam u to vrijeme dobio otkaz, a sada je gotovo nemoguće naći dobar posao bez diplome visokog obrazovanja. Srećom, komšija je predložila da kontaktirate vašu organizaciju. U početku sam bio skeptičan, ali sam odlučio da rizikujem. Pozvao sam direktora kompanije i objasnio mi svoju situaciju. I ja imam sreće! Sve su uradili brzo, a što je najvažnije, obećali su da neće odati moju tajnu. Brinuo sam se da činjenica da sam kupio diplomu neće izaći kasnije.

Maša Kutenkova:

Hvala na radu! Naručio sam diplomu iz 1991. godine. Kada su počeli da podižu dokumente, pokazalo se da ima malo iskustva, a potreban im je i papir koji potvrđuje školovanje. Nisam ga imao, a šefica je to znala, a i sama je preporučila vašu kompaniju (izgleda, nisam ništa kao zaposlenik). Na dokumentu mi je istakla detalje - tipa, u kojim godinama koriste mastilo ili mastilo, debljinu potpisa itd. Hvala na pedantnosti i kvalitetu!

LenOK:

Nakon što sam pročitao priče o sramnim otpuštanjima zaposlenih čije su diplome štampane na štampaču u boji, otišao sam da se prijavim na fakultet. Avaj, nema budžeta, nema novca za učenje i novca za plaćanje sesija, pa sam morao da rizikujem. Iako mi je jako drago što sam upoznao vaše društvo. Iako nisam primljen sa vašom diplomom zbog neuspjeha na praktičnom bloku, niste vi krivi. Čim nađem novo mjesto, doći ću pravo k vama, bez odlaganja!

Jerry Terry:

Gledajući s kakvom sramotom je moj kolega izbačen s posla zbog lažne diplome, bilo je strašno slijediti njegov primjer. Da nije bilo kume koja je naručila od vas, ne bih rizikovao. Uvjerila je da je ovdje sve glatko i da će moje ime biti svuda gdje je potrebno. Imao sam 4 dana da sve uradim. Hvala vam na brzini - završili smo to za 3, a uspjeli smo i pomno proučiti metode falsifikovanja dokumenata, ali vaš obrazac se ne kvalifikuje kao lažan, što znači da će proći za original.

Andrej:

Nikada ne bih pomislio da ću morati da kupim diplomu. Nakon škole, moja ćerka je otišla u Poljsku da radi, kada se vratila nakon 5 godina, želela je da se zaposli kao dizajner odeće u lokalnoj modnoj kući. Bez diplome niko nije hteo da je zaposli. Shvatio je da će, ako ne dobije ovaj posao, ponovo otići. Veče sam proveo surfajući internetom, a ujutro sam već bio u kancelariji sa dokumentima moje ćerke. Nedelju dana kasnije sa njom je odneo i diplomu, a ona je konačno ostala da radi u svom gradu na željenoj poziciji. Nemate pojma koliko sam vam zahvalan!

– sigurno će biti zadataka iz trigonometrije. Trigonometrija se često ne voli jer zahtijeva nabijanje ogromna količina teške formule, vrve od sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa. Stranica je već jednom dala savjete kako zapamtiti zaboravljenu formulu, koristeći primjer Eulerove i Peel formule.

I u ovom članku ćemo pokušati pokazati da je dovoljno čvrsto znati samo pet najjednostavnijih trigonometrijske formule, a o ostalom imaju opšta ideja i iznesite ih dok idete. To je kao sa DNK: nije pohranjena u molekulu. kompletni crteži gotovo živo biće. Umjesto toga, sadrži upute za sastavljanje od dostupnih aminokiselina. Dakle, u trigonometriji, poznavanje nekih opšti principi, sve potrebne formule ćemo dobiti iz malog skupa onih koje moramo imati na umu.

Oslanjaćemo se na sledeće formule:

Iz formula za sinusne i kosinusne sume, znajući za parnost kosinusne funkcije i neparnosti sinusne funkcije, zamjenjujući -b umjesto b, dobijamo formule za razlike:

1. Sinus razlike: grijeh(a-b) = grijehacos(-b)+cosagrijeh(-b) = grijehacosb-cosagrijehb
2. Kosinus razlike: cos(a-b) = cosacos(-b)-grijehagrijeh(-b) = cosacosb+grijehagrijehb

Stavljajući a = b u iste formule, dobijamo formule za sinus i kosinus dvostrukih uglova:

1. Sinus dvostrukog ugla: grijeh2a = grijeh(a+a) = grijehacosa+cosagrijeha = 2grijehacosa
2. Kosinus dvostrukog ugla: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-grijehagrijeha = cos2 a-grijeh2 a

Formule za druge višestruke uglove dobivaju se na sličan način:

1. Sinus trostrukog ugla: grijeh3a = grijeh(2a+a) = grijeh2acosa+cos2agrijeha = (2grijehacosa)cosa+(cos2 a-grijeh2 a)grijeha = 2grijehacos2 a+grijehacos2 a-grijeh 3 a = 3 grijehacos2 a-grijeh 3 a = 3 grijeha(1-grijeh2 a)-grijeh 3 a = 3 grijeha-4grijeh 3a
2. Kosinus trostrukog ugla: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-grijeh2agrijeha = (cos2 a-grijeh2 a)cosa-(2grijehacosa)grijeha = cos 3 a- grijeh2 acosa-2grijeh2 acosa = cos 3 a-3 grijeh2 acosa = cos 3 a-3(1- cos2 a)cosa = 4cos 3 a-3 cosa

Prije nego krenemo dalje, pogledajmo jedan problem.
Dato: ugao je oštar.
Pronađite njegov kosinus ako
Rješenje koje je dao jedan učenik:
Jer , To grijeha= 3,a cosa = 4.
(Iz matematičkog humora)

Dakle, definicija tangente ovu funkciju povezuje i sa sinusom i sa kosinusom. Ali možete dobiti formulu koja povezuje tangentu samo sa kosinusom. Da bismo ga izveli, uzimamo glavni trigonometrijski identitet: grijeh 2 a+cos 2 a= 1 i podijelite ga sa cos 2 a. dobijamo:

Dakle, rješenje ovog problema bi bilo:

(Budući da je ugao oštar, prilikom vađenja korena uzima se znak +)

Formula za tangens zbroja je još jedna formula koju je teško zapamtiti. Hajde da to izbacimo ovako:

Odmah prikazano i

Iz kosinusne formule za dvostruki ugao možete dobiti formule sinusa i kosinusa za pola ugla. Da biste to učinili, primijenite na lijevu stranu formule kosinusa dvostrukog ugla:
cos2 a = cos 2 a-grijeh 2 a
dodajemo jednu, a desno - trigonometrijsku jedinicu, tj. zbir kvadrata sinusa i kosinusa.
cos2a+1 = cos2 a-grijeh2 a+cos2 a+grijeh2 a
2cos 2 a = cos2 a+1
Izražavanje cosa kroz cos2 a i promjenom varijabli dobijamo:

Znak se uzima u zavisnosti od kvadranta.

Slično, oduzimanjem jedan od lijeve strane jednakosti i zbira kvadrata sinusa i kosinusa s desne, dobivamo:
cos2a-1 = cos2 a-grijeh2 a-cos2 a-grijeh2 a
2grijeh 2 a = 1-cos2 a

I na kraju, pretvoriti iznos trigonometrijske funkcije u rad, koristimo sljedeći termin. Recimo da trebamo predstaviti zbir sinusa kao proizvod grijeha+grijehb. Hajde da uvedemo varijable x i y tako da je a = x+y, b+x-y. Onda
grijeha+grijehb = grijeh(x+y)+ grijeh(x-y) = grijeh x cos y+ cos x grijeh y+ grijeh x cos y- cos x grijeh y=2 grijeh x cos y. Izrazimo sada x i y u terminima a i b.

Budući da je a = x+y, b = x-y, onda . Zato

Možete se odmah povući

1. Formula za particionisanje produkti sinusa i kosinusa V iznos: grijehacosb = 0.5(grijeh(a+b)+grijeh(a-b))

Preporučujemo da sami vježbate i izvodite formule za pretvaranje razlike sinusa i zbira i razlike kosinusa u proizvod, kao i za dijeljenje proizvoda sinusa i kosinusa u zbir. Nakon što ste završili ove vježbe, temeljito ćete savladati vještinu izvođenja trigonometrijskih formula i nećete se izgubiti ni na najtežem testu, olimpijadi ili testiranju.