Definicija. Neka je funkcija f(x) definirana na nekom intervalu i neka je x 0 tačka u tom intervalu. Ako je , tada se kaže da je f(x) kontinuiran u tački x 0 .
Iz definicije proizilazi da se o kontinuitetu može govoriti samo u odnosu na one tačke u kojima je f(x) definisan (prilikom definisanja granice funkcije takav uslov nije postavljen). Za kontinuirane funkcije , odnosno operacije f i lim su promjenjive. U skladu s tim, dvije definicije granice funkcije u tački mogu se dati dvije definicije kontinuiteta - "na jeziku nizova" i "na jeziku nejednakosti" (na jeziku ε-δ). Predlaže se da to uradite sami.
Za praktičnu upotrebu, ponekad je zgodnije definisati kontinuitet u jeziku inkremenata.
Vrijednost Δx=x-x 0 naziva se inkrement argumenta, a Δy=f(x)-f(x 0) je prirast funkcije pri pomicanju od tačke x 0 do tačke x.
Definicija. Neka je f(x) definirana u tački x 0 . Funkcija f(x) se naziva kontinuiranom u tački x 0 ako beskonačno mali prirast argumenta u ovoj tački odgovara beskonačno malom inkrementu funkcije, to jest, Δy→0 za Δx→0.

Primjer 1. Dokažite da je funkcija y=sinx kontinuirana za bilo koju vrijednost x.
Rješenje. Neka je x 0 proizvoljna tačka. Dajući mu prirast Δx, dobijamo tačku x=x 0 +Δx. Onda . Dobijamo .
Definicija. Funkcija y=f(x) naziva se kontinuiranom u tački x 0 desno (lijevo) ako
.
Funkcija kontinuirana u unutrašnjoj točki bit će kontinuirana i desno i lijevo. Obratno je također istinito: ako je funkcija kontinuirana u tački lijevo i desno, tada će biti kontinuirana u toj tački. Međutim, funkcija može biti kontinuirana samo na jednoj strani. Na primjer, za , , f(1)=1, prema tome, ova funkcija je kontinuirana samo na lijevoj strani (za grafik ove funkcije, vidi paragraf 5.7.2 iznad).
Definicija. Funkcija se naziva kontinuiranom na nekom intervalu ako je kontinuirana u svakoj tački tog intervala.
Konkretno, ako je interval segment, onda se na njegovim krajevima podrazumijeva jednostrani kontinuitet.

Svojstva kontinuiranih funkcija

1. Sve elementarne funkcije su kontinuirane u svom domenu definicije.
2. Ako su f(x) i φ(x), dati na određenom intervalu, kontinuirani u tački x 0 ovog intervala, tada će funkcije također biti kontinuirane u ovoj tački.
3. Ako je y=f(x) kontinuirano u tački x 0 iz X, a z=φ(y) je kontinuirano u odgovarajućoj tački y 0 =f(x 0) iz Y, tada složena funkcija z=φ(f(x)) će biti kontinuiran u tački x 0 .

Prekidi funkcija i njihova klasifikacija

Znak kontinuiteta funkcije f(x) u tački x 0 je jednakost, što implicira prisustvo tri uslova:
1) f(x) je definisan u tački x 0 ;
2) ;
3) .
Ako je barem jedan od ovih zahtjeva prekršen, tada se x 0 naziva tačka prekida funkcije. Drugim riječima, tačka prekida je tačka u kojoj ova funkcija nije kontinuirana. Iz definicije tačaka prekida proizilazi da su tačke prekida funkcije:
a) tačke koje pripadaju domeni definicije funkcije u kojoj f(x) gubi svojstvo kontinuiteta,
b) tačke koje ne pripadaju domenu definicije f(x), a koje su susedne tačke dva intervala domena definicije funkcije.
Na primjer, za funkciju, tačka x=0 je tačka prekida, pošto funkcija u ovoj tački nije definisana, a funkcija ima diskontinuitet u tački x=1, koja je susedna sa dva intervala (-∞,1) i (1,∞) domena definicije f(x) i ne postoji.

Sljedeća klasifikacija je usvojena za tačke prekida.
1) Ako u tački x 0 postoje konačni I , ali f(x 0 +0)≠f(x 0 -0), tada se x 0 naziva tačka diskontinuiteta prve vrste , i zove se funkcija skok .

Primjer 2. Razmotrite funkciju
Funkcija se može prekinuti samo u tački x=2 (u ostalim tačkama je kontinuirana kao i svaki polinom).
Naći ćemo , . Pošto su jednostrane granice konačne, ali nisu jedna drugoj, onda u tački x=2 funkcija ima diskontinuitet prve vrste. primeti, to , stoga je funkcija u ovoj tački kontinuirana na desnoj strani (slika 2).
2) Tačke diskontinuiteta druge vrste nazivaju se tačke u kojima je barem jedna od jednostranih granica jednaka ∞ ili ne postoji.

Primjer 3. Funkcija y=2 1/ x je kontinuirana za sve vrijednosti x osim x=0. Nađimo jednostrane granice: , , pa je x=0 tačka diskontinuiteta druge vrste (slika 3).
3) Tačka x=x 0 se poziva uklonjiva tačka prekida , ako je f(x 0 +0)=f(x 0 -0)≠f(x 0).
“Uklonit ćemo” jaz u smislu da je dovoljno promijeniti (redefinirati ili redefinirati) vrijednost funkcije u ovoj tački postavljanjem , a funkcija će postati kontinuirana u tački x 0 .
Primjer 4. To je poznato , a ova granica ne zavisi od načina na koji x teži nuli. Ali funkcija u tački x=0 nije definirana. Ako redefiniramo funkciju postavljanjem f(0)=1, ispada da je u ovoj tački kontinuirana (u drugim tačkama je kontinuirana kao kvocijent kontinuiranih funkcija sinx i x).
Primjer 5. Ispitati kontinuitet funkcije .
Rješenje. Funkcije y=x 3 i y=2x su svuda definirane i kontinuirane, uključujući i naznačene intervale. Hajde da ispitamo tačku spajanja intervala x=0:
, , . Dobijamo da je , što implicira da je u tački x=0 funkcija kontinuirana.
Definicija. Funkcija koja je kontinuirana na intervalu osim za konačan broj točaka diskontinuiteta prve vrste ili uklonjivog diskontinuiteta naziva se komadično kontinuiranom na ovom intervalu.

Primjeri diskontinuiranih funkcija

Primjer 1. Funkcija je definirana i kontinuirana na (-∞,+∞) osim u tački x=2. Odredimo vrstu pauze. Zbog I , tada u tački x=2 postoji diskontinuitet druge vrste (slika 6).
Primjer 2. Funkcija je definirana i kontinuirana za sve x osim x=0, gdje je nazivnik nula. Nađimo jednostrane granice u tački x=0:
Jednostrane granice su konačne i različite, pa je x=0 tačka diskontinuiteta prve vrste (slika 7).
Primjer 3. Odredite u kojim tačkama i kakve diskontinuitete ima funkcija
Ova funkcija je definirana na [-2,2]. Kako su x 2 i 1/x kontinuirani u intervalima [-2,0] i , respektivno, diskontinuitet može nastati samo na spoju intervala, odnosno u tački x=0. Budući da je , tada je x=0 tačka diskontinuiteta druge vrste.

Primjer 4. Da li je moguće eliminirati funkcionalne praznine:
A) u tački x=2;
b) u tački x=2;
V) u tački x=1?
Rješenje. Za primjer a) možemo odmah reći da se diskontinuitet f(x) u tački x=2 ne može eliminirati, jer u ovoj tački postoje beskonačne jednostrane granice (vidi primjer 1).
b) Funkcija g(x) iako ima konačne jednostrane granice u tački x=2

(,),

ali se ne poklapaju, pa se ni jaz ne može eliminisati.
c) Funkcija φ(x) u tački diskontinuiteta x=1 ima jednake jednostrane konačne granice: . Stoga se jaz može eliminisati redefiniranjem funkcije na x=1 stavljanjem f(1)=1 umjesto f(1)=2.

Primjer 5. Pokažite da je Dirichletova funkcija

diskontinuiran u svakoj tački na numeričkoj osi.
Rješenje. Neka je x 0 bilo koja tačka iz (-∞,+∞). U svakom njegovom susjedstvu postoje i racionalne i iracionalne točke. To znači da će u bilo kojoj okolini x 0 funkcija imati vrijednosti jednake 0 i 1. U ovom slučaju ne može postojati granica funkcije u tački x 0 ni lijevo ni desno, što znači da Dirichletova funkcija ima diskontinuitete druge vrste u svakoj tački na realnoj osi.

Primjer 6. Pronađite tačke prekida funkcije

i odrediti njihov tip.
Rješenje. Tačke za koje se sumnja da su lomljene su tačke x 1 =2, x 2 =5, x 3 =3.
U tački x 1 =2 f(x) ima diskontinuitet druge vrste, budući da
.
Tačka x 2 =5 je tačka kontinuiteta, jer je vrijednost funkcije u ovoj tački iu njenoj blizini određena drugom linijom, a ne prvom: .
Hajde da ispitamo tačku x 3 =3: , , iz čega slijedi da je x=3 diskontinuitetna tačka prve vrste.

Za nezavisna odluka.
Ispitati funkcije za kontinuitet i odrediti tip točaka diskontinuiteta:
1) ; Odgovor: x=-1 – tačka uklonjivog diskontinuiteta;
2) ; Odgovor: Diskontinuitet druge vrste u tački x=8;
3) ; Odgovor: Diskontinuitet prve vrste na x=1;
4)
Odgovor: U tački x 1 =-5 postoji praznina koja se može ukloniti, u x 2 =1 je praznina druge vrste i u tački x 3 =0 je praznina prve vrste.
5) Kako treba izabrati broj A da bi funkcija

bi bio kontinuiran na x=0?
Odgovor: A=2.
6) Da li je moguće izabrati broj A tako da funkcija

bi bio kontinuiran na x=2?
Odgovor: ne.

Kontinuitet funkcije u tački. Funkcija y = f(x ) se naziva nepre-

trzaj u tački x 0 ako:

1) ova funkcija je definirana u nekom susjedstvu tačke x 0 ;

2) postoji ograničenje lim f(x);

→ x 0

3) ovu granicu jednaka vrijednosti funkcije u tački x 0, tj. limf (x )= f (x 0 ) .
		x→ x0
Poslednji uslov je ekvivalentan uslovu lim		y = 0, gdje je x = x − x 0 – kada
	x→ 0
rotacija argumenta, y = f (x 0 +	x )− f (x 0 ) – prirast funkcije, odgovarajući
povećavajući argument	x, tj. funkcija	f(x) je kontinuiran na x 0

ako i samo ako u ovoj tački beskonačno mali prirast argumenta odgovara beskonačno malom inkrementu funkcije.

Jednosmjerni kontinuitet. Funkcija y = f (x) naziva se kontinuirana

lijevo u tački x 0 ako je definirana na nekom poluintervalu (a ;x 0 ]

i lim f (x)= f (x 0).

x→ x0 − 0

Za funkciju y = f (x) se kaže da je udesno kontinuirana u tački x 0 ako je op-

je raspoređen na određenom poluintervalu [ x 0 ;a ) i limf (x )= f (x 0 ) .

x→ x0 + 0

Funkcija y = f(x)		kontinuirano u tački x 0			tada i samo kada ona
kontinuirano
lim f (x)= limf (x)= limf (x)= f (x 0).
x→ x0 + 0	x→ x0 − 0	x→ x0

Kontinuitet funkcije na skupu. Poziva se funkcija y = f (x).

kontinuirano na setu X ako je kontinuirano u svakoj tački ovog skupa. Štaviše, ako je funkcija definirana na kraju određenog intervala numeričke ose, tada se kontinuitet u ovoj tački podrazumijeva kao kontinuitet s desne ili lijeve strane. Konkretno, funkcija y = f (x) se naziva ne-

diskontinuirano na segmentu [a; b] ako ona

1) kontinuirano u svakoj tački intervala(a;b) ;

2) je pravo kontinuirano u tački a ;

3) je ostavljena kontinuirano u tački b.

Tačke prekida funkcije. Tačka x 0 koja pripada domeni definicije funkcije y = f (x) ili je granična tačka ovog domena naziva se

tačka prekida ove funkcije, iff(x) nije kontinuirano u toj tački.

Tačke diskontinuiteta se dijele na tačke diskontinuiteta prve i druge vrste:

1) Ako postoje konačne granice lim f (x )= f (x 0 − 0) i

x→ x0 − 0

	f (x)= f (x 0 + 0), a nisu sva tri broja f (x 0 − 0), f (x 0 + 0),		f (x 0 ) su jednaki
x→ x0 + 0
između sebe, tada je x 0		naziva se tačka diskontinuiteta prve vrste.
	Konkretno, ako su lijeva i desna granica funkcije u tački x 0		jednaka između
	sebe, ali	nisu jednake vrijednosti funkcije u ovom trenutku:

f (x0 − 0) = f(x0 + 0) = A≠ f(x0 ) , tada se x 0 naziva uklonjiva tačka diskontinuiteta.

U ovom slučaju, postavljanjem f (x 0 )= A, možete modificirati funkciju u tački x 0

tako da postane kontinuiran ( redefinirati funkciju kontinuitetom). Razlika f (x 0 + 0)− f (x 0 − 0) se naziva skok funkcije u tački x 0 .

Skok funkcije na tački diskontinuiteta koja se može ukloniti je nula.

2) Tačke diskontinuiteta koje nisu tačke diskontinuiteta prve vrste nazivaju se prelomne tačke druge vrste. U tačkama diskontinuiteta druge vrste, barem jedna od jednostranih granica f (x 0 − 0) i f (x 0 + 0) ne postoji ili je beskonačna.

Svojstva funkcija kontinuiranih u tački.

		f(x)	i g (x) su neprekidne u tački x 0, tada su funkcije
f(x)±g(x),	f(x)g(x) i	f(x)	(gdje su g (x)≠ 0) također kontinuirani u tački x.
		g(x)

2) Ako je funkcija u (x) kontinuirana u tački x 0, a funkcija f (u) je kontinuirana

u tački u 0 = u (x 0), tada je kompleksna funkcija f (u (x)) kontinuirana u tački x 0.

3) Sve osnovne elementarne funkcije (c, x a, a x, loga x, sinx, cosx, tgx, ctgx, secx, cosecx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx) su kontinuirane u svakoj

do tačke njihovog domena definicije.

Iz svojstava 1)–3) slijedi da su sve elementarne funkcije (funkcije dobivene iz osnovnih elementarnih funkcija korištenjem konačnog broja aritmetičkih operacija i operacija kompozicije) također kontinuirane u svakoj tački svog domena definicije.

Svojstva funkcija kontinuiranih na intervalu.

1) (teorem o međuvrijednosti) Neka je funkcija f(x) definirana

na i kontinuirano je na segmentu [a;b]. Zatim za bilo koji broj C priložen

između brojeva f (a) i f (b), (f (a)< C < f (b )) найдется хотя бы одна точкаx 0 [ a ;b ] , такая, чтоf (x 0 )= C .

2) (Bolzano–Cauchyjeva teorema

je diskontinuiran na segmentu [a;b] i poprima vrijednosti različitih predznaka na svojim krajevima.

Tada postoji barem jedna tačka x 0 [ a ; b ] takva da je f (x 0 )= 0 .

3) (1 Weierstrassova teorema) Neka je funkcija f (x) definirana i

rastrgan na segmentu [a;b]. Tada je ova funkcija ograničena na ovaj segment.

4) (2 Weierstrassova teorema) Neka je funkcija f (x) definirana i

požurite na segment		[a;b] . Tada ova funkcija doseže na intervalu [ a ; b ]
najveći		najmanje	vrijednosti, tj.	postoje
x1, x2 [a; b] ,		za bilo koji	tačke x [a;b]	fer	nejednakosti

f (x 1 )≤ f (x)≤ f (x 2 ) .

Primjer 5.17. Koristeći definiciju kontinuiteta, dokazati da je funkcija y = 3x 2 + 2x − 5 kontinuirana u proizvoljnoj tački x 0 na brojevnoj pravoj.

Rješenje: Metoda 1: Neka je x 0 proizvoljna tačka na brojevnoj osi. ti-

Prvo izračunamo granicu funkcije f (x) kao x → x 0, primjenjujući teoreme o granici zbira i proizvoda funkcija:

lim f (x )= lim(3x 2 + 2x − 5)= 3(limx )2 + 2 limx − 5= 3x 2							− 5.
x→ x0	x→ x0	x→ x0	x→ x0
Zatim izračunavamo vrijednost funkcije u tački x:f (x)= 3x 2							− 5 .
Upoređujući dobijene rezultate, vidimo				lim f (x)= f (x 0) koji prema
				x→ x0

definicija i znači kontinuitet razmatrane funkcije u tački x 0.

Metoda 2: Neka		x – povećanje argumenta u tački x 0. Hajde da nađemo prepisku
prikladno	prirast			y = f(x0 + x) − f(x0 ) =
3(x + x )2 + 2(x + x )− 5− (3x 2 + 2x − 5)
6 x x+ (x) 2	2x = (6x + 2)x + (x)2.
Izračunajmo sada granicu prirasta funkcije kada je inkrement argumenta
		nastoji

	y = lim (6x + 2)		x + (x )2 = (6x + 2) lim		x + (limx)2 = 0.
x→ 0	x→ 0			x→ 0	x→ 0

Dakle, lim y = 0, što po definiciji znači kontinuitet

x→ 0

funkcije za bilo koji x 0 R .

Primjer 5.18. Naći tačke diskontinuiteta funkcije f (x) i odrediti njihov tip. IN

U slučaju uklonjivog diskontinuiteta, definirajte funkciju kontinuitetom:

1) f (x) = 1− x 2 na x< 3;

5x kada je x ≥ 3

2) f (x)= x 2 + 4 x + 3;

x+1

	f(x)=
		x4 (x− 2)
	f(x)= arktan
			(x − 5)

Rješenje: 1) Područje definicije ove funkcije je cijeli broj

y osa (−∞ ;+∞ ) . Na intervalima (−∞ ;3) ,(3;+∞ ) funkcija je kontinuirana. Diskontinuitet je moguć samo u tački x = 3, u kojoj se mijenja analitička specifikacija funkcije.

Nađimo jednostrane granice funkcije u naznačenoj tački:

f (3− 0)= lim (1− x 2 )= 1− 9= 8;

x →3 −0

f (3+ 0)= lim 5x = 15.

x →3 +0

Vidimo da su lijeva i desna granica konačne, pa je x = 3
ruptura I			f(x). Funkcija skok na
f (3+ 0)− f (3− 0)= 15− 8= 7 .
		f (3)= 5 3= 15= f (3+ 0) , dakle u tački		x = 3

f(x) je desno kontinuirano.

2) Funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj osim tačke x = − 1, u kojem nije definirano. Transformirajmo izraz za f (x), proširujući brojilac

razlomke na faktore:		f(x)=			4 x +3			(x + 1)(x + 3)	X + 3 za x ≠ − 1.
					x+1			x+1
Nađimo jednostrane granice funkcije u tački x = − 1:
	f(x)=lim	f (x )= lim(x + 3)= 2 .
x →−1−0	x →−1 +0		x →−1

Otkrili smo da lijeva i desna granica funkcije u ispitivanoj tački postoje, konačne su i jednake jedna drugoj, stoga je x = − 1 uklonjiva tačka

prava y = x + 3 sa „probušenom“ tačkom M (− 1;2) . Da funkcija postane trajna

diskontinuirano, treba staviti f (− 1)= f (− 1− 0)= f (− 1+ 0)= 2 .

Dakle, nakon daljeg definisanja f (x) kontinuitetom u tački x = − 1, dobili smo funkciju f * (x)= x + 3 sa domenom definicije (−∞ ;+∞ ) .

3) Ova funkcija definisano i kontinuirano za svakoga x osim bodova

x = 0,x = 2, u kojem imenilac razlomka postaje nula.

Razmotrimo tačku x = 0:

Budući da u dovoljno malom susjedstvu nule funkcija zauzima samo

	za negativne vrijednosti, tada je f (− 0)= lim			= −∞ = f (+0)	One. dot
			(x − 2)
	x →−0
	x = 0 je tačka diskontinuiteta druge vrste funkcije		f(x).

Pogledajmo sada tačku x = 2:

Funkcija uzima negativne vrijednosti blizu lijevo od razmatrane

	tačka i pozitivni su, dakle, na desnoj strani				f (2− 0)=			= −∞,
							x4 (x− 2)
						x →2 −0
	f (2+ 0)= lim			= +∞ . Kao iu prethodnom slučaju, u tački x = 2
			(x − 2)
	x →2 +0

cija nema ni lijeve ni desne konačne granice, tj. u ovom trenutku pretrpi rupturu tipa II.

x = 5 .

f (5− 0)= lim arktan

π ,f (5+ 0)= lim arctan

x = 5

(x − 5)

(x − 5)

x →5 −0

x →5 +0

ka rupture

f (5+ 0)− f (5− 0)=

π − (−

π )= π (vidi sliku 5.2).

Problemi koje treba riješiti samostalno

5.174. Koristeći samo definiciju, dokazati kontinuitet funkcije f (x) in

svaka tačka x 0 R :

a) f(x) = c= const;		b) f (x)= x;
c) f (x)= x 3;		d) f (x)= 5x 2 − 4x + 1;
e) f (x)= sinx.
5.175. Dokazati da je funkcija	f(x) = x2	1 kada je x ≥ 0,	je kontinuirano
		1 na x< 0
cijelu brojevnu pravu. Konstruirajte graf ove funkcije.
5.176. Dokazati da je funkcija	f(x) = x2	1 kada je x ≥ 0,	nije kontinuirano
		0 na x< 0

u tački x = 0, ali je desno kontinuirano u toj tački. Grafikujte funkciju f(x).

trzaj u tački x =

Ali je kontinuirano na lijevoj strani u ovom trenutku. Napravite graf

funkcije f(x).

5.178. Grafičke funkcije

a) y =

x+1

b) y= x+

x+1

x+1

x+1

Koji od uslova kontinuiteta na tačkama prekida ovih funkcija su zadovoljeni, a koji nisu?

5.179. Odredite tačku prekida funkcije

sin x		Za x ≠ 0
		na x = 0

Koji od uslova kontinuiteta su u ovom trenutku zadovoljeni, a koji nisu?

Definicija tačke prekida funkcije a njihovi tipovi su nastavak teme kontinuiteta funkcije. Dato je i vizuelno (grafičko) objašnjenje značenja tačaka prekida funkcije za razliku od koncepta kontinuiteta. Naučimo kako pronaći tačke prekida funkcije i odrediti njihove tipove. A naši će nam pomoći u tome vjerni prijatelji- lijeve i desne granice, koje se općenito nazivaju jednostranim granicama. Ako neko ima strah od jednostranih ograničenja, uskoro ćemo ga rastjerati.

Tačke na grafu koje nisu međusobno povezane se nazivaju tačke prekida funkcije . Graf takve funkcije, koja trpi diskontinuitet u tački x=2 - - na slici ispod.

Generalizacija gore navedenog je sljedeća definicija. Ako funkcija nije kontinuirana u nekoj tački, tada ima diskontinuitet u ovoj tački i sama tačka se poziva tačka prekida . Smetnje su prve i druge vrste .

Da bi se utvrdilo vrste (karakter) tačaka prekida funkcije treba pronaći s povjerenjem granice, pa je dobra ideja otvoriti odgovarajuću lekciju u novom prozoru. Ali u vezi sa tačkama prekida imamo nešto novo i važno - jednostrane (lijeve i desne) granice. Općenito su napisani (desna granica) i (lijeva granica). Kao iu slučaju ograničenja općenito, da biste pronašli granicu funkcije, trebate zamijeniti X u izrazu funkcije za ono čemu X teži. Ali, možda se pitate, kako će se razlikovati desna i lijeva granica, ako se u slučaju desnog nešto doda X, ali ovo nešto je nula, a u slučaju lijevog se nešto oduzme od X, ali ovo nešto - takođe nula? I bićeš u pravu. U većini slučajeva.

Ali u praksi traženja točaka diskontinuiteta funkcije i određivanja njihovog tipa, postoje dva tipična slučaja kada desna i lijeva granica nisu jednake:

• funkcija ima dva ili više izraza ovisno o dijelu brojevne prave kojem x pripada (ovi izrazi se obično pišu u vitičastim zagradama nakon f(x)= );
• kao rezultat zamjene onoga čemu teži X, dobijamo razlomak u čijem nazivniku ostaje ili plus nula (+0) ili minus nula (-0) i stoga takav razlomak znači ili plus beskonačnost ili minus beskonačnost, a to su potpuno različite stvari.

Tačke diskontinuiteta prve vrste

Prelomna tačka prve vrste: funkcija ima i konačnu (tj. nije jednaka beskonačnosti) lijevu granicu i konačnu desnu granicu, ali funkcija nije definirana u tački ili su lijeva i desna granica različite (nisu jednake).

Tačka uklonjivog diskontinuiteta prve vrste. Lijeva i desna granica su jednake. U ovom slučaju, moguće je dalje definirati funkciju u tački. Definirati funkciju u tački, jednostavno govoreći, znači osigurati vezu tačaka između kojih postoji tačka u kojoj su lijeva i desna granica jednake jedna drugoj. U ovom slučaju, veza bi trebala predstavljati samo jednu tačku u kojoj treba pronaći vrijednost funkcije.

Primjer 1. Odredite tačku prekida funkcije i tip (karakter) tačke prekida.

Tačke diskontinuiteta druge vrste

Prelomna tačka druge vrste: tačka u kojoj je barem jedna od granica (lijeva ili desna) beskonačna (jednaka beskonačnosti).

Primjer 3.

Rješenje. Iz izraza za snagu u e jasno je da funkcija nije definirana u tački. Nađimo lijevu i desnu granicu funkcije u ovom trenutku:

Jedna od granica je jednaka beskonačnosti, tako da je tačka diskontinuitet druge vrste. Grafikon funkcije s tačkom prekida je ispod primjera.

Pronalaženje tačaka prekida funkcije može biti ili nezavisan zadatak ili dio Punofunkcionalno istraživanje i grafički prikaz .

Primjer 4. Odredite tačku prekida funkcije i tip (karakter) tačke prekida za funkciju

Rješenje. Iz izraza za stepen na 2 jasno je da funkcija nije definirana u tački. Nađimo lijevu i desnu granicu funkcije u ovom trenutku.

Removable gap.

Definicija. Dot a naziva se uklonjiva tačka diskontinuiteta funkcije y=f(x), ako je granica funkcije f(x) postoji u ovom trenutku, ali u trenutku a funkcija f(x) ili nije definisano ili ima privatno značenje f(a), različito od limita f(x) na ovom mjestu.

Primjer. Na primjer, funkcija

ima u tački x=0 popravljiv jaz. Zaista, granična vrijednost ove funkcije u tački x=0 je jednako 1. Parcijalna vrijednost je jednaka 2.

Ako je funkcija f(x) ima u tački a uklonjiv jaz, onda se ovaj jaz može eliminirati bez promjene vrijednosti funkcije u drugim točkama osim a. Da biste to učinili, dovoljno je staviti vrijednost funkcije u tačku a jednaka njegovoj graničnoj vrijednosti u ovom trenutku. Dakle, u gore razmatranom primjeru dovoljno je staviti f(0)=1 i onda , tj. funkcija f(x) postaće kontinuiran u tački x=0.

Poremećaj prve vrste.

Definicija. Dot a naziva se točka diskontinuiteta prve vrste ako je u ovoj tački funkcija f(x) ima konačne, ali nejednake desne i lijeve granice

Navedimo nekoliko primjera.

Primjer. Funkcija y=sgn x ima u tački x=0 ruptura prve vrste. Zaista, te stoga ove granice nisu jednake jedna drugoj.

Primjer. Funkcija , definisan svuda osim tačke x=1, ima u točki x=1 ruptura prve vrste. Zaista, .

Poremećaj druge vrste.

Definicija. Dot a naziva se točka diskontinuiteta druge vrste ako je u ovoj tački funkcija f(x) nema barem jednu od jednostranih granica ili ako je barem jedna od jednostranih granica beskonačna.

Primjer. Funkcija f(x)=tan x, očigledno, ima diskontinuitet druge vrste u svakoj tački x k =π/2+π k, k=0, ± 1, ± 2,…, jer u svakoj takvoj tački

Primjer. Funkcija ima diskontinuitet druge vrste u tački x=0, jer u ovom trenutku nema ni desne ni lijeve granice.

Kontinuitet funkcije na segmentu

Definicija. Funkcija definirana na intervalu a kontinuirano u svakoj od njegovih tačaka naziva se kontinuirano na ovom segmentu.

Štaviše, pod kontinuitetom na tački a se shvata kao kontinuitet na desnoj strani, a pod kontinuitetom u tački b- kontinuitet na lijevoj strani.

Reći ćemo da je funkcija y=f(x), definisano na setu (x) dostiže svoju gornju (donju) ivicu na njemu , ako takva tačka postoji x 0 ∈(x), Šta f(x 0)=β (f(x 0)=α).

[Weierstrass] Teorema. Svaka funkcija kontinuirana na intervalu je ograničena i dostiže svoju gornju i donju granicu na njemu.

Teorema [Bolzano-Cauchy]. Ako je funkcija y=f(x) kontinuirano na segmentu I f(a)=A, f(b)=B, zatim za bilo koji C, zaključeno između A I B, postoji takva tačka ξ∈ , Šta f(ξ)=C.

Drugim riječima, funkcija kontinuirana na intervalu, uzimajući bilo koje dvije vrijednosti, također uzima bilo koju vrijednost koja leži između njih.

Posljedica. Ako je funkcija kontinuirana na segmentu i poprima vrijednosti različitih predznaka na svojim krajevima, tada postoji barem jedna točka na ovom segmentu u kojoj funkcija nestaje.

Posljedica. Neka funkcija y=f(x) kontinuirano na segmentu I , . Zatim funkcija f(x) preuzima sve vrijednosti iz segmenta i samo ove vrednosti.

Dakle, skup svih vrijednosti funkcije koji je zadan i kontinuiran na određenom segmentu je također segment.

Kontinuitet funkcije. Prelomne tačke.

Bik hoda, njiše se, uzdiše dok ide:
- Ma, tabla je na izmaku, sad ću pasti!

U ovoj lekciji ćemo ispitati koncept kontinuiteta funkcije, klasifikaciju točaka diskontinuiteta i uobičajeni praktični problem studije kontinuiteta funkcija. Već iz samog naziva teme mnogi intuitivno pogađaju o čemu će biti riječi i misle da je materijal prilično jednostavan. Istina je. Ali jednostavni zadaci se najčešće kažnjavaju zbog zanemarivanja i površnog pristupa njihovom rješavanju. Stoga vam preporučujem da vrlo pažljivo proučite članak i uhvatite sve suptilnosti i tehnike.

Šta treba da znate i umete da radite? Ne baš puno. Da biste dobro naučili lekciju, morate razumjeti šta je to granica funkcije. Čitaoci sa nizak nivo priprema je dovoljna za razumevanje članka Ograničenja funkcija. Primjeri rješenja i da pogledam geometrijsko značenje ograničenje u priručniku Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Takođe je preporučljivo da se upoznate geometrijske transformacije grafova, budući da praksa u većini slučajeva uključuje izradu crteža. Izgledi su optimistični za sve, a čak i pun čajnik moći će se sam nositi sa zadatkom u narednih sat-dva!

Kontinuitet funkcije. Prelomne tačke i njihova klasifikacija

Koncept kontinuiteta funkcije

Razmotrimo neku funkciju koja je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj:

Ili, sažetije rečeno, naša funkcija je kontinuirana na (skup realnih brojeva).

Šta je „filistički“ kriterijum kontinuiteta? Očigledno raspored kontinuirana funkcija može se crtati bez podizanja olovke sa papira.

U ovom slučaju treba jasno razlikovati dva jednostavna koncepta: domenu funkcije I kontinuitet funkcije. IN opšti slučaj to nije ista stvar. Na primjer:

Ova funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj pravoj, odnosno za svima Značenje “x” ima svoje značenje za “y”. Konkretno, ako , Tada . Imajte na umu da je druga tačka punktuirana, jer po definiciji funkcije vrijednost argumenta mora odgovarati jedina stvar vrijednost funkcije. dakle, domena naša funkcija: .

kako god ova funkcija nije kontinuirano uključena! Sasvim je očigledno da u tom trenutku ona pati jaz. Pojam je također prilično razumljiv i vizualan; zaista, ovdje će olovku ionako morati otrgnuti s papira. Malo kasnije ćemo pogledati klasifikaciju tačaka prekida.

Kontinuitet funkcije u tački i na intervalu

U određenom matematičkom problemu možemo govoriti o kontinuitetu funkcije u tački, kontinuitetu funkcije na intervalu, poluintervalu ili kontinuitetu funkcije na segmentu. To je, ne postoji "puki kontinuitet"– funkcija može biti kontinuirana NEGDJE. A temeljni "građevinski blok" svega ostalog je kontinuitet funkcije u tački .

Teorija matematička analiza daje definiciju kontinuiteta funkcije u tački koristeći “delta” i “epsilon” susjedstva, ali u praksi se koristi druga definicija na koju ćemo obratiti veliku pažnju.

Prvo da se podsetimo jednostrane granice koji je upao u naše živote na prvoj lekciji o grafovima funkcija. Razmotrite svakodnevnu situaciju:

Ako se osi približimo tački lijevo(crvena strelica), tada će odgovarajuće vrijednosti "igara" ići duž ose do tačke (grimizna strelica). Matematički, ova činjenica se fiksira pomoću lijeva granica:

Obratite pažnju na unos (čita se “x teži ka ka na lijevoj strani”). “Aditiv” “minus nula” simbolizira , u suštini to znači da se broju približavamo s lijeve strane.

Slično, ako se približite tački "ka" desno(plava strelica), tada će "igre" doći na istu vrijednost, ali duž zelene strelice, i desna granicaće biti formatiran na sljedeći način:

"Additiv" simbolizira , a unos glasi: "x teži ka ka na desnoj strani."

Ako su jednostrane granice konačne i jednake(kao u našem slučaju): , onda ćemo reći da postoji GENERALNA granica. Jednostavno je, opšta granica je naše "uobičajeno" granica funkcije, jednako konačnom broju.

Imajte na umu da ako funkcija nije definirana na (puncture crna tačka na grani grafa), tada gore navedeni proračuni ostaju važeći. Kao što je već nekoliko puta navedeno, posebno u članku na infinitezimalnim funkcijama, izrazi znače da je "x" beskonačno blizu približava tački, dok NIJE VAŽNO, bez obzira da li je sama funkcija definirana u datoj točki ili ne. Dobar primjerće se pojaviti u sljedećem pasusu, kada se funkcija analizira.

Definicija: funkcija je kontinuirana u točki ako je granica funkcije u datoj tački jednaka vrijednosti funkcije u toj tački: .

Definicija je detaljno opisana u sledećim uslovima:

1) Funkcija mora biti definirana u tački, odnosno vrijednost mora postojati.

2) Mora postojati opšta granica funkcije. Kao što je gore navedeno, ovo implicira postojanje i jednakost jednostranih granica: .

3) Granica funkcije u datoj tački mora biti jednaka vrijednosti funkcije u ovoj tački: .

Ako se prekrši najmanje jedan od tri uslova, tada funkcija gubi svojstvo kontinuiteta u tački .

Kontinuitet funkcije u intervalu je formulisan genijalno i vrlo jednostavno: funkcija je kontinuirana na intervalu ako je kontinuirana u svakoj tački datog intervala.

Konkretno, mnoge funkcije su kontinuirane na beskonačnom intervalu, odnosno na skupu realnih brojeva. Ovo je linearna funkcija, polinomi, eksponencijalni, sinusni, kosinusni, itd. I općenito, bilo koji elementarna funkcija kontinuirano na svom domenu definicije, na primjer, logaritamska funkcija je kontinuirana na intervalu . nadam se u ovom momentu imate prilično dobru ideju o tome kako izgledaju grafikoni glavnih funkcija. Više detaljne informacije može se zaključiti njihov kontinuitet ljubazna osoba po prezimenu Fichtengolts.

Uz kontinuitet funkcije na segmentu i poluintervali, također sve nije teško, ali je prikladnije razgovarati o tome na času o pronalaženju minimalne i maksimalne vrijednosti funkcije na segmentu, ali za sada nemojmo brinuti o tome.

Klasifikacija tačaka prekida

Fascinantan život funkcija bogat je raznim posebnim točkama, a tačke prekida samo su jedna od stranica njihove biografije.

Bilješka : za svaki slučaj, zadržaću se na jednoj elementarnoj stvari: tačka preloma je uvek jedna tačka– ne postoji „nekoliko tačaka prekida u nizu“, odnosno ne postoji „interval pauze“.

Ove tačke su pak podijeljene na dvije velike grupe: rupture prve vrste I rupture druge vrste. Svaka vrsta jaza ima svoje karakteristike koje ćemo sada pogledati:

Tačka diskontinuiteta prve vrste

Ako je uslov kontinuiteta narušen u nekoj tački i jednostrane granice konačan , onda se zove tačka diskontinuiteta prve vrste.

Počnimo s najoptimističnijim slučajem. Prema prvobitnoj ideji lekcije, htio sam ispričati teoriju „u opšti pogled“, ali da bih demonstrirao realnost materijala, odlučio sam se na opciju sa određenim likovima.

Tužno je, poput fotografije mladenaca na pozadini Vječne vatre, ali sljedeći snimak je općenito prihvaćen. Hajde da prikažemo graf funkcije na crtežu:


Ova funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, osim na tački. I u stvari, imenilac ne može biti jednak nuli. Međutim, u skladu sa značenjem granice, možemo beskonačno blizu prilaziti „nuli“ i slijeva i s desna, odnosno jednostrane granice postoje i očito se poklapaju:
(Uslov br. 2 kontinuiteta je zadovoljen).

Ali funkcija nije definirana u tački, stoga je uvjet br. 1 kontinuiteta narušen i funkcija trpi diskontinuitet u ovoj tački.

Prekid ovog tipa (sa postojećim opšta granica) su pozvani popravljiv jaz. Zašto se može ukloniti? Jer funkcija može redefinisati na prelomnoj tački:

Da li izgleda čudno? Možda. Ali takva notacija funkcije ne proturječi ničemu! Sada je jaz zatvoren i svi su zadovoljni:


Izvršimo formalnu provjeru:

2) – postoji opšta granica;
3)

Dakle, sva tri uslova su zadovoljena, a funkcija je neprekidna u tački prema definiciji kontinuiteta funkcije u tački.

Međutim, matan mrzitelji mogu, na primjer, definirati funkciju na loš način :


Zanimljivo je da su ovde zadovoljena prva dva uslova kontinuiteta:
1) – funkcija je definisana u datoj tački;
2) – postoji opšta granica.

Ali treća granica nije prijeđena: , odnosno granica funkcije u tački nije jednako vrijednost date funkcije u datoj tački.

Dakle, u jednom trenutku funkcija trpi diskontinuitet.

Drugi, tužniji slučaj se zove ruptura prve vrste sa skokom. A tugu izazivaju jednostrane granice koje konačan i različit. Primjer je prikazan na drugom crtežu lekcije. Takav jaz se obično javlja u djelomično definirane funkcije, koji su već spomenuti u članku o transformacijama grafova.

Razmotrite funkciju po komadima a mi ćemo završiti njegov crtež. Kako napraviti grafikon? Veoma jednostavno. Na poluintervalu crtamo fragment parabole ( zelene boje), na intervalu – pravi segment (crveni) i na poluintervali – prava linija ( Plava boja).

Štaviše, zbog nejednakosti se određuje vrijednost za kvadratna funkcija(zelena tačka), a zbog nejednakosti se određuje vrijednost za linearna funkcija(plava tačka):

U najtežem slučaju, trebalo bi da pribegnete konstrukciji tačku po tačku svakog dela grafa (pogledajte prvi lekcija o grafovima funkcija).

Sada će nas zanimati samo poenta. Hajde da ga ispitamo radi kontinuiteta:

2) Izračunajmo jednostrane granice.

Na lijevoj strani imamo segment crvene linije, tako da je lijevo ograničenje:

Na desnoj strani je plava ravna linija i desna granica:

Kao rezultat, dobili smo konačni brojevi, i oni nije jednako. Od jednostranih granica konačan i različit: , tada naša funkcija toleriše diskontinuitet prve vrste sa skokom.

Logično je da se jaz ne može eliminisati – funkcija se zaista ne može dalje definirati i „zalijepiti zajedno“, kao u prethodnom primjeru.

Tačke diskontinuiteta druge vrste

Obično se svi ostali slučajevi rupture pametno svrstavaju u ovu kategoriju. Neću sve nabrajati, jer u praksi ćete u 99% problema naići beskrajni jaz– kada ste ljevoruk ili dešnjak, a češće, obje granice su beskonačne.

I, naravno, najočitija slika je hiperbola u tački nula. Ovdje su obje jednostrane granice beskonačne: , dakle, funkcija trpi diskontinuitet druge vrste u točki .

Trudim se da svoje članke ispunim što raznovrsnijim sadržajem, pa pogledajmo graf funkcije koja još nije naišla:

prema standardnoj shemi:

1) Funkcija nije definirana u ovom trenutku jer nazivnik ide na nulu.

Naravno, odmah možemo zaključiti da funkcija trpi diskontinuitet u tački , ali bi bilo dobro klasificirati prirodu diskontinuiteta, što je često potrebno uslovom. Za ovo:

Da vas podsjetim da pod snimanjem mislimo infinitezimal negativan broj , a ispod unosa - beskonačno mali pozitivan broj.

Jednostrane granice su beskonačne, što znači da funkcija trpi diskontinuitet 2. vrste u tački . Y-osa je vertikalna asimptota za graf.

Nije neuobičajeno da postoje obje jednostrane granice, ali samo jedna od njih je beskonačna, na primjer:

Ovo je graf funkcije.

Ispitujemo poentu za kontinuitet:

1) Funkcija nije definirana u ovom trenutku.

2) Izračunajmo jednostrane granice:

O načinu izračunavanja ovakvih jednostranih granica govorit ćemo u posljednja dva primjera predavanja, iako su mnogi čitaoci već sve vidjeli i pogodili.

Lijeva granica je konačna i jednaka nuli (mi "ne idemo do same tačke"), ali desna granica je beskonačna i narandžasta grana grafa se približava beskonačno blizu svoje vertikalna asimptota, dato jednadžbom (crna tačkasta linija).

Dakle, funkcija pati diskontinuitet druge vrste u tački .

Što se tiče diskontinuiteta 1. vrste, funkcija se može definirati u samoj tački diskontinuiteta. Na primjer, za funkciju po komadima Slobodno stavite crnu podebljanu tačku na početak koordinata. Desno je grana hiperbole, a desna granica je beskonačna. Mislim da skoro svi imaju ideju kako ovaj grafikon izgleda.

Čemu su se svi radovali:

Kako ispitati funkciju za kontinuitet?

Proučavanje funkcije za kontinuitet u nekoj tački provodi se prema već utvrđenoj rutinskoj šemi, koja se sastoji od provjere tri uvjeta kontinuiteta:

Primjer 1

Funkcija istraživanja

Rješenje:

1) Jedina tačka unutar opsega je gdje funkcija nije definirana.

2) Izračunajmo jednostrane granice:

Jednostrane granice su konačne i jednake.

Dakle, u trenutku kada funkcija trpi diskontinuitet koji se može ukloniti.

Kako izgleda graf ove funkcije?

Želeo bih da pojednostavim , i čini se da se dobija obična parabola. ALI originalna funkcija nije definirana u točki, pa je potrebna sljedeća klauzula:

Napravimo crtež:

Odgovori: funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj osim točke u kojoj trpi diskontinuitet koji se može ukloniti.

Funkcija se može dalje definirati na dobar ili ne tako dobar način, ali prema uvjetu to nije potrebno.

Kažete da je ovo nategnut primjer? Ne sve. To se u praksi dogodilo na desetine puta. Gotovo svi zadaci stranice proizlaze iz stvarnog samostalnog rada i testova.

Riješimo se naših omiljenih modula:

Primjer 2

Funkcija istraživanja za kontinuitet. Odredite prirodu diskontinuiteta funkcije, ako postoje. Izvršite crtež.

Rješenje: Učenici se iz nekog razloga boje i ne vole funkcije s modulom, iako u njima nema ništa komplikovano. Takvih stvari smo već malo dotakli u lekciji. Geometrijske transformacije grafova. Budući da je modul nenegativan, on se proširuje na sljedeći način: , gdje je “alfa” neki izraz. IN u ovom slučaju, a našu funkciju treba napisati po komadima:

Ali razlomci oba komada moraju se smanjiti za . Smanjenje, kao iu prethodnom primjeru, neće proći bez posljedica. Originalna funkcija nije definirana u tački jer nazivnik ide na nulu. Stoga bi sistem trebao dodatno specificirati uvjet , i učiniti prvu nejednakost strogom:

Sada o VEOMA KORISAN prijem rješenja: prije finalizacije zadatka na nacrtu, poželjno je napraviti crtež (bez obzira da li to uvjeti zahtijevaju ili ne). Ovo će vam pomoći, prvo, da odmah vidite tačke kontinuiteta i tačke diskontinuiteta, i, drugo, 100% će vas zaštititi od grešaka pri pronalaženju jednostranih granica.

Hajde da crtamo. Prema našim proračunima, lijevo od tačke potrebno je nacrtati fragment parabole (plava boja), a desno - komadić parabole (crvena boja), dok funkcija nije definirana na sama poenta:

Ako ste u nedoumici, uzmite nekoliko x vrijednosti i priključite ih u funkciju (sjetite se da modul uništava mogući znak minus) i provjerite graf.

Hajde da analitički ispitamo funkciju za kontinuitet:

1) Funkcija nije definirana u tački, pa možemo odmah reći da u njoj nije kontinuirana.

2) Ustanovimo prirodu diskontinuiteta; da bismo to učinili, izračunavamo jednostrane granice:

Jednostrane granice su konačne i različite, što znači da funkcija trpi diskontinuitet 1. vrste sa skokom u tački . Imajte na umu da prilikom pronalaženja granica nije važno da li je funkcija u tački prekida definirana ili ne.

Sada ostaje samo da prenesete crtež iz nacrta (napravljen je kao uz pomoć istraživanja ;-)) i završite zadatak:

Odgovori: funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj osim u tački u kojoj dolazi do prekida prve vrste sa skokom.

Ponekad zahtijevaju dodatnu indikaciju skoka diskontinuiteta. Izračunava se jednostavno - od desne granice treba oduzeti lijevu granicu: , odnosno u tački prekida naša funkcija je skočila 2 jedinice naniže (kao što nam govori znak minus).

Primjer 3

Funkcija istraživanja za kontinuitet. Odredite prirodu diskontinuiteta funkcije, ako postoje. Napravite crtež.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti, primjer rješenja na kraju lekcije.

Prijeđimo na najpopularniju i najrašireniju verziju zadatka, kada se funkcija sastoji od tri dijela:

Primjer 4

Ispitajte funkciju za kontinuitet i nacrtajte graf funkcije .

Rješenje: očito je da su sva tri dijela funkcije kontinuirana na odgovarajućim intervalima, tako da ostaje provjeriti samo dvije točke “spojnice” između dijelova. Prvo, napravimo nacrt crteža; dovoljno sam detaljno prokomentirao tehniku ​​gradnje u prvom dijelu članka. Jedino što moramo pažljivo pratiti naše singularne tačke: zbog nejednakosti vrijednost pripada pravoj liniji (zelena tačka), a zbog nejednakosti vrijednost pripada paraboli (crvena tačka):


Pa, u principu, sve je jasno =) Ostaje samo formalizirati odluku. Za svaku od dvije tačke „spajanja“ standardno provjeravamo 3 uvjeta kontinuiteta:

ja) Ispitujemo tačku za kontinuitet

1)

Jednostrane granice su konačne i različite, što znači da funkcija trpi diskontinuitet 1. vrste sa skokom u tački .

Izračunajmo skok diskontinuiteta kao razliku između desne i lijeve granice:
, odnosno graf je porastao za jednu jedinicu.

II) Ispitujemo tačku za kontinuitet

1) – funkcija je definirana u datoj točki.

2) Pronađite jednostrane granice:

– jednostrane granice su konačne i jednake, što znači da postoji opšta granica.

3) – granica funkcije u tački jednaka je vrijednosti ove funkcije u datoj tački.

U završnoj fazi crtež prenosimo na konačnu verziju, nakon čega stavljamo završni akord:

Odgovori: funkcija je kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj, osim na mjestu u kojem dolazi do prekida prve vrste sa skokom.

Primjer 5

Ispitajte funkciju na kontinuitet i konstruirajte njen graf .

Ovo je primjer koji možete sami riješiti, kratko rešenje i približan uzorak zadatka na kraju lekcije.

Možete steći utisak da u jednom trenutku funkcija mora biti kontinuirana, au drugom mora postojati diskontinuitet. U praksi to nije uvijek slučaj. Pokušajte ne zanemariti preostale primjere - bit će nekoliko zanimljivih i važnih karakteristika:

Primjer 6

Zadata funkcija . Istražite funkciju za kontinuitet u tačkama. Napravite graf.

Rješenje: i ponovo odmah izvršite crtež na nacrtu:

Posebnost ovog grafa je da je funkcija po komadima data jednadžbom apscisne ose. Ovo područje je ucrtano ovdje zeleno, a u bilježnici je obično podebljano jednostavnom olovkom. I, naravno, ne zaboravite na naše ovnove: vrijednost pripada tangentnoj grani (crvena tačka), a vrijednost pripada pravoj liniji.

Iz crteža je sve jasno - funkcija je kontinuirana duž cijele brojevne prave, ostaje samo formalizirati rješenje, koje se doslovno nakon 3-4 slična primjera dovodi do pune automatizacije:

ja) Ispitujemo tačku za kontinuitet

1) – funkcija je definirana u datoj tački.

2) Izračunajmo jednostrane granice:

, što znači da postoji opšta granica.

Za svaki slučaj, da vas podsjetim na trivijalnu činjenicu: granica konstante jednaka je samoj konstanti. U ovom slučaju, granica nule jednaka je samoj nuli (ljevoruka granica).

3) – granica funkcije u tački jednaka je vrijednosti ove funkcije u datoj tački.

Dakle, funkcija je neprekidna u tački prema definiciji kontinuiteta funkcije u tački.

II) Ispitujemo tačku za kontinuitet

1) – funkcija je definirana u datoj tački.

2) Pronađite jednostrane granice:

I ovdje – granica od jedan je jednaka samoj jedinici.

– postoji opšta granica.

3) – granica funkcije u tački jednaka je vrijednosti ove funkcije u datoj tački.

Dakle, funkcija je neprekidna u tački prema definiciji kontinuiteta funkcije u tački.

Kao i obično, nakon istraživanja prenosimo naš crtež u konačnu verziju.

Odgovori: funkcija je kontinuirana u tačkama.

Napominjemo da u tom stanju nismo pitali ništa o proučavanju cijele funkcije za kontinuitet, te se smatra dobrom matematičkom formom za formulisanje precizno i ​​jasno odgovor na postavljeno pitanje. Usput, ako uvjet ne zahtijeva od vas da napravite graf, onda jeste svako pravo nemojte ga graditi (iako vas nastavnik može natjerati da to učinite kasnije).

Mala matematička vrtoglavica jezika za samostalno rješavanje:

Primjer 7

Zadata funkcija . Istražite funkciju za kontinuitet u tačkama. Klasifikujte prelomne tačke, ako ih ima. Izvršite crtež.

Pokušajte pravilno "izgovoriti" sve "riječi" =) I nacrtajte grafikon preciznije, tačnije, neće svugdje biti suvišno ;-)

Kao što se sjećate, preporučio sam da odmah završite crtež kao nacrt, ali s vremena na vrijeme naiđete na primjere u kojima ne možete odmah shvatiti kako grafikon izgleda. Stoga je u nekim slučajevima korisno prvo pronaći jednostrane granice i tek onda, na osnovu studije, prikazati grane. U zadnja dva primjera naučit ćemo i tehniku ​​za izračunavanje nekih jednostranih granica:

Primjer 8

Ispitajte funkciju za kontinuitet i konstruirajte njen shematski graf.

Rješenje: loše tačke su očigledne: (smanjuje nazivnik eksponenta na nulu) i (smanjuje imenilac cijelog razlomka na nulu). Nije jasno kako izgleda graf ove funkcije, što znači da je bolje prvo istražiti.