Definicija 7.1. Skup svih tačaka na ravni za koje je zbir udaljenosti do dvije fiksne tačke F 1 i F 2 zadana konstantna vrijednost naziva se elipsa.
Definicija elipse daje sljedeću metodu njene geometrijske konstrukcije. Dve tačke F 1 i F 2 fiksiramo na ravni, a nenegativnu konstantnu vrednost označavamo sa 2a. Neka je udaljenost između tačaka F 1 i F 2 2c. Zamislimo da je nerastavljiva nit dužine 2a fiksirana u tačkama F 1 i F 2, na primjer, pomoću dvije igle. Jasno je da je to moguće samo za a ≥ c. Nakon što ste povukli konac olovkom, nacrtajte liniju koja će biti elipsa (slika 7.1).
Dakle, opisani skup nije prazan ako je a ≥ c. Kada je a = c, elipsa je segment sa krajevima F 1 i F 2, a kada je c = 0, tj. Ako se fiksne tačke navedene u definiciji elipse poklapaju, to je krug poluprečnika a. Odbacujući ove degenerisane slučajeve, dalje ćemo pretpostavljati, po pravilu, da je a > c > 0.
Fiksne tačke F 1 i F 2 u definiciji 7.1 elipse (vidi sliku 7.1) nazivaju se žarišta elipse, udaljenost između njih, označena sa 2c, - žižna daljina, a segmenti F 1 M i F 2 M koji povezuju proizvoljnu tačku M na elipsi sa njenim žarištima su žarišne radijuse.
Oblik elipse u potpunosti je određen žižnom daljinom |F 1 F 2 | = 2c i parametar a, i njegov položaj na ravni - par tačaka F 1 i F 2.
Iz definicije elipse slijedi da je ona simetrična u odnosu na pravu koja prolazi kroz žarišta F 1 i F 2, kao i na pravu koja dijeli segment F 1 F 2 na pola i okomita je na nju (Sl. 7.2, a). Ove linije se nazivaju elipse osi. Tačka O njihovog presjeka je centar simetrije elipse, a naziva se centar elipse, i tačke preseka elipse sa osama simetrije (tačke A, B, C i D na slici 7.2, a) - vrhove elipse.
Poziva se broj a velika poluosa elipse, i b = √(a 2 - c 2) - its sporedna os. Lako je vidjeti da je za c > 0 velika poluos a jednaka udaljenosti od centra elipse do onih njenih vrhova koji su na istoj osi sa žarištima elipse (vrhovi A i B na slici 7.2, a), a mala poluosa b jednaka je udaljenosti od centralne elipse do njena dva druga vrha (vrhovi C i D na slici 7.2, a).
Jednadžba elipse. Razmotrimo neku elipsu na ravni sa fokusima u tačkama F 1 i F 2, velika osa 2a. Neka je 2c žižna daljina, 2c = |F 1 F 2 |
Odaberimo pravougaoni koordinatni sistem Oxy na ravni tako da mu se ishodište poklapa sa centrom elipse, a fokusi na x-osa(Sl. 7.2, b). Takav koordinatni sistem se zove kanonski za dotičnu elipsu, a odgovarajuće varijable su kanonski.
U odabranom koordinatnom sistemu fokusi imaju koordinate F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Koristeći formulu za rastojanje između tačaka, zapisujemo uslov |F 1 M| + |F 2 M| = 2a u koordinatama:
√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)
Ova jednadžba je nezgodna jer sadrži dva kvadratna radikala. Pa hajde da ga transformišemo. Pomerimo drugi radikal u jednačini (7.2) na desna strana i kvadrat:
(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .
Nakon otvaranja zagrada i donošenja sličnih pojmova, dobijamo
√((x + c) 2 + y 2) = a + εx
gdje je ε = c/a. Ponavljamo operaciju kvadriranja da uklonimo drugi radikal: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, ili, uzimajući u obzir vrijednost unesenog parametra ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Pošto je a 2 - c 2 = b 2 > 0, onda
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)
Jednačina (7.4) je zadovoljena koordinatama svih tačaka koje leže na elipsi. Ali pri izvođenju ove jednadžbe korištene su neekvivalentne transformacije izvorne jednadžbe (7.2) - dvije kvadrature koje uklanjaju kvadratne radikale. Kvadriranje jednadžbe je ekvivalentna transformacija ako obje strane imaju količine s istim predznakom, ali to nismo provjerili u našim transformacijama.
Možemo izbjeći provjeru ekvivalencije transformacija ako uzmemo u obzir sljedeće. Par tačaka F 1 i F 2, |F 1 F 2 | = 2c, na ravni definiše familiju elipsi sa fokusima u ovim tačkama. Svaka tačka ravni, osim tačaka segmenta F 1 F 2, pripada nekoj elipsi navedene porodice. U ovom slučaju se dvije elipse ne sijeku, jer zbir žarišnih radijusa jedinstveno određuje određenu elipsu. Dakle, opisana porodica elipsa bez preseka pokriva celu ravan, osim tačaka segmenta F 1 F 2. Razmotrimo skup tačaka čije koordinate zadovoljavaju jednačinu (7.4) sa datom vrijednošću parametra a. Može li se ovaj skup rasporediti na nekoliko elipsa? Neke od tačaka skupa pripadaju elipsi sa velikom poluosom a. Neka u ovom skupu postoji tačka koja leži na elipsi sa velikom poluosom a. Tada koordinate ove tačke odgovaraju jednadžbi
one. jednačine (7.4) i (7.5) imaju opšta rješenja. Međutim, lako je provjeriti da li je sistem
za ã ≠ a nema rješenja. Da biste to učinili, dovoljno je isključiti, na primjer, x iz prve jednadžbe:
što nakon transformacija dovodi do jednačine
koji nema rješenja za ã ≠ a, budući da . Dakle, (7.4) je jednačina elipse sa velikom poluosom a > 0 i malom poluosom b =√(a 2 - c 2) > 0. Zove se kanonska jednadžba elipse.
Pogled elipse. Geometrijska metoda konstruisanja elipse o kojoj se govorilo daje dovoljnu ideju o tome izgled elipsa. Ali oblik elipse se također može proučavati korištenjem njene kanonske jednadžbe (7.4). Na primjer, možete, pod pretpostavkom da je y ≥ 0, izraziti y kroz x: y = b√(1 - x 2 /a 2) i, nakon proučavanja ove funkcije, izgraditi njen graf. Postoji još jedan način da se konstruiše elipsa. Krug poluprečnika a sa centrom u početku kanonskog koordinatnog sistema elipse (7.4) opisuje se jednačinom x 2 + y 2 = a 2. Ako je komprimiran sa koeficijentom a/b > 1 uzduž y-osa, onda dobijete krivu koja je opisana jednadžbom x 2 + (ya/b) 2 = a 2, tj. elipsa.
Napomena 7.1. Ako je isti krug komprimiran faktorom a/b
Ekscentričnost elipse. Omjer žižne daljine elipse i njene glavne ose se naziva ekscentricitet elipse i označeno sa ε. Za datu elipsu
kanonska jednadžba (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Ako su u (7.4) parametri a i b povezani nejednakošću a
Kada je c = 0, kada se elipsa pretvara u krug, i ε = 0. U drugim slučajevima, 0
Jednačina (7.3) je ekvivalentna jednačini (7.4), pošto su jednačine (7.4) i (7.2) ekvivalentne. Dakle, jednačina elipse je takođe (7.3). Osim toga, relacija (7.3) je zanimljiva jer daje jednostavnu formulu bez radikala za dužinu |F 2 M| jedan od fokalnih radijusa tačke M(x; y) elipse: |F 2 M| = a + εx.
Slična formula za drugi žarišni radijus može se dobiti iz razmatranja simetrije ili ponavljanjem proračuna u kojem se, prije kvadriranja jednadžbe (7.2), prvi radikal prenosi na desnu stranu, a ne drugi. Dakle, za bilo koju tačku M(x; y) na elipsi (vidi sliku 7.2)
|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)
a svaka od ovih jednačina je jednačina elipse.
Primjer 7.1. Nađimo kanonsku jednačinu elipse sa velikom poluosom 5 i ekscentricitetom 0,8 i konstruirajmo je.
Poznavajući veliku poluos elipse a = 5 i ekscentricitet ε = 0,8, naći ćemo njenu malu poluos b. Kako je b = √(a 2 - c 2), i c = εa = 4, onda je b = √(5 2 - 4 2) = 3. Dakle, kanonska jednadžba ima oblik x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Da bi se konstruisala elipsa, zgodno je nacrtati pravougaonik sa centrom u početku kanonskog koordinatnog sistema, čije su stranice paralelne sa osovinama simetrije elipse i jednake njenim odgovarajućim osama (Sl. 7.4). Ovaj pravougaonik se siječe sa
ose elipse u njenim vrhovima A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), i sama elipsa je upisana u nju. Na sl. 7.4 takođe prikazuje fokuse F 1.2 (±4; 0) elipse.
Geometrijska svojstva elipse. Prepišimo prvu jednačinu u (7.6) kao |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Imajte na umu da je vrijednost a/ε - x za a > c pozitivna, jer fokus F 1 ne pripada elipsi. Ova vrijednost predstavlja udaljenost do vertikalne linije d: x = a/ε od tačke M(x; y) koja leži lijevo od ove prave. Jednačina elipse se može napisati kao
|F 1 M|/(a/ε - x) = ε
To znači da se ova elipsa sastoji od onih tačaka M(x; y) ravni za koje je odnos dužine žarišnog radijusa F 1 M i udaljenosti do prave linije d konstantna vrijednost jednaka ε (Sl. 7.5).
Prava linija d ima "dvojku" - vertikalnu pravu liniju d, simetričnu u odnosu na centar elipse, koja je data jednačinom x = -a/ε U odnosu na d, elipsa je opisana u na isti način kao u odnosu na d. Oba pravca d i d" se zovu direktrise elipse. Direktrise elipse su okomite na os simetrije elipse na kojoj se nalaze njena žarišta, a udaljene su od centra elipse na udaljenosti a/ε = a 2 /c (vidi sliku 7.5).
Udaljenost p od direktrise do njoj najbližeg fokusa naziva se fokalni parametar elipse. Ovaj parametar je jednak
p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c
Elipsa ima još jedno važno geometrijsko svojstvo: žižni radijusi F 1 M i F 2 M čine jednake uglove sa tangentom elipse u tački M (slika 7.6).
Ova nekretnina ima čist fizičko značenje. Ako se izvor svjetlosti postavi u fokus F 1, tada će zraka koja izlazi iz ovog fokusa, nakon odbijanja od elipse, ići duž drugog žarišnog radijusa, budući da će nakon refleksije biti pod istim kutom prema krivulji kao i prije refleksije. Tako će svi zraci koji izlaze iz fokusa F 1 biti koncentrisani u drugom fokusu F 2, i obrnuto. Na osnovu ovog tumačenja, ovo svojstvo se zove optičko svojstvo elipse.
Definicija. Elipsa je geometrijsko mjesto tačaka na ravni, od kojih je zbir udaljenosti svake od dvije date tačke ove ravni, koje se nazivaju fokusi, konstantna vrijednost (pod uvjetom da je ta vrijednost veća od udaljenosti između žarišta) .
Označimo žarišta kroz udaljenost između njih - kroz , i konstantnu vrijednost, jednak iznosu udaljenosti od svake tačke elipse do žarišta, kroz (prema uslovu).
Konstruirajmo Dekartov koordinatni sistem tako da su fokusi na osi apscisa, a ishodište koordinata se poklapa sa sredinom segmenta (slika 44). Tada će fokusi imati sljedeće koordinate: lijevi fokus i desni fokus. Izvedemo jednačinu elipse u koordinatnom sistemu koji smo odabrali. U tu svrhu razmotrite proizvoljnu tačku elipse. Po definiciji elipse, zbir udaljenosti od ove tačke do žarišta jednak je:
Koristeći formulu za rastojanje između dve tačke, dobijamo
Da bismo pojednostavili ovu jednačinu, zapisujemo je u obliku
Zatim kvadriranjem obe strane jednačine dobijamo
ili, nakon očiglednih pojednostavljenja:
Sada ponovo kvadriramo obje strane jednadžbe, nakon čega imamo:
ili, nakon identičnih transformacija:
Pošto je, prema uslovu u definiciji elipse, broj pozitivan. Hajde da uvedemo notaciju
Tada će jednačina poprimiti sljedeći oblik:
Prema definiciji elipse, koordinate bilo koje njene tačke zadovoljavaju jednačinu (26). Ali jednačina (29) je posljedica jednačine (26). Shodno tome, zadovoljavaju ga i koordinate bilo koje tačke elipse.
Može se pokazati da koordinate tačaka koje ne leže na elipsi ne zadovoljavaju jednačinu (29). Dakle, jednačina (29) je jednačina elipse. Zove se kanonska jednadžba elipse.
Utvrdimo oblik elipse koristeći njenu kanonsku jednadžbu.
Prije svega, obratimo pažnju na činjenicu da ova jednadžba sadrži samo čak stepeni x i y. To znači da ako bilo koja tačka pripada elipsi, onda ona takođe sadrži tačku simetričnu tačku u odnosu na osu apscise, i tačku simetričnu sa tačkom u odnosu na osu ordinate. Dakle, elipsa ima dvije međusobno okomite ose simetrije, koje se u koordinatnom sistemu koji smo odabrali poklapaju sa koordinatnim osa. Ose simetrije elipse ćemo od sada zvati osi elipse, a tačku njihovog preseka središtem elipse. Osa na kojoj se nalaze žarišta elipse (in u ovom slučaju x-osa) naziva se fokalna osa.
Prvo odredimo oblik elipse u prvoj četvrtini. Da bismo to učinili, riješimo jednačinu (28) za y:
Očigledno je da ovdje , budući da y uzima imaginarne vrijednosti. Kako povećavate od 0 do a, y se smanjuje sa b na 0. Dio elipse koji leži u prvoj četvrtini bit će luk omeđen tačkama B (0; b) i koji leži na koordinatnim osa (slika 45). Koristeći sada simetriju elipse, dolazimo do zaključka da elipsa ima oblik prikazan na sl. 45.
Tačke preseka elipse sa osama nazivaju se vrhovi elipse. Iz simetrije elipse proizilazi da, pored vrhova, elipsa ima još dva vrha (vidi sliku 45).
Segmenti i spojni suprotni vrhovi elipse, kao i njihove dužine, nazivaju se velika i mala osa elipse, respektivno. Brojevi a i b nazivaju se glavna i mala poluos elipse, respektivno.
Omjer polovice udaljenosti između žarišta i velike poluose elipse naziva se ekscentricitet elipse i obično se označava slovom:
Budući da je , ekscentricitet elipse manji od jedinice: Ekscentricitet karakterizira oblik elipse. Zaista, iz formule (28) proizlazi da što je manji ekscentricitet elipse, to se njena mala poluosa b manje razlikuje od velike poluose a, odnosno, manje je izdužena elipsa (duž žižne ose).
U graničnom slučaju, rezultat je krug radijusa a: , ili . Istovremeno, čini se da se žarišta elipse spajaju u jednoj tački - centru kruga. Ekscentricitet kruga je nula:
Veza između elipse i kruga može se uspostaviti i sa druge tačke gledišta. Pokažimo da se elipsa sa poluosama a i b može smatrati projekcijom kružnice poluprečnika a.
Razmotrimo dvije ravni P i Q koje tvore između sebe takav ugao a, za koji (Sl. 46). Konstruirajmo koordinatni sistem u ravni P, au Q ravni sistem Oxy sa zajedničkim ishodištem O i zajedničkom osom apscise koja se poklapa sa linijom preseka ravnina. Razmotrimo kružnicu u ravni P
sa centrom u početku i poluprečnikom jednakim a. Neka je proizvoljno odabrana tačka na kružnici, njena projekcija na Q ravan i neka je projekcija tačke M na osu Ox. Pokažimo da tačka leži na elipsi sa poluosama a i b.
Krive drugog reda na ravni su linije definisane jednadžbama u kojima je varijabla koordinata x I y sadržani su u drugom stepenu. To uključuje elipsu, hiperbolu i parabolu.
Opšti oblik jednadžbe krivulje drugog reda je sljedeći:
Gdje A, B, C, D, E, F- brojevi i najmanje jedan od koeficijenata A, B, C nije jednako nuli.
Prilikom rješavanja zadataka sa krivuljama drugog reda najčešće se uzimaju u obzir kanonske jednadžbe elipse, hiperbole i parabole. Lako je prijeći na njih iz općih jednačina, primjer 1 problema sa elipsama biće posvećen tome.
Elipsa data kanonskom jednadžbom
Definicija elipse. Elipsa je skup svih tačaka ravni za koje je zbir udaljenosti do tačaka koje se nazivaju žarišta konstantna vrijednost veća od udaljenosti između žarišta.
Fokusi su prikazani kao na donjoj slici.
Kanonska jednadžba elipse ima oblik:
Gdje a I b (a > b) - dužine poluosi, odnosno polovina dužina segmenata odsječenih elipsom na koordinatnim osa.
Prava linija koja prolazi kroz žarišta elipse je njena osa simetrije. Druga osa simetrije elipse je prava linija koja prolazi kroz sredinu segmenta okomita na ovaj segment. Dot O presek ovih linija služi kao centar simetrije elipse ili jednostavno centar elipse.
Os apscisa elipse seče u tačkama ( a, O) I (- a, O), a osa ordinata je u tačkama ( b, O) I (- b, O). Ove četiri tačke se nazivaju vrhovi elipse. Segment između vrhova elipse na x-osi naziva se njena velika os, a na osi ordinata - njena mala os. Njihovi segmenti od vrha do centra elipse nazivaju se polu-ose.
Ako a = b, tada jednadžba elipse poprima oblik . Ovo je jednadžba kružnice s polumjerom a, a krug je poseban slučaj elipsa. Elipsa se može dobiti iz kruga poluprečnika a, ako ga komprimirate u a/b puta duž ose Oy .
Primjer 1. Provjerite da li je prava data općom jednadžbom 
, elipsa.
Rješenje. Mi pravimo transformacije opšta jednačina. Koristimo prijenos slobodnog člana na desnu stranu, dijeljenje jednačine po član istim brojem i smanjenje razlomaka:
Odgovori. Jednačina dobijena kao rezultat transformacija je kanonska jednačina elipse. Dakle, ova linija je elipsa.
Primjer 2. Sastavite kanonsku jednačinu elipse ako su njene poluose jednake 5, odnosno 4.
Rješenje. Gledamo formulu za kanonsku jednadžbu elipse i zamjene: velika poluos je a= 5, poluosa je b= 4 . Dobijamo kanonsku jednačinu elipse:
Tačke i , označene zelenom bojom na glavnoj osi, gdje
su pozvani trikovi.
pozvao ekscentričnost elipsa.
Stav b/a karakteriše "spljoštenost" elipse. Što je ovaj odnos manji, to je elipsa više izdužena duž glavne ose. Međutim, stupanj izduženja elipse češće se izražava kroz ekscentricitet, formula za koju je gore navedena. Za različite elipse, ekscentricitet varira od 0 do 1, uvijek ostaje manji od jedinice.
Primjer 3. Sastavite kanonsku jednadžbu elipse ako je udaljenost između žarišta 8 i glavne ose 10.
Rješenje. Hajde da napravimo nekoliko jednostavnih zaključaka:
Ako je glavna os jednaka 10, tada je polovina, tj. a = 5 ,
Ako je udaljenost između žarišta 8, onda je broj cžarišnih koordinata jednaka je 4.
Zamjenjujemo i izračunavamo:
Rezultat je kanonska jednadžba elipse:
Primjer 4. Sastavite kanonsku jednadžbu elipse ako je njena glavna os 26, a ekscentricitet .
Rješenje. Kao što slijedi i iz veličine glavne ose i iz jednadžbe ekscentriciteta, velika poluos elipse a= 13. Iz jednačine ekscentriciteta izražavamo broj c, potrebno za izračunavanje dužine male poluose:
.
Izračunavamo kvadrat dužine male poluose:
Sastavljamo kanonsku jednačinu elipse:
Primjer 5. Odrediti žarište elipse dato kanonskom jednačinom.
Rješenje. Nađi broj c, koji određuje prve koordinate žarišta elipse:
.
Dobijamo fokuse elipse:
Primjer 6. Fokusi elipse nalaze se na osi Ox simetrično oko porekla. Sastavite kanonsku jednačinu elipse ako:
1) udaljenost između fokusa je 30, a glavna os je 34
2) mala osa 24, a jedan od fokusa je u tački (-5; 0)
3) ekscentricitet, a jedno od žarišta je u tački (6; 0)
Nastavimo zajedno rješavati probleme elipse
Ako je proizvoljna tačka elipse (označena zelenom bojom u gornjem desnom dijelu elipse na crtežu) i udaljenost do te točke od žarišta, tada su formule za udaljenosti sljedeće:
Za svaku tačku koja pripada elipsi, zbir udaljenosti od žarišta je konstantna vrijednost jednaka 2 a.
Prave definirane jednadžbama
su pozvani ravnateljice elipsa (na crtežu su crvene linije duž ivica).
Iz gornje dvije jednačine slijedi da za bilo koju tačku elipse
,
gdje i su udaljenosti ove točke do direktrisa i .
Primjer 7. Zadana elipsa. Napišite jednačinu za njegove direktrise.
Rješenje. Gledamo jednadžbu direktrise i nalazimo da trebamo pronaći ekscentricitet elipse, tj. Za to imamo sve podatke. Računamo:
.
Dobijamo jednačinu direktrisa elipse:
Primjer 8. Sastavite kanonsku jednadžbu elipse ako su njena žarišta tačke, a direktrise prave.
Predavanja iz algebre i geometrije. Semestar 1.
Predavanje 15. Elipsa.
Poglavlje 15. Elipsa.
klauzula 1. Osnovne definicije.
Definicija. Elipsa je GMT ravni, zbir udaljenosti do dvije fiksne tačke ravni, koje se nazivaju fokusi, je konstantna vrijednost.
Definicija. Udaljenost od proizvoljne tačke M ravni do fokusa elipse naziva se žarišnim radijusom tačke M.
Oznake: 
– žarišta elipse, 
– žarišne radijuse tačke M.
Po definiciji elipse, tačka M je tačka elipse ako i samo ako 
– konstantna vrijednost. Ova konstanta se obično označava kao 2a:
.
(1)
primeti, to 
.
Po definiciji elipse, njena žarišta su fiksne tačke, tako da je i udaljenost između njih konstantna vrijednost za datu elipsu.
Definicija. Udaljenost između žarišta elipse naziva se žižna daljina.
Oznaka: 
.
Iz trougla 
sledi to 
, tj.
.
Označimo sa b broj jednak 
, tj.
.
(2)
Definicija. Stav
(3)
naziva se ekscentricitet elipse.
Hajde da uvedemo koordinatni sistem na ovoj ravni, koji ćemo nazvati kanonskim za elipsu.
Definicija. Osa na kojoj leže žarišta elipse naziva se fokalna osa.
Konstruirajmo kanonski PDSC za elipsu, vidi sliku 2.
Odabiremo žarišnu osu kao apscisnu osu i povlačimo os ordinate kroz sredinu segmenta 
okomito na fokalnu osu.
Tada fokusi imaju koordinate 
,
.
klauzula 2. Kanonska jednadžba elipse.
Teorema. U kanonskom koordinatnom sistemu za elipsu, jednadžba elipse ima oblik:
.
(4)
Dokaz. Dokaz izvodimo u dvije faze. U prvoj fazi ćemo dokazati da koordinate bilo koje tačke koja leži na elipsi zadovoljavaju jednačinu (4). U drugoj fazi ćemo dokazati da svako rješenje jednačine (4) daje koordinate tačke koja leži na elipsi. Odavde će slijediti da jednačinu (4) zadovoljavaju one i samo one tačke koordinatne ravni koje leže na elipsi. Iz ovoga i iz definicije jednačine krive slijedi da je jednačina (4) jednačina elipse.
1) Neka je tačka M(x, y) tačka elipse, tj. zbir njegovih žarišnih radijusa je 2a:
.
Upotrijebimo formulu za udaljenost između dvije tačke na koordinatnoj ravni i koristimo ovu formulu da pronađemo žarišne radijuse date tačke M:
,
, odakle dobijamo:
Pomaknimo jedan korijen na desnu stranu jednakosti i kvadriramo ga:
Smanjenjem dobijamo:
Predstavljamo slične, smanjite za 4 i uklonite radikal:
.
Kvadratura
Otvorite zagrade i skratite za 
:
gdje dobijamo:
Koristeći jednakost (2) dobijamo:
.
Posljednju jednakost dijelimo sa 
, dobijamo jednakost (4) itd.
2) Neka sada par brojeva (x, y) zadovoljava jednačinu (4) i neka je M(x, y) odgovarajuća tačka na koordinatnoj ravni Oxy.
Tada iz (4) slijedi:
.
Ovu jednakost zamjenjujemo u izraz za žarišne polumjere tačke M:
.
Ovdje smo koristili jednakost (2) i (3).
dakle, 
. Isto tako, 
.
Sada primijetite da iz jednakosti (4) slijedi da
ili 
itd. 
, tada slijedi nejednakost:
.
Odavde, pak, slijedi da
ili 
I
,
.
(5)
Iz jednakosti (5) slijedi da 
, tj. tačka M(x, y) je tačka elipse, itd.
Teorema je dokazana.
Definicija. Jednačina (4) se zove kanonska jednačina elipse.
Definicija. Kanonske koordinatne ose za elipsu nazivaju se glavne ose elipse.
Definicija. Porijeklo kanonskog koordinatnog sistema za elipsu se naziva središte elipse.
klauzula 3. Svojstva elipse.
Teorema. (Svojstva elipse.)
1. U kanonskom koordinatnom sistemu za elipsu, sve
tačke elipse su u pravougaoniku
,
.
2. Tačke leže na
3. Elipsa je kriva koja je simetrična u odnosu na
njihove glavne ose.
4. Centar elipse je njen centar simetrije.
Dokaz. 1, 2) Odmah slijedi iz kanonske jednačine elipse.
3, 4) Neka je M(x, y) proizvoljna tačka elipse. Tada njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu (4). Ali tada i koordinate tačaka zadovoljavaju jednačinu (4), te su stoga tačke elipse, iz koje slijede tvrdnje teoreme.
Teorema je dokazana.
Definicija. Veličina 2a naziva se glavna osa elipse, a veličina a se naziva velika poluosa elipse.
Definicija. Veličina 2b naziva se mala osa elipse, veličina b naziva se poluosovina elipse.
Definicija. Tačke preseka elipse sa njenim glavnim osama nazivaju se vrhovi elipse.
Komentar. Elipsa se može konstruisati na sledeći način. Na ravni "zabijamo ekser u žarišne tačke" i na njih pričvršćujemo dužinu konca 
. Zatim uzmemo olovku i njome razvučemo konac. Zatim pomičemo olovku olovke duž ravnine, pazeći da je konac zategnut.
Iz definicije ekscentriciteta slijedi da
Popravimo broj a i usmjerimo broj c na nulu. Zatim u 
,
I 
. U limitu koji dobijamo
ili 
– jednačina kružnice.
Hajde sada da usmerimo 
. Onda 
,
i vidimo da se u granici elipsa degeneriše u pravi segment 
u oznakama na slici 3.
klauzula 4. Parametarske jednadžbe elipse.
Teorema. Neka 
– proizvoljni realni brojevi. Zatim sistem jednačina
,
(6)
su parametarske jednadžbe elipse u kanonskom koordinatnom sistemu za elipsu.
Dokaz. Dovoljno je dokazati da je sistem jednačina (6) ekvivalentan jednačini (4), tj. imaju isti skup rješenja.
1) Neka je (x, y) proizvoljno rješenje sistema (6). Podijelite prvu jednačinu sa a, drugu sa b, kvadrirajte obje jednadžbe i dodajte:
.
One. svako rješenje (x, y) sistema (6) zadovoljava jednačinu (4).
2) Obrnuto, neka je par (x, y) rješenje jednačine (4), tj.
.
Iz ove jednakosti slijedi da je tačka sa koordinatama 
leži na kružnici jediničnog poluprečnika sa centrom u početku, tj. je tačka na trigonometrijskom krugu kojoj odgovara određeni ugao 
:
Iz definicije sinusa i kosinusa to odmah slijedi
,
, Gdje 
, iz čega slijedi da je par (x, y) rješenje sistema (6) itd.
Teorema je dokazana.
Komentar. Elipsa se može dobiti kao rezultat ujednačenog „kompresije“ kružnice poluprečnika a prema osi apscise.
Neka 
– jednačina kružnice sa centrom u početku. „Kompresija“ kružnice na os apscise nije ništa drugo nego transformacija koordinatne ravni, koja se provodi prema sljedećem pravilu. Za svaku tačku M(x, y) pridružujemo tačku na istoj ravni 
, Gdje 
,
– omjer kompresije.
Ovom transformacijom, svaka tačka na kružnici "prelazi" u drugu tačku na ravni, koja ima istu apscisu, ali manju ordinatu. Izrazimo staru ordinatu tačke kroz novu:
i zameni krugove u jednadžbu:
.
Odavde dobijamo:
.
(7)
Iz ovoga slijedi da ako je prije transformacije „kompresije“ tačka M(x, y) ležala na kružnici, tj. njene koordinate su zadovoljile jednadžbu kruga, a zatim se nakon transformacije "kompresije" ova tačka "transformirala" u tačku 
, čije koordinate zadovoljavaju jednačinu elipse (7). Ako želimo da dobijemo jednadžbu elipse sa poluosom b, onda moramo uzeti faktor kompresije
.
klauzula 5. Tangenta na elipsu.
Teorema. Neka 
– proizvoljna tačka elipse
.
Zatim jednačina tangente na ovu elipsu u tački 
ima oblik:
.
(8)
Dokaz. Dovoljno je razmotriti slučaj kada tačka dodira leži u prvoj ili drugoj četvrtini koordinatne ravni: 
. Jednadžba elipse u gornjoj poluravni ima oblik:
.
(9)
Koristimo jednadžbu tangente na graf funkcije 
u tački 
:
Gdje 
– vrijednost derivacije date funkcije u tački 
. Elipsa u prvoj četvrtini može se smatrati grafikom funkcije (8). Nađimo njegovu derivaciju i vrijednost u tački tangentnosti:
,
. Ovdje smo iskoristili činjenicu da je tangentna tačka 
je tačka elipse i stoga njene koordinate zadovoljavaju jednačinu elipse (9), tj.
.
Pronađenu vrijednost derivacije zamjenjujemo u tangentnu jednadžbu (10):
,
gdje dobijamo:
Ovo implicira:
Podijelimo ovu jednakost sa 
:
.
Ostaje to primijetiti 
, jer dot 
pripada elipsi i njene koordinate zadovoljavaju njenu jednadžbu.
Jednačina tangente (8) dokazuje se na sličan način u tački tangente koja leži u trećoj ili četvrtoj četvrtini koordinatne ravni.
I konačno, lako možemo provjeriti da jednačina (8) daje tangentnu jednačinu u tačkama 
,
:
ili 
, And 
ili 
.
Teorema je dokazana.
klauzula 6. Svojstvo ogledala elipse.
Teorema. Tangenta na elipsu ima jednake uglove sa žarišnim radijusima tačke tangente.
Neka 
– tačka kontakta, 
,
– žarišne polumjere tangentne tačke, P i Q – projekcije fokusa na tangentu povučenu na elipsu u tački 
.
Teorema to kaže
.
(11)
Ova jednakost se može protumačiti kao jednakost uglova upada i refleksije zraka svjetlosti od elipse oslobođene iz fokusa. Ovo svojstvo se naziva svojstvom ogledala elipse:
Zraka svjetlosti oslobođena iz fokusa elipse, nakon refleksije od ogledala elipse, prolazi kroz drugi fokus elipse.
Dokaz teoreme. Da bismo dokazali jednakost uglova (11), dokazujemo sličnost trokuta 
I 
, u kojem su strane 
I 
će biti slično. Pošto su trouglovi pravougli, dovoljno je dokazati jednakost
Elipsa je geometrijski lokus tačaka na ravni, zbir udaljenosti svake od njih do dvije date tačke F_1, a F_2 je konstantna vrijednost (2a) veća od udaljenosti (2c) između ovih date bodove(Sl. 3.36, a). Ova geometrijska definicija izražava fokalno svojstvo elipse.
Fokalno svojstvo elipse
Tačke F_1 i F_2 se nazivaju fokusi elipse, udaljenost između njih 2c=F_1F_2 je žižna daljina, sredina O segmenta F_1F_2 je centar elipse, broj 2a je dužina glavne ose elipse elipse (prema tome, broj a je velika poluosa elipse). Segmenti F_1M i F_2M koji povezuju proizvoljnu tačku M elipse sa njenim žarištima nazivaju se fokalni radijusi tačke M. Segment koji spaja dvije tačke elipse naziva se tetiva elipse.
Omjer e=\frac(c)(a) naziva se ekscentricitet elipse. Iz definicije (2a>2c) slijedi da je 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).
Geometrijska definicija elipse, izražavajući njegovo fokalno svojstvo, ekvivalentno je njegovoj analitičkoj definiciji - liniji datoj kanonskom jednadžbom elipse:
Zaista, hajde da uvedemo pravougaoni koordinatni sistem (slika 3.36c). Uzimamo centar O elipse kao ishodište koordinatnog sistema; uzimamo pravu liniju koja prolazi kroz žarišta (fokalnu os ili prvu os elipse) kao osu apscise (pozitivni smjer na njoj je od tačke F_1 do tačke F_2); uzmimo pravu liniju okomitu na fokalnu osu i koja prolazi kroz centar elipse (druga os elipse) kao ordinatnu os (smjer na ordinatnoj osi je odabran tako da je pravokutni koordinatni sistem Oxy pravi) .
Kreirajmo jednačinu za elipsu koristeći njenu geometrijsku definiciju, koja izražava fokalno svojstvo. U odabranom koordinatnom sistemu određujemo koordinate žarišta F_1(-c,0),~F_2(c,0). Za proizvoljnu tačku M(x,y) koja pripada elipsi imamo:
\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.
Zapisujući ovu jednakost u koordinatnom obliku, dobijamo:
\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.
Pomjerimo drugi radikal na desnu stranu, kvadriramo obje strane jednadžbe i donosimo slične članove:
(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.
Dijeljenjem sa 4 kvadriramo obje strane jednadžbe:
a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).
Nakon što je odredio b=\sqrt(a^2-c^2)>0, dobijamo b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Dijelimo obje strane sa a^2b^2\ne0 , dolazimo do kanonska jednačina elipsa:
\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.
Stoga je odabrani koordinatni sistem kanonski.
Ako se žarišta elipse poklapaju, onda je elipsa kružnica (sl. 3.36,6), pošto je a=b. U ovom slučaju, svaki pravougaoni koordinatni sistem sa ishodištem u tački biće kanonski O\ekviv. F_1\ekviv. F_2, a jednačina x^2+y^2=a^2 je jednačina kružnice sa centrom u tački O i polumjerom jednakim a.
Rezonovanjem u obrnutim redosledom, može se pokazati da sve tačke čije koordinate zadovoljavaju jednačinu (3.49), a samo one, pripadaju geometrijskom lokusu tačaka koji se naziva elipsa. Drugim riječima, analitička definicija elipse je ekvivalentna njenoj geometrijskoj definiciji, koja izražava fokalno svojstvo elipse.
Direktorijsko svojstvo elipse
Direktrise elipse su dvije prave linije koje idu paralelno sa ordinatnom osom kanonskog koordinatnog sistema na istoj udaljenosti \frac(a^2)(c) od nje. Kod c=0, kada je elipsa kružnica, nema direktrisa (možemo pretpostaviti da su direktrise u beskonačnosti).
Elipsa sa ekscentricitetom 0
Zapravo, na primjer, za fokus F_2 i direktrisu d_2 (slika 3.37,6) uslov \frac(r_2)(\rho_2)=e može se napisati u koordinatnom obliku:
\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\desno)
Oslobađanje od iracionalnosti i zamena e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, dolazimo do jednadžbe kanonske elipse (3.49). Slično razmišljanje se može izvesti za fokus F_1 i direktora d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.
Jednačina elipse u polarnom koordinatnom sistemu
Jednačina elipse u polarnom koordinatnom sistemu F_1r\varphi (sl. 3.37, c i 3.37 (2)) ima oblik
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)
gdje je p=\frac(b^2)(a) fokalni parametar elipse.
U stvari, izaberemo lijevi fokus F_1 elipse kao pol polarnog koordinatnog sistema, a zrak F_1F_2 kao polarnu osu (slika 3.37, c). Tada za proizvoljnu tačku M(r,\varphi), prema geometrijskoj definiciji (fokalno svojstvo) elipse, imamo r+MF_2=2a. Izražavamo udaljenost između tačaka M(r,\varphi) i F_2(2c,0) (vidi):
\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(poravnano)
Stoga, u koordinatnom obliku, jednadžba elipse F_1M+F_2M=2a ima oblik
r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.
Izoliramo radikal, kvadriramo obje strane jednadžbe, dijelimo sa 4 i predstavljamo slične pojmove:
r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.
Izrazite polarni polumjer r i izvršite zamjenu e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):
r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1) -e\cdot\cos\varphi)) \quad \leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),
Q.E.D.
Geometrijsko značenje koeficijenata u jednadžbi elipse
Nađimo tačke preseka elipse (videti sliku 3.37a) sa koordinatnim osama (vrhovima elipse). Zamjenom y=0 u jednačinu, nalazimo točke presjeka elipse sa apscisnom osom (sa fokalnom osom): x=\pm a. Dakle, dužina segmenta žižne ose unutar elipse jednaka je 2a. Ovaj segment, kao što je gore navedeno, naziva se glavna osa elipse, a broj a je velika poluosa elipse. Zamjenom x=0 dobijamo y=\pm b. Dakle, dužina segmenta druge ose elipse koja se nalazi unutar elipse jednaka je 2b. Ovaj segment se naziva mala osa elipse, a broj b je poluos elipse.
stvarno, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, a jednakost b=a dobija se samo u slučaju c=0, kada je elipsa kružnica. Stav k=\frac(b)(a)\leqslant1 naziva se omjer kompresije elipse.
Napomene 3.9
1. Prave linije x=\pm a,~y=\pm b ograničavaju glavni pravougaonik na koordinatnoj ravni, unutar koje se nalazi elipsa (vidi sliku 3.37, a).
2. Elipsa se može definirati kao lokus tačaka dobijen kompresijom kruga na njegov prečnik.
Zaista, neka jednačina kružnice u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxy ima oblik x^2+y^2=a^2. Kada se komprimuje na x-osu sa koeficijentom 0 \begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases) Zamjenom kružnica x=x" i y=\frac(1)(k)y" u jednačinu dobijamo jednačinu za koordinate slike M"(x",y") tačke M(x,y) ) : (x")^2+(\lijevo(\frac(1)(k)\cdot y"\desno)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1,
!} budući da je b=k\cdot a . Ovo je kanonska jednadžba elipse. 3. Koordinatne ose (kanonskog koordinatnog sistema) su ose simetrije elipse (koje se nazivaju glavne ose elipse), a njen centar je centar simetrije. Zaista, ako tačka M(x,y) pripada elipsi . tada tačke M"(x,-y) i M""(-x,y), simetrične tački M u odnosu na koordinatne ose, takođe pripadaju istoj elipsi. 4. Iz jednadžbe elipse u polarnom koordinatnom sistemu r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(vidi sliku 3.37, c), geometrijsko značenje žarišnog parametra je razjašnjeno - ovo je polovina dužine tetive elipse koja prolazi kroz njen fokus okomito na fokalnu osu (r=p pri \varphi=\frac(\pi)(2)). 5. Ekscentricitet e karakteriše oblik elipse, odnosno razliku između elipse i kružnice. Što je veće e, to je elipsa izduženija, a što je e bliže nuli, to je elipsa bliža krugu (slika 3.38a). Zaista, uzimajući u obzir da je e=\frac(c)(a) i c^2=a^2-b^2, dobijamo e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\desno )\^2=1-k^2,
!} gdje je k faktor kompresije elipse, 0 6. Jednačina \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 at a 7. Jednačina \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b definiše elipsu sa centrom u tački O"(x_0,y_0), čije su ose paralelne sa koordinatnim osa (slika 3.38, c). Ova jednačina se svodi na kanonsku pomoću paralelnog prevođenja (3.36). Kada je a=b=R jednačina (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 opisuje krug radijusa R sa centrom u tački O"(x_0,y_0) . Parametrijska jednadžba elipse u kanonskom koordinatnom sistemu ima oblik \begin(slučajevi)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(slučajevi)0\leqslant t<2\pi.
Zaista, zamjenom ovih izraza u jednačinu (3.49), dolazimo do glavnog trigonometrijskog identiteta \cos^2t+\sin^2t=1. Primjer 3.20. Nacrtajte elipsu \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 u kanonskom koordinatnom sistemu Oxy. Pronađite polu-ose, žižnu daljinu, ekscentricitet, kompresiju, fokusni parametar, jednačine direktrise. Rješenje. Upoređujući datu jednačinu sa kanonskom, određujemo poluose: a=2 - velika poluosa, b=1 - mala poluosa elipse. Gradimo osnovni pravougaonik sa stranicama 2a=4,~2b=2 sa centrom na početku (slika 3.39). S obzirom na simetriju elipse, uklapamo je u glavni pravougaonik. Ako je potrebno, odredite koordinate nekih tačaka elipse. Na primjer, zamjenom x=1 u jednadžbu elipse, dobijamo \frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2). Dakle, tačke sa koordinatama \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- pripadaju elipsi. Izračunavanje omjera kompresije k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); žižna daljina 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ekscentričnost e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); fokalni parametar p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Sastavljamo jednadžbe direktrisa: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).Parametrijska jednadžba elipse
