Uvod
Da li su slučajni fenomeni podložni nekim zakonima? Da, ali ovi zakoni su drugačiji od onih na koje smo navikli fizički zakoni. Vrijednosti SV se ne mogu predvidjeti čak ni pod poznatim eksperimentalnim uvjetima možemo samo naznačiti vjerovatnoće da će SV uzeti jednu ili drugu vrijednost. Ali znajući distribuciju vjerovatnoće SV-a, možemo izvući zaključke o događajima u kojima ove slučajne varijable učestvuju. Istina, ovi zaključci će također biti vjerovatnoće po prirodi.
Neka je neka SV diskretna, tj. može uzeti samo fiksne vrijednosti Xi. U ovom slučaju, niz vrijednosti vjerovatnoće P(Xi) za sve (i=1…n) dozvoljene vrijednosti ove veličine naziva se njen zakon raspodjele.
Zakon raspodjele SV je relacija koja uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti SV i vjerovatnoća s kojima su te vrijednosti prihvaćene. Zakon raspodjele u potpunosti karakterizira SV.
Prilikom izgradnje matematički model za provjeru statistička hipoteza potrebno je uvesti matematičku pretpostavku o zakonu distribucije SV (parametarski način konstruisanja modela).
Neparametarski pristup opisivanju matematičkog modela (SV nema parametarski zakon raspodjele) je manje precizan, ali ima širi opseg.
Baš kao i za vjerovatnoću slučajnog događaja, za zakon raspodjele SV postoje samo dva načina da se pronađe. Ili ćemo napraviti dijagram slučajnog događaja i pronaći analitički izraz (formulu) za izračunavanje vjerovatnoće (možda je neko već uradio ili će to učiniti umjesto nas!), ili ćemo morati koristiti eksperiment i na osnovu frekvencija zapažanja, napraviti neke pretpostavke (iznijeti hipoteze) o zakonskim distribucijama.
Naravno, za svaku od “klasičnih” distribucija ovaj posao se radi već duže vrijeme – nadaleko poznate i vrlo često korištene u primijenjenoj statistici su binomne i polinomske raspodjele, geometrijske i hipergeometrijske, Pascalove i Poissonove distribucije i mnoge druge.
Za skoro sve klasične distribucije, odmah su konstruisane i objavljene posebne statističke tabele, unapređene kako se povećavala preciznost proračuna. Bez upotrebe velikog broja tomova ovih tabela, bez obuke o pravilima za njihovo korišćenje, praktična upotreba statistike bila je nemoguća u poslednja dva veka.
Danas se situacija promijenila - nema potrebe za pohranjivanjem proračunskih podataka pomoću formula (ma koliko ove posljednje bile složene!), vrijeme korištenja zakona raspodjele u praksi svedeno je na minute, pa čak i sekunde. Već postoji dovoljan broj različitih aplikativnih softverskih paketa za ove svrhe.
Među svim distribucijama vjerovatnoće, postoje one koje se posebno često koriste u praksi. Ove distribucije su detaljno proučavane i njihova svojstva su dobro poznata. Mnoge od ovih distribucija leže u osnovi čitavih polja znanja, kao što je teorija queuing, teorija pouzdanosti, kontrola kvaliteta, teorija igara itd.
Među njima se ne može ne obratiti pažnja na radove Poissona (1781-1840), koji je dokazao opštiji oblik zakona velikih brojeva od Jacoba Bernoullija, a također je po prvi put primijenio teoriju vjerovatnoće na probleme pucanja. . Poissonovo ime je povezano s jednim od zakona distribucije, koji igra važnu ulogu u teoriji vjerovatnoće i njenim primjenama.
Ovom zakonu o distribuciji je posvećen ovaj članak. rad na kursu. Radi se o direktno o zakonu, o njegovim matematičkim karakteristikama, posebnim svojstvima, povezanosti sa binomnom distribucijom. Reći će se nekoliko riječi o praktičnoj primjeni i dati nekoliko primjera iz prakse.
Svrha našeg eseja je razjasniti suštinu Bernoullijevih i Poissonovih teorema raspodjele.
Zadatak je proučiti i analizirati literaturu na temu eseja.
1. Binomna distribucija (Bernoullijeva distribucija)
Binomna distribucija (Bernoullijeva distribucija) - distribucija verovatnoće broja pojavljivanja nekog događaja sa ponovljenim nezavisni testovi, ako je vjerovatnoća pojave ovog događaja u svakom ispitivanju p (0
Za SV X se kaže da je distribuiran prema Bernoullijevom zakonu sa parametrom p ako uzima vrednosti 0 i 1 sa verovatnoćama pX(x)ºP(X=x) = pxq1-x; p+q=1; x=0,1.
Binomna distribucija nastaje u slučajevima kada se postavlja pitanje: koliko puta se određeni događaj dogodi u nizu određenog broja nezavisnih opservacija (eksperimenata) izvedenih pod istim uslovima.
Radi praktičnosti i jasnoće, pretpostavit ćemo da znamo vrijednost p - vjerovatnoću da će se posjetitelj koji uđe u radnju ispostaviti da je kupac i (1-p) = q - vjerovatnoća da posjetitelj koji uđe u radnju neće biti kupac.
Ako je X broj kupaca od ukupnog broja n posetilaca, onda je verovatnoća da je među n posetilaca bilo k kupaca jednaka
P(X= k) = , gdje je k=0,1,…n 1)
Formula (1) se zove Bernoullijeva formula. Uz veliki broj testova, binomna raspodjela ima tendenciju da bude normalna.
Bernoullijev test je eksperiment vjerovatnoće sa dva ishoda, koji se obično nazivaju "uspjeh" (obično označen simbolom 1) i "neuspjeh" (respektivno označen sa 0). Verovatnoća uspeha se obično označava slovom p, neuspeh - slovom q; naravno q=1-p. Vrijednost p naziva se parametar Bernoullijevog testa.
Binomne, geometrijske, paskalne i negativne binomne slučajne varijable se dobijaju iz niza nezavisnih Bernulijevih pokušaja ako se sekvenca prekine na ovaj ili onaj način, na primer nakon n-tog pokušaja ili x-tog uspeha. Obično se koristi sljedeća terminologija:
– parametar Bernulijevog testa (vjerovatnoća uspjeha u jednom testu);
– broj testova;
– broj uspjeha;
– broj kvarova.
Binomna slučajna varijabla (m|n,p) – broj m uspjeha u n pokušaja.
Geometrijska slučajna varijabla G(m|p) – broj m pokušaja do prvog uspjeha (uključujući prvi uspjeh).
Pascal slučajna varijabla C(m|x,p) – broj m pokušaja do x-tog uspjeha (ne uključujući, naravno, sam x-ti uspjeh).
Negativna binomna slučajna varijabla Y(m|x,p) – broj m neuspjeha prije x-tog uspjeha (ne uključujući x-ti uspjeh).
Napomena: ponekad se negativna binomna distribucija naziva Pascal distribucija i obrnuto.
Poissonova distribucija
2.1. Definicija Poissonovog zakona
U mnogim praktičnim problemima treba se baviti slučajnim varijablama raspoređenim prema posebnom zakonu, koji se zove Poissonov zakon.
Razmotrimo diskontinuiranu slučajnu varijablu X, koja može uzeti samo cijele, ne-negativne vrijednosti: 0, 1, 2, ... , m, ... ; Štaviše, slijed ovih vrijednosti je teoretski neograničen. Kaže se da je slučajna varijabla X distribuirana prema Poissonovom zakonu ako je vjerovatnoća da će poprimiti određenu vrijednost m izražena formulom:
gdje je a neka pozitivna veličina koja se naziva parametar Poissonovog zakona.
Raspon distribucije slučajna varijabla X, distribuiran prema Poissonovom zakonu, izgleda ovako:
| xm | … | m | … | |||
| pm | e-a | … | … |
2.2. Glavne karakteristike Poissonove distribucije
Prvo, uvjerimo se da slijed vjerovatnoća može biti niz distribucije, tj. da je zbir svih vjerovatnoća Rm jednak jedinici.
Koristimo proširenje funkcije ex u Maclaurinov niz:
Poznato je da ovaj niz konvergira za bilo koju vrijednost x, dakle, uzimajući x = a, dobijamo
dakle
Hajde da definišemo glavne karakteristike - očekivanu vrijednost i varijansa - slučajna varijabla X distribuirana prema Poissonovom zakonu. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable je zbir proizvoda svih mogućih vrijednosti i njihovih vjerovatnoća. Po definiciji, kada diskretna slučajna varijabla uzme prebrojiv skup vrijednosti:
Prvi član sume (koja odgovara m=0) jednak je nuli, stoga zbrajanje može početi sa m=1:
Dakle, parametar a nije ništa drugo do matematičko očekivanje slučajne varijable X.
Varijanca slučajne varijable X je matematičko očekivanje kvadratnog odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja:
Međutim, prikladnije je izračunati ga pomoću formule:
Stoga, hajde da prvo pronađemo drugu početni trenutak X vrijednosti:
Prema ranije dokazanim
osim toga,
2.3. Dodatne karakteristike Poissonove distribucije
I. Početni trenutak reda k slučajne varijable X je matematičko očekivanje vrijednosti Xk:
Konkretno, početni trenutak prvog reda jednak je matematičkom očekivanju:
II. Centralni moment reda k slučajne varijable X je matematičko očekivanje vrijednosti k:
Konkretno, centralni moment 1. reda je 0:
μ1=M=0,
centralni moment 2. reda jednak je disperziji:
μ2=M2=a.
III. Za slučajnu varijablu X distribuiranu prema Poissonovom zakonu, nalazimo vjerovatnoću da će poprimiti vrijednost ne manju od datog k. Ovu vjerovatnoću označavamo sa Rk:
Očigledno, vjerovatnoća Rk se može izračunati kao zbir
Međutim, mnogo je lakše to odrediti iz vjerovatnoće suprotan događaj:
Konkretno, vjerovatnoća da će vrijednost X poprimiti pozitivnu vrijednost izražava se formulom
Kao što je već spomenuto, mnogi problemi u praksi rezultiraju Poissonovom distribucijom. Razmotrimo jedan od tipičnih problema ove vrste.
|
Neka su tačke nasumično raspoređene na x-osi Ox (slika 2). Pretpostavimo da slučajna distribucija tačaka zadovoljava sledećim uslovima:
1) Vjerovatnoća da određeni broj tačaka padne na segment l zavisi samo od dužine ovog segmenta, ali ne zavisi od njegovog položaja na osi apscise. Drugim riječima, tačke su raspoređene na x-osi sa istom prosječnom gustinom. Označimo ovu gustinu, tj. matematičko očekivanje broja tačaka po jedinici dužine, izraženo kroz λ.
2) Tačke su raspoređene na x-osi nezavisno jedna od druge, tj. vjerovatnoća pada određenog broja tačaka na dati segment ne zavisi od toga koliko ih pada na bilo koji drugi segment koji se ne preklapa s njim.
3) Vjerovatnoća pada dvije ili više tačaka u malo područje Δx je zanemarljiva u poređenju sa vjerovatnoćom pada jedne tačke (ovaj uslov znači praktičnu nemogućnost da se dvije ili više tačaka poklope).
Odaberimo određeni segment dužine l na osi apscise i razmotrimo diskretnu slučajnu varijablu X - broj tačaka koje padaju na ovaj segment. Moguće vrijednosti vrijednosti će biti 0,1,2,...,m,... Pošto tačke padaju na segment nezavisno jedna od druge, teoretski je moguće da ih tamo bude onoliko koliko se želi, tj. ovu seriju nastavlja se u nedogled.
Dokažimo da je slučajna varijabla X distribuirana prema Poissonovom zakonu. Da biste to učinili, morate izračunati vjerovatnoću Pm da će tačno m tačaka pasti na segment.
Prvo da riješimo više jednostavan zadatak. Razmotrimo malu površinu Δx na osi Ox i izračunajmo vjerovatnoću da će barem jedna tačka pasti na ovu oblast. Rezonovaćemo na sledeći način. Matematičko očekivanje broja tačaka koji padaju na ovu sekciju očigledno je jednako λ·Δx (pošto u proseku λ tačaka pada po jedinici dužine). Prema uslovu 3, za mali segment Δx možemo zanemariti mogućnost da dvije ili više tačaka padaju na njega. Prema tome, matematičko očekivanje λ·Δh broja tačaka koje padaju na površinu Δh biće približno jednako verovatnoći da jedna tačka padne na nju (ili, što je ekvivalentno u ovim uslovima, najmanje jedna).
Dakle, do beskonačno malog višeg reda, za Δh→0 možemo uzeti u obzir vjerovatnoću da će jedna (bar jedna) tačka pasti na dionicu Δh jednaka λ·Δh, a vjerovatnoća da nijedna neće pasti jednaka 1-c·Δh.
Iskoristimo ovo da izračunamo vjerovatnoću Pm da tačno m tačaka padne na segment l. Podijelimo segment l na n jednakih dijelova dužine. Dogovaramo se da elementarni segment Δx nazovemo „praznim“ ako ne sadrži ni jednu tačku, a „zauzetim“ ako se pojavi barem jedna. Prema gore navedenom, vjerovatnoća da će segment Δh biti „zauzet“ je približno jednaka λ·Δh=; vjerovatnoća da će biti "prazan" je 1-. Pošto su, prema uslovu 2, tačke koje spadaju u segmente koji se ne preklapaju nezavisne, onda se naših n segmenata može smatrati n nezavisnih „eksperimenata“, u svakom od kojih se segment može „zauzeti“ sa verovatnoćom p=. Nađimo vjerovatnoću da će među n segmenata biti tačno m "zauzetih". Prema teoremi ponovljenih nezavisnih ispitivanja, ova vjerovatnoća je jednaka
,
ili označimo λl=a:
.
Za dovoljno veliko n, ova vjerovatnoća je približno jednaka vjerovatnoći da tačno m tačaka padaju na segment l, pošto vjerovatnoća da dvije ili više tačaka padnu na segment Δx je zanemarljiva. Da biste pronašli tačna vrijednost Rm, morate ići do granice kao n→∞:
S obzirom na to
,
nalazimo da je željena vjerovatnoća izražena formulom
gdje je a=λl, tj. vrijednost X se distribuira prema Poissonovom zakonu sa parametrom a=λl.
Treba napomenuti da vrijednost a u značenju predstavlja prosječan broj bodova po segmentu l. Vrijednost R1 (vjerovatnoća da će vrijednost X poprimiti pozitivnu vrijednost) u u ovom slučaju izražava vjerovatnoću da će barem jedna tačka pasti na segment l: R1=1-e-a.
Dakle, uvjereni smo da se Poissonova distribucija javlja gdje neke tačke (ili drugi elementi) zauzimaju nasumični položaj nezavisno jedna od druge, a broj tih tačaka koji spadaju u neku oblast se računa. U našem slučaju takva površina je bio segment l na osi apscise. Međutim, ovaj zaključak se lako može proširiti na slučaj raspodjele tačaka na ravni (slučajno ravno polje tačaka) iu prostoru (slučajno prostorno polje tačaka). Nije teško dokazati da ako su ispunjeni uslovi:
1) tačke su statistički ravnomerno raspoređene u polju sa prosečnom gustinom λ;
2) tačke padaju nezavisno u oblasti koje se ne preklapaju;
3) tačke se pojavljuju pojedinačno, a ne u parovima, trojkama itd.,
tada je broj tačaka X koje spadaju u bilo koju regiju D (ravnu ili prostornu) distribuiran prema Poissonovom zakonu:
,
gdje je a prosječan broj bodova koji spadaju u područje D.
Za ravan slučaj a=SD λ, gdje je SD površina područja D,
za prostorni a= VD λ, gde je VD zapremina regiona D.
Za Poissonovu distribuciju broja tačaka koje spadaju u segment ili region, uslov konstantne gustine (λ=const) je nevažan. Ako su druga dva uslova ispunjena, onda Poissonov zakon i dalje vrijedi, samo parametar a u njemu poprima drugačiji izraz: ne dobija se jednostavnim množenjem gustoće λ sa dužinom, površinom ili zapreminom, već integracijom promjenljive gustine preko segmenta, površine ili zapremine.
Poissonova distribucija igra važnu ulogu u nizu pitanja fizike, teorije komunikacija, teorije pouzdanosti, teorije čekanja itd. Bilo gdje gdje se može dogoditi nasumičan broj događaja (radioaktivni raspadi, telefonski pozivi, kvarovi na opremi, nesreće, itd.) tokom određenog vremenskog perioda.
Razmotrimo najtipičniju situaciju u kojoj nastaje Poissonova raspodjela. Neka se neki događaji (kupovine u prodavnici) događaju u nasumično vrijeme. Odredimo broj pojavljivanja takvih događaja u vremenskom intervalu od 0 do T.
Nasumični broj događaja koji su se desili tokom vremena od 0 do T distribuira se prema Poissonovom zakonu sa parametrom l=aT, gdje je a>0 parametar problema koji odražava prosječnu učestalost događaja. Vjerovatnoća k kupovina u velikom vremenskom intervalu (na primjer, dan) će biti
Zaključak
U zaključku, želio bih napomenuti da je Poissonova distribucija prilično česta i važna distribucija, koja ima primjenu kako u teoriji vjerovatnoće i njenim primjenama, tako i u matematičke statistike.
Mnogi praktični problemi se na kraju svode na Poissonovu distribuciju. Njegovo posebno svojstvo, koje se sastoji u jednakosti matematičkog očekivanja i varijanse, često se koristi u praksi za rješavanje pitanja da li je slučajna varijabla distribuirana prema Poissonovom zakonu ili ne.
Važna je i činjenica da Poissonov zakon omogućava da se pronađu vjerovatnoće događaja u ponovljenim nezavisnim ispitivanjima sa velikim brojem ponavljanja eksperimenta i malom pojedinačnom vjerovatnoćom.
Međutim, Bernoullijeva distribucija se izuzetno rijetko koristi u praksi ekonomskih proračuna, a posebno u analizi stabilnosti. To je zbog računskih poteškoća i činjenice da je Bernoullijeva raspodjela za diskretne količine, te s činjenicom da uslovi klasične šeme (nezavisnost, prebrojiv broj testova, nepromjenjivost uslova koji utiču na mogućnost nastanka događaja) nisu uvijek ispunjeni u praktičnim situacijama. Dalja istraživanja u oblasti analize Bernulijeve šeme, sprovedena u 18.-19. veku. Laplace, Moivre, Poisson i drugi imali su za cilj stvaranje mogućnosti korištenja Bernoullijeve sheme u slučaju velikog broja testova koji teže beskonačnosti.
Književnost
1. Ventzel E.S. Teorija vjerovatnoće. - M, "Viša škola" 1998
2. Gmurman V.E. Vodič za rješavanje problema iz teorije vjerovatnoće i matematičke statistike. - M, "Viša škola" 1998
3. Zbirka zadataka iz matematike za fakultete. Ed. Efimova A.V. - M, Nauka 1990
Razmotrimo Poissonovu distribuciju, izračunajmo njeno matematičko očekivanje, varijansu i mod. Koristeći MS EXCEL funkciju POISSON.DIST(), iscrtaćemo grafove funkcije distribucije i gustine vjerovatnoće. Procijenimo parametar distribucije, njegovo matematičko očekivanje i standardnu devijaciju.
Prvo dajemo suhu formalnu definiciju distribucije, zatim dajemo primjere situacija kada Poissonova distribucija(engleski) Poissondistribucija) je adekvatan model za opisivanje slučajne varijable.
Ako se slučajni događaji dogode u datom vremenskom periodu (ili u određenoj količini materije) sa prosječna frekvencija λ( lambda), zatim broj događaja x, dogodio u ovom vremenskom periodu će imati Poissonova distribucija.
Primjena Poissonove distribucije
Primjeri kada Poissonova distribucija je adekvatan model:
- broj primljenih poziva na telefonskoj centrali u određenom vremenskom periodu;
- broj čestica koje su bile podvrgnute radioaktivnom raspadu tokom određenog vremenskog perioda;
- broj nedostataka na komadu tkanine fiksne dužine.
Poissonova distribucija je adekvatan model ako su ispunjeni sljedeći uslovi:
- događaji se dešavaju nezavisno jedan od drugog, tj. vjerovatnoća narednog događaja ne zavisi od prethodnog;
- prosječna stopa događaja je konstantna. Kao posljedica toga, vjerovatnoća događaja je proporcionalna dužini intervala posmatranja;
- dva događaja se ne mogu dogoditi u isto vrijeme;
- broj događaja mora imati vrijednost 0; 1; 2…
Bilješka: Dobar trag je da posmatrana slučajna varijabla ima Poissonova distribucija, je činjenica da je približno jednaka (vidi dolje).
Ispod su primjeri situacija u kojima Poissonova distribucija ne mogu primijeniti:
- broj studenata koji napuste univerzitet u roku od sat vremena (pošto prosječan protok studenata nije konstantan: tokom nastave ima malo studenata, a tokom pauze između časova broj studenata naglo raste);
- broj potresa sa amplitudom od 5 poena godišnje u Kaliforniji (pošto jedan potres može izazvati naknadne potrese slične amplitude - događaji nisu nezavisni);
- broj dana koje pacijenti provode na odjelu intenzivne njege(jer je broj dana koje pacijenti provedu u jedinici intenzivne njege uvijek veći od 0).
Bilješka: Poissonova distribucija je aproksimacija tačnijeg diskretne distribucije: I .
Bilješka: O vezi Poissonova distribucija I Binomna distribucija može se pročitati u članku. O vezi Poissonova distribucija I Eksponencijalna distribucija možete pročitati u članku o.
Poissonova distribucija u MS EXCEL-u
U MS EXCEL-u, počevši od verzije 2010, za Distribucije Poisson postoji funkcija POISSON.DIST() , engleski naziv- POISSON.DIST(), koji vam omogućava da izračunate ne samo vjerovatnoću onoga što će se dogoditi u datom vremenskom periodu X događaji (funkcija gustina vjerovatnoće p(x), vidi formulu iznad), ali takođe (vjerovatnoća da će tokom određenog vremenskog perioda najmanje x događaji).
Prije MS EXCEL 2010, EXCEL je imao funkciju POISSON(), koja vam također omogućava da izračunate funkcija distribucije I gustina vjerovatnoće p(x). POISSON() je ostavljen u MS EXCEL 2010 radi kompatibilnosti.
Datoteka primjera sadrži grafikone distribucija gustine vjerovatnoće I kumulativna funkcija distribucije.
Poissonova distribucija ima nakošen oblik (dugački rep na desnoj strani funkcije vjerovatnoće), ali kako se parametar λ povećava, postaje sve simetričniji.
Bilješka: Prosjek I disperzija(kvadrat) jednaki su parametru Poissonova distribucija– λ (vidi primjer datoteke lista Primjer).
Zadatak
Tipična primjena Poissonove distribucije u kontroli kvaliteta je model broja nedostataka koji se mogu pojaviti u instrumentu ili uređaju.
Na primjer, s prosječnim brojem defekata u čipu λ (lambda) jednakim 4, vjerovatnoća da će slučajno odabrani čip imati 2 ili manje defekata je: = POISSON.DIST(2,4,TRUE)=0,2381
Treći parametar u funkciji je postavljen = TRUE, tako da će se funkcija vratiti kumulativna funkcija distribucije, odnosno vjerovatnoća da će broj slučajnih događaja biti u rasponu od 0 do 4 uključujući.
Izračuni se u ovom slučaju vrše prema formuli:
Vjerovatnoća da će slučajno odabrano mikrokolo imati tačno 2 defekta je: = POISSON.DIST(2,4,FALSE)=0,1465
Treći parametar u funkciji je postavljen = FALSE, tako da će funkcija vratiti gustoću vjerovatnoće.
Vjerovatnoća da će slučajno odabrano mikrokolo imati više od 2 kvara jednaka je: =1-POISSON.DIST(2,4,TRUE) =0,8535
Bilješka: Ako x nije cijeli broj, onda kada se izračunava formula . Formule =POISSON.DIST( 2 ; 4; LAŽ) I =POISSON.DIST( 2,9 ; 4; LAŽ)će vratiti isti rezultat.
Generisanje slučajnih brojeva i λ procjena
Za vrijednosti λ >15 , Poissonova distribucija dobro aproksimirano Normalna distribucija sa sljedećim parametrima: μ =λ , σ 2 =λ .
Više detalja o odnosu između ovih distribucija možete pronaći u članku. Tu su i primjeri aproksimacije, te su objašnjeni uslovi kada je to moguće i s kojom tačnošću.
SAVJET: O drugim MS EXCEL distribucijama možete pročitati u članku.
U mnogim praktično važnim aplikacijama, Poissonova distribucija igra važnu ulogu. Mnoge numeričke diskretne veličine su implementacije Poissonovog procesa, koji ima sljedeća svojstva:
- Zanima nas koliko puta se određeni događaj dogodi u datom području mogući ishodi nasumični eksperiment. Područje mogućih ishoda može biti vremenski interval, segment, površina itd.
- Vjerovatnoća datog događaja je ista za sva područja mogućih ishoda.
- Broj događaja koji se dešavaju u jednoj oblasti mogućih ishoda je nezavisan od broja događaja koji se dešavaju u drugim oblastima.
- Vjerojatnost da se određeni događaj dogodi više puta u istom području mogućih ishoda teži nuli kako se područje mogućih ishoda smanjuje.
Da bismo dalje razumeli značenje Poissonovog procesa, pretpostavimo da ispitamo broj klijenata koji posećuju filijalu banke koja se nalazi u centralnom poslovnom okrugu tokom ručka, tj. od 12 do 13 sati. Pretpostavimo da želite da odredite broj klijenata koji dolaze u jednoj minuti. Da li ova situacija ima gore navedene karakteristike? Prvo, događaj koji nas zanima je dolazak klijenta, a raspon mogućih ishoda je interval od jedne minute. Koliko klijenata će doći u banku u minuti - nijedan, jedan, dva ili više? Drugo, razumno je pretpostaviti da je vjerovatnoća da će kupac doći u roku od jedne minute jednaka za sve jednominutne intervale. Treće, dolazak jednog klijenta tokom bilo kojeg jednominutnog intervala je nezavisan od dolaska bilo kojeg drugog korisnika tokom bilo kojeg drugog jednominutnog intervala. I konačno, vjerovatnoća da će više klijenata doći u banku teži nuli ako, na primjer, vremenski interval teži nuli, postaje manji od 0,1 s. Dakle, broj klijenata koji dolaze u banku tokom ručka u roku od jedne minute opisuje se Poissonovom distribucijom.
Poissonova distribucija ima jedan parametar, označen simbolom λ (grčko slovo "lambda") - prosječan broj uspješnih pokušaja u datom rasponu mogućih ishoda. Varijanca Poissonove distribucije je također λ, a njena standardna devijacija je . Broj uspješnih pokušaja X Poissonova slučajna varijabla varira od 0 do beskonačnosti. Poissonova distribucija je opisana formulom:
Gdje P(X)- vjerovatnoća X uspješnih pokušaja, λ - očekivani broj uspjeha, e- baza prirodni logaritam, jednako 2,71828, X- broj uspjeha u jedinici vremena.
Vratimo se našem primjeru. Recimo da u pauzi za ručak u banku u prosjeku dođu tri klijenta u minuti. Kolika je vjerovatnoća da će dva klijenta doći u banku u datom trenutku? Kolika je vjerovatnoća da će više od dva klijenta doći u banku?
Primijenimo formulu (1) sa parametrom λ = 3. Tada je vjerovatnoća da će dva klijenta doći u banku u datom minutu jednaka
Vjerovatnoća da će u banku doći više od dva klijenta jednaka je P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) + … + P(X = ∞) . Pošto zbir svih verovatnoća mora biti jednak 1, članovi niza na desnoj strani formule predstavljaju verovatnoću dodavanja događaja X ≤ 2. Drugim rečima, zbir ovog niza je jednak 1 – P(X ≤ 2). Dakle, P(X>2) = 1 – P(X≤2) = 1 – [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)]. Sada, koristeći formulu (1), dobijamo:
Tako je vjerovatnoća da u minutu u banku ne dođe više od dva klijenta 0,423 (ili 42,3%), a vjerovatnoća da će više od dva klijenta doći u banku u roku od jedne minute iznosi 0,577 (ili 57,7%).
Takvi proračuni mogu izgledati zamorno, posebno ako je parametar λ dovoljno velik. Da bi se izbegli složeni proračuni, mnoge Poissonove verovatnoće se mogu naći u posebnim tabelama (slika 1). Na primjer, vjerovatnoća da će dva klijenta doći u banku u datom minutu, ako u prosjeku tri klijenta dođu u banku u minuti, je na raskrsnici linije X= 2 i kolona λ = 3. Dakle, jednako je 0,2240 ili 22,4%.
Rice. 1. Poissonova vjerovatnoća na λ = 3
Sada je malo vjerovatno da će neko koristiti tabele ako ima pri ruci Excel sa funkcijom =POISSON.DIST() (slika 2). Ova funkcija ima tri parametra: broj uspješnih pokušaja X, prosječan očekivani broj uspješnih pokušaja λ, parametar Integral, uzimajući dvije vrijednosti: FALSE – u ovom slučaju se izračunava vjerovatnoća broja uspješnih pokušaja X(samo X), TRUE – u ovom slučaju vjerovatnoća broja uspješnih pokušaja od 0 do X.
Rice. 2. Izračunavanje u Excelu vjerovatnoća Poissonove distribucije pri λ = 3
Aproksimacija binomne distribucije korištenjem Poissonove distribucije
Ako je broj n je veliki i broj R- mala, binomna raspodjela se može aproksimirati korištenjem Poissonove raspodjele. Kako veći broj n i manji broj R, to je veća tačnost aproksimacije. Sljedeći Poissonov model se koristi za aproksimaciju binomne distribucije.
Gdje P(X)- vjerovatnoća X uspjeh sa zadatim parametrima n I R, n- veličina uzorka, R- prava vjerovatnoća uspjeha, e- osnovicu prirodnog logaritma, X- broj uspjeha u uzorku (X = 0, 1, 2, …, n).
Teoretski, slučajna varijabla s Poissonovom distribucijom uzima vrijednosti od 0 do ∞. Međutim, u situacijama kada se Poissonova distribucija koristi za aproksimaciju binomske distribucije, Poissonova slučajna varijabla je broj uspjeha među n zapažanja - ne može premašiti broj n. Iz formule (2) proizlazi da sa povećanjem broja n i smanjenje broja R vjerovatnoća otkrivanja velikog broja uspjeha opada i teži nuli.
Kao što je gore pomenuto, očekivanje µ i varijansa σ 2 Poissonove raspodele jednaki su λ. Stoga, kada se aproksimira binomna distribucija korištenjem Poissonove distribucije, treba koristiti formulu (3) za aproksimaciju matematičkog očekivanja.
(3) µ = E(X) = λ =n.p.
Za aproksimaciju standardne devijacije koristi se formula (4).
Imajte na umu da standardna devijacija izračunata pomoću formule (4) teži ka standardna devijacija u binomnom modelu – kada je vjerovatnoća uspjeha str teži nuli, a shodno tome i vjerovatnoća neuspjeha 1 – str teži jedinstvu.
Pretpostavimo da je 8% guma proizvedenih u određenom pogonu neispravno. Da bismo ilustrirali upotrebu Poissonove distribucije za aproksimaciju binomne distribucije, izračunajmo vjerovatnoću pronalaska jedne neispravne gume u uzorku od 20 guma. Primijenimo formulu (2), dobićemo
Ako bismo izračunali pravu binomnu distribuciju, a ne njenu aproksimaciju, dobili bismo sljedeći rezultat:
Međutim, ove kalkulacije su prilično zamorne. Međutim, ako koristite Excel za izračunavanje vjerojatnosti, tada korištenje aproksimacije Poissonove distribucije postaje suvišno. Na sl. Slika 3 pokazuje da je složenost proračuna u Excel-u ista. Međutim, ovaj dio je, po mom mišljenju, koristan za razumijevanje da pod nekim uvjetima binomna distribucija i Poissonova distribucija daju slične rezultate.
Rice. 3. Poređenje složenosti proračuna u Excel-u: (a) Poissonova distribucija; (b) binomna distribucija
Dakle, u ovoj i dvije prethodne napomene, razmatrane su tri diskretne numeričke raspodjele: , i Poisson. Da bismo bolje razumjeli kako su ove distribucije međusobno povezane, predstavljamo malo stablo pitanja (slika 4).
Rice. 4. Klasifikacija diskretnih distribucija vjerovatnoće
Korišteni su materijali iz knjige Levin i dr. Statistika za menadžere. – M.: Williams, 2004. – str. 320–328
Poissonova distribucija.
Razmotrimo najtipičniju situaciju u kojoj nastaje Poissonova raspodjela. Neka događaj A pojavljuje se određeni broj puta u fiksnom području prostora (interval, površina, volumen) ili vremenski period konstantnog intenziteta. Da budemo konkretni, uzmite u obzir sekvencijalno pojavljivanje događaja tokom vremena, koje se naziva tok događaja. Grafički, tok događaja može biti ilustrovan mnogim tačkama koje se nalaze na vremenskoj osi.
Ovo bi mogao biti tok poziva u uslužnom sektoru (popravka kućanskih aparata, pozivanje hitne pomoći i sl.), protok poziva na telefonsku centralu, kvar nekih dijelova sistema, radioaktivno raspadanje, komadi tkanine ili limova i broj kvarova na svakom od njih itd. Poissonova raspodjela je najkorisniji u onim zadacima gdje je potrebno odrediti samo broj pozitivnih ishoda (“uspjeha”).
Zamislimo lepinju sa grožđicama, podeljenu na male komadiće jednake veličine. Zahvaljujući slučajna distribucija grožđice, ne možete očekivati da svi komadi sadrže isti broj grožđica. Kada je poznat prosječan broj grožđica sadržanih u ovim komadima, tada Poissonova raspodjela daje vjerovatnoću da bilo koji komad sadrži X=k(k= 0,1,2,...,)broj grožđica.
Drugim riječima, Poissonova distribucija određuje koji će dio dugog niza komada sadržavati jednak 0, ili 1, ili 2, ili itd. broj istaknutih.
Hajde da napravimo sljedeće pretpostavke.
1. Vjerovatnoća pojave određenog broja događaja u datom vremenskom intervalu zavisi samo od dužine ovog intervala, a ne od njegovog položaja na vremenskoj osi. Ovo je svojstvo stacionarnosti.
2. Nastup više od jednog događaja u dovoljno kratkom vremenskom periodu je praktično nemoguć, tj. uslovna vjerovatnoća pojave drugog događaja u istom intervalu teži nuli kao ® 0. Ovo je svojstvo običnosti.
3. Vjerovatnoća pojave određenog broja događaja u određenom vremenskom periodu ne zavisi od broja događaja koji se pojavljuju u drugim vremenskim periodima. Ovo je svojstvo nedostatka naknadnih efekata.
Tok događaja koji zadovoljava gornje propozicije naziva se najjednostavniji.
Uzmimo u obzir prilično kratak vremenski period. Na osnovu svojstva 2, događaj se može pojaviti jednom u ovom intervalu ili se uopće ne pojaviti. Označimo vjerovatnoću da će se događaj dogoditi sa R, a nepojavljivanje – kroz q = 1-p. Vjerovatnoća R je konstantna (svojstvo 3) i zavisi samo od vrijednosti (osobina 1). Matematičko očekivanje broja pojavljivanja događaja u intervalu će biti jednako 0× q+ 1× str = str. Tada se prosječan broj pojavljivanja događaja u jedinici vremena naziva intenzitetom protoka i označava sa a, one. a = .
Uzmite u obzir konačan vremenski period t i podijelite ga sa n dijelovi = . Pojave događaja u svakom od ovih intervala su nezavisne (osobina 2). Odredimo vjerovatnoću da u određenom vremenskom periodu t pri konstantnom intenzitetu protoka A događaj će se pojaviti tačno X = k neće se ponovo pojaviti n–k. Budući da događaj može u svakom od n praznine se pojavljuju ne više od 1 puta, a zatim za njegov izgled k jednom u segmentu trajanja t trebao bi se pojaviti u bilo kojem k intervalima od ukupnog broja n. Takvih kombinacija ima ukupno, a vjerovatnoća svake je jednaka. Posljedično, teoremom sabiranja vjerovatnoća dobijamo za željenu vjerovatnoću dobro poznata formula Bernoulli
Ova jednakost je zapisana kao približna, jer je početna premisa za njeno izvođenje bilo svojstvo 2, koje se točnije ispunjava što je manje . Da bismo dobili tačnu jednakost, prijeđimo na granicu na ® 0 ili, što je isto, n® . Dobit ćemo ga nakon zamjene
P = a= i q = 1 – .
Hajde da uvedemo novi parametar = at, što znači prosječan broj pojavljivanja događaja u segmentu t. Nakon jednostavnih transformacija i prelaska na granicu u faktorima, dobijamo.
= 1, = ,
Konačno dobijamo
, k = 0, 1, 2, ...
e = 2,718... je osnova prirodnog logaritma.
Definicija. Slučajna vrijednost X, koji uzima samo cijele, pozitivne vrijednosti 0, 1, 2, ... ima Poissonov zakon raspodjele s parametrom ako
Za k = 0, 1, 2, ...
Poissonovu raspodjelu je predložio francuski matematičar S.D. Poisson (1781-1840). Koristi se za rješavanje problema izračunavanja vjerovatnoća relativno retkih, slučajnih, međusobno nezavisnih događaja po jedinici vremena, dužine, površine i zapremine.
Za slučaj kada je a) veliko i b) k= , Stirlingova formula je važeća:
Za izračunavanje sljedećih vrijednosti koristi se ponavljajuća formula
P(k + 1) = P(k).
Primjer 1. Kolika je vjerovatnoća da je od 1000 ljudi u datom danu: a) nijedna, b) jedna, c) dvije, d) tri osobe su rođene?
Rješenje. Jer str= 1/365, dakle q= 1 – 1/365 = 364/365 "1.
Onda 
A) 
,
b) 
,
V) 
,
G) 
.
Dakle, ako postoje uzorci od 1000 ljudi, onda će prosječan broj ljudi koji su rođeni određenog dana biti 65; 178; 244; 223.
Primjer 2. Odrediti vrijednost na kojoj s vjerovatnoćom R događaj se pojavio barem jednom.
Rješenje. Događaj A= (pojavljuje se barem jednom) i = (ne pojavljuje se ni jednom). Stoga .
Odavde 
i .
Na primjer, za R= 0,5, for R= 0,95 .
Primjer 3. Na razbojima kojima upravlja jedan tkalac, u roku od jednog sata dođe do 90 prekida niti. Pronađite vjerovatnoću da će se barem jedan prekid niti dogoditi u 4 minute.
Rješenje. Po stanju t = 4 min. i prosječan broj pauza u minuti, odakle 
. Tražena vjerovatnoća je .
Svojstva. Matematičko očekivanje i varijansa slučajne varijable koja ima Poissonovu distribuciju s parametrom jednaki su:
M(X) = D(X) = .
Ovi izrazi se dobijaju direktnim proračunima:
Ovdje je izvršena zamjena n = k– 1 i činjenica da .
Izvođenjem transformacija sličnih onima koje se koriste u izlazu M(X), dobijamo
Poissonova raspodjela se koristi za aproksimaciju binomske raspodjele u cjelini n
Većina opšti slučaj razne vrste distribucije vjerovatnoće su binomne distribucije. Iskoristimo njegovu svestranost da odredimo najčešće specifične tipove distribucija koje se susreću u praksi.
Binomna distribucija
Neka bude neki događaj A. Vjerovatnoća pojave događaja A je jednaka str, vjerovatnoća da se događaj A ne dogodi je 1 str, ponekad se označava kao q. Neka n broj testova, m učestalost pojavljivanja događaja A u njima n testovi.
Poznato je da je ukupna vjerovatnoća svih mogućih kombinacija ishoda jednaka jedan, odnosno:
1 = str n + n · str n 1 (1 str) + C n n 2 · str n 2 (1 str) 2 ++ C n m · str m· (1 str) n m+ + (1 str) n .
|
str n vjerovatnoća da u nn jednom; n · str n 1 (1 str) vjerovatnoća da u nn 1) jednom i neće se desiti 1 put; C n n 2 · str n 2 (1 str) 2 vjerovatnoća da u n testova, dogodit će se događaj A ( n 2) puta i neće se desiti 2 puta; P m = C n m · str m· (1 str) n m vjerovatnoća da u n testova, desiće se događaj A m nikada se neće desiti ( n m) jednom; (1 str) n vjerovatnoća da u n u suđenjima, događaj A se neće dogoditi ni jednom; broj kombinacija n By m . |
Očekivana vrijednost M binomna distribucija je jednaka:
M = n · str ,
Gdje n broj testova, str vjerovatnoća nastanka događaja A.
Standardna devijacija σ :
σ = sqrt( n · str· (1 str)) .
Primjer 1. Izračunajte vjerovatnoću da događaj ima vjerovatnoću str= 0,5, in n= Desiće se 10 suđenja m= 1 put. Imamo: C 10 1 = 10, i dalje: P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,0098. Kao što vidimo, vjerovatnoća da se ovaj događaj dogodi je prilično mala. Ovo se objašnjava, prvo, činjenicom da apsolutno nije jasno da li će se događaj desiti ili ne, jer je verovatnoća 0,5, a šanse su ovde „50 prema 50“; i drugo, potrebno je izračunati da će se događaj desiti tačno jednom (ni više ni manje) od deset.
Primjer 2. Izračunajte vjerovatnoću da događaj ima vjerovatnoću str= 0,5, in n= Desiće se 10 suđenja m= 2 puta. Imamo: C 10 2 = 45, i dalje: P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,044. Povećana je vjerovatnoća da će se ovaj događaj dogoditi!
Primjer 3. Povećajmo vjerovatnoću da će se sam događaj desiti. Učinimo to vjerovatnijim. Izračunajte vjerovatnoću da događaj ima vjerovatnoću str= 0,8, in n= Desiće se 10 suđenja m= 1 put. Imamo: C 10 1 = 10, i dalje: P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,000004. Vjerovatnoća je postala manja nego u prvom primjeru! Odgovor se na prvi pogled čini čudnim, ali s obzirom da je vjerovatnoća događaja prilično velika, malo je vjerovatno da će se dogoditi samo jednom. Vjerovatnije je da će se to dogoditi više puta. Zaista, brojim P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (vjerovatnoća da će neki događaj u n= 10 pokušaja će se desiti 0, 1, 2, 3, , 10 puta), videćemo:
C 10 0 = 1
,
C 10 1 = 10
,
C 10 2 = 45
,
C 10 3 = 120
,
C 10 4 = 210
,
C 10 5 = 252
,
C 10 6 = 210
,
C 10 7 = 120
,
C 10 8 = 45
,
C 10 9 = 10
,
C 10 10 = 1
;
P 0 = 1 0,8 0 (1 0,8) 10 0 = 1 1 0,2 10 = 0,0000
;
P 1 = 10 0,8 1 (1 0,8) 10 1 = 10 0,8 1 0,2 9 = 0,0000
;
P 2 = 45 0,8 2 (1 0,8) 10 2 = 45 0,8 2 0,2 8 = 0,0000
;
P 3 = 120 0,8 3 (1 0,8) 10 3 = 120 0,8 3 0,2 7 = 0,0008
;
P 4 = 210 0,8 4 (1 0,8) 10 4 = 210 0,8 4 0,2 6 = 0,0055
;
P 5 = 252 0,8 5 (1 0,8) 10 5 = 252 0,8 5 0,2 5 = 0,0264
;
P 6 = 210 0,8 6 (1 0,8) 10 6 = 210 0,8 6 0,2 4 = 0,0881
;
P 7 = 120 0,8 7 (1 0,8) 10 7 = 120 0,8 7 0,2 3 = 0,2013
;
P 8 = 45 0,8 8 (1 0,8) 10 8 = 45 0,8 8 0,2 2 = 0,3020
(najveća vjerovatnoća!);
P 9 = 10 0,8 9 (1 0,8) 10 9 = 10 0,8 9 0,2 1 = 0,2684
;
P 10 = 1 0,8 10 (1 0,8) 10 10 = 1 0,8 10 0,2 0 = 0,1074
Naravno P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .
Normalna distribucija
Ako prikažemo količine P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10, koji smo izračunali u primjeru 3, na grafu, ispada da njihova raspodjela ima oblik blizak zakonu normalne raspodjele (vidi sliku 27.1) (vidi predavanje 25. Modeliranje normalno raspoređenih slučajnih varijabli).
vjerovatnoće za različite m pri p = 0,8, n = 10
Binomni zakon postaje normalan ako su vjerovatnoće nastanka i nenastupanja događaja A približno iste, odnosno uslovno možemo napisati: str≈ (1 str) . Na primjer, uzmimo n= 10 i str= 0,5 (tj str= 1 str = 0.5 ).
U suštini, do takvog problema doći ćemo ako, na primjer, želimo teoretski izračunati koliko će dječaka, a koliko djevojčica biti od 10 djece rođenih u porodilištu istog dana. Tačnije, računaćemo ne dečake i devojčice, već verovatnoću da će se roditi samo dečaci, da će se roditi 1 dečak i 9 devojčica, da će se roditi 2 dečaka i 8 devojčica itd. Pretpostavimo radi jednostavnosti da je vjerovatnoća da ćete imati dječaka i djevojčicu jednaka i jednaka 0,5 (ali u stvari, da budemo iskreni, to nije slučaj, pogledajte kurs “Modeliranje sistema umjetne inteligencije”).
Jasno je da će raspodjela biti simetrična, jer je vjerovatnoća da ćemo imati 3 dječaka i 7 djevojčica jednaka vjerovatnoći da će se imati 7 dječaka i 3 djevojčice. Najveća vjerovatnoća rođenja će biti 5 dječaka i 5 djevojčica. Ova vjerovatnoća je 0,25, inače nije tako velika apsolutna vrijednost. Nadalje, vjerovatnoća da će se odjednom roditi 10 ili 9 dječaka je mnogo manja od vjerovatnoće da će se od 10 djece roditi 5 ± 1 dječak. Binomna distribucija će nam pomoći da napravimo ovaj proračun. Dakle.
C 10 0 = 1
,
C 10 1 = 10
,
C 10 2 = 45
,
C 10 3 = 120
,
C 10 4 = 210
,
C 10 5 = 252
,
C 10 6 = 210
,
C 10 7 = 120
,
C 10 8 = 45
,
C 10 9 = 10
,
C 10 10 = 1
;
P 0 = 1 0,5 0 (1 0,5) 10 0 = 1 1 0,5 10 = 0,000977
;
P 1 = 10 0,5 1 (1 0,5) 10 1 = 10 0,5 10 = 0,009766
;
P 2 = 45 0,5 2 (1 0,5) 10 2 = 45 0,5 10 = 0,043945
;
P 3 = 120 0,5 3 (1 0,5) 10 3 = 120 0,5 10 = 0,117188
;
P 4 = 210 0,5 4 (1 0,5) 10 4 = 210 0,5 10 = 0,205078
;
P 5 = 252 0,5 5 (1 0,5) 10 5 = 252 0,5 10 = 0,246094
;
P 6 = 210 0,5 6 (1 0,5) 10 6 = 210 0,5 10 = 0,205078
;
P 7 = 120 0,5 7 (1 0,5) 10 7 = 120 0,5 10 = 0,117188
;
P 8 = 45 0,5 8 (1 0,5) 10 8 = 45 0,5 10 = 0,043945
;
P 9 = 10 0,5 9 (1 0,5) 10 9 = 10 0,5 10 = 0,009766
;
P 10 = 1 0,5 10 (1 0,5) 10 10 = 1 0,5 10 = 0,000977
Naravno P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .
Hajde da prikažemo količine na grafikonu P 0 , P 1 , P 2 , P 3, , P 10 (vidi sliku 27.2).
p = 0,5 i n = 10, što ga približava normalnom zakonu
Dakle, pod uslovima m ≈ n/2 i str≈ 1 str ili str≈ 0,5 umjesto binomne distribucije, možete koristiti normalnu. Za velike vrijednosti n graf se pomiče udesno i postaje sve ravniji, kako se matematičko očekivanje i varijansa povećavaju s povećanjem n : M = n · str , D = n · str· (1 str) .
Inače, binomski zakon teži normalnom i rastućem n, što je sasvim prirodno, prema središnjoj graničnoj teoremi (vidjeti predavanje 34. Zapisivanje i obrada statističkih rezultata).
Sada razmotrite kako se binomski zakon mijenja u slučaju kada str ≠ q, to je str> 0 . U ovom slučaju, hipoteza normalne distribucije se ne može primijeniti, a binomna raspodjela postaje Poissonova raspodjela.
Poissonova distribucija
Poissonova distribucija je poseban slučaj binomna distribucija (sa n>> 0 i at str>0 (rijetki događaji)).
Iz matematike je poznata formula koja vam omogućava da približno izračunate vrijednost bilo kojeg člana binomne distribucije:
Gdje a = n · str Poissonov parametar (matematičko očekivanje), a varijansa je jednaka matematičkom očekivanju. Predstavimo matematičke proračune koji objašnjavaju ovu tranziciju. Zakon binomne distribucije
P m = C n m · str m· (1 str) n m
može se napisati ako staviš str = a/n , as
Jer str je vrlo mala, onda treba uzeti u obzir samo brojke m, mali u odnosu na n. Posao
veoma blizu jedinstva. Isto vrijedi i za veličinu
Magnituda
veoma blizu e a. Odavde dobijamo formulu:
Primjer. Kutija sadrži n= 100 dijelova, kvalitetnih i neispravnih. Vjerovatnoća da dobijete neispravan proizvod je str= 0,01 . Recimo da izvadimo proizvod, utvrdimo da li je neispravan ili ne i vratimo ga nazad. Time se pokazalo da su se od 100 proizvoda kroz koje smo prošli, dva pokazala neispravna. Koja je vjerovatnoća za ovo?
Iz binomne distribucije dobijamo:
Iz Poissonove distribucije dobijamo:
Kao što vidite, ispostavilo se da su vrijednosti bliske, pa je u slučaju rijetkih događaja sasvim prihvatljivo primijeniti Poissonov zakon, pogotovo jer zahtijeva manje računskih napora.
Pokažimo grafički oblik Poissonovog zakona. Uzmimo parametre kao primjer str = 0.05 , n= 10 . onda:
C 10 0 = 1
,
C 10 1 = 10
,
C 10 2 = 45
,
C 10 3 = 120
,
C 10 4 = 210
,
C 10 5 = 252
,
C 10 6 = 210
,
C 10 7 = 120
,
C 10 8 = 45
,
C 10 9 = 10
,
C 10 10 = 1
;
P 0 = 1 0,05 0 (1 0,05) 10 0 = 1 1 0,95 10 = 0,5987
;
P 1 = 10 0,05 1 (1 0,05) 10 1 = 10 0,05 1 0,95 9 = 0,3151
;
P 2 = 45 0,05 2 (1 0,05) 10 2 = 45 0,05 2 0,95 8 = 0,0746
;
P 3 = 120 0,05 3 (1 0,05) 10 3 = 120 0,05 3 0,95 7 = 0,0105
;
P 4 = 210 0,05 4 (1 0,05) 10 4 = 210 0,05 4 0,95 6 = 0,00096
;
P 5 = 252 0,05 5 (1 0,05) 10 5 = 252 0,05 5 0,95 5 = 0,00006
;
P 6 = 210 0,05 6 (1 0,05) 10 6 = 210 0,05 6 0,95 4 = 0,0000
;
P 7 = 120 0,05 7 (1 0,05) 10 7 = 120 0,05 7 0,95 3 = 0,0000
;
P 8 = 45 0,05 8 (1 0,05) 10 8 = 45 0,05 8 0,95 2 = 0,0000
;
P 9 = 10 0,05 9 (1 0,05) 10 9 = 10 0,05 9 0,95 1 = 0,0000
;
P 10 = 1 0,05 10 (1 0,05) 10 10 = 1 0,05 10 0,95 0 = 0,0000
Naravno P 0 + P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 + P 7 + P 8 + P 9 + P 10 = 1 .
At n> ∞ Poissonova raspodjela se pretvara u normalan zakon, prema središnjoj graničnoj teoremi (vidi.
